Voltando às equações diferenciais básicas de oscilações, notamos que quando as multiplicamos por – = k 2, elas conterão termos, alguns dos quais possuem um coeficiente do quadrado da velocidade E vibrações transversais, outras - quadrado da velocidade longitudinal hesitação.
Os primeiros termos no caso de vibrações longitudinais devem desaparecer das equações, e obtemos o primeiro grupo:
Como a superfície p, por nossa escolha, é a superfície de uma onda, então nas equações do § 7 devemos reter uma oscilação R e igualar as vibrações /?! E R.2, ocorrendo em um plano tangente à onda. Como resultado, encontramos, assumindo // =1:
Como A = 0, então as equações (1) terão a forma:
Multiplicando a primeira das equações (2) por //i // 2, diferenciando em relação a p e prestando atenção à equação (4), encontramos:
O que de acordo com as equações (2), B não depende de р x ou de [–]. Portanto, o significado através &F derivada parcial de uma função F por uma das variáveis ^, R. 2, obtemos da equação (7):
Substituindo nesta expressão as quantidades H1H2, encontrado nas págs. 3, igualando os coeficientes em várias potências a zero, encontramos as seguintes condições que a onda F – i deve satisfazer
Isso é conhecido que tais relações ocorrem apenas para esfera, cilindro redondo e plano.
A partir daqui temos, O que superfícies de ondas isotérmicas podem propagar vibrações longitudinais.
Portanto, se a superfície trêmula ou a onda inicial não pertence às superfícies das ondas isotérmicas, então as vibrações ocorrem perto delas misturado , mas em distâncias consideráveis a onda se aproxima da forma de uma das ondas isotérmicas, e oscilações são detectadas no fenômeno longitudinal. PARAR!!!
Resta integrar as equações diferenciais dadas para a esfera, com usando funções harmônicas!!!
Experimentos de Tesla – oscilador harmônico é inaceitável!!!
Para esferas nas coordenadas que já utilizamos, temos:
Outras transformações são insignificantes e não são dadas, pois levam a equação original , que não tem significado físico para ondas do tipo sóliton.
As conclusões encontradas são igualmente aplicáveis aos fenómenos da luz em corpos homogéneos e, além disso, dentro dos limites de aproximação que ocorrem na teoria de Boussinesq!?
Daqui:"momento doloroso" identificado.
Coleção matemática de N. Umov, volume 5, 1870.
Outra incerteza “terrível”
Raciocinando de forma semelhante, poderíamos facilmente obter uma expressão semelhante para a energia magnética e, portanto, para as correntes. Nós vemos que, mesmo insistindo na mais simples das fórmulas, o problema da localização da energia ainda não pode ser resolvido.
E temos a mesma coisa para o fluxo de energia. É possível transformar o movimento da energia atual de forma arbitrária adicionando outro vetor (u, v, w) ao vetor de Poynting, que deve satisfazer apenas a equação dos fluidos incompressíveis
Sendo consequência de equações gerais, não acrescenta nada a elas.
Portanto, a localização de energia é logicamente inútil(e às vezes, prejudicial).
Mas há um aspecto em que é importante considerar o teorema de Poynting.
O principal fato do qual deriva a lei da conservação da energia foi e continua sendo o fato experimentalmente descoberto da impossibilidade movimento Perpétuo , um fato - independente de nossas idéias, e pode ser atribuído a porções de energia que o éter deveria possuir na ausência de corpos materiais.
A lei da conservação da energia, na sua forma clássica C = Const., explica essa impossibilidade.
Teorema de Poynting, exigindo a capacidade de transformar integral de volume(um tanto arbitrário) em superfície, expressa muito menos. Ela admite facilmente a criação do movimento perpétuo, sem poder mostrar sua impossibilidade!
Na verdade, até introduzirmos a hipótese potenciais atrasados, a liberação contínua de energia de ondas convergentes vindas do infinito permanece tão provável quanto a perda de energia observada na realidade.
Se o motor pudesse tirar para sempre apenas a energia do éter, independentemente da presença de corpos materiais, então ele poderia existir movimento Perpétuo . Assim, fica claro que antes de aceitarmos a fórmula dos potenciais retardados, devemos provar que a partícula acelerada perde energia e, como resultado, é submetida a uma reação proporcional à derivada de sua aceleração.
Basta mudar o sinal c para chegar à hipótese da onda convergente.
Então vamos descobrir que sinal vetor de radiação também mudará, e a nova hipótese levará, digamos, no caso de uma partícula vibrante, a um aumento gradual na amplitude ao longo do tempo, e em geral – para aumentar a energia do sistema?!
Na natureza, os sólitons são:
– na superfície de um líquido, os primeiros sólitons descobertos na natureza são por vezes considerados ondas de tsunami
– vários tipos de golpe de aríete
– bateria sonora – superação do “supersônico”
– sólitons ionosônicos e magnetosônicos no plasma
– sólitons na forma de pulsos curtos de luz no meio ativo do laser
– presumivelmente, um exemplo de sóliton é o Hexágono Gigante em Saturno
– os impulsos nervosos podem ser considerados na forma de sólitons.
Modelo matemático, equação de Korteweg-de Vries.
Um dos modelos mais simples e conhecidos que permite a existência de sólitons na solução é a equação de Korteweg-de Vries:
você não + você x + β você xxx = 0.
Uma possível solução para esta equação é sótão solitário:
mas também aqui o oscilador é a função harmônica onde R, é,α, você- alguns são permanentes.Teoremas de incerteza na análise harmônica
Oscilador harmônico na mecânica quântica - descrita pela equação Schrödinger,
(217.5)A equação (217.5) chamada de equação de Schrödinger para estados estacionários.
Os estados estacionários de um oscilador quântico são determinados pela equação Schrödinger tipo
(222.2)
Onde E – energia total do oscilador.
Na teoria das equações diferenciais está provado que a equação (222.2) resolvido apenas para autovalores de energia
(222.3)Fórmula (222.3) mostra que a energia de um oscilador quântico quantificado.
A energia é limitada de baixo para ser diferente de zero, como para um retângulo "poços" com “paredes” infinitamente altas (ver § 220), um valor energético mínimo
E 0 = 1/2 ℏ c 0 . A existência de energia mínima é chamada energia do ponto zero– é típico de sistemas quânticos e é uma consequência direta relações de incerteza.
EM análise harmônica O princípio da incerteza implica que é impossível obter com precisão os valores de uma função e seu mapa de Fourier – e, portanto, faça um cálculo preciso.
Ou seja, modelagem, geração e analogia obedecendo aos princípios de similaridade de processos e formas da Natureza, utilizando oscilador harmônico – não é possivel.
Tipos diferentes matemáticosólitons pouco se sabe ainda e todos eles não são adequados para descrever objetos em tridimensional espaço, especialmente os processos que ocorrem em Natureza.
Por exemplo, sólitons comuns, que aparecem na equação de Korteweg-de Vries, estão localizados em apenas uma dimensão se "correr" no mundo tridimensional, então será parecido uma membrana plana sem fim voando para frente, para dizer o mínimo, gobbledygook!!!
Na natureza, tais membranas infinitas não são observadas, o que significa equação original não é adequado para descrever objetos tridimensionais.
É aqui que reside a falácia da introdução de funções harmônicas – osciladores, conexões no caso de oscilações mistas.Lei conectada de similaridade, , mas essa é outra história que levará a teoria sóton de sistemático incerteza, .
Oscilações livres de sistemas com parâmetros distribuídos
A principal característica do processo de oscilações livres de sistemas com um número infinito de graus de liberdade é expressa na infinidade do número de frequências naturais e formas modais. Isso também está associado a características matemáticas: em vez de equações diferenciais ordinárias que descrevem as oscilações de sistemas com um número finito de graus de liberdade, aqui temos que lidar com equações diferenciais parciais. Além das condições iniciais que determinam os deslocamentos e velocidades iniciais, é necessário também levar em consideração as condições de contorno que caracterizam a fixação do sistema.
6.1. Vibrações longitudinais de hastes
Ao analisar as vibrações longitudinais de uma haste reta (Fig. 67, a), assumiremos que as seções transversais permanecem planas e que as partículas da haste não realizam movimentos transversais, mas se movem apenas na direção longitudinal.
Deixar você - movimento longitudinal da seção atual da haste durante as vibrações; esse movimento depende da localização do trecho (coordenadas x) e do tempo t. Portanto existe uma função de duas variáveis; sua definição representa a tarefa principal. O deslocamento de uma seção infinitamente próxima é igual a , portanto, o alongamento absoluto de um elemento infinitamente pequeno é igual (Fig. 67, b), e seu alongamento relativo é .
Consequentemente, a força longitudinal na seção com a coordenada X pode ser escrito como
,(173)
onde está a rigidez da haste em tensão (compressão). A força N também é função de dois argumentos - as coordenadas X e tempo t.
Consideremos um elemento de haste localizado entre duas seções infinitamente próximas (Fig. 67, c). Uma força N é aplicada ao lado esquerdo do elemento e uma força é aplicada ao lado direito. Se denotarmos a densidade do material da haste, então a massa do elemento em questão é . Portanto, a equação do movimento em projeção no eixo X
,
Considerando(173)e aceitando A= const, obtemos
Seguindo o método de Fourier, procuramos uma solução particular para a equação diferencial (175) na forma
,(177)
aqueles. suponha que o movimento você pode ser representado como um produto de duas funções, uma das quais depende apenas do argumento X, e o outro apenas a partir do argumento t. Então, em vez de definir uma função de duas variáveis u (x, t), é necessário definir duas funções X(x) e T(t), cada uma das quais depende de apenas uma variável.
Substituindo (177) em (174), obtemos
onde os primos indicam a operação de diferenciação em relação a x, e por pontos t. Vamos reescrever esta equação desta forma:
Aqui o lado esquerdo depende apenas de x, e o lado direito apenas de t. Para que esta igualdade seja válida de forma idêntica (para qualquer x e t) é necessário que cada uma de suas partes seja igual a uma constante, que denotamos por:
; .(178)
Isso leva a duas equações:
;
.(179)
A primeira equação tem solução:
,(180)
indicando uma natureza oscilatória, e de (180) fica claro que a incógnita tem o significado da frequência de oscilações livres.
A segunda das equações (179) tem uma solução:
,(181)
determinar a forma das vibrações.
A equação de frequência que determina o valor é compilada usando condições de contorno. Esta equação é sempre transcendental e tem um número infinito de raízes. Assim, o número de frequências naturais é infinito, e cada valor de frequência corresponde à sua própria função T n (t), determinada pela dependência (180), e à sua própria função Xn (x), determinada pela dependência (181). A solução (177) é apenas parcial e não fornece uma descrição completa do movimento. A solução completa é obtida sobrepondo todas as soluções parciais:
.
As funções X n (x) são chamadas funções próprias problemas e descrevem seus próprios modos de vibração. Eles não dependem das condições iniciais e satisfazem a condição de ortogonalidade, que para A = const tem a forma
, Se .
Considere algumas opções para condições de contorno.
Extremidade fixa da haste(Fig. 68, a). Na seção final, o deslocamento você deve ser zero; segue-se que nesta seção
X=0(182)
Extremidade livre da haste(Fig. 68,b). Na seção final, a força longitudinal
(183)
deve ser identicamente igual a zero, o que é possível se na seção final X"=0.
Resiliente extremidade da haste(Fig. 68, c).
Ao se mover você haste final, ocorre uma reação de suporte elástico 
, onde C o é a rigidez do suporte. Levando em consideração (183) para a força longitudinal, obtemos a condição de contorno
se o suporte estiver localizado na extremidade esquerda da haste (Fig. 68, c), e
se o suporte estiver localizado na extremidade direita da haste (Fig. 68, d).
Massa concentrada na extremidade da haste.
Força de inércia desenvolvida pela massa:
.
Visto que, de acordo com a primeira das equações (179), a força de inércia pode ser escrita na forma. Obtemos a condição de contorno
,
se a massa estiver na extremidade esquerda (Fig. 68, d), e
, (184)
se a massa estiver conectada à extremidade direita (Fig. 68, e).
Vamos determinar as frequências naturais da haste cantilever (Fig. 68,a").
De acordo com (182) e (183), as condições de contorno
X=0em x=0;
X"=0 em x = .
Substituindo essas condições uma por uma na solução (181), obtemos
A condição C0 leva à equação de frequência:
As raízes desta equação
(n=1,2,…)
determinar frequências naturais:
(n=1,2,…).(185)
Primeira frequência (mais baixa) em n=1:
.
Segunda frequência (em n=2):
Vamos determinar as frequências naturais de uma haste com massa na extremidade (Fig. 68, f).
De acordo com (182) e (184), temos
X=0 em x=0;
em x= .
Substituindo essas condições na solução (181), obtemos:
D=0; 
.
Consequentemente, a equação de frequência quando levada em consideração (176) tem a forma
.
Aqui, o lado direito representa a razão entre a massa da haste e a massa da carga final.
Para resolver a equação transcendental resultante, é necessário utilizar algum método aproximado.
Em e os valores da raiz inferior mais importante serão 0,32 e 0,65, respectivamente.
Numa relação pequena, a carga tem uma influência decisiva e uma solução aproximada dá bons resultados
.
Para barras de seção transversal variável, ou seja, para Аconst, de (173) e (174) a equação de movimento é obtida na forma
.
Esta equação diferencial não pode ser resolvida de forma fechada. Portanto, nesses casos é necessário recorrer a métodos aproximados para determinação de frequências naturais.
6.2. Vibrações torcionais de eixos
As vibrações torcionais de eixos com massa continuamente distribuída (Fig. 69, a) são descritas por equações que, em estrutura, coincidem completamente com as equações acima para vibrações longitudinais de hastes.
Torque M na seção com abscissa X está relacionado ao ângulo de rotação por uma dependência diferencial semelhante a (173):
Onde Japão-momento polar de inércia da seção transversal.
Em uma seção localizada à distância dx, o torque é igual a (Fig. 69, b):
Denotando através (onde está a densidade do material do eixo) a intensidade do momento de inércia da massa do eixo em relação ao seu eixo (ou seja, o momento de inércia por unidade de comprimento), a equação de movimento de uma seção elementar do eixo pode ser escrito da seguinte forma:
,
ou semelhante (174):
.
Substituindo a expressão (186) aqui, por Japão=const obtemos, de forma semelhante a (175):
, (187)
A solução geral da equação (187), assim como a equação (175), tem a forma
,
(188)
As frequências naturais e as funções próprias são determinadas por condições de contorno específicas.
Nos principais casos de fixação das extremidades, à semelhança do caso das vibrações longitudinais, obtemos
a) extremidade fixa (=0): X=0;
b) extremidade livre (M=0): X"=0;
V) resiliente extremidade esquerda: CoХ=GJpX "(coeficiente de co-rigidez);
G) resiliente extremidade direita: -CoX=GJpX ";
e) disco na extremidade esquerda: 
(Jo é o momento de inércia do disco em relação ao eixo da haste);
e) disco na extremidade direita: 
.
Se o eixo for fixado na extremidade esquerda (x=0), e a extremidade direita (x=) estiver livre, então X=0 em x=0 e X"=0 em x=; as frequências naturais são determinadas de forma semelhante a ( 185):
(n=1,2,…).
Se a extremidade esquerda for fixa e houver um disco na extremidade direita, obtemos a equação transcendental:
.
Se ambas as extremidades do eixo forem fixas, então as condições de contorno serão X=0 para x=0 e x=. Neste caso, de (188) obtemos
aqueles.
(n=1,2,…),
a partir daqui encontramos as frequências naturais:
Se a extremidade esquerda do eixo estiver livre e houver um disco na extremidade direita, então X"=0 para x=0;Jo X=GJpX "para x=.
Usando (188) encontramos
C=0; 
,
ou equação de frequência transcendental:
.
6.3. Vibrações de flexão de vigas
6.3.1 Equação básica
Do curso sobre resistência dos materiais, são conhecidas as dependências diferenciais para flexão de vigas:
onde EJ está flexionando a rigidez; y=y (x, t) - deflexão; M=M(x, t) - momento fletor; q é a intensidade da carga distribuída.
Combinando (189) e (190), obtemos
.(191)
No problema das vibrações livres, a carga do esqueleto elástico são as forças inerciais distribuídas:
onde m é a intensidade da massa da viga (massa por unidade de comprimento), e a equação (191) assume a forma
.
No caso especial de seção transversal constante, quando EJ = const, m = const, temos:
.(192)
Para resolver a equação (192), assumimos, como acima,
sim= X ( x)× T ( (193)
Substituindo (193) em (192), chegamos à equação:
.
Para que esta igualdade seja cumprida de forma idêntica, é necessário que cada uma das partes da igualdade seja constante. Denotando esta constante por, obtemos duas equações:
.(195)
A primeira equação indica que o movimento é oscilatório com frequência.
A segunda equação determina a forma das vibrações. A solução da equação (195) contém quatro constantes e tem a forma
É conveniente usar a variante de redação da solução geral proposta por A. N. Krylov:
(198)
representam as funções de A. N. Krylov.
Vamos prestar atenção ao fato de que S=1, T=U=V=0 em x=0. As funções S,T,U,V estão interligadas da seguinte forma:
Portanto, as expressões derivadas (197) são escritas na forma
(200)
Nos problemas da classe em consideração, o número de frequências naturais é infinitamente grande; cada um deles tem sua própria função de tempo T n e sua própria função fundamental X n . A solução geral é obtida impondo soluções parciais da forma (193)
.(201)
Para determinar as frequências naturais e as fórmulas, é necessário considerar as condições de contorno.
6.3.2. Condições de fronteira
Para cada extremidade da barra, você pode especificar duas condições de contorno .
Extremidade livre da haste(Fig. 70, a). A força transversal Q=EJX""T e o momento fletor M=EJX""T são iguais a zero. Portanto, as condições de contorno têm a forma
X""=0; X"""=0.(202)
Extremidade apoiada articulada da haste(Fig. 70,b). A deflexão y=XT e o momento fletor M=EJX""T são iguais a zero. Portanto, as condições de contorno são:
X=0; X""=0.(203)
Extremidade comprimida(Fig. 70, c). A deflexão y=XT e o ângulo de rotação são iguais a zero. Condições de fronteira:
X=0; X"=0. (204)
Existe uma massa pontual na extremidade da haste(Fig. 70, d). Sua força inercial 
pode ser escrito usando a equação (194) como segue: ; deve ser igual à força de cisalhamentoQ=EJX"""T, então as condições de contorno assumem a forma
; X""=0.(205)
Na primeira condição, um sinal positivo é obtido quando a carga pontual é conectada à extremidade esquerda da haste, e um sinal negativo quando é conectada à extremidade direita da haste. A segunda condição decorre da ausência de momento fletor.
Extremidade da haste com suporte elástico(Fig. 70, d). Aqui o momento fletor é zero e a força transversal Q=EJX"""T é igual à reação de apoio 
(C o - coeficiente de rigidez do suporte).
Condições de fronteira:
X""=0; (206)
(um sinal de menos é obtido quando o suporte elástico está à esquerda e um sinal de mais quando está à direita).
6.3.3. Equação de frequência e formas próprias
Um registro expandido das condições de contorno leva a equações homogêneas em relação às constantes C 1, C 2, C 3, C 4.
Para que essas constantes não sejam iguais a zero, o determinante formado pelos coeficientes do sistema deve ser igual a zero; isso leva a uma equação de frequência. Durante essas operações, as relações entre C 1, C 2, C 3, C 4 são esclarecidas, ou seja, os modos naturais de vibração são determinados (até um fator constante).
Vamos traçar a composição das equações de frequência usando exemplos.
Para uma viga com extremidades articuladas, conforme (203), temos as seguintes condições de contorno: X=0; X""=0 para x=0 e x= . Usando (197)-(200) obtemos das duas primeiras condições: C 1 =C 3 =0. As duas condições restantes podem ser escritas como
Para que C 2 e C 4 não sejam iguais a zero, o determinante deve ser igual a zero:
.
Assim, a equação de frequência tem a forma
.
Substituindo as expressões T e U, obtemos
Desde então, a equação de frequência final é escrita da seguinte forma:
. (207)
As raízes desta equação são:
,(n=1,2,3,...).
Levando em consideração (196), obtemos
.(208)
Vamos prosseguir para definir nossos próprios formulários. Das equações homogêneas escritas acima, segue-se a seguinte relação entre as constantes C 2 e C 4:
.
Consequentemente, (197) assume a forma
De acordo com (207), temos
,(209)
onde é uma nova constante, cujo valor permanece incerto até que as condições iniciais sejam levadas em consideração.
6.3.4. Determinação do movimento com base nas condições iniciais
Se for necessário determinar o movimento após a perturbação inicial, então é necessário indicar tanto os deslocamentos iniciais como as velocidades iniciais para todos os pontos da viga:
(210)
e use a propriedade de ortogonalidade das autoformas:
.
Escrevemos a solução geral (201) da seguinte forma:
.(211)
A velocidade é dada por
.(212)
Substituindo os deslocamentos e velocidades iniciais assumidos como conhecidos nos lados direitos das equações (211) e (212), e nos lados esquerdos, obtemos
.
Multiplicando essas expressões e integrando ao longo de todo o comprimento, temos
(213)
As somas infinitas do lado direito desapareceram devido à propriedade da ortogonalidade. De (213) siga as fórmulas para constantes e
(214)
Agora esses resultados precisam ser substituídos na solução (211).
Enfatizemos novamente que a escolha da escala das autoformas não é importante. Se, por exemplo, na expressão da forma própria (209) tomarmos em vez disso um valor que é vezes maior, então (214) dará resultados que são vezes menores; após a substituição na solução (211), estas diferenças compensam-se mutuamente. No entanto, muitas vezes utilizam funções próprias normalizadas, escolhendo a sua escala de forma que os denominadores das expressões (214) sejam iguais a um, o que simplifica as expressões e.
6.3.5. Efeito da força longitudinal constante
Consideremos o caso em que uma viga oscilante sofre uma força longitudinal N, cuja magnitude não muda durante o processo de oscilação. Neste caso, a equação de flexão estática torna-se mais complicada e assume a forma (desde que a força compressiva seja considerada positiva)
.
Assumindo e considerando a constante de rigidez, obtemos a equação das vibrações livres
.(215)
Continuamos a aceitar uma solução particular no formulário.
Então a equação (215) se divide em duas equações:
A primeira equação expressa a natureza oscilatória da solução, a segunda determina a forma das oscilações e também permite encontrar as frequências. Vamos reescrever desta forma:
(216)
Onde Ké determinado pela fórmula (196), e
A solução da equação (216) tem a forma
Consideremos o caso em que ambas as extremidades da haste possuem suportes articulados. Condições na extremidade esquerda 
dar . Satisfazendo as mesmas condições na extremidade direita, obtemos
Igualando a zero o determinante composto pelos coeficientes das grandezas e , chegamos à equação
As raízes desta equação de frequência são:
Portanto, a frequência natural é determinada a partir da equação
.
A partir daqui, levando em consideração (217), encontramos
.(219)
Quando esticado, a frequência aumenta, quando comprimido diminui. Quando a força compressiva N se aproxima de um valor crítico, a raiz tende a zero.
6.3.6. Efeito das forças em cadeia
Anteriormente, a força longitudinal era considerada dada e independente dos deslocamentos do sistema. Em alguns problemas práticos, a força longitudinal que acompanha o processo de vibrações transversais surge devido à flexão da viga e tem caráter de reação de apoio. Considere, por exemplo, uma viga apoiada em dois suportes articulados e fixos. Ao dobrar, ocorrem reações horizontais dos apoios, fazendo com que a viga se estique; a força horizontal correspondente é geralmente chamada força em cadeia. Se a viga oscilar transversalmente, a força da corrente mudará com o tempo.
Se no instante t as deflexões da viga são determinadas pela função, então o alongamento do eixo pode ser encontrado usando a fórmula
.
Encontramos a força em cadeia correspondente usando a lei de Hooke
.
Vamos substituir este resultado em (215) em vez da força longitudinal N (levando em consideração o sinal)
.(220)
O não-linear resultante integradiferencial a equação é simplificada usando substituição
,(221)
onde é uma função adimensional do tempo, cujo valor máximo pode ser igual a qualquer número, por exemplo, unidade; amplitude das oscilações.
Substituindo (221) em (220), obtemos a equação diferencial ordinária
,(222)
cujos coeficientes têm os seguintes valores:
;.
A equação diferencial (222) é não linear, portanto, a frequência das oscilações livres depende de sua amplitude.
A solução exata para a frequência das vibrações transversais tem a forma
onde é a frequência das vibrações transversais, calculada sem levar em conta as forças da cadeia; fator de correção dependendo da relação entre a amplitude de oscilação e o raio de giro da seção transversal; o valor é fornecido na literatura de referência.
Quando a amplitude e o raio de giração da seção transversal são proporcionais, a correção da frequência torna-se significativa. Se, por exemplo, a amplitude de vibração de uma haste redonda for igual ao seu diâmetro, então , e a frequência é quase duas vezes maior que no caso de deslocamento livre dos suportes.
O caso corresponde a um valor zero do raio de inércia, quando a rigidez à flexão da viga é extremamente pequena - uma corda. Ao mesmo tempo, a fórmula dá incerteza. Revelando esta incerteza, obtemos uma fórmula para a frequência de vibração da corda
.
Esta fórmula se aplica ao caso em que a tensão é zero na posição de equilíbrio. Freqüentemente, o problema das oscilações das cordas é colocado sob outras suposições: acredita-se que os deslocamentos são pequenos e a força de tração é dada e permanece inalterada durante o processo de oscilação.
Neste caso, a fórmula da frequência tem a forma
onde N é uma força de tração constante.
6.4. Efeito do atrito viscoso
Anteriormente, presumia-se que o material das hastes era perfeitamente elástico e não havia atrito. Consideremos a influência do atrito interno, supondo que seja viscoso; então a relação entre tensão e deformação é descrita pelas relações
;
.(223)
Deixe uma haste com parâmetros distribuídos realizar vibrações longitudinais livres. Neste caso, a força longitudinal será escrita na forma
A partir da equação de movimento do elemento haste, foi obtida a relação (174)
Substituindo (224) aqui, chegamos à equação diferencial principal
,(225)
que difere de (175) pelo segundo termo, que expressa a influência das forças de atrito viscoso.
Seguindo o método de Fourier, procuramos uma solução para a equação (225) na forma
,(226)
onde a função é apenas as coordenadas x, e a função é apenas o tempo t.
Neste caso, cada membro da série deve satisfazer as condições de contorno do problema, e a soma total também deve satisfazer as condições iniciais. Substituindo (226) em (225) e exigindo que a igualdade seja satisfeita para qualquer número R, Nós temos
,(227)
onde os primos indicam diferenciação em relação à coordenada x, e os pontos são diferenciação em relação ao tempo t.
Dividindo (227) pelo produto 
, chegamos à igualdade
,(228)
lado esquerdo, que só pode depender da coordenada x, e o correto - somente a partir do tempo t. Para que a igualdade (228) seja satisfeita de forma idêntica, é necessário que ambas as partes sejam iguais à mesma constante, que denotamos por .
A partir disso siga as equações
(229)
.(230)
A equação (229) não depende do coeficiente de viscosidade K e, em particular, permanece a mesma no caso de um sistema perfeitamente elástico, quando . Portanto, os números coincidem completamente com os encontrados anteriormente; entretanto, como será mostrado abaixo, o valor fornece apenas um valor aproximado da frequência natural. Observe que as formas próprias são completamente independentes das propriedades viscosas da haste, ou seja, as formas de oscilações livres amortecidas coincidem com as formas de oscilações livres não amortecidas.
Agora vamos passar para a equação (230), que descreve o processo de oscilações amortecidas; sua solução tem a forma
.(233)
A expressão (232) determina a taxa de decaimento e (233) determina a frequência de oscilação.
Assim, a solução completa para a equação do problema
.(234)
Constante e sempre pode ser encontrada com base em determinadas condições iniciais. Deixe os deslocamentos iniciais e as velocidades iniciais de todas as seções da haste serem especificados da seguinte forma:
;
,(235)
onde e são funções conhecidas.
Então para, de acordo com (211) e (212), temos
multiplicando ambos os lados dessas igualdades e integrando ao longo de todo o comprimento da barra, obtemos
(236)
De acordo com a condição de ortogonalidade das autoformas, todos os outros termos incluídos no lado direito dessas igualdades tornam-se zero. Agora, a partir das igualdades (236), é fácil encontrar qualquer número r.
Considerando (232) e (234), notamos que quanto maior o número do modo de vibração, mais rápido é o seu amortecimento. Além disso, os termos incluídos em (234) descrevem oscilações amortecidas se houver um número real. De (233) fica claro que isso ocorre apenas para alguns valores iniciais de r desde que a desigualdade seja satisfeita
Para valores suficientemente grandes R a desigualdade (237) é violada e a quantidade torna-se imaginária. Neste caso, os termos correspondentes da solução geral (234) não descreverão mais oscilações amortecidas, mas representarão movimento amortecido aperiódico. Em outras palavras, as vibrações, no sentido usual da palavra, são expressas apenas por uma certa parte finita da soma (234).
Todas estas conclusões qualitativas aplicam-se não apenas ao caso de vibrações longitudinais, mas também aos casos de vibrações de torção e flexão.
6.5. Vibrações de barras de seção variável
Nos casos em que a massa distribuída e a seção transversal da haste são variáveis ao longo do seu comprimento, ao invés da equação de vibração longitudinal (175), deve-se proceder da equação
.(238)
A equação de vibração torcional (187) deve ser substituída pela equação
,(239)
e a equação das vibrações transversais (192) é a equação
.(240)
As equações (238)-(240) com a ajuda de substituições semelhantes ;;podem ser reduzidas a equações diferenciais ordinárias para a função
MECÂNICA
CDU 531.01/534.112
VIBRAÇÕES LONGITUDINAIS DE UM PACOTE DE HASTE
SOU. Pavlov, A. N. Temnov
MSTU im. N.E. Bauman, Moscou, Federação Russa e-mail: [e-mail protegido]; [e-mail protegido]
Em questões de dinâmica de foguetes de propelente líquido, um papel importante é desempenhado pelo problema da estabilidade do movimento do foguete quando ocorrem oscilações elásticas longitudinais. O aparecimento de tais oscilações pode levar ao estabelecimento de auto-oscilações, que, se o foguete for instável na direção longitudinal, podem levar à sua rápida destruição. O problema das oscilações longitudinais de um pacote de foguetes é formulado; um pacote de hastes é usado como modelo de cálculo. É aceito que o líquido nos tanques dos foguetes esteja “congelado”, ou seja, os próprios movimentos do fluido não são levados em consideração. A lei do balanço energético total para o problema em consideração é formulada e sua formulação de operador é dada. É dado um exemplo numérico, para o qual as frequências são determinadas e as formas das oscilações naturais são construídas e analisadas.
Palavras-chave: vibrações longitudinais, frequência e forma das vibrações, pacote de bastonetes, lei do balanço de energia total, operador auto-adjunto, espectro de vibrações, POGO.
SISTEMA DE HASTE DE VIBRAÇÕES LONGITUDINAIS A.M. Pavlov, AL. Temnov
Bauman Moscow State Technical University, Moscou, Federação Russa e-mail: [e-mail protegido]; [e-mail protegido]
Em questões de dinâmica de foguetes de combustível líquido o problema de estabilidade de movimento deste foguete tem um papel importante com o aparecimento de vibrações elásticas longitudinais. Uma ocorrência deste tipo de vibrações pode evocar vibrações próprias que podem causar a rápida destruição do foguete em caso de instabilidade do foguete na direção longitudinal. O problema das vibrações longitudinais do foguete de combustível líquido baseado no esquema de pacotes foi formulado usando hastes de pacote como modelo computacional. Supõe-se que o líquido nos tanques do foguete esteja "congelado", ou seja, movimentos adequados do líquido não estão incluídos. Para este problema foi formulado o princípio da conservação de energia e dado o seu estadiamento de operador. Há um exemplo numérico, para o qual as frequências foram determinadas, formas de vibração Eigen foram construídas e analisadas.
Palavras-chave: vibrações longitudinais, modos e frequências próprios, modelo de bastonetes, princípio de conservação de energia, operador auto-articular, espectro de vibração, POGO.
Introdução. Atualmente, na Rússia e no exterior, veículos de lançamento com layout de pacote com blocos laterais idênticos distribuídos uniformemente em torno do bloco central são frequentemente usados para lançar uma carga útil na órbita necessária.
Os estudos de vibrações de estruturas de embalagens encontram certas dificuldades associadas ao efeito dinâmico dos blocos laterais e centrais. No caso da simetria do layout do veículo lançador, a complexa interação espacial dos blocos do projeto do pacote pode ser dividida em um número finito de tipos de vibrações, uma das quais são as vibrações longitudinais dos blocos central e lateral. Um modelo matemático de vibrações longitudinais de tal estrutura na forma de um pacote de hastes de paredes finas é discutido em detalhes no trabalho. Arroz. 1. Esquema da central- Este artigo apresenta a haste teórica e os resultados computacionais da longitudinal
vibrações de um pacote de varetas, complementando o estudo realizado por A.A. Pena.
Formulação do problema. Consideremos outras vibrações longitudinais de um pacote de hastes constituído por uma haste central de comprimento l0 e N hastes laterais de mesmo comprimento j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, fixadas no ponto A (xA = l) (Fig. 1) com elementos centrais de mola com rigidez k.
Vamos introduzir um referencial fixo OX e assumir que a rigidez das hastes EFj (x), a massa distribuída mj (x) e a perturbação q (x,t) são funções limitadas da coordenada x:
0 0 < mj < mj (x) < Mj; (1) 0 Deixe, durante as vibrações longitudinais, surgirem deslocamentos Uj (x, t) em seções de hastes com coordenada x, determinadas pelas equações mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2) condições de contorno para a ausência de forças normais nas extremidades das hastes 3 =0, x = 0, ^ = 1, 2, 0, x = 0, x = l0; condições de igualdade das forças normais que surgem nas hastes, EF-3 = F x = l forças elásticas de elementos de mola FпPJ = к (ш (ха) - у (¡,)); (4) EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa; condição de igualdade de deslocamentos no ponto xa da haste central Shch (ha-o) = Shch (xa+o) e condições iniciais Shch y (x, 0) - Shch (x); , _ você(x, 0) = você(x), onde você(x, 0) = "d^1(x, 0). Lei do balanço energético total. Vamos multiplicar a equação (2) por u(x,ξ), integrar ao longo do comprimento de cada haste e somar os resultados usando as condições de contorno (3) e a condição de correspondência (4). Como resultado obtemos (( 1 ^ [ (diL 2 TZ (x) "BT" (x+ dt | 2 ^ J 3 w V dt N x „ h 2 .. N „ i. 1 ^ Г „„ , f dп3\ , 1 ^ Гj 1 N /* i dpl 2 1 N fl j EF3 dx +2^Уо И (x - -)(não - Uj)2 dx = / ^ (x, £) eles y (x, £) (x, (6) onde 8 (x - ¡y) é a função delta de Dirac. Na equação (6), o primeiro termo entre colchetes representa a energia cinética T (¿) do sistema, o segundo é a energia potencial Pr (£), causada pela deformação das hastes, e o terceiro é a energia potencial Pk (£) dos elementos de mola, que na presença de deformações elásticas nas hastes podem ser escritos na forma Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Eu. A equação (6) mostra que a mudança na energia total por unidade de tempo do sistema mecânico em consideração é igual à potência Influência externa. Na ausência de perturbação externa q (x,t), obtemos a lei da conservação da energia total: T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0). Cinematografia. A lei do balanço de energia mostra que para qualquer instante t as funções Uj (x, t) podem ser consideradas como elementos do espaço de Hilbert L2j(; m3 (x)), definido no comprimento ¡i pelo produto escalar (us,Vk)j = J mj (x)usVkdx 0 e a norma correspondente. Introduzamos o espaço de Hilbert H igual à soma ortogonal L2j, H = L20 Ф L21 Ф... Ф L2N, a função vetorial U = (uo, Ui,..., uN)т e o operador A atuando no espaço H de acordo com a relação AU = diag (A00U0, A11U1,..., Annun). mj(x)dx\jdx" operadores definidos em conjunto B (A33) С Н de funções que satisfazem as condições (3) e (4). O problema original (1)-(5) juntamente com as condições iniciais serão escritos na forma Au = f (*), você (0) = você0, 17 (0) = você1, (7) onde f(*) = (to(*),51(*),..., Yam(¿))t. Lema. 1. Se as duas primeiras condições (1) forem satisfeitas, então o operador A no problema de evolução (7) é um operador definido positivo, autoadjunto e ilimitado no espaço H. (Au,K)n = (u,AK)n, (Au, u)i > c2 (i, u)i. 2. O operador A gera um espaço de energia NA com norma igual ao dobro da energia potencial das oscilações de um pacote de hastes 3\^I h)2 = 2П > 0. (8) IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0. < Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно: (AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+ +£ jm(x) (- jx) | (ef- (x) dndxa))v-(x) dx=... = EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x) J EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) uo (x) ?o (x) + ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x) J EFo (x) uo (x) v" (x) dx - EFo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0 EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) + J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100 + £ / EF.,- (x) você- (x) g?- (x) dx+ o O(xa)- £ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10 + £ / EF- (x) você- (x) v- (x) dx+ -=1 0 - + £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H (AU, U)H = ... = I EF0 (x) u"2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) J EF0 (x) você"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) + ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x) "J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx У^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) = EF0 (x) você"2 (x) dx + / EF0 (x) você"0 (x) dx + S / EFj (x) você"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H Dos resultados acima segue-se que a norma energética do operador A é expressa pela fórmula (8). Solubilidade do problema evolutivo. Vamos formular o seguinte teorema. Teorema 1. Deixe as condições serem satisfeitas U0 £ D (A1/2) , U0 £ H, f (t) £ C (; H), então o problema (7) tem uma solução fraca única U(t) no intervalo, definido pela fórmula U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 sen (tA1/2) +/sen ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds. 5 na ausência de perturbação externa f (£), a lei da conservação da energia é satisfeita 1 II A 1/2UИ2 = 1 1II A1/2U 0|H. < Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости . Vibrações naturais de um pacote de varetas. Suponhamos que o sistema de hastes não seja afetado pelo campo de forças externas: f (t) = 0. Neste caso, os movimentos das hastes serão chamados de livres. Os movimentos livres das hastes, dependendo do tempo t de acordo com a lei exp (iwt), serão chamados de vibrações naturais. Tomando U (x, t) = U (x) eiWÍ na equação (7), obtemos o problema espectral para o operador A: UA - AEU = 0, L = w2. (9) As propriedades do operador A permitem-nos formular um teorema sobre o espectro e as propriedades das funções próprias. Teorema 2. O problema espectral (9) sobre vibrações naturais de um pacote de varetas tem um espectro positivo discreto 0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то e um sistema de autofunções (Uk (x))^=0, completo e ortogonal nos espaços H e HA, e as seguintes fórmulas de ortogonalidade são satisfeitas: (Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0 (Reino Unido= £/T^) d*+ K (“feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j = eu Estudo do problema espectral no caso de um pacote homogêneo de bastonetes. Apresentando a função deslocamento m- (x, £) na forma m- (x, £) = m- (x), após separar as variáveis obtemos problemas espectrais para cada haste: ^Oi + Lm = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10) que escrevemos em forma de matriz 4 £ + Li = 0, UMA = -,-,-,...,- \ t0 t1 t2 t « você = (u0, u1, u2,..., u«)t. Solução e análise dos resultados obtidos. Denotemos as funções de deslocamento da haste central na seção como u01 e na seção como u02 (g). Neste caso, para a função u02 movemos a origem das coordenadas para o ponto com coordenada /. Para cada haste apresentamos a solução da equação (10) na forma Para encontrar as constantes desconhecidas em (11), usamos as condições de contorno formuladas acima. A partir de condições de contorno homogêneas é possível determinar algumas constantes, a saber: C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... =CN 2 = 0. Como resultado, resta encontrar N + 3 constantes: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Para fazer isso, resolvemos N + 3 equações para N + 3 incógnitas. Vamos escrever o sistema resultante em forma de matriz: (A) (C) = (0) . Aqui (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)t é o vetor de incógnitas; (A) - matriz característica, cos (A1) EF0 A sen (A1) + L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000 0 ano 00 00 0 000Y a = k soe ^ ^A-L^ ; em = -k co8((.40-01L)1/2 ^ ; 7 = (A4"-1 l) 1/2 ap ((A"1l) 1/2 + k sov ((A"1l) 1/2; (~ \ 1/2 ~ Л= ^Л] ; A--: 3 = 0. Para encontrar uma solução não trivial, tomamos como variável a constante C01 € M. Temos duas opções: C01 = 0; C01 = 0. Seja C01 = 0, então C03 = C04 = 0. Neste caso, uma solução não trivial pode ser obtida se 7 = 0 de (12) quando a condição adicional for atendida £ s-1 = 0, (13) que pode ser obtido a partir da terceira equação do sistema (12). Como resultado, obtemos uma equação de frequência simples EP (A"1 L)1/2 W ((A"1^1/2 P + zz\V zz K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G , coincidindo com a equação de frequência para uma haste fixada elasticamente em uma extremidade, que pode ser considerada o primeiro sistema parcial. Neste caso, todas as combinações possíveis de movimentos das hastes laterais que satisfaçam a condição (13) podem ser condicionalmente divididas em grupos correspondentes a diferentes combinações de fases (no caso em consideração, a fase é determinada pelo sinal C.d). Se assumirmos que as hastes laterais são idênticas, temos duas opções: 1) Сд = 0, então o número de tais combinações n para diferentes N pode ser calculado usando a fórmula n = N 2, onde é a função de divisão sem resto; 2) qualquer (ou qualquer) das constantes C- são iguais a 0, então o número de combinações possíveis aumenta e pode ser determinado pela fórmula £ [(N - m) divisão 2]. Seja Coi = 0, então Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-v/t), onde in e y são os complexos incluídos em (12). Do sistema (12) temos também: C03 = C01 cos (А/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), ou seja, todas as constantes são expressas através de C01. A equação de frequência assume a forma EFo U-o1 L tg A-1 L) " (lo - l)) - K2 porque | í a!-,1 L Como exemplo, considere um sistema com quatro barras laterais. Além do método descrito acima, neste exemplo você pode escrever a equação de frequência para todo o sistema calculando o determinante da matriz A e igualando-o a zero. Vamos dar uma olhada nisso Y4 (L sen (L (/o - /)) cos (L/) EFoЛ+ L cos (L (/o - /)) (EFoЛ sin (L/) + 4v)) - 4av3L cos (L(/0 - /)) = 0. Gráficos de equações de frequência transcendentais para os casos considerados acima são apresentados na Fig. 2. Foram considerados como dados iniciais: EF = 2.109 N; FE0 = 2,2 109 N; k = 7.107 N/m; m = 5900 kg/m; mês = 6.000 kg/m; / = 23; /о = 33 m Os valores das três primeiras frequências de oscilação do circuito considerado são dados abaixo: n......................................... e, feliz/s.................................. 1 2 3 20,08 31,53 63,50 Arroz. 2. Gráficos de equações de frequência transcendentais para Coi = 0 (i) e Coi = 0 (2) Apresentamos os modos de vibração correspondentes às soluções obtidas (no caso geral os modos de vibração não são normalizados). As formas de vibração correspondentes à primeira, segunda, terceira, quarta, 13 e 14 frequências são mostradas na Fig. 3. Na primeira frequência de vibração, as hastes laterais vibram com o mesmo formato, mas aos pares em antifase Figura 3. Formas de vibração das hastes lateral (1) e central (2), correspondentes à primeira V = 3,20 Hz (a), à segunda V = 5,02 Hz (b), à terceira V = 10,11 Hz (c), à quarta V = 13,60 Hz (d), 13º V = 45,90 Hz (d) e 14º V = 50,88 Hz (f) frequências (Fig. 3, a), com a segunda, a haste central oscila, e as laterais oscilam no mesmo formato em fase (Fig. 3, b). Deve-se notar que a primeira e a segunda frequências de vibração do sistema de hastes em consideração correspondem às vibrações de um sistema constituído por corpos sólidos. Quando o sistema oscila com a terceira frequência natural, os nós aparecem pela primeira vez (Fig. 3c). A terceira frequência e as subsequentes (Fig. 3d) correspondem às vibrações elásticas do sistema. Com o aumento da frequência das vibrações, associado à diminuição da influência dos elementos elásticos, as frequências e formas das vibrações tendem a ser parciais (Fig. 3, e, f). As curvas de funções, cujos pontos de intersecção com o eixo das abcissas são soluções de equações transcendentais, são apresentadas na Fig. 4. Conforme a figura, as frequências naturais de oscilações do sistema estão localizadas próximas às frequências parciais. Conforme observado acima, com o aumento da frequência, a convergência das frequências naturais com as parciais aumenta. Como resultado, as frequências nas quais todo o sistema oscila são condicionalmente divididas em dois grupos: aquelas próximas às frequências parciais da haste lateral e frequências próximas às frequências parciais da haste central. Conclusões. O problema das vibrações longitudinais de um pacote de hastes é considerado. As propriedades do problema de valor limite proposto e o espectro de seus autovalores são descritos. É proposta uma solução para o problema espectral para um número arbitrário de hastes laterais homogêneas. Para um exemplo numérico, os valores das primeiras frequências de oscilação são encontrados e as formas correspondentes são construídas. Algumas propriedades características dos modos de vibração construídos também foram reveladas. Arroz. 4. As curvas de funções cujos pontos de intersecção com o eixo das abcissas são soluções de equações transcendentais, para CoX = 0 (1), Cox = 0 (2) coincidem com o primeiro sistema parcial (haste lateral fixada ao elástico elemento no ponto x = I) e segundo sistema parcial (5) (haste central fixada em quatro elementos elásticos no ponto A) LITERATURA 1. Kolesnikov K.S. Dinâmica de foguetes. M.: Engenharia Mecânica, 2003. 520 p. 2. Mísseis balísticos e veículos de lançamento / O.M. Alifanov, A.N. Andreev, V.N. Gushchin e outros M.: Bustard, 2004. 511 p. 3. Rabinovich B.I. Introdução à dinâmica dos veículos lançadores de naves espaciais. M.: Engenharia Mecânica, 1974. 396 p. 4. Estudo de parâmetros sobre estabilidade POGO de foguetes líquidos / Z. 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Pavlov A.M. - estudante do departamento "Naves Espaciais e Veículos Lançadores" da Universidade Técnica Estadual Bauman de Moscou. Especialista na área de tecnologia de foguetes e espaço. Universidade Técnica Estadual Bauman de Moscou, 2-ya Baumanskaya st. 5, Moscou, 105005 Federação Russa. Temnov Alexander Nikolaevich - Ph.D. física e matemática Ciências, Professor Associado do Departamento de Naves Espaciais e Veículos de Lançamento, Universidade Técnica Estadual de Moscou. N.E. Bauman. Autor de mais de 20 artigos científicos na área de mecânica de fluidos e gases e tecnologia de foguetes e espaço. MSTU im. N.E. Baumash, Federação Russa, 105005, Moscou, 2ª rua Baumanskaya, 5. Temnov A.N. - Cand. ciência. (Física-Matemática), assoc. professor do departamento de "Naves Espaciais e Veículos de Lançamento" da Universidade Técnica Estadual Bauman de Moscou. Autor de mais de 20 publicações na área de mecânica de fluidos e gases e tecnologia de foguetes e espaço. Universidade Técnica Estadual Bauman de Moscou, 2-ya Baumanskaya st. 5, Moscou, 105005 Federação Russa. Consideremos uma barra uniforme de comprimento, isto é, um corpo de formato cilíndrico ou de alguma outra forma, para esticar ou dobrar o qual uma certa força deve ser aplicada. A última circunstância distingue até mesmo a haste mais fina de uma corda, que, como sabemos, se curva livremente. Neste capítulo, aplicaremos o método das características ao estudo das vibrações longitudinais de uma haste, e nos limitaremos a estudar apenas aquelas vibrações nas quais as seções transversais, movendo-se ao longo do eixo da haste, permanecem planas e paralelas a entre si (Fig. 6). Tal suposição é justificada se as dimensões transversais da haste forem pequenas em comparação com o seu comprimento. Se a haste for levemente esticada ou comprimida ao longo do eixo longitudinal e depois deixada sozinha, surgirão vibrações longitudinais nela. Vamos direcionar o eixo ao longo do eixo da haste e supor que em estado de repouso as extremidades da haste estão nos pontos Deixe a abcissa de uma determinada seção da haste quando esta está em repouso. Vamos denotar pelo deslocamento desta seção no momento do tempo, então o deslocamento da seção com a abcissa será igual a A partir daqui fica claro que o alongamento relativo da haste na seção com a abcissa x é expresso pela derivada Agora, assumindo que a barra sofre pequenas oscilações, podemos calcular a tensão nesta seção. Na verdade, aplicando a lei de Hooke, descobrimos que onde está o módulo de elasticidade do material da haste, sua área de seção transversal. Tomemos um elemento de haste fechado entre duas seções, cujas abcissas em repouso são respectivamente iguais. Este elemento é influenciado por forças de tensão aplicadas nessas seções e direcionadas ao longo do eixo. A resultante dessas forças tem a magnitude e também é direcionado. Por outro lado, a aceleração do elemento é igual, pelo que podemos escrever a igualdade onde está a densidade volumétrica da haste. Colocando e reduzindo obtemos a equação diferencial das vibrações longitudinais de uma haste homogênea A forma desta equação mostra que as vibrações longitudinais da haste são de natureza ondulatória, e a velocidade a de propagação das ondas longitudinais é determinada pela fórmula (4). Se a haste também sofre a ação de uma força externa calculada por unidade de seu volume, então em vez de (3) obtemos Esta é a equação das vibrações longitudinais forçadas da haste. Como na dinâmica em geral, a equação do movimento (6) por si só não é suficiente para determinar completamente o movimento da haste. É necessário definir as condições iniciais, ou seja, definir os deslocamentos das seções da haste e suas velocidades no momento inicial onde e são dadas funções no intervalo ( Além disso, as condições de contorno nas extremidades da barra devem ser especificadas. Por exemplo. Nesta seção consideraremos o problema das vibrações longitudinais de uma haste homogênea. Uma haste é um corpo cilíndrico (em particular, prismático), para esticar ou comprimir o qual deve ser aplicada uma certa força. Assumiremos que todas as forças atuam ao longo do eixo da haste e cada uma das seções transversais da haste (Fig. 23) se move translacionalmente apenas ao longo do eixo da haste. Normalmente, esta suposição é justificada se as dimensões transversais da haste forem pequenas em comparação com o seu comprimento e as forças que atuam ao longo do eixo da haste forem relativamente pequenas. Na prática, as vibrações longitudinais ocorrem mais frequentemente quando a haste é primeiro ligeiramente esticada ou, inversamente, comprimida e depois deixada por conta própria. Neste caso, surgem vibrações longitudinais livres. Vamos derivar as equações para essas oscilações. Direcionemos o eixo das abcissas ao longo do eixo da haste (Fig. 23); em estado de repouso, as extremidades da haste apresentam abcissas, respectivamente. Considere a seção transversal; - sua abscissa está em repouso. O deslocamento desta seção em qualquer instante t será caracterizado por uma função para descobrir a qual devemos criar uma equação diferencial. Vamos primeiro encontrar o alongamento relativo da seção da haste limitada pelas seções. Se a abcissa da seção estiver em repouso, então o deslocamento desta seção no tempo t, com precisão de infinitesimais de ordem superior, é igual a Portanto, o alongamento relativo da haste na seção com a abcissa no tempo t é igual a Supondo que as forças que causam esse alongamento obedecem à lei de Hooke, encontraremos o módulo da força de tração T atuando na seção: onde é a área da seção transversal da haste e é o módulo de elasticidade (módulo de Young) do material da haste. A fórmula (5.2) deve ser bem conhecida do leitor do curso sobre resistência de materiais. Assim, a força que atua na seção é igual a Como as forças substituem a ação das partes descartadas da haste, a força resultante é igual à diferença Considerando a seção selecionada da barra como um ponto material com massa , onde é a densidade volumétrica da barra, e aplicando a segunda lei de Newton a ela, criamos a equação Abreviando e introduzindo a notação obtemos a equação diferencial das vibrações longitudinais livres da haste Se assumirmos adicionalmente que uma força externa calculada por unidade de volume e agindo ao longo do eixo da haste é aplicada à haste, então um termo será adicionado ao lado direito da relação (5 3) e a equação (5.4) assumirá o forma que coincide exatamente com a equação das oscilações forçadas da corda. Passemos agora ao estabelecimento das condições iniciais e de contorno do problema e consideremos o caso praticamente mais interessante, quando uma extremidade da barra está fixa e a outra está livre. Na extremidade livre, a condição de contorno terá uma forma diferente. Como não existem forças externas nesta extremidade, a força T que atua na seção também deve ser igual a zero, ou seja, As oscilações ocorrem porque no momento inicial a haste foi deformada (esticada ou comprimida) e certas velocidades iniciais foram transmitidas às pontas da haste. Portanto, devemos conhecer o deslocamento das seções transversais da barra no momento bem como as velocidades iniciais das pontas da haste Assim, o problema das vibrações longitudinais livres de uma haste fixada em uma extremidade, surgidas devido à compressão ou tensão inicial, nos levou à equação com condições iniciais e condições de contorno É a última condição que, do ponto de vista matemático, distingue o problema em consideração do problema das oscilações de uma corda fixada em ambas as extremidades. Resolveremos o problema colocado pelo método de Fourier, ou seja, encontraremos soluções parciais da equação que satisfaçam as condições de contorno (5.8) na forma Como o curso posterior da solução é semelhante ao já descrito no § 3, nos limitaremos a apenas breves instruções. Diferenciando a função, substituindo as expressões resultantes em (5.6) e separando as variáveis, obtemos (Deixamos ao leitor estabelecer de forma independente que, devido às condições de contorno, a constante do lado direito não pode ser um número positivo ou zero.) A solução geral da equação tem a forma Devido às condições impostas à função teremos Soluções que não sejam identicamente iguais a zero serão obtidas somente se a condição for atendida, ou seja, para , onde k pode assumir valores Então, os autovalores do problema são os números Cada um tem sua própria função Como já sabemos, multiplicando qualquer uma das autofunções por uma constante arbitrária, obteremos uma solução para a equação com as condições de contorno definidas. É fácil verificar que, ao atribuir ao número k valores negativos, não obteremos novas autofunções (por exemplo, em resultará em uma função que difere da autofunção ) apenas no sinal), Vamos primeiro provar que as autofunções (5.11) são ortogonais no intervalo. Na verdade, quando Se então É possível provar a ortogonalidade das funções próprias de outra forma, não contando com suas expressões explícitas, mas usando apenas a equação diferencial e as condições de contorno. Sejam e dois autovalores distintos e sejam as autofunções correspondentes. Por definição, essas funções satisfazem as equações e condições de contorno. Vamos multiplicar a primeira equação pela segunda e subtrair uma da outra.
(5.2)
