Ângulo de rotação elementar, velocidade angular
Figura 9. Ângulo de rotação elementar ()
Rotações elementares (infinitamente pequenas) são tratadas como vetores. O módulo do vetor é igual ao ângulo de rotação, e sua direção coincide com a direção do movimento de translação da ponta do parafuso, cuja cabeça gira na direção do movimento do ponto ao longo do círculo, ou seja , obedece à regra do parafuso certo.
Velocidade angular
O vetor é direcionado ao longo do eixo de rotação de acordo com a regra do parafuso direito, ou seja, da mesma forma que o vetor (ver Figura 10).
Figura 10.
Figura 11
O valor vetorial determinado pela primeira derivada do ângulo de rotação do corpo em relação ao tempo.
Relação entre os módulos de velocidades lineares e angulares
Figura 12
Relação entre vetores de velocidade linear e angular
A posição do ponto considerado é dada pelo vetor raio (desenhado a partir da origem 0 sobre o eixo de rotação). O produto vetorial coincide na direção com o vetor e tem um módulo igual a
A unidade de velocidade angular é .
Pseudovetores (vetores axiais) são vetores cujas direções estão associadas ao sentido de rotação (por exemplo,). Esses vetores não possuem pontos de aplicação específicos: podem ser desenhados a partir de qualquer ponto do eixo de rotação.
Movimento uniforme de um ponto material ao longo de um círculo
Movimento uniforme em um círculo - um movimento no qual um ponto material (corpo) por períodos iguais de tempo passa pelos arcos de um círculo de comprimento igual.
Velocidade angular
: (-- ângulo de rotação).
O período de rotação T é o tempo durante o qual o ponto material faz uma revolução completa em torno da circunferência, ou seja, gira em um ângulo.
Uma vez que corresponde ao intervalo de tempo, então.
Frequência de rotação - o número de revoluções completas feitas por um ponto material com seu movimento uniforme ao longo de um círculo, por unidade de tempo.
Figura 13
Uma característica do movimento uniforme em um círculo
O movimento circular uniforme é um caso especial de movimento curvilíneo. O movimento ao longo de um círculo com uma constante de velocidade módulo () é acelerado. Isso se deve ao fato de que em um módulo constante, a direção da velocidade muda o tempo todo.
Aceleração de um ponto material movendo-se uniformemente em um círculo
A componente tangencial da aceleração no movimento uniforme de um ponto ao longo de um círculo é igual a zero.
A componente normal da aceleração (aceleração centrípeta) é direcionada ao longo do raio em direção ao centro do círculo (veja a Figura 13). Em qualquer ponto do círculo, o vetor aceleração normal é perpendicular ao vetor velocidade. A aceleração de um ponto material movendo-se uniformemente ao longo de um círculo em qualquer um de seus pontos é centrípeta.
aceleração angular. Relação entre grandezas lineares e angulares
A aceleração angular é uma grandeza vetorial determinada pela primeira derivada da velocidade angular em relação ao tempo.
Direção do vetor de aceleração angular
Quando o corpo gira em torno de um eixo fixo, o vetor de aceleração angular é direcionado ao longo do eixo de rotação em direção ao vetor do incremento elementar da velocidade angular.
Com o movimento acelerado, o vetor está alinhado com o vetor, com o movimento lento, é oposto a ele. Um vetor é um pseudovetor.
A unidade de aceleração angular é .
Relação entre grandezas lineares e angulares
(-- raio do círculo; -- velocidade linear; -- aceleração tangencial; -- aceleração normal; -- velocidade angular).
com valores lineares.
Movimento angular- uma grandeza vetorial que caracteriza a mudança na coordenada angular no processo de seu movimento.
Velocidade angular- grandeza física vetorial que caracteriza a velocidade de rotação do corpo. O vetor velocidade angular é igual em magnitude ao ângulo de rotação do corpo por unidade de tempo:
e é dirigido ao longo do eixo de rotação de acordo com a regra da verruma, ou seja, no sentido em que a verruma com rosca direita seria aparafusada se girasse no mesmo sentido.
A unidade de medida da velocidade angular adotada nos sistemas SI e CGS é radianos por segundo. (Nota: o radiano, como qualquer unidade de medida de ângulo, é fisicamente adimensional, então a dimensão física da velocidade angular é simplesmente ). A técnica também usa revoluções por segundo, com muito menos frequência - graus por segundo, graus por segundo. Talvez as revoluções por minuto sejam usadas com mais frequência na tecnologia - isso acontece desde os tempos em que a velocidade rotacional dos motores a vapor de baixa velocidade era determinada simplesmente contando "manualmente" o número de revoluções por unidade de tempo.
O vetor velocidade (instantânea) de qualquer ponto de um corpo (absolutamente) rígido girando a uma velocidade angular é dado por:
onde é o vetor raio até o ponto dado a partir da origem localizado no eixo de rotação do corpo, e os colchetes denotam o produto vetorial. A velocidade linear (coincidindo com o módulo do vetor velocidade) de um ponto a uma certa distância (raio) r do eixo de rotação pode ser considerada da seguinte forma: v = rω. Se outras unidades de ângulos forem usadas em vez de radianos, nas duas últimas fórmulas aparecerá um multiplicador que não é igual a um.
No caso de rotação plana, ou seja, quando todos os vetores de velocidade dos pontos do corpo estão (sempre) no mesmo plano ("plano de rotação"), a velocidade angular do corpo é sempre perpendicular a este plano, e de fato - se o plano de rotação é conhecido antecipadamente - pode ser substituído por um escalar - projeção sobre um eixo ortogonal ao plano de rotação. Neste caso, a cinemática de rotação é bastante simplificada, porém, no caso geral, a velocidade angular pode mudar de direção ao longo do tempo no espaço tridimensional, e tal imagem simplificada não funciona.
A derivada da velocidade angular em relação ao tempo é a aceleração angular.
O movimento com um vetor de velocidade angular constante é chamado de movimento rotacional uniforme (neste caso, a aceleração angular é zero).
A velocidade angular (considerada como um vetor livre) é a mesma em todos os referenciais inerciais, porém, em referenciais inerciais diferentes, o eixo ou centro de rotação de um mesmo corpo específico no mesmo instante de tempo pode diferir (que ou seja, haverá um “ponto de aplicação” diferente da velocidade angular).
No caso do movimento de um único ponto no espaço tridimensional, você pode escrever uma expressão para a velocidade angular desse ponto em relação à origem selecionada:
Onde é o vetor raio do ponto (da origem), é a velocidade desse ponto. - produto vetorial, - produto escalar de vetores. No entanto, esta fórmula não determina exclusivamente a velocidade angular (no caso de um único ponto, você pode escolher outros vetores adequados por definição, caso contrário - arbitrariamente - escolhendo a direção do eixo de rotação), mas para o caso geral (quando o corpo inclui mais de um ponto material) - esta fórmula não é verdadeira para a velocidade angular de todo o corpo (porque dá valores diferentes para cada ponto, e durante a rotação de um corpo absolutamente rígido, por definição, a velocidade angular de sua rotação é o único vetor). Com tudo isso, no caso bidimensional (o caso da rotação do plano) esta fórmula é bastante suficiente, inequívoca e correta, pois neste caso particular a direção do eixo de rotação é definitivamente determinada de forma única.
No caso de movimento rotacional uniforme (isto é, movimento com um vetor de velocidade angular constante), as coordenadas cartesianas dos pontos de um corpo girando dessa forma realizam oscilações harmônicas com uma frequência angular (cíclica) igual ao módulo do movimento angular vetor de velocidade.
Ao medir a velocidade angular em rotações por segundo (r/s), o módulo da velocidade angular do movimento rotacional uniforme é o mesmo que a velocidade rotacional f, medida em hertz (Hz)
(ou seja, em tais unidades).
No caso de usar a unidade física usual de velocidade angular - radianos por segundo - o módulo de velocidade angular está relacionado com a velocidade de rotação da seguinte forma:
Finalmente, ao usar graus por segundo, a relação com RPM seria:
Aceleração angular- quantidade física pseudovetorial que caracteriza a taxa de variação da velocidade angular de um corpo rígido.
Quando um corpo gira em torno de um eixo fixo, o módulo de aceleração angular é:
O vetor de aceleração angular α é direcionado ao longo do eixo de rotação (para o lado com rotação acelerada e oposta - com rotação lenta).
Ao girar em torno de um ponto fixo, o vetor de aceleração angular é definido como a primeira derivada do vetor de velocidade angular ω em relação ao tempo, ou seja
e é direcionado tangencialmente ao hodógrafo do vetor em seu ponto correspondente.
Existe uma relação entre as acelerações tangenciais e angulares:
onde R é o raio de curvatura da trajetória do ponto em um determinado momento. Assim, a aceleração angular é igual à segunda derivada do ângulo de rotação em relação ao tempo ou a primeira derivada da velocidade angular em relação ao tempo. A aceleração angular é medida em rad/seg2.
Velocidade angular e aceleração angular
Considere um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo. Em seguida, pontos individuais desse corpo descreverão círculos de raios diferentes, cujos centros se situam no eixo de rotação. Deixe algum ponto se mover ao longo de um círculo de raio R(Fig. 6). Sua posição após um período de tempo D t defina o ângulo D. Rotações elementares (infinitamente pequenas) podem ser consideradas como vetores (elas são denotadas por ou ) . O módulo do vetor é igual ao ângulo de rotação e sua direção coincide com a direção do movimento de translação da ponta do parafuso, cuja cabeça gira na direção do movimento do ponto ao longo do círculo, ou seja, obedece regra do parafuso certo(Fig. 6). Os vetores cujas direções estão associadas à direção de rotação são chamados pseudovetores ou vetores axiais. Esses vetores não possuem pontos de aplicação específicos: podem ser desenhados a partir de qualquer ponto do eixo de rotação.
velocidade angularé chamada de grandeza vetorial igual à primeira derivada do ângulo de rotação do corpo em relação ao tempo:
O vetor é direcionado ao longo do eixo de rotação de acordo com a regra do parafuso direito, ou seja, o mesmo que o vetor (Fig. 7). Dimensão da velocidade angular dim w =T- 1 , e sua unidade é radiano por segundo (rad/s).
Velocidade linear pontual (veja a Fig. 6)
Na forma vetorial, a fórmula da velocidade linear pode ser escrita como um produto vetorial:
Neste caso, o módulo do produto vetorial, por definição, é igual, e a direção coincide com a direção do movimento de translação do parafuso direito quando ele gira de para R.
Se ( = const, então a rotação é uniforme e pode ser caracterizada período de rotação T - o tempo durante o qual a ponta faz uma volta completa, ou seja, gira em um ângulo de 2p. Como o intervalo de tempo D t= T corresponde a = 2p, então = 2p/ T, Onde
O número de revoluções completas feitas pelo corpo durante seu movimento uniforme em um círculo por unidade de tempo é chamado de frequência de rotação:
A aceleração angular é uma quantidade vetorial igual à primeira derivada da velocidade angular em relação ao tempo:
Quando o corpo gira em torno de um eixo fixo, o vetor de aceleração angular é direcionado ao longo do eixo de rotação em direção ao vetor do incremento elementar da velocidade angular. Com o movimento acelerado, o vetor é co-direcionado ao vetor (Fig. 8), com o movimento lento, é oposto a ele (Fig. 9).
Componente tangencial da aceleração
Componente normal da aceleração
Assim, a relação entre linear (comprimento do caminho s passou pelo ponto ao longo do arco de um círculo de raio R, velocidade linear v, aceleração tangencial , aceleração normal ) e quantidades angulares (ângulo de rotação j, velocidade angular w, aceleração angular e) é expressa pelas seguintes fórmulas:
No caso de movimento uniformemente variável de um ponto ao longo de um círculo (e = const)
onde w 0 é a velocidade angular inicial.
Leis de Newton.
A primeira lei de Newton. Peso. Força
A dinâmica é o principal ramo da mecânica, baseia-se nas três leis de Newton, formuladas por ele em 1687. As leis de Newton desempenham um papel excepcional na mecânica e são (como todas as leis físicas) uma generalização dos resultados da vasta experiência humana. Eles são considerados como sistema de leis interligadas e nem todas as leis estão sujeitas a verificação experimental, mas todo o sistema como um todo.
A primeira lei de Newton: qualquer ponto material (corpo) mantém um estado de repouso ou movimento retilíneo uniforme até que o impacto de outros corpos o faça mudar esse estado. O desejo de um corpo de manter um estado de repouso ou movimento retilíneo uniforme é chamado de inércia. Portanto, a primeira lei de Newton também é chamada lei da inércia.
O movimento mecânico é relativo e sua natureza depende do referencial. A primeira lei de Newton não é válida em nenhum referencial, e os sistemas em relação aos quais ela é realizada são chamados sistemas de referência inercial. Um referencial inercial é um referencial desse tipo, em relação ao qual um ponto material, livre de influências externas, em repouso ou em movimento uniforme e em linha reta. A primeira lei de Newton afirma a existência de referenciais inerciais.
Foi estabelecido experimentalmente que o referencial heliocêntrico (estelar) pode ser considerado inercial (a origem das coordenadas está no centro do Sol e os eixos são desenhados na direção de certas estrelas). O referencial associado à Terra, a rigor, é não inercial, mas os efeitos devidos à sua não inercialidade (a Terra gira em torno do seu próprio eixo e em torno do Sol) são negligenciáveis na resolução de muitos problemas, e nestes casos pode ser considerado inercial.
Por experiência, sabe-se que, sob as mesmas influências, diferentes corpos mudam a velocidade de seu movimento de forma desigual, ou seja, adquirem diferentes acelerações. A aceleração depende não apenas da magnitude do impacto, mas também das propriedades do próprio corpo (em sua massa).
Peso corpos - uma quantidade física, que é uma das principais características da matéria, que determina sua inércia ( massa inercial) e gravitacional ( massa gravitacional) propriedades. Atualmente, pode-se considerar provado que as massas inerciais e gravitacionais são iguais entre si (com uma precisão não inferior a 10-12 de seus valores).
Para descrever os efeitos mencionados na primeira lei de Newton, introduz-se o conceito de força. Sob a ação de forças, os corpos ou mudam sua velocidade de movimento, ou seja, adquirem acelerações (manifestação dinâmica de forças), ou se deformam, ou seja, mudam sua forma e dimensões (manifestação estática de forças). A cada momento, a força é caracterizada por um valor numérico, uma direção no espaço e um ponto de aplicação. Então, força- esta é uma quantidade vetorial, que é uma medida do impacto mecânico no corpo de outros corpos ou campos, como resultado do qual o corpo adquire aceleração ou muda sua forma e tamanho.
segunda lei de newton
Segunda lei de Newton - a lei básica da dinâmica do movimento de translação - responde à questão de como o movimento mecânico de um ponto material (corpo) muda sob a ação de forças aplicadas a ele.
Se considerarmos a ação de diferentes forças sobre o mesmo corpo, verifica-se que a aceleração adquirida pelo corpo é sempre diretamente proporcional à resultante das forças aplicadas:
a~f(t=const). (6.1)
Sob a ação da mesma força sobre corpos com massas diferentes, suas acelerações acabam sendo diferentes, ou seja,
um ~ 1 /t (F= const). (6.2)
Usando as expressões (6.1) e (6.2) e levando em conta que força e aceleração são grandezas vetoriais, podemos escrever
a = kF/m. (6.3)
A relação (6.3) expressa a segunda lei de Newton: a aceleração adquirida por um ponto material (corpo), proporcional à força que a causa, coincide com ele na direção e é inversamente proporcional à massa do ponto material (corpo).
No SI, o fator de proporcionalidade k= 1. Então
(6.4)
Considerando que a massa de um ponto material (corpo) na mecânica clássica é um valor constante, na expressão (6.4) ela pode ser colocada sob o signo da derivada:
Grandeza vetorial
numericamente igual ao produto da massa de um ponto material e sua velocidade e tendo a direção da velocidade, é chamado impulso (momentum) este ponto material.
Substituindo (6.6) em (6.5), obtemos
Esta expressão - formulação mais geral da segunda lei de Newton: a taxa de variação do momento de um ponto material é igual à força que atua sobre ele. A expressão (6.7) é chamada a equação do movimento de um ponto material.
Unidade de força no SI - newton(N): 1 N é uma força que confere uma aceleração de 1 m/s 2 a uma massa de 1 kg na direção da força:
1 N \u003d 1 kg × m / s 2.
A segunda lei de Newton é válida apenas em referenciais inerciais. A primeira lei de Newton pode ser derivada da segunda. De fato, se a força resultante é igual a zero (na ausência de influência de outros corpos sobre o corpo), a aceleração (ver (6.3)) também é igual a zero. No entanto A primeira lei de Newton considerado lei independente(e não como consequência da segunda lei), pois é ele quem afirma a existência de referenciais inerciais, nos quais apenas a equação (6.7) é satisfeita.
Na mecânica, é de grande importância princípio da independência de ação das forças: se várias forças atuam simultaneamente em um ponto material, cada uma dessas forças transmite uma aceleração ao ponto material de acordo com a segunda lei de Newton, como se não houvesse outras forças. De acordo com este princípio, as forças e acelerações podem ser decompostas em componentes, cuja utilização leva a uma simplificação significativa da resolução de problemas. Por exemplo, na fig. 10 força de atuação F= m a é decomposta em duas componentes: força tangencial F t , (dirigida tangencialmente à trajetória) e força normal F n(dirigido ao longo da normal ao centro de curvatura). Usando expressões e , bem como , você pode escrever:
Se várias forças atuam simultaneamente em um ponto material, então, de acordo com o princípio da independência da ação das forças, F na segunda lei de Newton é entendido como a força resultante.
Terceira lei de Newton
A interação entre os pontos materiais (corpos) é determinada por Terceira lei de Newton: qualquer ação de pontos materiais (corpos) uns sobre os outros tem caráter de interação; as forças com as quais os pontos materiais agem um sobre o outro são sempre iguais em valor absoluto, dirigidas de forma oposta e agem ao longo da linha reta que liga esses pontos:
F 12 = - F 21, (7.1)
onde F 12 é a força que atua no primeiro ponto material a partir do segundo;
F 21 - força atuando no segundo ponto material a partir do primeiro. Essas forças são aplicadas diferente pontos materiais (corpos), sempre agem em pares e são as forças uma natureza.
A terceira lei de Newton permite a transição da dinâmica separado ponto material para a dinâmica sistemas pontos materiais. Isso decorre do fato de que, para um sistema de pontos materiais, a interação é reduzida às forças de interação de pares entre pontos materiais.
O movimento de um corpo estendido cujas dimensões não podem ser desprezadas nas condições do problema em consideração. O corpo será considerado indeformável, ou seja, absolutamente rígido.
O movimento em que algum uma linha reta conectada a um corpo em movimento permanece paralela a si mesma, é chamada progressivo.
Uma linha reta "rigidamente conectada com um corpo" é entendida como uma linha reta, a distância de qualquer ponto da qual a qualquer ponto do corpo permanece constante durante seu movimento.
O movimento de translação de um corpo absolutamente rígido pode ser caracterizado pelo movimento de qualquer ponto desse corpo, pois no movimento de translação todos os pontos do corpo se movem com as mesmas velocidades e acelerações, e as trajetórias de seus movimentos são congruentes. Tendo determinado o movimento de qualquer um dos pontos de um corpo rígido, determinaremos ao mesmo tempo o movimento de todos os outros pontos. Portanto, ao descrever o movimento de translação, não surgem novos problemas em comparação com a cinemática de um ponto material. Um exemplo de movimento de translação é mostrado na fig. 2.20.
Fig.2.20. Movimento translacional do corpo
Um exemplo de movimento de translação é mostrado na figura a seguir:
Fig.2.21. Movimento corporal plano
Outro caso particular importante do movimento de um corpo rígido é o movimento em que dois pontos do corpo permanecem estacionários.
Um movimento em que dois pontos do corpo permanecem estacionários é chamado rotação em torno de um eixo fixo.
A linha que liga esses pontos também é fixa e é chamada de eixo de rotação.
Fig.2.22. Rotação de um corpo rígido
Com tal movimento, todos os pontos do corpo se movem ao longo de círculos localizados em planos perpendiculares ao eixo de rotação. Os centros dos círculos estão no eixo de rotação. Nesse caso, o eixo de rotação também pode estar localizado fora do corpo.
Vídeo 2.4. Movimentos translacionais e rotacionais.
Velocidade angular, aceleração angular. Quando um corpo gira em torno de um eixo, todos os seus pontos descrevem círculos de raios diferentes e, portanto, têm deslocamentos, velocidades e acelerações diferentes. No entanto, é possível descrever o movimento rotacional de todos os pontos do corpo da mesma maneira. Para isso, outras características cinemáticas de movimento (em comparação com um ponto material) são usadas - ângulo de rotação, velocidade angular, aceleração angular.
Arroz. 2.23. Vetores de aceleração de um ponto que se move em um círculo
O papel do deslocamento no movimento rotacional é desempenhado por pequeno vetor de volta, em torno do eixo de rotação 00" (Fig. 2.24.). Será o mesmo para qualquer ponto corpo absolutamente rígido(por exemplo, pontos 1, 2, 3 ).
Arroz. 2.24. Rotação de um corpo perfeitamente rígido em torno de um eixo fixo
O módulo do vetor de rotação é igual ao valor do ângulo de rotação, e ângulo é medido em radianos.
O vetor de uma rotação infinitesimal ao longo do eixo de rotação é direcionado para o movimento do parafuso direito (gimlet) girado na mesma direção do corpo.
Vídeo 2.5. Os deslocamentos angulares finais não são vetores, pois não se somam de acordo com a regra do paralelogramo. Deslocamentos angulares infinitamente pequenos são vetores.
Vetores cujas direções estão associadas com a regra do gimlet são chamados axial(do inglês. eixo- eixo) em oposição a polar. vetores que usamos anteriormente. Os vetores polares são, por exemplo, o vetor raio, o vetor velocidade, o vetor aceleração e o vetor força. Os vetores axiais também são chamados de pseudovetores, pois diferem dos vetores verdadeiros (polares) em seu comportamento durante a operação de reflexão no espelho (inversão ou, o que é o mesmo, a transição do sistema de coordenadas da direita para a esquerda). Pode-se mostrar (isso será feito mais adiante) que a adição de vetores de rotações infinitesimais ocorre da mesma forma que a adição de vetores verdadeiros, ou seja, de acordo com a regra do paralelogramo (triângulo). Portanto, se a operação de reflexão em um espelho não for considerada, então a diferença entre pseudovetores e vetores verdadeiros não se manifesta de forma alguma e é possível e necessário tratá-los como com vetores comuns (verdadeiros).
A razão do vetor de uma rotação infinitesimal para o tempo durante o qual essa rotação ocorreu
chamado velocidade angular de rotação.
A unidade básica para medir a magnitude da velocidade angular é rad/s. Nas publicações impressas, por motivos que nada têm a ver com a física, costumam escrever 1/s ou a partir de 1 que, estritamente falando, é falso. Ângulo é uma grandeza adimensional, mas suas unidades de medida são diferentes (graus, loxodromas, grados...) e devem ser indicadas, pelo menos para evitar mal-entendidos.
Vídeo 2.6. Efeito estroboscópico e seu uso para medição remota da velocidade angular de rotação.
A velocidade angular, como o vetor ao qual é proporcional, é um vetor axial. Ao girar ao redor imóvel a velocidade angular do eixo não muda sua direção. Com rotação uniforme, seu valor também permanece constante, de modo que o vetor . No caso de suficiente constância no tempo do valor da velocidade angular, a rotação pode ser convenientemente caracterizada pelo seu período T :
Período de rotação- este é o tempo durante o qual o corpo faz uma revolução (rotação de um ângulo de 2π) em torno do eixo de rotação.
As palavras "constância suficiente" obviamente significam que durante o período (o tempo de uma revolução) o módulo da velocidade angular muda insignificantemente.
Também frequentemente usado número de revoluções por unidade de tempo
Ao mesmo tempo, em aplicações técnicas (em primeiro lugar, todos os tipos de motores), costuma-se levar não um segundo, mas um minuto como unidade de tempo. Ou seja, a velocidade angular de rotação é indicada em rotações por minuto. Como você pode ver facilmente, a relação entre (em radianos por segundo) e (em revoluções por minuto) é a seguinte
A direção do vetor velocidade angular é mostrada na fig. 2.25.
Por analogia com a aceleração linear, a aceleração angular é introduzida como a taxa de variação do vetor velocidade angular. A aceleração angular também é um vetor axial (pseudovetor).
Aceleração angular - vetor axial definido como a derivada temporal da velocidade angular
Ao girar em torno de um eixo fixo, mais geralmente ao girar em torno de um eixo que permanece paralelo a si mesmo, o vetor de velocidade angular também é direcionado paralelamente ao eixo de rotação. Com o aumento do valor da velocidade angular || a aceleração angular coincide com ela na direção, enquanto diminui - é direcionada na direção oposta. Ressaltamos que este é apenas um caso especial de invariância da direção do eixo de rotação, no caso geral (rotação em torno de um ponto) o próprio eixo de rotação gira e então o acima não é verdade.
Conexão de velocidades e acelerações angulares e lineares. Cada um dos pontos do corpo giratório se move com uma certa velocidade linear direcionada tangencialmente ao círculo correspondente (ver Fig. 19). Deixe o ponto material girar em torno do eixo 00" em torno de um círculo com um raio R. Por um pequeno período de tempo, ele passará pelo caminho correspondente ao ângulo de rotação. Então
Passando ao limite , obtemos uma expressão para o módulo da velocidade linear de um ponto de um corpo em rotação.
Lembre-se aqui R- distância do ponto considerado do corpo ao eixo de rotação.
Arroz. 2.26.
Como a aceleração normal é
então, levando em conta a relação para as velocidades angulares e lineares, obtemos
A aceleração normal dos pontos em um corpo rígido em rotação é muitas vezes referida como aceleração centrípeta.
Derivando em relação ao tempo a expressão para , encontramos
onde é a aceleração tangencial de um ponto que se move ao longo de um círculo com um raio R.
Assim, as acelerações tangencial e normal crescem linearmente com o aumento do raio R- distância do eixo de rotação. A aceleração total também depende linearmente de R :
Exemplo. Vamos encontrar a velocidade linear e a aceleração centrípeta de pontos situados na superfície da Terra no equador e na latitude de Moscou ( = 56°). Conhecemos o período de rotação da Terra em torno de seu próprio eixo T \u003d 24 horas \u003d 24x60x60 \u003d 86.400 s. A partir daqui é a velocidade angular de rotação
Raio médio da Terra
A distância ao eixo de rotação na latitude é
A partir daqui encontramos a velocidade linear
e aceleração centrípeta
No equador = 0, cos = 1, portanto,
Na latitude de Moscou cos = cos 56° = 0,559 e obtemos:
Vemos que a influência da rotação da Terra não é tão grande: a razão entre a aceleração centrípeta no equador e a aceleração de queda livre é
No entanto, como veremos mais adiante, os efeitos da rotação da Terra são bastante observáveis.
Relação entre vetores de velocidade linear e angular. As relações entre as velocidades angulares e lineares obtidas acima são escritas para os módulos dos vetores e . Para escrever essas relações na forma vetorial, usamos o conceito de produto vetorial.
Deixar 0z- o eixo de rotação de um corpo absolutamente rígido (Fig. 2.28).
Arroz. 2.28. Relação entre vetores de velocidade linear e angular
Ponto MAS gira em torno de um círculo de raio R. R- distância do eixo de rotação ao ponto considerado do corpo. Vamos dar um ponto 0 para a origem das coordenadas. Então
e desde
então por definição do produto vetorial, para todos os pontos do corpo
Aqui está o vetor raio do ponto do corpo, começando no ponto O, deitado em um lugar fixo arbitrário, necessariamente no eixo de rotação
Mas do outro lado
O primeiro termo é igual a zero, pois o produto vetorial de vetores colineares é igual a zero. Consequentemente,
onde vetor Ré perpendicular ao eixo de rotação e dirigido para longe dele, e seu módulo é igual ao raio do círculo ao longo do qual o ponto material se move e este vetor começa no centro deste círculo.
Arroz. 2.29. Para a definição do eixo instantâneo de rotação
A aceleração normal (centrípeta) também pode ser escrita na forma vetorial:
e o sinal "-" indica que está direcionado ao eixo de rotação. Diferenciando a relação para a velocidade linear e angular em relação ao tempo, encontramos a expressão para a aceleração total
O primeiro termo é direcionado tangencialmente à trajetória de um ponto em um corpo em rotação e seu módulo é , porque
Comparando com a expressão para a aceleração tangencial, concluímos que este é o vetor de aceleração tangencial
Portanto, o segundo termo é a aceleração normal do mesmo ponto:
De fato, ele é direcionado ao longo do raio R ao eixo de rotação e seu módulo é igual a
Portanto, essa relação para a aceleração normal é outra forma de escrever a fórmula obtida anteriormente.
informação adicional
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Curso geral de física, volume 1, Mecânica Ed. Science 1979 - pp. 242-243 (§46, p. 7): discute-se uma questão bastante difícil de entender sobre a natureza vetorial das rotações angulares de um corpo rígido;
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Curso geral de física, volume 1, Mecânica Ed. Ciência 1979 - pp. 233–242 (§45, §46 pp. 1–6): eixo instantâneo de rotação de um corpo rígido, adição de rotações;
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/02/kinematika_basketbolnogo_brosk.html - revista Kvant - cinemática de arremesso de basquete (R. Vinokur);
http://kvant.mirror1.mccme.ru/ - Revista Kvant, 2003, No. 6, - pp. 5–11, campo de velocidades instantâneas de um corpo rígido (S. Krotov);
Ângulos de Euler, ângulos de aeronaves (navios).
Tradicionalmente, os ângulos de Euler são introduzidos da seguinte forma. A transição da posição de referência para a real é realizada por três voltas (Fig. 4.3):
1. Gire ao virar da esquina precessão Ao mesmo tempo, ele vai para a posição, (c) .
2. Gire ao virar da esquina nutação. Em que, . (4.10)
4. Gire ao virar da esquina rotação própria (pura)
Para uma melhor compreensão, a Fig. 4.4 mostra um topo e ângulos de Euler descrevendo-o
A transição da posição de referência para a real pode ser realizada por três voltas (gire você mesmo!) (Fig. 4.5):
1. Gire ao virar da esquina guinada, em que
2. Gire pelo ângulo de inclinação, enquanto (4.12)
3. Gire o ângulo ao redor
A expressão "pode ser feito" não é acidental; não é difícil entender que outras opções são possíveis, por exemplo, rotações em torno de eixos fixos
1. Gire ao virar da esquina lista(com o risco de quebrar as asas)
2. Gire ao virar da esquina tom(levantando o "nariz") (4.13)
3. Gire em um ângulo guinada
No entanto, a identidade de (4.12) e (4.13) também precisa ser provada.
Vamos escrever uma fórmula vetorial óbvia para o vetor posição de qualquer ponto (Fig. 4.6) na forma de matriz. Encontre as coordenadas do vetor em relação à base de referência. Vamos expandir o vetor de acordo com a base real e introduzir um vetor “transferido” cujas coordenadas na base de referência são iguais às coordenadas do vetor na base real; em outras palavras, - um vetor “girado” junto com o corpo (Fig.4.6).
| Arroz. 4.6. |
Expandindo os vetores de acordo com a base de referência, obtemos
Introduzimos uma matriz de rotação e colunas,
A fórmula vetorial em notação matricial tem a forma
1. A matriz de rotação é ortogonal, ou seja.
A prova desta afirmação é a fórmula (4.9)
Calculando o determinante do produto (4.15), obtemos e como na posição de referência, então (matrizes ortogonais com determinante igual a (+1) são chamadas apropriado matrizes ortogonais ou de rotação). A matriz de rotação, quando multiplicada por vetores, não altera nem os comprimentos dos vetores nem os ângulos entre eles, ou seja, realmente eles voltas.
2. A matriz de rotação possui um autovetor (fixo) que define o eixo de rotação. Em outras palavras, é necessário mostrar que o sistema de equações onde tem uma única solução. Escrevemos o sistema na forma (. O determinante desse sistema homogêneo é igual a zero, pois
portanto, o sistema tem uma solução diferente de zero. Assumindo que existem duas soluções, chegamos imediatamente à conclusão de que a perpendicular a elas também é uma solução (os ângulos entre os vetores não mudam), o que significa que sem volta..
| Fig.4.7 |
Matriz em base ortonormal
tem um olhar.
2. Diferenciando (4.15), obtemos ou, denotando - matriz volta (eng. to spin - twirl). Assim, a matriz de spin é assimétrica: . Multiplicando da direita por, obtemos a fórmula de Poisson para a matriz de rotação:
Chegamos ao momento mais difícil dentro da estrutura da descrição da matriz - a determinação do vetor velocidade angular.
Você pode, é claro, agir de maneira padrão (veja, por exemplo, o método e escreva: “ introduzimos a notação para os elementos da matriz assimétrica S de acordo com a fórmula
Se fizermos um vetor , então o resultado da multiplicação de uma matriz por um vetor pode ser representado como um produto vetorial". Na citação acima - o vetor de velocidade angular.
Diferenciando (4.14), obtemos a representação matricial da fórmula básica para a cinemática de um corpo rígido :
A abordagem matricial, sendo conveniente para cálculos, é muito pouco adequada para analisar e derivar relacionamentos; qualquer fórmula escrita em uma linguagem vetorial e tensorial pode ser facilmente escrita em uma forma matricial, mas é difícil obter uma fórmula compacta e expressiva para descrever qualquer fenômeno físico em uma forma matricial.
Além disso, não se deve esquecer que os elementos da matriz são as coordenadas (componentes) do tensor em alguma base. O tensor em si não depende da escolha da base, mas seus componentes sim. Para escrever sem erros na forma matricial, é necessário que todos os vetores e tensores incluídos na expressão sejam escritos na mesma base, e isso nem sempre é conveniente, pois tensores diferentes têm uma forma “simples” em bases diferentes, então você precisa recalcular matrizes usando matrizes de transição.
