GRANDE TEOREMA DE FERMAT - a afirmação de Pierre Fermat (advogado francês e matemático a tempo parcial) de que a equação diofantina X n + Y n \u003d Z n, com um expoente n>2, onde n = um inteiro, não tem soluções positivas inteiros. Texto do autor: "É impossível decompor um cubo em dois cubos, ou um bi-quadrado em dois bi-quadrados, ou em geral uma potência maior que dois em duas potências com o mesmo expoente."

"Fermat e seu teorema", Amadeo Modigliani, 1920

Pierre apresentou este teorema em 29 de março de 1636. E depois de uns 29 anos, ele morreu. Mas foi aí que tudo começou. Afinal, um rico matemático alemão chamado Wolfskel legou cem mil marcos para aquele que apresenta a prova completa do teorema de Fermat! Mas o entusiasmo em torno do teorema estava ligado não apenas a isso, mas também ao entusiasmo matemático profissional. O próprio Fermat deu a entender à comunidade matemática que ele conhecia a prova - pouco antes de sua morte, em 1665, ele deixou a seguinte entrada nas margens do livro Diofanto de Alexandria "Aritmética": "Eu tenho uma prova muito surpreendente, mas é grande demais para ser colocado em campos."

Foi essa dica (além, é claro, de um prêmio em dinheiro) que fez os matemáticos passarem, sem sucesso, seus melhores anos procurando provas (de acordo com cientistas americanos, matemáticos profissionais sozinhos gastaram 543 anos nisso no total).

Em algum momento (em 1901), o trabalho sobre o teorema de Fermat adquiriu a dúbia fama de "trabalho semelhante à busca de uma máquina de movimento perpétuo" (havia até um termo depreciativo - "fermatistas"). E de repente, em 23 de junho de 1993, em uma conferência matemática sobre teoria dos números em Cambridge, um professor inglês de matemática da Universidade de Princeton (Nova Jersey, EUA) Andrew Wiles anunciou que finalmente havia provado Fermat!

A prova, no entanto, não era apenas complicada, mas também obviamente errônea, como Wiles foi apontado por seus colegas. Mas o professor Wiles sonhou em provar o teorema toda a sua vida, então não é de surpreender que em maio de 1994 ele tenha apresentado uma versão nova e melhorada da prova para a comunidade científica. Não tinha harmonia, beleza, e ainda era muito complicado - o fato de os matemáticos estarem analisando essa prova há um ano inteiro (!) Para entender se não está errado, fala por si!

Mas no final, a prova de Wiles foi considerada correta. Mas os matemáticos não perdoaram Pierre Fermat por sua insinuação em Aritmética e, de fato, começaram a considerá-lo um mentiroso. Na verdade, a primeira pessoa a questionar a integridade moral de Fermat foi o próprio Andrew Wiles, que observou que "Fermat não poderia ter tal prova. Esta é uma prova do século XX". Então, entre outros cientistas, tornou-se mais forte a opinião de que Fermat "não poderia provar seu teorema de outra maneira, e Fermat não poderia prová-lo da maneira que Wiles fez, por razões objetivas".

Na verdade, Fermat, é claro, poderia provar isso, e um pouco mais tarde essa prova será recriada pelos analistas da Nova Enciclopédia Analítica. Mas - quais são essas "razões objetivas"?
Na verdade, há apenas uma razão: naqueles anos em que Fermat viveu, a conjectura de Taniyama não poderia aparecer, sobre a qual Andrew Wiles construiu sua prova, porque as funções modulares sobre as quais opera a conjectura de Taniyama foram descobertas apenas no final do século XIX .

Como o próprio Wiles provou o teorema? A questão não é ociosa - isso é importante para entender como o próprio Fermat poderia provar seu teorema. Wiles construiu sua prova na prova da conjectura de Taniyama apresentada em 1955 pelo matemático japonês de 28 anos Yutaka Taniyama.

A conjectura soa assim: "toda curva elíptica corresponde a uma certa forma modular". As curvas elípticas, conhecidas há muito tempo, têm uma forma bidimensional (localizadas em um plano), enquanto as funções modulares têm uma forma quadridimensional. Ou seja, a hipótese de Taniyama combinava conceitos completamente diferentes - curvas planas simples e formas quadridimensionais inimagináveis. O próprio fato de conectar figuras de diferentes dimensões na hipótese parecia absurdo para os cientistas, razão pela qual em 1955 não foi dada nenhuma importância.

No entanto, no outono de 1984, a "hipótese de Taniyama" foi subitamente lembrada novamente, e não apenas lembrada, mas sua possível prova estava ligada à prova do teorema de Fermat! Isso foi feito pelo matemático de Saarbrücken, Gerhard Frey, que informou à comunidade científica que "se alguém pudesse provar a conjectura de Taniyama, então o Último Teorema de Fermat seria provado".

O que Frey fez? Ele converteu a equação de Fermat em uma cúbica, depois chamou a atenção para o fato de que uma curva elíptica obtida pela conversão da equação de Fermat em uma cúbica não pode ser modular. No entanto, a conjectura de Taniyama afirmava que qualquer curva elíptica poderia ser modular! Assim, uma curva elíptica construída a partir da equação de Fermat não pode existir, o que significa que não pode haver soluções inteiras e o teorema de Fermat, o que significa que é verdadeiro. Bem, em 1993, Andrew Wiles simplesmente provou a conjectura de Taniyama e, portanto, o teorema de Fermat.

No entanto, o teorema de Fermat pode ser provado de forma muito mais simples, com base na mesma multidimensionalidade que Taniyama e Frey operaram.

Para começar, prestemos atenção à condição estipulada pelo próprio Pierre Fermat - n>2. Por que essa condição era necessária? Sim, apenas pelo fato de que para n=2 o teorema comum de Pitágoras X 2 +Y 2 =Z 2 torna-se um caso especial do teorema de Fermat, que possui um número infinito de soluções inteiras - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51.140.149 e assim por diante. Assim, o teorema de Pitágoras é uma exceção ao teorema de Fermat.

Mas por que exatamente no caso de n=2 ocorre tal exceção? Tudo se encaixa se você ver a relação entre o grau (n=2) e a dimensão da própria figura. O triângulo pitagórico é uma figura bidimensional. Não surpreendentemente, Z (ou seja, a hipotenusa) pode ser expresso em termos de catetos (X e Y), que podem ser inteiros. O tamanho do ângulo (90) permite considerar a hipotenusa como um vetor, e os catetos são vetores localizados nos eixos e vindos da origem. Assim, é possível expressar um vetor bidimensional que não está em nenhum dos eixos em termos dos vetores que estão neles.

Agora, se formos para a terceira dimensão, e portanto para n=3, para expressar um vetor tridimensional, não haverá informação suficiente sobre dois vetores e, portanto, será possível expressar Z na equação de Fermat através pelo menos três termos (três vetores situados, respectivamente, nos três eixos do sistema de coordenadas).

Se n=4, então deve haver 4 termos, se n=5, então deve haver 5 termos, e assim por diante. Nesse caso, haverá soluções inteiras mais do que suficientes. Por exemplo, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 e assim por diante (você pode escolher outros exemplos para n=3, n=4 e assim por diante).

O que se segue de tudo isso? Segue-se disso que o teorema de Fermat de fato não tem soluções inteiras para n>2 - mas apenas porque a própria equação está incorreta! Com o mesmo sucesso, pode-se tentar expressar o volume de um paralelepípedo em termos dos comprimentos de suas duas arestas - claro, isso é impossível (soluções inteiras nunca serão encontradas), mas apenas porque encontrar o volume de um paralelepípedo , você precisa saber os comprimentos de todas as três arestas.

Quando perguntaram ao famoso matemático David Gilbert qual é a tarefa mais importante para a ciência agora, ele respondeu "pegar uma mosca no outro lado da lua". À pergunta razoável "Quem precisa?" ele respondeu assim: "Ninguém precisa disso. Mas pense em quantas tarefas importantes e difíceis você precisa resolver para conseguir isso."

Em outras palavras, Fermat (um advogado em primeiro lugar!) fez uma piada legal espirituosa em todo o mundo matemático, baseado em uma formulação incorreta do problema. Ele, de fato, sugeriu que os matemáticos encontrassem uma resposta por que uma mosca não pode viver do outro lado da Lua, e nas margens da Aritmética ele queria escrever apenas que simplesmente não há ar na Lua, ou seja, não pode haver soluções inteiras de seu teorema para n>2 apenas porque cada valor de n deve corresponder a um certo número de termos no lado esquerdo de sua equação.

Mas era apenas uma brincadeira? De jeito nenhum. A genialidade de Fermat reside precisamente no fato de que ele foi o primeiro a ver a relação entre o grau e a dimensão de uma figura matemática - ou seja, o que é absolutamente equivalente, o número de termos do lado esquerdo da equação. O significado de seu famoso teorema era precisamente não apenas empurrar o mundo matemático para a ideia dessa relação, mas também iniciar uma prova da existência dessa relação - intuitivamente compreensível, mas ainda não fundamentada matematicamente.

Fermat, como ninguém, entendeu que estabelecer uma relação entre objetos aparentemente diferentes é extremamente proveitoso não apenas na matemática, mas também em qualquer ciência. Tal relação aponta para algum princípio profundo subjacente a ambos os objetos e permitindo uma compreensão mais profunda deles.

Por exemplo, inicialmente os físicos consideravam a eletricidade e o magnetismo como fenômenos completamente não relacionados e, no século 19, teóricos e experimentadores perceberam que a eletricidade e o magnetismo estavam intimamente relacionados. O resultado foi uma compreensão mais profunda da eletricidade e do magnetismo. As correntes elétricas geram campos magnéticos e os ímãs podem induzir eletricidade em condutores próximos aos ímãs. Isso levou à invenção de dínamos e motores elétricos. Eventualmente, descobriu-se que a luz é o resultado de oscilações harmônicas coordenadas de campos magnéticos e elétricos.

A matemática do tempo de Fermat consistia em ilhas de conhecimento em um mar de ignorância. Os geômetras estudavam formas em uma ilha, e os matemáticos estudavam probabilidade e chance na outra ilha. A linguagem da geometria era muito diferente da linguagem da teoria das probabilidades, e a terminologia algébrica era estranha para aqueles que falavam apenas sobre estatística. Infelizmente, a matemática do nosso tempo consiste aproximadamente nas mesmas ilhas.

Farm foi o primeiro a perceber que todas essas ilhas estão interligadas. E seu famoso teorema - o GRANDE TEOREMA de Fermat - é uma excelente confirmação disso.

Para inteiros n maiores que 2, a equação x n + y n = z n não tem soluções diferentes de zero em números naturais.

Você provavelmente se lembra de seus dias de escola o teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos. Você também pode se lembrar do triângulo retângulo clássico com lados cujos comprimentos estão relacionados como 3: 4: 5. Para ele, o teorema de Pitágoras se parece com isso:

Este é um exemplo de resolução da equação pitagórica generalizada em inteiros diferentes de zero para n= 2. O Último Teorema de Fermat (também chamado de "Último Teorema de Fermat" e "Último Teorema de Fermat") é a afirmação de que, para valores n> 2 equações da forma xn + s n = z n não tem soluções diferentes de zero em números naturais.

A história do Último Teorema de Fermat é muito divertida e instrutiva, e não apenas para os matemáticos. Pierre de Fermat contribuiu para o desenvolvimento de diversas áreas da matemática, mas a maior parte de sua herança científica foi publicada apenas postumamente. O fato é que a matemática para Fermat era algo como um hobby, não uma ocupação profissional. Ele se correspondeu com os principais matemáticos de seu tempo, mas não procurou publicar seu trabalho. Os escritos científicos de Fermat são encontrados principalmente na forma de correspondência privada e notas fragmentárias, muitas vezes feitas nas margens de vários livros. Está nas margens (do segundo volume da Aritmética grega antiga de Diofanto. - Observação. tradutor) logo após a morte do matemático, os descendentes descobriram a formulação do famoso teorema e o pós-escrito:

« Encontrei uma prova verdadeiramente maravilhosa disso, mas essas margens são muito estreitas para ele.».

Infelizmente, aparentemente, Fermat nunca se preocupou em escrever a “prova milagrosa” que encontrou, e os descendentes a procuraram sem sucesso por mais de três séculos. De toda a herança científica díspar de Fermat, contendo muitas afirmações surpreendentes, foi o Grande Teorema que resistiu obstinadamente à solução.

Quem não aceitou a prova do Último Teorema de Fermat - tudo em vão! Outro grande matemático francês, René Descartes (René Descartes, 1596-1650), chamou Fermat de "fanfarrão", e o matemático inglês John Wallis (John Wallis, 1616-1703) o chamou de "maldito francês". O próprio Fermat, no entanto, deixou para trás uma prova de seu teorema para o caso n= 4. Com prova para n= 3 foi resolvido pelo grande matemático suíço-russo do século 18 Leonard Euler (1707-1783), após o qual, tendo falhado em encontrar provas para n> 4, brincando se ofereceu para vasculhar a casa de Fermat para encontrar a chave da evidência perdida. No século 19, novos métodos de teoria dos números tornaram possível provar a afirmação para muitos inteiros dentro de 200, mas, novamente, não para todos.

Em 1908 foi estabelecido um prêmio de 100.000 marcos alemães para esta tarefa. O fundo do prêmio foi legado ao industrial alemão Paul Wolfskehl, que, segundo a lenda, estava prestes a cometer suicídio, mas ficou tão empolgado com o Último Teorema de Fermat que mudou de ideia sobre morrer. Com o advento das máquinas de somar e depois dos computadores, a barra de valores n começou a subir cada vez mais alto - até 617 no início da Segunda Guerra Mundial, até 4.001 em 1954, até 125.000 em 1976. No final do século 20, os computadores mais poderosos dos laboratórios militares de Los Alamos (Novo México, EUA) foram programados para resolver o problema de Fermat em segundo plano (semelhante ao modo de proteção de tela de um computador pessoal). Assim, foi possível mostrar que o teorema é verdadeiro para valores incrivelmente grandes x, y, z e n, mas isso não poderia servir como uma prova rigorosa, uma vez que qualquer um dos seguintes valores n ou triplos de números naturais poderiam refutar o teorema como um todo.

Finalmente, em 1994, o matemático inglês Andrew John Wiles (Andrew John Wiles, n. 1953), trabalhando em Princeton, publicou uma prova do Último Teorema de Fermat, que, após algumas modificações, foi considerada exaustiva. A prova levou mais de cem páginas de revistas e baseou-se no uso do moderno aparato de matemática superior, que não havia sido desenvolvido na época de Fermat. Então, o que Fermat quis dizer ao deixar uma mensagem nas margens do livro de que havia encontrado provas? A maioria dos matemáticos com quem conversei sobre este assunto apontou que ao longo dos séculos tem havido mais do que suficientes provas incorretas do Último Teorema de Fermat, e que é provável que o próprio Fermat tenha encontrado uma prova semelhante, mas não conseguiu ver o erro em isto. No entanto, é possível que ainda haja alguma prova curta e elegante do Último Teorema de Fermat, que ninguém ainda encontrou. Apenas uma coisa pode ser dita com certeza: hoje sabemos com certeza que o teorema é verdadeiro. A maioria dos matemáticos, eu acho, concordaria totalmente com Andrew Wiles, que comentou sobre sua prova: "Agora, finalmente, minha mente está em paz".

O interesse de Fermat pela matemática surgiu inesperadamente e em uma idade bastante madura. Em 1629, uma tradução latina do trabalho de Pappus, contendo um breve resumo dos resultados de Apolônio sobre as propriedades das seções cônicas, caiu em suas mãos. Fermat, um poliglota, especialista em direito e filologia antiga, de repente se propõe a restaurar completamente o curso do raciocínio do famoso cientista. Com o mesmo sucesso, um advogado moderno pode tentar reproduzir independentemente todas as provas de uma monografia de problemas, digamos, de topologia algébrica. No entanto, o empreendimento impensável é coroado de sucesso. Além disso, mergulhando nas construções geométricas dos antigos, ele faz uma descoberta surpreendente: para encontrar os máximos e mínimos das áreas das figuras, não são necessários desenhos engenhosos. É sempre possível compor e resolver alguma equação algébrica simples, cujas raízes determinam o extremo. Ele veio com um algoritmo que se tornaria a base do cálculo diferencial.

Ele rapidamente seguiu em frente. Encontrou condições suficientes para a existência de máximos, aprendeu a determinar os pontos de inflexão, traçou tangentes a todas as curvas conhecidas de segunda e terceira ordem. Mais alguns anos, e ele encontra um novo método puramente algébrico para encontrar quadraturas para parábolas e hipérboles de ordem arbitrária (ou seja, integrais de funções da forma yp = Cxq e y p x q \u003d C), calcula áreas, volumes, momentos de inércia de corpos de revolução. Foi um verdadeiro avanço. Sentindo isso, Fermat começa a buscar comunicação com as autoridades matemáticas da época. Ele está confiante e anseia por reconhecimento.

Em 1636 escreveu a primeira carta a Seu Reverendo Marin Mersenne: “Santo Padre! Estou extremamente grato a você pela honra que me deu ao me dar a esperança de que poderemos conversar por escrito; ... Ficarei muito feliz em ouvir de você sobre todos os novos tratados e livros sobre Matemática que surgiram nos últimos cinco ou seis anos. ... Também encontrei muitos métodos analíticos para vários problemas, tanto numéricos quanto geométricos, para os quais a análise de Vieta é insuficiente. Tudo isso compartilharei com você sempre que quiser e, além disso, sem qualquer arrogância, da qual sou mais livre e distante do que qualquer outra pessoa no mundo.

Quem é o padre Mersenne? Trata-se de um monge franciscano, cientista de modesto talento e maravilhoso organizador, que durante 30 anos chefiou o círculo matemático parisiense, que se tornou o verdadeiro centro da ciência francesa. Posteriormente, o círculo de Mersenne, por decreto de Luís XIV, será transformado na Academia de Ciências de Paris. Mersenne mantinha incansavelmente uma enorme correspondência, e sua cela no mosteiro da Ordem dos Mínimos na Praça Real era uma espécie de "correio para todos os cientistas da Europa, de Galileu a Hobbes". A correspondência substituiu então as revistas científicas, que surgiram muito mais tarde. As reuniões em Mersenne aconteciam semanalmente. O núcleo do círculo era formado pelos cientistas naturais mais brilhantes da época: Robertville, Pai Pascal, Desargues, Midorge, Hardy e, claro, o famoso e universalmente reconhecido Descartes. Rene du Perron Descartes (Cartesius), um manto de nobreza, duas propriedades familiares, o fundador do cartesianismo, o “pai” da geometria analítica, um dos fundadores da nova matemática, bem como amigo e camarada de Mersenne no Colégio dos Jesuítas. Este homem maravilhoso será o pesadelo de Fermat.

Mersenne achou os resultados de Fermat interessantes o suficiente para trazer o provincial para seu clube de elite. A fazenda imediatamente inicia uma correspondência com muitos membros do círculo e literalmente adormece com cartas do próprio Mersenne. Além disso, ele envia manuscritos completos ao tribunal de especialistas: “Introdução aos lugares planos e sólidos”, e um ano depois - “O método de encontrar máximos e mínimos” e “Respostas às perguntas de B. Cavalieri”. O que Fermat expôs era absolutamente novo, mas a sensação não aconteceu. Os contemporâneos não vacilaram. Eles não entenderam muito, mas encontraram indicações inequívocas de que Fermat emprestou a ideia do algoritmo de maximização do tratado de Johannes Kepler com o engraçado título “A nova estereometria dos barris de vinho”. De fato, no raciocínio de Kepler há frases como "O volume da figura é maior se, em ambos os lados do lugar de maior valor, a diminuição for inicialmente insensível". Mas a ideia de um pequeno incremento de uma função perto de um extremo não estava no ar. As melhores mentes analíticas da época não estavam preparadas para manipulações com pequenas quantidades. O fato é que naquela época a álgebra era considerada uma espécie de aritmética, ou seja, a matemática do segundo grau, uma primitiva ferramenta improvisada desenvolvida para as necessidades da prática básica (“só os comerciantes contam bem”). A tradição prescrevia a adesão a métodos puramente geométricos de provas, que remontam à matemática antiga. Fermat foi o primeiro a entender que quantidades infinitesimais podem ser somadas e reduzidas, mas é bastante difícil representá-las como segmentos.

Levou quase um século para Jean d'Alembert admitir em sua famosa Enciclopédia: Fermat foi o inventor do novo cálculo. É com ele que encontramos a primeira aplicação de diferenciais para encontrar tangentes. No final do século XVIII, Joseph Louis Comte de Lagrange se expressaria ainda mais claramente: “Mas os geômetras, contemporâneos de Fermat, não entendiam esse novo tipo de cálculo. Eles viram apenas casos especiais. E esta invenção, que surgiu pouco antes da Geometria de Descartes, permaneceu infrutífera durante quarenta anos. Lagrange está se referindo ao ano de 1674, quando as Palestras de Isaac Barrow foram publicadas, abordando em detalhes o método de Fermat.

Entre outras coisas, rapidamente ficou claro que Fermat estava mais inclinado a formular novos problemas do que a resolver humildemente os problemas propostos pelos medidores. Na era dos duelos, a troca de tarefas entre especialistas era geralmente aceita como forma de esclarecer questões relacionadas à cadeia de comando. No entanto, a Fazenda claramente não conhece a medida. Cada uma de suas cartas é um desafio contendo dezenas de problemas complexos não resolvidos e sobre os tópicos mais inesperados. Aqui está um exemplo de seu estilo (dirigido a Frenicle de Bessy): “Item, qual é o menor quadrado que, quando reduzido por 109 e somado a um, dará um quadrado? Se você não me enviar a solução geral, envie-me o quociente desses dois números, que escolhi pequeno para não dificultar muito. Depois de obter sua resposta, vou sugerir algumas outras coisas para você. É claro, sem reservas especiais, que em minha proposta é necessário encontrar números inteiros, pois no caso de números fracionários o aritmético mais insignificante poderia atingir a meta. Fermat muitas vezes se repetia, formulando as mesmas perguntas várias vezes e blefando abertamente, alegando que tinha uma solução extraordinariamente elegante para o problema proposto. Não houve erros diretos. Alguns deles foram notados pelos contemporâneos, e algumas das declarações insidiosas enganaram os leitores por séculos.

O círculo de Mersenne reagiu adequadamente. Apenas Robertville, o único membro do círculo que teve problemas com a origem, mantém um tom amistoso nas cartas. O bom pastor padre Mersenne tentou argumentar com o "Toulouse insolente". Mas Farm não pretende dar desculpas: “Reverendo Padre! Você me escreve que a apresentação de meus problemas impossíveis irritou e esfriou os Srs. Saint-Martin e Frenicle, e que esta foi a razão para o término de suas cartas. No entanto, quero retrucar a eles que o que à primeira vista parece impossível, na verdade não é assim e que há muitos problemas sobre os quais, como disse Arquimedes ... ”, etc.

No entanto, Farm é falso. Foi Frenicle quem lhe enviou o problema de encontrar um triângulo retângulo com lados inteiros cuja área é igual ao quadrado de um inteiro. Ele o enviou, embora soubesse que o problema obviamente não tinha solução.

A posição mais hostil em relação a Fermat foi tomada por Descartes. Em sua carta a Mersenne datada de 1938, lemos: “porque eu descobri que esta é a mesma pessoa que havia tentado refutar minha “Dióptrica”, e como você me informou que ele a enviou depois de ter lido minha “Geometria” e surpreso por não ter encontrado a mesma coisa, ou seja (como tenho motivos para interpretá-la) enviei com o objetivo de entrar em rivalidade e mostrar que ele sabe mais sobre isso do que eu, e como mais de suas cartas, eu soube que ele tinha fama de geômetra muito conhecedor, então me considero obrigado a respondê-lo. Mais tarde, Descartes designará solenemente sua resposta como “o pequeno julgamento da Matemática contra o Sr. Fermat”.

É fácil entender o que enfureceu o eminente cientista. Primeiro, no raciocínio de Fermat, eixos coordenados e a representação de números por segmentos aparecem constantemente - um dispositivo que Descartes desenvolve de forma abrangente em sua recém publicada "Geometria". Fermat chega à ideia de substituir o desenho por cálculos próprios, de certa forma ainda mais consistentes que Descartes. Em segundo lugar, Fermat demonstra brilhantemente a eficácia de seu método de encontrar mínimos no exemplo do problema do caminho mais curto de um feixe de luz, refinando e complementando Descartes com seu "Dióptrico".

Os méritos de Descartes como pensador e inovador são enormes, mas vamos abrir a moderna "Enciclopédia Matemática" e ver a lista de termos associados ao seu nome: "Coordenadas cartesianas" (Leibniz, 1692), "folha cartesiana", "Descartes ovais". Nenhum de seus argumentos ficou na história como o Teorema de Descartes. Descartes é principalmente um ideólogo: ele é o fundador de uma escola filosófica, ele forma conceitos, melhora o sistema de designação de letras, mas há poucas novas técnicas específicas em seu legado criativo. Em contraste, Pierre Fermat escreve pouco, mas em qualquer ocasião ele pode inventar muitos truques matemáticos espirituosos (ver ibid. "Teorema de Fermat", "Princípio de Fermat", "Método de descida infinita de Fermat"). Eles provavelmente se invejavam com razão. A colisão foi inevitável. Com a mediação jesuíta de Mersenne, eclodiu uma guerra que durou dois anos. No entanto, Mersenne acabou por ser um pouco antes da história aqui também: a batalha feroz entre os dois titãs, sua tensa, para dizer o mínimo, polêmica contribuiu para a compreensão dos conceitos-chave da análise matemática.

Fermat é o primeiro a perder o interesse na discussão. Aparentemente, ele falou diretamente com Descartes e nunca mais ofendeu seu oponente. Em uma de suas últimas obras, "Síntese para refração", cujo manuscrito enviou a de la Chaumbra, Fermat menciona "o mais erudito Descartes" através da palavra e de todas as maneiras possíveis enfatiza sua prioridade em matéria de óptica. Entretanto, foi este manuscrito que continha a descrição do famoso "princípio de Fermat", que fornece uma explicação exaustiva das leis de reflexão e refração da luz. As reverências a Descartes em uma obra desse nível eram completamente desnecessárias.

O que aconteceu? Por que Fermat, deixando de lado o orgulho, foi para a reconciliação? Lendo as cartas de Fermat daqueles anos (1638 - 1640), pode-se supor a coisa mais simples: durante esse período, seus interesses científicos mudaram drasticamente. Ele abandona a ciclóide da moda, deixa de se interessar por tangentes e áreas e, por longos 20 anos, esquece seu método de encontrar o máximo. Tendo grandes méritos na matemática do contínuo, Fermat mergulha completamente na matemática do discreto, deixando os odiosos desenhos geométricos para seus oponentes. Os números são sua nova paixão. De fato, toda a "Teoria dos Números", como disciplina matemática independente, deve seu nascimento inteiramente à vida e obra de Fermat.

<…>Após a morte de Fermat, seu filho Samuel publicou em 1670 uma cópia da Aritmética pertencente a seu pai sob o título "Seis livros de aritmética do Diofanto alexandrino com comentários de L. G. Basche e observações de P. de Fermat, senador de Toulouse". O livro também incluía algumas das cartas de Descartes e o texto completo de Uma nova descoberta na arte da análise, de Jacques de Bigly, baseado nas cartas de Fermat. A publicação foi um sucesso incrível. Um mundo brilhante sem precedentes se abriu diante dos especialistas atônitos. O inesperado e, mais importante, a acessibilidade e a natureza democrática dos resultados da teoria dos números de Fermat deram origem a muitas imitações. Naquela época, poucas pessoas entendiam como a área de uma parábola era calculada, mas todos os alunos podiam entender a formulação do Último Teorema de Fermat. Uma verdadeira caçada começou pelas cartas desconhecidas e perdidas do cientista. Até o final do século XVII. Cada palavra sua que foi encontrada foi publicada e republicada. Mas a turbulenta história do desenvolvimento das ideias de Fermat estava apenas começando.

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Ivliev Yu.A.

O artigo é dedicado à descrição de um erro matemático fundamental cometido no processo de demonstração do Último Teorema de Fermat no final do século XX. O erro detectado não apenas distorce o verdadeiro significado do teorema, mas também dificulta o desenvolvimento de uma nova abordagem axiomática para o estudo das potências dos números e das séries naturais dos números.

Em 1995, foi publicado um artigo semelhante em tamanho a um livro e relatava a prova do famoso Grande (Último) Teorema de Fermat (WTF) (para a história do teorema e tentativas de prová-lo, ver, por exemplo, ). Após este evento, surgiram muitos artigos científicos e livros de ciência popular que promoveram essa prova, mas nenhum desses trabalhos revelou um erro matemático fundamental, que se insinuou nem mesmo por culpa do autor, mas por algum estranho otimismo que se apoderou dele. as mentes dos matemáticos que lidaram com este problema e questões relacionadas. Os aspectos psicológicos desse fenômeno foram investigados em. Ele também fornece uma análise detalhada do descuido ocorrido, que não é de natureza particular, mas é resultado de um entendimento incorreto das propriedades das potências dos números inteiros. Como mostrado em , o problema de Fermat está enraizado em uma nova abordagem axiomática para o estudo dessas propriedades, que ainda não foi aplicada na ciência moderna. Mas uma prova errônea se interpôs em seu caminho, dando falsas orientações aos teóricos dos números e afastando os pesquisadores do problema de Fermat de sua solução direta e adequada. Este trabalho é dedicado a remover esse obstáculo.

1. Anatomia de um erro cometido durante a prova do WTF

No processo de raciocínio muito longo e tedioso, a afirmação original de Fermat foi reformulada em termos de uma correspondência entre uma equação diofantina de grau p e curvas elípticas de 3ª ordem (ver Teoremas 0.4 e 0.5 em ). Tal comparação forçou os autores da prova coletiva de fato a anunciar que seu método e raciocínio levam à solução final do problema de Fermat (lembre-se que a WTF não tinha provas reconhecidas para o caso de potências inteiras arbitrárias de inteiros até os anos 90 do século passado). O objetivo desta consideração é estabelecer a incorreção matemática da comparação acima e, como resultado da análise, encontrar um erro fundamental na prova apresentada em .

a) Onde e o que está errado?

Então, vamos ao texto, onde na p.448 se diz que depois da "ideia espirituosa" de G. Frey (G. Frey), abriu-se a possibilidade de provar a WTF. Em 1984, G. Frey sugeriu e

K. Ribet provou mais tarde que a curva elíptica putativa representando a solução hipotética inteira da equação de Fermat,

y 2 = x(x + você p)(x- v p) (1)

não pode ser modular. No entanto, A.Wiles e R.Taylor provaram que qualquer curva elíptica semi-estável definida sobre o campo dos números racionais é modular. Isso levou à conclusão sobre a impossibilidade de soluções inteiras da equação de Fermat e, consequentemente, a validade da afirmação de Fermat, que na notação de A. Wiles foi escrita como Teorema 0.5: haja uma igualdade

você p+ v p+ W p = 0 (2)

Onde você, v, W- números racionais, expoente inteiro p ≥ 3; então (2) é satisfeita somente se uvw = 0 .

Agora, aparentemente, devemos voltar e considerar criticamente por que a curva (1) foi a priori percebida como elíptica e qual é sua real relação com a equação de Fermat. Antecipando-se a esta questão, A. Wiles refere-se ao trabalho de Y. Hellegouarch, no qual encontrou uma forma de associar a equação de Fermat (presumivelmente resolvida em números inteiros) com uma hipotética curva de 3ª ordem. Ao contrário de G. Frey, I. Allegouches não conectou sua curva com formas modulares, mas seu método de obtenção da equação (1) foi usado para avançar ainda mais na prova de A. Wiles.

Vamos dar uma olhada no trabalho. O autor conduz seu raciocínio em termos de geometria projetiva. Simplificando algumas de suas notações e alinhando-as com , descobrimos que a curva Abeliana

Y 2 = X(X - βp)(X + γp) (3)

a equação diofantina é comparada

x p+ y p+ z p = 0 (4)

Onde x, sim, z são inteiros desconhecidos, p é um expoente inteiro de (2), e as soluções da equação diofantina (4) α p , β p , γ p são usadas para escrever a curva abeliana (3).

Agora, para ter certeza de que esta é uma curva elíptica de 3ª ordem, é necessário considerar as variáveis ​​X e Y em (3) no plano euclidiano. Para fazer isso, usamos a conhecida regra da aritmética das curvas elípticas: se há dois pontos racionais em uma curva algébrica cúbica e a linha que passa por esses pontos intercepta essa curva em mais um ponto, então o último também é um ponto racional. ponto. A equação hipotética (4) representa formalmente a lei da adição de pontos em uma linha reta. Se fizermos uma mudança de variáveis x p = A, y p=B, z p = C e direcionar a reta assim obtida ao longo do eixo X em (3), então ela cruzará a curva de 3º grau em três pontos: (X = 0, Y = 0), (X = β p , Y = 0 ), (X = - γ p , Y = 0), que se reflete na notação da curva abeliana (3) e em notação semelhante (1). No entanto, a curva (3) ou (1) é realmente elíptica? Obviamente que não, pois os segmentos da reta euclidiana, ao somar pontos sobre ela, são tomados em escala não linear.

Voltando aos sistemas de coordenadas lineares do espaço euclidiano, em vez de (1) e (3) obtemos fórmulas muito diferentes das fórmulas para curvas elípticas. Por exemplo, (1) pode ter a seguinte forma:

η 2p = ξ p (ξ p + você p)(ξ p - v p) (5)

onde ξ p = x, η p = y, e o recurso a (1) neste caso para a derivação da WTF parece ser ilegal. Apesar de (1) satisfazer alguns critérios da classe das curvas elípticas, não satisfaz o critério mais importante de ser uma equação de 3º grau em um sistema de coordenadas lineares.

b) Classificação de erros

Assim, mais uma vez voltamos ao início da consideração e acompanhamos como é feita a conclusão sobre a veracidade da WTF. Primeiro, assume-se que existe uma solução da equação de Fermat em inteiros positivos. Em segundo lugar, esta solução é arbitrariamente inserida em uma forma algébrica de uma forma conhecida (uma curva plana de 3º grau) sob a suposição de que as curvas elípticas assim obtidas existem (a segunda suposição não verificada). Em terceiro lugar, como é comprovado por outros métodos que a curva de concreto construída é não modular, significa que ela não existe. A conclusão decorre disso: não há solução inteira da equação de Fermat e, portanto, a WTF é verdadeira.

Há um elo fraco nesses argumentos, que, após uma verificação detalhada, revela-se um erro. Este erro é cometido na segunda etapa do processo de prova, quando se assume que a solução hipotética da equação de Fermat é também a solução de uma equação algébrica de terceiro grau que descreve uma curva elíptica de forma conhecida. Por si só, tal suposição seria justificada se a curva indicada fosse de fato elíptica. No entanto, como pode ser visto no item 1a), essa curva é apresentada em coordenadas não lineares, o que a torna “ilusória”, ou seja, não existe realmente em um espaço topológico linear.

Agora precisamos classificar claramente o erro encontrado. Está no fato de que o que precisa ser provado é dado como um argumento da prova. Na lógica clássica, esse erro é conhecido como "círculo vicioso". Nesse caso, a solução inteira da equação de Fermat é comparada (aparentemente, presumivelmente de forma única) com uma curva elíptica fictícia e inexistente, e então todo o pathos do raciocínio adicional serve para provar que uma curva elíptica específica dessa forma, obtida de soluções hipotéticas da equação de Fermat, não existe.

Como aconteceu que um erro tão elementar foi perdido em um trabalho matemático sério? Provavelmente, isso aconteceu devido ao fato de que figuras geométricas “ilusórias” desse tipo não foram estudadas anteriormente em matemática. De fato, quem poderia estar interessado, por exemplo, em um círculo fictício obtido da equação de Fermat alterando as variáveis ​​x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C? Afinal, sua equação C 2 = A 2 + B 2 não tem soluções inteiras para os inteiros x, y, z e n ≥ 3 . Nos eixos coordenados não lineares X e Y, tal círculo seria descrito por uma equação que se parece muito com a forma padrão:

Y 2 \u003d - (X - A) (X + B),

onde A e B não são mais variáveis, mas números concretos determinados pela substituição acima. Mas se os números A e B recebem sua forma original, que consiste em seu caráter de potência, a heterogeneidade da notação nos fatores do lado direito da equação imediatamente chama a atenção. Este signo ajuda a distinguir a ilusão da realidade e a passar de coordenadas não lineares para lineares. Por outro lado, se considerarmos os números como operadores ao compará-los com variáveis, como por exemplo em (1), então ambos devem ser quantidades homogêneas, ou seja, deve ter o mesmo grau.

Tal compreensão das potências dos números como operadores também permite ver que a comparação da equação de Fermat com uma curva elíptica ilusória não é inequívoca. Tome, por exemplo, um dos fatores do lado direito de (5) e expanda-o em p fatores lineares introduzindo um número complexo r tal que r p = 1 (veja por exemplo ):

ξ p + você p = (ξ + você)(ξ + r você)(ξ + r 2 você)...(ξ + r p-1 você) (6)

Então a forma (5) pode ser representada como uma decomposição em fatores primos de números complexos de acordo com o tipo de identidade algébrica (6), no entanto, a unicidade de tal decomposição no caso geral é questionável, o que já foi demonstrado por Kummer .

2. Conclusões

Decorre da análise anterior que a chamada aritmética das curvas elípticas não é capaz de esclarecer onde procurar a prova da WTF. Após o trabalho, a fala de Fermat, aliás, tomada como epígrafe deste artigo, passou a ser percebida como uma brincadeira histórica ou uma brincadeira. No entanto, na realidade, não era Fermat que estava brincando, mas os especialistas que se reuniram no simpósio de matemática em Oberwolfach, na Alemanha, em 1984, no qual G. Frey expressou sua ideia espirituosa. As consequências de uma declaração tão descuidada levaram a matemática como um todo à beira de perder a confiança do público, o que é descrito em detalhes e que necessariamente levanta a questão da responsabilidade das instituições científicas para com a sociedade perante a ciência. O mapeamento da equação de Fermat para a curva de Frey (1) é a "fechadura" de toda a prova de Wiles em relação ao teorema de Fermat, e se não houver correspondência entre a curva de Fermat e as curvas elípticas modulares, também não há prova.

Ultimamente tem havido vários relatos na Internet de que alguns matemáticos proeminentes finalmente descobriram a prova de Wiles do teorema de Fermat, dando-lhe uma desculpa na forma de um recálculo "mínimo" de pontos inteiros no espaço euclidiano. No entanto, nenhuma inovação pode anular os resultados clássicos já obtidos pela humanidade na matemática, em particular, o fato de que, embora qualquer número ordinal coincida com sua contraparte quantitativa, não pode substituí-lo nas operações de comparação de números entre si e, portanto, com inevitavelmente segue a conclusão de que a curva de Frey (1) não é elíptica inicialmente, ou seja, não é por definição.

BIBLIOGRAFIA:

1. Ivliev Yu.A. Reconstrução da prova nativa do Último Teorema de Fermat - United Scientific Journal (seção "Matemática"). Abril de 2006 No. 7 (167) p.3-9, ver também Pratsi da filial de Luhansk da Academia Internacional de Informatização. Ministério da Educação e Ciência da Ucrânia. Universidade Nacional Shidnoukrainian em homenagem. V. Dahl. 2006 No. 2 (13) pp.19-25.
2. Ivliev Yu.A. A maior fraude científica do século 20: a "prova" do Último Teorema de Fermat - Ciências naturais e técnicas (seção "História e metodologia da matemática"). Agosto de 2007 No. 4 (30) pp. 34-48.
3. O último teorema de Edwards G. (Edwards H.M.) Fermat. Introdução genética à teoria algébrica dos números. Por. do inglês. ed. B. F. Skubenko. M.: Mir 1980, 484 p.
4. Hellegouarch Y. Points d'ordre 2p h sur les courbes eliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI p.253-263.
5. Wiles A. Curvas elípticas modulares e Último Teorema de Fermat - Annals of Mathematics. Maio 1995 v.141 Segunda série nº 3 p.443-551.

Link bibliográfico

Ivliev Yu.A. A PROVA ERRADA DE WILES DO GRANDE TEOREMA DE FERMAT // Pesquisa Fundamental. - 2008. - Nº 3. - P. 13-16;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (data de acesso: 25/09/2019). Chamamos a sua atenção os periódicos publicados pela editora "Academia de História Natural"

Pierre de Fermat, lendo a "Aritmética" de Diofanto de Alexandria e refletindo sobre seus problemas, tinha o hábito de anotar os resultados de suas reflexões na forma de breves comentários nas margens do livro. Contra o oitavo problema de Diofanto nas margens do livro, Fermat escreveu: " Pelo contrário, é impossível decompor nem um cubo em dois cubos, nem um bi-quadrado em dois bi-quadrados e, em geral, nenhuma potência maior que um quadrado em duas potências com o mesmo expoente. Descobri uma prova verdadeiramente maravilhosa disso, mas essas margens são muito estreitas para isso.» / E.T.Bell "Criadores da Matemática". M., 1979, p.69/. Trago à sua atenção uma prova elementar do teorema da fazenda, que pode ser compreendida por qualquer estudante do ensino médio que goste de matemática.

Comparemos o comentário de Fermat sobre o problema diofantino com a formulação moderna do grande teorema de Fermat, que tem a forma de uma equação.
« A equação

x n + y n = z n(onde n é um número inteiro maior que dois)

não tem soluções em inteiros positivos»

O comentário está em uma conexão lógica com a tarefa, semelhante à conexão lógica do predicado com o sujeito. O que é afirmado pelo problema de Diofanto, ao contrário, é afirmado pelo comentário de Fermat.

O comentário de Fermat pode ser interpretado da seguinte forma: se uma equação quadrática com três incógnitas tem um número infinito de soluções no conjunto de todas as triplas de números pitagóricos, então, ao contrário, uma equação com três incógnitas em um grau maior que o quadrado

Não há sequer um indício de sua conexão com o problema diofantino na equação. Sua afirmação requer prova, mas não tem uma condição da qual se segue que não tem soluções em inteiros positivos.

As variantes da prova da equação que conheço são reduzidas ao seguinte algoritmo.

1. A equação do teorema de Fermat é tomada como sua conclusão, cuja validade é verificada com a ajuda da prova.
2. A mesma equação é chamada original a equação da qual sua prova deve proceder.

O resultado é uma tautologia: Se uma equação não tem soluções em inteiros positivos, então ela não tem soluções em inteiros positivos.". A prova da tautologia é obviamente errada e desprovida de qualquer significado. Mas é provado por contradição.

• Uma suposição é feita que é o oposto do declarado pela equação a ser provada. Não deveria contradizer a equação original, mas contradiz. Provar o que é aceito sem prova, e aceitar sem prova o que se exige que seja provado, não faz sentido.
• Com base na suposição aceita, operações e ações matemáticas absolutamente corretas são executadas para provar que ela contradiz a equação original e é falsa.

Portanto, há 370 anos, a prova da equação do Último Teorema de Fermat continua sendo um sonho impossível de especialistas e amantes da matemática.

Tomei a equação como conclusão do teorema e o oitavo problema de Diofanto e sua equação como condição do teorema.

"Se a equação x 2 + y 2 = z 2 (1) tem um conjunto infinito de soluções no conjunto de todos os triplos de números pitagóricos, então, inversamente, a equação x n + y n = z n , Onde n > 2 (2) não tem soluções no conjunto dos inteiros positivos."

Prova.

MAS) Todo mundo sabe que a equação (1) tem um número infinito de soluções no conjunto de todas as triplas de números pitagóricos. Vamos provar que nenhum triplo de números pitagóricos, que é uma solução para a Eq. (1), é uma solução para a Eq. (2).

Com base na lei da reversibilidade da igualdade, os lados da equação (1) são trocados. Números pitagóricos (z, x, y) pode ser interpretado como os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, e os quadrados (x2, y2, z2) pode ser interpretado como as áreas dos quadrados construídos sobre sua hipotenusa e catetos.

Multiplicamos os quadrados da equação (1) por uma altura arbitrária h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

A equação (3) pode ser interpretada como a igualdade do volume de um paralelepípedo à soma dos volumes de dois paralelepípedos.

Seja a altura de três paralelepípedos h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

O volume do cubo é decomposto em dois volumes de dois paralelepípedos. Deixamos o volume do cubo inalterado e reduzimos a altura do primeiro paralelepípedo para x e a altura do segundo paralelepípedo será reduzida para y . O volume de um cubo é maior que a soma dos volumes de dois cubos:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

No conjunto de triplos de números pitagóricos ( x, y, z ) no n=3 não pode haver solução para a equação (2). Consequentemente, no conjunto de todas as triplas de números pitagóricos, é impossível decompor um cubo em dois cubos.

Seja na equação (3) a altura de três paralelepípedos h = z2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

O volume de um paralelepípedo é decomposto na soma dos volumes de dois paralelepípedos.
Deixamos o lado esquerdo da equação (6) inalterado. Do seu lado direito a altura z2 Reduzir para X no primeiro mandato e até às 2 no segundo mandato.

A equação (6) se transformou na desigualdade:

O volume de um paralelepípedo é decomposto em dois volumes de dois paralelepípedos.

Deixamos o lado esquerdo da equação (8) inalterado.
No lado direito da altura zn-2 Reduzir para xn-2 no primeiro mandato e reduz-se a s n-2 no segundo mandato. A equação (8) se transforma na desigualdade:

z n > x n + y n

(9)

No conjunto de triplos de números pitagóricos, não pode haver uma única solução da equação (2).

Consequentemente, no conjunto de todos os triplos de números pitagóricos para todos n > 2 a equação (2) não tem soluções.

Obteve "prova pós-milagrosa", mas apenas para trigêmeos Números pitagóricos. Isto é falta de evidências e o motivo da recusa de P. Fermat dele.

b) Vamos provar que a equação (2) não tem soluções no conjunto das triplas de números não pitagóricos, que é a família de uma tripla tomada arbitrariamente de números pitagóricos z=13, x=12, y=5 e a família de um triplo arbitrário de inteiros positivos z=21, x=19, y=16

Ambos os trigêmeos de números são membros de suas famílias:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

O número de membros da família (10) e (11) é igual à metade do produto de 13 por 12 e 21 por 20, ou seja, 78 e 210.

Cada membro da família (10) contém z = 13 e variáveis X e no 13 > x > 0 , 13 > e > 0 1

Cada membro da família (11) contém z = 21 e variáveis X e no , que aceita valores inteiros 21 > x > 0 , 21 > e > 0 . As variáveis ​​diminuem sequencialmente por 1 .

As triplas de números da sequência (10) e (11) podem ser representadas como uma sequência de desigualdades de terceiro grau:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

e na forma de desigualdades de quarto grau:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

A correção de cada desigualdade é verificada elevando os números à terceira e quarta potências.

O cubo de um número maior não pode ser decomposto em dois cubos de números menores. É menor ou maior que a soma dos cubos dos dois números menores.

O bisquadrado de um número maior não pode ser decomposto em dois bisquadrados de números menores. É menor ou maior do que a soma dos dois quadrados de números menores.

À medida que o expoente aumenta, todas as desigualdades, exceto a desigualdade mais à esquerda, têm o mesmo significado:

Desigualdades, todas elas têm o mesmo significado: o grau do número maior é maior que a soma dos graus dos dois números menores com o mesmo expoente:

	13n > 12n + 12n; 13n > 12n + 11n ;…; 13n > 7n + 4n ;…; 13n > 1n + 1n	(12)
	21n > 20n + 20n; 21n > 20n + 19n ;…; ;…; 21n > 1n + 1n	(13)

O termo mais à esquerda das sequências (12) (13) é a desigualdade mais fraca. Sua correção determina a correção de todas as desigualdades subsequentes da sequência (12) para n > 8 e sequência (13) para n > 14 .

Não pode haver igualdade entre eles. Um triplo arbitrário de inteiros positivos (21,19,16) não é uma solução para a Equação (2) do Último Teorema de Fermat. Se um triplo arbitrário de inteiros positivos não é uma solução para a equação, então a equação não tem soluções no conjunto de inteiros positivos, que deveria ser provado.

A PARTIR DE) O comentário de Fermat sobre o problema de Diofanto afirma que é impossível decompor " em geral, nenhuma potência maior que o quadrado, duas potências com o mesmo expoente».

Beijos uma potência maior que um quadrado não pode realmente ser decomposta em duas potências com o mesmo expoente. eu não beijo uma potência maior que o quadrado pode ser decomposta em duas potências com o mesmo expoente.

Qualquer triplo de inteiros positivos escolhido aleatoriamente (z, x, y) pode pertencer a uma família, cada membro da qual consiste em um número constante z e dois números menores que z . Cada membro da família pode ser representado na forma de uma desigualdade, e todas as desigualdades resultantes podem ser representadas como uma sequência de desigualdades:

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1n + 1n

(14)

A sequência de desigualdades (14) começa com as desigualdades cujo lado esquerdo é menor que o lado direito e termina com as desigualdades cujo lado direito é menor que o lado esquerdo. Com expoente crescente n > 2 o número de desigualdades no lado direito da sequência (14) aumenta. Com um expoente n=k todas as desigualdades do lado esquerdo da sequência mudam de significado e assumem o significado das desigualdades do lado direito das desigualdades da sequência (14). Como resultado do aumento do expoente de todas as desigualdades, o lado esquerdo é maior que o lado direito:

z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; zk > 2k + 1k; zk > 1k + 1k

(15)

Com um aumento adicional do expoente n>k nenhuma das desigualdades muda de sentido e não se transforma em igualdade. Com base nisso, pode-se argumentar que qualquer triplo de inteiros positivos tomado arbitrariamente (z, x, y) no n > 2 , z > x , z > y

Em um triplo arbitrário de inteiros positivos z pode ser um número natural arbitrariamente grande. Para todos os números naturais não maiores que z , o Último Teorema de Fermat está provado.

D) Não importa o tamanho do número z , na série natural de números antes dele há um conjunto grande, mas finito de inteiros, e depois dele há um conjunto infinito de inteiros.

Vamos provar que todo o conjunto infinito dos números naturais maiores que z , formam triplos de números que não são soluções para a equação do Último Teorema de Fermat, por exemplo, um triplo arbitrário de inteiros positivos (z+1,x,y) , em que z + 1 > x e z + 1 > y para todos os valores do expoente n > 2 não é uma solução para a equação do Último Teorema de Fermat.

Um triplo escolhido aleatoriamente de inteiros positivos (z + 1, x, y) pode pertencer a uma família de triplos de números, cada membro dos quais consiste em um número constante z + 1 e dois números X e no , tomando valores diferentes, menores z + 1 . Os membros da família podem ser representados como desigualdades cujo lado esquerdo constante é menor ou maior que o lado direito. As desigualdades podem ser organizadas em ordem como uma sequência de desigualdades:

Com um aumento adicional do expoente n>k ao infinito, nenhuma das desigualdades na sequência (17) muda seu significado e não se torna uma igualdade. Na sequência (16), a desigualdade formada a partir de um triplo de inteiros positivos tomado arbitrariamente (z + 1, x, y) , pode estar em seu lado direito na forma (z + 1) n > x n + y n ou estar no seu lado esquerdo na forma (z+1)n< x n + y n .

Em qualquer caso, o triplo de inteiros positivos (z + 1, x, y) no n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y na sequência (16) é uma desigualdade e não pode ser uma igualdade, ou seja, não pode ser uma solução para a equação do Último Teorema de Fermat.

É fácil e simples entender a origem da sequência de desigualdades de poder (16), em que a última desigualdade do lado esquerdo e a primeira desigualdade do lado direito são desigualdades de sentido oposto. Ao contrário, não é fácil e difícil para os escolares, secundaristas e secundaristas entender como uma sequência de desigualdades (17) é formada a partir de uma sequência de desigualdades (16), na qual todas as desigualdades têm o mesmo significado.

Na sequência (16), aumentar o grau inteiro das desigualdades em 1 transforma a última desigualdade do lado esquerdo na primeira desigualdade de significado oposto do lado direito. Assim, o número de desigualdades do nono lado da sequência diminui, enquanto o número de desigualdades do lado direito aumenta. Entre a última e a primeira desigualdade de poder de sentido oposto, há uma igualdade de poder sem falta. Seu grau não pode ser um número inteiro, pois existem apenas números não inteiros entre dois números naturais consecutivos. A igualdade de poder de grau não inteiro, conforme a condição do teorema, não pode ser considerada uma solução para a equação (1).

Se na sequência (16) continuarmos a aumentar o grau em 1 unidade, então a última desigualdade de seu lado esquerdo se transformará na primeira desigualdade de significado oposto do lado direito. Como resultado, não haverá desigualdades no lado esquerdo e apenas desigualdades no lado direito, que serão uma sequência de desigualdades de poder crescentes (17). Um aumento adicional em seu grau inteiro em 1 unidade apenas reforça suas desigualdades de poder e exclui categoricamente a possibilidade do aparecimento de igualdade em um grau inteiro.

Portanto, em geral, nenhuma potência inteira de um número natural (z+1) da sequência de desigualdades de potência (17) pode ser decomposta em duas potências inteiras com o mesmo expoente. Portanto, a equação (1) não tem soluções em um conjunto infinito de números naturais, o que deveria ser provado.

Portanto, o Último Teorema de Fermat é provado em toda a generalidade:

• na seção A) para todos os trigêmeos (z, x, y) Números pitagóricos (a descoberta de Fermat é uma prova verdadeiramente milagrosa),
• na seção C) para todos os membros da família de qualquer triplo (z, x, y) números pitagóricos,
• na seção C) para todos os tercetos de números (z, x, y) , não números grandes z
• na seção D) para todos os triplos de números (z, x, y) série natural de números.

As alterações foram feitas em 05.09.2010

Quais teoremas podem e quais não podem ser provados por contradição

O Dicionário Explicativo de Termos Matemáticos define a prova por contradição de um teorema oposto ao teorema inverso.

“A prova por contradição é um método de provar um teorema (frase), que consiste em provar não o teorema em si, mas seu teorema equivalente (equivalente), oposto inverso (reverso ao oposto). A prova por contradição é usada sempre que o teorema direto é difícil de provar, mas o inverso oposto é mais fácil. Ao provar por contradição, a conclusão do teorema é substituída por sua negação e, por raciocínio, chega-se à negação da condição, ou seja, a uma contradição, ao contrário (o oposto do que é dado; esta redução ao absurdo prova o teorema.

A prova por contradição é muito usada em matemática. A prova por contradição baseia-se na lei do terceiro excluído, que consiste no fato de que das duas afirmações (afirmações) A ​​e A (negação de A), uma delas é verdadeira e a outra é falsa./ Dicionário explicativo de termos matemáticos: Um guia para professores / O. V. Manturov [e outros]; ed. V. A. Ditkina.- M.: Iluminismo, 1965.- 539 p.: il.-C.112/.

Não seria melhor declarar abertamente que o método de prova por contradição não é um método matemático, embora seja usado em matemática, que é um método lógico e pertence à lógica. É válido dizer que a prova por contradição é "usada sempre que um teorema direto é difícil de provar", quando na verdade é usado se, e somente se, não há substituto para ele.

A característica da relação entre os teoremas direto e inverso também merece atenção especial. “Um teorema inverso para um determinado teorema (ou para um determinado teorema) é um teorema em que a condição é a conclusão, e a conclusão é a condição do teorema dado. Este teorema em relação ao teorema inverso é chamado de teorema direto (inicial). Ao mesmo tempo, o teorema inverso do teorema inverso será o teorema dado; portanto, os teoremas direto e inverso são chamados mutuamente inversos. Se o teorema direto (dado) é verdadeiro, então o teorema inverso nem sempre é verdadeiro. Por exemplo, se um quadrilátero é um losango, então suas diagonais são mutuamente perpendiculares (teorema direto). Se as diagonais em um quadrilátero são mutuamente perpendiculares, então o quadrilátero é um losango - isso não é verdade, ou seja, o teorema inverso não é verdadeiro./ Dicionário explicativo de termos matemáticos: Um guia para professores / O. V. Manturov [e outros]; ed. V. A. Ditkina.- M.: Iluminismo, 1965.- 539 p.: il.-C.261 /.

Esta caracterização da relação entre teoremas diretos e inversos não leva em consideração o fato de que a condição do teorema direto é tida como dada, sem prova, de modo que sua correção não é garantida. A condição do teorema inverso não é tomada como dada, pois é a conclusão do teorema direto provado. Sua correção é confirmada pela prova do teorema direto. Essa diferença lógica essencial entre as condições dos teoremas direto e inverso acaba sendo decisiva na questão de quais teoremas podem e quais não podem ser demonstrados pelo método lógico pelo contrário.

Vamos supor que haja um teorema direto em mente, que pode ser provado pelo método matemático usual, mas é difícil. Nós o formulamos de uma forma geral em uma forma curta da seguinte forma: a partir de MAS deve E . Símbolo MAS tem o valor da condição dada do teorema, aceito sem prova. Símbolo E é a conclusão do teorema a ser provado.

Vamos provar o teorema direto por contradição, lógico método. O método lógico prova um teorema que tem não matemático condição, e lógico doença. Pode ser obtido se a condição matemática do teorema a partir de MAS deve E , complete com a condição oposta a partir de MAS isso não segue E .

Como resultado, obteve-se uma condição lógica contraditória do novo teorema, que inclui duas partes: a partir de MAS deve E e a partir de MAS isso não segue E . A condição resultante do novo teorema corresponde à lei lógica do terceiro excluído e corresponde à prova do teorema por contradição.

De acordo com a lei, uma parte da condição contraditória é falsa, outra parte é verdadeira e a terceira é excluída. A prova por contradição tem sua própria tarefa e objetivo de estabelecer exatamente qual parte das duas partes da condição do teorema é falsa. Assim que a parte falsa da condição for determinada, será estabelecido que a outra parte é a parte verdadeira, e a terceira é excluída.

De acordo com o dicionário explicativo de termos matemáticos, “prova é raciocínio, durante o qual se estabelece a verdade ou falsidade de qualquer afirmação (julgamento, afirmação, teorema)”. Prova contrário há uma discussão no decurso da qual se estabelece falsidade(absurdo) da conclusão que se segue de falso condições do teorema que está sendo provado.

Dado: a partir de MAS deve E e de MAS isso não segue E .

Provar: a partir de MAS deve E .

Prova: A condição lógica do teorema contém uma contradição que requer sua resolução. A contradição da condição deve encontrar sua resolução na prova e seu resultado. O resultado acaba sendo falso se o raciocínio for impecável e infalível. A razão para uma conclusão falsa com raciocínio logicamente correto só pode ser uma condição contraditória: a partir de MAS deve E e a partir de MAS isso não segue E .

Não há sombra de dúvida de que uma parte da condição é falsa e a outra neste caso é verdadeira. Ambas as partes da condição têm a mesma origem, são aceitas como dadas, assumidas, igualmente possíveis, igualmente admissíveis, etc. outro. Portanto, na mesma medida, a partir de MAS deve E e talvez a partir de MAS isso não segue E . Declaração a partir de MAS deve E talvez falso, então a afirmação a partir de MAS isso não segue E será verdade. Declaração a partir de MAS isso não segue E pode ser falsa, então a afirmação a partir de MAS deve E será verdade.

Portanto, é impossível provar o teorema direto pelo método da contradição.

Agora vamos provar o mesmo teorema direto pelo método matemático usual.

Dado: MAS .

Provar: a partir de MAS deve E .

Prova.

1. A partir de MAS deve B

2. A partir de B deve NO (de acordo com o teorema previamente provado)).

3. A partir de NO deve G (de acordo com o teorema previamente provado).

4. A partir de G deve D (de acordo com o teorema previamente provado).

5. A partir de D deve E (de acordo com o teorema previamente provado).

Com base na lei da transitividade, a partir de MAS deve E . O teorema direto é provado pelo método usual.

Deixe o teorema direto provado ter um teorema inverso correto: a partir de E deve MAS .

Vamos provar isso por ordinário matemático método. A prova do teorema inverso pode ser expressa de forma simbólica como um algoritmo de operações matemáticas.

Dado: E

Provar: a partir de E deve MAS .

Prova.

1. A partir de E deve D

2. A partir de D deve G (pelo teorema inverso previamente provado).

3. A partir de G deve NO (pelo teorema inverso previamente provado).

4. A partir de NO isso não segue B (O inverso não é verdadeiro). É por isso a partir de B isso não segue MAS .

Nesta situação, não faz sentido continuar a prova matemática do teorema inverso. A razão para a situação é lógica. É impossível substituir um teorema inverso incorreto por qualquer coisa. Portanto, este teorema inverso não pode ser provado pelo método matemático usual. Toda a esperança é provar este teorema inverso por contradição.

Para provar por contradição, é necessário substituir sua condição matemática por uma condição lógica contraditória, que em seu significado contém duas partes - falsa e verdadeira.

Teorema inverso reivindicações: a partir de E isso não segue MAS . Sua condição E , de onde segue a conclusão MAS , é o resultado de provar o teorema direto pelo método matemático usual. Esta condição deve ser mantida e complementada com a declaração a partir de E deve MAS . Como resultado da adição, uma condição contraditória do novo teorema inverso é obtida: a partir de E deve MAS e a partir de E isso não segue MAS . Com base nisso logicamente condição contraditória, o teorema inverso pode ser provado pelo correto lógico raciocínio apenas, e apenas, lógico método oposto. Em uma prova por contradição, quaisquer ações e operações matemáticas são subordinadas às lógicas e, portanto, não contam.

Na primeira parte da declaração contraditória a partir de E deve MAS doença E foi provado pela prova do teorema direto. Na segunda parte a partir de E isso não segue MAS doença E foi assumida e aceita sem prova. Uma delas é falsa e a outra é verdadeira. É necessário provar qual deles é falso.

Provamos com o correto lógico raciocínio e descobrir que seu resultado é uma conclusão falsa e absurda. A razão para uma conclusão lógica falsa é a condição lógica contraditória do teorema, que contém duas partes - falsa e verdadeira. A parte falsa só pode ser uma afirmação a partir de E isso não segue MAS , em que E aceito sem comprovação. Isso é o que o distingue de E declarações a partir de E deve MAS , o que é provado pela prova do teorema direto.

Portanto, a afirmação é verdadeira: a partir de E deve MAS , que deveria ser provado.

Conclusão: somente aquele teorema inverso é provado pelo método lógico pelo contrário, que tem um teorema direto provado pelo método matemático e que não pode ser provado pelo método matemático.

A conclusão obtida adquire uma importância excepcional em relação ao método de prova por contradição do grande teorema de Fermat. A esmagadora maioria das tentativas de provar isso não se baseia no método matemático usual, mas no método lógico de provar por contradição. A prova do Grande Teorema de Fermat Wiles não é exceção.

Dmitry Abrarov em seu artigo "Teorema de Fermat: o Fenômeno das Provas de Wiles" publicou um comentário sobre a prova do Último Teorema de Fermat por Wiles. De acordo com Abrarov, Wiles prova o Último Teorema de Fermat com a ajuda de uma descoberta notável do matemático alemão Gerhard Frey (n. 1944) relacionando uma solução potencial para a equação de Fermat x n + y n = z n , Onde n > 2 , com outra equação completamente diferente. Esta nova equação é dada por uma curva especial (chamada curva elíptica de Frey). A curva de Frey é dada por uma equação muito simples:
.

“Foi precisamente Frey quem comparou todas as soluções (a, b, c) A equação de Fermat, isto é, números que satisfazem a relação a n + b n = c n a curva acima. Neste caso, o Último Teorema de Fermat seguiria."(Citação de: Abrarov D. "Teorema de Fermat: o fenômeno da prova de Wiles")

Em outras palavras, Gerhard Frey sugeriu que a equação do Último Teorema de Fermat x n + y n = z n , Onde n > 2 , tem soluções em inteiros positivos. As mesmas soluções são, pela suposição de Frey, as soluções de sua equação
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , que é dado por sua curva elíptica.

Andrew Wiles aceitou esta notável descoberta de Frey e, com sua ajuda, através matemático O método provou que esse achado, ou seja, a curva elíptica de Frey, não existe. Portanto, não há equação e suas soluções que são dadas por uma curva elíptica inexistente, portanto Wiles deveria ter concluído que não há equação do Último Teorema de Fermat e do Teorema de Fermat propriamente dito. No entanto, ele tira a conclusão mais modesta de que a equação do Último Teorema de Fermat não tem soluções em inteiros positivos.

Pode ser um fato inegável que Wiles aceitou uma suposição que é diretamente oposta em significado ao que é afirmado pelo Último Teorema de Fermat. Obriga Wiles a provar o Último Teorema de Fermat por contradição. Vamos seguir o exemplo dele e ver o que acontece a partir deste exemplo.

O Último Teorema de Fermat afirma que a equação x n + y n = z n , Onde n > 2 , não tem soluções em inteiros positivos.

De acordo com o método lógico de prova por contradição, esta afirmação é preservada, aceita como dada sem prova, e então complementada com uma afirmação de significado oposto: a equação x n + y n = z n , Onde n > 2 , tem soluções em inteiros positivos.

A afirmação hipotética também é aceita como dada, sem prova. Ambas as afirmações, consideradas do ponto de vista das leis básicas da lógica, são igualmente admissíveis, iguais em direitos e igualmente possíveis. Pelo raciocínio correto, é necessário estabelecer qual delas é falsa, para então estabelecer que a outra afirmação é verdadeira.

O raciocínio correto termina com uma conclusão falsa e absurda, cuja causa lógica só pode ser uma condição contraditória da prova do teorema, que contém duas partes de um significado diretamente oposto. Eles foram a causa lógica da conclusão absurda, o resultado da prova por contradição.

No entanto, no curso do raciocínio logicamente correto, não foi encontrado um único sinal pelo qual fosse possível estabelecer qual afirmação particular é falsa. Pode ser uma afirmação: a equação x n + y n = z n , Onde n > 2 , tem soluções em inteiros positivos. Na mesma base, pode ser a afirmação: a equação x n + y n = z n , Onde n > 2 , não tem soluções em inteiros positivos.

Como resultado do raciocínio, só pode haver uma conclusão: O Último Teorema de Fermat não pode ser provado por contradição.

Seria uma questão muito diferente se o Último Teorema de Fermat fosse um teorema inverso que tem um teorema direto provado pelo método matemático usual. Neste caso, pode ser provado por contradição. E como é um teorema direto, sua prova deve ser baseada não no método lógico de prova por contradição, mas no método matemático usual.

De acordo com D. Abrarov, o acadêmico V. I. Arnold, o mais famoso matemático russo contemporâneo, reagiu à prova de Wiles "ativamente cético". O acadêmico afirmou: “isso não é matemática real – a matemática real é geométrica e tem fortes ligações com a física”.

Por contradição, é impossível provar que a equação do Último Teorema de Fermat não tem soluções, ou que tem soluções. O erro de Wiles não é matemático, mas lógico - o uso da prova por contradição onde seu uso não faz sentido e não prova o Último Teorema de Fermat.

O Último Teorema de Fermat não é provado com a ajuda do método matemático usual, se for dado: a equação x n + y n = z n , Onde n > 2 , não tem soluções em inteiros positivos, e se for necessário provar nele: a equação x n + y n = z n , Onde n > 2 , não tem soluções em inteiros positivos. Nesta forma, não há um teorema, mas uma tautologia desprovida de sentido.

Observação. Minha prova de BTF foi discutida em um dos fóruns. Um dos participantes de Trotil, especialista em teoria dos números, fez a seguinte declaração oficial intitulada: "Um breve relato do que Mirgorodsky fez". Cito-o textualmente:

« MAS. Ele provou que se z 2 \u003d x 2 + y , então z n > x n + y n . Este é um fato bem conhecido e bastante óbvio.

NO. Ele pegou dois triplos - pitagóricos e não pitagóricos e mostrou por enumeração simples que para uma família específica de triplos (78 e 210 peças) o BTF é realizado (e apenas para ele).

A PARTIR DE. E então o autor omitiu o fato de que desde < em um grau subseqüente pode ser = , não somente > . Um contra-exemplo simples é a transição n=1 dentro n=2 em um triplo pitagórico.

D. Este ponto não contribui em nada essencial para a prova BTF. Conclusão: BTF não foi comprovado.”

Vou considerar sua conclusão ponto por ponto.

MAS. Nele, o BTF é provado para todo o conjunto infinito de triplos de números pitagóricos. Comprovado por um método geométrico, que, creio eu, não foi descoberto por mim, mas redescoberto. E foi aberto, creio eu, pelo próprio P. Fermat. Fermat pode ter tido isso em mente quando escreveu:

"Descobri uma prova verdadeiramente maravilhosa disso, mas essas margens são muito estreitas para isso." Esta minha suposição baseia-se no fato de que no problema diofantina, contra o qual, nas margens do livro, Fermat escreveu, estamos falando de soluções para a equação diofantina, que são triplos de números pitagóricos.

Um conjunto infinito de triplos de números pitagóricos são soluções para a equação de Diofato, e no teorema de Fermat, pelo contrário, nenhuma das soluções pode ser uma solução para a equação do teorema de Fermat. E a prova verdadeiramente milagrosa de Fermat tem uma relação direta com esse fato. Mais tarde, Fermat pôde estender seu teorema ao conjunto de todos os números naturais. No conjunto de todos os números naturais, BTF não pertence ao "conjunto de teoremas excepcionalmente belos". Esta é a minha suposição, que não pode ser provada nem refutada. Pode ser aceito e rejeitado.

NO. Neste parágrafo, eu provo que tanto a família de um triplo pitagórico de números arbitrariamente tomado quanto a família de um triplo pitagórico de números não pitagórico arbitrariamente tomado estão satisfeitas. Este é um elo necessário, mas insuficiente e intermediário na minha prova do BTF. Os exemplos que tomei da família de um triplo de números pitagóricos e da família de um triplo de números não pitagóricos têm o significado de exemplos específicos que pressupõem e não excluem a existência de outros exemplos semelhantes.

A afirmação de Trotil que eu “mostrei por simples enumeração que para uma determinada família de triplos (78 e 210 peças) BTF é cumprida (e somente para ela) não tem fundamento. Ele não pode refutar o fato de que eu poderia tomar outros exemplos de trios pitagóricos e não pitagóricos para obter uma família específica de um e outro triplo.

Qualquer que seja o par de triplos que eu tome, a verificação de sua adequação para resolver o problema pode ser realizada, na minha opinião, apenas pelo método de "enumeração simples". Qualquer outro método não é conhecido por mim e não é necessário. Se ele não gostou do Trotil, deveria ter sugerido outro método, o que ele não faz. Sem oferecer nada em troca, é incorreto condenar a “simples enumeração”, que neste caso é insubstituível.

A PARTIR DE. eu omiti = entre< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 \u003d x 2 + y (1), em que o grau n > 2 — todo número positivo. Da igualdade entre as desigualdades segue obrigatório consideração da equação (1) com um valor não inteiro do grau n > 2 . Contagem de trotil obrigatório consideração da igualdade entre desigualdades, na verdade considera necessário na prova BTF, consideração da equação (1) com não inteiro valor do grau n > 2 . Eu fiz isso por mim mesmo e encontrei a equação (1) com não inteiro valor do grau n > 2 tem uma solução de três números: z, (z-1), (z-1) com um expoente não inteiro.