O logaritmo de um número N Por razão uma é chamado de expoente x , para o qual você precisa aumentar uma para obter o número N

Providenciou que
,
,

Segue da definição do logaritmo que
, ou seja
- esta igualdade é a identidade logarítmica básica.

Logaritmos de base 10 são chamados de logaritmos decimais. Em vez de
Escreva
.

logaritmos de base e são chamados de naturais e denotados
.

Propriedades básicas dos logaritmos.

O logaritmo da unidade para qualquer base é zero

O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.

3) O logaritmo do quociente é igual à diferença dos logaritmos

Fator
é chamado de módulo de transição de logaritmos na base uma para logaritmos na base b .

Usando as propriedades 2-5, muitas vezes é possível reduzir o logaritmo de uma expressão complexa ao resultado de operações aritméticas simples em logaritmos.

Por exemplo,

Tais transformações do logaritmo são chamadas de logaritmos. Transformações recíprocas de logaritmos são chamadas de potenciação.

Capítulo 2. Elementos de matemática superior.

1. Limites

limite de função
é um número finito A se, ao se esforçar xx 0 para cada predeterminado
, existe um número
que assim que
, então
.

Uma função que tem um limite difere dele por uma quantidade infinitesimal:
, onde - b.m.w., ou seja,
.

Exemplo. Considere a função
.

Ao se esforçar
, função y vai a zero:

1.1. Teoremas básicos sobre limites.

O limite de um valor constante é igual a esse valor constante

.

O limite da soma (diferença) de um número finito de funções é igual à soma (diferença) dos limites dessas funções.

O limite de um produto de um número finito de funções é igual ao produto dos limites dessas funções.

O limite do quociente de duas funções é igual ao quociente dos limites dessas funções se o limite do denominador não for igual a zero.

Limites Notáveis

,
, Onde

1.2. Exemplos de cálculo de limite

No entanto, nem todos os limites são calculados de forma tão simples. Mais frequentemente, o cálculo do limite é reduzido à divulgação do tipo de incerteza: ou .

.

2. Derivada de uma função

Vamos ter uma função
, contínua no segmento
.

Argumento tem algum impulso
. Então a função será incrementada
.

valor do argumento corresponde ao valor da função
.

valor do argumento
corresponde ao valor da função .

Consequentemente, .

Vamos encontrar o limite dessa relação em
. Se esse limite existir, então ele é chamado de derivada da função dada.

Definição da 3derivada de uma dada função
por argumento chamado de limite da razão do incremento da função para o incremento do argumento, quando o incremento do argumento tende arbitrariamente a zero.

função derivada
pode ser denotado da seguinte forma:

; ; ; .

Definição 4A operação de encontrar a derivada de uma função é chamada diferenciação.

2.1. O significado mecânico da derivada.

Considere o movimento retilíneo de algum corpo rígido ou ponto material.

Deixe em algum momento ponto móvel
estava à distância da posição inicial
.

Depois de algum tempo
ela se moveu a uma distância
. Atitude =- velocidade média de um ponto material
. Vamos encontrar o limite dessa razão, levando em conta que
.

Conseqüentemente, a determinação da velocidade instantânea de um ponto material se reduz a encontrar a derivada da trajetória em relação ao tempo.

2.2. Valor geométrico da derivada

Suponha que temos uma função definida graficamente
.

Arroz. 1. O significado geométrico da derivada

Se
, então o ponto
, se moverá ao longo da curva, aproximando-se do ponto
.

Consequentemente
, ou seja o valor da derivada dado o valor do argumento numericamente igual à tangente do ângulo formado pela tangente em um determinado ponto com a direção positiva do eixo
.

2.3. Tabela de fórmulas básicas de diferenciação.

Função liga-desliga

Função exponencial

função logarítmica

função trigonométrica

Função trigonométrica inversa

2.4. Regras de diferenciação.

Derivado de

Derivada da soma (diferença) de funções

Derivada do produto de duas funções

A derivada do quociente de duas funções

2.5. Derivada de uma função complexa.

Deixe a função
tal que pode ser representado como

e
, onde a variável é um argumento intermediário, então

A derivada de uma função complexa é igual ao produto da derivada da função dada em relação ao argumento intermediário pela derivada do argumento intermediário em relação a x.

Exemplo 1.

Exemplo2.

3. Função diferencial.

Deixe estar
, diferenciável em algum intervalo
deixa para lá no esta função tem uma derivada

,

então você pode escrever

(1),

Onde - uma quantidade infinitesimal,

porque em

Multiplicando todos os termos de igualdade (1) por
temos:

Onde
- b.m.v. ordem superior.

Valor
é chamada de diferencial da função
e denotado

.

3.1. O valor geométrico do diferencial.

Deixe a função
.

Figura 2. O significado geométrico do diferencial.

.

Obviamente, a diferencial da função
é igual ao incremento da ordenada da tangente no ponto dado.

3.2. Derivadas e diferenciais de várias ordens.

Se houver
, então
é chamada de primeira derivada.

A derivada da primeira derivada é chamada derivada de segunda ordem e é escrita
.

Derivada da enésima ordem da função
é chamada de derivada da ordem (n-1) e é escrita:

.

A diferencial da diferencial de uma função é chamada de segunda diferencial ou diferencial de segunda ordem.

.

.

3.3 Resolução de problemas biológicos por diferenciação.

Tarefa1. Estudos têm demonstrado que o crescimento de uma colônia de microrganismos obedece à lei
, Onde N – número de microrganismos (em milhares), t – tempo (dias).

b) A população da colônia aumentará ou diminuirá nesse período?

Responder. A colônia aumentará de tamanho.

Tarefa 2. A água do lago é testada periodicamente para controlar o conteúdo de bactérias patogênicas. Através t dias após o teste, a concentração de bactérias é determinada pela proporção

.

Quando chegará a concentração mínima de bactérias no lago e será possível nadar nele?

Solução Uma função atinge máximo ou mínimo quando sua derivada é zero.

,

Vamos determinar o máximo ou o mínimo em 6 dias. Para fazer isso, tomamos a segunda derivada.

Resposta: Após 6 dias haverá uma concentração mínima de bactérias.

O foco deste artigo é logaritmo. Aqui daremos a definição do logaritmo, mostraremos a notação aceita, daremos exemplos de logaritmos e falaremos sobre logaritmos naturais e decimais. Depois disso, considere a identidade logarítmica básica.

Navegação da página.

Definição de logaritmo

O conceito de logaritmo surge ao resolver um problema em um certo sentido inverso, quando você precisa encontrar o expoente de um valor conhecido do grau e uma base conhecida.

Mas chega de preâmbulo, é hora de responder à pergunta "o que é um logaritmo"? Vamos dar uma definição apropriada.

Definição.

Logaritmo de b para base a, onde a>0 , a≠1 e b>0 é o expoente ao qual você precisa aumentar o número a para obter b como resultado.

Nesta fase, notamos que a palavra falada "logaritmo" deve levantar imediatamente duas questões: "qual número" e "com base em quê". Em outras palavras, simplesmente não existe logaritmo, mas existe apenas o logaritmo de um número em alguma base.

Apresentaremos imediatamente notação logarítmica: o logaritmo do número b para a base a é geralmente denotado como log a b . O logaritmo do número b para a base e e o logaritmo para a base 10 têm suas próprias designações especiais lnb e lgb respectivamente, ou seja, eles escrevem não log e b , mas lnb , e não log 10 b , mas lgb .

Agora você pode trazer: .
E os registros não faz sentido, pois no primeiro deles há um número negativo sob o sinal do logaritmo, no segundo - um número negativo na base e no terceiro - um número negativo sob o sinal do logaritmo e uma unidade na base.

Agora vamos falar sobre regras para ler logaritmos. A entrada log a b é lida como "logaritmo de b para a base a". Por exemplo, log 2 3 é o logaritmo de três na base 2 e é o logaritmo de dois inteiros dois terços de base da raiz quadrada de cinco. O logaritmo para a base e é chamado Logaritmo natural, e a notação lnb é lida como "o logaritmo natural de b". Por exemplo, ln7 é o logaritmo natural de sete, e vamos lê-lo como o logaritmo natural de pi. O logaritmo de base 10 também tem um nome especial - logaritmo decimal, e a notação lgb é lida como "logaritmo decimal b". Por exemplo, lg1 é o logaritmo decimal de um e lg2,75 é o logaritmo decimal de dois ponto setenta e cinco centésimos.

Vale a pena deter-se separadamente nas condições a>0, a≠1 eb>0, sob as quais é dada a definição do logaritmo. Vamos explicar de onde vêm essas restrições. Para fazer isso, seremos auxiliados por uma igualdade da forma, chamada , que segue diretamente da definição do logaritmo dada acima.

Vamos começar com a≠1 . Como um é igual a um elevado a qualquer potência, a igualdade só pode ser verdadeira para b=1, mas log 1 1 pode ser qualquer número real. Para evitar essa ambigüidade, a≠1 é aceito.

Vamos substanciar a conveniência da condição a>0 . Com a=0, pela definição do logaritmo, teríamos igualdade , o que só é possível com b=0 . Mas log 0 0 pode ser qualquer número real diferente de zero, já que zero elevado a qualquer potência diferente de zero é zero. Essa ambigüidade pode ser evitada pela condição a≠0 . E por um<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Por fim, a condição b>0 decorre da desigualdade a>0 , pois , e o valor do grau com base positiva a é sempre positivo.

Concluindo este parágrafo, dizemos que a definição expressa do logaritmo permite indicar imediatamente o valor do logaritmo quando o número sob o sinal do logaritmo é um certo grau de base. Com efeito, a definição do logaritmo permite-nos afirmar que se b=a p , então o logaritmo do número b à base a é igual a p . Ou seja, o log de igualdade a a p =p é verdadeiro. Por exemplo, sabemos que 2 3 =8 , então log 2 8=3 . Falaremos mais sobre isso no artigo.

Continuamos a estudar logaritmos. Neste artigo vamos falar sobre cálculo de logaritmos, esse processo é chamado logaritmo. Primeiro, vamos lidar com o cálculo de logaritmos por definição. Em seguida, considere como os valores dos logaritmos são encontrados usando suas propriedades. Depois disso, vamos nos deter no cálculo de logaritmos por meio dos valores inicialmente dados de outros logaritmos. Finalmente, vamos aprender a usar tabelas de logaritmos. Toda a teoria é fornecida com exemplos com soluções detalhadas.

Navegação da página.

Calculando logaritmos por definição

Nos casos mais simples, é possível realizar rápida e facilmente encontrando o logaritmo por definição. Vamos dar uma olhada mais de perto em como esse processo ocorre.

Sua essência é representar o número b na forma a c , onde, pela definição do logaritmo, o número c é o valor do logaritmo. Ou seja, por definição, encontrar o logaritmo corresponde à seguinte cadeia de igualdades: log a b=log a a c =c .

Assim, o cálculo do logaritmo, por definição, se resume a encontrar um número c tal que a c \u003d b, e o próprio número c é o valor desejado do logaritmo.

Dadas as informações dos parágrafos anteriores, quando o número sob o sinal do logaritmo é dado por algum grau da base do logaritmo, você pode indicar imediatamente a que o logaritmo é igual - é igual ao expoente. Vamos mostrar exemplos.

Exemplo.

Encontre log 2 2 −3 e também calcule o logaritmo natural de e 5,3 .

Decisão.

A definição do logaritmo permite dizer desde já que log 2 2 −3 = −3 . De fato, o número sob o sinal do logaritmo é igual à base 2 elevado a -3.

Da mesma forma, encontramos o segundo logaritmo: lne 5,3 =5,3.

Responder:

log 2 2 −3 = −3 e lne 5,3 =5,3 .

Se o número b sob o sinal do logaritmo não for dado como a potência da base do logaritmo, você precisará considerar cuidadosamente se é possível apresentar uma representação do número b na forma a c . Freqüentemente, essa representação é bastante óbvia, especialmente quando o número sob o sinal do logaritmo é igual à base à potência de 1, ou 2, ou 3, ...

Exemplo.

Calcule os logaritmos log 5 25 , e .

Decisão.

É fácil ver que 25=5 2 , isso permite calcular o primeiro logaritmo: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Procedemos ao cálculo do segundo logaritmo. Um número pode ser representado como uma potência de 7: (ver se necessário). Consequentemente, .

Vamos reescrever o terceiro logaritmo da seguinte forma. Agora você pode ver que , de onde concluímos que . Portanto, pela definição do logaritmo .

Resumidamente, a solução poderia ser escrita da seguinte forma:

Responder:

log 5 25=2 , e .

Quando um número natural suficientemente grande está sob o signo do logaritmo, não custa decompô-lo em fatores primos. Muitas vezes ajuda a representar um número como alguma potência da base do logaritmo e, portanto, calcular esse logaritmo por definição.

Exemplo.

Encontre o valor do logaritmo.

Decisão.

Algumas propriedades dos logaritmos permitem que você especifique imediatamente o valor dos logaritmos. Essas propriedades incluem a propriedade do logaritmo de um e a propriedade do logaritmo de um número igual à base: log 1 1=log a a 0 =0 e log a a=log a a 1 =1 . Ou seja, quando o número 1 ou o número a está sob o sinal do logaritmo, igual à base do logaritmo, então nesses casos os logaritmos são 0 e 1, respectivamente.

Exemplo.

Quais são os logaritmos e lg10?

Decisão.

Como , segue da definição do logaritmo .

No segundo exemplo, o número 10 sob o sinal do logaritmo coincide com sua base, então o logaritmo decimal de dez é igual a um, ou seja, lg10=lg10 1 =1 .

Responder:

E lg10=1 .

Observe que calcular logaritmos por definição (que discutimos no parágrafo anterior) implica o uso do log de igualdade a a p =p , que é uma das propriedades dos logaritmos.

Na prática, quando o número sob o sinal do logaritmo e a base do logaritmo são facilmente representados como uma potência de algum número, é muito conveniente usar a fórmula , que corresponde a uma das propriedades dos logaritmos. Considere um exemplo de como encontrar o logaritmo, ilustrando o uso dessa fórmula.

Exemplo.

Calcule o logaritmo de .

Decisão.

Responder:

.

As propriedades dos logaritmos não mencionadas acima também são usadas no cálculo, mas falaremos sobre isso nos parágrafos seguintes.

Encontrando logaritmos em termos de outros logaritmos conhecidos

As informações neste parágrafo continuam o tópico de usar as propriedades dos logaritmos em seus cálculos. Mas aqui a principal diferença é que as propriedades dos logaritmos são usadas para expressar o logaritmo original em termos de outro logaritmo, cujo valor é conhecido. Vamos dar um exemplo para esclarecimento. Digamos que sabemos que log 2 3≈1.584963 , então podemos encontrar, por exemplo, log 2 6 fazendo uma pequena transformação usando as propriedades do logaritmo: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

No exemplo acima, bastava usarmos a propriedade do logaritmo do produto. No entanto, com muito mais frequência, você precisa usar um arsenal mais amplo de propriedades de logaritmos para calcular o logaritmo original em termos dos dados.

Exemplo.

Calcule o logaritmo de 27 na base 60 se for conhecido que log 60 2=a e log 60 5=b .

Decisão.

Portanto, precisamos encontrar log 60 27 . É fácil ver que 27=3 3 , e o logaritmo original, devido à propriedade do logaritmo do grau, pode ser reescrito como 3·log 60 3 .

Agora vamos ver como log 60 3 pode ser expresso em termos de logaritmos conhecidos. A propriedade do logaritmo de um número igual à base permite escrever o log de igualdade 60 60=1 . Por outro lado, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Desta forma, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Consequentemente, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Finalmente, calculamos o logaritmo original: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Responder:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Separadamente, vale mencionar o significado da fórmula para a transição para uma nova base do logaritmo da forma . Ele permite que você passe de logaritmos com qualquer base para logaritmos com uma base específica, cujos valores são conhecidos ou é possível encontrá-los. Normalmente, do logaritmo original, de acordo com a fórmula de transição, eles mudam para logaritmos em uma das bases 2, e ou 10, pois para essas bases existem tabelas de logaritmos que permitem calculá-los com certo grau de precisão. Na próxima seção, mostraremos como isso é feito.

Tabelas de logaritmos, seu uso

Para um cálculo aproximado dos valores dos logaritmos, pode-se usar tabelas de logaritmo. As mais comumente usadas são a tabela de logaritmos de base 2, a tabela de logaritmos naturais e a tabela de logaritmos decimais. Ao trabalhar no sistema de numeração decimal, é conveniente usar uma tabela de logaritmos de base dez. Com sua ajuda, aprenderemos a encontrar os valores dos logaritmos.

A tabela apresentada permite, com uma precisão de um décimo de milésimo, encontrar os valores​​​dos logaritmos decimais dos números de 1,000 a 9,999 (com três casas decimais). Analisaremos o princípio de encontrar o valor do logaritmo usando uma tabela de logaritmos decimais usando um exemplo específico - é mais claro. Vamos encontrar lg1,256 .

Na coluna da esquerda da tabela de logaritmos decimais encontramos os dois primeiros dígitos do número 1,256, ou seja, encontramos 1,2 (esse número está circulado em azul para maior clareza). O terceiro dígito do número 1.256 (número 5) é encontrado na primeira ou última linha à esquerda da linha dupla (esse número está circulado em vermelho). O quarto dígito do número original 1.256 (número 6) é encontrado na primeira ou última linha à direita da linha dupla (esse número é circulado em verde). Agora encontramos os números nas células da tabela de logaritmos na interseção da linha marcada e das colunas marcadas (esses números são destacados em laranja). A soma dos números marcados dá o valor desejado do logaritmo decimal até a quarta casa decimal, ou seja, log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

É possível, usando a tabela acima, encontrar os valores dos logaritmos decimais de números que possuem mais de três dígitos após a vírgula, e também ultrapassar os limites de 1 a 9,999? Sim você pode. Vamos mostrar como isso é feito com um exemplo.

Vamos calcular lg102.76332 . Primeiro você precisa escrever número na forma padrão: 102.76332=1.0276332 10 2 . Depois disso, a mantissa deve ser arredondada para a terceira casa decimal, temos 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, enquanto o logaritmo decimal original é aproximadamente igual ao logaritmo do número resultante, ou seja, tomamos lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Agora aplique as propriedades do logaritmo: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Finalmente, encontramos o valor do logaritmo lg1.028 de acordo com a tabela de logaritmos decimais lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Como resultado, todo o processo de cálculo do logaritmo fica assim: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

Concluindo, vale ressaltar que usando a tabela de logaritmos decimais, você pode calcular o valor aproximado de qualquer logaritmo. Para fazer isso, basta usar a fórmula de transição para ir aos logaritmos decimais, encontrar seus valores na tabela e realizar os cálculos restantes.

Por exemplo, vamos calcular log 2 3 . De acordo com a fórmula de transição para uma nova base do logaritmo, temos . Da tabela de logaritmos decimais encontramos lg3≈0,4771 e lg2≈0,3010. Desta forma, .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e outros Álgebra e os primórdios da análise: um livro didático para as séries 10-11 das instituições educacionais gerais.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para candidatos a escolas técnicas).

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\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Vamos explicar mais fácil. Por exemplo, \(\log_(2)(8)\) é igual à potência \(2\) que deve ser elevada para obter \(8\). A partir disso, fica claro que \(\log_(2)(8)=3\).

Exemplos:		\(\log_(5)(25)=2\)		Porque \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		Porque \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		Porque \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumento e base do logaritmo

Qualquer logaritmo tem a seguinte "anatomia":

O argumento do logaritmo geralmente é escrito em seu nível e a base é escrita em subscrito mais próximo do sinal do logaritmo. E esta entrada é lida assim: "o logaritmo de vinte e cinco na base de cinco".

Como calcular o logaritmo?

Para calcular o logaritmo, você precisa responder à pergunta: até que ponto a base deve ser elevada para obter o argumento?

Por exemplo, calcule o logaritmo: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) A que potência \(4\) deve ser elevada para obter \(16\)? Obviamente o segundo. É por isso:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) A que potência \(\sqrt(5)\) deve ser elevada para obter \(1\)? E que grau torna qualquer número uma unidade? Zero, claro!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) A que potência \(\sqrt(7)\) deve ser elevada para obter \(\sqrt(7)\)? No primeiro - qualquer número no primeiro grau é igual a si mesmo.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) A que potência \(3\) deve ser elevada para obter \(\sqrt(3)\)? De onde sabemos que é uma potência fracionária e, portanto, a raiz quadrada é a potência de \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exemplo : Calcule o logaritmo \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Decisão :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Precisamos encontrar o valor do logaritmo, vamos denotá-lo como x. Agora vamos usar a definição do logaritmo: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Quais links \(4\sqrt(2)\) e \(8\)? Dois, porque ambos os números podem ser representados por dois: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		À esquerda, usamos as propriedades de grau: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) e \((a^(m))^(n)=a ^(m\cponto n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		As bases são iguais, procedemos à igualdade de indicadores
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multiplique ambos os lados da equação por \(\frac(2)(5)\)
		A raiz resultante é o valor do logaritmo

Responder : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Por que o logaritmo foi inventado?

Para entender isso, vamos resolver a equação: \(3^(x)=9\). Basta combinar \(x\) para fazer a igualdade funcionar. Claro, \(x=2\).

Agora resolva a equação: \(3^(x)=8\) A que x é igual? Essa é a questão.

Os mais engenhosos dirão: "X é um pouco menos que dois". Como exatamente esse número deve ser escrito? Para responder a essa pergunta, eles criaram o logaritmo. Graças a ele, a resposta aqui pode ser escrita como \(x=\log_(3)(8)\).

Quero enfatizar que \(\log_(3)(8)\), bem como qualquer logaritmo é apenas um número. Sim, parece incomum, mas é curto. Porque se quiséssemos escrevê-lo como um decimal, ficaria assim: \(1.892789260714.....\)

Exemplo : Resolva a equação \(4^(5x-4)=10\)

Decisão :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) e \(10\) não podem ser reduzidos à mesma base. Então aqui você não pode prescindir do logaritmo. Vamos usar a definição do logaritmo: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Vire a equação para que x fique à esquerda
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Antes de nós. Mova \(4\) para a direita. E não tenha medo do logaritmo, trate-o como um número normal.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Divida a equação por 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Aqui está a nossa raiz. Sim, parece incomum, mas a resposta não é escolhida.

Responder : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmos decimais e naturais

Conforme declarado na definição do logaritmo, sua base pode ser qualquer número positivo, exceto um \((a>0, a\neq1)\). E entre todas as bases possíveis, há duas que ocorrem com tanta frequência que uma notação curta especial foi inventada para logaritmos com elas:

Logaritmo natural: um logaritmo cuja base é o número de Euler \(e\) (igual a aproximadamente \(2.7182818…\)), e o logaritmo é escrito como \(\ln(a)\).

Aquilo é, \(\ln(a)\) é o mesmo que \(\log_(e)(a)\)

Logaritmo decimal: Um logaritmo cuja base é 10 é escrito \(\lg(a)\).

Aquilo é, \(\lg(a)\) é o mesmo que \(\log_(10)(a)\), onde \(a\) é algum número.

Identidade logarítmica básica

Os logaritmos têm muitas propriedades. Um deles é chamado de "identidade logarítmica básica" e tem a seguinte aparência:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Esta propriedade decorre diretamente da definição. Vejamos como surgiu esta fórmula.

Lembre-se da curta definição do logaritmo:

se \(a^(b)=c\), então \(\log_(a)(c)=b\)

Ou seja, \(b\) é o mesmo que \(\log_(a)(c)\). Então podemos escrever \(\log_(a)(c)\) em vez de \(b\) na fórmula \(a^(b)=c\) . Descobriu-se \(a^(\log_(a)(c))=c\) - a principal identidade logarítmica.

Você pode encontrar o restante das propriedades dos logaritmos. Com a ajuda deles, você pode simplificar e calcular os valores das expressões com logaritmos, que são difíceis de calcular diretamente.

Exemplo : Encontre o valor da expressão \(36^(\log_(6)(5))\)

Decisão :

Responder : \(25\)

Como escrever um número como um logaritmo?

Como mencionado acima, qualquer logaritmo é apenas um número. O inverso também é verdadeiro: qualquer número pode ser escrito como um logaritmo. Por exemplo, sabemos que \(\log_(2)(4)\) é igual a dois. Então você pode escrever \(\log_(2)(4)\) ao invés de dois.

Mas \(\log_(3)(9)\) também é igual a \(2\), então você também pode escrever \(2=\log_(3)(9)\) . Da mesma forma com \(\log_(5)(25)\), e com \(\log_(9)(81)\), etc. Isto é, resulta

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Assim, se precisarmos, podemos escrever os dois como um logaritmo com qualquer base em qualquer lugar (mesmo em uma equação, mesmo em uma expressão, até mesmo em uma desigualdade) - apenas escrevemos a base ao quadrado como um argumento.

É o mesmo com um triplo - pode ser escrito como \(\log_(2)(8)\), ou como \(\log_(3)(27)\), ou como \(\log_(4)( 64) \) ... Aqui escrevemos a base no cubo como um argumento:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

E com quatro:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

E com menos um:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

E com um terço:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Qualquer número \(a\) pode ser representado como um logaritmo com base \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exemplo : encontre o valor de uma expressão \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Decisão :

Responder : \(1\)