Métodos algébricos de solução. Generalização da experiência

Com base na semelhança no significado matemático e na intercambialidade de diferentes métodos de solução, todos os métodos aritméticos podem ser combinados nos seguintes grupos:

1) o método de redução a uma unidade, redução a uma medida comum, redução inversa a uma unidade, o método das relações;
2) uma forma de resolver problemas do “fim”;
3) um método de eliminação de incógnitas (substituir uma incógnita por outra, comparar incógnitas, comparar dados, comparar duas condições por subtração, combinar duas condições em uma); maneira de adivinhar;
4) divisão proporcional, semelhança ou achado de partes;
5) um método para transformar um problema em outro (decompondo um problema complexo em problemas simples e preparatórios; trazendo as incógnitas para tais valores para os quais sua razão se torna conhecida; o método de determinar um número arbitrário para uma das quantidades desconhecidas) .

Além desses métodos, é aconselhável considerar o método da média aritmética, o método do excedente, o método de permutar o conhecido e o desconhecido, o método das regras "falsas".

Como geralmente é impossível determinar antecipadamente qual dos métodos é nacional, para prever qual deles levará à solução mais simples e compreensível para o aluno, os alunos devem ser apresentados a diferentes métodos e ter a oportunidade de escolher qual deles usar ao resolver um problema específico.

Método de exclusão desconhecido

Este método é usado quando há várias incógnitas no problema. Tal problema pode ser resolvido usando um dos cinco métodos: 1) substituir uma incógnita por outra; 2) comparação de incógnitas; 3) comparação de duas condições por subtração; 4) comparação de dados; 5) combinando várias condições em uma.

Como resultado da aplicação de um dos métodos acima, em vez de várias incógnitas, resta uma que pode ser encontrada. Tendo calculado, use os dados na condição de dependência para encontrar outras incógnitas.

Vamos dar uma olhada em alguns dos métodos.

1. Substituindo um desconhecido por outro

O nome da técnica revela sua ideia: com base nas dependências (múltiplas ou diferenças), que são dadas de acordo com a condição do problema, é necessário expressar todas as incógnitas por meio de uma delas.

Tarefa. Sergey e Andrey têm 126 selos no total. Sergey tem 14 marcos a mais que Andrey. Quantos selos cada menino tinha?

Breve declaração da condição:

Sergey -- ? selos, 14 selos mais

Andrei-? selos

Total -- 126 selos

Solução 1

(substituindo uma incógnita maior por uma menor)
1) Deixe Sergey ter tantos selos quanto Andrey. Então o número total de selos seria 126 -- 14 = 112 (marcas).
2) Como os meninos agora têm o mesmo número de selos, descobriremos quantos selos Andrey tinha inicialmente: 112: 2 = 56 (marcas).
3) Considerando que Sergey tem 14 pontos a mais que Andrey, temos: 56 + 14 = 70 (pontos).

Solução 2

(substituindo a menor incógnita por uma maior)
1) Deixe Andrei ter o mesmo número de selos que Sergei. Então o número total de selos seria 126 + 14 = 140 (selos).
2) Como os meninos agora têm o mesmo número de selos, descobriremos quantos selos Sergey tinha inicialmente: 140: 2 = 70 (marcas).
3) Considerando que Andrei teve 14 pontos a menos que Sergei, temos: 70 - 14 = 56 (pontos).

Resposta: Sergei teve 70 pontos e Andrey teve 56 pontos.

Para a melhor assimilação pelos alunos do método de substituição de uma incógnita menor por uma maior, antes de considerá-la, é necessário esclarecer com os alunos o seguinte fato: se o número A é maior que o número B por unidades C, então em Para comparar os números A e B é necessário:

a) subtrair o número C do número A (então ambos os números são iguais ao número B);
b) some o número C ao número B (então ambos os números são iguais ao número A).

A capacidade dos alunos de substituir uma incógnita maior por uma menor, e vice-versa, contribui ainda mais para o desenvolvimento da capacidade de escolher a incógnita e expressar outras quantidades através dela na elaboração de uma equação.

2. Comparação de incógnitas

Tarefa. Havia 188 livros em quatro prateleiras. Na segunda prateleira havia 16 livros a menos que na primeira, na terceira - 8 a mais que na segunda, e na quarta - 12 a menos que na terceira prateleira. Quantos livros há em cada estante?

Análise de tarefas

Para um melhor entendimento das dependências entre quatro quantidades desconhecidas (o número de livros em cada prateleira), usamos o esquema:

EU _________________________________

II_____________________

III______________________________

4_______________________ _ _ _ _ _

Comparando os segmentos que representam esquematicamente o número de livros em cada prateleira, chegamos às seguintes conclusões: há mais 16 livros na primeira prateleira do que na segunda; no terceiro, 8 a mais do que no segundo; na quarta - 12 - 8 = 4 (livros) a menos que na segunda. Portanto, o problema pode ser resolvido comparando o número de livros em cada prateleira. Para fazer isso, retiraremos 16 livros da primeira prateleira, 8 livros da terceira e colocaremos 4 livros na quarta prateleira. Então, em todas as prateleiras, haverá o mesmo número de livros, ou seja, como na segunda estava no início.

1) Quantos livros estão em todas as estantes após as operações descritas na análise da tarefa?
188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (livros)
2) Quantos livros estavam na segunda prateleira?
168:4 = 42 (livros)
3) Quantos livros estavam na primeira prateleira?
42 + 16 = 58 (livros)
4) Quantos livros estavam na terceira prateleira?
42 + 8 = 50 (livros)
5) Quantos livros havia na quarta prateleira?
50 -- 12 = 38 (livros)

Resposta: Havia 58, 42, 50 e 38 livros em cada uma das quatro prateleiras.

Comente. Você pode oferecer aos alunos que resolvam esse problema de outras maneiras, se compararmos o número desconhecido de livros que estavam na primeira, ou na segunda, ou na quarta prateleira.

3. Comparação de duas condições por subtração

O gráfico do problema que é resolvido por essa técnica geralmente inclui duas quantidades proporcionais (a quantidade de mercadorias e seu custo, o número de trabalhadores e o trabalho que realizaram etc.). A condição dá dois valores de uma quantidade e a diferença de dois valores numéricos de outra quantidade proporcional a eles.

Tarefa. Por 4 kg de laranjas e 5 kg de bananas pagaram 620 rublos, e na próxima vez pagaram 500 rublos por 4 kg de laranjas e 3 kg de bananas compradas pelos mesmos preços. Quanto custa 1kg de laranja e 1kg de banana?

Breve declaração da condição:

aplicativo de 4kg. e proibição de 5kg. - 620 rublos,
aplicativo de 4kg. e proibição de 3kg. - 500 rublos.

1) Compare o custo de duas compras. Tanto na primeira quanto na segunda, compraram a mesma quantidade de laranjas pelo mesmo preço. A primeira vez eles pagaram mais porque compraram mais bananas. Vamos descobrir quantos quilos de bananas foram comprados mais pela primeira vez: 5 - 3 = 2 (kg).
2) Vamos descobrir quanto eles pagaram a mais na primeira vez do que na segunda (ou seja, descobrimos quanto custam 2 kg de bananas): 620 - 500 = 120 (rublos).
3) Encontre o preço de 1 kg de bananas: 120: 2 = 60 (rublos).
4) Sabendo o custo da primeira e da segunda compra, podemos encontrar o preço de 1 kg de laranja. Para fazer isso, primeiro encontramos o custo das bananas compradas, depois o custo das laranjas e depois o preço de 1 kg. Temos: (620 - 60 * 5): 4 \u003d 80 (rublos).

Resposta: o preço de 1 kg de laranjas é de 80 rublos e o preço de 1 kg de bananas é de 60 rublos.

4. Comparação de dados

O uso desta técnica permite comparar dados e aplicar o método de subtração. Você pode comparar valores de dados:

1) usando a multiplicação (comparando-os com o mínimo múltiplo comum);
2) usando divisão (comparando-os com o máximo divisor comum).

Vamos mostrar isso com um exemplo.

Tarefa. Por 4 kg de laranjas e 5 kg de bananas pagaram 620 rublos, e na próxima vez pagaram 660 rublos por 6 kg de laranjas e 3 kg de bananas compradas pelos mesmos preços. Quanto custa 1kg de laranja e 1kg de banana?

Breve declaração da condição:

aplicativo de 4kg. e proibição de 5kg. - 620 rublos,
aplicativo de 6kg. e proibição de 3kg. - 660 rublos.

Vamos igualar o número de laranjas e bananas comparando-os com o mínimo múltiplo comum: LCM(4;6) = 12.

Solução 1.

1) Vamos aumentar o número de frutas compradas e seu custo no primeiro caso em 3 vezes e no segundo - em 2 vezes. Obtemos a seguinte abreviação para a condição:
aplicativo de 12kg. e proibição de 15kg. - 1860 rublos,
aplicativo de 12kg. e proibição de 6kg. - 1320 rublos.
2) Descubra quantas bananas mais foram compradas pela primeira vez: 15-6 = 9 (kg).
3) Quanto custa 9kg de bananas? 1860 - 1320 = 540 (rublos).
4) Encontre o preço de 1 kg de bananas: 540: 9 = 60 (rublos).
5) Encontre o custo de 3 kg de bananas: 60 * 3 = 180 (rublos).
6) Encontre o custo de 6 kg de laranjas: 660 - 180 = 480 (rublos).
7) Encontre o preço de 1 kg de laranjas: 480: 6 = 80 (rublos).

Solução2.

Vamos igualar o número de laranjas e bananas comparando-os com o máximo divisor comum: mdc (4; 6) = 2.

1) Para igualar o número de laranjas compradas pela primeira vez e pela segunda vez, reduzimos a quantidade das mercadorias compradas e seu custo no primeiro caso em 2 vezes, no segundo - em 3 vezes. Vamos pegar uma tarefa que tem um registro de condição tão curto
aplicativo de 2kg. e proibição de 2,5 kg. - 310 rublos,
aplicativo de 2kg. e proibição de 1kg. - 220 rublos.
2) Quantas bananas a mais são compradas agora: 2,5 - 1 = 1,5 (kg).
3) Descubra quanto custa 1,5 kg de bananas: 310 - 220 = 90 (rublos).
4) Encontre o preço de 1 kg de bananas: 90: 1,5 = 60 (rublos).
5) Encontre o preço de 1 kg de laranjas: (660 - 60 * 3): 6 = 80 (rublos).

Resposta: o preço de 1 kg de laranjas é de 80 rublos, 1 kg de bananas é de 60 rublos.

Ao resolver problemas usando o método de comparação de dados, você não pode fazer uma análise e registros tão detalhados, mas apenas registrar as alterações que foram feitas para comparação e anotá-las na forma de uma tabela.

5. Combinando várias condições em uma

Às vezes, você pode se livrar de incógnitas desnecessárias combinando várias condições em uma.

Tarefa. Os turistas saíram do acampamento e caminharam inicialmente por 4 horas, e depois por mais 4 horas andaram de bicicleta a uma certa velocidade constante e se afastaram 60 km do acampamento. Na segunda vez eles saíram do acampamento e primeiro andaram de bicicleta na mesma velocidade por 7 horas, e depois viraram na direção oposta e, andando a pé por 4 horas, terminaram a uma distância de 50 km do acampamento. A que velocidade os turistas andavam de bicicleta?

Há duas incógnitas no problema: a velocidade com que os turistas andam de bicicleta e a velocidade com que andam. Para excluir um deles, você pode combinar duas condições em uma. Então a distância que os turistas percorrem em 4 horas, avançando na primeira vez a pé, é igual à distância que eles percorreram em 4 horas, retrocedendo na segunda vez. Portanto, não prestamos atenção a essas distâncias. Isso significa que a distância que os turistas percorrerão em 4 + 7 = 11 (horas) de bicicleta será de 50 + 60 = 110 (km).

Então a velocidade dos turistas em bicicletas: 110: 11 = 10 (km/h).

Resposta: As bicicletas viajam a uma velocidade de 10 km/h.

6. Método de admissão

A utilização do método da suposição na resolução de problemas não causa dificuldades para a maioria dos alunos. Portanto, para evitar a memorização mecânica pelos alunos do esquema de etapas desse método e a incompreensão da essência das ações realizadas em cada um deles, os alunos devem primeiro conhecer o método de tentativas (“regra falsa” e “regra de os antigos babilônios”).

Ao usar o método de amostragem, em particular a "regra falsa", uma das quantidades desconhecidas recebe ("permitido") algum valor. Então, usando todas as condições, eles encontram o valor de outra quantidade. O valor resultante é comparado com o especificado na condição. Se o valor obtido for diferente do dado na condição, então o primeiro valor especificado não está correto e deve ser aumentado ou diminuído em 1, e novamente o valor de outro valor é encontrado. Então é necessário fazer até obtermos o valor de outra quantidade como na condição do problema.

Tarefa. O caixa possui 50 moedas de 50 copeques e 10 copeques, totalizando 21 rublos. Descubra quantas moedas de 50 mil o caixa tinha separadamente. e 10k.

Solução 1. (método de amostragem)

Vamos usar a regra dos "antigos" babilônios. Suponha que o caixa tenha moedas iguais de cada denominação, ou seja, 25 peças. Então a quantidade de dinheiro será 50 * 25 + 10 * 25 \u003d 1250 + 250 \u003d 1500 (k.), Ou 15 rublos. Mas na condição de 21 rublos, ou seja, mais do que recebido, por 21 UAH - 15 rublos = 6 rublos. Isso significa que é necessário aumentar o número de moedas de 50 copeques e reduzir o número de moedas de 10 copeques, até obter um total de 21 rublos. Escrevemos a mudança no número de moedas e o valor total na tabela.

Número de moedas	Número de moedas	Quantia de dinheiro	Quantia de dinheiro	montante total	Condição menor ou maior que

					Menos de 6 rublos.
					Menos de 5rub60k

					Como em estado

Como pode ser visto na tabela, o caixa tinha 40 moedas de 50 copeques e 10 moedas de 10 copeques.

Como ficou na solução 1, se o caixa tivesse moedas iguais de 50k. e 10k cada, então, no total, ele tinha dinheiro de 15 rublos. É fácil ver que cada substituição de uma moeda é 10k. por uma moeda de 50k. aumenta o valor total em 40k. Isso significa que é necessário descobrir quantas substituições precisam ser feitas. Para fazer isso, primeiro descobrimos quanto dinheiro é necessário aumentar o valor total:

21 esfregar - 15 esfregar. = 6 rublos. = 600k.

Vamos descobrir quantas vezes essa substituição precisa ser feita: 600 k. : 40 k. = 15.

Então, para 50 k, haverá 25 +15 = 40 (moedas) e para 10 k, haverá 25 - 15 = 10.

A verificação confirma que a quantia total de dinheiro neste caso é de 21 rublos.

Resposta: O caixa tinha 40 moedas de 50 copeques e 10 moedas de 10 copeques.

Tendo oferecido aos alunos a escolha independente de valores diferentes para o número de moedas de 50 copeques, é necessário levá-los à ideia de que o melhor do ponto de vista da racionalidade é a suposição de que o caixa tinha apenas moedas do mesmo denominação (por exemplo, todas as 50 moedas de 50 copeques ou todas as 50 moedas de 10 k cada). Devido a isso, uma das incógnitas é excluída e substituída por outra incógnita.

7. Método de resíduo

Este método tem algumas semelhanças com o pensamento ao resolver problemas por tentativa e erro. Usamos o método dos resíduos ao resolver problemas de movimento em uma direção, ou seja, quando é necessário encontrar o tempo durante o qual o primeiro objeto, que se move para trás com maior velocidade, alcançará o segundo objeto, que tem um velocidade mais baixa. Em 1 hora, o primeiro objeto se aproxima do segundo a uma distância igual à diferença de suas velocidades, ou seja, igual ao "resto" da velocidade que ele possui em comparação com a velocidade do segundo. Para encontrar o tempo que o primeiro objeto precisa para superar a distância que havia entre ele e o segundo no início do movimento, é necessário determinar quantas vezes o "resto" é colocado nessa distância.

Se abstrairmos do gráfico e considerarmos apenas a estrutura matemática do problema, então ele fala sobre dois fatores (a velocidade de movimento de ambos os objetos) ou a diferença entre esses fatores e dois produtos (as distâncias que eles cobrem) ou sua diferença. Multiplicadores desconhecidos (tempo) são os mesmos e precisam ser encontrados. Do ponto de vista matemático, o fator desconhecido mostra quantas vezes a diferença dos fatores conhecidos está contida na diferença dos produtos. Portanto, problemas que são resolvidos pelo método dos resíduos são chamados de problemas para encontrar números por duas diferenças.

Tarefa. Os alunos decidiram colar fotos do feriado no álbum. Se eles colarem 4 fotos em cada página, não haverá espaço suficiente para 20 fotos no álbum. Se você colar 6 fotos em cada página, 5 páginas permanecerão livres. Quantas fotos os alunos vão colocar no álbum?

Análise de tarefas

O número de fotos permanece o mesmo para a primeira e segunda opções de colagem. De acordo com a condição do problema, é desconhecido, mas pode ser encontrado se o número de fotos que estão colocadas em uma página e o número de páginas do álbum forem conhecidos.

O número de fotos coladas em uma página é conhecido (o primeiro multiplicador). O número de páginas do álbum é desconhecido e permanece inalterado (segundo multiplicador). Como se sabe que 5 páginas do álbum permanecem livres pela segunda vez, você pode descobrir quantas fotos mais podem ser coladas no álbum: 6 * 5 = 30 (fotos).

Portanto, aumentando o número de fotos em uma página em 6 - 4 = 2, o número de fotos coladas aumenta em 20 + 30 = 50.

Como na segunda vez foram coladas mais duas fotos em cada página e um total de mais 50 fotos foram coladas em cada página, encontramos o número de páginas do álbum: 50: 2 = 25 (p.).

Portanto, foram 4 * 25 + 20 = 120 fotos no total.

Resposta: Havia 25 páginas no álbum e 120 fotos foram coladas.

O professor do ensino fundamental simplesmente precisa saber que tipos de tarefas estão disponíveis. Hoje você aprenderá sobre problemas aritméticos de texto simples. Problemas aritméticos de texto simples são problemas que são resolvidos por uma operação aritmética.. Quando lemos uma tarefa, automaticamente a correlacionamos com algum tipo, e aqui fica imediatamente fácil entender qual ação ela precisa resolver.

Darei a você não apenas a própria classificação de problemas de palavras simples, mas também exemplos deles e também falarei sobre como resolver problemas de texto de maneira aritmética. Peguei todos os exemplos de livros didáticos de matemática para a 2ª série (parte 1, parte 2), que são ensinados nas escolas bielorrussas.

Todos os problemas aritméticos simples são divididos em dois grandes grupos:

- AD I (+/-), ou seja, aqueles que são resolvidos por operações aritméticas de primeira ordem (adição ou subtração);

- AD II (* /:), ou seja, aqueles que são resolvidos por operações aritméticas de segunda ordem (multiplicação ou divisão).

Considere o primeiro grupo de problemas aritméticos de texto simples (AD I):

1) Tarefas que revelam o significado específico de adição (+)

4 meninas e 5 meninos participaram das competições de corrida. Quantos alunos da turma participaram da competição?

Depois que Sasha resolveu 9 exemplos, ele teve que resolver mais 3 exemplos. Quantos exemplos Sasha precisava resolver?

Tais tarefas são resolvidas por adição: a+b=?

2) Tarefas que revelam o significado específico da subtração (-)

Mamãe fez 15 tortas. Quantas tortas sobraram depois de comer 10 tortas?

Havia 15 copos de suco na jarra. No jantar bebemos 5 copos. Quantos copos de suco sobraram?

Tais problemas são resolvidos por subtração: a-b=?

3) Tarefas sobre a relação entre os componentes e o resultado da ação de adição ou subtração:

a) encontrar o 1º termo desconhecido (? + a = b)

O menino colocou 4 lápis na caixa. Havia 13. Quantos lápis estavam na caixa originalmente?

Para resolver este problema, é necessário subtrair o 2º termo conhecido do resultado da ação: b-a=?

b) encontrar o 2º termo desconhecido (a+?=b)

13 copos de água foram despejados na panela e na chaleira. Quantos copos de água foram colocados na chaleira se 5 copos foram despejados na panela?

Problemas deste tipo são resolvidos por subtração, o 1º termo conhecido é subtraído do resultado da ação: b-a=?

c) encontrar o minuendo desconhecido (?-a=b)

Olga pegou um buquê. Ela colocou 3 cores no vaso e ela tem 7 flores sobrando. Quantas flores havia no buquê?

Aritmeticamente, a solução de problemas de texto desse tipo é realizada adicionando o resultado da ação e o subtraendo: b+a=?

d) encontrar o subtraendo desconhecido (а-?=b)

Comprou 2 dúzias de ovos. Depois que alguns ovos foram levados para assar, sobraram 15. Quantos ovos foram retirados?

Essas tarefas são resolvidas por subtração: subtraia o resultado da ação do reduzido: a-b=?

4) Tarefas para diminuir/aumentar por várias unidades de forma direta, indireta

exemplos de tarefas para reduzir em várias unidades de forma direta:

Em uma caixa havia 20 kg de bananas e na segunda - 5 a menos. Quantos quilos de bananas havia na segunda caixa?

A primeira turma coletou 19 caixas de maçãs e a segunda - 4 caixas a menos. Quantas caixas de maçãs a segunda classe pegou?

Esses problemas são resolvidos subtraindo (a-b=?)

Não encontrei exemplos de tarefas para diminuir de forma indireta, bem como para aumentar de forma direta ou indireta em um livro didático de matemática da 2ª série. Se necessário, escreva nos comentários - e complementarei o artigo com meus próprios exemplos.

5) Tarefas para comparações de diferenças

A massa do ganso é de 7 kg e a da galinha é de 3 kg. Em quantos quilos o peso da galinha é menor que o peso do ganso?

Há 14 lápis na primeira caixa e 7 na segunda caixa. Quantos lápis a mais há na primeira caixa do que na segunda?

A solução de problemas de texto para comparações de diferenças é feita subtraindo um número menor de um número maior.

Acabamos de lidar com problemas de aritmética textual simples do 1º grupo e estamos passando para os problemas do 2º grupo. Se você não entendeu alguma coisa, pergunte nos comentários.

O segundo grupo de problemas de aritmética de texto simples (AD II):

1) Tarefas que revelam o significado específico da multiplicação

Quantas patas têm dois cães? Três cachorros?

Há três carros na frente da casa. Cada carro tem 4 rodas. Quantas rodas têm três carros?

Essas tarefas são resolvidas por multiplicação: a*b=?

2) Tarefas que revelam o significado específico da divisão:

a) conteúdo

Foram distribuídos 10 bolos para as crianças, dois cada. Quantas crianças ganharam bolos?

Os sacos de 2 kg contêm 14 kg de farinha. Quantos desses pacotes?

Nessas tarefas, descobrimos quantas partes ficaram com o mesmo conteúdo.

b) em partes iguais

Uma tira de 10 cm de comprimento foi cortada em duas partes iguais. Qual o comprimento de cada peça?

Nina dividiu 10 bolos em 2 pratos igualmente. Quantos bolos estão em um prato?

E nesses problemas descobrimos qual é o conteúdo de uma parte igual.

Seja como for, todas essas tarefas são resolvidas por divisão: a:b=?

3) Tarefas sobre a relação entre o componente e o resultado da multiplicação e divisão:

a) para encontrar o primeiro fator desconhecido: ?*а=b

Exemplo próprio:

Várias caixas de 6 lápis. Há 24 lápis na caixa. Quantas caixas?

É resolvido dividindo o produto pelo segundo fator conhecido: b:a=?

b) para encontrar o segundo fator desconhecido: a*?=b

O café pode acomodar 3 pessoas em uma mesa. Quantas dessas mesas estarão ocupadas se 15 pessoas chegarem lá?

É resolvido dividindo o produto pelo primeiro fator conhecido: b:a=?

c) para encontrar o dividendo desconhecido: ?:a=b

Exemplo próprio:

Kolya trouxe doces para a classe e os dividiu igualmente entre todos os alunos. Há 16 crianças na classe. Cada um recebeu 3 bombons. Quantos doces Kolya trouxe?

Resolve-se multiplicando o quociente pelo divisor: b*a=?

d) encontrar um divisor desconhecido: a:?=b

Exemplo próprio:

Vitya trouxe 44 doces para a turma e os dividiu igualmente entre todos os alunos. Cada um recebeu 2 bombons. Quantos estudantes estão na aula?

Resolve-se dividindo o dividendo pelo quociente: a:b=?

4) Tarefas para aumentar/diminuir várias vezes de forma direta ou indireta

Nenhum exemplo de tais problemas de aritmética textual foi encontrado no livro didático da 2ª série.

5) Tarefas para comparação múltipla

Resolva dividindo o maior pelo menor.

Amigos, a classificação acima de problemas de palavras simples é apenas uma parte de uma grande classificação de todos os problemas de palavras. Além disso, ainda existem tarefas para encontrar porcentagens, das quais não falei. Você pode aprender sobre tudo isso neste vídeo:

E minha gratidão permanecerá com você!

Método algébrico para resolver problemas de texto para encontrar uma maneira aritmética de resolvê-los

Resolvendo problemas de palavras por junioresshkolniks pode ser considerado como um meio e como um método de ensino, durante o uso do qual o conteúdo do curso inicial de matemática é dominado: conceitos matemáticos, o significado das operações aritméticas e suas propriedades, a formação de habilidades computacionais e habilidades práticas.

Um professor que dirige o processo de resolução de problemas pelos alunos deve, antes de mais nada, ser capaz de resolver problemas ele mesmo, bem como possuir os conhecimentos e habilidades necessários para ensinar isso aos outros.

A capacidade de resolver problemas é a base da preparação matemática do professor para ensinar os alunos mais novos a resolver problemas de texto.

Entre os métodos comuns para resolver problemas de texto (algébricos, aritméticos e geométricos), o mais utilizado nas séries elementares para a maioria dos problemas émétodo aritmético, incluindo várias maneiras de resolvê-los. No entanto, para o professor, em muitos casos, esse método de resolução de problemas é mais difícil do que o algébrico. Isso se deve principalmente ao, de ondecurso de matematica ensino medio

o curso de aritmética, que previa a formação da capacidade dos escolares para resolver problemas pelo método aritmético, foi praticamente excluído. Em segundo lugar, no curso universitário de matemática, também não é dada a devida atenção.

Ao mesmo tempo, a necessidade de resolver problemas pelo método aritmético é ditada pelo estoque de conhecimento matemático do aluno mais jovem, que não permite que ele resolva a maioria dos problemas usando elementos da álgebra.

O professor é capaz, via de regra, de resolver qualquer problema algebricamente, mas nem todos podem resolver qualquer problema aritmeticamente.

Ao mesmo tempo, esses métodos estão interligados, e o professor não deve apenas perceber essa relação, mas também utilizá-la em seu trabalho. Neste artigo, usando o exemplo de resolução de alguns problemas, tentaremos mostrar a conexão entre métodos algébricos e aritméticos para resolver problemas, a fim de ajudar o professor a encontrar uma maneira aritmética de resolver um problema resolvendo-o algebricamente.

Vamos fazer algumas observações preliminares:

1. Nem sempre (e nem sempre) um problema de texto resolvido por um método algébrico pode ser resolvido por um aritmético. Deve-se lembrar que um problema pode ser resolvido pelo método aritmético quando seu modelo algébrico é reduzido a uma equação linear ou a um sistema de equações lineares.

2. A forma de uma equação linear nem sempre “sugere” a forma aritmética de resolver o problema, porém, outras transformações da equação tornam possível encontrá-la. A solução de um sistema de equações lineares, em nossa opinião, permite quase imediatamente delinear o curso do raciocínio para resolver o problema de maneira aritmética.

Considere exemplos.

Exemplo 1 O problema se reduz à equação

Gentil ah + b= S.

Tarefa. Às 8 horas da manhã um trem partiu do ponto A para o ponto B a uma velocidade de 60 km/h. Às 11 horas outro trem deixou o ponto B para encontrá-lo a uma velocidade de 70 km/h. A que horas os trens se encontrarão se a distância entre os pontos for de 440 km?

O método algébrico leva à equação: (60 + 70) x + 60 3 \u003d 440 ou 130x + 18 \u003d 440, onde x horas é o tempo do segundo trem antes da reunião. Então: 130x = 440- 180= 130

x= 260, x =2 (h).

O raciocínio e os cálculos acima "sugerem" a seguinte maneira aritmética de resolver o problema. Vamos encontrar: a soma das velocidades do trem (60 + 70 = 130 (km / h), o tempo do primeiro trem antes do início do segundo trem (11-8 \u003d 3 (h), a distância percorrida pelo primeiro trem em 3 horas (60 3 \u003d 180 ( km), a distância restante para os trens se encontrarem antes da reunião (440 - 180 = = 260 (km), a hora do segundo trem antes da reunião (260: 130-2 (h)).

No futuro, as etapas da solução de cada problema pelo método algébrico e as etapas correspondentes da solução do problema pelo método aritmético serão escritas em paralelo em uma tabela que permitirá rastrear visualmente como as transformações algébricas no curso da resolução de equações que são um modelo de um problema de texto abrem um método aritmético de solução. Assim, neste caso teremos a seguinte tabela (ver tabela 1).

tabela 1

Seja x horas o tempo do segundo trem antes da reunião. De acordo com a condição do problema, obtemos a equação:

(60+70)-x+60*3=440 ou 130x+180=440

Vamos transformar a equação:

130x=440-180 130x=260.

Vamos encontrar o conhecido;

X=260:130; x=2

Vamos encontrar a soma das velocidades do trem: 60+70=130(km/h).

Vamos encontrar o tempo do primeiro trem antes do início do segundo trem: 11-8=3(h). Encontre a distância percorrida pelo primeiro trem em 3 horas: 60*3=180(km)

Vamos encontrar a distância restante para os trens percorrerem antes de se encontrarem: 440-180=260(km).

Vamos encontrar o tempo de movimento do segundo trem: 260:130=2(h).

Usando os dados da Tabela 1, obtemos uma solução aritmética.

3) 440 - 180 \u003d 260 (km) - a distância percorrida pelos trens enquanto se movem simultaneamente;

6) 11 + 2 = 13 (h) - neste momento os trens se encontrarão.

Resposta: às 13h.

Exemplo 2 uma 1 x + v 1 \u003d a x + b

Tarefa. Os alunos compraram 4 livros, após os quais sobraram 40 rublos. Se comprassem 7 dos mesmos livros, sobrariam 16 rublos. Quanto custa um livro?

O método algébrico leva à equação:4x + 40 = 7x + 16, onde X - o custo de um livro. No decorrer da resolução desta equação, fazemos os seguintes cálculos: 7 x - 4X \u003d 40-16 -\u003e Zx \u003d 24 -\u003e x \u003d 8, que, juntamente com o raciocínio usado na compilação da equação, levam a uma maneira aritmética de resolver o problema. Vamos descobrir: quantos livros mais foram comprados: 7-4 = 3 (livro); quanto menos dinheiro vai sobrar, ou seja, quanto dinheiro a mais foi gasto: 40 - 16 = 24 (p); quanto custa um livro: 24:3 = 8 (p). As considerações acima estão resumidas na Tabela 2.

Etapas da resolução de problemas

método algébrico

Etapas de resolução do problema pelo método aritmético

Seja x o custo de um livro. De acordo com a tarefa

obtemos a equação: 4x+40=7x+16.

Vamos transformar a equação:

7x-4x=40-16 (7-4)x=24 3x=24

Vamos encontrar o conhecido:

X=24:3; x=8

O custo de quatro livros e outros 40r. igual ao custo de 7 livros e outros 70r.

Vamos descobrir quantos livros mais eles comprariam: 7-4=3(kn). Vamos descobrir quanto dinheiro a mais eles pagariam: 40-16 = 24 (p.).

Vamos encontrar o custo de um livro: 24:3=8(r.).

mesa 2

Usando os dados da Tabela 2, obtemos uma solução aritmética:

1) 7-4=3 (livro) - muitos outros livros seriam comprados;

3) 24: 3 = 8 (p.) - há um livro.

Resposta: 8 rublos.

Exemplo 3 O problema é reduzido a uma equação da forma:Oh + b x + cx = d

Tarefa. O turista percorreu 2.200 km, e no navio viajou o dobro do que no carro e no trem 4 vezes mais do que no navio. Quantos quilômetros o turista percorreu separadamente de barco, carro e trem?

Usando os dados da Tabela 3, obtemos uma solução aritmética.

Vamos pegar a distância que o turista percorreu de carro como uma parte:

1 2 \u003d 2 (h) - cai na distância que o turista percorreu no barco;

2) 2 4 \u003d 8 (h) - cai na distância que o turista percorreu de trem;

3) 1+2+8=11(h) - cai em toda a viagem

Tabela 3

Seja x quilômetros a distância percorrida no barco.

De acordo com a condição do problema, obtemos a equação: x + 2x + 2 * 4x \u003d 2200.

Vamos transformar a equação:

(1+2+8)x=2200 11x=2200.

Vamos encontrar o conhecido:

X=2200:11; x=200

Vamos tomar a distância que o turista percorreu de carro (pelo menos) como 1 parte. Então a distância que ele percorreu no navio corresponderá a duas partes e no trem - 2 a 4 partes. Isto significa que todo o percurso do turista (2200 km) corresponde a 1+2+8=11 (horas).

Vamos descobrir quantas partes compõem todo o trajeto do turista: 1 + 2 + 8 = 11 (horas).

Vamos descobrir quantos quilômetros caem em uma parte: 2200:11=200 (km).

6) 200 -8 = 1 600 (km) - a distância percorrida pelo turista de comboio.

Responda:200km, 400km, 1.600km.

Exemplo 4 O problema se reduz à equaçãoGentil (X + a) em = cx + d.

Tarefa. Ao final da apresentação, 174 espectadores do teatro se dispersaram a pé, e o restante foi em bondes em 18 vagões, e cada vagão levou 5 pessoas a mais do que havia lugares nele. Se os espectadores que saem do teatro no bonde entrassem nele de acordo com o número de assentos, seriam necessários mais 3 carros e, no último, haveria 6 assentos vazios. Quantos espectadores estavam no teatro?

Tabela 4

Sejam x assentos em cada bonde. Então, de acordo com a condição do problema, temos a equação: (x+5)*18=x*(18+3)-6.

Vamos transformar a equação: 21x - 18x \u003d 90 + 6 ou 3x \u003d 96.

Vamos encontrar o desconhecido:

X= 96: 3; x = 32.

Cada carruagem incluía 5 pessoas a mais do que havia assentos nela. Em 18 carros - 5 * 18 = 90 pessoas a mais. 90 pessoas entraram em 3 carros adicionais e havia mais 6 lugares vazios. Portanto, há 90 + 6 = 96 assentos em três carros.

Encontre o número de assentos em um carro:

96: 3 = 32(m.)

Usando os dados da Tabela 4, obtemos uma solução aritmética:

1)5 18 \u003d 90 (pessoas) - tantas pessoas a mais do que havia assentos em 18 carros;

90 + 6 = 96 (m) - em três carros;

96: 3 = 32 (m) - em um carro;

32 + 5 = 37 (pessoas) - estava em cada um dos 18 carros;

37 18 \u003d 666 (pessoas) - deixados nos bondes;

666 + 174 = 840 (pessoas) - estava no teatro.

Resposta: 840 espectadores.

Exemplo 5 O problema é reduzido a um sistema de equações da forma: x + y = a, x – y =b.

Tarefa. Um cinto com fivela custa 12 rublos e o cinto é 6 rublos mais caro que a fivela.

Quanto é o cinto, quanto é a fivela?

O método algébrico leva a um sistema de equações:

x+y=12,

x-y \u003d 6 onde x: rublos - o preço do cinto,norublos - o preço da fivela.

Este sistema pode ser resolvido pelo método de substituição: expressar uma incógnita em função de outra. A partir da primeira equação, substituindo seu valor na segunda equação, resolva a equação resultante com uma incógnita, encontre a segunda incógnita. No entanto, neste caso não poderemos "sentir" a forma aritmética de resolver o problema.

Adicionadas as equações do sistema, teremos imediatamente a equação2x = 18.
Onde encontramos o custo do cintox = 9 (R.). Este método de resolver o sistema nos permite obter a seguinte linha de raciocínio aritmética. Suponha que a fivela custe o mesmo que o cinto. Então uma fivela com um cinto (ou 2 cintos) custará 12 + 6 = 18 (r.) (já que na verdade uma fivela custa 6 rublos a menos). Portanto, um cinto vale 18:2=9 (p.).

Se subtrairmos termo por termo da primeira equação da segunda, obtemos a equação 2no \u003d 6, de onde y \u003d 3 (r.). Neste caso, resolvendo o problema pelo método aritmético, deve-se argumentar da seguinte forma. Suponha que o cinto custe o mesmo que a fivela. Então a fivela e o cinto (ou duas fivelas) custarão 12-6=6 (p.) (porque o cinto na verdade custa 6 rublos a mais).
Portanto, uma fivela custa 6:2=3 (p.)

Tabela 5

Seja x rublos o preço do cinto, y rublos o preço da fivela. De acordo com a condição do problema, obtemos um sistema de equações:

X + y \u003d 12,

X - y \u003d 6.

Adicionando as equações do sistema termo a termo, obtemos: 2x \u003d 12 + 6 2x \u003d 18.

Encontrar desconhecido:

x = 18: 2; x = 9

Cinto com fivela custa 12r. E o cinto é 6r mais caro que a fivela.

Equalize a incógnita:

Suponha que a fivela custe o mesmo que o cinto, então dois cintos custam 12 + 6 = 18 (r.).

Encontre o preço do cinto:

18: 2 = 9 (pág.).

Usando os dados da Tabela 5, obtemos uma solução aritmética:

12 + 6 = 18 (r.) - dois cintos custariam se a fivela custasse o mesmo que o cinto;

2) 18:2=9 (p.) - há um cinto;

3) 12-9=3 (p.) - há uma fivela.

Resposta: 9 rublos, 3 rublos.

Exemplo 6 O problema é reduzido a um sistema de equações da forma:

ax + bu = c 1x+y=c2

Tarefa. Para a caminhada, 46 alunos prepararam barcos de quatro e seis lugares. Quantos desses e outros barcos estavam lá se todos os caras estavam acomodados em dez barcos e não havia mais lugares vazios ?

Tabela 6

Seja x o número de barcos de quatro lugares e y o número de barcos de seis lugares. De acordo com a condição do problema, temos um sistema de equações:

x + y = 10,

4x + 6a = 46.

Multiplique ambos os lados da primeira equação por 4.

Nós temos:

4x + 4y = 40.

Subtraímos (termo por termo) a equação resultante da segunda. Nós temos:

(6 - 4) y \u003d 46 - 40 ou 2y \u003d 6.

Vamos encontrar o desconhecido:

Y = 6: 2; y = 3.

Ao todo são 10 barcos e neles foram acomodados 46 alunos.

Equalize as incógnitas.

Vamos supor que todos os barcos fossem de quatro lugares. Então m eles acomodariam 40 pessoas.

Vamos descobrir quantas pessoas a mais um barco de seis lugares pode comportar do que um barco de quatro lugares: 6 - 4 = 2 (pessoas). Vamos descobrir quantas crianças em idade escolar não terão lugares suficientes se todos os barcos forem de quatro lugares: 46 - 40 \u003d 6 (pessoas).

Vamos encontrar o número de barcos de seis lugares: 6: 2 = 3 (unid.).

Usando os dados da Tabela 6, obtemos uma solução aritmética:

1) 4- 10 \u003d 40 (pessoas) - acomodaria se todos os barcos fossem de quatro lugares;

2) 6 - 4 \u003d 2 (pessoas) - para tantas pessoas, um barco de seis lugares comporta mais do que um de quatro lugares;

3) 46 - 40 - 6 (pessoas) - muitos alunos não terão espaço suficiente se

todos os barcos são quádruplos;

4) 6: 2 = 3 (unid.) - havia barcos de seis lugares;

5) 10 - 3 = 7 (unid.) - havia barcos de quatro lugares.

Resposta: 3 barcos de seis lugares, 7 barcos de quatro lugares.

Exemplo 7 O problema é reduzido a um sistema de equações da forma: a x+b y=c1; a x + b y \u003d c2

Tarefa. 3 canetas e 4 cadernos custam 26 rublos e 7 canetas e 6 cadernos semelhantes custam 44 rublos. Quanto custa um bloco de notas?

Tabela 7

Seja x rublos o preço de uma caneta e y rublos o preço de um caderno. De acordo com a condição do problema, obtemos um sistema de equações:

3 x + 4 anos \u003d 26,

7 x + 6 anos = 44.

Multiplique ambos os lados da primeira equação por 7. Obtemos:

21 x + 28 anos \u003d 182,

21 x + 18 anos = 132.

Subtraia (termo por termo) da primeira equação da segunda.

Nós temos:

(28 - 18) y \u003d 182 - 132 ou 10 y \u003d 50.

Vamos encontrar o desconhecido:

Y \u003d 50: 10, y \u003d 5.

3 canetas e 4 blocos de notas custam 26 rublos. 7 canetas e 6 cadernos custam 44 rublos.

Equalize o número de canetas em duas compras. Para fazer isso, encontramos o menor múltiplo dos números 3 e 7 (21). Então, como resultado da primeira compra, foram adquiridos 21 canetas e 28 cadernos, e a segunda - 21 canetas e 18 cadernos. Vamos encontrar o custo de cada compra neste caso:

26 * 7 \u003d 182 (r.), 44 * 3 \u003d 132 (r.).

Vamos descobrir quantos outros notebooks foram comprados pela primeira vez:

28 - 18 \u003d 10 (peças).

Descubra quanto você pagaria a mais na primeira compra:

182 - 132 \u003d 50 (pág.).

Saiba quanto custa o Bloco de Notas:

50: 10 = 5 (pág.).

Usando os dados da Tabela 7, obtemos uma solução aritmética:

1) 26 7 \u003d 182 (p.) - existem 21 canetas e 28 cadernos;

2) 44 3 \u003d 132 (p.) - existem 21 canetas e 18 cadernos;

3) 28 - 18 \u003d 10 (pcs.) - tantos notebooks na primeira compra seriam mais do que na segunda;

4) 182 - 132 = 50 (p.) - são 10 cadernos;

5) 50: 10=5 (p.) - há um caderno.

Resposta: 5 rublos.

Consideramos alguns tipos de problemas de texto encontrados em vários livros didáticos de matemática para séries elementares. Apesar da aparente simplicidade de estabelecer uma conexão entre os métodos algébricos e aritméticos, essa técnica ainda requer uma prática cuidadosa com os alunos nas aulas práticas e um trabalho minucioso do professor no curso de autopreparação para a aula.

1. Observações gerais sobre a solução de problemas pelo método algébrico.

2. Tarefas de movimento.

3. Tarefas para o trabalho.

4. Tarefas para misturas e percentagens.

Usando o método algébrico para encontrar uma maneira aritmética de resolver problemas de texto.

1. Ao resolver problemas pelo método algébrico, as quantidades desejadas ou outras quantidades, sabendo quais é possível determinar as desejadas, são indicadas por letras (geralmente x, y,z). Todas as relações independentes entre dados e quantidades desconhecidas, que são formuladas diretamente na condição (na forma verbal), ou seguem do significado do problema (por exemplo, as leis físicas que as quantidades em consideração obedecem), ou seguem da condição e algum raciocínio, são escritos na forma de igualdade de desigualdades. No caso geral, essas relações formam um certo sistema misto. Em casos especiais, este sistema não pode conter inequações ou equações, ou pode consistir em apenas uma equação ou inequação.

A solução de problemas pelo método algébrico não está sujeita a nenhum esquema único e suficientemente universal. Portanto, qualquer indicação relativa a todas as tarefas é da natureza mais geral. As tarefas que surgem na resolução de questões práticas e teóricas têm suas próprias características individuais. Portanto, seu estudo e solução são das mais diversas naturezas.

Detenhamo-nos na resolução de problemas cujo modelo matemático é dado por uma equação com uma incógnita.

Lembre-se de que a atividade para resolver o problema consiste em quatro etapas. O trabalho na primeira etapa (análise do conteúdo do problema) não depende do método de solução escolhido e não possui diferenças fundamentais. Na segunda fase (na procura de uma forma de resolução do problema e na elaboração de um plano de resolução), no caso de utilização do método algébrico de resolução, procede-se ao seguinte: a escolha do rácio principal para a compilação do equação; a escolha do desconhecido e a introdução de uma designação para ele; expressão das grandezas incluídas na razão principal, através da incógnita e dos dados. A terceira etapa (implementação do plano de resolução do problema) envolve a compilação de uma equação e sua solução. A quarta etapa (verificação da solução do problema) é realizada de maneira padrão.

Geralmente ao escrever equações com uma incógnita X siga as duas regras a seguir.

regra EU . Uma dessas quantidades é expressa em termos da incógnita X e outros dados (ou seja, elabora-se uma equação em que uma parte contém um determinado valor e a outra contém o mesmo valor, expresso por X e outras quantidades dadas).

regra II . Para a mesma quantidade, duas expressões algébricas são compiladas, que são então equiparadas uma à outra.

Externamente, parece que a primeira regra é mais simples que a segunda.

No primeiro caso, é sempre necessário compor uma expressão algébrica e, no segundo, duas. No entanto, muitas vezes há problemas em que é mais conveniente fazer duas expressões algébricas para a mesma quantidade do que escolher uma já conhecida e fazer uma expressão para ela.

O processo de resolução de problemas de texto de forma algébrica é realizado de acordo com o seguinte algoritmo:

1. Primeiro, escolha a razão com base na qual a equação será elaborada. Se o problema contém mais de duas razões, então a razão que estabelece alguma conexão entre todas as incógnitas deve ser tomada como base para a compilação da equação.

Em seguida, a incógnita é escolhida, que é denotada pela letra correspondente.

Todas as incógnitas incluídas na razão escolhida para a compilação da equação devem ser expressas em função da incógnita escolhida, com base nas demais razões incluídas no problema, exceto a principal.

4. Dessas três operações, a compilação de uma equação segue diretamente como o desenho de um registro verbal com o auxílio de símbolos matemáticos.

O lugar central entre as operações listadas é ocupado pela escolha da relação principal para a compilação das equações. Os exemplos considerados mostram que a escolha da razão principal é decisiva na formulação de equações, introduz harmonia lógica no texto verbal por vezes vago do problema, dá confiança na orientação e protege contra ações caóticas para expressar todas as grandezas incluídas na problema através dos dados e os desejados.

O método algébrico de resolução de problemas é de grande importância prática. Com sua ajuda, eles resolvem uma ampla variedade de tarefas do campo da tecnologia, agricultura e vida cotidiana. Já no ensino médio, as equações são usadas pelos alunos no estudo de física, química e astronomia. Onde a aritmética se mostra impotente ou, na melhor das hipóteses, requer um raciocínio extremamente complicado, o método algébrico leva fácil e rapidamente à resposta. E mesmo nos chamados problemas aritméticos "típicos", relativamente facilmente resolvidos pela aritmética, a solução algébrica, via de regra, é mais curta e mais natural.

O método algébrico de resolução de problemas torna fácil mostrar que alguns problemas que diferem uns dos outros apenas no enredo possuem não apenas as mesmas relações entre os dados e os valores desejados, mas também levam a raciocínios típicos por meio dos quais essas relações são estabelecidas. Tais problemas dão apenas diferentes interpretações específicas do mesmo raciocínio matemático, das mesmas relações, ou seja, têm o mesmo modelo matemático.

2. O grupo de tarefas para movimento inclui tarefas que falam sobre três quantidades: caminhos (s), Rapidez ( v) e tempo ( t). Como regra, eles estão falando de movimento retilíneo uniforme, quando a velocidade é constante em magnitude e direção. Neste caso, todas as três quantidades estão relacionadas pela seguinte relação: S = vt. Por exemplo, se a velocidade de um ciclista é 12 km/h, então em 1,5 horas ele percorrerá 12 km/h  1,5 h = 18 km. Existem problemas em que se considera movimento retilíneo uniformemente acelerado, ou seja, movimento com aceleração constante (uma). Distância viajada s neste caso é calculado pela fórmula: S = v 0 t + no 2 /2, Onde v 0 – velocidade inicial. Assim, em 10 s de queda com velocidade inicial de 5 m/s e aceleração de queda livre de 9,8 m 2 /s, o corpo voará uma distância igual a 5 m/s  10s + 9,8 m 2 /s  10 2 s 2/2 = 50 m + 490 m = 540 m.

Como já observado, no decorrer da resolução de problemas de texto e, antes de tudo, em problemas relacionados ao movimento, é muito útil fazer um desenho ilustrativo (para construir um modelo gráfico auxiliar do problema). O desenho deve ser feito de tal forma que mostre a dinâmica do movimento com todos os encontros, paradas e voltas. Um desenho bem elaborado permite não só uma compreensão mais profunda do conteúdo do problema, mas também facilita a compilação de equações e desigualdades. Exemplos de tais desenhos serão dados abaixo.

As seguintes convenções são geralmente adotadas em problemas de movimento.

A menos que especificamente indicado na tarefa, o movimento em seções individuais é considerado uniforme (seja movimento em linha reta ou em círculo).

As voltas de corpos em movimento são consideradas instantâneas, ou seja, ocorrem sem gastar tempo; a velocidade também muda instantaneamente.

Esse conjunto de tarefas, por sua vez, pode ser dividido em tarefas nas quais são considerados os movimentos dos corpos: 1) em direção ao outro; 2) em uma direção ("depois"); 3) em direções opostas; 4) ao longo de uma trajetória fechada; 5) ao longo do rio.

Se a distância entre os corpos for S, e as velocidades dos corpos são iguais v 1 e v 2 (Fig. 16 uma), então, quando os corpos se movem um em direção ao outro, o tempo após o qual eles se encontrarão é igual a S/(v 1 + v 2).

2. Se a distância entre os corpos for S, e as velocidades dos corpos são iguais v 1 e v 2 (Fig. 16 b), então quando os corpos se movem em uma direção ( v 1 > v 2) o tempo após o qual o primeiro corpo ultrapassa o segundo é S/(v 1 – v 2).

3. Se a distância entre os corpos for S, e as velocidades dos corpos são iguais v 1 e v 2 (Fig. 16 dentro), então, partindo simultaneamente em direções opostas, os corpos estarão no tempo t estar à distância S 1 = S + (v 1 + v 2 ) t.

Arroz. dezesseis

4. Se os corpos se movem em uma direção ao longo de uma trajetória fechada de comprimento s com velocidades v 1 e v 2 , o tempo após o qual os corpos se encontrarão novamente (um corpo ultrapassará o outro), saindo simultaneamente de um ponto, é encontrado pela fórmula t = S/(v 1 – v 2) desde que v 1 > v 2 .

Isso decorre do fato de que, com uma partida simultânea ao longo de uma trajetória fechada em uma direção, um corpo com maior velocidade começa a alcançar um corpo com velocidade menor. A primeira vez que o alcança, tendo percorrido uma distância de S mais do que outro corpo. Se ele o ultrapassar pela segunda, terceira vez e assim por diante, isso significa que ele percorre uma distância de 2 S, por 3 S e assim por diante mais do que outro corpo.

Se os corpos se movem em direções diferentes ao longo de um caminho fechado de comprimento S com velocidades v 1 e v 2 , o tempo após o qual eles se encontrarão, tendo partido simultaneamente de um ponto, é encontrado pela fórmula t = v(v 1 + v 2). Nesse caso, imediatamente após o início do movimento, surge uma situação em que os corpos começam a se mover um em direção ao outro.

5. Se o corpo se move ao longo do rio, sua velocidade em relação à margem eé a soma da velocidade do corpo em água parada v e a velocidade do rio W: e =v + W. Se um corpo se move contra a corrente de um rio, então sua velocidade é e =v – W. Por exemplo, se a velocidade do barco v\u003d 12 km / h, e a velocidade do rio W \u003d 3 km / h, então em 3 horas o barco navegará ao longo do rio (12 km / h + 3 km / h)  3 horas = 45 km e contra a corrente - (12 km / h - 3 km / h)  3 horas = 27 km. Acredita-se que a velocidade de objetos com velocidade zero em águas paradas (jangada, tronco, etc.) seja igual à velocidade do rio.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo.De um ponto em uma direção a cada 20 min. carros estão saindo. O segundo carro viaja a uma velocidade de 60 km/h, e a velocidade do primeiro é 50% maior que a do segundo. Encontre a velocidade do terceiro carro sabendo que ele ultrapassou o primeiro carro 5,5 horas depois do segundo.

Decisão. Seja x km/h a velocidade do terceiro carro. A velocidade do primeiro carro é 50% maior que a velocidade do segundo, então é igual a

Ao se mover em uma direção, o tempo de encontro é encontrado como a razão entre a distância entre os objetos e a diferença em suas velocidades. Primeiro carro em 40 min. (2/3 h) percorre 90  (2/3) = 60 km. Portanto, o terceiro o ultrapassará (eles se encontrarão) em 60/( X– 90) horas. Segundo em 20 minutos. (1/3 h) percorre 60  (1/3) = 20 km. Isso significa que o terceiro o alcançará (eles se encontrarão) em 20/( X- 60) horas (Fig. 17).

P
sobre a condição do problema

Arroz. 17

Após transformações simples, obtemos uma equação quadrática 11x 2 - 1730x + 63000 = 0, resolvendo que encontramos

A verificação mostra que a segunda raiz não satisfaz a condição do problema, pois neste caso o terceiro carro não alcançará os outros carros. Resposta: A velocidade do terceiro carro é 100 km/h.

Exemplo O barco a motor percorreu 96 km ao longo do rio, retornou e ficou algum tempo em carga, gastando 32 horas para todos.A velocidade do rio é de 2 km/h. Determine a velocidade do navio em águas paradas se o tempo de carregamento for 37,5% do tempo gasto em toda a viagem de ida e volta.

Decisão. Seja x km/h a velocidade do navio em águas paradas. Então ( X+ 2) km/h - sua velocidade a jusante; (X- 2) km/h - contra a corrente; 96/( X+ 2) horas - o tempo de movimento com o fluxo; 96/( X- 2) horas - o tempo de movimento contra a corrente. Como 37,5% do tempo total de carregamento do navio, o tempo líquido de movimentação é de 62,5%  32/100% = 20 (horas). Portanto, de acordo com a condição do problema, temos a equação:

Transformando, obtemos: 24( X – 2 + X + 2) = 5(X + 2)(X – 2) => 5X 2 – 4X– 20 = 0. Tendo resolvido a equação quadrática, encontramos: X 1 = 10; X 2 = -0,4. A segunda raiz não satisfaz a condição do problema.

Resposta: 10 km/h é a velocidade do navio em águas paradas.

Exemplo. Carro saiu da cidade MAS para a cidade C pela cidade NO Sem paradas. Distância AB, igual a 120 km, ele viajou a uma velocidade constante 1 hora mais rápido que a distância sol, igual a 90 km. Determine a velocidade média do carro da cidade MAS para a cidade C, se for conhecido que a velocidade no trecho AB 30 km/h mais velocidade no local Sol.

Decisão. Deixe ser X km / h - a velocidade do carro no site Sol.

Então ( X+ 30) km/h – velocidade no trecho AB, 120/(X+ 30) h, 90/ X h é o tempo que o carro percorre AB e sol respectivamente.

Portanto, de acordo com a condição do problema, temos a equação:

Vamos transformá-lo:

120X+ 1(X + 30)X = 90(X + 30) => X 2 + 60X – 2700 = 0.

Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos: X 1 = 30, X 2 = -90. A segunda raiz não satisfaz a condição do problema. Então a velocidade na seção sol igual a 30 km/h, no troço AB- 60 km/h Segue que a distância AB o carro percorreu em 2 horas (120 km: 60 km/h = 2 horas), e a distância Sol - em 3 horas (90 km: 30 km/h = 3 horas), então toda a distância CA ele viajou em 5 horas (3 horas + 2 horas = 5 horas). Então a velocidade média de movimento no site AU, cujo comprimento é de 210 km, é igual a 210 km: 5 horas \u003d 42 km / h.

Resposta: 42 km / h - a velocidade média do carro no site COMO.

O grupo de tarefas para trabalho inclui tarefas que falam sobre três quantidades: trabalho MAS, Tempo t, durante o qual o trabalho é realizado, a produtividade R- trabalho realizado por unidade de tempo. Essas três quantidades estão relacionadas pela equação MAS = Rt. As tarefas de trabalho também incluem tarefas relacionadas ao enchimento e esvaziamento de tanques (vasos, tanques, piscinas, etc.) usando tubos, bombas e outros dispositivos. Neste caso, o volume de água bombeada é considerado como o trabalho realizado.

Tarefas por trabalho, de um modo geral, podem ser atribuídas ao grupo de tarefas por movimento, pois em tarefas desse tipo pode-se considerar que todo o trabalho ou o volume total do reservatório desempenha o papel de distância e a produtividade de objetos que trabalho é semelhante à velocidade do movimento. No entanto, de acordo com o enredo, essas tarefas diferem naturalmente, e algumas tarefas de trabalho têm seus próprios métodos específicos de resolução. Assim, nas tarefas em que a quantidade de trabalho executada não é especificada, todo o trabalho é considerado uma unidade.

Exemplo. Duas equipes tiveram que completar o pedido em 12 dias. Após 8 dias de trabalho conjunto, a primeira equipe recebeu outra tarefa, então a segunda equipe finalizou o pedido por mais 7 dias. Em quantos dias cada uma das equipes poderia concluir o pedido, trabalhando separadamente?

Decisão. Deixe a primeira brigada completar a tarefa para X dias, a segunda brigada - para y dias. Vamos tomar todo o trabalho como uma unidade. Então 1/ X- produtividade da primeira brigada, 1/ y – segundo. Como duas equipes devem completar o pedido em 12 dias, obtemos a primeira equação 12(1/ X + 1/no) = 1.

Da segunda condição, segue-se que a segunda equipe trabalhou 15 dias e a primeira - apenas 8 dias. Então a segunda equação é:

8/X+ 15/no= 1.

Assim, temos um sistema:

Subtraindo a primeira equação da segunda equação, temos:

21/y = 1 => e= 21.

Então 12/ X + 12/21 = 1 => 12/X – = 3/7 => x = 28.

Resposta: a primeira brigada completará o pedido em 28 dias, a segunda em 21 dias.

Exemplo. Trabalhador MAS e trabalhando NO pode concluir o trabalho em 12 dias MAS e trabalhando Com– em 9 dias, trabalhando NO e trabalhando C - em 12 dias. Quantos dias eles levarão para concluir o trabalho, trabalhando juntos?

Decisão. Deixe o trabalhador MAS pode fazer o trabalho para X dias, trabalhando NO- atras do no dias, trabalhando Com- atras do z dias. Vamos tomar todo o trabalho como uma unidade. Então 1/ x, 1/y e 1/ z – produtividade do trabalhador A, B e Com respectivamente. Usando a condição do problema, chegamos ao seguinte sistema de equações apresentado na tabela.

tabela 1

Tendo transformado as equações, temos um sistema de três equações com três incógnitas:

Somando as equações do sistema termo a termo, obtemos:

A soma é a produtividade conjunta dos trabalhadores, então o tempo em que eles completam todo o trabalho será igual a

Resposta: 7,2 dias.

Exemplo. Dois tubos são colocados na piscina - abastecimento e descarga, e através do primeiro tubo a piscina é enchida por 2 horas a mais do que através do segundo tubo a água é despejada da piscina. Quando a piscina estava um terço cheia, ambos os tubos foram abertos e a piscina ficou vazia após 8 horas. Quantas horas a piscina pode encher através de um primeiro tubo e quantas horas uma piscina cheia pode drenar através de um segundo tubo ?

Decisão. Deixe ser V m 3 - o volume da piscina, X m 3 / h - o desempenho do tubo de alimentação, no m 3 / h - saída. Então V/ x horas - o tempo necessário para o tubo de abastecimento encher a piscina, V/ y horas - o tempo que o tubo de saída necessita para drenar a piscina. De acordo com a tarefa V/ x – V/ y = 2.

Como a produtividade do tubo de saída é maior que a produtividade do tubo de enchimento, quando ambos os tubos são ligados, a piscina será drenada e um terço da piscina secará a tempo (V/3)/(y – x), que, de acordo com a condição do problema, é igual a 8 horas. Assim, a condição do problema pode ser escrita como um sistema de duas equações com três incógnitas:

A tarefa é encontrar V/ x e V/ y. Vamos destacar uma combinação de incógnitas nas equações V/ x e V/ y, escrevendo o sistema como:

Apresentando novas incógnitas V/ x= um e V/ y = b, obtemos o seguinte sistema:

Substituindo na segunda equação a expressão uma= b + 2, temos uma equação para b:

decidir o que encontramos b 1 = 6, b 2 = -oito. A condição do problema é satisfeita pela primeira raiz 6, = 6 (p.). Da primeira equação do último sistema encontramos uma= 8 (h), ou seja, o primeiro tubo enche a piscina em 8 horas.

Resposta: pelo primeiro cano a piscina será enchida em 8 horas, pelo segundo cano a piscina será esvaziada após 6 horas.

Exemplo. Uma equipe de tratores tem que arar 240 hectares e a outra 35% a mais que a primeira. A primeira brigada, arando 3 ha a menos que a segunda brigada todos os dias, terminou o trabalho 2 dias antes da segunda brigada. Quantos hectares cada brigada lavrava diariamente?

Decisão. Vamos encontrar 35% de 240 ha: 240 ha  35% / 100% = 84 ha.

Consequentemente, a segunda equipe teve que arar 240 ha + 84 ha = 324 ha. Deixe a primeira brigada lavrar diariamente X ha. Então a segunda brigada lavrou diariamente ( X+ 3) ha; 240/ X– horário de trabalho da primeira brigada; 324/( X+ 3) - o tempo da segunda brigada. De acordo com a condição do problema, a primeira equipe terminou o trabalho 2 dias antes da segunda, então temos a equação

que após as transformações pode ser escrita da seguinte forma:

324X – 240X- 720 = 2 x 2 + 6x=> 2x 2 - 78x + 720 = 0 => x 2 - 39x + 360 = 0.

Tendo resolvido a equação quadrática, encontramos x 1 \u003d 24, x 2 \u003d 15. Esta é a norma da primeira brigada.

Consequentemente, a segunda brigada lavrou 27 ha e 18 ha, respectivamente, por dia. Ambas as soluções satisfazem a condição do problema.

Resposta: 24 hectares por dia foram arados pela primeira brigada, 27 hectares pela segunda; 15 hectares por dia foram arados pela primeira brigada, 18 hectares pela segunda.

Exemplo. Em maio, duas oficinas produziram 1.080 peças. Em junho, a primeira loja aumentou a produção de peças em 15% e a segunda aumentou a produção de peças em 12%, de modo que ambas as lojas produziram 1224 peças. Quantas peças cada loja produziu em junho?

Decisão. Deixe ser X peças foram feitas em maio pela primeira oficina, no detalhes - o segundo. Como em maio foram fabricadas 1080 peças, de acordo com a condição do problema, temos a equação x + y = 1080.

Encontre 15% de desconto X:

Então, em 0,15 X peças aumentou a produção da primeira oficina, portanto, em junho produziu x + 0,15 X = 1,15 x detalhes. Da mesma forma, descobrimos que a segunda loja em junho produziu 1,12 y detalhes. Então a segunda equação ficará assim: 1,15 x + 1,12 no= 1224. Assim, temos o sistema:

do qual encontramos x = 480, y= 600. Assim, em junho as oficinas produziram 552 peças e 672 peças, respectivamente.

Resposta: a primeira oficina produziu 552 peças, a segunda - 672 peças.

4. O grupo de tarefas sobre misturas e percentagens inclui tarefas em que estamos a falar de misturar várias substâncias em determinadas proporções, bem como tarefas sobre percentagens.

Tarefas para concentração e porcentagem

Vamos esclarecer alguns conceitos. Que haja uma mistura de P várias substâncias (componentes) MAS 1 MAS 2 , ..., MAS n respectivamente, cujos volumes são iguais V 1 , V 2 , ..., V n . Volume da mistura V 0 consiste nos volumes de componentes puros: V 0 = V 1 + V 2 + ... + V n .

Concentração de volume substâncias MAS eu (eu = 1, 2, ..., P) na mistura é chamada de quantidade c eu, calculado pela fórmula:

Porcentagem de volume da substância A eu (eu = 1, 2, ..., P) na mistura é chamada de quantidade p eu , calculado pela fórmula R eu = com eu ,  100%. Concentrações com 1, com 2 , ..., com n, que são quantidades adimensionais, estão relacionadas pela igualdade com 1 + com 2 + ... + com n = 1, e as relações

mostre que parte do volume total da mistura é o volume dos componentes individuais.

Se a porcentagem for conhecida eu-th componente, então sua concentração é encontrada pela fórmula:

ou seja Pi – é a concentração euª substância da mistura, expressa em percentagem. Por exemplo, se a porcentagem de uma substância for 70%, sua concentração correspondente será 0,7. Por outro lado, se a concentração for 0,33, a porcentagem será 33%. Então a soma R 1 + p 2 + …+ p n = 100%. Se as concentrações são conhecidas com 1 , com 2 , ..., com n componentes que compõem essa mistura de volume V 0 , então os volumes correspondentes dos componentes são encontrados pelas fórmulas:

Os conceitos peso (massa) concentralização componentes da mistura e as percentagens correspondentes. Eles são definidos como a razão entre o peso (massa) de uma substância pura MAS eu , na liga ao peso (massa) de toda a liga. Que concentração, volume ou peso está envolvido em um problema específico é sempre claro a partir de suas condições.

Existem tarefas em que é necessário recalcular a concentração em volume para a concentração em peso ou vice-versa. Para isso, é necessário conhecer a densidade (gravidade específica) dos componentes que compõem a solução ou liga. Considere, por exemplo, uma mistura de dois componentes com concentrações volumétricas dos componentes com 1 e com 2 (com 1 + com 2 = 1) e a gravidade específica dos componentes d 1 e d 2 . A massa da mistura pode ser encontrada pela fórmula:

em que V 1 e V 2 – os volumes dos componentes que compõem a mistura. As concentrações em peso dos componentes são encontradas a partir das igualdades:

que determinam a relação dessas quantidades com as concentrações volumétricas.

Como regra, nos textos de tais problemas ocorre uma e a mesma condição repetida: de duas ou mais misturas contendo componentes UMA 1 , UMA 2 , MAS 3 , ..., MAS n , uma nova mistura é compilada misturando as misturas originais, tomadas em uma determinada proporção. Neste caso, é necessário encontrar em que proporção os componentes MAS 1, MAS 2 , MAS 3 , ..., MAS n entrar na mistura resultante. Para resolver este problema, é conveniente levar em consideração o volume ou quantidade em peso de cada mistura, bem como as concentrações de seus componentes constituintes. MAS 1, MAS 2 , MAS 3 , ..., MAS n . Com a ajuda das concentrações, é necessário “dividir” cada mistura em componentes separados e, em seguida, da maneira indicada na condição do problema, compor uma nova mistura. Nesse caso, é fácil calcular quanto de cada componente está incluído na mistura resultante, bem como a quantidade total dessa mistura. Depois disso, as concentrações dos componentes são determinadas MAS 1, MAS 2 , MAS 3 , ..., MAS n na nova mistura.

Exemplo.Existem duas peças de liga de cobre-zinco com porcentagem de cobre de 80% e 30% respectivamente. Em que proporção essas ligas devem ser tomadas para, fundindo os pedaços juntos, obter uma liga contendo 60% de cobre?

Decisão. Seja a primeira liga X kg, e o segundo - no kg. Por condição, a concentração de cobre na primeira liga é 80/100 = 0,8, na segunda - 30/100 = 0,3 (é claro que estamos falando de concentrações em peso), o que significa que na primeira liga 0,8 X kg de cobre e (1 - 0,8) X = 0,2X kg de zinco, no segundo - 0,3 no kg de cobre e (1 - 0,3) y = 0,7no kg de zinco. A quantidade de cobre na liga resultante é (0,8  X + 0,3  e) kg, e a massa desta liga será (x + y) kg. Portanto, a nova concentração de cobre na liga, de acordo com a definição, é igual a

De acordo com a condição do problema, essa concentração deve ser igual a 0,6. Assim, obtemos a equação:

Esta equação contém duas incógnitas X e sim No entanto, de acordo com a condição do problema, não é necessário determinar as próprias quantidades X e sim, mas apenas sua atitude. Após transformações simples, obtemos

Resposta: as ligas devem ser tomadas na proporção de 3: 2.

Exemplo.Existem duas soluções de ácido sulfúrico em água: a primeira é 40%, a segunda é 60%. Estas duas soluções foram misturadas, após o que foram adicionados 5 kg de água pura e foi obtida uma solução a 20%. Se, em vez de 5 kg de água pura, fossem adicionados 5 kg de uma solução a 80%, obter-se-ia uma solução a 70%. Quantas foram as soluções de 40% e 60%?

Decisão. Deixe ser X kg é a massa da primeira solução, no kg - o segundo. Então a massa de uma solução a 20% ( X + no+ 5)kg. Desde em X kg de solução a 40% contém 0,4 X kg de ácido no kg de solução a 60% contém 0,6 y kg de ácido e (x + y + 5) kg de solução a 20% contém 0,2( X + y + 5) kg de ácido, então por condição temos a primeira equação 0,4 X + 0,6y = 0,2(X +y + 5).

Se, em vez de 5 kg de água, adicionar 5 kg de uma solução a 80%, obtém-se uma solução com massa (x + y+ 5) kg, no qual haverá (0,4 X + 0,6no+ 0,8  5) kg de ácido, que será 70% do (x + y+ 5)kg.

Resolvendo problemas de forma algébrica (usando equações) De acordo com o livro de I.I. Zubarev, A. G. Mordkovich

professor de matemática, MOU "LSOSh No. 2"

Likhoslavl, região de Tver

Metas:- mostrar a regra para resolver problemas de forma algébrica; - formar a capacidade de resolver problemas de forma aritmética e algébrica.

Maneiras

Solução de problemas

Aritmética (resolução de problemas por ações)

Algébrico (resolver um problema usando uma equação)

Problema nº 509

Leia a tarefa.

Tente encontrar soluções diferentes.

São 16 kg de biscoitos em duas caixas. Encontre a massa de biscoitos em cada caixa se uma delas contiver 4 kg a mais de biscoitos do que a outra.

1 solução

(olhar)

3 maneiras de resolver

(olhar)

2 maneiras de resolver

4 maneiras de resolver

1 via (aritmética)

16 - 4 \u003d 12 (kg) - os biscoitos permanecerão em duas caixas se 4 kg de biscoitos forem retirados da primeira caixa.

12: 2 = 6 (kg) - os biscoitos estavam na segunda caixa.

6 + 4 = 10 (kg) - os biscoitos estavam na primeira caixa.

Responda

A solução utilizada método de ajuste .

Pergunta: Por que recebeu esse nome?

Costas)

2 vias (aritmética)

16 + 4 \u003d 20 (kg) - os biscoitos estarão em duas caixas se 4 kg de biscoitos forem adicionados à segunda caixa.

20: 2 = 10 (kg) - os biscoitos estavam na primeira caixa.

10 - 4 = 6 (kg) - os biscoitos estavam na segunda caixa.

Responda: a massa de biscoitos na primeira caixa é de 10 kg e na segunda 6 kg.

A solução utilizada método de ajuste .

Costas)

3 vias (algébrica)

Denote a massa de cookies no segundo carta de caixa X kg. Então a massa de biscoitos na primeira caixa será ( X+4) kg, e a massa dos biscoitos em duas caixas é (( X +4)+ X) kg.

(X +4)+ X =16

X +4+ X =16

2 X +4=16

2 X =16-4

2 X =12

X =12:2

A segunda caixa continha 6 kg de biscoitos.

6+4=10 (kg) - os biscoitos estavam na primeira caixa.

A solução utilizada maneira algébrica.

Exercício: Explique a diferença entre o método aritmético e o algébrico?

Costas)

4 vias (algébrica)

Denote a massa de cookies em primeiro carta de caixa X kg. Então a massa de biscoitos na segunda caixa será igual a ( X-4) kg, e a massa dos biscoitos em duas caixas - ( X +(X-4)) kg.

De acordo com a condição do problema, duas caixas continham 16 kg de biscoitos. Obtemos a equação:

X +(X -4)=16

X + X -4=16

2 X -4=16

2 X =16+4

2 X =20

X =20:2

A primeira caixa continha 10 kg de biscoitos.

10-4=6 (kg) - os biscoitos estavam na segunda caixa.

A solução utilizada maneira algébrica.

Costas)

Quais foram os dois métodos usados para resolver o problema?
O que é um método de equalização?
Como o primeiro método de alinhamento difere do segundo?
Um bolso tem 10 rublos a mais que o outro. Como você pode igualar a quantidade de dinheiro em ambos os bolsos?
Qual é a maneira algébrica de resolver um problema?
Qual é a diferença entre o 3º método de resolução do problema e o 4º?
Um bolso tem 10 rublos a mais que o outro. Sabe-se que uma quantia menor de dinheiro foi designada como variável X. Como será expresso através X
Se para X denotar mais dinheiro no seu bolso, enquanto ele será expresso através de X a quantidade de dinheiro no outro bolso?
Na loja, o xampu custa 25 rublos a mais do que no supermercado. Rotule uma variável com uma letra no e expresse outro custo em termos dessa variável.

Problema nº 510

Resolva o problema de forma aritmética e algébrica.

156 centavos de batata foram colhidos em três parcelas de terra. As batatas foram colhidas igualmente na primeira e na segunda parcela, e 12 q mais na terceira parcela do que em cada uma das duas primeiras. Quantas batatas foram colhidas de cada parcela.

maneira algébrica

(olhar)

Forma aritmética

(olhar)

saída)

Forma aritmética

156 - 12 \u003d 144 (c) - as batatas seriam colhidas em três parcelas se o rendimento de todas as parcelas fosse o mesmo.

144: 3 = 48 (c) - batatas foram colhidas da primeira e colhidas da segunda parcela.
48 + 12 = 60 (c) - as batatas foram coletadas da terceira parcela.

Responda

Costas)

maneira algébrica

Deixe-os coletar do primeiro site X c batatas. Então, do segundo local, eles também coletaram X q batatas e colhidas no terceiro local ( X+12) c batatas.

De acordo com a condição, 156 centavos de batata foram coletados em todas as três parcelas.

Obtemos a equação:

x + x + (x +12) =156

x + x + x + 12 = 156

3 X +12 = 156

3 X = 156 – 12

3 X = 144

X = 144: 3

Da primeira e segunda parcelas, foram coletados 48 centavos de batatas.

48 +12 \u003d 60 (c) - as batatas foram coletadas do terceiro local.

Responda: 48 quintais de batatas foram coletados da primeira e segunda seções e 60 quintais de batatas foram coletados da terceira seção.

Costas

Todos os problemas aritméticos simples são divididos em dois grandes grupos:

Considere o primeiro grupo de problemas aritméticos de texto simples (AD I):

O segundo grupo de problemas de aritmética de texto simples (AD II):

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