“O filhinho veio ao pai e perguntou ao pequenino: “Quais são os cantos?”. Mas o pai esqueceu a resposta. Isso é muito ruim!".

Em nosso artigo, propomos relembrar as lições de matemática e encontrar respostas para as perguntas do Bebê.

O que é um ângulo

O que é um ângulo é obviamente mais fácil de mostrar do que de explicar. Desde as séries elementares, sabemos que um ângulo plano:

1. Esta é uma figura geométrica.
2. É formado por dois lados - raios.
3. Os raios saem de um vértice - um ponto.
4. Medido em graus.

Ou seja, se você colocar um ponto em qualquer plano e depois desenhar dois raios a partir desse ponto (um raio é uma linha reta que tem começo, mas não tem fim), obtemos um ângulo, e não um, mas dois. Isso ocorre porque os raios dividiram o plano em duas partes. Formamos dois cantos - interno e externo.

Designação do ângulo

Um ângulo é denotado em matemática por tal sinal - “˪” e letras gregas: β, δ, φ. Você também pode designar ângulos em letras latinas pequenas ou grandes. Minúsculas (d, c, b) denotam os raios formando um ângulo, portanto, o nome será composto por duas letras e o ícone - ˪ab. Letras latinas maiúsculas denotam os três pontos de um ângulo: dois nos lados e um vértice (˪DEF). Além disso, a letra do topo sempre estará no meio do nome, e como ler DEF ou FED, isso já não faz diferença.

Tipos de cantos

Dependendo dos graus (valor medido), os ângulos são divididos em:

• Agudo (> 90 graus);
• Direto (exatamente 90);
• Mudo (180);
• Expandido (igual a 180);
• Não convexo (mais de 180, mas menos de 360);
• Cheio (360);

Todos os ângulos que não são retos ou retos são chamados de oblíquos.

Além disso, quais são os ângulos?

• Adjacentes - eles têm um lado em comum, enquanto os outros ficam, não coincidentes, no mesmo plano. A soma desses ângulos será sempre 180.
• Vertical - ângulos formados por duas retas que se cruzam e não possuem lados comuns, mas seus raios saem de um ponto. Ou seja, o lado de um canto é uma continuação do outro. Esses ângulos são iguais.
• Central - Um ângulo cujo vértice é o centro do círculo.
• Ângulo inscrito. Seu vértice está em um círculo e os raios que o formam cruzam esse círculo.

Agora você sabe o que é um ângulo reto e também pode dizer qual ângulo é agudo. Lembrar disso não é difícil, e outros tipos de ângulos também têm nomes característicos.

Neste artigo, analisaremos de forma abrangente uma das principais formas geométricas - o ângulo. Vamos começar com conceitos e definições auxiliares que nos levarão à definição de ângulo. Depois disso, fornecemos os métodos aceitos para designar ângulos. A seguir, trataremos em detalhes do processo de medição de ângulos. Em conclusão, mostraremos como você pode marcar os cantos no desenho. Fornecemos toda a teoria com os desenhos e ilustrações gráficas necessárias para melhor memorização do material.

Navegação da página.

Definição de ângulo.

O ângulo é uma das figuras mais importantes da geometria. A definição de um ângulo é dada através da definição de um raio. Por sua vez, a ideia de um raio não pode ser obtida sem o conhecimento de figuras geométricas como um ponto, uma linha reta e um plano. Portanto, antes de se familiarizar com a definição do ângulo, recomendamos atualizar a teoria das seções e.

Assim, partiremos dos conceitos de um ponto, uma linha reta em um plano e um plano.

Vamos primeiro dar a definição de um raio.

Seja-nos dada alguma linha reta no plano. Vamos denotar com a letra a. Seja O algum ponto da reta a. O ponto O divide a reta a em duas partes. Cada uma dessas partes junto com o ponto O é chamada feixe, e o ponto O é chamado o início do raio. Você também pode ouvir que o feixe é chamado semidireto.

Por brevidade e conveniência, a seguinte notação para raios foi introduzida: um raio é denotado por uma pequena letra latina (por exemplo, raio p ou raio k), ou por duas grandes letras latinas, a primeira das quais corresponde ao início do raio, e o segundo denota algum ponto deste raio (por exemplo, raio OA ou raio CD). Vamos mostrar a imagem e a designação dos raios no desenho.

Agora podemos dar a primeira definição de um ângulo.

Definição.

Canto- trata-se de uma figura geométrica plana (isto é, que se encontra inteiramente em um determinado plano), que é composta por dois raios desencontrados de origem comum. Cada um dos raios é chamado canto lateral, o início comum dos lados do ângulo é chamado canto superior.

É possível que os lados de um ângulo formem uma linha reta. Este ângulo tem seu próprio nome.

Definição.

Se ambos os lados de um ângulo estão na mesma linha, então o ângulo é chamado implantado.

Chamamos a sua atenção uma ilustração gráfica de um ângulo desenvolvido.

Um símbolo de ângulo é usado para denotar um ângulo. Se os lados do ângulo forem indicados em pequenas letras latinas (por exemplo, um lado do ângulo é k e o outro é h), para designar esse ângulo, após o ícone do ângulo, as letras correspondentes aos lados são escritas em uma linha, e a ordem de gravação não importa (ou seja, ou). Se os lados do ângulo são indicados por duas letras latinas grandes (por exemplo, um lado do ângulo OA e o segundo lado do ângulo OB), o ângulo é indicado da seguinte forma: após o sinal do ângulo, três letras são escritos que participam da designação dos lados do ângulo, e a letra correspondente ao vértice do ângulo, localizado no meio (no nosso caso, o ângulo será indicado como ou ). Se o vértice do canto não for o vértice de algum outro canto, esse ângulo pode ser denotado pela letra correspondente ao vértice do canto (por exemplo, ). Às vezes você pode ver que os cantos nos desenhos estão marcados com números (1, 2, etc.), esses cantos são indicados como e assim por diante. Para maior clareza, apresentamos uma figura na qual os cantos são mostrados e indicados.

Qualquer ângulo divide o plano em duas partes. Além disso, se o ângulo não é desenvolvido, então uma parte do plano é chamada área do canto interno, e o outro área de canto externa. A imagem a seguir explica qual parte do plano corresponde à parte interna do canto e qual parte à parte externa.

Qualquer uma das duas partes em que um ângulo achatado divide um plano pode ser considerada uma região interior do ângulo achatado.

A definição do interior de um ângulo nos leva à segunda definição de ângulo.

Definição.

Canto- esta é uma figura geométrica, que é composta por dois raios descasados ​​com origem comum e a região interna correspondente do ângulo.

Deve-se notar que a segunda definição do ângulo é mais estrita que a primeira, pois contém mais condições. No entanto, não se deve descartar a primeira definição do ângulo, nem considerar a primeira e a segunda definições do ângulo separadamente. Vamos explicar este ponto. Quando se trata de um ângulo como figura geométrica, então um ângulo é entendido como uma figura composta por dois raios com origem comum. Se for necessário realizar alguma ação com esse ângulo (por exemplo, medir um ângulo), então um ângulo já deve ser entendido como dois raios com uma origem comum e uma região interna (caso contrário, surgiria uma situação dupla devido a a presença de uma região interna e externa do ângulo ).

Vamos dar mais definições de ângulos adjacentes e verticais.

Definição.

Cantos adjacentes- são dois ângulos em que um lado é comum e os outros dois formam um ângulo reto.

Segue da definição que ângulos adjacentes se complementam até um ângulo reto.

Definição.

Ângulos verticais são dois ângulos em que os lados de um ângulo são extensões dos lados do outro.

A figura mostra ângulos verticais.

Obviamente, duas linhas que se cruzam formam quatro pares de ângulos adjacentes e dois pares de ângulos verticais.

Comparação de ângulos.

Neste parágrafo do artigo, trataremos das definições de ângulos iguais e desiguais, e também no caso de ângulos desiguais, explicaremos qual ângulo é considerado grande e qual é menor.

Lembre-se de que duas figuras geométricas são chamadas iguais se podem ser sobrepostas.

Sejam-nos dados dois ângulos. Vamos dar um raciocínio que nos ajude a responder à pergunta: “Esses dois ângulos são iguais ou não”?

Obviamente, sempre podemos combinar os vértices de dois vértices, assim como um lado do primeiro vértice com qualquer um dos lados do segundo vértice. Vamos combinar o lado do primeiro canto com o lado do segundo canto para que os lados restantes dos cantos fiquem do mesmo lado da linha reta em que os lados combinados dos cantos estão. Então, se os outros dois lados dos cantos estiverem alinhados, os cantos serão chamados igual.

Se os outros dois lados dos ângulos não coincidem, então os ângulos são chamados desigual, e menor o ângulo é considerado parte de outro ( grandeé o ângulo que contém completamente outro ângulo).

Obviamente, os dois ângulos retos são iguais. Também é óbvio que um ângulo desenvolvido é maior do que qualquer ângulo não desenvolvido.

Medição de ângulo.

A medição do ângulo baseia-se na comparação do ângulo medido com o ângulo tomado como unidade de medida. O processo de medição de ângulos é assim: a partir de um dos lados do ângulo medido, sua área interna é preenchida sequencialmente com ângulos únicos, empilhando-os firmemente um ao outro. Ao mesmo tempo, o número de cantos empilhados é lembrado, o que fornece a medida do ângulo medido.

De fato, qualquer ângulo pode ser tomado como unidade de medida para ângulos. No entanto, existem muitas unidades geralmente aceitas para medir ângulos relacionados a vários campos da ciência e tecnologia, eles receberam nomes especiais.

Uma das unidades para medir ângulos é grau.

Definição.

um graué um ângulo igual a cento e oitenta de um ângulo reto.

Um grau é denotado pelo símbolo "", portanto, um grau é denotado como.

Assim, em um ângulo desenvolvido, podemos encaixar 180 ângulos em um grau. Parecerá metade de uma torta redonda cortada em 180 pedaços iguais. Muito importante: os "pedaços da torta" se encaixam bem (ou seja, os lados dos cantos estão alinhados), com o lado do primeiro canto alinhado com um lado do canto achatado e o lado do canto da última unidade coincidiu com o outro lado do canto achatado.

Ao medir ângulos, descobre-se quantas vezes um grau (ou outra unidade de medida de ângulos) cabe no ângulo medido até que a área interna do ângulo medido seja completamente coberta. Como já vimos, em um ângulo desenvolvido, o grau cabe exatamente 180 vezes. Abaixo estão exemplos de ângulos em que um ângulo de um grau se encaixa exatamente 30 vezes (tal ângulo é um sexto de um ângulo reto) e exatamente 90 vezes (meio ângulo reto).

Para medir ângulos inferiores a um grau (ou outra unidade de medida de ângulos) e nos casos em que o ângulo não pode ser medido por um número inteiro de graus (unidades de medida tomadas), você deve usar partes de um grau (partes de unidades de medida). Certas partes do grau receberam nomes especiais. Os mais comuns são os chamados minutos e segundos.

Definição.

Minutoé um sexagésimo de grau.

Definição.

Segundoé um sexagésimo de minuto.

Em outras palavras, há sessenta segundos em um minuto e sessenta minutos (3600 segundos) em um grau. O símbolo "" é usado para denotar minutos, e o símbolo "" é usado para denotar segundos (não confunda com os sinais da derivada e da segunda derivada). Então, com as definições e notações introduzidas, temos , e o ângulo no qual 17 graus 3 minutos e 59 segundos se encaixam pode ser denotado como .

Definição.

Medida em grau de um ângulo um número positivo é chamado, o que mostra quantas vezes um grau e suas partes se encaixam em um determinado ângulo.

Por exemplo, a medida em graus de um ângulo reto é cento e oitenta, e a medida em graus de um ângulo é .

Para medir ângulos, existem instrumentos de medição especiais, sendo o mais famoso o transferidor.

Se a designação do ângulo (por exemplo,) e sua medida de grau (seja 110) forem conhecidas, use uma notação curta da forma e diga: "O ângulo AOB é cento e dez graus."

Das definições do ângulo e da medida em grau do ângulo, segue-se que na geometria a medida do ângulo em graus é expressa por um número real do intervalo (0, 180] (em trigonometria, ângulos com um grau arbitrário medem são considerados, eles são chamados). Um ângulo de noventa graus tem um nome especial, é chamado ângulo certo. Um ângulo menor que 90 graus é chamado ângulo agudo. Um ângulo maior que noventa graus é chamado ângulo obtuso. Assim, a medida de um ângulo agudo em graus é expressa por um número do intervalo (0, 90), a medida de um ângulo obtuso - por um número do intervalo (90, 180), um ângulo reto é igual a noventa graus. Aqui estão ilustrações de um ângulo agudo, um ângulo obtuso e um ângulo reto.

Do princípio de medir ângulos, segue-se que as medidas em graus de ângulos iguais são as mesmas, a medida em graus de um ângulo maior é maior que a medida em graus de um menor, e a medida em graus de um ângulo que consiste em vários ângulos é igual à soma das medidas em graus dos ângulos componentes. A figura abaixo mostra o ângulo AOB, que é formado pelos ângulos AOC, COD e DOB, enquanto .

Nesse caminho, a soma dos ângulos adjacentes é cento e oitenta graus, pois formam um ângulo reto.

Segue-se desta afirmação que . De fato, se os ângulos AOB e COD são verticais, então os ângulos AOB e BOC são adjacentes e os ângulos COD e BOC também são adjacentes, portanto, as igualdades e são válidas, das quais decorre a igualdade.

Junto com o grau, uma unidade conveniente para medir ângulos é chamada radiano. A medida radiano é amplamente utilizada em trigonometria. Vamos definir um radiano.

Definição.

Um ângulo radiano- isto é canto central, que corresponde ao comprimento do arco, igual ao comprimento do raio do círculo correspondente.

Vamos dar uma ilustração gráfica de um ângulo de um radiano. No desenho, o comprimento do raio OA (assim como o raio OB ) é igual ao comprimento do arco AB , portanto, por definição, o ângulo AOB é igual a um radiano.

A abreviatura "rad" é ​​usada para denotar radianos. Por exemplo, escrever 5 rad significa 5 radianos. No entanto, por escrito, a designação "rad" é ​​frequentemente omitida. Por exemplo, quando se escreve que o ângulo é igual a pi, significa pi rad.

Deve-se notar separadamente que o valor do ângulo, expresso em radianos, não depende do comprimento do raio do círculo. Isso se deve ao fato de que as figuras limitadas por um determinado ângulo e um arco de círculo centrado no vértice de um determinado ângulo são semelhantes entre si.

Medir ângulos em radianos pode ser feito da mesma forma que medir ângulos em graus: descubra quantas vezes um ângulo de um radiano (e suas partes) cabe em um determinado ângulo. E você pode calcular o comprimento do arco do ângulo central correspondente e depois dividi-lo pelo comprimento do raio.

Para as necessidades da prática, é útil saber como as medidas de graus e radianos se relacionam umas com as outras, já que uma boa parte deve ser realizada. Neste artigo, é estabelecida uma relação entre o grau e a medida em radianos de um ângulo, e são dados exemplos de conversão de graus para radianos e vice-versa.

Designação de cantos no desenho.

Nos desenhos, por conveniência e clareza, os cantos podem ser marcados com arcos, que geralmente são desenhados na região interna do canto de um lado do canto ao outro. Ângulos iguais são marcados com o mesmo número de arcos, ângulos desiguais com um número diferente de arcos. Os ângulos retos no desenho são indicados por um símbolo da forma "", que é representado na região interna do ângulo reto de um lado do canto ao outro.

Se você precisar marcar muitos ângulos diferentes no desenho (geralmente mais de três), ao designar ângulos, além dos arcos comuns, é permitido usar arcos de algum tipo especial. Por exemplo, você pode representar arcos irregulares ou algo semelhante.

Deve-se notar que você não deve se empolgar com a designação de ângulos nos desenhos e não desordenar os desenhos. Recomendamos marcar apenas os ângulos que são necessários no processo de resolução ou prova.

Bibliografia.

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• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Livro didático para 10-11 anos do ensino médio.
• Pogorelov A.V., Geometria. Livro didático para as séries 7-11 de instituições de ensino.

O que é um ângulo?

Um ângulo é uma figura formada por dois raios saindo de um ponto (Fig. 160).
Os raios que formam canto, são chamados de lados do ângulo, e o ponto de onde eles saem é chamado de vértice do ângulo.
Na Figura 160, os lados do ângulo são os raios OA e OB, e seu vértice é o ponto O. Este ângulo é assim designado: AOB.

Ao escrever um ângulo no meio, escreva uma letra denotando seu vértice. Um ângulo também pode ser denotado por uma única letra - o nome de seu vértice.

Por exemplo, em vez de "ângulo AOB", eles escrevem mais curto: "ângulo O".

Em vez da palavra "canto", eles escrevem um sinal.

Por exemplo, AOB, O.

Na figura 161, os pontos C e D estão dentro do ângulo AOB, os pontos X e Y estão fora desse ângulo e pontos M e H - nas laterais do canto.

Como todas as formas geométricas, os ângulos são comparados usando uma sobreposição.

Se um ângulo pode ser sobreposto a outro para que coincidam, então esses ângulos são iguais.

Por exemplo, na Figura 162 ABC = MNK.

Do topo do ângulo SOK (Fig. 163) uma viga OR foi desenhada. Ele divide o ângulo SOC em dois ângulos - COP e ROCK. Cada um desses ângulos é menor que o ângulo ROC.

Escrito por: COP< COK и POK < COK.

Reto e angular

Dois complementares entre si feixe formar um canto dobrado. Os lados desse ângulo juntos formam uma linha reta na qual se encontra o topo do ângulo expandido (Fig. 164).

Os ponteiros das horas e minutos do relógio formam um ângulo desenvolvido às 6 horas (Fig. 165).

Vamos dobrar um pedaço de papel ao meio duas vezes e depois desdobrá-lo (Fig. 166).

As linhas de dobra formam 4 ângulos iguais. Cada um desses ângulos é igual à metade do ângulo reto. Esses ângulos são chamados de ângulos retos.

Um ângulo reto é metade de um ângulo reto.

desenho de triângulo

Para construir um ângulo reto, use o desenho triângulo(Fig. 167). Para construir um ângulo reto, um dos lados do qual é o raio OL, é necessário:

a) disponha o triângulo desenhado de modo que o vértice de seu ângulo reto coincida com o ponto O, e um dos lados siga ao longo do raio OA;

b) desenhe um raio OB ao longo do segundo lado do triângulo.

Como resultado, obtemos um ângulo reto AOB.

Perguntas ao tópico

1.O que é um ângulo?
2. Que ângulo é chamado de desdobrado?
3. Que ângulos são chamados iguais?
4. Que ângulo é chamado de reto?
5. Como se constrói um ângulo reto usando um triângulo desenhado?

Já sabemos que qualquer ângulo divide o plano em duas partes. Mas, se em um ângulo ambos os lados estiverem na mesma linha reta, esse ângulo é chamado de desdobrado. Ou seja, em um ângulo desenvolvido, um lado dele é uma continuação do outro lado do ângulo.

Agora vamos olhar para a figura, que mostra apenas o ângulo desenvolvido O.

Se pegarmos e desenharmos um raio do vértice de um ângulo reto, ele dividirá o ângulo reto dado em mais dois ângulos, que terão um lado comum, e os outros dois ângulos formarão uma linha reta. Ou seja, de um canto desdobrado, temos dois adjacentes.

Se pegarmos um ângulo reto e desenharmos uma bissetriz, essa bissetriz dividirá o ângulo reto em dois ângulos retos.

E, no caso de desenharmos um raio arbitrário do vértice do ângulo desenvolvido, que não é uma bissetriz, esse raio dividirá o ângulo expandido em dois ângulos, um dos quais será agudo e o outro obtuso.

Propriedades de canto plano

O ângulo expandido tem as seguintes propriedades:

Primeiro, os lados de um ângulo reto são antiparalelos e formam uma linha reta;
em segundo lugar, o ângulo desenvolvido é de 180°;
em terceiro lugar, dois ângulos adjacentes formam um ângulo reto;
em quarto lugar, o ângulo desenvolvido é metade do ângulo total;
em quinto lugar, o ângulo total será igual à soma de dois ângulos desenvolvidos;
sexto, metade do ângulo reto é um ângulo reto.

Medição de ângulo

Para medir qualquer ângulo, um transferidor é mais frequentemente usado para esses fins, em que a unidade de medida é um grau. Ao medir ângulos, deve-se lembrar que qualquer ângulo tem sua própria medida de grau específica e, naturalmente, essa medida é maior que zero. E o ângulo desenvolvido, como já sabemos, é igual a 180 graus.

Ou seja, se pegarmos qualquer plano de um círculo e o dividirmos por raios em 360 partes iguais, então 1/360 desse círculo será um grau angular. Como você já sabe, um grau é indicado por um determinado ícone, que se parece com isso: "°".

Agora também sabemos que um grau 1° = 1/360 de um círculo. Se o ângulo for igual ao plano do círculo e for 360 graus, esse ângulo estará completo.

E agora pegamos e dividimos o plano do círculo com a ajuda de dois raios situados em uma linha reta em duas partes iguais. Então, neste caso, o plano do semicírculo será metade do ângulo completo, ou seja, 360: 2 = 180 °. Recebemos um ângulo que é igual ao semiplano do círculo e tem 180°. Este é o ângulo torcido.

Tarefa prática

1613. Dê um nome aos ângulos mostrados na Figura 168. Anote suas designações.

1614. Desenhe quatro raios: OA, OB, OS e OD. Escreva os nomes dos seis ângulos cujos lados são esses raios. Em quantas partes esses raios se dividem avião?

1615. Indique quais pontos na Figura 169 estão dentro do ângulo KOM Quais pontos estão fora desse ângulo? Quais pontos estão do lado OK e quais estão do lado OM?

1616. Desenhe um ângulo MOD e desenhe um raio OT dentro dele. Nomeie e rotule os ângulos em que este raio divide o ângulo MOD.

1617. O ponteiro dos minutos em 10 minutos virou para o ângulo AOB, nos próximos 10 minutos - para o ângulo BOC, e em outros 15 minutos - para o ângulo COD. Compare os ângulos AOB e BOC, BOC e COD, AOC e AOB, AOC e COD (Fig. 170).

1618. Use o triângulo de desenho para desenhar 4 ângulos retos em diferentes posições.

1619. Usando o triângulo desenhado, encontre os ângulos retos na figura 171. Anote suas designações.

1620. Mostre os ângulos retos na sala de aula.

a) 0,09 200; b) 208 0,4; c) 130 0,1 + 80 0,1.

1629. Quantos por cento de 400 é o número 200; 100; quatro; 40; 80; 400; 600?

1630. Encontre o número que falta:

a) 2 5 3 b) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. Desenhe um quadrado cujo lado é igual ao comprimento de 10 células do caderno. Deixe este quadrado representar um campo. O centeio ocupa 12% do campo, a aveia - 8%, o trigo - 64%, e o restante do campo é ocupado pelo trigo sarraceno. Mostre na imagem a parte do campo ocupada por cada cultura. Que porcentagem do campo é trigo mourisco?

1632. Durante o ano letivo, Petya consumiu 40% dos cadernos comprados no início do ano, restando 30 cadernos. Quantos cadernos foram comprados para Petya no início do ano letivo?

1633. O bronze é uma liga de estanho e cobre. Que porcentagem da liga é cobre em uma peça de bronze, consistindo de 6 kg de estanho e 34 kg de cobre?

1634. O farol de Alexandria, construído na antiguidade, que foi chamado de uma das sete maravilhas do mundo, é 1,7 vezes mais alto que as torres do Kremlin de Moscou, mas mais baixo que o prédio da Universidade de Moscou em 119 m. Encontre a altura de cada uma dessas estruturas se as torres do Kremlin de Moscou estão 49 m abaixo do Farol de Alexandria.

1635. Encontre com a ajuda de uma microcalculadora:

a) 4,5% de 168; c) 28,3% de 569,8;
b) 147,6% de 2.500; d) 0,09% de 456.800.

1636. Resolva o problema:

1) A área do jardim é de 6,4 a. No primeiro dia, 30% da horta foi desenterrada e, no segundo dia, 35% da horta. Quantos ares faltam para cavar?

2) Serezha teve 4,8 horas de tempo livre. Ele passou 35% desse tempo lendo um livro e 40% assistindo a programas de TV. Quanto tempo ele tem?

1637. Faça o seguinte:

1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638 Desenhe um ângulo BAC e marque um ponto dentro do ângulo, fora do ângulo e nas laterais do ângulo.

1639. Quais dos pontos marcados na Figura 172 estão dentro do ângulo AMK. Qual ponto está dentro do ângulo AMB> mas fora do ângulo AMK. Quais pontos estão nos lados do ângulo AMK?

1640. Use o triângulo desenhado para encontrar os ângulos retos na figura 173.

1641. Construa um quadrado com um lado de 43 mm. Calcule seu perímetro e área.

1642. Encontre o valor da expressão:

a) 14,791: a + 160,961: b, se a = 100, b = 10;
b) 361,62s + 1848: d se c = 100, d = 100.

1643. O trabalhador tinha que fazer 450 peças. No primeiro dia, ele fez 60% das peças, e o restante no segundo. Quantas partes fez trabalhador no segundo dia?

1644. Havia 8.000 livros na biblioteca. Um ano depois, seu número aumentou em 2.000 livros. Em que porcentagem o número de livros na biblioteca aumentou?

1645. Caminhões no primeiro dia percorreram 24% do trajeto pretendido, no segundo dia - 46% do trajeto, e no terceiro - os 450 km restantes. Quantos quilômetros esses caminhões percorreram?

1646. Descubra quantos são:

a) 1% de uma tonelada; c) 5% de 7 toneladas;
b) 1% de um litro; d) 6% de 80 km.

1647. A massa de um filhote de morsa é 9 vezes menor que a massa de uma morsa adulta. Qual é a massa de uma morsa adulta se, juntamente com o filhote, sua massa é de 0,9 toneladas?

1648. Durante as manobras, o comandante deixou 0,3 de todos os seus soldados para guardar a passagem, e dividiu o resto em 2 destacamentos para defender duas alturas. O primeiro destacamento tinha 6 vezes mais soldados que o segundo. Quantos soldados havia no primeiro destacamento se houvesse 200 soldados no total?

N.Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matemática 5ª série, Livro didático para instituições educacionais

Medida do ângulo

O ângulo in é medido em graus (graus, minutos, segundos), em revoluções - a razão entre o comprimento do arco s e a circunferência L, em radianos - a razão entre o comprimento do arco s e o raio r; historicamente, a medida de granizo para medir ângulos também era usada; atualmente, quase nunca é usada.

1 volta = 2π radianos = 360° = 400 graus.

Na terminologia náutica, os ângulos são indicados por pontos.

Tipos de canto

Os ângulos adjacentes são agudos (a) e obtusos (b). Ângulo invertido (c)

Além disso, o ângulo entre curvas suaves no ponto tangente é considerado: por definição, seu valor é igual ao ângulo entre as tangentes às curvas.

Fundação Wikimedia. 2010.

Veja o que é o "ângulo desenvolvido" em outros dicionários:

Um ângulo igual a dois ângulos retos. * SCAN de uma superfície é uma figura obtida em um plano com tal combinação de pontos de uma dada superfície com este plano, no qual os comprimentos das linhas permanecem inalterados. Desenvolvimento de curva ver Involute ... Grande Dicionário Enciclopédico

canto- ▲ diferença de direção (no espaço) extensão do ângulo de giro de uma direção para outra; diferença de direção; parte de uma volta completa (inclinação #. forma #). inclinar. inclinado. desvio. desviar (a estrada desviou para a direita). ... ...

Canto- Cantos: 1 vista geral; 2 adjacentes; 3 adjacentes; 4 verticais; 5 implantados; 6 retas, afiadas e contundentes; 7 entre curvas; 8 entre uma linha reta e um plano; 9 entre linhas retas que se cruzam (não estão no mesmo plano) linhas retas. ÂNGULO, geométrico… … Dicionário Enciclopédico Ilustrado

Uma figura geométrica que consiste em dois raios diferentes que emanam do mesmo ponto. Raios chamados lados U., e seu início comum é o vértice U. Seja [BA), [BC) os lados do ângulo, B seu vértice, o plano determinado pelos lados U. A figura divide o plano ... ... Enciclopédia Matemática

Um ângulo igual a dois ângulos retos. * * * ÂNGULO REVELADO ÂNGULO REVELADO, um ângulo igual a dois ângulos retos... dicionário enciclopédico

Ramo da matemática que estuda as propriedades de várias formas (pontos, linhas, ângulos, objetos bidimensionais e tridimensionais), seu tamanho e posição relativa. Para facilitar o ensino, a geometria é dividida em planimetria e geometria sólida. NO… … Enciclopédia Collier

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grau- a, m. 1) A unidade de medida de um ângulo plano, igual a 1/90 de um ângulo reto ou, respectivamente, 1/360 de um círculo. Um ângulo de 90 graus é chamado de ângulo reto. O ângulo expandido é de 180 graus. 2) Uma unidade de medida para um intervalo de temperatura com ... ... Dicionário popular da língua russa

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Os alunos são apresentados ao conceito de ângulo na escola primária. Mas como uma figura geométrica com certas propriedades, eles começam a estudá-la a partir da 7ª série em geometria. Parece, forma bem simples o que pode ser dito sobre ela. Mas, adquirindo novos conhecimentos, os alunos entendem cada vez mais que você pode aprender fatos bastante interessantes sobre ela.

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Quando são estudados

O curso de geometria escolar é dividido em duas seções: planimetria e geometria sólida. Cada um deles tem muita atenção. dado aos cantos:

• Na planimetria, seu conceito básico é dado, ocorre o conhecimento de seus tipos em tamanho. As propriedades de cada tipo de triângulo são estudadas com mais detalhes. Aparecem novas definições para os alunos - são formas geométricas formadas na interseção de duas linhas entre si e na interseção de várias linhas de uma secante.
• Na estereometria, são estudados ângulos espaciais - diedro e triédrico.

Atenção! Este artigo discute todos os tipos e propriedades de ângulos na planimetria.

Definição e medição

Começando a estudar, primeiro determine, o que é um ângulo em planimetria.

Se pegarmos um certo ponto no plano e desenharmos dois raios arbitrários, obtemos uma figura geométrica - um ângulo, composto pelos seguintes elementos:

• o vértice - o ponto de onde os raios foram desenhados é indicado por uma letra maiúscula do alfabeto latino;
• os lados são meia linha desenhada a partir do topo.

Todos os elementos que formam a figura que estamos considerando dividem o plano em duas partes:

• interno - em planimetria não excede 180 graus;
• externo.

O princípio de medição de ângulos em planimetria explicado intuitivamente. Para começar, os alunos são apresentados ao conceito de ângulo desenvolvido.

Importante! Diz-se que um ângulo está desenvolvido se as semi-retas que emanam de seu vértice formam uma linha reta. Um ângulo desdobrado é todos os outros casos.

Se for dividido em 180 partes iguais, costuma-se considerar a medida de uma parte igual a 10. Nesse caso, dizem que a medida é feita em graus, e a medida em graus de tal figura é 180 graus.

Tipos principais

Os tipos de ângulos são subdivididos de acordo com critérios como a medida do grau, a natureza de sua formação e as categorias apresentadas a seguir.

Por tamanho

Dada a magnitude, os ângulos são divididos em:

• implantado;
• direto;
• estúpido;
• apimentado.

Qual ângulo é chamado de desdobrado foi apresentado acima. Vamos definir o conceito de linha reta.

Pode ser obtido dividindo o implantado em duas partes iguais. Nesse caso, é fácil responder à pergunta: um ângulo reto, quantos graus tem?

Divida 180 graus por 2 para obter ângulo reto é 90 graus. Esta é uma figura maravilhosa, pois muitos fatos da geometria estão associados a ela.

Também possui características próprias na designação. Para mostrar um ângulo reto na figura, ele é indicado não por um arco, mas por um quadrado.

Os ângulos que são obtidos pela divisão de um raio arbitrário de uma linha reta são chamados agudos. De acordo com a lógica das coisas, segue-se que um ângulo agudo é menor que um ângulo reto, mas sua medida é diferente de 0 graus. Ou seja, tem um valor de 0 a 90 graus.

Um ângulo obtuso é maior que um ângulo reto, mas menor que um ângulo reto. Sua medida de grau varia de 90 a 180 graus.

Este elemento pode ser dividido em diferentes tipos de figuras em consideração, excluindo a expandida.

Independentemente de como o ângulo não girado é quebrado, o axioma básico da planimetria é sempre usado - “a principal propriedade da medida”.

No dividindo o ângulo com um feixe ou vários, a medida em graus de uma dada figura é igual à soma das medidas dos ângulos em que ela é dividida.

No nível do 7º ano, os tipos de ângulos em sua magnitude terminam aí. Mas para aumentar a erudição, pode-se acrescentar que existem outras variedades que possuem medida de grau superior a 180 graus, são chamadas de convexas.

Figuras na interseção de linhas

Os próximos tipos de ângulos aos quais os alunos são apresentados são os elementos formados quando duas linhas se cruzam. Figuras que são colocadas em frente uma da outra são chamadas de verticais. Sua característica distintiva é que eles são iguais.

Os elementos adjacentes à mesma linha são chamados de adjacentes. O teorema que mapeia sua propriedade diz que Ângulos adjacentes somam 180 graus.

Elementos em um triângulo

Se considerarmos a figura como um elemento de um triângulo, os ângulos são divididos em internos e externos. O triângulo é limitado por três segmentos e consiste em três vértices. Os ângulos localizados dentro do triângulo em cada vértice, chamado interno.

Se pegarmos qualquer elemento interno em qualquer vértice e estendermos qualquer lado, o ângulo formado e adjacente ao interno é chamado de externo. Este par de elementos tem a seguinte propriedade: sua soma é 180 graus.

Intersecção de duas retas

Interseção de linha

Quando duas retas se cruzam, os ângulos também são formados, que geralmente são distribuídos em pares. Cada par de elementos tem seu próprio nome. Se parece com isso:

• reticulação interna: ∟4 e ∟6, ∟3 e ∟5;
• interno unilateral: ∟4 e ∟5, ∟3 e ∟6;
• correspondentes: ∟1 e ∟5, ∟2 e ∟6, ∟4 e ∟8, ∟3 e ∟7.

Quando uma secante cruza duas