Vamos considerar o tópico de transformar expressões com potências, mas primeiro vamos nos deter em várias transformações que podem ser realizadas com quaisquer expressões, incluindo potências. Aprenderemos como abrir colchetes, dar termos semelhantes, trabalhar com a base e o expoente, usar as propriedades das potências.
Yandex.RTB R-A-339285-1
O que são expressões de poder?
No curso escolar, poucas pessoas usam a expressão "expressões de poder", mas esse termo é constantemente encontrado em coleções de preparação para o exame. Na maioria dos casos, a frase denota expressões que contêm graus em suas entradas. É isso que vamos refletir em nossa definição.
Definição 1
Expressão de poderé uma expressão que contém graus.
Damos vários exemplos de expressões de potência, começando com um grau com um expoente natural e terminando com um grau com um expoente real.
As expressões de potência mais simples podem ser consideradas potências de um número com um expoente natural: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Assim como as potências com expoente zero: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . E potências com potências inteiras negativas: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .
É um pouco mais difícil trabalhar com um grau que tenha expoentes racionais e irracionais: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
O indicador pode ser uma variável 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ou um logaritmo x 2 l g x − 5 x l g x.
Lidamos com a questão do que são expressões de poder. Agora vamos dar uma olhada em sua transformação.
Os principais tipos de transformações de expressões de poder
Em primeiro lugar, consideraremos as transformações básicas de identidade de expressões que podem ser realizadas com expressões de poder.
Exemplo 1
Calcular o valor da expressão de potência 2 3 (4 2 − 12).
Solução
Faremos todas as transformações de acordo com a ordem das ações. Nesse caso, começaremos realizando as ações entre parênteses: substituiremos o grau por um valor digital e calcularemos a diferença entre os dois números. Nós temos 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.
Resta-nos substituir o grau 2 3 seu significado 8 e calcule o produto 8 4 = 32. Aqui está a nossa resposta.
Responda: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .
Exemplo 2
Simplifique a expressão com poderes 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.
Solução
A expressão que nos é dada na condição do problema contém termos semelhantes, que podemos trazer: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.
Responda: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .
Exemplo 3
Expresse uma expressão com potências de 9 - b 3 · π - 1 2 como um produto.
Solução
Vamos representar o número 9 como uma potência 3 2 e aplique a fórmula de multiplicação abreviada:
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
Responda: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .
E agora vamos passar para a análise de transformações idênticas que podem ser aplicadas especificamente a expressões de potência.
Trabalhando com base e expoente
O grau na base ou expoente pode ter números, variáveis e algumas expressões. Por exemplo, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 e . É difícil trabalhar com esses registros. É muito mais fácil substituir a expressão na base do expoente ou a expressão no expoente por uma expressão identicamente igual.
As transformações do grau e do indicador são realizadas de acordo com as regras conhecidas por nós separadamente umas das outras. O mais importante é que, como resultado das transformações, se obtém uma expressão idêntica à original.
O objetivo das transformações é simplificar a expressão original ou obter uma solução para o problema. Por exemplo, no exemplo que demos acima, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 você pode realizar operações para ir ao grau 4 , 1 1 , 3 . Abrindo os colchetes, podemos trazer termos semelhantes na base do grau (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) e obtenha uma expressão de poder de uma forma mais simples a 2 (x + 1).
Usando Propriedades de Energia
As propriedades dos graus, escritas como igualdades, são uma das principais ferramentas para transformar expressões com graus. Apresentamos aqui as principais, considerando que uma e b são quaisquer números positivos, e r e s- números reais arbitrários:
Definição 2
- a r a s = a r + s ;
- a r: a s = a r − s ;
- (a b) r = a r b r ;
- (a: b) r = a r: b r ;
- (a r) s = a r s .
Nos casos em que estamos lidando com expoentes naturais, inteiros e positivos, as restrições sobre os números a e b podem ser muito menos rigorosas. Assim, por exemplo, se considerarmos a igualdade a m a n = a m + n, Onde m e n são números naturais, então será verdade para quaisquer valores de a, tanto positivos quanto negativos, bem como para a = 0.
Você pode aplicar as propriedades dos graus sem restrições nos casos em que as bases dos graus são positivas ou contêm variáveis cuja faixa de valores aceitáveis é tal que as bases assumem apenas valores positivos. De fato, dentro da estrutura do currículo escolar em matemática, a tarefa do aluno é escolher a propriedade apropriada e aplicá-la corretamente.
Ao se preparar para a admissão nas universidades, pode haver tarefas nas quais a aplicação imprecisa de propriedades levará a um estreitamento da ODZ e outras dificuldades com a solução. Nesta seção, consideraremos apenas dois desses casos. Mais informações sobre o assunto podem ser encontradas no tópico "Transformando expressões usando propriedades de expoentes".
Exemplo 4
Represente a expressão a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 como um grau com uma base uma.
Solução
Para começar, usamos a propriedade de exponenciação e transformamos o segundo fator usando-a (a 2) - 3. Então usamos as propriedades de multiplicação e divisão de potências com a mesma base:
a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .
Responda: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .
A transformação das expressões de potência de acordo com a propriedade dos graus pode ser feita tanto da esquerda para a direita quanto na direção oposta.
Exemplo 5
Encontre o valor da expressão de potência 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .
Solução
Se aplicarmos a igualdade (a b) r = a r b r, da direita para a esquerda, obtemos um produto da forma 3 7 1 3 21 2 3 e depois 21 1 3 21 2 3 . Vamos adicionar os expoentes ao multiplicar potências com as mesmas bases: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.
Há outra maneira de fazer transformações:
3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Responda: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Exemplo 6
Dada uma expressão de poder a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, insira uma nova variável t = a 0 , 5.
Solução
Imagina o grau um 1, 5 Como as a 0 , 5 3. Usando a propriedade de grau em um grau (a r) s = a r s da direita para a esquerda e obtenha (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Na expressão resultante, você pode facilmente introduzir uma nova variável t = a 0 , 5: pegue t 3 − t − 6.
Responda: t 3 − t − 6 .
Convertendo frações contendo potências
Geralmente lidamos com duas variantes de expressões de potência com frações: a expressão é uma fração com grau ou contém tal fração. Todas as transformações básicas de fração são aplicáveis a tais expressões sem restrições. Eles podem ser reduzidos, trazidos para um novo denominador, trabalhar separadamente com o numerador e o denominador. Vamos ilustrar isso com exemplos.
Exemplo 7
Simplifique a expressão de potência 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .
Solução
Estamos lidando com uma fração, então vamos realizar transformações tanto no numerador quanto no denominador:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
Coloque um menos na frente da fração para mudar o sinal do denominador: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
Responda: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
As frações contendo potências são reduzidas a um novo denominador da mesma forma que as frações racionais. Para fazer isso, você precisa encontrar um fator adicional e multiplicar o numerador e o denominador da fração por ele. É necessário selecionar um fator adicional de forma que não desapareça para nenhum valor das variáveis das variáveis ODZ para a expressão original.
Exemplo 8
Traga as frações para um novo denominador: a) a + 1 a 0, 7 ao denominador uma, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 ao denominador x + 8 y 1 2 .
Solução
a) Escolhemos um fator que nos permitirá reduzir a um novo denominador. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , portanto, como fator adicional, tomamos um 0, 3. A faixa de valores admissíveis da variável a inclui o conjunto de todos os números reais positivos. Nesta área, o grau um 0, 3 não vai a zero.
Vamos multiplicar o numerador e o denominador de uma fração por um 0, 3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
b) Preste atenção ao denominador:
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
Multiplicando esta expressão por x 1 3 + 2 · y 1 6 , obtemos a soma dos cubos x 1 3 e 2 · y 1 6 , ou seja, x + 8 · y 1 2 . Este é o nosso novo denominador, para o qual precisamos trazer a fração original.
Então encontramos um fator adicional x 1 3 + 2 · y 1 6 . Na faixa de valores aceitáveis de variáveis x e y a expressão x 1 3 + 2 y 1 6 não desaparece, então podemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por ela:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
Responda: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 e 1 2 .
Exemplo 9
Reduza a fração: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.
Solução
a) Use o maior denominador comum (GCD) pelo qual o numerador e o denominador podem ser reduzidos. Para os números 30 e 45, isso é 15. Também podemos reduzir x 0 , 5 + 1 e em x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .
Nós temos:
30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)
b) Aqui a presença de fatores idênticos não é óbvia. Você terá que realizar algumas transformações para obter os mesmos fatores no numerador e no denominador. Para fazer isso, expandimos o denominador usando a fórmula da diferença de quadrados:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
Responda: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1), b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
As principais operações com frações incluem redução para um novo denominador e redução de frações. Ambas as ações são realizadas em conformidade com uma série de regras. Ao adicionar e subtrair frações, as frações são primeiro reduzidas a um denominador comum, após o que as operações (adição ou subtração) são realizadas com numeradores. O denominador permanece o mesmo. O resultado de nossas ações é uma nova fração, cujo numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores.
Exemplo 10
Faça os passos x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
Solução
Vamos começar subtraindo as frações que estão entre parênteses. Vamos trazê-los para um denominador comum:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
Vamos subtrair os numeradores:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
Agora multiplicamos frações:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
Vamos reduzir em um grau x 1 2, obtemos 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .
Além disso, você pode simplificar a expressão de potência no denominador usando a fórmula para a diferença de quadrados: quadrados: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.
Responda: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
Exemplo 11
Simplifique a expressão da potência x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Solução
Podemos reduzir a fração por (x 2 , 7 + 1) 2. Obtemos uma fração x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.
Vamos continuar as transformações de x potências x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Agora você pode usar a propriedade de dividir potências com as mesmas bases: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.
Passamos do último produto para a fração x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Responda: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .
Na maioria dos casos, é mais conveniente transferir multiplicadores com expoentes negativos do numerador para o denominador e vice-versa alterando o sinal do expoente. Esta ação simplifica a decisão posterior. Vamos dar um exemplo: a expressão de potência (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 pode ser substituída por x 3 · (x + 1) 0 , 2 .
Convertendo expressões com raízes e potências
Nas tarefas, existem expressões de potência que contêm não apenas graus com expoentes fracionários, mas também raízes. É desejável reduzir tais expressões apenas a raízes ou apenas a potências. A transição para graus é preferível, pois são mais fáceis de trabalhar. Tal transição é especialmente vantajosa quando o DPV das variáveis para a expressão original permite substituir as raízes por potências sem ter que acessar o módulo ou dividir o DPV em vários intervalos.
Exemplo 12
Expresse a expressão x 1 9 x x 3 6 como uma potência.
Solução
Intervalo válido de uma variável xé determinado por duas desigualdades x ≥ 0 e x · x 3 ≥ 0 , que definem o conjunto [ 0 , + ∞) .
Neste conjunto, temos o direito de passar das raízes às potências:
x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6
Usando as propriedades dos graus, simplificamos a expressão de potência resultante.
x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
Responda: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .
Convertendo potências com variáveis no expoente
Essas transformações são bastante simples de fazer se você usar corretamente as propriedades do grau. Por exemplo, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.
Podemos substituir o produto do grau, em termos do qual se encontra a soma de alguma variável e um número. No lado esquerdo, isso pode ser feito com o primeiro e o último termos do lado esquerdo da expressão:
5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .
Agora vamos dividir os dois lados da equação por 7 2x. Esta expressão na ODZ da variável x aceita apenas valores positivos:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
Vamos reduzir as frações com potências, temos: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .
Finalmente, a razão de potências com os mesmos expoentes é substituída por potências de razões, o que leva à equação 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , que equivale a 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .
Vamos introduzir uma nova variável t = 5 7 x , que reduz a solução da equação exponencial original à solução da equação quadrática 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .
Convertendo expressões com potências e logaritmos
Expressões contendo potências e logaritmos também são encontradas em problemas. Exemplos de tais expressões são: 1 4 1 - 5 log 2 3 ou log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . A transformação de tais expressões é realizada usando as abordagens e propriedades dos logaritmos acima, que analisamos detalhadamente no tópico "Transformação de expressões logarítmicas".
Se você notar um erro no texto, destaque-o e pressione Ctrl+Enter
EU. Trabalhar n fatores, cada um dos quais é igual a uma chamado n-ésima potência de um número uma e denotado uman.
Exemplos. Escreva o produto como um grau.
1) mmm; 2) aabb; 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.
Solução.
1) mmmm=m4, uma vez que, por definição de grau, o produto de quatro fatores, cada um dos quais é igual a m, vai ser a quarta potência de m.
2) aabb=a 3 b 2 ; 3) 5 5 5 5 ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3 .
II. A operação pela qual o produto de vários fatores iguais é encontrado é chamada de exponenciação. O número elevado a uma potência é chamado de base da potência. O número que indica a que potência a base é elevada é chamado de expoente. Então, uman- grau, uma- base do grau n- expoente. Por exemplo:
2 3 — é um grau. Número 2 - a base do grau, o expoente é igual a 3 . Valor do grau 2 3 é igual a 8, Porque 2 3 =2 2 2=8.
Exemplos. Escreva as seguintes expressões sem o expoente.
5) 4 3 ; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a3-b3; 8) 2a 4 +3b 2 .
Solução.
5) 4 3 = 4 4 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaaabbcc; 7) a 3 -b 3 = aa-bb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaa+3bb.
III. e 0 = 1 Qualquer número (exceto zero) elevado à potência zero é igual a um. Por exemplo, 25 0 = 1.
4. um 1 = umQualquer número elevado à primeira potência é igual a ele mesmo.
v. sou∙ um= sou + n Ao multiplicar potências com a mesma base, a base permanece a mesma e os expoentes adicionar.
Exemplos. Simplificar:
9) a a 3 a 7; 10) b0 +b2b3; 11) c 2 c 0 c 4 .
Solução.
9) a 3 a 7=a1+3+7 =a11; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b2+3 =1+b5;
11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 \u003d c 2+1+4 \u003d c 7 .
VI. sou: um= sou - nAo dividir potências com a mesma base, a base permanece a mesma e o expoente do divisor é subtraído do expoente do dividendo.
Exemplos. Simplificar:
12) a 8: a 3; 13) m11:m4; 14) 5 6:5 4 .
12) a 8: a 3=a 8-3 =a 5 ; 13) m11:m4=m11-4 =m7; quatorze ) 5 6:5 4 =5 2 =5 5=25.
VII. (sou) n= amn Ao elevar uma potência a uma potência, a base permanece a mesma e os expoentes são multiplicados.
Exemplos. Simplificar:
15) (a 3) 4 ; 16) (s 5) 2.
15) (a 3) 4=a 3 4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10 .
Nota, que, como o produto não muda de uma permutação de fatores, então:
15) (a 3) 4 \u003d (a 4) 3; 16) (c 5) 2 =(c 2) 5 .
VEU II. (a ∙ b) n =a n ∙ b n Ao elevar um produto a uma potência, cada um dos fatores é elevado a essa potência.
Exemplos. Simplificar:
17) (2a 2) 5 ; 18) 0,26 56; 19) 0,25 2 40 2 .
Solução.
17) (2a 2) 5\u003d 2 5 a 2 5 \u003d 32a 10; 18) 0,2 6 5 6=(0,2 5) 6 =1 6 =1;
19) 0,25 2 40 2\u003d (0,25 40) 2 \u003d 10 2 \u003d 100.
IX. Ao elevar uma fração a uma potência, tanto o numerador quanto o denominador da fração são elevados a essa potência.
Exemplos. Simplificar:
Solução.
Página 1 de 1 1
Uma das principais características da álgebra, e de fato em toda a matemática, é um diploma. É claro que, no século 21, todos os cálculos podem ser realizados em uma calculadora on-line, mas é melhor aprender a fazer você mesmo para o desenvolvimento do cérebro.
Neste artigo, consideraremos as questões mais importantes sobre essa definição. Ou seja, vamos entender o que é em geral e quais são suas principais funções, quais propriedades existem na matemática.
Vejamos exemplos de como é o cálculo, quais são as fórmulas básicas. Analisaremos os principais tipos de grandezas e como elas diferem de outras funções.
Vamos entender como resolver vários problemas usando esse valor. Mostraremos com exemplos como elevar a zero grau, irracional, negativo, etc.
Calculadora de exponenciação online
Qual é o grau de um número
O que significa a expressão "elevar um número a uma potência"?
O grau n de um número a é o produto de fatores de magnitude a n vezes seguidas.
Matematicamente fica assim:
a n = a * a * a * … a n .
Por exemplo:
- 2 3 = 2 na terceira etapa. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 no passo. dois = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 no passo. quatro = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 em 5 etapas. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100.000;
- 10 4 \u003d 10 em 4 etapas. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10.000.
Abaixo está uma tabela de quadrados e cubos de 1 a 10.
Tabela de graus de 1 a 10
Abaixo estão os resultados da elevação de números naturais a potências positivas - "de 1 a 100".
| Ch-lo | 2 º grau | 3ª série |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Propriedades do grau
O que é característico de tal função matemática? Vejamos as propriedades básicas.
Os cientistas estabeleceram o seguinte sinais característicos de todos os graus:
- a n * a m = (a) (n+m);
- a n: a m = (a) (n-m);
- (a b) m =(a) (b*m) .
Vamos verificar com exemplos:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Por outro lado, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Da mesma forma: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Caso contrário 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. E se for diferente? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Como você pode ver, as regras funcionam.
Mas como ser com adição e subtração? Tudo é simples. A primeira exponenciação é realizada e só depois a adição e a subtração.
Vejamos exemplos:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
Mas neste caso, você deve primeiro calcular a adição, pois há ações entre parênteses: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Como produzir cálculos em casos mais complexos? A ordem é a mesma:
- se houver colchetes, você precisa começar com eles;
- então exponenciação;
- em seguida, realize operações de multiplicação, divisão;
- após adição, subtração.
Existem propriedades específicas que não são características de todos os graus:
- A raiz do enésimo grau do número a ao grau m será escrita como: a m / n .
- Ao elevar uma fração a uma potência: tanto o numerador quanto seu denominador estão sujeitos a este procedimento.
- Ao elevar o produto de diferentes números a uma potência, a expressão corresponderá ao produto desses números a uma determinada potência. Ou seja: (a * b) n = a n * b n .
- Ao elevar um número a uma potência negativa, você precisa dividir 1 por um número na mesma etapa, mas com um sinal de “+”.
- Se o denominador de uma fração estiver em uma potência negativa, então esta expressão será igual ao produto do numerador e o denominador em uma potência positiva.
- Qualquer número elevado a 0 = 1 e elevado ao degrau. 1 = para si mesmo.
Essas regras são importantes em casos individuais, vamos considerá-las com mais detalhes abaixo.
Grau com expoente negativo
O que fazer com um grau negativo, ou seja, quando o indicador é negativo?
Com base nas propriedades 4 e 5(ver ponto acima) acontece que:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
E vice versa:
1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
E se for uma fração?
(A/B) (-n) = (B/A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.
Grau com um indicador natural
Entende-se como um grau com expoentes iguais a inteiros.
Coisas para lembrar:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...etc.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...etc.
Além disso, se (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…então o resultado será com um sinal “+”. Se um número negativo for elevado a uma potência ímpar, então vice-versa.
Propriedades gerais e todas as características específicas descritas acima também são características deles.
Grau fracionário
Esta visão pode ser escrita como um esquema: A m / n. É lido como: a raiz do enésimo grau do número A elevado à potência de m.
Com um indicador fracionário, você pode fazer qualquer coisa: reduzir, decompor em partes, aumentar para outro grau, etc.
Grau com expoente irracional
Seja α um número irracional e А ˃ 0.
Para entender a essência do grau com tal indicador, Vejamos diferentes casos possíveis:
- A \u003d 1. O resultado será igual a 1. Como existe um axioma - 1 é igual a um em todas as potências;
À r 1 ˂ À α ˂ À r 2 , r 1 ˂ r 2 são números racionais;
- 0˂А˂1.
Neste caso, vice-versa: À r 2 ˂ À α ˂ À r 1 nas mesmas condições do segundo parágrafo.
Por exemplo, o expoente é o número π.É racional.
r 1 - neste caso é igual a 3;
r 2 - será igual a 4.
Então, para A = 1, 1 π = 1.
A = 2, então 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, então (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Tais graus são caracterizados por todas as operações matemáticas e propriedades específicas descritas acima.
Conclusão
Vamos resumir - para que servem esses valores, quais são as vantagens de tais funções? Claro que, antes de tudo, eles simplificam a vida de matemáticos e programadores na hora de resolver exemplos, pois permitem minimizar cálculos, reduzir algoritmos, sistematizar dados e muito mais.
Onde mais esse conhecimento pode ser útil? Em qualquer especialidade de trabalho: medicina, farmacologia, odontologia, construção, tecnologia, engenharia, design, etc.
Aula sobre o tema: "Regras para multiplicar e dividir potências com expoentes iguais e diferentes. Exemplos"
Materiais adicionais
Caros usuários, não se esqueça de deixar seus comentários, comentários, sugestões. Todos os materiais são verificados por um programa antivírus.
Material didático e simuladores na loja online "Integral" para o 7º ano
Manual para o livro Yu.N. Manual de Makarycheva para o livro didático A.G. Mordkovich
O objetivo da lição: aprender a realizar operações com potências de um número.
Para começar, vamos relembrar o conceito de "potência de um número". Uma expressão como $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ pode ser representada como $a^n$.
O inverso também é verdadeiro: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Essa igualdade é chamada de "registrar o grau como um produto". Isso nos ajudará a determinar como multiplicar e dividir potências.
Lembrar:
uma- a base do grau.
n- expoente.
Se um n=1, o que significa o número uma tomado uma vez e respectivamente: $a^n= 1$.
Se um n=0, então $a^0= 1$.
Por que isso acontece, podemos descobrir quando nos familiarizarmos com as regras para multiplicar e dividir potências.
regras de multiplicação
a) Multiplicam-se potências de mesma base.Para $a^n * a^m$, escrevemos as potências como um produto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m)$.
A figura mostra que o número uma tomaram n+m vezes, então $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Exemplo.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Essa propriedade é conveniente para simplificar o trabalho ao elevar um número a uma potência grande.
Exemplo.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Se as potências são multiplicadas com base diferente, mas com o mesmo expoente.
Para $a^n * b^n$, escrevemos as potências como um produto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m)$.
Se trocarmos os fatores e contarmos os pares resultantes, obteremos: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Então $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Exemplo.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
regras de divisão
a) A base do grau é a mesma, os expoentes são diferentes.Considere dividir um grau com um expoente maior dividindo um grau com um expoente menor.
Isso é necessário $\frac(a^n)(a^m)$, Onde n>m.
Escrevemos os graus como uma fração:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Por conveniência, escrevemos a divisão como uma fração simples.Agora vamos reduzir a fração.
Acontece que: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Significa, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Essa propriedade ajudará a explicar a situação de elevar um número a uma potência de zero. Vamos supor que n=m, então $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Exemplos.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) As bases da licenciatura são diferentes, os indicadores são os mesmos.
Digamos que você precise de $\frac(a^n)(b^n)$. Escrevemos as potências dos números como uma fração:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Vamos imaginar por conveniência.
Usando a propriedade das frações, dividimos uma fração grande em um produto de pequenas, obtemos.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Assim: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Exemplo.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Obviamente, números com potências podem ser somados como outras quantidades , adicionando-os um a um com seus sinais.
Então, a soma de a 3 e b 2 é a 3 + b 2 .
A soma de a 3 - b n e h 5 -d 4 é a 3 - b n + h 5 - d 4 .
Chances as mesmas potências das mesmas variáveis pode ser adicionado ou subtraído.
Então, a soma de 2a 2 e 3a 2 é 5a 2 .
Também é óbvio que se tomarmos dois quadrados a, ou três quadrados a, ou cinco quadrados a.
Mas graus várias variáveis e vários graus variáveis idênticas, devem ser adicionados adicionando-os aos seus sinais.
Então, a soma de a 2 e a 3 é a soma de a 2 + a 3 .
É óbvio que o quadrado de a e o cubo de a não são duas vezes o quadrado de a, mas duas vezes o cubo de a.
A soma de a 3 b n e 3a 5 b 6 é a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Subtração poderes são executados da mesma forma que a adição, exceto que os sinais do subtraendo devem ser alterados de acordo.
Ou:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Multiplicação de poder
Números com potências podem ser multiplicados como outras quantidades escrevendo-os um após o outro, com ou sem o sinal de multiplicação entre eles.
Então, o resultado da multiplicação de a 3 por b 2 é a 3 b 2 ou aaabb.
Ou:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
O resultado no último exemplo pode ser ordenado adicionando as mesmas variáveis.
A expressão terá a forma: a 5 b 5 y 3 .
Ao comparar vários números (variáveis) com potências, podemos ver que se dois deles forem multiplicados, o resultado é um número (variável) com potência igual a soma graus de termos.
Assim, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Aqui 5 é a potência do resultado da multiplicação, igual a 2 + 3, a soma das potências dos termos.
Assim, a n .a m = a m+n .
Para a n , a é tomado como fator tantas vezes quanto a potência de n;
E a m , é tomado como fator tantas vezes quanto o grau m é igual a;
É por isso, potências com as mesmas bases podem ser multiplicadas pela adição dos expoentes.
Assim, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . E x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Ou:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Multiplique (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Resposta: x 4 - y 4.
Multiplique (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Esta regra também é válida para números cujos expoentes são - negativo.
1. Assim, a -2 .a -3 = a -5 . Isso pode ser escrito como (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. s-n .y-m = y-n-m .
3. a -n.am = am-n.
Se a + b for multiplicado por a - b, o resultado será a 2 - b 2: isto é
O resultado da multiplicação da soma ou diferença de dois números é igual à soma ou diferença de seus quadrados.
Se a soma e a diferença de dois números elevados a quadrado, o resultado será igual à soma ou diferença desses números em quarto grau.
Então, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Divisão de poderes
Números com potências podem ser divididos como outros números subtraindo do divisor ou colocando-os na forma de uma fração.
Então a 3 b 2 dividido por b 2 é a 3 .
Ou:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Escrever um 5 dividido por um 3 se parece com $\frac(a^5)(a^3)$. Mas isso é igual a um 2 . Em uma série de números
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
qualquer número pode ser dividido por outro, e o expoente será igual a diferença indicadores de números divisíveis.
Ao dividir potências com a mesma base, seus expoentes são subtraídos..
Então, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ou seja, $\frac(aaaa)(aa) = y$.
E a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ou seja, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Ou:
a2m: aa = aa
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
A regra também é válida para números com negativo valores de grau.
O resultado da divisão de um -5 por um -3 é um -2.
Além disso, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ou $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
É necessário dominar muito bem a multiplicação e divisão de potências, pois tais operações são muito utilizadas em álgebra.
Exemplos de resolução de exemplos com frações contendo números com potências
1. Reduza os expoentes em $\frac(5a^4)(3a^2)$ Resposta: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Reduza os expoentes em $\frac(6x^6)(3x^5)$. Resposta: $\frac(2x)(1)$ ou 2x.
3. Reduza os expoentes a 2 / a 3 e a -3 / a -4 e leve a um denominador comum.
a 2 .a -4 é um primeiro numerador -2.
a 3 .a -3 é a 0 = 1, o segundo numerador.
a 3 .a -4 é a -1 , o numerador comum.
Após simplificação: a -2 /a -1 e 1/a -1 .
4. Reduza os expoentes 2a 4 /5a 3 e 2 /a 4 e leve a um denominador comum.
Resposta: 2a 3 / 5a 7 e 5a 5 / 5a 7 ou 2a 3 / 5a 2 e 5/5a 2.
5. Multiplique (a 3 + b)/b 4 por (a - b)/3.
6. Multiplique (a 5 + 1)/x 2 por (b 2 - 1)/(x + a).
7. Multiplique b 4 /a -2 por h -3 /x e a n /y -3 .
8. Divida 4 /y 3 por 3 /y 2 . Resposta: a/s.
9. Divida (h 3 - 1)/d 4 por (d n + 1)/h.
