teorema de Pitágoras

O destino de outros teoremas e problemas é peculiar... Como explicar, por exemplo, tamanha atenção excepcional por parte de matemáticos e matemáticos ao teorema de Pitágoras? Por que muitos deles não ficaram satisfeitos com as provas já conhecidas, mas encontraram as suas próprias, elevando o número de provas para várias centenas em vinte e cinco séculos comparativamente observáveis?
Quando se trata do teorema de Pitágoras, o inusitado começa com seu nome. Acredita-se que não foi Pitágoras quem o formulou pela primeira vez. Também é duvidoso que ele tenha lhe dado provas. Se Pitágoras é uma pessoa real (alguns até duvidam disso!), então ele provavelmente viveu nos séculos VI e V. BC e. Ele mesmo não escreveu nada, se autodenominava filósofo, o que significava, em seu entendimento, “aspirar à sabedoria”, fundou a União Pitagórica, cujos membros se dedicavam à música, ginástica, matemática, física e astronomia. Ao que parece, era também um grande orador, como atesta a seguinte lenda relativa à sua estadia na cidade de Crotona: delineava os deveres dos jovens, que os anciãos da cidade pediam para não os deixar sem ensinar. Nesse segundo discurso, apontou a legalidade e a pureza dos costumes, como fundamentos da família; nos dois seguintes, dirigiu-se a crianças e mulheres. A consequência do último discurso, no qual ele condenou especialmente o luxo, foi que milhares de vestidos preciosos foram entregues ao templo de Hera, pois nenhuma mulher ousava mais se mostrar neles na rua ... ”No entanto, de volta no segundo século de nossa era, ou seja, depois de 700 anos, pessoas bastante reais viveram e trabalharam, cientistas notáveis ​​que estavam claramente sob a influência da união pitagórica e tratados com grande respeito pelo que, segundo a lenda, Pitágoras criou.
Também é indubitável que o interesse pelo teorema é causado tanto pelo fato de ocupar um dos lugares centrais da matemática, quanto pela satisfação dos autores das provas que superaram as dificuldades, sobre as quais o poeta romano Quintus Horácio Flaccus , que viveu antes de nossa era, bem disse: “É difícil expressar fatos conhecidos” .
Inicialmente, o teorema estabeleceu a relação entre as áreas dos quadrados construídos sobre a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo:
.
Formulação algébrica:
Em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.
Ou seja, denotando o comprimento da hipotenusa do triângulo por c e os comprimentos das pernas por a e b: a 2 + b 2 \u003d c 2. Ambas as formulações do teorema são equivalentes, mas a segunda formulação é mais elementar, não requer o conceito de área. Ou seja, a segunda afirmação pode ser verificada sem saber nada sobre a área e medindo apenas os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo.
O teorema de Pitágoras inverso. Para qualquer triplo de números positivos a, b e c tal que
a 2 + b 2 = c 2 , existe um triângulo retângulo com catetos a e b e hipotenusa c.

Prova de

Até o momento, 367 provas deste teorema foram registradas na literatura científica. Provavelmente, o teorema de Pitágoras é o único teorema com um número tão impressionante de provas. Tal variedade só pode ser explicada pelo significado fundamental do teorema para a geometria.
Claro, conceitualmente, todos eles podem ser divididos em um pequeno número de classes. O mais famoso deles: provas pelo método de área, provas axiomáticas e exóticas (por exemplo, usando equações diferenciais).

Através de triângulos semelhantes

A seguinte prova da formulação algébrica é a mais simples das provas construídas diretamente dos axiomas. Em particular, não usa o conceito de área de uma figura.
Seja ABC um triângulo retângulo com ângulo reto C. Desenhe uma altura de C e denote sua base por H. O triângulo ACH é semelhante ao triângulo ABC em dois ângulos.
Da mesma forma, o triângulo CBH é semelhante ao ABC. Apresentando a notação

Nós temos

O que é equivalente

Somando, obtemos

ou

Provas de área

As seguintes provas, apesar de sua aparente simplicidade, não são tão simples assim. Todos eles usam as propriedades da área, cuja demonstração é mais complicada do que a demonstração do próprio teorema de Pitágoras.

Prova por Equivalência

1. Organize quatro triângulos retângulos iguais conforme mostrado na figura.
2. Um quadrilátero com lados c é um quadrado, pois a soma de dois ângulos agudos é 90° e o ângulo reto é 180°.
3. A área da figura inteira é igual, por um lado, à área de um quadrado com um lado (a + b), e por outro lado, a soma das áreas de quatro triângulos e o quadrado interno.



Q.E.D.

Evidência por Equivalência

Um exemplo de uma dessas provas é mostrado no desenho à direita, onde o quadrado construído sobre a hipotenusa é convertido por permutação em dois quadrados construídos sobre os catetos.

A prova de Euclides

A ideia da prova de Euclides é a seguinte: vamos tentar provar que metade da área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das metades das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos, e depois as áreas dos catetos os quadrados grandes e dois pequenos são iguais. Considere o desenho à esquerda. Construímos quadrados nos lados de um triângulo retângulo e desenhamos um raio s do vértice do ângulo reto C perpendicular à hipotenusa AB, ele corta o quadrado ABIK, construído na hipotenusa, em dois retângulos - BHJI e HAKJ , respectivamente. Acontece que as áreas desses retângulos são exatamente iguais às áreas dos quadrados construídos nas pernas correspondentes. Vamos tentar provar que a área do quadrado DECA é igual à área do retângulo AHJK Para fazer isso, usamos uma observação auxiliar: A área de um triângulo com a mesma altura e base que o dado retângulo é igual à metade da área do retângulo dado. Isso é consequência de definir a área de um triângulo como metade do produto da base pela altura. Desta observação segue-se que a área do triângulo ACK é igual à área do triângulo AHK (não mostrado), que, por sua vez, é igual à metade da área do retângulo AHJK. Vamos agora provar que a área do triângulo ACK também é igual a metade da área do quadrado DECA. A única coisa que precisa ser feita para isso é provar a igualdade dos triângulos ACK e BDA (já que a área do triângulo BDA é igual a metade da área do quadrado pela propriedade acima). Essa igualdade é óbvia, os triângulos são iguais em dois lados e o ângulo entre eles. Ou seja - AB = AK, AD = AC - a igualdade dos ângulos CAK e BAD é fácil de provar pelo método de movimento: vamos girar o triângulo CAK 90 ° no sentido anti-horário, então é óbvio que os lados correspondentes dos dois triângulos considerados coincidirá (devido ao fato de que o ângulo no vértice do quadrado é de 90°). O argumento sobre a igualdade das áreas do quadrado BCFG e do retângulo BHJI é completamente análogo. Assim, provamos que a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

Prova de Leonardo da Vinci

Os principais elementos da prova são a simetria e o movimento.

Considere o desenho, como pode ser visto pela simetria, o segmento CI corta o quadrado ABHJ em duas partes idênticas (já que os triângulos ABC e JHI são iguais na construção). Usando uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário, vemos a igualdade das figuras sombreadas CAJI e GDAB. Agora está claro que a área da figura sombreada por nós é igual à soma da metade das áreas dos quadrados construídos nas pernas e a área do triângulo original. Por outro lado, é igual à metade da área do quadrado construído sobre a hipotenusa, mais a área do triângulo original. O último passo da prova é deixado para o leitor.

O potencial de criatividade geralmente é atribuído às humanidades, deixando a análise científica natural, a abordagem prática e a linguagem seca de fórmulas e números. A matemática não pode ser classificada como uma disciplina de humanidades. Mas sem criatividade na "rainha de todas as ciências", você não irá longe - as pessoas sabem disso há muito tempo. Desde o tempo de Pitágoras, por exemplo.

Os livros didáticos, infelizmente, geralmente não explicam que em matemática é importante não apenas empinar teoremas, axiomas e fórmulas. É importante compreender e sentir seus princípios fundamentais. E, ao mesmo tempo, tente libertar sua mente de clichês e verdades elementares - somente nessas condições nascem todas as grandes descobertas.

Tais descobertas incluem aquela que hoje conhecemos como o teorema de Pitágoras. Com sua ajuda, tentaremos mostrar que a matemática não apenas pode, mas deve ser divertida. E que esta aventura é adequada não apenas para nerds de óculos grossos, mas para todos que são fortes de mente e fortes de espírito.

Da história do problema

Estritamente falando, embora o teorema seja chamado de "teorema de Pitágoras", o próprio Pitágoras não o descobriu. O triângulo retângulo e suas propriedades especiais foram estudados muito antes dele. Há dois pontos de vista polares sobre esta questão. De acordo com uma versão, Pitágoras foi o primeiro a encontrar uma prova completa do teorema. Segundo outro, a prova não é de autoria de Pitágoras.

Hoje você não pode mais verificar quem está certo e quem está errado. Sabe-se apenas que a prova de Pitágoras, se alguma vez existiu, não sobreviveu. No entanto, há sugestões de que a famosa prova dos Elementos de Euclides possa pertencer a Pitágoras, e Euclides apenas a registrou.

Também se sabe hoje que problemas sobre um triângulo retângulo são encontrados em fontes egípcias da época do faraó Amenemhet I, em tábuas de argila babilônicas do reinado do rei Hamurabi, no antigo tratado indiano Sulva Sutra e na antiga obra chinesa Zhou -bi suan jin.

Como você pode ver, o teorema de Pitágoras ocupa a mente dos matemáticos desde os tempos antigos. Aproximadamente 367 várias evidências que existem hoje servem como confirmação. Nenhum outro teorema pode competir com ele a esse respeito. Autores de evidências notáveis ​​incluem Leonardo da Vinci e o 20º Presidente dos Estados Unidos, James Garfield. Tudo isso fala da extrema importância desse teorema para a matemática: a maioria dos teoremas da geometria são derivados dele ou, de uma forma ou de outra, relacionados a ele.

Provas do Teorema de Pitágoras

Os livros escolares fornecem principalmente provas algébricas. Mas a essência do teorema está na geometria, então vamos primeiro considerar aquelas provas do famoso teorema que são baseadas nesta ciência.

Prova 1

Para a demonstração mais simples do teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, você precisa definir condições ideais: deixe o triângulo não apenas ser retângulo, mas também isósceles. Há razões para acreditar que era um triângulo que os matemáticos antigos originalmente consideraram.

Declaração "um quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados construídos sobre seus catetos" pode ser ilustrado com o seguinte desenho:

Observe o triângulo retângulo isósceles ABC: Na hipotenusa AC, você pode construir um quadrado composto por quatro triângulos iguais ao ABC original. E sobre os catetos AB e BC construídos sobre um quadrado, cada um contendo dois triângulos semelhantes.

Aliás, esse desenho serviu de base para inúmeras anedotas e caricaturas dedicadas ao teorema de Pitágoras. Talvez o mais famoso seja "As calças pitagóricas são iguais em todas as direções":

Prova 2

Este método combina álgebra e geometria e pode ser visto como uma variante da antiga prova indiana do matemático Bhaskari.

Construir um triângulo retângulo com lados a, b e c(Figura 1). Em seguida, construa dois quadrados com lados iguais à soma dos comprimentos das duas pernas - (a+b). Em cada um dos quadrados, faça construções, como nas figuras 2 e 3.

No primeiro quadrado, construa quatro dos mesmos triângulos da Figura 1. Como resultado, dois quadrados são obtidos: um com lado a, o segundo com lado b.

No segundo quadrado, quatro triângulos semelhantes construídos formam um quadrado com um lado igual à hipotenusa c.

A soma das áreas dos quadrados construídos na Fig. 2 é igual à área do quadrado que construímos com o lado c na Fig. 3. Isso pode ser facilmente verificado calculando as áreas dos quadrados na Fig. 2 de acordo com a fórmula. E a área do quadrado inscrito na Figura 3. subtraindo as áreas de quatro triângulos retângulos iguais inscritos no quadrado da área de um quadrado grande com um lado (a+b).

Colocando tudo isso para baixo, temos: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Expanda os colchetes, faça todos os cálculos algébricos necessários e obtenha isso a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Ao mesmo tempo, a área do inscrito na Fig.3. quadrado também pode ser calculado usando a fórmula tradicional S=c2. Aqueles. a2+b2=c2 Você provou o teorema de Pitágoras.

Prova 3

A mesma antiga prova indiana é descrita no século XII no tratado “A Coroa do Conhecimento” (“Siddhanta Shiromani”), e como argumento principal o autor usa um apelo dirigido aos talentos matemáticos e poderes de observação dos alunos e seguidores: “Olha!”.

Mas vamos analisar essa prova com mais detalhes:

Dentro do quadrado, construa quatro triângulos retângulos conforme indicado no desenho. O lado do quadrado grande, que também é a hipotenusa, é denotado Com. Vamos chamar as pernas do triângulo uma e b. De acordo com o desenho, o lado do quadrado interno é (a-b).

Use a fórmula da área quadrada S=c2 para calcular a área do quadrado externo. E, ao mesmo tempo, calcule o mesmo valor adicionando a área do quadrado interno e a área de quatro triângulos retângulos: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Você pode usar as duas opções para calcular a área de um quadrado para garantir que elas dêem o mesmo resultado. E isso lhe dá o direito de escrever isso c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Como resultado da solução, você obterá a fórmula do teorema de Pitágoras c2=a2+b2. O teorema foi provado.

Prova 4

Esta curiosa prova chinesa antiga é chamada de "Cadeira da Noiva" - por causa da figura semelhante a uma cadeira que resulta de todas as construções:

Ele usa o desenho que já vimos na Figura 3 na segunda prova. E o quadrado interno com lado c é construído da mesma maneira que na antiga demonstração indiana dada acima.

Se você cortar mentalmente dois triângulos retângulos verdes do desenho da Fig. 1, transferi-los para lados opostos do quadrado com lado c e anexar as hipotenusas às hipotenusas dos triângulos lilás, você obterá uma figura chamada "noiva cadeira” (Fig. 2). Para maior clareza, você pode fazer o mesmo com quadrados e triângulos de papel. Você verá que a "cadeira da noiva" é formada por dois quadrados: pequenos com um lado b e grande com um lado uma.

Essas construções permitiram que os antigos matemáticos chineses e nós que os seguimos chegássemos à conclusão de que c2=a2+b2.

Prova 5

Esta é outra maneira de encontrar uma solução para o teorema de Pitágoras com base na geometria. Chama-se Método Garfield.

Construir um triângulo retângulo abc. Precisamos provar que BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Para fazer isso, continue a perna CA e construir um segmento CD, que é igual à perna AB. Perpendicular Inferior DE ANÚNCIOS segmento de linha ED. Segmentos ED e CA são iguais. ligue os pontos E e NO, assim como E e A PARTIR DE e obter um desenho como a imagem abaixo:

Para provar a torre, recorremos novamente ao método que já testamos: encontramos a área da figura resultante de duas maneiras e igualamos as expressões entre si.

Encontrar a área de um polígono ABED pode ser feito somando as áreas dos três triângulos que o formam. E um deles URE, não é apenas retangular, mas também isósceles. Também não vamos esquecer que AB=CD, AC=ED e BC=CE- isso nos permitirá simplificar a gravação e não sobrecarregá-la. Então, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Ao mesmo tempo, é óbvio que ABEDé um trapézio. Portanto, calculamos sua área usando a fórmula: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Para nossos cálculos, é mais conveniente e claro representar o segmento DE ANÚNCIOS como a soma dos segmentos CA e CD.

Vamos escrever as duas formas de calcular a área de uma figura colocando um sinal de igual entre elas: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Usamos a igualdade de segmentos já conhecida por nós e descrita acima para simplificar o lado direito da notação: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. E agora abrimos os colchetes e transformamos a igualdade: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Tendo terminado todas as transformações, obtemos exatamente o que precisamos: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Provamos o teorema.

Claro, esta lista de evidências está longe de ser completa. O teorema de Pitágoras também pode ser provado usando vetores, números complexos, equações diferenciais, estereometria, etc. E até físicos: se, por exemplo, o líquido for derramado em volumes quadrados e triangulares semelhantes aos mostrados nos desenhos. Derramando líquido, é possível provar a igualdade de áreas e o próprio teorema como resultado.

Algumas palavras sobre trigêmeos pitagóricos

Esse tema é pouco ou pouco estudado no currículo escolar. Entretanto, é muito interessante e de grande importância na geometria. As triplas pitagóricas são usadas para resolver muitos problemas matemáticos. A ideia deles pode ser útil para você na educação superior.

Então, o que são trigêmeos pitagóricos? Os chamados números naturais, reunidos em três, cuja soma dos quadrados de dois é igual ao terceiro número ao quadrado.

Os triplos pitagóricos podem ser:

• primitivo (todos os três números são relativamente primos);
• não primitivo (se cada número de um triplo é multiplicado pelo mesmo número, você obtém um novo triplo que não é primitivo).

Mesmo antes de nossa era, os antigos egípcios eram fascinados pela mania dos números de triplos pitagóricos: nas tarefas eles consideravam um triângulo retângulo com lados de 3,4 e 5 unidades. A propósito, qualquer triângulo cujos lados são iguais aos números da tríplice pitagórica é, por padrão, retangular.

Exemplos de triplos pitagóricos: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20)), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) etc.

Aplicação prática do teorema

O teorema de Pitágoras encontra aplicação não apenas na matemática, mas também na arquitetura e construção, astronomia e até literatura.

Primeiro, sobre construção: o teorema de Pitágoras é amplamente utilizado nele em problemas de diferentes níveis de complexidade. Por exemplo, olhe para a janela românica:

Vamos denotar a largura da janela como b, então o raio do grande semicírculo pode ser denotado como R e expressar através b: R=b/2. O raio de semicírculos menores também pode ser expresso em termos de b: r=b/4. Neste problema, estamos interessados ​​no raio do círculo interno da janela (vamos chamá-lo de p).

O teorema de Pitágoras é útil para calcular R. Para fazer isso, usamos um triângulo retângulo, indicado por uma linha pontilhada na figura. A hipotenusa de um triângulo consiste em dois raios: b/4+p. Uma perna é um raio b/4, outro b/2-p. Usando o teorema de Pitágoras, escrevemos: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Em seguida, abrimos os colchetes e obtemos b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Vamos transformar essa expressão em pb/2=b 2 /4-pb. E então dividimos todos os termos em b, damos semelhantes para obter 3/2*p=b/4. E no final descobrimos que p=b/6- que é o que precisávamos.

Usando o teorema, você pode calcular o comprimento das vigas de um telhado de duas águas. Determine a altura necessária de uma torre móvel para que o sinal alcance um determinado assentamento. E até mesmo instalar uma árvore de Natal na praça da cidade. Como você pode ver, esse teorema não vive apenas nas páginas dos livros didáticos, mas muitas vezes é útil na vida real.

No que diz respeito à literatura, o teorema de Pitágoras inspirou escritores desde a antiguidade e continua a fazê-lo hoje. Por exemplo, o escritor alemão do século XIX Adelbert von Chamisso inspirou-se nela para escrever um soneto:

A luz da verdade não se dissipará tão cedo,
Mas, tendo brilhado, é improvável que se dissipe
E, como há milhares de anos,
Não causará dúvidas e disputas.

O mais sábio quando toca o olho
Luz da verdade, graças aos deuses;
E cem touros, esfaqueados, mentem -
O presente de retorno do sortudo Pitágoras.

Desde então, os touros têm rugido desesperadamente:
Para sempre despertou a tribo do touro
evento aqui mencionado.

Eles acham que está na hora
E novamente eles serão sacrificados
Algum grande teorema.

(traduzido por Victor Toporov)

E no século XX, o escritor soviético Yevgeny Veltistov em seu livro "As Aventuras da Eletrônica" dedicou um capítulo inteiro às provas do teorema de Pitágoras. E meio capítulo de uma história sobre um mundo bidimensional que poderia existir se o teorema de Pitágoras se tornasse a lei fundamental e até mesmo a religião de um único mundo. Seria muito mais fácil viver nele, mas também muito mais chato: por exemplo, ninguém lá entende o significado das palavras “redondo” e “fofo”.

E no livro “As Aventuras da Eletrônica”, o autor, pela boca da professora de matemática Taratara, diz: “O principal na matemática é o movimento do pensamento, as novas ideias”. É esse vôo criativo do pensamento que gera o teorema de Pitágoras - não é à toa que ele tem tantas provas diversas. Ajuda a ir além do habitual e olhar para as coisas familiares de uma nova maneira.

Conclusão

Este artigo foi criado para que você possa olhar além do currículo escolar em matemática e aprender não apenas aquelas provas do teorema de Pitágoras que são dadas nos livros didáticos "Geometria 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) e "Geometria 7 -11 ” (A.V. Pogorelov), mas também outras formas curiosas de provar o famoso teorema. E veja também exemplos de como o teorema de Pitágoras pode ser aplicado na vida cotidiana.

Em primeiro lugar, essas informações permitirão que você obtenha pontuações mais altas nas aulas de matemática - informações sobre o assunto de fontes adicionais são sempre muito apreciadas.

Em segundo lugar, queríamos ajudá-lo a ter uma ideia de como a matemática é interessante. Ser convencido por exemplos concretos de que há sempre um lugar para a criatividade. Esperamos que o teorema de Pitágoras e este artigo o inspirem a fazer suas próprias pesquisas e descobertas emocionantes em matemática e outras ciências.

Conte-nos nos comentários se você achou as evidências apresentadas no artigo interessantes. Você achou essas informações úteis em seus estudos? Deixe-nos saber o que você pensa sobre o teorema de Pitágoras e este artigo - ficaremos felizes em discutir tudo isso com você.

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Várias maneiras de provar o teorema de Pitágoras

aluno do 9º ano "A"

MOU escola secundária №8

Conselheiro científico:

professor de matemática,

MOU escola secundária №8

Arte. Novo Natal

Território de Krasnodar.

Arte. Novo Natal

ANOTAÇÃO.

O teorema de Pitágoras é legitimamente considerado o mais importante no curso da geometria e merece muita atenção. É a base para resolver muitos problemas geométricos, a base para estudar o curso teórico e prático da geometria no futuro. O teorema é cercado pelo mais rico material histórico relacionado à sua aparência e métodos de prova. O estudo da história do desenvolvimento da geometria instila o amor por este assunto, contribui para o desenvolvimento do interesse cognitivo, cultura geral e criatividade, e também desenvolve habilidades de pesquisa.

Como resultado da atividade de busca, o objetivo do trabalho foi alcançado, que é repor e generalizar o conhecimento sobre a prova do teorema de Pitágoras. Gerenciado para encontrar e revisar várias maneiras evidenciar e aprofundar o conhecimento sobre o tema, indo além das páginas de um livro didático escolar.

O material coletado convence ainda mais que o teorema de Pitágoras é o grande teorema da geometria e de grande importância teórica e prática.

Introdução. Antecedentes históricos 5 Corpo principal 8

3. Conclusão 19

4. Literatura usada 20
1. INTRODUÇÃO. REFERÊNCIA HISTÓRICA.

A essência da verdade é que é para nós para sempre,

Quando pelo menos uma vez em seu insight vemos a luz,

E o teorema de Pitágoras depois de tantos anos

Para nós, como para ele, é indiscutível, impecável.

Para comemorar, os deuses receberam um voto de Pitágoras:

Por tocar a sabedoria infinita,

Ele abateu cem touros, graças aos eternos;

Ele ofereceu orações e louvores à vítima depois.

Desde então, os touros, quando cheiram, empurram,

O que leva as pessoas à nova verdade novamente,

Eles rugem furiosamente, então não há urina para ouvir,

Tal Pitágoras instilou terror neles para sempre.

Touros, impotentes para resistir à nova verdade,

O que resta? - Basta fechar os olhos, rugir, tremer.

Não se sabe como Pitágoras provou seu teorema. O certo é que ele a descobriu sob forte influência da ciência egípcia. Um caso especial do teorema de Pitágoras - as propriedades de um triângulo com lados 3, 4 e 5 - era conhecido pelos construtores das pirâmides muito antes do nascimento de Pitágoras, enquanto ele próprio estudava com sacerdotes egípcios por mais de 20 anos. Há uma lenda que diz que, tendo provado seu famoso teorema, Pitágoras sacrificou um touro aos deuses e, segundo outras fontes, até 100 touros. Isso, no entanto, contradiz as informações sobre as visões morais e religiosas de Pitágoras. Em fontes literárias, pode-se ler que ele "proibiu até matar animais, e mais ainda alimentá-los, porque os animais têm alma, como nós". Pitágoras comia apenas mel, pão, legumes e ocasionalmente peixe. Em conexão com tudo isso, a seguinte entrada pode ser considerada mais plausível: "... e mesmo quando descobriu que em um triângulo retângulo a hipotenusa corresponde às pernas, ele sacrificou um touro feito de massa de trigo".

A popularidade do teorema de Pitágoras é tão grande que suas provas são encontradas até na ficção, por exemplo, na história do famoso escritor inglês Huxley "Jovem Arquimedes". A mesma prova, mas para o caso particular de um triângulo retângulo isósceles, é dada no diálogo Mênon de Platão.

Casa de conto de fadas.

“Longe, muito longe, onde nem os aviões voam, é o país da Geometria. Neste país incomum havia uma cidade incrível - a cidade de Teorem. Um dia, uma linda garota chamada Hipotenusa veio a esta cidade. Ela tentou conseguir um quarto, mas onde quer que ela se inscreveu, ela foi recusada em todos os lugares. Por fim, ela se aproximou da casa frágil e bateu. Ela foi aberta por um homem que se autodenominava Ângulo Reto, e convidou a Hipotenusa para morar com ele. A hipotenusa permaneceu na casa onde moravam Ângulo Direito e seus dois filhos pequenos, chamados Katet. Desde então, a vida na Casa do Ângulo Direito mudou de uma nova maneira. A hipotenusa plantou flores na janela e espalhou rosas vermelhas no jardim da frente. A casa tomou a forma de um triângulo retângulo. Ambas as pernas gostaram muito da hipotenusa e pediram que ela ficasse para sempre em sua casa. À noite, esta família amigável se reúne à mesa da família. Às vezes, Right Angle brinca de esconde-esconde com seus filhos. Na maioria das vezes, ele precisa procurar, e a hipotenusa se esconde com tanta habilidade que pode ser muito difícil encontrá-la. Certa vez, durante um jogo, Right Angle notou uma propriedade interessante: se ele conseguir encontrar as pernas, encontrar a hipotenusa não é difícil. Então Right Angle usa esse padrão, devo dizer, com muito sucesso. O teorema de Pitágoras é baseado na propriedade deste triângulo retângulo.

(Do livro de A. Okunev “Obrigado pela lição, crianças”).

Uma formulação lúdica do teorema:

Se nos for dado um triângulo

E, além disso, com um ângulo reto,

Esse é o quadrado da hipotenusa

Podemos sempre encontrar facilmente:

Construímos as pernas em um quadrado,

Encontramos a soma dos graus -

E de uma forma tão simples

Chegaremos ao resultado.

Estudando álgebra e os primórdios da análise e da geometria no 10º ano, estava convencido de que além do método de provar o teorema de Pitágoras considerado no 8º ano, existem outras maneiras de prová-lo. Eu os apresento para sua consideração.
2. PARTE PRINCIPAL.

Teorema. Quadrado em um triângulo retângulo

A hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

1 VIA.

Usando as propriedades das áreas dos polígonos, estabelecemos uma relação notável entre a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo.

Prova.

um, em e hipotenusa Com(Fig. 1, a).

Vamos provar isso c²=a²+b².

Prova.

Completamos o triângulo para um quadrado com um lado a + b como mostrado na fig. 1b. A área S deste quadrado é (a + b)². Por outro lado, este quadrado é composto por quatro triângulos retângulos iguais, cuja área é ½ av, e um quadrado de lado Com, então S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

Nesse caminho,

(a + b)² = 2 av + s²,

c²=a²+b².

O teorema foi provado.
2 MANEIRAS.

Depois de estudar o tópico “Triângulos Semelhantes”, descobri que você pode aplicar a semelhança de triângulos à prova do teorema de Pitágoras. Ou seja, usei a afirmação de que o cateto de um triângulo retângulo é a média proporcional à hipotenusa e ao segmento da hipotenusa entre o cateto e a altura traçada a partir do vértice do ângulo reto.

Considere um triângulo retângulo com um ângulo reto C, CD é a altura (Fig. 2). Vamos provar isso CA² + SO² = AB² .

Prova.

Com base na afirmação sobre o cateto de um triângulo retângulo:

AC = , CB = .

Elevamos ao quadrado e somamos as igualdades resultantes:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), onde AD + DB = AB, então

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

A prova está completa.
3 VIAS.

A definição do cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo pode ser aplicada à prova do teorema de Pitágoras. Considere a Fig. 3.

Prova:

Seja ABC um triângulo retângulo dado com um ângulo reto C. Desenhe uma altura CD a partir do vértice do ângulo reto C.

Pela definição do cosseno de um ângulo:

cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Portanto AB * AD = AC²

Da mesma maneira,

cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.

Daí AB * BD \u003d BC².

Somando as igualdades resultantes termo a termo e notando que AD + D² = AB, obtemos:

CA² + sol² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²

A prova está completa.
4 VIAS.

Tendo estudado o tópico "Relação entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo", acho que o teorema de Pitágoras pode ser provado de outra maneira.

Considere um triângulo retângulo com pernas um, em e hipotenusa Com. (Fig. 4).

Vamos provar isso c²=a²+b².

Prova.

pecado B= a/c ; porque B= Como , então, elevando ao quadrado as igualdades resultantes, temos:

pecado² B= in²/s²; cos² NO\u003d a² / s².

Somando-os, obtemos:

pecado² NO+ cos² B= v²/s² + a²/s², onde sin² NO+ cos² B=1,

1 \u003d (v² + a²) / s², portanto,

c² = a² + b².

A prova está completa.

5 CAMINHOS.

Esta prova baseia-se em cortar os quadrados construídos sobre os catetos (Fig. 5) e empilhar as partes resultantes no quadrado construído sobre a hipotenusa.

6 CAMINHOS.

Para prova no cateter Sol prédio BCD abc(Fig. 6). Sabemos que as áreas de figuras semelhantes estão relacionadas como os quadrados de suas dimensões lineares semelhantes:

Subtraindo a segunda da primeira igualdade, obtemos

c2 = a2 + b2.

A prova está completa.

7 CAMINHOS.

Dado(Fig. 7):

ABDÔMEN,= 90° , Sol= a, AC=b, AB = c.

Provar:c2 = a2 +b2.

Prova.

Deixe a perna b uma. Vamos continuar o segmento SO por ponto NO e construir um triângulo bmd para que os pontos M e MAS deitar de um lado de uma linha reta CD e além, B.D.=b, BDM= 90°, Mestre= a, então bmd= abc em dois lados e o ângulo entre eles. Pontos A e M conectar por segmentos SOU. Nós temos MD CD e CA CD, significa em linha reta CA paralela a uma reta MD. Porque MD< АС, então direto CD e SOU não são paralelos. Portanto, AMDC- trapézio retangular.

Nos triângulos retângulos ABC e bmd 1 + 2 = 90° e 3 + 4 = 90°, mas como = =, então 3 + 2 = 90°; então AVM=180° - 90° = 90°. Acontece que o trapézio AMDC dividido em três triângulos retângulos não sobrepostos, então pelos axiomas da área

(a+b)(a+b)

Dividindo todos os termos da desigualdade por , obtemos

umab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

A prova está completa.

8 CAMINHOS.

Este método é baseado na hipotenusa e catetos de um triângulo retângulo ABC. Ele constrói os quadrados correspondentes e prova que o quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados construídos sobre os catetos (Fig. 8).

Prova.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ abc= FBA+ abc, significa, FBC= DBA.

Nesse caminho, FBC=ABD(em dois lados e o ângulo entre eles).

2) , onde AL DE, uma vez que BD é uma base comum, DL- altura Geral.

3) , como FB é uma base, AB- altura total.

4)

5) Da mesma forma, pode-se provar que

6) Somando termo a termo, obtemos:

, BC2 = AB2 + AC2 . A prova está completa.

9 CAMINHOS.

Prova.

1) Deixe ABDE- um quadrado (Fig. 9), cujo lado é igual à hipotenusa de um triângulo retângulo ABC (AB= c, BC = a, AC =b).

2) Deixe NS BC e DK = sol, uma vez que 1 + 2 = 90° (como os ângulos agudos de um triângulo retângulo), 3 + 2 = 90° (como o ângulo de um quadrado), AB= BD(lados do quadrado).

Significa, abc= BDK(por hipotenusa e ângulo agudo).

3) Deixe EL DC, AM EL. Pode-se provar facilmente que ABC = BDK = DEL = EAM (com pernas uma e b). Então KS= CM= ML= LK= uma -b.

4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),Com2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

A prova está completa.

10 CAMINHOS.

A prova pode ser feita em uma figura, chamada jocosamente de "calças pitagóricas" (Fig. 10). Sua ideia é transformar os quadrados construídos sobre os catetos em triângulos iguais, que juntos formam o quadrado da hipotenusa.

abc shift, conforme indicado pela seta, e assume a posição KDN. O resto da figura AKDCB igual a area de um quadrado AKDC-é um paralelogramo AKNB.

Fez um modelo de paralelogramo AKNB. Deslocamos o paralelogramo conforme esboçado no conteúdo do trabalho. Para mostrar a transformação de um paralelogramo em um triângulo igual, na frente dos alunos, cortamos um triângulo no modelo e o deslocamos para baixo. Então a área do quadrado AKDCé igual à área do retângulo. Da mesma forma, convertemos a área de um quadrado para a área de um retângulo.

Vamos fazer uma transformação para um quadrado construído em uma perna uma(Fig. 11, a):

a) o quadrado é transformado em um paralelogramo de igual tamanho (Fig. 11.6):

b) o paralelogramo gira um quarto de volta (Fig. 12):

c) o paralelogramo é transformado em um retângulo de tamanho igual (Fig. 13): 11 CAMINHOS.

Prova:

PCL- reto (Fig. 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= CVMR =CBNQ= b 2;

AKGB= AKLO +LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

Prova sobre .

12 VIAS.

Arroz. 15 ilustra outra prova original do teorema de Pitágoras.

Aqui: triângulo ABC com ângulo reto C; segmento de linha namorado perpendicular SO e igual a ele, o segmento SER perpendicular AB e igual a ele, o segmento DE ANÚNCIOS perpendicular CA e igual a ele; pontos F, C,D pertencem a uma linha reta; quadriláteros ADFB e ACBE são iguais porque ABF = BCE; triângulos ADF e ÁS são iguais; subtraímos de ambos os quadriláteros iguais um triângulo comum para eles abc, Nós temos

, c2 = a2 + b2.

A prova está completa.

13 CAMINHOS.

A área deste triângulo retângulo, por um lado, é igual a , com outro, ,

3. CONCLUSÃO

Como resultado da atividade de busca, o objetivo do trabalho foi alcançado, que é repor e generalizar o conhecimento sobre a prova do teorema de Pitágoras. Foi possível encontrar e ponderar várias formas de o provar e aprofundar o conhecimento sobre o tema, indo além das páginas de um livro escolar.

O material que coletei é ainda mais convincente de que o teorema de Pitágoras é o grande teorema da geometria e é de grande importância teórica e prática. Para concluir, gostaria de dizer: a razão da popularidade do teorema de Pitágoras do trino é beleza, simplicidade e significado!

4. LITERATURA UTILIZADA.

1. Álgebra divertida. . Moscou "Nauka", 1978.

2. Suplemento pedagógico e metodológico semanal do jornal "Primeiro de Setembro", 24/2001.

3. Geometria 7-9. e etc

4. Geometria 7-9. e etc

O teorema de Pitágoras é um teorema fundamental da geometria euclidiana, que postula a razão entre os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo. Este é talvez o teorema mais popular do mundo, conhecido por todos na escola.

História do teorema

De fato, a teoria da razão dos lados de um triângulo retângulo era conhecida muito antes de Pitágoras da ilha de Samos. Assim, problemas sobre a proporção de lados são encontrados em textos antigos do período do reinado do rei babilônico Hamurabi, ou seja, 1500 anos antes do nascimento do matemático samiano. Notas sobre os lados do triângulo são registradas não apenas na Babilônia, mas também no Antigo Egito e na China. Uma das razões inteiras mais famosas dos catetos e da hipotenusa se parece com 3, 4 e 5. Esses números foram usados ​​por agrimensores e arquitetos antigos para construir ângulos retos.

Assim, Pitágoras não inventou o teorema sobre a razão entre catetos e hipotenusa. Ele foi o primeiro na história a provar isso. No entanto, há dúvidas sobre isso, pois a prova do matemático samiano, se foi registrada, está perdida há séculos. Há uma opinião de que a prova do teorema dada nos Elementos de Euclides pertence precisamente a Pitágoras. No entanto, os historiadores da matemática têm sérias dúvidas sobre isso.

Pitágoras foi o primeiro, mas depois dele o teorema dos lados de um triângulo retângulo foi provado cerca de 400 vezes, usando uma variedade de métodos: da geometria clássica ao cálculo diferencial. O teorema de Pitágoras sempre ocupou mentes curiosas, portanto, entre os autores das provas, pode-se lembrar o presidente dos EUA, James Garfield.

Prova de

Pelo menos quatrocentas provas do teorema de Pitágoras foram registradas na literatura matemática. Um número tão incompreensível é explicado pelo significado fundamental do teorema para a ciência e a natureza elementar do resultado. Basicamente, o teorema de Pitágoras é provado por métodos geométricos, sendo os mais populares o método das áreas e o método das semelhanças.

O método mais simples de provar um teorema, que não requer construções geométricas obrigatórias, é o método da área. Pitágoras afirmou que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos:

Vamos tentar provar esta afirmação ousada. Sabemos que a área de qualquer figura é determinada pela quadratura de um segmento de linha. O segmento de linha pode ser qualquer coisa, mas na maioria das vezes é o lado da forma ou seu raio. Dependendo da escolha do segmento e do tipo de figura geométrica, o quadrado terá diferentes coeficientes:

• unidade no caso de um quadrado - S \u003d a 2;
• aproximadamente 0,43 no caso de um triângulo equilátero - S = (sqrt(3)/4)a 2 ;
• Pi no caso de um círculo - S \u003d pi × R 2.

Assim, podemos expressar a área de qualquer triângulo como S = F × a 2 , onde F é algum coeficiente.

Um triângulo retângulo é uma figura incrível que pode ser facilmente dividida em dois triângulos retângulos semelhantes simplesmente soltando uma perpendicular de qualquer vértice. Essa divisão transforma um triângulo retângulo na soma de dois triângulos retângulos menores. Como os triângulos são semelhantes, suas áreas são calculadas usando a mesma fórmula, que se parece com isso:

S = F × hipotenusa 2

Como resultado da divisão de um grande triângulo com lados a, b e c (hipotenusa), três triângulos foram obtidos e, para figuras menores, os lados do triângulo original a e b acabaram sendo hipotenusas. Assim, as áreas de triângulos semelhantes são calculadas como:

• S1 = F × c 2 é o triângulo original;
• S2 = F × a 2 é o primeiro triângulo semelhante;
• S3 = F × b 2 é o segundo triângulo semelhante.

Obviamente, a área de um grande triângulo é igual à soma das áreas dos semelhantes:

F × c 2 = F × a2 + F × b 2

O fator F é fácil de reduzir. Como resultado, obtemos:

c 2 \u003d a 2 + b 2,

Q.E.D.

trigêmeos pitagóricos

A proporção popular de pernas e hipotenusas como 3, 4 e 5 já foi mencionada acima. As triplas pitagóricas são um conjunto de três números relativamente primos que satisfazem a condição a 2 + b 2 \u003d c 2. Há um número infinito de tais combinações, e a primeira delas foi usada na antiguidade para construir ângulos retos. Amarrando um certo número de nós em uma corda em intervalos regulares e dobrando-a na forma de um triângulo, os antigos cientistas receberam um ângulo reto. Para fazer isso, em cada lado do triângulo foi necessário dar nós, em uma quantidade correspondente aos trigêmeos pitagóricos:

• 3, 4 e 5;
• 5, 12 e 13;
• 7, 24 e 25;
• 8, 15 e 17.

Além disso, qualquer tripla pitagórica pode ser aumentada por um número inteiro de vezes e obter uma relação proporcional correspondente à condição do teorema de Pitágoras. Por exemplo, do triplo 5, 12, 13, você pode obter os valores dos lados 10, 24, 26 simplesmente multiplicando por 2. Hoje, os triplos pitagóricos são usados ​​para resolver rapidamente problemas geométricos.

Aplicação do teorema de Pitágoras

O teorema do matemático Samian é usado não apenas na geometria escolar. O teorema de Pitágoras encontra aplicação na arquitetura, astronomia, física, literatura, tecnologia da informação e até mesmo na avaliação da eficácia das redes sociais. O teorema também se aplica na vida real.

seleção de pizza

Nas pizzarias, os clientes muitas vezes se deparam com a pergunta: devo levar uma pizza grande ou duas menores? Digamos que você possa comprar uma pizza com diâmetro de 50 cm ou duas pizzas menores com diâmetro de 30 cm. À primeira vista, duas pizzas menores são maiores e mais lucrativas, mas não foi o caso. Como comparar rapidamente a área das pizzas que você gosta?

Recordamos o teorema do matemático samiano e os triplos pitagóricos. A área de um círculo é o quadrado do diâmetro com um fator F = pi/4. E o primeiro triplo pitagórico é 3, 4 e 5, que podemos facilmente transformar em um triplo 30, 40, 50. Portanto, 50 2 = 30 2 + 40 2. Obviamente, a área de uma pizza com diâmetro de 50 cm será maior que a soma de pizzas com diâmetro de 30 cm. Parece que o teorema é aplicável apenas em geometria e apenas para triângulos, mas este exemplo mostra que a relação c 2 = a 2 + b 2 também pode ser usada para comparar outras figuras e suas características.

Nossa calculadora online permite calcular qualquer valor que satisfaça a equação fundamental da soma dos quadrados. Para calcular, basta inserir 2 quaisquer valores, após os quais o programa calculará o coeficiente ausente. A calculadora opera não apenas com números inteiros, mas também com valores fracionários, portanto, é permitido usar qualquer número para cálculos, e não apenas triplos pitagóricos.

Conclusão

O teorema de Pitágoras é uma coisa fundamental que é amplamente utilizada em muitas aplicações científicas. Use nossa calculadora online para calcular a magnitude dos valores que estão relacionados pela expressão c 2 = a 2 + b 2 .

O teorema de Pitágoras é a afirmação mais importante da geometria. O teorema é formulado da seguinte forma: a área de um quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre seus catetos.

Normalmente a descoberta desta afirmação é atribuída ao antigo filósofo e matemático grego Pitágoras (século VI aC). Mas um estudo das tabuinhas cuneiformes babilônicas e antigos manuscritos chineses (cópias de manuscritos ainda mais antigos) mostrou que essa afirmação era conhecida muito antes de Pitágoras, talvez um milênio antes dele. O mérito de Pitágoras foi ter descoberto a prova desse teorema.

Provavelmente, o fato declarado no teorema de Pitágoras foi estabelecido pela primeira vez para triângulos retângulos isósceles. Basta olhar para o mosaico de triângulos pretos e claros mostrados na fig. 1 para verificar a validade do teorema do triângulo: um quadrado construído sobre a hipotenusa contém 4 triângulos, e um quadrado contendo 2 triângulos é construído em cada cateto. Para provar o caso geral na Índia Antiga, eles tinham dois métodos: quatro triângulos retângulos com pernas de comprimentos e eram representados em um quadrado com um lado (Fig. 2, a e 2, b), após o que eles escreveram uma palavra "Olhar!". De fato, olhando para essas figuras, vemos que à esquerda está uma figura livre de triângulos, composta por dois quadrados com lados e, respectivamente, sua área é igual a, e à direita - um quadrado com um lado - sua área é igual. Portanto, , que é o enunciado do teorema de Pitágoras.

No entanto, por dois milênios, não foi essa prova visual que foi usada, mas uma prova mais complexa inventada por Euclides, que é colocada em seu famoso livro "Inícios" (ver Euclides e seus "Inícios"), Euclides baixou a altura de o vértice do ângulo reto à hipotenusa e provou que sua continuação divide o quadrado construído sobre a hipotenusa em dois retângulos, cujas áreas são iguais às áreas dos quadrados correspondentes construídos sobre os catetos (Fig. 3). O desenho usado na prova deste teorema é chamado jocosamente de "calças pitagóricas". Por muito tempo ele foi considerado um dos símbolos da ciência matemática.

Hoje, várias dezenas de provas diferentes do teorema de Pitágoras são conhecidas. Alguns deles se baseiam em uma partição de quadrados, em que o quadrado construído sobre a hipotenusa consiste em partes incluídas nas partições de quadrados construídas sobre os catetos; outros - no complemento de números iguais; o terceiro - no fato de que a altura, abaixada do vértice do ângulo reto à hipotenusa, divide o triângulo retângulo em dois triângulos semelhantes a ele.

O teorema de Pitágoras está subjacente à maioria dos cálculos geométricos. Mesmo na antiga Babilônia, era usado para calcular o comprimento da altura de um triângulo isósceles pelos comprimentos da base e do lado, a seta do segmento pelo diâmetro do círculo e o comprimento da corda, e estabelecer a relação entre os elementos de alguns polígonos regulares. Com a ajuda do teorema de Pitágoras, sua generalização é provada, o que permite calcular o comprimento do lado oposto a um ângulo agudo ou obtuso:

Desta generalização segue-se que a presença de um ângulo reto em não é apenas suficiente, mas também uma condição necessária para o cumprimento da igualdade. A fórmula (1) implica a relação entre os comprimentos das diagonais e os lados de um paralelogramo, com o qual é fácil encontrar o comprimento da mediana de um triângulo a partir dos comprimentos de seus lados.

Com base no teorema de Pitágoras, também é derivada uma fórmula que expressa a área de qualquer triângulo em termos dos comprimentos de seus lados (veja a fórmula de Heron). É claro que o teorema de Pitágoras também foi usado para resolver vários problemas práticos.

Em vez de quadrados nos lados de um triângulo retângulo, você pode construir quaisquer formas semelhantes entre si (triângulos equiláteros, semicírculos, etc.). Nesse caso, a área da figura construída sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas das figuras construídas sobre os catetos. Outra generalização está relacionada com a transição do plano para o espaço. É formulado da seguinte forma: o quadrado do comprimento da diagonal de um paralelepípedo retangular é igual à soma dos quadrados de suas dimensões (comprimento, largura e altura). Um teorema semelhante também é verdadeiro em casos multidimensionais e até mesmo de dimensão infinita.

O teorema de Pitágoras existe apenas na geometria euclidiana. Não ocorre nem na geometria de Lobachevsky nem em outras geometrias não-euclidianas. Também não há análogo do teorema de Pitágoras na esfera. Dois meridianos formando um ângulo de 90° e o equador limitam um triângulo esférico equilátero na esfera, todos os três são ângulos retos. Para ele, não como no avião.

Usando o teorema de Pitágoras, a distância entre os pontos e o plano coordenado é calculada pela fórmula

.

Depois que o teorema de Pitágoras foi descoberto, surgiu a questão de como encontrar todos os triplos de números naturais que podem ser lados de triângulos retângulos (veja o grande teorema de Fermat). Eles foram descobertos pelos pitagóricos, mas alguns métodos gerais para encontrar tais triplos de números eram conhecidos até mesmo pelos babilônios. Um dos comprimidos cuneiformes contém 15 trigêmeos. Entre eles há triplos, consistindo em números tão grandes que não há como encontrá-los por seleção.

INFERNOS DE HIPÓCRATE

Buracos de Hipócrates são figuras delimitadas pelos arcos de dois círculos e, além disso, tais que, usando os raios e o comprimento da corda comum desses círculos, usando um compasso e uma régua, você pode construir quadrados de tamanho igual a eles.

Da generalização do teorema de Pitágoras para semicírculos, segue-se que a soma das áreas dos buracos rosa mostrados na figura à esquerda é igual à área do triângulo azul. Portanto, se pegarmos um triângulo retângulo isósceles, obteremos dois buracos, cuja área de cada um deles será igual à metade da área do triângulo. Tentando resolver o problema da quadratura de um círculo (ver Problemas clássicos da antiguidade), o antigo matemático grego Hipócrates (século V aC) encontrou vários outros buracos, cujas áreas são expressas em termos de áreas de figuras retilíneas.

Uma lista completa de buracos hipomarginais foi obtida apenas nos séculos XIX e XX. através do uso de métodos da teoria de Galois.