Para encontrar domínios de definição de funções comuns, nesta lição resolveremos equações e inequações com uma variável.
Também haverá problemas para você resolver sozinho, para os quais poderá ver as respostas.
Qual é o domínio de definição de uma função? Vejamos o gráfico da função na figura. Cada ponto no gráfico de uma função corresponde a um determinado valor de “x” - o argumento da função e a um determinado valor de “y” - a própria função. A partir do argumento - "x" - é calculado o "y" - o valor da função. O domínio de definição de uma função é o conjunto de todos os valores de “x” para os quais o “y” – o valor da função – existe, ou seja, pode ser calculado. Em outras palavras, o conjunto de valores de argumentos sobre os quais a “função funciona”. A maioria das funções é especificada por fórmulas. Portanto, o domínio de uma função é também o maior conjunto no qual a fórmula faz sentido.
A figura mostra o gráfico da função. O denominador de uma fração não pode ser igual a zero, pois não é possível dividir por zero. Portanto, igualando o denominador a zero, obtemos um valor que não está incluído no domínio de definição da função: 1. E o domínio de definição da função são todos os valores de “x” de menos infinito até um e de um a mais infinito. Isso é claramente visível no gráfico
Exemplo 0. Como encontrar o domínio de definição da função i igual à raiz quadrada de x menos cinco (expressão radical x menos cinco) ()? Você só precisa resolver a desigualdade
x - 5 ≥ 0 ,
pois para obtermos o valor real do jogo, a expressão radical deve ser maior ou igual a zero. Obtemos a solução: o domínio de definição da função são todos os valores de x maiores ou iguais a cinco (ou x pertence ao intervalo de cinco inclusive a mais infinito).
No desenho acima há um fragmento do eixo dos números. Nele, a região de definição da função considerada fica sombreada, enquanto na direção “mais” a hachura continua indefinidamente junto com o próprio eixo.
Domínio de definição de uma constante
Constante (constante) definida para quaisquer valores reais x R numeros reais. Isso também pode ser escrito assim: o domínio de definição desta função é toda a reta numérica ]- ∞; + ∞[ .
Exemplo 1. Encontre o domínio de uma função sim = 2 .
Solução. O domínio de definição da função não é indicado, o que significa que em virtude da definição acima se entende o domínio natural de definição. Expressão f(x) = 2 definido para quaisquer valores reais x, portanto, esta função é definida em todo o conjunto R numeros reais.
Portanto, no desenho acima, a reta numérica está sombreada desde menos infinito até mais infinito.
Área de definição raiz nº grau
No caso em que a função é dada pela fórmula e n- número natural:
Exemplo 2. Encontre o domínio de uma função .
Solução. Como segue da definição, uma raiz de grau par faz sentido se a expressão radical for não negativa, ou seja, se - 1 ≤ x≤ 1. Portanto, o domínio de definição desta função é [- 1; 1] .
A área sombreada da reta numérica no desenho acima é o domínio de definição desta função.
Domínio da função de poder
Domínio de uma função de potência com um expoente inteiro
Se a- positivo, então o domínio de definição da função é o conjunto de todos os números reais, ou seja ]- ∞; + ∞[ ;
Se a- negativo, então o domínio de definição da função é o conjunto ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , ou seja, toda a reta numérica, exceto zero.
No desenho correspondente acima, toda a reta numérica está sombreada e o ponto correspondente a zero está perfurado (não está incluído no domínio de definição da função).
Exemplo 3. Encontre o domínio de uma função .
Solução. O primeiro termo é uma potência inteira de x igual a 3, e a potência de x no segundo termo pode ser representada como um - também um número inteiro. Consequentemente, o domínio de definição desta função é toda a reta numérica, ou seja ]- ∞; + ∞[ .
Domínio de uma função de potência com expoente fracionário
No caso em que a função é dada pela fórmula:
se for positivo, então o domínio de definição da função é o conjunto 0; + ∞[ .
Exemplo 4. Encontre o domínio de uma função .
Solução. Ambos os termos na expressão da função são funções de potência com expoentes fracionários positivos. Consequentemente, o domínio de definição desta função é o conjunto - ∞; + ∞[ .
Domínio de funções exponenciais e logarítmicas
Domínio da função exponencial
No caso em que uma função é dada por uma fórmula, o domínio de definição da função é toda a reta numérica, ou seja ] - ∞; + ∞[ .
Domínio da função logarítmica
A função logarítmica é definida desde que seu argumento seja positivo, ou seja, seu domínio de definição seja o conjunto ]0; + ∞[ .
Encontre você mesmo o domínio da função e veja a solução
Domínio de funções trigonométricas
Domínio de Função sim= cos( x) - também muitos R numeros reais.
Domínio de Função sim=tg( x) - um monte de R
números reais que não sejam números 
.
Domínio de Função sim=ctg( x) - um monte de R números reais, exceto números.
Exemplo 8. Encontre o domínio de uma função .
Solução. A função externa é um logaritmo decimal e seu domínio de definição está sujeito às condições do domínio de definição de uma função logarítmica em geral. Ou seja, seu argumento deve ser positivo. O argumento aqui é o seno de “x”. Girando uma bússola imaginária em torno de um círculo, vemos que a condição sin x> 0 é violado quando “x” é igual a zero, “pi”, dois, multiplicado por “pi” e geralmente igual ao produto de “pi” e qualquer número inteiro par ou ímpar.
Assim, o domínio de definição desta função é dado pela expressão
,
Onde k- um número inteiro.
Domínio de definição de funções trigonométricas inversas
Domínio de Função sim= arco seno ( x) - definir [-1; 1] .
Domínio de Função sim=arcos( x) - também o conjunto [-1; 1] .
Domínio de Função sim=artan( x) - um monte de R numeros reais.
Domínio de Função sim= arcoctg( x) - também muitos R numeros reais.
Exemplo 9. Encontre o domínio de uma função .
Solução. Vamos resolver a desigualdade:
Assim, obtemos o domínio de definição desta função - o segmento [- 4; 4] .
Exemplo 10. Encontre o domínio de uma função
.
Solução. Vamos resolver duas desigualdades:
Solução para a primeira desigualdade:
Solução para a segunda desigualdade:
Assim, obtemos o domínio de definição desta função – o segmento.
Escopo da fração
Se uma função é dada por uma expressão fracionária em que a variável está no denominador da fração, então o domínio de definição da função é o conjunto R números reais, exceto estes x, no qual o denominador da fração se torna zero.
Exemplo 11. Encontre o domínio de uma função .
Solução. Resolvendo a igualdade do denominador da fração a zero, encontramos o domínio de definição desta função - o conjunto ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .
Exemplo 12. Encontre o domínio de uma função .
Solução. Vamos resolver a equação:
Assim, obtemos o domínio de definição desta função - ]- ∞; - 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[ .
Primeiro, vamos aprender como encontrar domínio de definição da soma das funções. É claro que tal função faz sentido para todos os valores da variável para os quais todas as funções que compõem a soma fazem sentido. Portanto, não há dúvida sobre a validade da seguinte afirmação:
Se a função f é a soma de n funções f 1, f 2, …, f n, ou seja, a função f é dada pela fórmula y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ), então o domínio de definição da função f é a intersecção dos domínios de definição das funções f 1, f 2, ..., f n. Vamos escrever isso como .
Vamos concordar em continuar a usar entradas semelhantes à anterior, ou seja, escritas entre chaves, ou o cumprimento simultâneo de quaisquer condições. Isto é conveniente e ressoa naturalmente com o significado dos sistemas.
Exemplo.
A função y=x 7 +x+5+tgx é dada e precisamos encontrar seu domínio de definição.
Solução.
A função f é representada pela soma de quatro funções: f 1 - função potência com expoente 7, f 2 - função potência com expoente 1, f 3 - função constante e f 4 - função tangente.
Olhando para a tabela de domínios de definição de funções elementares básicas, descobrimos que D(f 1)=(−∞, +∞), D(f 2)=(−∞, +∞), D(f 3)= (−∞, +∞), e o domínio de definição da tangente é o conjunto de todos os números reais, exceto os números 
.
O domínio de definição da função f é a intersecção dos domínios de definição das funções f 1, f 2, f 3 e f 4. É bastante óbvio que este é o conjunto de todos os números reais, com exceção dos números .
Responder:
o conjunto de todos os números reais, exceto .
Vamos prosseguir para encontrar domínio de definição de um produto de funções. Para este caso, uma regra semelhante se aplica:
Se a função f é o produto de n funções f 1, f 2, ..., f n, ou seja, a função f é dada pela fórmula y=f 1 (x) f 2 (x)… f n (x), então o domínio de definição da função f é a intersecção dos domínios de definição das funções f 1, f 2, ..., f n. Então, .
Isso é compreensível, na área indicada todas as funções do produto são definidas e, portanto, a própria função f.
Exemplo.
Y=3·arctgx·lnx .
Solução.
A estrutura do lado direito da fórmula que define a função pode ser considerada como f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x), onde f 1 é uma função constante, f 2 é a função arco tangente, e f 3 é uma função logarítmica com base e.
Sabemos que D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) e D(f 3)=(0, +∞) . Então 
.
Responder:
O domínio de definição da função y=3·arctgx·lnx é o conjunto de todos os números reais positivos.
Vamos nos concentrar separadamente em encontrar o domínio de definição de uma função dada pela fórmula y=C·f(x), onde C é algum número real. É fácil mostrar que o domínio de definição desta função e o domínio de definição da função f coincidem. Na verdade, a função y=C·f(x) é o produto de uma função constante e de uma função f. O domínio de uma função constante é o conjunto de todos os números reais, e o domínio de uma função f é D(f) . Então o domínio de definição da função y=C f(x) é 
, que é o que precisava ser mostrado.
Assim, os domínios de definição das funções y=f(x) e y=C·f(x), onde C é algum número real, coincidem. Por exemplo, o domínio da raiz é , fica claro que D(f) é o conjunto de todos os x do domínio da função f 2 para os quais f 2 (x) está incluído no domínio da função f 1 .
Por isso, domínio de definição de uma função complexa y=f 1 (f 2 (x)) é a interseção de dois conjuntos: o conjunto de todos os x que x∈D(f 2) e o conjunto de todos os x para os quais f 2 (x)∈D(f 1) . Ou seja, na notação que adotamos 
(este é essencialmente um sistema de desigualdades).
Vejamos alguns exemplos de soluções. Não descreveremos o processo em detalhes, pois isso foge ao escopo deste artigo.
Exemplo.
Encontre o domínio de definição da função y=lnx 2 .
Solução.
A função original pode ser representada como y=f 1 (f 2 (x)), onde f 1 é um logaritmo com base e, e f 2 é uma função de potência com expoente 2.
Passando aos domínios conhecidos de definição das principais funções elementares, temos D(f 1)=(0, +∞) e D(f 2)=(−∞, +∞) .
Então 
Então encontramos o domínio de definição da função que precisávamos, é o conjunto de todos os números reais exceto zero.
Responder:
(−∞, 0)∪(0, +∞) .
Exemplo.
Qual é o domínio de uma função 
?
Solução.
Esta função é complexa, pode ser considerada como y=f 1 (f 2 (x)), onde f 1 é uma função potência com expoente, e f 2 é a função arco seno, e precisamos encontrar seu domínio de definição.
Vamos ver o que sabemos: D(f 1)=(0, +∞) e D(f 2)=[−1, 1] . Resta encontrar a interseção de conjuntos de valores x tais que x∈D(f 2) e f 2 (x)∈D(f 1) : 
Para arcsinx>0, lembre-se das propriedades da função arco seno. O arco seno aumenta em todo o domínio de definição [−1, 1] e vai para zero em x=0, portanto, arcsinx>0 para qualquer x do intervalo (0, 1] .
Voltemos ao sistema: 
Assim, o domínio requerido de definição da função é o meio intervalo (0, 1].
Responder:
(0, 1] .
Agora vamos passar para funções complexas da forma geral y=f 1 (f 2 (...f n (x)))). O domínio de definição da função f neste caso é encontrado como 
.
Exemplo.
Encontre o domínio de uma função 
.
Solução.
Uma determinada função complexa pode ser escrita como y=f 1 (f 2 (f 3 (x))), onde f 1 – sin, f 2 – função raiz de quarto grau, f 3 – log.
Sabemos que D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=∪∪∪/Modo de acesso: Materiais dos sites www.fipi.ru, www.eg
Anexo 1
Trabalho prático “ODZ: quando, porquê e como?”
|
Opção 1 |
opção 2 |
|
│x+14│= 2 - 2x |
|
|
│3x│=1 - 3x |
Apêndice 2
Respostas às tarefas do trabalho prático “ODZ: quando, porquê e como?”
|
Opção 1 |
opção 2 |
|
Resposta: sem raízes |
Resposta: x-qualquer número exceto x=5 |
|
9x+ = +27 ODZ: x≠3 Resposta: sem raízes |
ODZ: x=-3, x=5. Resposta: -3;5. |
|
y= -diminui, y= -aumenta Isso significa que a equação tem no máximo uma raiz. Resposta: x=6. |
ODZ: →→х≥5 Resposta: x≥5, x≤-6. |
|
│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0, x≤1 x=-4, x=16, 16 não pertence à ODZ |
Diminui, aumenta A equação tem no máximo uma raiz. Resposta: sem raízes. |
|
0, ODZ: x≥3, x≤2 Resposta: x≥3, x≤2 |
8x+ = -32, ODZ: x≠-4. Resposta: sem raízes. |
|
x=7, x=1. Resposta: sem soluções |
Aumentando - diminuindo Resposta: x=2. |
|
0ODZ: x≠15 Resposta: x é qualquer número, exceto x=15. |
│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, x≤ x=-1, x=1 não pertence à ODZ. Resposta: x=-1. |
Equações fracionárias. ODZ.
Atenção!
Existem adicionais
materiais na Seção Especial 555.
Para quem é muito "não muito..."
E para quem “muito…”)
Continuamos a dominar as equações. Já sabemos trabalhar com equações lineares e quadráticas. A última vista restante - equações fracionárias. Ou eles também são chamados de forma muito mais respeitável - equações racionais fracionárias. É o mesmo.
Equações fracionárias.
Como o nome indica, essas equações contêm necessariamente frações. Mas não apenas frações, mas frações que têm desconhecido no denominador. Pelo menos em um. Por exemplo:
Deixe-me lembrá-lo de que se os denominadores forem apenas números, estas são equações lineares.
Como decidir equações fracionárias? Em primeiro lugar, livre-se das frações! Depois disso, a equação geralmente se transforma em linear ou quadrática. E então sabemos o que fazer... Em alguns casos pode se transformar em uma identidade, como 5=5 ou em uma expressão incorreta, como 7=2. Mas isso raramente acontece. Mencionarei isso abaixo.
Mas como se livrar das frações!? Muito simples. Aplicando as mesmas transformações idênticas.
Precisamos multiplicar a equação inteira pela mesma expressão. Para que todos os denominadores sejam reduzidos! Tudo ficará imediatamente mais fácil. Deixe-me explicar com um exemplo. Precisamos resolver a equação:
Como você foi ensinado no ensino fundamental? Movemos tudo para um lado, trazemos para um denominador comum, etc. Esqueça isso como um sonho ruim! Isso é o que você precisa fazer ao adicionar ou subtrair frações. Ou você trabalha com desigualdades. E nas equações, multiplicamos imediatamente ambos os lados por uma expressão que nos dará a oportunidade de reduzir todos os denominadores (ou seja, em essência, por um denominador comum). E qual é essa expressão?
No lado esquerdo, reduzir o denominador requer multiplicar por x+2. E à direita, é necessária a multiplicação por 2. Isso significa que a equação deve ser multiplicada por. 2(x+2). Multiplicar:
Esta é uma multiplicação comum de frações, mas vou descrevê-la em detalhes:
Observe que ainda não estou abrindo o colchete (x + 2)! Então, na íntegra, escrevo:
No lado esquerdo ele se contrai totalmente (x+2) e à direita 2. Qual era o necessário! Após a redução obtemos linear a equação:
E todos podem resolver esta equação! x = 2.
Vamos resolver outro exemplo, um pouco mais complicado:
Se lembrarmos que 3 = 3/1, e 2x = 2x/ 1, podemos escrever:
E novamente nos livramos daquilo que realmente não gostamos - frações.
Vemos que para reduzir o denominador por X, precisamos multiplicar a fração por (x – 2). E alguns não são um obstáculo para nós. Bem, vamos multiplicar. Todos lado esquerdo e todos lado direito:
Parênteses novamente (x – 2) Não estou revelando. Trabalho com o colchete como um todo como se fosse um número só! Isso deve ser feito sempre, caso contrário nada será reduzido.
Com um sentimento de profunda satisfação reduzimos (x – 2) e obtemos uma equação sem frações, com uma régua!
Agora vamos abrir os colchetes:
Trazemos outros semelhantes, movemos tudo para o lado esquerdo e obtemos:
Mas antes aprenderemos a resolver outros problemas. A juros. A propósito, isso é um ancinho!
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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Vamos aprender - com interesse!)
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Há um número infinito de funções em matemática. E cada um tem seu próprio caráter.) Para trabalhar com uma ampla variedade de funções, você precisa solteiro uma abordagem. Caso contrário, que tipo de matemática é essa?!) E existe essa abordagem!
Ao trabalhar com qualquer função, apresentamos um conjunto padrão de perguntas. E a primeira e mais importante questão é domínio de definição da função.Às vezes, essa área é chamada de conjunto de valores de argumentos válidos, área onde uma função é especificada, etc.
Qual é o domínio de uma função? Como encontrá-lo? Essas questões muitas vezes parecem complexas e incompreensíveis... Embora, na verdade, tudo seja extremamente simples. Você pode ver por si mesmo lendo esta página. Ir?)
Bem, o que posso dizer... Apenas respeito.) Sim! O domínio natural de uma função (que é discutido aqui) partidas com ODZ de expressões incluídas na função. Assim, eles são pesquisados de acordo com as mesmas regras.
Vejamos agora um domínio de definição não inteiramente natural.)
Restrições adicionais no escopo de uma função.
Aqui falaremos sobre as restrições impostas pela tarefa. Aqueles. A tarefa contém algumas condições adicionais que o compilador criou. Ou as restrições emergem do próprio método de definição da função.
Quanto às restrições da tarefa, tudo é simples. Normalmente não há necessidade de procurar nada, tudo já está dito na tarefa. Deixe-me lembrá-lo que as restrições escritas pelo autor da tarefa não cancelam limitações fundamentais da matemática. Basta lembrar de levar em consideração as condições da tarefa.
Por exemplo, esta tarefa:
Encontre o domínio de uma função:
no conjunto dos números positivos.
Encontramos o domínio natural de definição desta função acima. Esta área:
D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪
No método verbal de especificação de uma função, você precisa ler cuidadosamente a condição e encontrar restrições nos Xs. Às vezes os olhos procuram fórmulas, mas as palavras passam pela consciência sim...) Exemplo da lição anterior:
A função é especificada pela condição: cada valor do argumento natural x está associado à soma dos dígitos que compõem o valor de x.
Deve-se notar aqui que estamos falando apenas sobre os valores naturais de X. Então D(f) gravado instantaneamente:
D(f):x ∈ N
Como você pode ver, o domínio de uma função não é um conceito tão complicado. Encontrar esta região resume-se a examinar a função, escrever um sistema de desigualdades e resolver este sistema. Claro, existem todos os tipos de sistemas, simples e complexos. Mas...
Vou te contar um segredinho. Às vezes, uma função para a qual você precisa encontrar o domínio de definição parece simplesmente intimidante. Quero empalidecer e chorar.) Mas assim que escrevo o sistema de desigualdades... E, de repente, o sistema torna-se elementar! Além disso, muitas vezes, quanto mais terrível a função, mais simples é o sistema...
Moral: os olhos temem, a cabeça decide!)
