números na forma trigonométrica.

Fórmula de Moivre

Seja z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) e z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

A forma trigonométrica de um número complexo é conveniente para realizar as operações de multiplicação, divisão, elevação a uma potência inteira e extração de uma raiz de grau n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sen( 1 +  2)).

Na multiplicação de dois números complexos na forma trigonométrica, seus módulos são multiplicados e seus argumentos são adicionados. Ao dividir seus módulos são divididos e seus argumentos subtraídos.

Uma consequência da regra para multiplicar um número complexo é a regra para elevar um número complexo a uma potência.

z = r(cos  + i sen ).

z n \u003d r n (cos n + isin n).

Essa proporção é chamada Fórmula de De Moivre.

Exemplo 8.1 Encontre o produto e o quociente de números:

E

Solução

z1∙z2
∙

=

;

Exemplo 8.2 Escreva um número na forma trigonométrica

∙
-i) 7 .

Solução

denotar
e z 2 =
- eu.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = argz 1 = arctg ;

z1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctg
;

z2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 2 7
=

2 9

§ 9 Extraindo a raiz de um número complexo

Definição. raiznª potência de um número complexo z (indicando
) é um número complexo w tal que w n = z. Se z = 0, então
= 0.

Seja z  0, z = r(cos + isin). Denote w = (cos + sin), então escrevemos a equação w n = z na seguinte forma

 n (cos(n ) + isin(n )) = r(cos + isin).

Portanto  n = r,

 =

Assim w k =
·
.

Existem exatamente n valores distintos entre esses valores.

Portanto, k = 0, 1, 2, …, n – 1.

No plano complexo, esses pontos são os vértices de um n-gon regular inscrito em um círculo com um raio
centrado no ponto O (Figura 12).

Figura 12

Exemplo 9.1 Encontrar todos os valores
.

Solução.

Vamos representar esse número na forma trigonométrica. Encontre seu módulo e argumento.

w k =
, onde k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

No plano complexo, esses pontos são os vértices de um quadrado inscrito em um círculo com raio
centrado na origem (Figura 13).

Figura 13 Figura 14

Exemplo 9.2 Encontrar todos os valores
.

Solução.

z = - 64 = 64(cos + isin);

w k =
, onde k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w4 =
; w 5 =
.

No plano complexo, esses pontos são os vértices de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio 2 centrada no ponto O (0; 0) - Figura 14.

§ 10 A forma exponencial de um número complexo.

Fórmula de Euler

denotar
= cos  + isin  e
= cos  - isin  . Essas proporções são chamadas Fórmulas de Euler .

Função
tem as propriedades usuais de uma função exponencial:

Seja o número complexo z escrito na forma trigonométrica z = r(cos + isin).

Usando a fórmula de Euler, podemos escrever:

z = r
.

Esta entrada é chamada forma indicativa número complexo. Usando-o, obtemos as regras para multiplicação, divisão, exponenciação e extração de raízes.

Se z 1 = r 1
e z 2 = r 2
?Que

z 1 z 2 = r 1 r 2
;

·

z n = r n

, onde k = 0, 1, … , n – 1.

Exemplo 10.1 Escreva um número na forma algébrica

z=
.

Solução.

Exemplo 10.2 Resolva a equação z 2 + (4 - 3i)z + 4 - 6i = 0.

Solução.

Para quaisquer coeficientes complexos, esta equação tem duas raízes z 1 e z 1 (possivelmente coincidentes). Essas raízes podem ser encontradas usando a mesma fórmula do caso real. Porque
assume dois valores que diferem apenas no sinal, então esta fórmula tem a forma:

Desde –9 \u003d 9 e  i, então os valores
números serão:

Então
E
.

Solução.

As raízes desejadas da equação serão os valores
.

Para z = –1 temos r = 1, arg(–1) = .

w k =
, k = 0, 1, 2.

exercícios

9 Apresente na forma exponencial os números:

10 Escreva nas formas exponencial e algébrica do número:

11 Escreva nas formas algébrica e geométrica os números:

12 números dados

Apresentando-os na forma exponencial, encontre
.

13 Usando a forma exponencial de um número complexo, faça o seguinte:

A)
b)

V)
G)

Com e número natural n 2 .

Número complexo Z chamado raizn– c, Se Z n = c.

Encontrar todos os valores raiz n– grau de um número complexo Com. Deixar c=| c|·(porque arg c+ eu· pecado argCom), A Z = | Z|·(comos arg Z + eu· pecado arg Z) , Onde Z raiz n- grau de um número complexo Com. Então deve ser = c = | c|·(porque arg c+ eu· pecado argCom). Daí segue que
E n· arg Z = argCom
arg Z =
(k=0,1,…) . Por isso, Z =
(porque
+ eu· pecado
), (k=0,1,…) . É fácil ver que qualquer um dos valores
, (k=0,1,…) diferente de um dos valores correspondentes
,(k = 0,1,…, n-1) para um múltiplo 2π. É por isso , (k = 0,1,…, n-1) .

Exemplo.

Calcule a raiz de (-1).

, obviamente |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1 (porque π + eu· pecado π )

, (k = 0, 1).

= eu

Grau com expoente racional arbitrário

Tome um número complexo arbitrário Com. Se n número natural, então Com n = | c| n ·(Comos nArgcom +eu· pecado nArgCom)(6). Esta fórmula também é verdadeira no caso n = 0 (c≠0)
. Deixar n < 0 E n Z E c ≠ 0, Então

Com n =
(cos nArgCom+i sin nArgCom) = (cos nArgCom+ eu peco nArgCom) . Assim, a fórmula (6) é válida para qualquer n.

Vamos pegar um número racional , Onde q número natural e Ré um número inteiro.

Então sob grau c r vamos entender o número
.

nós entendemos isso ,

(k = 0, 1, …, q-1). Esses valores q pedaços, se a fração não for reduzida.

Aula №3 O limite de uma sequência de números complexos

Uma função de valor complexo de um argumento natural é chamada sequência de números complexos e denotado (Com n ) ou Com 1 , Com 2 , ..., Com n . Com n = um n + b n · eu (n = 1,2, ...) números complexos.

Com 1 , Com 2 , … - membros da sequência; Com n - membro comum

Número complexo Com = a+ b· eu chamado limite de uma sequência de números complexos (c n ) , Onde Com n = um n + b n · eu (n = 1, 2, …) , onde para qualquer

, isso para todos n > N a desigualdade
. Uma sequência que tem um limite finito é chamada convergente seqüência.

Teorema.

Para que uma sequência de números complexos (com n ) (Com n = um n + b n · eu) convergiu para um número com = a+ b· eu, é necessário e suficiente para a igualdadelim a n = a, lim b n = b.

Prova.

Vamos provar o teorema com base na seguinte desigualdade dupla óbvia

, Onde Z = x + y· eu (2)

Necessidade. Deixar lim(Com n ) = com. Vamos mostrar que as igualdades lim a n = a E lim b n = b (3).

Obviamente (4)

Porque
, Quando n → ∞ , segue-se do lado esquerdo da desigualdade (4) que
E
, Quando n → ∞ . portanto, as igualdades (3) são válidas. A necessidade foi comprovada.

Adequação. Agora deixe as igualdades (3) valerem. Segue da igualdade (3) que
E
, Quando n → ∞ , portanto, devido ao lado direito da desigualdade (4), será
, Quando n→∞ , Significa lim(Com n )=s. A suficiência foi comprovada.

Assim, a questão da convergência de uma sequência de números complexos é equivalente à convergência de duas sequências de números reais, portanto, todas as propriedades básicas dos limites das sequências de números reais se aplicam a sequências de números complexos.

Por exemplo, para sequências de números complexos, o critério de Cauchy é válido: para uma sequência de números complexos (com n ) convergiram, é necessário e suficiente que para qualquer

, isso para qualquern, m > Na desigualdade
.

Teorema.

Seja uma sequência de números complexos (com n ) E (z n ) convergem respectivamente para com ez, então a igualdadelim(Com n z n ) = c z, lim(Com n · z n ) = c· z. Se é sabido com certeza queznão é igual a 0, então a igualdade
.