Um grande bloco de matemática é dedicado a trabalhar com frações ou números não inteiros. Eles são encontrados com muita frequência na vida, portanto, saber trabalhar com esses números é importante para qualquer pessoa. A matemática é uma ciência em que o aluno começa com o conhecimento de coisas e ações simples, e depois passa para as mais complexas.

O conhecimento e a capacidade de trabalhar com números semelhantes tornarão mais fácil para ele trabalhar com logaritmos, expoentes racionais e integrais no futuro. Com esses números, você pode fazer tudo da mesma forma que os comuns: adicionar frações, dividir, subtrair e multiplicar. Além disso, eles podem ser reduzidos. Trabalhar com frações é fácil, o principal é conhecer as regras básicas e os métodos para calculá-las.

Conceitos Básicos

Para entender o que é esse significado, é necessário imaginar um determinado objeto inteiro. Digamos que há um bolo que foi cortado em vários pedaços idênticos ou iguais. Cada peça será chamada de compartilhamento.

Por exemplo, 10 consiste em 5 dois, cada dois é uma parte de dez.

As ações têm nomes próprios, dependendo do número total em um número inteiro: 10 podem consistir em dois cincos ou cinco dois, no primeiro caso será chamado (um segundo), e no segundo - (um quinto). Deve-se lembrar que é igual à metade do número, (um terço) - terços e (um quarto) - um quarto. Eles também podem ser representados por meio de um traço: ½, 1/3 ou 1/5.

Um número escrito em cima de uma linha horizontal ou à esquerda de uma linha oblíqua, chamado de numerador- mostra quantas ações foram retiradas de um número inteiro, e o número está abaixo da linha ou à direita dela - denominador, mostra quantas ações foram divididas. Por exemplo, o bolo foi dividido em 10 pedaços e imediatamente separou dois deles para os convidados atrasados. Isso será 2/10 (dois décimos), ou seja, tirou 2 (numerador) peças do total de 10 (denominador).

Quais são as ações, o que é uma fração imprópria, o que é uma fração ordinária? Estas perguntas são fáceis de responder:

Uma figura mista pode sempre transformar em fração imprópria e vice versa.

A propriedade principal diz: ao multiplicar, além de dividir o dividendo e o divisor pelo mesmo fator, em geral o valor da fração não será alterado. Esta propriedade possibilita todas as operações com frações.

Como cortar?

A regra principal diz que o número fracionário pode ser reduzido - divida seu numerador e denominador ao mesmo divisor(diferente de 0) para que seja obtido um novo dígito com parâmetros menores, mas igual ao valor original. Com base nessa regra, pode-se entender que frações podem ser reduzidas e irredutíveis.

Um exemplo de redução de fração: 8/24 é reduzido dividindo seus parâmetros por 2. Obtemos: 8:2=4 e 24:2=12. Como resultado, o valor original se transformará em 4/12. Você pode repetir a operação dividindo os números novamente: 4:2=2 e 12:2=6. Temos 2/6. Vamos repetir a operação mais uma vez: 2:2=1 e 6:2=3. O resultado é a figura irredutível 1/3, pois seus parâmetros não podem mais ser divididos pelo mesmo divisor. Qualquer número reduzido pode ser levar ao irredutível.

Você pode reduzir ao multiplicar expressões fracionárias entre si:

*. Por si só, esses números são irredutíveis, mas realizando a operação de multiplicação, você pode reduzi-los na diagonal: * = =. Você só pode reduzir ao multiplicar cruzado: o numerador do primeiro com o denominador do segundo, e vice-versa.

Você também pode reduzir um valor misto, ou seja, representar a parte inteira e a fração própria como uma fração imprópria. Por esta Deve ser feito algumas ações:

A ação inversa também é verdadeira: faça uma fração mista de uma fração imprópria. Para fazer isso, considere a ação inversa com:

É possível reduzir frações em qualquer operação desta forma. Você pode reduzir os valores de seu dividendo e divisor ao multiplicá-los pelo mesmo fator e converter de um número misto para uma fração e vice-versa.

Possíveis ações

Todos os principais tipos de cálculos estão disponíveis na contagem de ações, bem como com números inteiros: adição, subtração e outros. Considere cada ação separadamente com exemplos:

Adição e subtração

Você pode adicionar compartilhamentos de duas maneiras, dependendo de seu divisor. São iguais e diferentes. Considere um exemplo de adição de compartilhamentos com os mesmos divisores.

Para resolver +, é necessário somar o dividendo separadamente e não tocar no divisor: 1 + 1. O resultado será um número, mas como está incorreto, pode ser convertido para um misto dividindo o dividendo pelo divisor: 2: 2 = 1. A parte errada deve sempre (!) ser dada ao correto e irredutível, ou seja, se seu dividendo e seu divisor puderem ser divididos pelo mesmo fator, isso deverá ser feito em ordem obrigatória.

No caso de somar ações com divisores diferentes, devem inicialmente levar ao mesmo. Por exemplo, para resolver: você precisa:

A subtração é realizada exatamente da mesma maneira: no caso de divisores idênticos, não os tocamos e subtraímos os numeradores sequencialmente: - = =

. Se os denominadores forem diferentes, você deve fazer o mesmo que com a adição: encontre o MMC, fatores, multiplique as ações e subtraia as ações com os mesmos divisores.

Que tipos de frações existem?

Vamos começar com o que é. Uma fração é um número que tem alguma fração de um. Pode ser escrito de duas formas. O primeiro é chamado de comum. Ou seja, aquele que tem um traço horizontal ou oblíquo. Equivale ao sinal de divisão.

Em tal notação, o número acima do traço é chamado de numerador e abaixo dele é chamado de denominador.

Entre as frações ordinárias, distinguem-se as frações certas e erradas. Para o primeiro, o numerador do módulo é sempre menor que o denominador. Os errados são chamados assim porque têm o oposto. O valor de uma fração própria é sempre menor que um. Enquanto o errado é sempre maior que esse número.

Existem também números mistos, ou seja, aqueles que possuem parte inteira e parte fracionária.

O segundo tipo de notação é decimal. Sobre sua conversa separada.

Qual é a diferença entre frações impróprias e números mistos?

Basicamente, nada. É apenas uma notação diferente do mesmo número. Frações impróprias após operações simples tornam-se facilmente números mistos. E vice versa.

Tudo depende da situação específica. Às vezes, em tarefas, é mais conveniente usar uma fração imprópria. E às vezes é necessário traduzi-lo em um número misto, e então o exemplo será resolvido com muita facilidade. Portanto, o que usar: frações impróprias, números mistos - depende da observação do solucionador do problema.

O número misto também é comparado com a soma da parte inteira e da parte fracionária. Além disso, o segundo é sempre menor que a unidade.

Como representar um número misto como uma fração imprópria?

Se você deseja realizar alguma ação com vários números escritos em formas diferentes, é necessário torná-los iguais. Um método é representar números como frações impróprias.

Para isso, você precisará seguir o seguinte algoritmo:

• multiplique o denominador pela parte inteira;
• adicione o valor do numerador ao resultado;
• escreva a resposta acima da linha;
• deixe o denominador igual.

Aqui estão alguns exemplos de como escrever frações impróprias de números mistos:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Como escrever uma fração imprópria como um número misto?

O próximo método é o oposto do discutido acima. Ou seja, quando todos os números mistos são substituídos por frações impróprias. O algoritmo de ações será o seguinte:

• divida o numerador pelo denominador para obter o resto;
• escreva o quociente no lugar da parte inteira do misto;
• o restante deve ser colocado acima da linha;
• o divisor será o denominador.

Exemplos de tal transformação:

76/14; 76:14 = 5 com resto 6; a resposta é 5 inteiros e 6/14; a parte fracionária neste exemplo precisa ser reduzida em 2, você obtém 3/7; a resposta final é 5 inteiros 3/7.

108/54; após a divisão, obtém-se o quociente 2 sem resto; isso significa que nem todas as frações impróprias podem ser representadas como um número misto; a resposta é um número inteiro - 2.

Como transformar um inteiro em fração imprópria?

Há situações em que tal ação é necessária. Para obter frações impróprias com um denominador predeterminado, você precisará executar o seguinte algoritmo:

• multiplique um inteiro pelo denominador desejado;
• escreva este valor acima da linha;
• coloque um denominador abaixo dele.

A opção mais simples é quando o denominador é igual a um. Então não há necessidade de multiplicar. Basta escrever um inteiro, que é dado no exemplo, e colocar uma unidade sob a linha.

Exemplo: Faça de 5 uma fração imprópria com denominador 3. Depois de multiplicar 5 por 3, você obtém 15. Esse número será o denominador. A resposta para a tarefa é uma fração: 15/3.

Duas abordagens para resolver tarefas com números diferentes

No exemplo, é necessário calcular a soma e a diferença, bem como o produto e o quociente de dois números: 2 inteiros 3/5 e 14/11.

Na primeira abordagem o número misto será representado como uma fração imprópria.

Após executar as etapas descritas acima, você obtém o seguinte valor: 13/5.

Para descobrir a soma, você precisa reduzir as frações ao mesmo denominador. 13/5 multiplicado por 11 se torna 143/55. E 14/11 depois de multiplicado por 5 terá a forma: 70/55. Para calcular a soma, você só precisa somar os numeradores: 143 e 70, e depois escrever a resposta com um denominador. 213/55 - esta fração imprópria é a resposta para o problema.

Ao encontrar a diferença, esses mesmos números são subtraídos: 143 - 70 = 73. A resposta é uma fração: 73/55.

Ao multiplicar 13/5 e 14/11, você não precisa reduzir a um denominador comum. Basta multiplicar os numeradores e denominadores em pares. A resposta será: 182/55.

Da mesma forma com a divisão. Para a solução correta, você precisa substituir a divisão pela multiplicação e inverter o divisor: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

Na segunda abordagem Uma fração imprópria torna-se um número misto.

Após realizar as ações do algoritmo, 14/11 se transformará em um número misto com uma parte inteira de 1 e uma parte fracionária de 3/11.

Ao calcular a soma, você precisa adicionar as partes inteiras e fracionárias separadamente. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. A resposta final é 3 inteiros 48/55. Na primeira abordagem houve uma fração 213/55. Você pode verificar a exatidão convertendo-o em um número misto. Depois de dividir 213 por 55, o quociente é 3 e o resto é 48. É fácil ver que a resposta está correta.

Ao subtrair, o sinal "+" é substituído por "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Para verificar a resposta da abordagem anterior, você precisa convertê-la em um número misto: 73 é dividido por 55 e você obtém um quociente de 1 e um resto de 18.

Para encontrar o produto e o quociente, é inconveniente usar números mistos. Aqui é sempre recomendado mudar para frações impróprias.

Como converter uma fração imprópria em uma correta?

A palavra em si - uma fração significa que o número é fracionário, é menor que um inteiro (pelo menos um).

Portanto, é necessário extrair um inteiro do numerador. Por exemplo, o número 30/4 é uma fração incorreta, pois 30 é maior que 4. Então, você só precisa dividir 30 por 4 e obter o número antes da vírgula - 7, e depois colocá-lo na frente da fração . Multiplique 7 por 4 e subtraia esse número de 30 - você obtém 2 - estará no numerador da fração. O resultado é 7 2/4, reduzimos - 7 1/2. No seu exemplo, a resposta é 2 3/4.

Para fazer isso, você precisa de um denominador: o denominador.

O inteiro que acabou - escreva no numerador. O denominador é aquele que foi. Quando você dividir, anote-o como uma parte inteira.

11:4=2 (3º restante).

Obtemos a fração da regra: 2 - até 34

Para converter uma fração imprópria em uma correta, você precisa identificar as partes inteiras e subtraí-las da fração imprópria. No nosso caso, a fração imprópria é 11/4. Serão duas (2) partes inteiras. Nós os subtraímos e obtemos a fração correta: dois vírgula três quartos (2 vírgula 3/4).

Uma fração imprópria, no nosso caso, 11/4 deve ser convertida em uma fração correta, ou seja, neste caso, uma fração mista. Se de maneira simples, a fração está incorreta, pois além da fração também há um inteiro nela. É como colocar na geladeira um bolo que não está pronto, ainda que cortado, e sobre a mesa sobrarem alguns pedaços do segundo. Quando falamos de 4/11, não sabemos mais sobre dois bolos inteiros, vemos apenas onze pedaços grandes. 11 dividido por 4 dá 2, e o resto é 11-8=3. Então, 2 inteiros 3/4, agora a fração está correta, nela o numerador será menor que o denominador, mas misto, pois o cálculo não poderia prescindir de unidades inteiras.

Para converter uma fração imprópria em uma correta, divida o numerador pelo denominador. O inteiro resultante é retirado antes da fração e o restante é inserido no numerador. O denominador não muda.

Por exemplo: 11/4 é uma fração imprópria onde o numerador é 11 e o denominador é 4.

Primeiro, dividimos 11 por 4, obtemos 2 inteiros e 3 restantes. Tiramos 2 antes da fração e escrevemos o resto 3 no numerador 3/4. Assim, a fração se torna regular - 2 inteiros e 3/4.

Para uma fração imprópria, o denominador é menor que o numerador, o que indica que essa fração possui partes inteiras que podem ser distinguidas e obtidas como uma fração própria com um número inteiro.

A maneira mais fácil de dividir o numerador pelo denominador. O inteiro resultante é colocado à esquerda da fração e o restante é escrito no numerador, o denominador permanece o mesmo.

Por exemplo, 04/11. Dividimos 11 por 4 e obtemos 2 e o resto 3. Dois é o número que colocamos ao lado da fração, e escrevemos o três no numerador da fração. Sai 2 e 3/4.

Para responder a esta pergunta simples, você pode resolver o mesmo problema simples:

Petya e Valya vieram para a companhia de seus pares. Ao todo, eram 11. Valya tinha maçãs com ele (mas não muitas) e, para atender a todos, Petya cortou cada uma em quatro partes e as distribuiu. O suficiente para todos e ainda restam cinco peças.

Quantas maçãs Petya distribuiu e quantas maçãs sobraram? Quantos estavam lá?

Você pode escrevê-lo matematicamente

11 fatias de maçã, que no nosso caso é 11/4, receberam fração imprópria, pois o numerador é maior que o denominador.

Para destacar toda a parte (converter fração imprópria para própria), você precisa divida o numerador pelo denominador, o quociente incompleto (no nosso caso é 2) é escrito à esquerda, o resto (3) é deixado no numerador e o denominador não é tocado.

Como resultado, obtemos 11/4 = 11:4 = 2 3/4 Peter distribuiu as maçãs.

Da mesma forma, 5/4 = 1 1/4 maçãs restantes.

(11+5)/4 = 16/4 = 4 maçãs trazidas por Valya

Números decimais como 0,2; 1,05; 3.017 etc como são ouvidas, assim são escritas. Zero ponto dois, temos uma fração. Um quinhentos inteiros, temos uma fração. Três inteiros dezessete milésimos, temos uma fração. Os dígitos antes do ponto decimal em um número decimal são a parte inteira da fração. O número após o ponto decimal é o numerador da fração futura. Se houver um número de um dígito após o ponto decimal, o denominador será 10, se dois dígitos - 100, três dígitos - 1000, etc. Algumas das frações resultantes podem ser reduzidas. Em nossos exemplos

Convertendo uma fração em um número decimal

Este é o inverso da transformação anterior. O que é uma fração decimal? Seu denominador é sempre 10, ou 100, ou 1.000, ou 10.000, e assim por diante. Se a sua fração habitual tiver esse denominador, não há problema. Por exemplo, ou

Se uma fração, por exemplo . Nesse caso, você precisa usar a propriedade básica da fração e converter o denominador para 10 ou 100, ou 1000... No nosso exemplo, se multiplicarmos o numerador e o denominador por 4, obtemos uma fração que pode ser escrita como um número decimal 0,12.

Algumas frações são mais fáceis de dividir do que converter o denominador. Por exemplo,

Algumas frações não podem ser convertidas em números decimais!
Por exemplo,

Convertendo uma fração mista em uma imprópria

Uma fração mista, como , é facilmente convertida em uma fração imprópria. Para fazer isso, você precisa multiplicar a parte inteira pelo denominador (parte inferior) e adicioná-la ao numerador (parte superior), deixando o denominador (parte inferior) inalterado. Aquilo é

Ao converter uma fração mista em uma imprópria, lembre-se de que pode usar a adição de frações

Convertendo uma fração imprópria em uma mista (destacando a parte inteira)

Uma fração imprópria pode ser convertida em uma fração mista, destacando a parte inteira. Considere um exemplo, . Determine quantos inteiros vezes "3" cabem em "23". Ou dividimos 23 por 3 na calculadora, o número inteiro até a vírgula é o desejado. Este é "7". Em seguida, determinamos o numerador da fração futura: multiplicamos o resultado "7" pelo denominador "3" e subtraímos o resultado do numerador "23". Como encontraríamos o excesso que resta do numerador "23", se retirarmos o número máximo de "3". O denominador permanece inalterado. Tudo está feito, anote o resultado

Cada pessoa, ao resolver problemas de matemática, muitas vezes enfrentava problemas com frações. Existem muitos deles, por isso consideraremos diferentes opções para resolver os principais desses problemas.

O que são frações

O número de cima de qualquer fração é chamado de numerador e o número de baixo é chamado de denominador. Uma fração ordinária é um quociente de dois números, um desses números está no numerador da fração, o segundo está no denominador da fração. Os tipos dessas frações ordinárias serão determinados comparando o denominador e o numerador da fração.

Se o denominador de uma fração (um número natural) for maior que o numerador de uma fração (um número natural), então a fração é chamada própria. Aqui estão alguns exemplos: 19/07; 13/09; 31/152; 17/05.

Se o denominador de uma fração (um número natural) for menor ou igual ao numerador de uma fração (um número natural), então a fração é chamada de fração imprópria. Aqui estão alguns exemplos: 7/5; 19/3; 15/9; 231/63.

Como traduzir uma fração imprópria

Para converter uma fração mista em imprópria, você precisa multiplicar a parte inteira da fração pelo denominador na parte fracionária e adicionar o numerador a este produto. Em seguida, tome a soma como numerador, escrevendo o mesmo denominador de antes. aqui estão alguns exemplos:

• 4(3/11) = (4x11+3)/11 = (44+3)/11 = 47/11.
• 11(5/9) = (11x9+5)/9 = (99+5)/9 = 104/9.

Para converter uma fração imprópria em uma própria, você precisa dividir o numerador dessa fração imprópria pelo seu denominador. O inteiro resultante é tomado como a parte inteira da fração, e o resto (claro, se existir) é tomado como o numerador da parte fracionária da fração correta, escrevendo o mesmo denominador de antes. aqui estão alguns exemplos:

• 150/13 = (143/13)+(7/13) = 11(7/13).
• 156/12 = (13x12)/12 = 13.

Para converter uma fração imprópria em decimal, você precisa descobrir se tal fator existe, o que permitirá trazer o denominador da parte fracionária da fração imprópria para um número igual a dez (ou dez elevado a qualquer potência (10, 100, 1000 e além). Se tal fator é, então é necessário multiplicar o numerador e denominador da fração imprópria por este fator para verificar. Agora o numerador multiplicado deve ser atribuído, separado por uma vírgula , para a parte inteira da fração imprópria. Damos exemplos:

• Multiplicador "5" - 8/20 = (8x5) / (20x5) = 40/100 = 0,4.
• Multiplicador "4" - 14/25 = (14x4) / (25x4) = 56/100 = 0,56.
• Multiplicador "25" - 3/40 = (3x25)/(40x25) = 75/1000 = 0,075.

Se não existir tal fator, significa que esta fração decimal imprópria não tem um equivalente claro. Ou seja, nem toda fração imprópria pode ser convertida em decimal. Nesse caso, você precisa encontrar o valor aproximado da fração com o grau de precisão necessário. Você pode calcular essa fração em uma calculadora, em sua mente ou em uma coluna. Aqui estão alguns exemplos: 41/7 = 5(6/7) = 5,9 (arredondado para décimos), = 5,86 (arredondado para centésimos), = 5,857 (arredondado para milésimos); 3/7, 7/6, 1/3 e outros. Eles também não são claramente traduzidos e são contados em uma calculadora, na mente ou em uma coluna.

Agora você sabe como converter fração imprópria em própria ou decimal!

Regras e truques matemáticos simples, se não forem usados ​​constantemente, são esquecidos mais rapidamente. Os termos estão desaparecendo da memória ainda mais rápido.

Uma dessas ações simples é a conversão de uma fração imprópria em própria, ou seja, mista.

Fração imprópria

Uma fração imprópria é uma fração na qual o numerador (o número acima da barra fracionária) é maior ou igual ao denominador (o número abaixo da barra). Essa fração é obtida adicionando frações ou multiplicando uma fração por um número inteiro. De acordo com as regras da matemática, essa fração deve ser transformada em uma fração regular.

Fração própria

É lógico supor que todas as outras frações são chamadas corretas. Definição estrita - uma fração correta é chamada, na qual o numerador é menor que o denominador. Uma fração que tem uma parte inteira é às vezes chamada de fração mista.

Convertendo uma Fração Imprópria em uma Fração Adequada

• Primeiro caso: numerador e denominador são iguais entre si. Como resultado da transformação de qualquer fração, uma será obtida. Não importa se são três terços ou cento e vinte e cinco cento e vinte e cinco avos. De fato, tal fração denota a ação de dividir um número por ele mesmo.

• Segundo caso: o numerador é maior que o denominador. Aqui você precisa se lembrar do método de divisão de números com resto.
  Para fazer isso, você precisa encontrar o número mais próximo do valor do numerador, que é divisível pelo denominador sem deixar resto. Por exemplo, você tem uma fração de dezenove terços. O número mais próximo que pode ser dividido por três é dezoito. Pegue seis. Agora subtraia o número resultante do numerador. Recebemos uma unidade. Este é o restante. Anote o resultado da transformação: seis inteiros e um terço.

Mas antes de trazer a fração para a forma correta, você precisa verificar se ela pode ser reduzida.
Uma fração pode ser reduzida se o numerador e o denominador tiverem um divisor comum. Ou seja, um número pelo qual ambos são divisíveis sem deixar resto. Se houver vários desses divisores, você precisará encontrar o maior deles.
Por exemplo, todos os números pares têm um divisor comum - dois. E a fração de décimo sexto décimo segundo tem outro divisor comum - quatro. Este é o maior divisor. Divida o numerador e o denominador por quatro. Resultado da redução: quatro terços. Agora, como prática, converta esta fração para uma adequada.

Neste material, analisaremos algo como números mistos. Começamos, como sempre, com uma definição e pequenos exemplos, depois explicaremos a conexão entre números mistos e frações impróprias. Depois disso, aprenderemos como extrair corretamente a parte inteira de uma fração e obter um inteiro como resultado.

O conceito de número misto

Se tomarmos a soma n + a b , onde o valor de n pode ser qualquer número natural, e a b é uma fração ordinária própria, então podemos escrever a mesma coisa sem usar um mais: n a b . Vamos pegar números específicos para maior clareza: então, 28 + 5 7 é o mesmo que 28 5 7 . Escrever uma fração ao lado de um inteiro é chamado de número misto.

Definição 1

número mistoé um número que é igual à soma de um número natural n com uma fração ordinária própria a b . Nesse caso, n é a parte inteira do número e a b é sua parte fracionária.

Segue-se da definição que qualquer número misto é igual ao que resultará da adição de suas partes inteiras e fracionárias. Assim, a igualdade n a b = n + a b será válida.

Também pode ser escrito como n + a b = n a b .

Quais são alguns exemplos de números mistos? Então, 5 1 8 pertence a eles, enquanto cinco é sua parte inteira e um oitavo é fracionário. Mais exemplos: 1 1 2 , 234 34 53 , 34000 6 25 .

Escrevemos acima que apenas uma fração própria deve estar na parte fracionária de um número misto. Às vezes você pode encontrar entradas como 5 22 3 , 75 7 2 . Eles não são números mistos, porque sua parte fracionária está errada. Eles precisam ser entendidos como a soma de um inteiro e uma parte fracionária. Esses números podem ser reduzidos a números mistos padrão pegando a parte inteira da fração imprópria e somando-a a 5 e 75 nesses exemplos, respectivamente.

Os números da forma 0 3 14 também não são misturados. A primeira parte da condição não é cumprida aqui: a parte inteira deve ser representada apenas por um número natural, e zero não.

Como as frações impróprias e os números mistos estão relacionados?

Essa conexão é mais fácil de rastrear em um exemplo concreto.

Exemplo 1

Vamos pegar um bolo inteiro e mais três quartos do mesmo. De acordo com as regras de adição, temos 1 + 3 4 bolos na mesa. Essa soma pode ser representada como um número misto como 1 3 4 bolos. Se pegarmos um bolo inteiro e também o cortarmos em quatro partes iguais, teremos 7 4 bolos na mesa. Obviamente, a quantidade não aumentou com o corte, e 1 3 4 = 7 4 .

Nosso exemplo prova que qualquer fração imprópria pode ser representada como um número misto.

Vamos voltar aos nossos 7 4 bolos que sobraram na mesa. Vamos colocar um bolo de volta de seus pedaços (1 + 3 4). Teremos novamente 1 3 4 .

Responda: 7 4 = 1 3 4 .

Descobrimos como converter uma fração imprópria em um número misto. Se o numerador de uma fração imprópria contiver um número que possa ser dividido pelo denominador sem deixar resto, você poderá fazer isso e nossa fração imprópria se tornará um número natural.

Exemplo 2

Por exemplo,

8 4 = 2 desde 8: 4 = 2 .

Como converter um número misto em uma fração imprópria

Para resolver problemas com sucesso, é útil poder realizar a ação inversa, ou seja, fazer frações impróprias a partir de números mistos. Neste parágrafo, analisaremos como fazê-lo corretamente.

Para fazer isso, você precisa reproduzir a seguinte sequência de ações:

1. Para começar, apresentamos o número misto disponível n a b como a soma das partes inteiras e fracionárias. Acontece que n + a b

3. Depois disso, realizamos uma ação já familiar - adicionamos duas frações ordinárias n 1 e a b. A fração imprópria resultante será igual ao número misto dado na condição.

Vamos analisar esta ação em um exemplo específico.

Exemplo 3

Escreva 5 3 7 como uma fração imprópria.

Solução

Realizamos as etapas do algoritmo acima em sequência. Nosso número 5 3 7 é a soma das partes inteiras e fracionárias, ou seja, 5 + 3 7. Agora vamos escrever o cinco como 5 1 . Obtivemos a soma 5 1 + 3 7 .

O último passo é adicionar frações com denominadores diferentes:

5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7

A solução completa para a forma abreviada pode ser escrita como 5 3 7 = 5 + 3 7 = 5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7 .

Responda: 5 3 7 = 38 7 .

Assim, com a ajuda da cadeia de ações acima, podemos converter qualquer número misto n a b em uma fração imprópria. Obtivemos a fórmula n a b = n b + a b , que usaremos para resolver outros problemas.

Exemplo 4

Escreva 15 2 5 como uma fração imprópria.

Solução

Pegue esta fórmula e substitua os valores desejados nela. Temos n = 15 , a = 2 , b = 5 , portanto 15 2 5 = 15 5 + 2 5 = 77 5 .

Responda: 15 2 5 = 77 5 .

Normalmente não listamos a fração imprópria como resposta final. É costume levar os cálculos até o final e substituí-los por um número natural (dividindo o numerador pelo denominador) ou por um número misto. Como regra, o primeiro método é usado quando é possível dividir o numerador pelo denominador sem deixar resto, e o segundo - se tal ação for impossível.

Quando extraímos a parte inteira de uma fração imprópria, simplesmente a substituímos por um número misto igual.

Vamos ver como exatamente isso é feito.

Definição 2

Apresentamos uma prova desta afirmação.

Precisamos explicar por que q r b = a b . Para isso, o número misto q r b deve ser representado como uma fração imprópria seguindo todos os passos do algoritmo do parágrafo anterior. Como é um quociente incompleto e r é o resto da divisão de a por b, então a igualdade a = b · q + r deve valer.

Então q b + r b = a b então q r b = a b . Esta é a prova da nossa afirmação. Para resumir:

Definição 3

A seleção da parte inteira da fração imprópria a b é realizada da seguinte forma:

1) dividimos a por b com resto e escrevemos o quociente incompleto q e o resto r separadamente.

2) Escreva os resultados como q r b . Este é o nosso número misto, igual à fração imprópria original.

Exemplo 5

Expresse 1074 como um número misto.

Solução

Dividimos 104 por 7 em uma coluna:

Dividindo o numerador a = 118 pelo denominador b = 7 nos dá o quociente incompleto q = 16 e o ​​resto r = 6.

Como resultado, obtemos que a fração imprópria 118 7 é igual ao número misto q r b = 16 6 7 .

Responda: 118 7 = 16 6 7 .

Resta-nos ver como substituir uma fração imprópria por um número natural (desde que seu numerador seja divisível pelo denominador sem deixar resto).

Para fazer isso, lembre-se da relação existente entre frações ordinárias e divisão. Disto podemos derivar as igualdades: a b = a: b = c . Acontece que a fração imprópria a b pode ser substituída por um número natural c.

Exemplo 6

Por exemplo, se a resposta for uma fração imprópria 27 3, podemos escrever 9, pois 27 3 \u003d 27: 3 \u003d 9.

Responda: 27 3 = 9 .

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