Com a diferença de que, em vez de gráficos "planos", consideraremos as superfícies espaciais mais comuns e também aprenderemos a construí-las corretamente à mão. Estou procurando ferramentas de software para construir desenhos 3D há algum tempo e encontrei alguns bons aplicativos, mas apesar de toda a facilidade de uso, esses programas não resolvem bem uma questão prática importante. O fato é que, no futuro histórico previsível, os alunos ainda estarão armados com uma régua com um lápis e, mesmo tendo um desenho de "máquina" de alta qualidade, muitos não poderão transferi-lo corretamente para o papel quadriculado. Portanto, no manual Atenção especial prestou atenção à técnica de construção manual, e uma parte significativa das ilustrações na página é um produto artesanal.

Como este material de referência é diferente dos análogos?

Tendo uma experiência prática decente, sei muito bem quais superfícies são mais frequentemente tratadas em problemas reais de matemática superior, e espero que este artigo o ajude a reabastecer rapidamente sua bagagem com conhecimentos relevantes e habilidades aplicadas, que são 90-95% dos casos deve bastar.

O que você precisa saber agora?

O mais elementar:

Primeiro, você precisa ser capaz construir direito sistema de coordenadas cartesianas espaciais (veja o início do artigo Gráficos e propriedades de funções) .

O que você vai ganhar depois de ler este artigo?

Garrafa Depois de dominar os materiais da lição, você aprenderá a determinar rapidamente o tipo de superfície por sua função e / ou equação, imaginar como ela está localizada no espaço e, claro, fazer desenhos. Tudo bem se nem tudo se encaixa na sua cabeça desde a primeira leitura - você sempre pode retornar a qualquer parágrafo conforme necessário posteriormente.

A informação está ao alcance de todos - para seu desenvolvimento não é necessário nenhum superconhecimento, talento artístico especial e visão espacial.

Começar!

Na prática, a superfície espacial é geralmente dada função de duas variáveis ou uma equação da forma (a constante do lado direito é mais frequentemente igual a zero ou um). A primeira designação é mais típica para análise matemática, a segunda - para geometria analítica. A equação, em essência, é dado implicitamente função de 2 variáveis, que em casos típicos podem ser facilmente reduzidas à forma . Lembro-lhe do exemplo mais simples c :

–equação do plano Gentil.

é a função plano em explicitamente .

Vamos começar com ele:

Equações de Plano Comum

Opções típicas para o arranjo de planos em um sistema de coordenadas retangulares são discutidas em detalhes no início do artigo. Equação do plano. No entanto, mais uma vez nos deteremos em equações que são de grande importância para a prática.

Em primeiro lugar, você deve reconhecer completamente as equações dos planos que são paralelos aos planos coordenados. Fragmentos de planos são normalmente representados como retângulos, que nos dois últimos casos parecem paralelogramos. Por padrão, você pode escolher qualquer dimensão (dentro de limites razoáveis, é claro), embora seja desejável que o ponto em que o eixo de coordenadas “perfure” o plano seja o centro de simetria:


Estritamente falando, os eixos coordenados em alguns lugares deveriam ter sido representados com uma linha pontilhada, mas para evitar confusão, vamos negligenciar essa nuance.

– (desenho à esquerda) a desigualdade define o semi-espaço mais distante de nós, excluindo o próprio plano;

– (desenho médio) a desigualdade define o semi-espaço direito, incluindo o plano;

– (desenho à direita) uma desigualdade dupla especifica uma "camada" localizada entre os planos , incluindo ambos os planos.

Para auto-treino:

Exemplo 1

Desenhe um corpo delimitado por planos
Componha um sistema de desigualdades que defina o corpo dado.

Um velho conhecido deve sair debaixo da ponta do seu lápis cubóide. Não esqueça que bordas e faces invisíveis devem ser desenhadas com uma linha pontilhada. Desenho finalizado no final da aula.

Por favor, NÃO NEGLIGENCIE tarefas de aprendizagem, mesmo que pareçam muito simples. Caso contrário, pode acontecer que eles erraram uma vez, erraram duas vezes e depois passaram uma hora trabalhando em um desenho tridimensional em algum exemplo real. Além disso, o trabalho mecânico ajudará a aprender o material com muito mais eficiência e desenvolver a inteligência! Não é por acaso que em Jardim da infância e ensino fundamental, as crianças são carregadas com desenho, modelagem, designers e outras tarefas para habilidades motoras finas dos dedos. Perdoe-me a digressão, mas meus dois cadernos de psicologia do desenvolvimento não devem desaparecer =)

Chamaremos condicionalmente o seguinte grupo de planos de “proporções diretas” - são planos que passam pelos eixos coordenados:

2) a equação da forma define um plano que passa pelo eixo;

3) a equação da forma define um plano que passa pelo eixo.

Embora o sinal formal seja óbvio (qual variável está faltando na equação - o plano passa por esse eixo), é sempre útil entender a essência dos eventos que ocorrem:

Exemplo 2

Construir avião

Qual é a melhor forma de construir? Proponho o seguinte algoritmo:

Primeiro, reescrevemos a equação na forma , a partir da qual se vê claramente que o “y” pode tomar algum valores. Fixamos o valor , ou seja, consideraremos o plano coordenado . O conjunto de equações linha espacial encontrando-se no plano de coordenadas dado. Vamos desenhar esta linha no desenho. A reta passa pela origem, portanto, para construí-la, basta encontrar um ponto. Deixar . Separe um ponto e desenhe uma linha.

Agora de volta à equação do plano. Como o "y" leva algum valores, então a linha reta construída no plano é continuamente “replicada” para a esquerda e para a direita. É assim que nosso plano é formado, passando pelo eixo. Para completar o desenho, à esquerda e à direita da reta separamos duas retas paralelas e “fechamos” o paralelogramo simbólico com segmentos horizontais transversais:

Como a condição não impunha restrições adicionais, o fragmento do avião poderia ser representado um pouco menor ou um pouco maior.

Mais uma vez, repetimos o significado da desigualdade linear espacial usando o exemplo. Como determinar o semi-espaço que ele define? Vamos dar um ponto não possui plano, por exemplo, um ponto do semi-espaço mais próximo de nós e substituir suas coordenadas na desigualdade:

Recebido desigualdade correta, o que significa que a desigualdade define o semi-espaço inferior (em relação ao plano ), enquanto o próprio plano não está incluído na solução.

Exemplo 3

Construir aviões
uma) ;
b).

São tarefas para autoconstrução, em caso de dificuldade, utilize raciocínio semelhante. Instruções breves e desenhos no final da lição.

Na prática, os planos paralelos ao eixo são especialmente comuns. Um caso especial, quando o plano passa pelo eixo, foi justamente no parágrafo “b”, e agora vamos analisar um problema mais geral:

Exemplo 4

Construir avião

Solução: a variável "z" não participa explicitamente da equação, o que significa que o plano é paralelo ao eixo aplicado. Vamos usar a mesma técnica dos exemplos anteriores.

Vamos reescrever a equação do plano na forma do qual fica claro que "Z" pode tomar algum valores. Vamos corrigi-lo e no plano "nativo" desenhe a linha reta "plana" usual. Para construí-lo, é conveniente tomar pontos de referência.

Como "Z" leva tudo valores, então a linha reta construída continuamente "multiplica" para cima e para baixo, formando assim o plano desejado . Desenhe cuidadosamente um paralelogramo de tamanho razoável:

Preparar.

Equação de um plano em segmentos

A variedade aplicada mais importante. Se um tudo chances equação geral do plano diferente de zero, então pode ser representado como , que é chamado equação do plano em segmentos. Obviamente, o plano intercepta os eixos coordenados em pontos , e a grande vantagem de tal equação é a facilidade de desenho:

Exemplo 5

Construir avião

Solução: primeiro, compomos a equação do plano em segmentos. Jogue o termo livre para a direita e divida ambas as partes por 12:

Não, isso não é um erro de digitação e todas as coisas acontecem no espaço! Examinamos a superfície proposta pelo mesmo método que foi usado recentemente para planos. Reescrevemos a equação na forma , de onde se segue que "Z" leva algum valores. Fixamos e construímos uma elipse no plano. Como "Z" leva tudo valores, então a elipse construída é continuamente "replicada" para cima e para baixo. É fácil entender que a superfície sem fim:

Essa superfície é chamada cilindro elíptico. Uma elipse (em qualquer altura) é chamada guia cilindro, e as linhas paralelas que passam por cada ponto da elipse são chamadas gerando cilindro (que literalmente o formam). eixo é eixo de simetria superfície (mas não parte dela!).

As coordenadas de qualquer ponto pertencente a uma dada superfície satisfazem necessariamente a equação .

Espacial a desigualdade define o "dentro" do "tubo" infinito, incluindo a própria superfície cilíndrica e, portanto, a desigualdade oposta define o conjunto de pontos fora do cilindro.

Em problemas práticos, o caso mais popular é quando guia cilindro é círculo:

Exemplo 8

Construa a superfície dada pela equação

É impossível representar um “tubo” sem fim, portanto a arte se limita, via de regra, ao “corte”.

Primeiro, é conveniente construir um círculo de raio no plano e depois mais alguns círculos acima e abaixo. Os círculos resultantes ( guias cilindro) nitidamente ligados por quatro linhas retas paralelas ( gerando cilindro):

Não se esqueça de usar linhas pontilhadas para linhas invisíveis.

As coordenadas de qualquer ponto pertencente a um dado cilindro satisfazem a equação . As coordenadas de qualquer ponto estritamente dentro do "tubo" satisfazem a desigualdade , e a desigualdade define um conjunto de pontos da parte externa. Para uma melhor compreensão, recomendo considerar vários pontos específicos no espaço e ver por si mesmo.

Exemplo 9

Construir uma superfície e encontrar sua projeção em um plano

Reescrevemos a equação na forma de onde se segue que "x" leva algum valores. Vamos consertar e desenhar no plano círculo– centrado na origem, raio unitário. Como "x" leva continuamente tudo valores, então o círculo construído gera um cilindro circular com um eixo de simetria . Desenhe outro círculo guia cilindro) e conecte-os cuidadosamente com linhas retas ( gerando cilindro). Em alguns lugares, as sobreposições acabaram, mas o que fazer, tal inclinação:

Desta vez limitei-me a um pedaço do cilindro na abertura e isso não é acidental. Na prática, muitas vezes é necessário representar apenas um pequeno fragmento da superfície.

Aqui, a propósito, resultaram 6 generatrizes - duas linhas retas adicionais "fecham" a superfície dos cantos superior esquerdo e inferior direito.

Agora vamos lidar com a projeção do cilindro no plano. Muitos leitores entendem o que é uma projeção, mas, no entanto, vamos passar mais cinco minutos de educação física. Por favor, levante-se e incline a cabeça sobre o desenho para que a ponta do eixo fique perpendicular à sua testa. A aparência do cilindro desse ângulo é sua projeção no plano. Mas parece ser uma faixa sem fim, encerrada entre linhas retas, incluindo as próprias linhas retas. Essa projeção é exatamente domínio funções (calha superior do cilindro), (calha inferior).

A propósito, vamos esclarecer a situação com projeções em outros planos de coordenadas. Deixe os raios do sol brilharem no cilindro do lado da ponta e ao longo do eixo. A sombra (projeção) de um cilindro em um plano é uma faixa infinita semelhante - uma parte do plano delimitada por linhas retas ( - qualquer), incluindo as próprias linhas retas.

Mas a projeção no avião é um pouco diferente. Se você olhar para o cilindro da ponta do eixo, ele será projetado em um círculo de raio unitário com que iniciamos a construção.

Exemplo 10

Construir uma superfície e encontrar suas projeções em planos coordenados

Esta é uma tarefa para decisão independente. Se a condição não for muito clara, esquadre ambos os lados e analise o resultado; descubra exatamente qual parte do cilindro a função especifica. Use a técnica de construção que foi repetidamente usada acima. Solução breve, desenho e comentários no final da aula.

Superfícies elípticas e outras superfícies cilíndricas podem ser deslocadas em relação aos eixos de coordenadas, por exemplo:

(nos fundamentos familiares de um artigo sobre linhas de 2ª ordem) - um cilindro de raio unitário com uma linha de simetria passando por um ponto paralelo ao eixo. No entanto, na prática, tais cilindros são encontrados muito raramente, e é absolutamente inacreditável encontrar uma superfície cilíndrica “oblíqua” em relação aos eixos coordenados.

Cilindros parabólicos

Como o nome sugere, guia tal cilindro é parábola.

Exemplo 11

Construa uma superfície e encontre suas projeções nos planos coordenados.

Não resisti a este exemplo =)

Solução: Seguimos o caminho batido. Vamos reescrever a equação na forma , da qual se segue que "Z" pode assumir qualquer valor. Fixemos e construamos uma parábola ordinária no plano, tendo marcado previamente os pontos de referência triviais. Como "Z" leva tudo valores, então a parábola construída é continuamente "replicada" para cima e para baixo até o infinito. Colocamos de lado a mesma parábola, digamos, em uma altura (no plano) e as conectamos cuidadosamente com linhas paralelas ( geradores do cilindro):

eu lembro técnica útil: se inicialmente não houver confiança na qualidade do desenho, é melhor primeiro desenhar as linhas finas e finas com um lápis. Em seguida, avaliamos a qualidade do esboço, descobrimos as áreas onde a superfície está escondida de nossos olhos e só então aplicamos pressão à caneta.

Projeções.

1) A projeção de um cilindro sobre um plano é uma parábola. Deve-se notar que em este caso não pode falar sobre domínios de uma função de duas variáveis- porque a equação do cilindro não é redutível à forma funcional .

2) A projeção do cilindro no plano é um semiplano, incluindo o eixo

3) E, finalmente, a projeção do cilindro no plano é o plano inteiro.

Exemplo 12

Construir cilindros parabólicos:

a) , nos restringimos a um fragmento da superfície no semi-espaço próximo;

b) entre

Em caso de dificuldades, não temos pressa e argumentamos por analogia com os exemplos anteriores, felizmente, a tecnologia foi completamente trabalhada. Não é crítico se as superfícies ficarem um pouco desajeitadas - é importante exibir corretamente a imagem fundamental. Eu mesmo não me incomodo particularmente com a beleza das linhas, se recebo um desenho tolerável “nota C”, geralmente não o refaz. Na solução de amostra, aliás, foi utilizada mais uma técnica para melhorar a qualidade do desenho ;-)

Cilindros hiperbólicos

guias tais cilindros são hipérboles. Este tipo de superfície, de acordo com minhas observações, é muito mais raro que os tipos anteriores, então me limitarei a um único desenho esquemático de um cilindro hiperbólico:

O princípio de raciocínio aqui é exatamente o mesmo - o usual hipérbole escolar do plano continuamente "multiplica" para cima e para baixo até o infinito.

Os cilindros considerados pertencem aos chamados superfícies de 2ª ordem, e agora continuaremos nos familiarizando com outros representantes deste grupo:

Elipsóide. Esfera e bola

A equação canônica de um elipsóide em um sistema de coordenadas retangulares tem a forma , onde são números positivos ( semi-eixos elipsóide), que no caso geral diferente. Um elipsóide é chamado superfície, e corpo delimitada por esta superfície. O corpo, como muitos adivinharam, é dado pela desigualdade e as coordenadas de qualquer ponto interior (assim como de qualquer ponto da superfície) satisfazem necessariamente essa desigualdade. O projeto é simétrico em relação aos eixos de coordenadas e planos de coordenadas:

A origem do termo "elipsóide" também é óbvia: se a superfície é "cortada" por planos coordenados, nas seções haverá três diferentes (no caso geral)

Uma superfície cilíndrica é uma superfície composta por todas as linhas que interceptam uma dada linha L e paralelas a uma dada linha I. Neste caso, a linha L é chamada de guia da superfície cilíndrica, e cada uma das linhas que compõem essa superfície e paralela à linha é chamada de geratriz (Fig. 89). No futuro, consideraremos apenas essas superfícies cilíndricas, cujas guias estão em um dos planos de coordenadas e os geradores são paralelos ao eixo de coordenadas perpendicular a este plano.

Vamos considerar alguma linha L no plano Oxy, que tem a equação no sistema de coordenadas Oxy

Vamos construir uma superfície cilíndrica com geradores paralelos ao eixo Oz e a guia L (Fig. 90). Mostremos que a equação (39) será a equação desta superfície se estiver relacionada com o sistema de coordenadas no espaço . Let Ser qualquer ponto fixo da superfície cilíndrica construída.

Denote por N o ponto de intersecção da guia L e da geratriz que passa pelo ponto M. O ponto será obviamente a projeção do ponto M sobre o plano. Portanto, os pontos M e N têm a mesma abcissa e a mesma ordenada sim Mas o ponto N está na curva L, e suas coordenadas xey satisfazem a equação (39) desta curva. Portanto, as coordenadas do ponto também satisfazem essa equação, pois não contém . Assim, as coordenadas de qualquer ponto desta superfície cilíndrica satisfazem a equação (39). As coordenadas dos pontos que não estão nessa superfície não satisfazem a equação (39), pois esses pontos são projetados em um plano fora da curva

Assim, não contendo a equação, se ela se refere ao sistema de coordenadas no espaço, está a equação de uma superfície cilíndrica com geradores paralelos ao eixo e à guia L, que no plano é dada pela mesma equação

No espaço, o guia L é determinado por um sistema de duas equações:

Da mesma forma, pode-se mostrar que uma equação que não contém y e uma equação que não contém definem superfícies cilíndricas no espaço Oxy com geradores paralelos aos eixos

Considere exemplos de superfícies cilíndricas.

1. Superfície definida pela equação

é cilíndrico e é chamado de cilindro elíptico (Fig. 91).

Seus geradores são paralelos ao eixo e a guia é uma elipse com semi-eixos a e b, situada no plano. Em particular, se a guia for um círculo e a superfície for um cilindro circular reto. Sua equação

2. Superfície cilíndrica definida pela equação

é chamado de cilindro hiperbólico (Fig. 92). Os geradores desta superfície são paralelos ao eixo a, e a hipérbole localizada no plano com o semieixo real a e o semieixo imaginário b serve de guia.

3. Superfície cilíndrica definida pela equação

é chamado de cilindro parabólico (Fig. 93). Seu guia é uma parábola situada no plano , e os geradores são paralelos ao eixo Ox.

Comente. Como se sabe, uma linha reta no espaço pode ser dada pelas equações de vários pares de planos que se cruzam ao longo dessa linha reta. Da mesma forma, uma curva no espaço pode ser definida usando as equações de várias superfícies que se cruzam ao longo dessa curva.

SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS

Nome do parâmetro	Significado
Assunto do artigo:	SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS
Rubrica (categoria temática)	Matemáticas

SUPERFÍCIES

Seja G uma reta e - um vetor diferente de zero que não é paralelo ao plano da linha Г (se Г for uma linha plana.

Definição 10. Superfície cilíndrica com guia G e geradores paralelos ao vetor , costuma-se chamar o conjunto de pontos de todas as linhas possíveis paralelas ao vetor e cruzando a linha G.

O principal problema a ser resolvido: como encontrar a equação de uma superfície cilíndrica, se as equações da linha Г e as coordenadas do vetor forem dadas .

(28)

Resta excluir o parâmetro t dessas equações.

Obtivemos as seguintes regras para compilar a equação de uma superfície cilíndrica:

Se a direção da superfície cilíndrica é dada pelas equações (27) e os geradores são paralelos ao vetor , então para compor a equação da superfície, basta nas equações (27) substituir x por x - mt, y por y - nt, z por z - pt e excluir o parâmetro das equações resultantes.

Exemplo 1 Escreva uma equação para uma superfície cilíndrica, se os geradores são paralelos ao vetor = (3, 2, -1) e o guia G tem as equações

Exemplo 2. Escreva uma equação para uma superfície cilíndrica se a guia for uma linha no plano (HOY), e os geradores são paralelos ao eixo (ОZ).

Solução. Um vetor paralelo aos geradores é um vetor. Substituímos x nas equações do guia por x - 0‣‣‣t, ᴛ.ᴇ. x é substituído por x. Da mesma forma, y ​​é substituído por y. Mas z é substituído por z - t. Obtemos da segunda equação z = t. Isso significa que z pode, independentemente de x e y, assumir todos os valores reais possíveis, e x e y estão relacionados pela mesma equação f (x, y) \u003d 0, como na equação do guia. A equação de uma superfície cilíndrica neste caso será f(x, y) = 0.

Consequência. Equações , , y 2 = 2px definir superfícies cilíndricas com guias elipse, hipérbole e parábola, respectivamente. Seus geradores são paralelos ao eixo (ОZ).

Se a guia da superfície cilíndrica é uma linha de segunda ordem, então a superfície é geralmente chamada cilindro de segunda ordem.

Comente. Preste atenção ao fato de que as equações f(x, y) = 0, f(x, z) = 0, f(y, z) = 0, definem nos planos (XOY), (XOZ) e (YOZ) , respectivamente, algumas linhas. Mas em um sistema de coordenadas afins no espaço, eles definem cilindros com geradores paralelos ao eixo (ОZ), (ОУ) e (ОХ), respectivamente.

SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS - conceito e tipos. Classificação e características da categoria "superfícies cilíndricas" 2017, 2018.

Lição número 10.

Tema:Superfícies de revolução.
Superfícies cilíndricas

Informações teóricas.

1. Superfícies de revolução.

Limite. Uma superfície de revolução é uma superfície formada pela rotação de uma linha plana  em torno de um eixo situado no plano desta linha.

Deixar
, então pode ser dado pelas equações

A equação da superfície formada pela rotação da linha  em torno do eixo Oz vai parecer:

(1)

2. Superfícies cilíndricas.

Seja uma reta  no espaço e um vetor não paralelo ao plano desta linha.

Definição. Uma superfície cilíndrica é um conjunto de pontos no espaço que se encontram em linhas retas paralelas a um determinado vetor e interceptam uma determinada linha .

A linha  é chamada de guia da superfície cilíndrica, as linhas retas são chamadas de geradores.

Considere um caso especial: a linha guia  está no plano xOy: e é dado pelas equações:
e o vetor de direção dos geradores tem coordenadas
,
.

Neste caso, a equação de uma superfície cilíndrica tem a forma

. (2)

Exercícios.

1. Obtenha a equação da superfície de revolução (1).

   Obtenha a equação de uma superfície cilíndrica (2).

Tarefas típicas básicas.

1. Compilação da equação da superfície de revolução segundo as equações da guia e do eixo de revolução.

   Compilação da equação de uma superfície cilíndrica de acordo com as equações da guia e do vetor guia de geradores.

Exemplos de resolução de problemas.

Tarefa 1. No avião yOz dado um círculo centrado no ponto (0; 4; 0) de raio 1. Escreva a equação para a superfície formada pela rotação deste círculo em torno do eixo Oz.

Yeshenie.

Equações de um círculo deitado em um plano yOz centrados no ponto (0; 4; 0) de raio 1, têm a forma

(3)

Quando este círculo gira em torno do eixo Oz, uma superfície é obtida, chamada de toro. Deixar Mé um ponto arbitrário no toro. Vamos passar pelo ponto M plano , perpendicular ao eixo de rotação, ou seja. machados Oz, na seção obtemos um círculo. Denote o centro deste círculo P, e o ponto de interseção do plano  com o círculo que forma a superfície de revolução é N.

Denote as coordenadas do ponto M(x, y, z), então P(0, 0, z), enquanto N(0, , z). Como os pontos M e N pertencem ao círculo centrado no ponto P, então

,

.

Escrevemos a última igualdade em coordenadas

. (4)

O ponto N está em um círculo, durante a rotação do qual um toro é formado, o que significa que suas coordenadas devem satisfazer as equações (3), escrevemos a primeira equação do sistema (3)

,

,

.

Vamos ao quadrado a última equação.

e substitua a expressão por da igualdade (4), obtemos

A equação (5) é a necessária.

Tarefa 2. Escreva uma equação para uma superfície cilíndrica se a guia estiver em um plano xOy e tem a equação
, e os geradores são paralelos ao vetor (1; 2; –1).

Deixe o ponto M(x, y, z) é um ponto arbitrário da superfície cilíndrica. Vamos passar pelo ponto M gerando eu, ele intercepta a guia no ponto
. Como o guia está no plano xOy, então
. Componha as equações canônicas da linha reta eu

.

Igualar a primeira e a segunda frações com a última

(6)

O ponto N está na guia, então suas coordenadas satisfazem sua equação:

.

Substituindo expressões por e do sistema (6), obtemos

. (7)

(7) é a equação necessária.

a) uma elipse
;

b) hipérboles
;

c) parábolas
.

a) A guia está no plano
e tem a equação , e os geradores são paralelos ao vetor (1; 0; 1);

b) a guia está no plano yOz e tem a equação
, e os geradores são paralelos ao eixo Boi;

c) a guia está no plano xOz e é um círculo
, e os geradores são paralelos ao eixo Oy.

Escreva a equação para uma superfície cilíndrica se:

a) o guia é dado pelas equações
e a geratriz é paralela ao vetor
;

b) o guia é dado pelas equações
e a geratriz é paralela à linha x= y= z.

a)
,
,
, M(2; 0; 1);

b) eu:
, M(2; –1; 1).

Lição número 11.

Tema:superfícies cônicas.

Informações teóricas.

Seja uma reta  e um ponto dados no espaço S não está no plano desta linha.

Definição. Uma superfície cônica é um conjunto de pontos no espaço que se encontram em linhas que passam por um determinado ponto. S e cruzando esta linha .

A linha  é chamada de guia da superfície cônica, o ponto S- um vértice, as linhas são chamadas de geradores.

Considere um caso especial: o vértice S coincide com a origem, a linha guia  está em um plano paralelo ao plano xOy: z= c, e é dado pela equação:
.

Neste caso, a equação da superfície cônica tem a forma

. (1)

Se a guia for uma elipse centrada no eixo Oz,

então obtemos uma superfície chamada cone de segunda ordem, a equação dessa superfície tem a forma:

. (2)

Eixo Oz neste caso é o eixo do cone de segunda ordem.

Seções de um cone de segunda ordem:

Deixe o plano  não passar pelo vértice do cone de segunda ordem, então o plano  intercepta o cone:

a) ao longo de uma elipse, se  intercepta todos os geradores do cone;

b) por hipérbole, se  for paralelo a dois geradores do cone;

c) ao longo de uma parábola, se  é paralela a uma geratriz do cone.

Exercícios.

Obtenha a equação da superfície cônica (1).

Obtenha a equação da superfície cônica de segunda ordem (2).

Tarefas típicas básicas.

Compilação da equação de uma superfície cônica pelas coordenadas do vértice e a equação da guia.

Exemplos de resolução de problemas.

Tarefa 1. Escreva uma equação para uma superfície cônica cujo vértice está na origem e cuja diretriz é dada pelas equações

Deixe o ponto M(x, y, z) é um ponto arbitrário da superfície cônica. Tracemos uma geratriz por este ponto eu, ele cruzará a guia no ponto
. Escrevemos as equações canônicas da linha reta eu, como a equação de uma linha reta que passa por um ponto N e o vértice do cone O(0, 0, 0)

,

.

Vamos expressar a partir do último sistema e:
,
. Porque ponto N encontra-se na superfície cônica guia, então suas coordenadas devem satisfazer as equações da guia:

(3)

Vamos substituir as expressões encontradas na segunda equação do sistema (3)

,

,

,

. (4)

,
. (5)

Substituímos (4) e (5) na primeira equação do sistema (3)

,

.

A equação resultante é a equação desejada da superfície cônica.; Dependência linear vetores. Sistema de coordenadas. Base ortonormal. Linear operações acima de vetores em coordenadas. escalar trabalhar vetores. vetor trabalhar vetores ...

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