Nas tarefas de construção, consideraremos a construção de uma figura geométrica, que pode ser realizada usando uma régua e um compasso.

Com uma régua, você pode:

linha arbitrária;

uma linha arbitrária passando por um determinado ponto;

uma reta que passa por dois pontos dados.

Usando uma bússola, você pode descrever um círculo de um determinado raio a partir de um determinado centro.

Uma bússola pode ser usada para desenhar um segmento em uma determinada linha a partir de um determinado ponto.

Considere as principais tarefas para a construção.

Tarefa 1. Construa um triângulo com lados dados a, b, c (Fig. 1).

Solução. Com a ajuda de uma régua, desenhe uma linha reta arbitrária e pegue nela um ponto arbitrário B. Com uma abertura do compasso igual a a, descrevemos um círculo de centro B e raio a. Seja C o ponto de sua interseção com a reta. Com uma abertura do compasso igual a c, descrevemos um círculo a partir do centro B, e com uma abertura do compasso igual a b - um círculo a partir do centro C. Seja A o ponto de interseção desses círculos. O triângulo ABC tem lados iguais a a, b, c.

Comente. Para que três segmentos de reta sirvam como lados de um triângulo, é necessário que o maior deles seja menor que a soma dos outros dois (e< b + с).

Tarefa 2.

Solução. Este ângulo com o vértice A e o feixe OM são mostrados na Figura 2.

Desenhe um círculo arbitrário centrado no vértice A do ângulo dado. Sejam B e C os pontos de intersecção do círculo com os lados do ângulo (Fig. 3, a). Vamos desenhar um círculo com raio AB com o centro no ponto O - o ponto inicial deste raio (Fig. 3, b). O ponto de intersecção deste círculo com o raio dado será denotado como С 1 . Vamos descrever um círculo com centro C 1 e raio BC. O ponto B 1 da intersecção de dois círculos fica do lado do ângulo desejado. Isso decorre da igualdade Δ ABC \u003d Δ OB 1 C 1 (o terceiro critério para a igualdade dos triângulos).

Tarefa 3. Construa a bissetriz do ângulo dado (Fig. 4).

Solução. Do vértice A de um determinado ângulo, a partir do centro, traçamos um círculo de raio arbitrário. Sejam B e C os pontos de sua interseção com os lados do ângulo. Dos pontos B e C com o mesmo raio descrevemos os círculos. Seja D seu ponto de interseção, diferente de A. O raio AD divide o ângulo A pela metade. Isso decorre da igualdade ΔABD = ΔACD (o terceiro critério para a igualdade dos triângulos).

Tarefa 4. Desenhe uma mediana perpendicular a este segmento (Fig. 5).

Solução. Com uma abertura de bússola arbitrária, mas idêntica (grande 1/2 AB), descrevemos dois arcos com centros nos pontos A e B, que se interceptam em alguns pontos C e D. A reta CD será a perpendicular necessária. De fato, como pode ser visto na construção, cada um dos pontos C e D está igualmente distante de A e B; portanto, esses pontos devem estar na mediatriz do segmento AB.

Tarefa 5. Divida esta seção ao meio. É resolvido da mesma forma que o problema 4 (ver Fig. 5).

Tarefa 6. Por um ponto dado, desenhe uma linha perpendicular à linha dada.

Solução. Dois casos são possíveis:

1) o ponto dado O está na reta dada a (Fig. 6).

Do ponto O desenhamos um círculo com um raio arbitrário que intercepta a linha a nos pontos A e B. Dos pontos A e B desenhamos círculos com o mesmo raio. Seja О 1 seu ponto de interseção diferente de О. Obtemos ОО 1 ⊥ AB. De fato, os pontos O e O 1 são equidistantes das extremidades do segmento AB e, portanto, estão na mediatriz desse segmento.

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Para construir qualquer desenho ou realizar uma marcação planar de uma peça de trabalho antes de processá-la, é necessário realizar várias operações gráficas - construções geométricas.

Na fig. 2.1 mostra uma parte plana - uma placa. Para desenhar seu desenho ou marcar um contorno em uma tira de aço para posterior fabricação, é necessário fazê-lo no plano de construção, sendo o principal numerado com números escritos nas setas indicadoras. Numérico 1 a construção de linhas perpendiculares entre si, que deve ser realizada em vários lugares, é indicada pelo número 2 - desenhar linhas paralelas, números 3 - conjugação dessas linhas paralelas com um arco de um determinado raio, um número 4 - conjugação de um arco e um arco reto de um determinado raio, que neste caso é de 10 mm, o número 5 - conjugação de dois arcos com um arco de um determinado raio.

Como resultado dessas e de outras construções geométricas, o contorno da peça será desenhado.

Construção geométrica chamar um método para resolver um problema em que a resposta é obtida graficamente sem nenhum cálculo. As construções são realizadas com ferramentas de desenho (ou marcação) com a maior precisão possível, porque a precisão da solução depende disso.

As linhas especificadas pelas condições do problema, assim como as construções, são sólidas finas, e os resultados da construção são sólidos principais.

Ao iniciar um desenho ou marcação, você deve primeiro determinar quais das construções geométricas precisam ser aplicadas neste caso, ou seja, analisar a composição gráfica da imagem.

Arroz. 2.1.

Análise da composição gráfica da imagem chamado o processo de dividir a execução de um desenho em operações gráficas separadas.

Identificar as operações necessárias para construir um desenho facilita a escolha de como executá-lo. Se você precisar desenhar, por exemplo, a placa mostrada na Fig. 2.1, então a análise do contorno de sua imagem nos leva à conclusão de que devemos aplicar as seguintes construções geométricas: em cinco casos, desenhe linhas centrais mutuamente perpendiculares (número 1 em um círculo), em quatro casos desenhe linhas paralelas (número 2 ), desenhe dois círculos concêntricos (0 50 e 70 mm), em seis casos, construa conjugações de duas linhas paralelas com arcos de um determinado raio (número 3 ), e em quatro - conjugação do arco e um arco reto com raio de 10 mm (figura 4 ), em quatro casos, construir uma conjugação de dois arcos com um arco de raio 5 mm (número 5 em um círculo).

Para realizar essas construções, é necessário lembrar ou repetir as regras para desenhá-las do livro didático.

Nesse caso, é aconselhável escolher uma maneira racional de realizar o desenho. Escolher uma maneira racional de resolver um problema reduz o tempo gasto no trabalho. Por exemplo, ao construir um triângulo equilátero inscrito em um círculo, é mais racional usar um quadrado T e um quadrado com um ângulo de 60 ° sem primeiro determinar os vértices do triângulo (ver Fig. 2.2, a, b). Menos racional é a maneira de resolver o mesmo problema usando uma bússola e um quadrado T com uma definição preliminar dos vértices do triângulo (veja a Fig. 2.2, dentro).

Divisão de segmentos e construção de ângulos

Construção de ângulos retos

É racional construir um ângulo de 90° usando um quadrado T e um quadrado (Fig. 2.2). Para fazer isso, basta traçar uma linha reta, definir uma perpendicular a ela com a ajuda de um quadrado (Fig. 2.2, uma). É racional construir uma perpendicular ao segmento do inclinado, movendo-o (Fig. 2.2, b) ou virar (Fig. 2.2, dentro) um quadrado.

Arroz. 2.2.

Construção de ângulos obtusos e agudos

Na fig. 2.3, que mostra as posições dos quadrados para a construção desses ângulos.

Arroz. 2.3.

Dividindo um ângulo em duas partes iguais

Do vértice do canto descreva um arco de círculo de raio arbitrário (Fig. 2.4).

Arroz. 2.4.

De pontos ΜηΝ interseção do arco com os lados do ângulo com uma solução de bússola maior que a metade do arco ΜΝ, fazer dois cruzamentos em um ponto MAS serifas.

através do ponto dado MAS e o vértice do ângulo traçar uma linha reta (bissetriz do ângulo).

Divisão de um ângulo reto em três partes iguais

A partir do vértice de um ângulo reto, descreva um arco de círculo de raio arbitrário (Fig. 2.5). Sem alterar a solução do compasso, as serifas são feitas a partir dos pontos de interseção do arco com os lados do canto. Através dos pontos recebidos M e Ν e o vértice do ângulo é traçado por linhas retas.

Arroz. 2.5.

Desta forma, apenas os ângulos retos podem ser divididos em três partes iguais.

Construindo um ângulo igual a um dado. Do topo O um determinado ângulo, desenhe um arco de raio arbitrário R, intersectando os lados do ângulo em pontos M e N(Fig. 2.6, uma). Em seguida, é desenhado um segmento de linha reta, que servirá como um dos lados do novo ângulo. De um ponto O 1 nesta linha com o mesmo raio R desenhe um arco para obter um ponto Ν 1 (Fig. 2.6, b). A partir deste ponto, descreva um arco com um raio R 1, igual ao acorde MN. A intersecção de arcos dá um ponto Μ 1, que é conectado por uma linha reta ao topo do novo canto (Fig. 2.6, b).

Arroz. 2.6.

Divisão de um segmento de reta em duas partes iguais. Das extremidades de um determinado segmento com solução de bússola, mais da metade de seu comprimento, são descritos arcos (Fig. 2.7). Uma linha reta ligando os pontos obtidos M e Ν, divide um segmento de reta em duas partes iguais e é perpendicular a ele.

Arroz. 2.7.

Construção de uma perpendicular no final de um segmento de reta. De um ponto arbitrário O tomado sobre o segmento AB, descrever uma circunferência que passa por um ponto MAS(o fim do segmento de linha) e cruzando a linha no ponto M(Fig. 2.8).

Arroz. 2.8.

através do ponto dado M e centro O círculos traçam uma linha reta até encontrarem o lado oposto do círculo em um ponto N. ponto N conectar uma linha a um ponto MAS.

Divisão de um segmento de linha em qualquer número de partes iguais. De qualquer extremidade do segmento, por exemplo, de um ponto MAS, desenhe uma linha reta em um ângulo agudo para ele. Nele, com uma bússola de medição, o número necessário de segmentos iguais de tamanho arbitrário é colocado de lado (Fig. 2.9). O último ponto está conectado à segunda extremidade do segmento dado (com o ponto NO). De todos os pontos de divisão, usando uma régua e um quadrado, desenhe linhas retas paralelas à linha reta 9B, que dividem o segmento AB em um determinado número de partes iguais.

Arroz. 2.9.

Na fig. 2.10 mostra como aplicar esta construção para marcar os centros dos furos uniformemente espaçados em uma linha reta.

Isto - problema geométrico antigo.

Instrução passo a passo

1ª via. - Com a ajuda do triângulo "dourado" ou "egípcio". Os lados deste triângulo têm uma proporção 3:4:5, e o ângulo é estritamente de 90 graus. Esta qualidade foi amplamente utilizada pelos antigos egípcios e outras pra-culturas.

Figura 1. Construção do Triângulo Dourado ou Egípcio

• Nós fazemos três medidas (ou compassos de corda - uma corda em dois pregos ou pinos) com comprimentos de 3; quatro; 5 metros. Os antigos costumavam usar o método de amarrar nós com distâncias iguais entre eles como unidades de medida. A unidade de comprimento é " nó».
• Nós dirigimos em um pino no ponto O, nos agarramos a ele a medida “R3 - 3 nós”.
• Esticamos a corda ao longo da borda conhecida - em direção ao ponto A proposto.
• No momento de tensão na linha de fronteira - ponto A, dirigimos em um pino.
• Então - novamente do ponto O, esticamos a medida R4 - ao longo da segunda borda. Ainda não colocamos o pino.
• Depois disso, esticamos a medida R5 - de A a B.
• Na interseção das medidas R2 e R3, dirigimos um pino. - Este é o ponto B desejado - terceiro vértice do triângulo dourado, com lados 3;4;5 e com um ângulo reto no ponto O.

2ª via. Com a ajuda de um círculo.

O círculo pode ser corda ou na forma de um pedômetro. Cm:

Nosso pedômetro de bússola tem um passo de 1 metro.

Figura 2. Pedômetro bússola

Construção - também de acordo com Ill.1.

• Do ponto de referência - ponto O - o canto do vizinho, desenhamos um segmento de comprimento arbitrário - mas maior que o raio da bússola = 1m - em cada direção do centro (segmento AB).
• Colocamos a perna da bússola no ponto O.
• Desenhamos um círculo com um raio (passo da bússola) = 1m. Basta desenhar arcos curtos - 10-20 centímetros cada, nas interseções com o segmento marcado (através dos pontos A e B.). Por esta ação, encontramos pontos equidistantes do centro- A e B. A distância do centro não importa aqui. Você pode simplesmente marcar esses pontos com uma fita métrica.
• Em seguida, você precisa desenhar arcos com centros nos pontos A e B, mas com um raio ligeiramente (arbitrariamente) maior que R = 1m. É possível reconfigurar nossa bússola para um raio maior se ela tiver um passo ajustável. Mas para uma tarefa atual tão pequena, eu não gostaria de “puxá-la”. Ou quando não há regulamentação. Pode ser feito em meio minuto bússolas de corda.
• Colocamos o primeiro prego (ou a perna de uma bússola com raio maior que 1m) alternadamente nos pontos A e B. E desenhamos o segundo prego - em um estado tenso da corda, dois arcos - de modo que eles se cruzem um com o outro outro. É possível em dois pontos: C e D, mas um é suficiente - C. E novamente, serifas curtas na interseção no ponto C são suficientes.
• Traçamos uma linha reta (segmento) passando pelos pontos C e D.
• Tudo! O segmento resultante, ou linha reta, é direção exata no Norte:). Desculpe, - em ângulo reto.
• A figura mostra dois casos de incompatibilidade de limite sobre o site do vizinho. A Figura 3a mostra o caso em que a cerca do vizinho se afasta da direção desejada em detrimento de si mesma. Em 3b - ele subiu em seu site. Na situação 3a, é possível construir dois pontos “guia”: ambos C e D. Na situação 3b, apenas C.
• Coloque um pino no canto O e um pino temporário no ponto C e estique uma corda de C até o fundo do lote. - De modo que o fio mal toque o pino O. Medindo do ponto O - na direção D, o comprimento do lado de acordo com o plano geral, obtenha um canto traseiro direito confiável do local.

Fig.3. Construindo um ângulo reto - a partir do canto de um vizinho, usando uma bússola de pedômetro e uma bússola de corda

Se você tiver um pedômetro de bússola, então você pode fazer sem uma corda. Corda no exemplo anterior, costumávamos desenhar arcos de raio maior que o pedômetro. Mais porque esses arcos devem se cruzar em algum lugar. Para que os arcos sejam traçados com um pedômetro de mesmo raio - 1m com garantia de sua interseção, é necessário que os pontos A e B estejam dentro do círculo c R = 1m.

• Em seguida, meça esses pontos equidistantes roleta- em direções diferentes do centro, mas sempre ao longo da linha AB (linha da cerca do vizinho). Quanto mais próximos os pontos A e B estiverem do centro, mais distantes dele estarão os pontos guia: C e D, e mais precisas serão as medições. Na figura, essa distância é considerada cerca de um quarto do raio do pedômetro = 260 mm.

Fig.4. Construindo um ângulo reto com uma bússola pedômetro e uma fita métrica

• Este esquema de ações não é menos relevante ao construir qualquer retângulo, em particular, o contorno de uma fundação retangular. Você vai obtê-lo perfeito. Suas diagonais, é claro, precisam ser verificadas, mas os esforços não diminuem? - Em comparação com quando as diagonais, cantos e laterais do contorno da fundação se movem para frente e para trás até que os cantos se encontrem.

Na verdade, resolvemos o problema geométrico no terreno. Para que suas ações sejam mais confiantes no site, pratique no papel - usando uma bússola comum. O que basicamente não é diferente.

Lições objetivas:

• Formação de competências para analisar o material estudado e competências para aplicá-lo na resolução de problemas;
• Mostrar o significado dos conceitos que estão sendo estudados;
• Desenvolvimento da atividade cognitiva e independência na obtenção do conhecimento;
• Despertando o interesse pelo assunto, um senso de beleza.

Lições objetivas:

• Formar habilidades na construção de um ângulo igual a um determinado usando uma régua de escala, compasso, transferidor e desenho de triângulo.
• Verifique a capacidade dos alunos para resolver problemas.

Plano de aula:

1. Repetição.
2. Construindo um ângulo igual a um dado.
3. Análise.
4. Construção do primeiro exemplo.
5. Construção do segundo exemplo.

Repetição.

Canto.

canto plano- uma figura geométrica ilimitada formada por dois raios (lados de um ângulo) que emergem de um ponto (o vértice do ângulo).

Um ângulo também é chamado de figura formada por todos os pontos do plano contidos entre esses raios (de modo geral, dois desses raios correspondem a dois ângulos, pois dividem o plano em duas partes. Um desses ângulos é chamado condicionalmente de interno, e o outro externo.
Às vezes, por brevidade, um ângulo é chamado de medida angular.

Para designar um ângulo, existe um símbolo geralmente aceito: , proposto em 1634 pelo matemático francês Pierre Erigon.

Canto- trata-se de uma figura geométrica (Fig. 1), formada por dois raios OA e OB (lados dos cantos), emanados de um ponto O (ápice dos cantos).

Um ângulo é denotado por um símbolo e três letras indicando as extremidades dos raios e o vértice do ângulo: AOB (além disso, a letra do vértice é a do meio). Os ângulos são medidos pela quantidade de rotação do raio OA em torno do vértice O até que o raio OA passe para a posição OB. Existem duas unidades comumente usadas para medir ângulos: radianos e graus. Para medição de ângulos em radianos, veja abaixo em "Comprimento do arco" e também no capítulo "Trigonometria".

Sistema de graus para medição de ângulos.

Aqui, a unidade de medida é o grau (sua designação é °) - esta é a rotação do feixe em 1/360 de uma volta completa. Assim, uma rotação completa da viga é de 360 ​​o. Um grau é dividido em 60 minutos (notação '); um minuto - respectivamente por 60 segundos (designação “). Um ângulo de 90° (Fig. 2) é chamado de reto; um ângulo menor que 90° (Fig. 3) é chamado de agudo; um ângulo maior que 90° (Fig. 4) é chamado de obtuso.

As linhas retas que formam um ângulo reto são chamadas de perpendiculares entre si. Se as linhas AB e MK são perpendiculares, isso é denotado: AB MK.

Construindo um ângulo igual a um dado.

Antes de iniciar a construção ou resolver qualquer problema, independentemente do assunto, é necessário realizar análise. Entenda do que se trata a tarefa, leia-a com atenção e lentamente. Se após a primeira vez houver dúvidas ou algo não ficou claro ou claro, mas não completamente, é recomendável lê-lo novamente. Se você estiver fazendo uma tarefa em sala de aula, você pode perguntar ao professor. Caso contrário, sua tarefa, que você entendeu mal, pode não ser resolvida corretamente, ou você pode encontrar algo que não é o que foi exigido de você e será considerado incorreto e você terá que refazê-lo. Quanto a mim - é melhor gastar um pouco mais de tempo estudando a tarefa do que refazer a tarefa novamente.

Análise.

Seja a uma dada semi-reta com vértice A, e seja (ab) o ângulo desejado. Escolhemos os pontos B e C nos raios a e b, respectivamente. Conectando os pontos B e C, obtemos o triângulo ABC. Em triângulos iguais, os ângulos correspondentes são iguais e, portanto, o método de construção segue. Se os pontos C e B são escolhidos de alguma maneira conveniente nos lados de um determinado ângulo, um triângulo AB 1 C 1 igual a ABC é construído a partir do raio dado até o semiplano dado (e isso pode ser feito se todos os lados de o triângulo são conhecidos), então o problema será resolvido.

Ao realizar qualquer construções Seja extremamente cuidadoso e tente realizar todas as construções com cuidado. Uma vez que quaisquer inconsistências podem resultar em algum tipo de erro, desvios, que podem levar a uma resposta incorreta. E se uma tarefa desse tipo for executada pela primeira vez, o erro será muito difícil de encontrar e corrigir.

Construção do primeiro exemplo.

Desenhe um círculo centrado no vértice do ângulo dado. Sejam B e C os pontos de intersecção do círculo com os lados do ângulo. Desenhe um círculo com raio AB centrado no ponto A 1 - o ponto inicial deste raio. O ponto de intersecção deste círculo com o raio dado será denotado por B 1 . Vamos descrever um círculo com centro B 1 e raio BC. O ponto de interseção C 1 dos círculos construídos no semiplano especificado está no lado do ângulo desejado.

Os triângulos ABC e A 1 B 1 C 1 são iguais em três lados. Os ângulos A e A 1 são os ângulos correspondentes desses triângulos. Portanto, ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Para maior clareza, podemos considerar as mesmas construções com mais detalhes.

Construção do segundo exemplo.

Resta também a tarefa de adiar da meia linha dada para o semiplano dado um ângulo igual ao ângulo dado.

Construção.

Passo 1. Vamos desenhar um círculo com um raio arbitrário e centros no vértice A do ângulo dado. Sejam B e C os pontos de interseção do círculo com os lados do ângulo. E desenhe o segmento BC.

Passo 2 Desenhe um círculo com raio AB centrado no ponto O, o ponto inicial desta meia linha. Denote o ponto de intersecção do círculo com o raio B 1 .

etapa 3 Agora vamos descrever um círculo com centro B 1 e raio BC. Seja o ponto C 1 a interseção dos círculos construídos no semiplano especificado.

Passo 4 Vamos desenhar um raio do ponto O até o ponto C 1 . O ângulo C 1 OB 1 será o desejado.

Prova.

Os triângulos ABC e OB 1 C 1 são congruentes como triângulos com lados correspondentes. E, portanto, os ângulos CAB e C 1 OB 1 são iguais.

Fato interessante:

Em números.

Nos objetos do mundo ao seu redor, em primeiro lugar, você percebe suas propriedades individuais que distinguem um objeto do outro.

A abundância de propriedades particulares e individuais ofusca as propriedades gerais inerentes a absolutamente todos os objetos e, portanto, é sempre mais difícil descobrir tais propriedades.

Uma das propriedades comuns mais importantes dos objetos é que todos os objetos podem ser contados e medidos. Refletimos essa propriedade comum dos objetos no conceito de número.

As pessoas dominaram o processo de contar, ou seja, o conceito de número, muito lentamente, durante séculos, numa luta obstinada pela sua existência.

Para contar, é necessário ter não apenas objetos a serem contados, mas já ter a capacidade de se distrair ao considerar esses objetos de todas as suas outras propriedades, exceto o número, e essa capacidade é resultado de um longo histórico desenvolvimento baseado na experiência.

Toda pessoa agora aprende a contar com a ajuda de números imperceptivelmente na infância, quase simultaneamente com como começa a falar, mas essa contagem a que estamos acostumados percorreu um longo caminho de desenvolvimento e assumiu diferentes formas.

Houve um tempo em que apenas dois números eram usados ​​para contar objetos: um e dois. No processo de expansão adicional do sistema numérico, partes do corpo humano estavam envolvidas e, em primeiro lugar, dedos, e se não houvesse "números" suficientes, então paus, pedrinhas e outras coisas.

N. N. Miklukho-Maclay em seu livro "Viagens" fala sobre uma maneira engraçada de contar usada pelos nativos da Nova Guiné:

Perguntas:

1. Qual é a definição de ângulo?
2. Quais são os tipos de cantos?
3. Qual é a diferença entre diâmetro e raio?

Lista de fontes usadas:

1. Mazur K. I. "Resolvendo os principais problemas competitivos em matemática da coleção editada por M. I. Scanavi"
2. Ingenuidade matemática. BA. Kordemsky. Moscou.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometria, 7 - 9: um livro didático para instituições educacionais"

Trabalhou na lição:

Levchenko V.S.

Poturnak S.A.

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Disciplinas > Matemática > Matemática 7º ano