Continuamos a considerar as tarefas incluídas no exame de matemática. Já estudamos problemas onde a condição é dada e é necessário encontrar a distância entre dois pontos dados ou o ângulo.
Uma pirâmide é um poliedro cuja base é um polígono, as outras faces são triângulos e têm um vértice comum.
Uma pirâmide regular é uma pirâmide na base da qual se encontra um polígono regular e seu topo é projetado no centro da base.
Uma pirâmide quadrangular regular - a base é um quadrado. O topo da pirâmide é projetado no ponto de intersecção das diagonais da base (quadrado).
ML - apótema
∠MLO - ângulo diedro na base da pirâmide
∠MCO - o ângulo entre a borda lateral e o plano da base da pirâmide
Neste artigo, consideraremos as tarefas para resolver a pirâmide correta. É necessário encontrar qualquer elemento, área de superfície lateral, volume, altura. Claro, você precisa conhecer o teorema de Pitágoras, a fórmula para a área da superfície lateral da pirâmide, a fórmula para encontrar o volume da pirâmide.
No artigo « » são apresentadas fórmulas que são necessárias para resolver problemas em estereometria. Então as tarefas são:
SABC ponto O- centro básicoS vértice, ASSIM = 51, CA= 136. Encontre a borda lateralSC.
Neste caso, a base é um quadrado. Isso significa que as diagonais AC e BD são iguais, elas se cruzam e bissectam no ponto de interseção. Observe que em uma pirâmide regular, a altura baixada de seu topo passa pelo centro da base da pirâmide. Então SO é a altura e o triânguloSOCretangular. Então pelo teorema de Pitágoras:
Como tirar a raiz de um número grande.
Resposta: 85
Decida por si mesmo:
Em uma pirâmide quadrangular regular SABC ponto O- centro básico S vértice, ASSIM = 4, CA= 6. Encontre uma aresta lateral SC.
Em uma pirâmide quadrangular regular SABC ponto O- centro básico S vértice, SC = 5, CA= 6. Encontre o comprimento do segmento ASSIM.
Em uma pirâmide quadrangular regular SABC ponto O- centro básico S vértice, ASSIM = 4, SC= 5. Encontre o comprimento do segmento CA.
SABC R- meio da costela BC, S- topo. Sabe-se que AB= 7, e SR= 16. Encontre a área da superfície lateral.
A área da superfície lateral de uma pirâmide triangular regular é igual à metade do produto do perímetro da base e o apótema (o apótema é a altura da face lateral de uma pirâmide regular desenhada de seu topo):
Ou você pode dizer isso: a área da superfície lateral da pirâmide é igual à soma das áreas das três faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide triangular regular são triângulos de mesma área. Nesse caso:
Resposta: 168
Decida por si mesmo:
Em uma pirâmide triangular regular SABC R- meio da costela BC, S- topo. Sabe-se que AB= 1, e SR= 2. Encontre a área da superfície lateral.
Em uma pirâmide triangular regular SABC R- meio da costela BC, S- topo. Sabe-se que AB= 1, e a área da superfície lateral é 3. Encontre o comprimento do segmento SR.
Em uma pirâmide triangular regular SABC eu- meio da costela BC, S- topo. Sabe-se que SL= 2, e a área da superfície lateral é 3. Encontre o comprimento do segmento AB.
Em uma pirâmide triangular regular SABC M. Área de um triângulo abcé 25, o volume da pirâmide é 100. Encontre o comprimento do segmento EM.
A base da pirâmide é um triângulo equilátero. É por isso Mé o centro da base eEM- a altura de uma pirâmide regularSABC. Volume da Pirâmide SABC igual: inspecionar solução
Em uma pirâmide triangular regular SABC as medianas da base se cruzam em um ponto M. Área de um triângulo abcé 3, EM= 1. Encontre o volume da pirâmide.
Em uma pirâmide triangular regular SABC as medianas da base se cruzam em um ponto M. O volume da pirâmide é 1, EM= 1. Encontre a área do triângulo abc.
Vamos terminar com isso. Como você pode ver, as tarefas são resolvidas em uma ou duas etapas. No futuro, consideraremos com você outros problemas desta parte, onde são dados corpos de revolução, não perca!
Eu te desejo sucesso!
Atenciosamente, Alexander Krutitskikh.
P.S: Agradeceria se você falasse sobre o site nas redes sociais.
Introdução
Quando começamos a estudar figuras estereométricas, tocamos no tópico "Pirâmide". Gostamos deste tema porque a pirâmide é muito usada na arquitetura. E desde a nossa futura profissão de arquiteta, inspirada por esta figura, pensamos que ela poderá nos impulsionar a grandes projetos.
A força das estruturas arquitetônicas, sua qualidade mais importante. Associando a resistência, em primeiro lugar, aos materiais a partir dos quais são criadas e, em segundo lugar, às características das soluções de projeto, verifica-se que a resistência de uma estrutura está diretamente relacionada à forma geométrica que lhe é básica.
Em outras palavras, estamos falando da figura geométrica que pode ser considerada como modelo da forma arquitetônica correspondente. Acontece que a forma geométrica também determina a força da estrutura arquitetônica.
As pirâmides egípcias há muito são consideradas a estrutura arquitetônica mais durável. Como você sabe, eles têm a forma de pirâmides quadrangulares regulares.
É esta forma geométrica que proporciona a maior estabilidade devido à grande área de base. Por outro lado, a forma da pirâmide garante que a massa diminua à medida que a altura acima do solo aumenta. São essas duas propriedades que tornam a pirâmide estável e, portanto, forte nas condições da gravidade.
Objetivo do projeto: aprenda algo novo sobre as pirâmides, aprofunde o conhecimento e encontre aplicações práticas.
Para atingir este objetivo, foi necessário resolver as seguintes tarefas:
Aprenda informações históricas sobre a pirâmide
Considere a pirâmide como uma figura geométrica
Encontre aplicação na vida e na arquitetura
Encontre semelhanças e diferenças entre pirâmides localizadas em diferentes partes do mundo
Parte teórica
Informação histórica
O início da geometria da pirâmide foi estabelecido no antigo Egito e na Babilônia, mas foi desenvolvido ativamente na Grécia antiga. O primeiro a estabelecer a que o volume da pirâmide é igual foi Demócrito, e Eudoxo de Cnido provou isso. O antigo matemático grego Euclides sistematizou o conhecimento sobre a pirâmide no volume XII de seus "Inícios", e também trouxe a primeira definição da pirâmide: uma figura corporal delimitada por planos que convergem de um plano em um ponto.
Os túmulos dos faraós egípcios. O maior deles - as pirâmides de Quéops, Khafre e Mikerin em El Gizé nos tempos antigos foram considerados uma das Sete Maravilhas do Mundo. A ereção da pirâmide, na qual os gregos e romanos já viam um monumento ao orgulho sem precedentes dos reis e à crueldade, que condenou todo o povo do Egito a uma construção sem sentido, foi o ato de culto mais importante e deveria expressar, aparentemente, a identidade mística do país e seu governante. A população do país trabalhou na construção do túmulo na parte do ano livre de trabalhos agrícolas. Vários textos testemunham a atenção e o cuidado que os próprios reis (ainda que mais tarde) deram à construção de seu túmulo e de seus construtores. Também se sabe sobre as honras especiais do culto que acabaram sendo a própria pirâmide.
Conceitos Básicos
Pirâmide Um poliedro é chamado, cuja base é um polígono, e as faces restantes são triângulos com um vértice comum.
Apótema- a altura da face lateral de uma pirâmide regular, desenhada de seu topo;
Faces laterais- triângulos convergentes no topo;
Costelas laterais- lados comuns das faces laterais;
topo da pirâmide- um ponto que liga as bordas laterais e não se encontra no plano da base;
Altura- um segmento de uma perpendicular traçada pelo topo da pirâmide até o plano de sua base (as extremidades desse segmento são o topo da pirâmide e a base da perpendicular);
Seção diagonal de uma pirâmide- seção da pirâmide passando pelo topo e pela diagonal da base;
Base- um polígono que não pertence ao topo da pirâmide.
As principais propriedades da pirâmide correta
As arestas laterais, faces laterais e apótemas são iguais, respectivamente.
Os ângulos diedros na base são iguais.
Os ângulos diedros nas arestas laterais são iguais.
Cada ponto de altura é equidistante de todos os vértices da base.
Cada ponto de altura é equidistante de todas as faces laterais.
Fórmulas básicas da pirâmide
A área da superfície lateral e completa da pirâmide.
A área da superfície lateral da pirâmide (cheia e truncada) é a soma das áreas de todas as suas faces laterais, a área total da superfície é a soma das áreas de todas as suas faces.
Teorema: A área da superfície lateral de uma pirâmide regular é igual à metade do produto do perímetro da base e do apótema da pirâmide.
p- perímetro da base;
h- apótema.
A área das superfícies laterais e completas de uma pirâmide truncada.
p1, p 2 - perímetros de base;
h- apótema.
R- área de superfície total de uma pirâmide truncada regular;
lado S- área da superfície lateral de uma pirâmide truncada regular;
S1 + S2- área básica
Volume da Pirâmide
Forma A escala de volume é usada para pirâmides de qualquer tipo.
Hé a altura da pirâmide.
Ângulos da pirâmide
Os ângulos que são formados pela face lateral e pela base da pirâmide são chamados de ângulos diedros na base da pirâmide.
Um ângulo diedro é formado por duas perpendiculares.
Para determinar esse ângulo, muitas vezes você precisa usar o teorema das três perpendiculares.
Os ângulos formados por uma aresta lateral e sua projeção no plano da base são chamados ângulos entre a aresta lateral e o plano da base.
O ângulo formado por duas faces laterais é chamado ângulo diedro na borda lateral da pirâmide.
O ângulo, que é formado por duas arestas laterais de uma face da pirâmide, é chamado de canto no topo da pirâmide.
Seções da pirâmide
A superfície de uma pirâmide é a superfície de um poliedro. Cada uma de suas faces é um plano, então a seção da pirâmide dada pelo plano secante é uma linha quebrada que consiste em linhas retas separadas.
Seção diagonal
A seção de uma pirâmide por um plano que passa por duas arestas laterais que não estão na mesma face é chamada seção diagonal pirâmides.
Seções paralelas
Teorema:
Se a pirâmide é atravessada por um plano paralelo à base, as bordas laterais e as alturas da pirâmide são divididas por esse plano em partes proporcionais;
A seção deste plano é um polígono semelhante à base;
As áreas da seção e da base estão relacionadas entre si como os quadrados de suas distâncias do topo.
Tipos de pirâmide
Pirâmide correta- uma pirâmide, cuja base é um polígono regular, e o topo da pirâmide é projetado no centro da base.
Na pirâmide correta:
1. costelas laterais são iguais
2. faces laterais são iguais
3. apótemas são iguais
4. ângulos diedros na base são iguais
5. ângulos diedros nas bordas laterais são iguais
6. cada ponto de altura é equidistante de todos os vértices da base
7. cada ponto de altura é equidistante de todas as faces laterais
Pirâmide truncada- a parte da pirâmide encerrada entre a sua base e um plano de corte paralelo à base.
A base e a seção correspondente de uma pirâmide truncada são chamadas de bases de uma pirâmide truncada.
A perpendicular traçada de qualquer ponto de uma base ao plano de outra é chamada de a altura da pirâmide truncada.
Tarefas
Nº 1. Em uma pirâmide quadrangular regular, o ponto O é o centro da base, SO=8 cm, BD=30 cm Encontre a aresta lateral SA.
Solução de problemas
Nº 1. Em uma pirâmide regular, todas as faces e arestas são iguais.
Vamos considerar OSB: retângulo retangular OSB, porque.
SB 2 \u003d SO 2 + OB 2
SB2=64+225=289
Pirâmide na arquitetura
Pirâmide - uma estrutura monumental na forma de uma pirâmide geométrica regular comum, na qual os lados convergem em um ponto. De acordo com o propósito funcional, as pirâmides nos tempos antigos eram um local de sepultamento ou culto. A base de uma pirâmide pode ser triangular, quadrangular ou poligonal com um número arbitrário de vértices, mas a versão mais comum é a base quadrangular.
Conhece-se um número considerável de pirâmides, construídas por diferentes culturas do Mundo Antigo, principalmente como templos ou monumentos. As maiores pirâmides são as pirâmides egípcias.
Por toda a Terra você pode ver estruturas arquitetônicas em forma de pirâmides. Os edifícios em pirâmide são uma reminiscência dos tempos antigos e parecem muito bonitos.
As pirâmides egípcias são os maiores monumentos arquitetônicos do Egito Antigo, entre os quais uma das "Sete Maravilhas do Mundo" é a pirâmide de Quéops. Do pé ao topo, atinge 137,3 m, e antes de perder o topo, sua altura era de 146,7 m.
O edifício da estação de rádio na capital da Eslováquia, semelhante a uma pirâmide invertida, foi construído em 1983. Além de escritórios e instalações de serviços, há uma sala de concertos bastante espaçosa dentro do volume, que possui um dos maiores órgãos da Eslováquia .
O Louvre, que "é tão silencioso e majestoso quanto uma pirâmide" sofreu muitas mudanças ao longo dos séculos antes de se tornar o maior museu do mundo. Nasceu como fortaleza, erguida por Filipe Augusto em 1190, que logo se transformou em residência real. Em 1793 o palácio tornou-se um museu. As coleções são enriquecidas por meio de legados ou compras.
Definição
Pirâmideé um poliedro composto por um polígono \(A_1A_2...A_n\) e triângulos \(n\) com um vértice comum \(P\) (não situado no plano do polígono) e lados opostos coincidentes com os lados de o polígono.
Designação: \(PA_1A_2...A_n\) .
Exemplo: pirâmide pentagonal \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Triângulos \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) etc. chamado faces laterais pirâmides, segmentos \(PA_1, PA_2\), etc. - costelas laterais, polígono \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – base, ponto \(P\) – cume.
Altura Pirâmides são uma queda perpendicular do topo da pirâmide ao plano da base.
Uma pirâmide com um triângulo na base é chamada de tetraedro.
A pirâmide é chamada correto, se sua base for um polígono regular e uma das seguintes condições for atendida:
\((a)\) arestas laterais da pirâmide são iguais;
\((b)\) a altura da pirâmide passa pelo centro do círculo circunscrito próximo à base;
\((c)\) as nervuras laterais são inclinadas em relação ao plano de base no mesmo ângulo.
\((d)\) as faces laterais são inclinadas em relação ao plano base no mesmo ângulo.
tetraedro regularé uma pirâmide triangular, cujas faces são triângulos equiláteros iguais.
Teorema
As condições \((a), (b), (c), (d)\) são equivalentes.
Prova
Desenhe a altura da pirâmide \(PH\) . Seja \(\alpha\) o plano da base da pirâmide.
1) Provemos que \((a)\) implica \((b)\) . Seja \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Porque \(PH\perp \alpha\) , então \(PH\) é perpendicular a qualquer linha situada neste plano, então os triângulos são retângulos. Portanto, esses triângulos são iguais em cateto comum \(PH\) e hipotenusa \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Então \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Isso significa que os pontos \(A_1, A_2, ..., A_n\) estão à mesma distância do ponto \(H\) , portanto, eles estão no mesmo círculo com raio \(A_1H\) . Este círculo, por definição, está circunscrito ao polígono \(A_1A_2...A_n\) .
2) Provemos que \((b)\) implica \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) retangular e igual em duas pernas. Portanto, seus ângulos também são iguais, portanto, \(\ângulo PA_1H=\ângulo PA_2H=...=\ângulo PA_nH\).
3) Provemos que \((c)\) implica \((a)\) .
Semelhante ao primeiro ponto, os triângulos \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) retangular e ao longo da perna e ângulo agudo. Isso significa que suas hipotenusas também são iguais, ou seja, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Provemos que \((b)\) implica \((d)\) .
Porque em um polígono regular, os centros dos círculos circunscritos e inscritos coincidem (em geral, esse ponto é chamado de centro de um polígono regular), então \(H\) é o centro do círculo inscrito. Vamos desenhar perpendiculares do ponto \(H\) aos lados da base: \(HK_1, HK_2\), etc. Estes são os raios do círculo inscrito (por definição). Então, de acordo com o TTP, (\(PH\) é uma perpendicular ao plano, \(HK_1, HK_2\), etc. são projeções perpendiculares aos lados) oblíquas \(PK_1, PK_2\), etc. perpendicular aos lados \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectivamente. Então, por definição \(\ângulo PK_1H, \ângulo PK_2H\) igual aos ângulos entre as faces laterais e a base. Porque triângulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) são iguais (como ângulo reto em duas pernas), então os ângulos \(\ângulo PK_1H, \ângulo PK_2H, ...\) são iguais.
5) Provemos que \((d)\) implica \((b)\) .
Da mesma forma que o quarto ponto, os triângulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) são iguais (como retangulares ao longo da perna e ângulo agudo), o que significa que os segmentos \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) são iguais. Assim, por definição, \(H\) é o centro de um círculo inscrito na base. Mas desde para polígonos regulares, os centros dos círculos inscritos e circunscritos coincidem, então \(H\) é o centro do círculo circunscrito. Chtd.
Consequência
As faces laterais de uma pirâmide regular são triângulos isósceles iguais.
Definição
A altura da face lateral de uma pirâmide regular, desenhada a partir de seu topo, é chamada de apotema.
Os apótemas de todas as faces laterais de uma pirâmide regular são iguais entre si e também são medianas e bissetrizes.
Anotações importantes
1. A altura de uma pirâmide triangular regular cai no ponto de interseção das alturas (ou bissetrizes, ou medianas) da base (a base é um triângulo regular).
2. A altura de uma pirâmide quadrangular regular cai no ponto de intersecção das diagonais da base (a base é um quadrado).
3. A altura de uma pirâmide hexagonal regular cai até o ponto de intersecção das diagonais da base (a base é um hexágono regular).
4. A altura da pirâmide é perpendicular a qualquer linha reta situada na base.
Definição
A pirâmide é chamada retangular se uma de suas arestas laterais for perpendicular ao plano da base.
Anotações importantes
1. Para uma pirâmide retangular, a aresta perpendicular à base é a altura da pirâmide. Ou seja, \(SR\) é a altura.
2. Porque \(SR\) perpendicular a qualquer linha da base, então \(\triângulo SRM, \triângulo SRP\) são triângulos retângulos.
3. Triângulos \(\triângulo SRN, \triângulo SRK\) também são retangulares.
Ou seja, qualquer triângulo formado por essa aresta e a diagonal que sai do vértice dessa aresta, que fica na base, será retângulo.
\[(\Large(\text(Volume e área de superfície da pirâmide)))\]
Teorema
O volume de uma pirâmide é igual a um terço do produto da área da base e a altura da pirâmide: \
Consequências
Seja \(a\) o lado da base, \(h\) a altura da pirâmide.
1. O volume de uma pirâmide triangular regular é \(V_(\text(triângulo retângulo pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. O volume de uma pirâmide quadrangular regular é \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).
3. O volume de uma pirâmide hexagonal regular é \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. O volume de um tetraedro regular é \(V_(\text(tetra direito))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Teorema
A área da superfície lateral de uma pirâmide regular é igual à metade do produto do perímetro da base e do apótema.
\[(\Large(\text(pirâmide truncada)))\]
Definição
Considere uma pirâmide arbitrária \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Tracemos um plano paralelo à base da pirâmide passando por um certo ponto situado na borda lateral da pirâmide. Este plano dividirá a pirâmide em dois poliedros, um dos quais é uma pirâmide (\(PB_1B_2...B_n\) ), e o outro é chamado pirâmide truncada(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
A pirâmide truncada tem duas bases - polígonos \(A_1A_2...A_n\) e \(B_1B_2...B_n\) , que são semelhantes entre si.
A altura de uma pirâmide truncada é uma perpendicular traçada de algum ponto da base superior ao plano da base inferior.
Anotações importantes
1. Todas as faces laterais de uma pirâmide truncada são trapézios.
2. O segmento que liga os centros das bases de uma pirâmide truncada regular (ou seja, uma pirâmide obtida por uma seção de uma pirâmide regular) é uma altura.
Hipótese: acreditamos que a perfeição da forma da pirâmide se deve às leis matemáticas embutidas em sua forma.
Alvo: tendo estudado a pirâmide como um corpo geométrico, para explicar a perfeição de sua forma.
Tarefas:
1. Dê uma definição matemática de uma pirâmide.
2. Estude a pirâmide como um corpo geométrico.
3. Entenda que conhecimento matemático os egípcios colocaram em suas pirâmides.
Perguntas particulares:
1. O que é uma pirâmide como corpo geométrico?
2. Como a forma única da pirâmide pode ser explicada matematicamente?
3. O que explica as maravilhas geométricas da pirâmide?
4. O que explica a perfeição da forma da pirâmide?
Definição de uma pirâmide.
PIRÂMIDE (do grego pyramis, gênero n. pyramidos) - um poliedro, cuja base é um polígono, e as faces restantes são triângulos com um vértice comum (figura). De acordo com o número de cantos da base, as pirâmides são triangulares, quadrangulares, etc.
PIRÂMIDE - uma estrutura monumental que tem a forma geométrica de uma pirâmide (às vezes também em forma de escada ou em forma de torre). Túmulos gigantes dos antigos faraós egípcios do 3º-2º milênio aC são chamados de pirâmides. e., bem como antigos pedestais americanos de templos (no México, Guatemala, Honduras, Peru) associados a cultos cosmológicos.
É possível que a palavra grega "pirâmide" venha da expressão egípcia per-em-us, ou seja, de um termo que significava a altura da pirâmide. O proeminente egiptólogo russo V. Struve acreditava que o grego “puram…j” vem do antigo egípcio “p”-mr”.
Da história. Tendo estudado o material no livro "Geometria" dos autores de Atanasyan. Butuzova e outros, aprendemos que: Um poliedro composto de n-gon A1A2A3 ... An e n triângulos RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 é chamado de pirâmide. O polígono A1A2A3 ... An é a base da pirâmide, e os triângulos RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 são as faces laterais da pirâmide, P é o topo da pirâmide, os segmentos RA1, RA2, .. ., RAn são as arestas laterais.
No entanto, essa definição da pirâmide nem sempre existiu. Por exemplo, o antigo matemático grego, autor de tratados teóricos sobre matemática que chegaram até nós, Euclides, define uma pirâmide como uma figura sólida limitada por planos que convergem de um plano para um ponto.
Mas essa definição já foi criticada na antiguidade. Então Heron propôs a seguinte definição de pirâmide: “Esta é uma figura limitada por triângulos que convergem em um ponto e cuja base é um polígono”.
Nosso grupo, comparando essas definições, chegou à conclusão de que elas não possuem uma formulação clara do conceito de “fundamento”.
Estudamos essas definições e encontramos a definição de Adrien Marie Legendre, que em 1794 em sua obra “Elementos de Geometria” define a pirâmide da seguinte forma: “Pirâmide é uma figura corporal formada por triângulos convergindo em um ponto e terminando em lados diferentes de um base plana.”
Parece-nos que a última definição dá uma ideia clara da pirâmide, pois se refere ao fato de a base ser plana. Outra definição de pirâmide apareceu em um livro didático do século 19: “uma pirâmide é um ângulo sólido interceptado por um plano”.
Pirâmide como corpo geométrico.
Este. Uma pirâmide é um poliedro, uma das faces (base) é um polígono, as outras faces (lados) são triângulos que têm um vértice comum (o topo da pirâmide).
A perpendicular traçada do topo da pirâmide ao plano da base é chamada de alturah pirâmides.
Além de uma pirâmide arbitrária, existem pirâmide direita, na base do qual é um polígono regular e pirâmide truncada.
Na figura - a pirâmide PABCD, ABCD - sua base, PO - altura.
Superfície total Uma pirâmide é chamada de soma das áreas de todas as suas faces.
Sfull = Sside + Sbase, Onde Ladoé a soma das áreas das faces laterais.
volume da pirâmide é encontrado pela fórmula:
V=1/3Sbase h, onde Sosn. - área básica h- altura.
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Apothem ST - a altura da face lateral de uma pirâmide regular.
A área da face lateral de uma pirâmide regular é expressa da seguinte forma: Sside. =1/2P h, onde P é o perímetro da base, h- a altura da face lateral (apótema de uma pirâmide regular). Se a pirâmide é atravessada pelo plano A'B'C'D' paralelo à base, então:
1) arestas laterais e altura são divididas por este plano em partes proporcionais;
2) na seção, obtém-se um polígono A'B'C'D', semelhante à base;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">
As bases da pirâmide truncada são polígonos semelhantes ABCD e A`B`C`D`, faces laterais são trapézios.
Altura pirâmide truncada - a distância entre as bases.
Volume truncado pirâmide é encontrada pela fórmula:
V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> A área de superfície lateral de uma pirâmide truncada regular é expresso da seguinte forma: Sside. = ½(P+P') h, onde P e P' são os perímetros das bases, h- a altura da face lateral (apótema de um regular truncado por festas
Seções da pirâmide.
Seções da pirâmide por planos que passam por seu topo são triângulos.
A seção que passa por duas arestas laterais não adjacentes da pirâmide é chamada de seção diagonal.
Se a seção passar por um ponto na borda lateral e no lado da base, esse lado será seu traço no plano da base da pirâmide.
Uma seção que passa por um ponto situado na face da pirâmide e um determinado traço da seção no plano da base, a construção deve ser realizada da seguinte forma:
encontre o ponto de interseção do plano da face dada e o traço da seção da pirâmide e designe-o;
construir uma linha reta passando por um determinado ponto e o ponto de interseção resultante;
· Repita essas etapas para as próximas faces.
, que corresponde à razão dos catetos de um triângulo retângulo 4:3. Essa proporção das pernas corresponde ao conhecido triângulo retângulo com lados 3:4:5, que é chamado de triângulo "perfeito", "sagrado" ou "egípcio". Segundo os historiadores, o triângulo "egípcio" recebeu um significado mágico. Plutarco escreveu que os egípcios comparavam a natureza do universo a um triângulo "sagrado"; eles simbolicamente comparavam a perna vertical ao marido, a base à esposa e a hipotenusa ao que nasce de ambos.
Para um triângulo 3:4:5, a igualdade é verdadeira: 32 + 42 = 52, que expressa o teorema de Pitágoras. Não é este teorema que os sacerdotes egípcios queriam perpetuar erguendo uma pirâmide com base no triângulo 3:4:5? É difícil encontrar um exemplo melhor para ilustrar o teorema de Pitágoras, que era conhecido pelos egípcios muito antes de sua descoberta por Pitágoras.
Assim, os engenhosos criadores das pirâmides egípcias procuraram impressionar descendentes distantes com a profundidade de seus conhecimentos, e conseguiram isso escolhendo como a "ideia geométrica principal" para a pirâmide de Quéops - o triângulo retângulo "dourado" e para a pirâmide de Khafre - o triângulo "sagrado" ou "egípcio".
Muitas vezes, em suas pesquisas, os cientistas usam as propriedades das pirâmides com as proporções da Seção Áurea.
No dicionário enciclopédico matemático, é dada a seguinte definição da Seção Áurea - esta é uma divisão harmônica, divisão na proporção extrema e média - divisão do segmento AB em duas partes de tal forma que a maior parte de sua AC é a média proporcional entre todo o segmento AB e sua parte menor CB.
Achado algébrico da seção áurea de um segmento AB = um reduz a resolver a equação a: x = x: (a - x), onde x é aproximadamente igual a 0,62a. A razão x pode ser expressa como frações 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, onde 2, 3, 5, 8, 13, 21 são números de Fibonacci.
A construção geométrica da seção áurea do segmento AB é realizada da seguinte forma: no ponto B, a perpendicular a AB é restaurada, o segmento BE \u003d 1/2 AB é colocado nele, A e E são conectados, DE \ u003d BE é adiado e, finalmente, AC \u003d AD, então a igualdade AB é cumprida: CB = 2: 3.
A proporção áurea é frequentemente usada em obras de arte, arquitetura e é encontrada na natureza. Exemplos vívidos são a escultura de Apollo Belvedere, o Parthenon. Durante a construção do Partenon, foi utilizada a relação entre a altura do edifício e o seu comprimento e esta relação é de 0,618. Objetos ao nosso redor também fornecem exemplos da Proporção Áurea, por exemplo, as encadernações de muitos livros têm uma relação largura/comprimento próxima a 0,618. Considerando a disposição das folhas em um caule comum das plantas, percebe-se que entre cada dois pares de folhas, o terceiro está localizado no local da Proporção Áurea (lâminas). Cada um de nós “usa” a Proporção Áurea conosco “em nossas mãos” - essa é a proporção das falanges dos dedos.
Graças à descoberta de vários papiros matemáticos, os egiptólogos aprenderam algo sobre os antigos sistemas egípcios de cálculo e medidas. As tarefas contidas neles foram resolvidas por escribas. Um dos mais famosos é o Papiro Matemático de Rhind. Ao estudar esses quebra-cabeças, os egiptólogos aprenderam como os antigos egípcios lidavam com as várias quantidades que surgiam ao calcular medidas de peso, comprimento e volume, que costumavam usar frações, bem como lidavam com ângulos.
Os antigos egípcios usavam um método de cálculo de ângulos baseado na razão entre a altura e a base de um triângulo retângulo. Eles expressaram qualquer ângulo na linguagem do gradiente. O gradiente de inclinação foi expresso como uma razão de um inteiro, denominado "seked". Em Mathematics in the Time of the Pharaohs, Richard Pillins explica: “O seked de uma pirâmide regular é a inclinação de qualquer uma das quatro faces triangulares em relação ao plano da base, medida por um enésimo número de unidades horizontais por unidade vertical de elevação. . Assim, esta unidade é equivalente à nossa cotangente moderna do ângulo de inclinação. Portanto, a palavra egípcia "seked" está relacionada à nossa palavra moderna "gradiente".
A chave numérica para as pirâmides está na razão entre sua altura e a base. Em termos práticos, esta é a maneira mais fácil de fazer os modelos necessários para verificar constantemente o ângulo de inclinação correto ao longo da construção da pirâmide.
Os egiptólogos ficariam felizes em nos convencer de que cada faraó estava ansioso para expressar sua individualidade, daí as diferenças nos ângulos de inclinação de cada pirâmide. Mas pode haver outro motivo. Talvez todos eles quisessem incorporar diferentes associações simbólicas escondidas em diferentes proporções. No entanto, o ângulo da pirâmide de Khafre (baseado no triângulo (3:4:5) aparece nos três problemas apresentados pelas pirâmides no Papiro Matemático de Rhind). Portanto, essa atitude era bem conhecida dos antigos egípcios.
Para ser justo com os egiptólogos que afirmam que os antigos egípcios não conheciam o triângulo 3:4:5, digamos que o comprimento da hipotenusa 5 nunca foi mencionado. Mas os problemas matemáticos relativos às pirâmides são sempre resolvidos com base no ângulo seked - a razão entre a altura e a base. Como o comprimento da hipotenusa nunca foi mencionado, concluiu-se que os egípcios nunca calcularam o comprimento do terceiro lado.
As proporções altura-base usadas nas pirâmides de Gizé eram sem dúvida conhecidas dos antigos egípcios. É possível que essas razões para cada pirâmide tenham sido escolhidas arbitrariamente. No entanto, isso contradiz a importância atribuída ao simbolismo numérico em todos os tipos de belas artes egípcias. É muito provável que tais relações tenham tido uma importância significativa, uma vez que expressavam ideias religiosas específicas. Em outras palavras, todo o complexo de Gizé foi submetido a um projeto coerente, projetado para refletir algum tipo de tema divino. Isso explicaria por que os designers escolheram ângulos diferentes para as três pirâmides.
Em O Segredo de Órion, Bauval e Gilbert apresentaram provas convincentes da ligação das pirâmides de Gizé com a constelação de Órion, em particular com as estrelas do Cinturão de Órion. A mesma constelação está presente no mito de Ísis e Osíris, e há é motivo para considerar cada pirâmide como uma imagem de uma das três principais divindades - Osíris, Ísis e Hórus.
MILAGRES "GEOMÉTRICOS".
Entre as grandiosas pirâmides do Egito, um lugar especial é ocupado por Grande Pirâmide do Faraó Quéops (Khufu). Antes de proceder à análise da forma e tamanho da pirâmide de Quéops, devemos lembrar qual sistema de medidas os egípcios usavam. Os egípcios tinham três unidades de comprimento: "côvado" (466 mm), igual a sete "palmas" (66,5 mm), que, por sua vez, era igual a quatro "dedos" (16,6 mm).
Vamos analisar o tamanho da pirâmide de Quéops (Fig. 2), seguindo o raciocínio dado no maravilhoso livro do cientista ucraniano Nikolai Vasyutinskiy "Proporção Áurea" (1990).
A maioria dos pesquisadores concorda que o comprimento do lado da base da pirâmide, por exemplo, GFé igual a eu\u003d 233,16 m. Este valor corresponde quase exatamente a 500 "côvados". O cumprimento total de 500 "côvados" será se o comprimento do "côvado" for considerado igual a 0,4663 m.
Altura da Pirâmide ( H) é estimado pelos pesquisadores de forma diferente de 146,6 a 148,2 m. E dependendo da altura aceita da pirâmide, todas as proporções de seus elementos geométricos mudam. Qual é a razão para as diferenças na estimativa da altura da pirâmide? O fato é que, estritamente falando, a pirâmide de Quéops é truncada. Sua plataforma superior hoje tem um tamanho de aproximadamente 10 ´ 10 m, e há um século tinha 6 ´ 6 m. É óbvio que o topo da pirâmide foi desmontado, e não corresponde ao original.
Estimando a altura da pirâmide, é necessário levar em consideração um fator físico como o "rascunho" da estrutura. Por muito tempo, sob a influência de uma pressão colossal (atingindo 500 toneladas por 1 m2 da superfície inferior), a altura da pirâmide diminuiu em relação à sua altura original.
Qual era a altura original da pirâmide? Essa altura pode ser recriada se você encontrar a "ideia geométrica" básica da pirâmide.
Figura 2.
Em 1837, o coronel inglês G. Wise mediu o ângulo de inclinação das faces da pirâmide: acabou sendo igual a uma= 51°51". Este valor ainda é reconhecido pela maioria dos pesquisadores hoje. O valor indicado do ângulo corresponde à tangente (tg uma), igual a 1,27306. Este valor corresponde à razão entre a altura da pirâmide CA a metade de sua base CB(Fig.2), ou seja. CA / CB = H / (eu / 2) = 2H / eu.
E aqui os pesquisadores tiveram uma grande surpresa!.png" width="25" height="24">= 1,272. Comparando este valor com o valor tg uma= 1,27306, vemos que esses valores são muito próximos uns dos outros. Se tomarmos o ângulo uma\u003d 51 ° 50", ou seja, para reduzi-lo em apenas um minuto de arco, então o valor uma será igual a 1,272, ou seja, coincidirá com o valor de . Deve-se notar que em 1840 G. Wise repetiu suas medições e esclareceu que o valor do ângulo uma=51°50".
Essas medições levaram os pesquisadores à seguinte hipótese muito interessante: o triângulo ASV da pirâmide de Quéops foi baseado na relação AC / CB = = 1,272!
Considere agora um triângulo retângulo abc, em que a proporção de pernas CA / CB= (Fig.2). Se agora os comprimentos dos lados do retângulo abc denotar por x, y, z, e também levar em conta que a razão y/x= , então, de acordo com o teorema de Pitágoras, o comprimento z pode ser calculado pela fórmula:
Se aceitar x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" largura="143" altura="27">
Figura 3 Triângulo retângulo "dourado".
Um triângulo retângulo em que os lados estão relacionados como t: dourado" triângulo retângulo.
Então, se tomarmos como base a hipótese de que a principal "ideia geométrica" da pirâmide de Quéops é o triângulo retângulo "dourado", a partir daqui é fácil calcular a altura "de design" da pirâmide de Quéops. É igual a:
H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.
Vamos agora derivar algumas outras relações para a pirâmide de Quéops, que decorrem da hipótese "ouro". Em particular, encontramos a razão entre a área externa da pirâmide e a área de sua base. Para fazer isso, pegamos o comprimento da perna CB por unidade, ou seja: CB= 1. Mas então o comprimento do lado da base da pirâmide GF= 2, e a área da base EFGH será igual a SEFGH = 4.
Vamos agora calcular a área da face lateral da pirâmide de Quéops SD. Porque a altura AB triângulo AEFé igual a t, então a área da face lateral será igual a SD = t. Então a área total de todas as quatro faces laterais da pirâmide será igual a 4 t, e a proporção da área externa total da pirâmide para a área da base será igual à proporção áurea! É isso que é - o principal segredo geométrico da pirâmide de Quéops!
O grupo de "maravilhas geométricas" da pirâmide de Quéops inclui as propriedades reais e inventadas da relação entre as várias dimensões da pirâmide.
Via de regra, eles são obtidos em busca de alguma "constante", em particular, o número "pi" (número de Ludolf), igual a 3,14159...; bases de logaritmos naturais "e" (número de Napier) igual a 2,71828...; o número "F", o número da "seção dourada", igual, por exemplo, 0,618... etc.
Você pode nomear, por exemplo: 1) Propriedade de Heródoto: (Altura) 2 \u003d 0,5 st. a Principal x Apotema; 2) Propriedade de V. Preço: Altura: 0,5 st. osn \u003d Raiz quadrada de "Ф"; 3) Propriedade de M. Eist: Perímetro da base: 2 Altura = "Pi"; em uma interpretação diferente - 2 colheres de sopa. a Principal : Altura = "Pi"; 4) G. Propriedade de Reber: Raio do círculo inscrito: 0,5 st. a Principal = "F"; 5) Propriedade de K. Kleppish: (St. main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apothem) : (( 2º principal X Apotema) + (st. principal) 2). etc. Você pode criar muitas dessas propriedades, especialmente se conectar duas pirâmides vizinhas. Por exemplo, como "Propriedades de A. Arefiev" pode-se mencionar que a diferença entre os volumes da pirâmide de Quéops e da pirâmide de Khafre é igual ao dobro do volume da pirâmide de Menkaure...
Muitas disposições interessantes, em particular, sobre a construção de pirâmides de acordo com a "seção áurea" são estabelecidas nos livros de D. Hambidge "Simetria dinâmica na arquitetura" e M. Geek "Estética da proporção na natureza e na arte". Lembre-se que a "seção áurea" é a divisão do segmento em tal proporção, quando a parte A é tantas vezes maior que a parte B, quantas vezes A é menor que todo o segmento A + B. A proporção A / B é igual ao número "Ф" == 1,618. .. O uso da "seção de ouro" é indicado não apenas em pirâmides individuais, mas em todo o complexo de pirâmides de Gizé.
O mais curioso, porém, é que uma mesma pirâmide de Quéops simplesmente "não pode" conter tantas propriedades maravilhosas. Tomando uma certa propriedade uma por uma, você pode "ajustá-la", mas de uma só vez elas não se encaixam - elas não coincidem, elas se contradizem. Portanto, se, por exemplo, ao verificar todas as propriedades, um e o mesmo lado da base da pirâmide (233 m) for inicialmente tomado, as alturas das pirâmides com propriedades diferentes também serão diferentes. Em outras palavras, existe uma certa "família" de pirâmides, aparentemente semelhantes às de Quéops, mas correspondendo a propriedades diferentes. Observe que não há nada particularmente milagroso nas propriedades "geométricas" - muito surge de forma puramente automática, das propriedades da própria figura. Um "milagre" deve ser considerado apenas algo obviamente impossível para os antigos egípcios. Isso, em particular, inclui milagres "cósmicos", nos quais as medidas da pirâmide de Quéops ou do complexo de pirâmides de Gizé são comparadas com algumas medidas astronômicas e números "pares" são indicados: um milhão de vezes, um bilhão de vezes menos e em breve. Vamos considerar algumas relações "cósmicas".
Uma das afirmações é a seguinte: "se dividirmos o lado da base da pirâmide pela duração exata do ano, obtemos exatamente 10 milionésimos do eixo da Terra". Calcule: divida 233 por 365, obtemos 0,638. O raio da Terra é 6378 km.
Outra afirmação é, na verdade, o oposto da anterior. F. Noetling apontou que, se você usar o "cotovelo egípcio" inventado por ele, o lado da pirâmide corresponderá à "duração mais precisa do ano solar, expressa ao bilionésimo de dia mais próximo" - 365.540.903.777 .
A declaração de P. Smith: "A altura da pirâmide é exatamente um bilionésimo da distância da Terra ao Sol." Embora uma altura de 146,6 m seja geralmente tomada, Smith a considerou como 148,2 m. De acordo com medições de radares modernos, o semi-eixo maior da órbita da Terra é 149.597.870 + 1,6 km. Esta é a distância média da Terra ao Sol, mas no periélio é 5.000.000 quilômetros a menos que no afélio.
Última declaração curiosa:
"Como explicar que as massas das pirâmides de Quéops, Khafre e Menkaure estão relacionadas entre si, como as massas dos planetas Terra, Vênus, Marte?" Vamos calcular. As massas das três pirâmides estão relacionadas como: Khafre - 0,835; Quéops - 1.000; Mikerin - 0,0915. As proporções das massas dos três planetas: Vênus - 0,815; Terreno - 1.000; Marte - 0,108.
Assim, apesar do ceticismo, observemos a conhecida harmonia da construção das afirmações: 1) a altura da pirâmide, como uma linha "indo para o espaço" - corresponde à distância da Terra ao Sol; 2) o lado da base da pirâmide mais próximo "do substrato", ou seja, da Terra, é responsável pelo raio da Terra e pela circulação da Terra; 3) os volumes da pirâmide (leia - massas) correspondem à razão das massas dos planetas mais próximos da Terra. Uma "cifra" semelhante pode ser rastreada, por exemplo, na linguagem das abelhas, analisada por Karl von Frisch. No entanto, nos abstemos de comentar sobre isso por enquanto.
FORMA DAS PIRÂMIDES
A famosa forma tetraédrica das pirâmides não apareceu imediatamente. Os citas fizeram enterros na forma de colinas de terra - montes. Os egípcios construíram "colinas" de pedra - pirâmides. Isso aconteceu pela primeira vez após a unificação do Alto e Baixo Egito, no século 28 aC, quando o fundador da III dinastia, o faraó Djoser (Zoser), enfrentou a tarefa de fortalecer a unidade do país.
E aqui, segundo os historiadores, o "novo conceito de deificação" do czar desempenhou um papel importante no fortalecimento do poder central. Embora os enterros reais se distinguissem por maior esplendor, eles não diferiam em princípio dos túmulos dos nobres da corte, eram as mesmas estruturas - mastabas. Acima da câmara com o sarcófago contendo a múmia, foi derramada uma colina retangular de pequenas pedras, onde foi colocado um pequeno edifício de grandes blocos de pedra - "mastaba" (em árabe - "banco"). No local da mastaba de seu antecessor, Sanakht, o faraó Djoser ergueu a primeira pirâmide. Foi escalonado e foi um estágio de transição visível de uma forma arquitetônica para outra, de uma mastaba para uma pirâmide.
Desta forma, o faraó foi "levantado" pelo sábio e arquiteto Imhotep, que mais tarde foi considerado um mago e identificado pelos gregos com o deus Asclépio. Era como se seis mastabas fossem erguidas seguidas. Além disso, a primeira pirâmide ocupava uma área de 1125 x 115 metros, com uma altura estimada de 66 metros (de acordo com as medidas egípcias - 1000 "palmeiras"). A princípio, o arquiteto planejou construir uma mastaba, mas não oblonga, mas quadrada no plano. Mais tarde foi ampliado, mas como a extensão foi feita mais abaixo, formaram-se dois degraus, por assim dizer.
Esta situação não satisfez o arquiteto e, na plataforma superior de uma enorme mastaba plana, Imhotep colocou mais três, diminuindo gradualmente em direção ao topo. O túmulo estava sob a pirâmide.
Várias outras pirâmides escalonadas são conhecidas, mas depois os construtores passaram a construir pirâmides tetraédricas mais familiares. Por que, porém, não triangular ou, digamos, octogonal? Uma resposta indireta é dada pelo fato de que quase todas as pirâmides estão perfeitamente orientadas para os quatro pontos cardeais e, portanto, têm quatro lados. Além disso, a pirâmide era uma "casa", uma concha de uma câmara funerária quadrangular.
Mas o que causou o ângulo de inclinação das faces? No livro "O Princípio das Proporções" um capítulo inteiro é dedicado a isso: "O que poderia determinar os ângulos das pirâmides". Em particular, é indicado que "a imagem para a qual gravitam as grandes pirâmides do Império Antigo é um triângulo com um ângulo reto no topo.
No espaço, é um semi-octaedro: uma pirâmide em que as arestas e os lados da base são iguais, as faces são triângulos equiláteros.Certas considerações são dadas sobre este assunto nos livros de Hambidge, Geek e outros.
Qual é a vantagem do ângulo do semioctaedro? De acordo com as descrições de arqueólogos e historiadores, algumas pirâmides desmoronaram sob seu próprio peso. O que era necessário era um "ângulo de durabilidade", um ângulo que fosse o mais confiável energeticamente. De forma puramente empírica, esse ângulo pode ser obtido a partir do ângulo do vértice em uma pilha de areia seca em ruínas. Mas para obter dados precisos, você precisa usar o modelo. Tomando quatro bolas firmemente fixadas, você precisa colocar a quinta nelas e medir os ângulos de inclinação. No entanto, aqui você pode cometer um erro, portanto, um cálculo teórico ajuda: você deve conectar os centros das bolas com linhas (mentalmente). Na base, você obtém um quadrado com um lado igual a duas vezes o raio. O quadrado será apenas a base da pirâmide, cujo comprimento das arestas também será igual a duas vezes o raio.
Assim, um denso empacotamento de bolas do tipo 1:4 nos dará um semi-octaedro regular.
No entanto, por que muitas pirâmides, gravitando em direção a uma forma semelhante, não a retêm? Provavelmente as pirâmides estão ficando velhas. Ao contrário do famoso ditado:
"Tudo no mundo tem medo do tempo, e o tempo tem medo das pirâmides", os edifícios das pirâmides devem envelhecer, podem e devem ocorrer não apenas os processos de intemperismo externo, mas também os processos de "encolhimento" interno , a partir do qual as pirâmides podem se tornar mais baixas. O encolhimento também é possível porque, conforme constatado pelos trabalhos de D. Davidovits, os antigos egípcios usavam a tecnologia de fazer blocos a partir de lascas de cal, ou seja, de "concreto". São esses processos que podem explicar o motivo da destruição da pirâmide Medum, localizada 50 km ao sul do Cairo. Tem 4600 anos, as dimensões da base são 146 x 146 m, a altura é 118 m. “Por que está tão mutilado?” pergunta V. Zamarovsky “As referências usuais aos efeitos destrutivos do tempo e “o uso da pedra para outros edifícios” não cabem aqui.
Afinal, a maior parte de seus blocos e lajes de fachada ainda permanecem no local, nas ruínas ao seu pé. "Como veremos, uma série de disposições fazem pensar até que a famosa pirâmide de Quéops também "encolhida". , em todas as imagens antigas, as pirâmides são apontadas ...
A forma das pirâmides também poderia ser gerada por imitação: alguns padrões naturais, "perfeição milagrosa", digamos, alguns cristais na forma de um octaedro.
Esses cristais podem ser cristais de diamante e ouro. Um grande número de sinais de "interseção" para conceitos como Faraó, Sol, Ouro, Diamante é característico. Em todos os lugares - nobre, brilhante (brilhante), ótimo, impecável e assim por diante. As semelhanças não são acidentais.
O culto solar, como você sabe, era uma parte importante da religião do antigo Egito. “Não importa como traduzamos o nome da maior das pirâmides”, diz um dos livros didáticos modernos, “Sky Khufu” ou “Sky Khufu”, significava que o rei é o sol. Se Khufu, no brilho de seu poder, imaginou-se um segundo sol, então seu filho Jedef-Ra se tornou o primeiro dos reis egípcios que começaram a se chamar "o filho de Ra", ou seja, o filho do Sol. O sol foi simbolizado por quase todos os povos como "metal solar", ouro. "O grande disco de ouro brilhante" - assim os egípcios chamavam nossa luz do dia. Os egípcios conheciam muito bem o ouro, conheciam suas formas nativas, onde os cristais de ouro podem aparecer na forma de octaedros.
Como "amostra de formas" a "pedra do sol" - um diamante - também é interessante aqui. O nome do diamante veio apenas do mundo árabe, "almas" - o mais duro, mais duro, indestrutível. Os antigos egípcios conheciam o diamante e suas propriedades são muito boas. De acordo com alguns autores, eles até usaram tubos de bronze com cortadores de diamante para perfuração.
A África do Sul é hoje o principal fornecedor de diamantes, mas a África Ocidental também é rica em diamantes. O território da República do Mali é até chamado de "Terra do Diamante" lá. Enquanto isso, é no território do Mali que vivem os Dogon, com quem os defensores da hipótese da paleovisita depositam muitas esperanças (veja abaixo). Os diamantes não poderiam ser o motivo dos contatos dos antigos egípcios com esta região. No entanto, de uma forma ou de outra, é possível que tenha sido justamente copiando os octaedros de cristais de diamante e ouro que os antigos egípcios divinizaram os faraós, “indestrutíveis” como o diamante e “brilhantes” como o ouro, os filhos do Sol, comparáveis apenas com as mais maravilhosas criações da natureza.
Conclusão:
Tendo estudado a pirâmide como um corpo geométrico, conhecendo seus elementos e propriedades, ficamos convencidos da validade da opinião sobre a beleza da forma da pirâmide.
Como resultado de nossa pesquisa, chegamos à conclusão de que os egípcios, tendo coletado o conhecimento matemático mais valioso, o incorporaram em uma pirâmide. Portanto, a pirâmide é verdadeiramente a criação mais perfeita da natureza e do homem.
BIBLIOGRAFIA
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História da matemática na escola, M: "Iluminismo", 1982
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Recursos da Internet
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Aqui são coletadas informações básicas sobre as pirâmides e fórmulas e conceitos relacionados. Todos eles são estudados com um tutor em matemática em preparação para o exame.
Considere um plano, um polígono 
deitado nele e um ponto S não deitado nele. Conecte S a todos os vértices do polígono. O poliedro resultante é chamado de pirâmide. Os segmentos são chamados de arestas laterais. O polígono é chamado de base e o ponto S é chamado de topo da pirâmide. Dependendo do número n, a pirâmide é chamada de triangular (n=3), quadrangular (n=4), pentagonal (n=5) e assim por diante. Nome alternativo para a pirâmide triangular - tetraedro. A altura de uma pirâmide é a perpendicular traçada de seu vértice ao plano de base. 
Uma pirâmide é dita correta se um polígono regular, e a base da altura da pirâmide (a base da perpendicular) é o seu centro.
Comentário do tutor:
Não confunda o conceito de "pirâmide regular" e "tetraedro regular". Em uma pirâmide regular, as arestas laterais não são necessariamente iguais às arestas da base, mas em um tetraedro regular, todas as 6 arestas das arestas são iguais. Esta é a definição dele. É fácil provar que a igualdade implica que o centro P do polígono com uma base de altura, então um tetraedro regular é uma pirâmide regular.
O que é um apótema?
O apótema de uma pirâmide é a altura de sua face lateral. Se a pirâmide é regular, então todos os seus apótemas são iguais. O contrário não é verdade. 
Tutor de matemática sobre sua terminologia: o trabalho com pirâmides é 80% construído através de dois tipos de triângulos:
1) Contendo apótema SK e altura SP
2) Contendo a borda lateral SA e sua projeção PA 
Para simplificar as referências a esses triângulos, é mais conveniente para um professor de matemática nomear o primeiro deles apotêmico, e em segundo lugar costal. Infelizmente, você não encontrará essa terminologia em nenhum dos livros didáticos, e o professor deve apresentá-la unilateralmente.
Fórmula do volume da pirâmide:
1) 
, onde é a área da base da pirâmide, e é a altura da pirâmide
2) , onde é o raio da esfera inscrita, e é a área total da superfície da pirâmide.
3) 
, onde MN é a distância de quaisquer duas arestas que se cruzam, e é a área do paralelogramo formado pelos pontos médios das quatro arestas restantes.
Propriedade da base da altura da pirâmide:
O ponto P (ver figura) coincide com o centro do círculo inscrito na base da pirâmide se uma das seguintes condições for atendida:
1) Todos os apótemas são iguais
2) Todas as faces laterais são igualmente inclinadas em direção à base
3) Todos os apótemas são igualmente inclinados à altura da pirâmide
4) A altura da pirâmide é igualmente inclinada para todas as faces laterais
Comentário do professor de matemática: note que todos os pontos estão unidos por uma propriedade comum: de uma forma ou de outra, as faces laterais participam em todos os lugares (apótemas são seus elementos). Portanto, o tutor pode oferecer uma formulação menos precisa, mas mais conveniente para memorização: o ponto P coincide com o centro do círculo inscrito, a base da pirâmide, se houver alguma informação igual sobre suas faces laterais. Para prová-lo, basta mostrar que todos os triângulos apotémicos são iguais.
O ponto P coincide com o centro do círculo circunscrito próximo à base da pirâmide, se uma das três condições for verdadeira:
1) Todas as arestas laterais são iguais
2) Todas as nervuras laterais são igualmente inclinadas em direção à base
3) Todas as nervuras laterais são igualmente inclinadas em relação à altura
