Uma função é chamada par (ímpar) se para qualquer e a igualdade

.

O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo
.

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

Exemplo 6.2. Examinar para funções pares ou ímpares

1)
; 2)
; 3)
.

Solução.

1) A função é definida com
. Vamos encontrar
.

Aqueles.
. Então essa função é par.

2) A função é definida para

Aqueles.
. Assim, esta função é ímpar.

3) a função é definida para , ou seja. por

,
. Portanto, a função não é nem par nem ímpar. Vamos chamá-la de função geral.

3. Investigação de uma função para monotonicidade.

Função
é chamado crescente (decrescente) em algum intervalo se neste intervalo cada valor maior do argumento corresponde a um valor maior (menor) da função.

Funções crescentes (decrescentes) em algum intervalo são chamadas de monotônicas.

Se a função
diferenciável no intervalo
e tem uma derivada positiva (negativa)
, então a função
aumenta (diminui) neste intervalo.

Exemplo 6.3. Encontrar intervalos de monotonicidade de funções

1)
; 3)
.

Solução.

1) Esta função é definida em todo o eixo numérico. Vamos encontrar a derivada.

A derivada é zero se
e
. Domínio de definição - eixo numérico, dividido por pontos
,
para intervalos. Vamos determinar o sinal da derivada em cada intervalo.

No intervalo
a derivada é negativa, a função diminui nesse intervalo.

No intervalo
a derivada é positiva, portanto, a função é crescente nesse intervalo.

2) Esta função é definida se
ou

.

Determinamos o sinal do trinômio quadrado em cada intervalo.

Assim, o escopo da função

Vamos encontrar a derivada
,
, E se
, ou seja
, mas
. Vamos determinar o sinal da derivada nos intervalos
.

No intervalo
a derivada é negativa, portanto, a função diminui no intervalo
. No intervalo
a derivada é positiva, a função aumenta no intervalo
.

4. Investigação de uma função para um extremo.

Ponto
é chamado de ponto máximo (mínimo) da função
, se existe tal vizinhança do ponto isso para todos
esta vizinhança satisfaz a desigualdade

.

Os pontos máximo e mínimo de uma função são chamados de pontos extremos.

Se a função
no ponto tem um extremo, então a derivada da função neste ponto é igual a zero ou não existe (uma condição necessária para a existência de um extremo).

Os pontos em que a derivada é igual a zero ou não existe são chamados críticos.

5. Condições suficientes para a existência de um extremo.

Regra 1. Se durante a transição (da esquerda para a direita) pelo ponto crítico derivado
muda o sinal de "+" para "-", então no ponto função
tem um máximo; se de "-" a "+", então o mínimo; E se
não muda de sinal, então não há extremo.

Regra 2. Deixe no ponto
primeira derivada da função
zero
, e a segunda derivada existe e é diferente de zero. Se um
, então é o ponto máximo, se
, então é o ponto de mínimo da função.

Exemplo 6.4 . Explore as funções de máximo e mínimo:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Solução.

1) A função é definida e contínua no intervalo
.

Vamos encontrar a derivada
e resolva a equação
, ou seja
.daqui
são pontos críticos.

Vamos determinar o sinal da derivada nos intervalos ,
.

Ao passar por pontos
e
a derivada muda de sinal de “–” para “+”, portanto, de acordo com a regra 1
são os pontos mínimos.

Ao passar por um ponto
derivada muda o sinal de "+" para "-", então
é o ponto máximo.

,
.

2) A função é definida e contínua no intervalo
. Vamos encontrar a derivada
.

Resolvendo a equação
, achar
e
são pontos críticos. Se o denominador
, ou seja
, então a derivada não existe. Então,
é o terceiro ponto crítico. Vamos determinar o sinal da derivada em intervalos.

Portanto, a função tem um mínimo no ponto
, máximo em pontos
e
.

3) Uma função é definida e contínua se
, ou seja no
.

Vamos encontrar a derivada

.

Vamos encontrar os pontos críticos:

Bairros de pontos
não pertencem ao domínio de definição, então eles não são t extremos. Então vamos explorar os pontos críticos
e
.

4) A função é definida e contínua no intervalo
. Usamos a regra 2. Encontre a derivada
.

Vamos encontrar os pontos críticos:

Vamos encontrar a segunda derivada
e determine seu sinal nos pontos

Em pontos
função tem um mínimo.

Em pontos
função tem um máximo.

A dependência da variável y da variável x, na qual cada valor de x corresponde a um único valor de y, é chamada de função. A notação é y=f(x). Cada função tem uma série de propriedades básicas, como monotonicidade, paridade, periodicidade e outras.

Considere a propriedade de paridade com mais detalhes.

Uma função y=f(x) é chamada mesmo que satisfaça as duas condições a seguir:

2. O valor da função no ponto x pertencente ao escopo da função deve ser igual ao valor da função no ponto -x. Ou seja, para qualquer ponto x, do domínio da função, a seguinte igualdade f (x) \u003d f (-x) deve ser verdadeira.

Gráfico de uma função par

Se você construir um gráfico de uma função par, ela será simétrica em relação ao eixo y.

Por exemplo, a função y=x^2 é par. Vamos verificar. O domínio de definição é todo o eixo numérico, o que significa que é simétrico em relação ao ponto O.

Tome um x = 3 arbitrário. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Portanto, f(x) = f(-x). Assim, ambas as condições são satisfeitas para nós, o que significa que a função é par. Abaixo está um gráfico da função y=x^2.

A figura mostra que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Gráfico de uma função ímpar

Uma função y=f(x) é chamada ímpar se satisfaz as duas condições a seguir:

1. O domínio da função dada deve ser simétrico em relação ao ponto O. Ou seja, se algum ponto a pertence ao domínio da função, então o ponto correspondente -a também deve pertencer ao domínio da função dada.

2. Para qualquer ponto x, do domínio da função, a seguinte igualdade f (x) \u003d -f (x) deve ser satisfeita.

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação ao ponto O - a origem. Por exemplo, a função y=x^3 é ímpar. Vamos verificar. O domínio de definição é todo o eixo numérico, o que significa que é simétrico em relação ao ponto O.

Tome um x = 2 arbitrário. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Portanto f(x) = -f(x). Assim, ambas as condições são satisfeitas para nós, o que significa que a função é ímpar. Abaixo está um gráfico da função y=x^3.

A figura mostra claramente que a função ímpar y=x^3 é simétrica em relação à origem.

Que em um grau ou outro eram familiares para você. Também foi observado que o estoque de propriedades de função será reabastecido gradualmente. Duas novas propriedades serão discutidas nesta seção.

Definição 1.

A função y \u003d f (x), x є X, é chamada mesmo que para qualquer valor x do conjunto X a igualdade f (-x) \u003d f (x) seja verdadeira.

Definição 2.

A função y \u003d f (x), x є X, é chamada de ímpar se para qualquer valor x do conjunto X a igualdade f (-x) \u003d -f (x) for verdadeira.

Prove que y = x 4 é uma função par.

Solução. Temos: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Mas (-x) 4 = x 4 . Portanto, para qualquer x, a igualdade f (-x) = f (x), ou seja, a função é par.

Da mesma forma, pode-se provar que as funções y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 são pares.

Prove que y = x 3 é uma função ímpar.

Solução. Temos: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Mas (-x) 3 = -x 3 . Portanto, para qualquer x, a igualdade f (-x) \u003d -f (x), ou seja, a função é ímpar.

Da mesma forma, pode-se provar que as funções y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 são ímpares.

Você e eu nos convencemos repetidamente de que os novos termos em matemática geralmente têm uma origem “terrena”, ou seja, eles podem ser explicados de alguma forma. Este é o caso das funções pares e ímpares. Veja: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 são funções ímpares, enquanto y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 são funções pares. E, em geral, para qualquer função da forma y \u003d x "(abaixo estudaremos especificamente essas funções), onde n é um número natural, podemos concluir: se n é um número ímpar, então a função y \u003d x " é estranho; se n é um número par, então a função y = xn é par.

Existem também funções que não são nem pares nem ímpares. Por exemplo, é a função y \u003d 2x + 3. De fato, f (1) \u003d 5 ef (-1) \u003d 1. Como você pode ver, aqui Portanto, nem a identidade f (-x ) \u003d f ( x), nem a identidade f(-x) = -f(x).

Assim, uma função pode ser par, ímpar ou nenhum dos dois.

O estudo da questão de saber se uma determinada função é par ou ímpar é geralmente chamado de estudo da função para paridade.

As definições 1 e 2 tratam dos valores da função nos pontos x e -x. Isso assume que a função é definida tanto no ponto x quanto no ponto -x. Isso significa que o ponto -x pertence ao domínio da função ao mesmo tempo que o ponto x. Se um conjunto numérico X juntamente com cada um de seus elementos x contém o elemento oposto -x, então X é chamado de conjunto simétrico. Digamos que (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) são conjuntos simétricos, enquanto ; (∞;∞) são conjuntos simétricos, e , [–5;4] são não simétricos.

- As funções pares têm um domínio de definição - um conjunto simétrico? Os estranhos?
- Se D( f) é um conjunto assimétrico, então qual é a função?
– Assim, se a função no = f(X) é par ou ímpar, então seu domínio de definição é D( f) é um conjunto simétrico. Mas o inverso é verdadeiro, se o domínio de uma função é um conjunto simétrico, então é par ou ímpar?
- Portanto, a presença de um conjunto simétrico do domínio de definição é uma condição necessária, mas não suficiente.
– Então, como podemos investigar a função para paridade? Vamos tentar escrever um algoritmo.

Deslizar

Algoritmo para examinar uma função para paridade

1. Determine se o domínio da função é simétrico. Se não, então a função não é nem par nem ímpar. Se sim, então vá para a etapa 2 do algoritmo.

2. Escreva uma expressão para f(–X).

3. Comparar f(–X).e f(X):

• E se f(–X).= f(X), então a função é par;
• E se f(–X).= – f(X), então a função é ímpar;
• E se f(–X) ≠ f(X) e f(–X) ≠ –f(X), então a função não é nem par nem ímpar.

Exemplos:

Investigue a função para paridade a) no= x5+; b) no= ; dentro) no= .

Solução.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), conjunto simétrico.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e função h(x)= x 5 + ímpar.

b) y =,

no = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), conjunto assimétrico, então a função não é nem par nem ímpar.

dentro) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

opção 2

1. O conjunto dado é simétrico: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

uma); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Examine a função para paridade:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Na fig. plotado no = f(X), para todos X, satisfazendo a condição X? 0.
Plote a função no = f(X), E se no = f(X) é uma função par.

3. Na fig. plotado no = f(X), para todo x satisfazendo x? 0.
Plote a função no = f(X), E se no = f(X) é uma função ímpar.

Verificação mútua em deslizar.

6. Lição de casa: №11.11, 11.21,11.22;

Prova do significado geométrico da propriedade de paridade.

*** (Atribuição da opção USE).

1. A função ímpar y \u003d f (x) é definida em toda a linha real. Para qualquer valor não negativo da variável x, o valor desta função coincide com o valor da função g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Encontre o valor da função h( X) = em X = 3.

7. Resumindo