O que é um derivado?
Definição e significado de uma função derivada

Muitos ficarão surpresos com a colocação inesperada deste artigo no curso do meu autor sobre a derivada de uma função de uma variável e suas aplicações. Afinal, como tem sido desde a escola: o livro padrão dá antes de tudo a definição de derivada, seu significado geométrico e mecânico. Em seguida, os alunos encontram derivadas de funções por definição e, de fato, só então aperfeiçoam a técnica de diferenciação usando tabelas de derivadas.

Mas do meu ponto de vista, a seguinte abordagem é mais pragmática: antes de mais nada, é aconselhável ENTENDER BEM limite de uma função, e em particular, quantidades infinitesimais. O fato é que a definição de derivada é baseada no conceito de limite, o que é pouco considerado no percurso escolar. É por isso que uma parte significativa dos jovens consumidores do granito do conhecimento não compreende a própria essência do derivado. Portanto, se você tem pouco conhecimento de cálculo diferencial ou se um cérebro sábio conseguiu se livrar dessa bagagem ao longo de muitos anos, comece com limites de função. Ao mesmo tempo, domine/lembre-se da solução deles.

O mesmo sentido prático dita que é vantajoso primeiro aprenda a encontrar derivadas, Incluindo derivadas de funções complexas. Teoria é teoria, mas, como dizem, você sempre quer diferenciar. A este respeito, é melhor trabalhar nas lições básicas listadas, e talvez mestre da diferenciação mesmo sem perceber a essência de suas ações.

Recomendo começar com os materiais desta página depois de ler o artigo. Os problemas mais simples com derivadas, onde, em particular, é considerado o problema da tangente ao gráfico de uma função. Mas você pode esperar. O fato é que muitas aplicações da derivada dispensam seu entendimento, e não é de surpreender que a lição teórica tenha surgido bem tarde - quando precisei explicar encontrar intervalos crescentes/decrescentes e extremos funções. Além disso, ele já estava no assunto há muito tempo. Funções e gráficos”, até que finalmente decidi colocar mais cedo.

Portanto, queridos bules, não tenham pressa em absorver a essência do derivado como animais famintos, pois a saturação será insípida e incompleta.

O conceito de aumento, diminuição, máximo, mínimo de uma função

Muitos livros introduzem o conceito de derivadas com a ajuda de alguns problemas práticos, e também apresentei um exemplo interessante. Imagine que estamos prestes a viajar para uma cidade que pode ser alcançada de diferentes maneiras. Vamos descartar imediatamente os caminhos curvos e sinuosos e considerar apenas rodovias retas. No entanto, as direções em linha reta também são diferentes: você pode chegar à cidade por uma rodovia suave. Ou ao longo de uma estrada montanhosa - para cima e para baixo, para cima e para baixo. Outra estrada só sobe e outra desce o tempo todo. Os entusiastas radicais escolherão uma rota através de um desfiladeiro com um penhasco íngreme e uma subida íngreme.

Mas sejam quais forem as suas preferências, é aconselhável conhecer a zona ou pelo menos ter um mapa topográfico da mesma. E se essa informação estiver faltando? Afinal, você pode escolher, por exemplo, um caminho suave, mas no final tropeça em uma pista de esqui com alegres finlandeses. Não é fato que um navegador ou mesmo uma imagem de satélite forneça dados confiáveis. Portanto, seria bom formalizar o relevo do caminho usando a matemática.

Vejamos alguma estrada (vista lateral):

Por precaução, lembro um fato elementar: as viagens acontecem da esquerda para a direita. Para simplificar, assumimos que a função contínuo na área em consideração.

Quais são as características deste gráfico?

Nos intervalos função aumenta, ou seja, cada próximo valor dele mais o anterior. Grosso modo, o cronograma está ligado baixo cima(subimos o morro). E no intervalo a função diminui– cada próximo valor menos anterior, e nossa programação está no careca(descemos a encosta).

Prestemos atenção também aos pontos especiais. No ponto que chegamos máximo, aquilo é existe tal seção do caminho onde o valor será o maior (mais alto). No mesmo ponto é alcançado mínimo, E existe sua vizinhança em que o valor é o menor (mais baixo).

Veremos terminologia e definições mais rigorosas em aula. sobre os extremos da função, mas por enquanto vamos estudar outra característica importante: nos intervalos a função aumenta, mas aumenta em velocidades diferentes. E a primeira coisa que chama a sua atenção é que o gráfico sobe durante o intervalo muito mais legal, do que no intervalo . É possível medir a inclinação de uma estrada utilizando ferramentas matemáticas?

Taxa de mudança de função

A ideia é esta: vamos pegar algum valor (leia "delta x"), que chamaremos incremento de argumento, e vamos começar a “experimentar” em vários pontos do nosso caminho:

1) Vejamos o ponto mais à esquerda: passando a distância, subimos a ladeira até uma altura (linha verde). A quantidade é chamada incremento de função, e neste caso esse incremento é positivo (a diferença de valores ao longo do eixo é maior que zero). Vamos criar uma proporção que será uma medida da inclinação da nossa estrada. Obviamente, este é um número muito específico e, como ambos os incrementos são positivos, então.

Atenção! As designações são UM símbolo, ou seja, você não pode “separar” o “delta” do “X” e considerar essas letras separadamente. Claro, o comentário também diz respeito ao símbolo de incremento de função.

Vamos explorar a natureza da fração resultante de forma mais significativa. Estaremos inicialmente a uma altura de 20 metros (no ponto preto esquerdo). Percorrida a distância de metros (linha vermelha esquerda), estaremos a uma altitude de 60 metros. Então o incremento da função será metros (linha verde) e: . Por isso, em cada metro esta seção da estrada aumentos de altura média por 4 metros...esqueceu seu equipamento de escalada? =) Ou seja, a relação construída caracteriza a TAXA MÉDIA DE MUDANÇA (neste caso, crescimento) da função.

Observação : Os valores numéricos do exemplo em questão correspondem apenas aproximadamente às proporções do desenho.

2) Agora vamos percorrer a mesma distância do ponto preto mais à direita. Aqui o aumento é mais gradual, portanto o incremento (linha vermelha) é relativamente pequeno, e a proporção em comparação com o caso anterior será muito modesta. Relativamente falando, metros e taxa de crescimento da funçãoé . Ou seja, aqui para cada metro do caminho existem média meio metro de subida.

3) Uma pequena aventura na montanha. Vejamos o ponto preto superior localizado no eixo das ordenadas. Vamos supor que esta seja a marca dos 50 metros. Superamos novamente a distância, e por isso nos encontramos mais baixos - na cota dos 30 metros. Como o movimento é realizado careca(na direção “contrária” do eixo), então o final o incremento da função (altura) será negativo: metros (segmento marrom no desenho). E neste caso já estamos falando taxa de diminuição Características: , ou seja, para cada metro de percurso deste trecho, a altura diminui média por 2 metros. Cuide de suas roupas no quinto ponto.

Agora vamos nos perguntar: qual valor do “padrão de medição” é melhor usar? É completamente compreensível, 10 metros é muito difícil. Uma boa dúzia de hummocks cabem facilmente neles. Não importa os solavancos, pode haver um desfiladeiro profundo abaixo, e depois de alguns metros surge o outro lado com uma subida ainda mais íngreme. Assim, com dez metros não obteremos uma descrição inteligível de tais seções do caminho através da razão .

Da discussão acima segue-se a seguinte conclusão: quanto menor o valor, mais precisamente descreveremos a topografia da estrada. Além disso, os seguintes fatos são verdadeiros:

– Para qualquer um pontos de elevação você pode selecionar um valor (mesmo que muito pequeno) que se ajuste aos limites de um aumento específico. Isso significa que o incremento de altura correspondente será garantido como positivo, e a desigualdade indicará corretamente o crescimento da função em cada ponto desses intervalos.

- Da mesma maneira, para qualquer ponto de inclinação existe um valor que caberá completamente nesta inclinação. Consequentemente, o aumento correspondente na altura é claramente negativo, e a desigualdade mostrará corretamente a diminuição da função em cada ponto do intervalo dado.

– Um caso particularmente interessante é quando a taxa de variação da função é zero: . Em primeiro lugar, o incremento de altura zero () é um sinal de um caminho suave. E em segundo lugar, existem outras situações interessantes, exemplos das quais você vê na figura. Imagine que o destino nos levou ao topo de uma colina com águias voando ou ao fundo de uma ravina com sapos coaxando. Se você der um pequeno passo em qualquer direção, a mudança na altura será insignificante e podemos dizer que a taxa de variação da função é na verdade zero. Esta é exatamente a imagem observada nos pontos.

Assim, chegamos a uma oportunidade incrível de caracterizar com precisão a taxa de variação de uma função. Afinal, a análise matemática permite direcionar o incremento do argumento para zero: , ou seja, torná-lo infinitamente.

Como resultado, surge outra questão lógica: é possível encontrar uma estrada e seu horário outra função, qual nos avisaria sobre todas as seções planas, subidas, descidas, picos, vales, bem como a taxa de crescimento/diminuição em cada ponto ao longo do caminho?

O que é um derivado? Definição de derivada.
Significado geométrico de derivada e diferencial

Leia com atenção e não muito rapidamente - o material é simples e acessível a todos! Tudo bem se em alguns lugares algo não parecer muito claro, você sempre pode voltar ao artigo mais tarde. Direi mais, é útil estudar várias vezes a teoria para compreender a fundo todos os pontos (o conselho é especialmente relevante para estudantes “técnicos”, para quem a matemática superior desempenha um papel significativo no processo educativo).

Naturalmente, na própria definição da derivada em um ponto nós a substituímos por:

A que chegamos? E chegamos à conclusão que para a função de acordo com a lei é colocado de acordo outra função, que é chamado função derivada(ou simplesmente derivado).

A derivada caracteriza taxa de variação funções Como? A ideia corre como um fio vermelho desde o início do artigo. Vamos considerar algum ponto domínio de definição funções Deixe a função ser diferenciável em um determinado ponto. Então:

1) Se, então a função aumenta no ponto. E obviamente há intervalo(mesmo que muito pequeno), contendo um ponto em que a função cresce, e seu gráfico vai “de baixo para cima”.

2) Se, então a função diminui no ponto. E há um intervalo contendo um ponto em que a função diminui (o gráfico vai “de cima para baixo”).

3) Se, então infinitamente perto perto de um ponto a função mantém sua velocidade constante. Isto acontece, como observado, com uma função constante e em pontos críticos da função, em particular nos pontos mínimo e máximo.

Um pouco de semântica. O que significa o verbo “diferenciar” em sentido amplo? Diferenciar significa destacar uma característica. Ao diferenciar uma função, “isolamos” a taxa de sua variação na forma de uma derivada da função. A propósito, o que significa a palavra “derivado”? Função ocorrido da função.

Os termos são interpretados com muito sucesso pelo significado mecânico da derivada :
Consideremos a lei da mudança nas coordenadas de um corpo, dependendo do tempo, e a função da velocidade de movimento de um determinado corpo. A função caracteriza a taxa de variação das coordenadas do corpo, portanto é a primeira derivada da função em relação ao tempo: . Se o conceito de “movimento corporal” não existisse na natureza, então não haveria derivado conceito de "velocidade corporal".

A aceleração de um corpo é a taxa de variação da velocidade, portanto: . Se os conceitos iniciais de “movimento corporal” e “velocidade corporal” não existissem na natureza, então não existiriam derivado conceito de “aceleração corporal”.

(\large\bf Derivada de uma função)

Considere a função y=f(x), especificado no intervalo (a,b). Deixar x- qualquer ponto fixo do intervalo (a,b), A Δx- um número arbitrário tal que o valor x+Δx também pertence ao intervalo (a,b). Este número Δx chamado incremento de argumento.

Definição. Incremento de função y=f(x) no ponto x, correspondente ao incremento do argumento Δx, vamos ligar para o número

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Nós acreditamos que Δx ≠ 0. Considere em um determinado ponto fixo x a razão entre o incremento da função neste ponto e o incremento do argumento correspondente Δx

Chamaremos essa relação de relação de diferença. Desde o valor x consideramos fixa, a razão da diferença é uma função do argumento Δx. Esta função é definida para todos os valores de argumentos Δx, pertencente a alguma vizinhança suficientemente pequena do ponto Δx=0, exceto pelo próprio ponto Δx=0. Assim, temos o direito de considerar a questão da existência de um limite da função dada em Δx → 0.

Definição. Derivada de uma função y=f(x) em um determinado ponto fixo x chamado de limite em Δx → 0 razão de diferença, ou seja

Desde que esse limite exista.

Designação. você'(x) ou f'(x).

Significado geométrico da derivada: Derivada de uma função f(x) neste ponto x igual à tangente do ângulo entre o eixo Boi e uma tangente ao gráfico desta função no ponto correspondente:

f′(x 0) = tgα.

Significado mecânico da derivada: A derivada do caminho em relação ao tempo é igual à velocidade do movimento retilíneo do ponto:

Equação de uma tangente a uma reta y=f(x) no ponto M 0 (x 0 ,y 0) assume a forma

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

A normal a uma curva em algum ponto é a perpendicular à tangente no mesmo ponto. Se f′(x 0)≠ 0, então a equação da normal à reta y=f(x) no ponto M 0 (x 0 ,y 0) está escrito assim:

O conceito de diferenciabilidade de uma função

Deixe a função y=f(x) definido em um determinado intervalo (a,b), x- algum valor de argumento fixo deste intervalo, Δx- qualquer incremento do argumento tal que o valor do argumento x+Δx ∈ (a, b).

Definição. Função y=f(x) chamado diferenciável em um determinado ponto x, se incrementar Δy esta função no ponto x, correspondente ao incremento do argumento Δx, pode ser representado na forma

Δy = A Δx +αΔx,

Onde A- algum número independente de Δx, A α - função de argumento Δx, que é infinitesimal em Δx → 0.

Como o produto de duas funções infinitesimais αΔxé um infinitesimal de ordem superior a Δx(propriedade de 3 funções infinitesimais), então podemos escrever:

Δy = A Δx +o(Δx).

Teorema. Para que a função y=f(x) era diferenciável em um determinado ponto x, é necessário e suficiente que tenha uma derivada finita neste ponto. Em que UMA=f′(x), aquilo é

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

A operação de encontrar a derivada é geralmente chamada de diferenciação.

Teorema. Se a função y=f(x) x, então é contínuo neste ponto.

Comente. Da continuidade da função y=f(x) neste ponto x, de modo geral, a diferenciabilidade da função não segue f(x) neste ponto. Por exemplo, a função y=|x|- contínuo em um ponto x=0, mas não tem derivada.

Conceito de função diferencial

Definição. Diferencial de função y=f(x) o produto da derivada desta função e o incremento da variável independente é chamado x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Para função y=x Nós temos dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, aquilo é dx=Δx- o diferencial de uma variável independente é igual ao incremento desta variável.

Assim, podemos escrever

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Diferencial morrer e incrementar Δy funções y=f(x) neste ponto x, ambos correspondendo ao mesmo incremento de argumento Δx, de modo geral, não são iguais entre si.

Significado geométrico do diferencial: O diferencial de uma função é igual ao incremento da ordenada da tangente ao gráfico desta função quando o argumento é incrementado Δx.

Regras de diferenciação

Teorema. Se cada uma das funções você(x) E v(x) diferenciável em um determinado ponto x, então a soma, diferença, produto e quociente dessas funções (quociente desde que v(x)≠ 0) também são diferenciáveis ​​neste ponto, e as fórmulas são válidas:

Considere a função complexa y=f(φ(x))≡ F(x), Onde você=f(você), você=φ(x). Nesse caso você chamado argumento intermediário, x - variável independente.

Teorema. Se você=f(você) E você=φ(x) são funções diferenciáveis ​​de seus argumentos, então a derivada de uma função complexa y=f(φ(x)) existe e é igual ao produto desta função em relação ao argumento intermediário e a derivada do argumento intermediário em relação à variável independente, ou seja,

Comente. Para uma função complexa que é uma superposição de três funções y=F(f(φ(x))), a regra de diferenciação tem a forma

y′ x = y′ você u′ v v′ x,

onde estão as funções v=φ(x), você=f(v) E y=F(você)- funções diferenciáveis ​​de seus argumentos.

Teorema. Deixe a função y=f(x) aumenta (ou diminui) e é contínuo em alguma vizinhança do ponto x0. Seja, além disso, esta função diferenciável no ponto indicado x0 e sua derivada neste ponto f′(x 0) ≠ 0. Então, em alguma vizinhança do ponto correspondente y 0 =f(x 0) o inverso é definido para y=f(x) função x=f -1 (y), e a função inversa indicada é diferenciável no ponto correspondente y 0 =f(x 0) e para sua derivada neste ponto sim a fórmula é válida

Tabela de derivativos

Invariância da forma do primeiro diferencial

Consideremos a diferencial de uma função complexa. Se y=f(x), x=φ(t)- as funções de seus argumentos são diferenciáveis, então a derivada da função y=f(φ(t)) expresso pela fórmula

y′ t = y′ x x′ t.

Priorado A dy = y' t dt, então obtemos

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Então, provamos

Propriedade de invariância da forma da primeira diferencial de uma função: como no caso quando o argumento xé uma variável independente, e no caso em que o argumento x em si é uma função diferenciável da nova variável, o diferencial morrer funções y=f(x)é igual à derivada desta função multiplicada pela diferencial do argumento dx.

Aplicação de diferencial em cálculos aproximados

Mostramos que o diferencial morrer funções y=f(x), de modo geral, não é igual ao incremento Δy esta função. No entanto, até uma função infinitesimal de uma ordem superior de pequenez do que Δx, a igualdade aproximada é válida

Δy ≈ dy.

A razão é chamada de erro relativo da igualdade desta igualdade. Porque Δy-dy=o(Δx), então o erro relativo desta igualdade torna-se tão pequeno quanto desejado com a diminuição |Δх|.

Considerando que Δy=f(x+δx)-f(x), dy=f′(x)Δx, Nós temos f(x+δx)-f(x) ≈ f′(x)Δx ou

f(x+δx) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Esta igualdade aproximada permite com erro o(Δx) substituir função f(x) em um pequeno bairro do ponto x(ou seja, para valores pequenos Δx) função linear do argumento Δx, ficando do lado direito.

Derivadas de ordem superior

Definição. Segunda derivada (ou derivada de segunda ordem) de uma função y=f(x)é chamada de derivada de sua primeira derivada.

Notação para a segunda derivada de uma função y=f(x):

Significado mecânico da segunda derivada. Se a função y=f(x) descreve a lei do movimento de um ponto material em linha reta, então a segunda derivada f″(x) igual à aceleração de um ponto em movimento no momento x.

A terceira e quarta derivadas são determinadas de forma semelhante.

Definição. n a derivada (ou derivada n-ésima ordem) funções y=f(x)é chamado de derivada disso n-1 a derivada:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Designações: você'', e IV, e V etc.

Significado geométrico da derivada

DEFINIÇÃO DE TANGENTE A UMA CURVA Tangente a uma curva y=ƒ(x) no ponto Mé chamada de posição limite de uma secante desenhada através de um ponto M e o ponto adjacente a ele M1 curva, desde que o ponto M1 aproxima-se indefinidamente ao longo da curva até o ponto M. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA DERIVADA Derivada de uma função y=ƒ(x) no ponto X 0 é numericamente igual à tangente do ângulo de inclinação ao eixo Oh tangente à curva y=ƒ(x) no ponto M (x 0; ƒ(x 0)).

VARIAÇÃO DOTIC PARA CURVA Pontilhado para a curva y=ƒ(x) exatamente Mé chamada de posição limite da linha traçada através do ponto M e o próximo ponto com ela M1 torto, além da mente, que ponto M1 a curva está inevitavelmente se aproximando do ponto M. ZMIST GEOMÉTRICO POKHIDNOI Funções semelhantes y=ƒ(x) exatamente x0 numericamente igual à tangente da inclinação ao eixo Oh dotico, realizado para a curva y=ƒ(x) exatamente M (x 0; ƒ(x 0)).

Significado prático da derivada

Vamos considerar o que significa praticamente a quantidade que encontramos como derivada de uma determinada função.

Em primeiro lugar, derivado- este é o conceito básico do cálculo diferencial, caracterizando a taxa de variação de uma função em um determinado ponto.

O que é “taxa de mudança”? Vamos imaginar a função f(x) = 5. Independentemente do valor do argumento (x), seu valor não muda em nada. Ou seja, a taxa de sua variação é zero.

Agora considere a função f(x) =x. A derivada de x é igual a um. Na verdade, é fácil notar que para cada mudança no argumento (x) em um, o valor da função também aumenta em um.

Do ponto de vista das informações recebidas, vejamos agora a tabela de derivadas de funções simples. Com base nisso, o significado físico de encontrar a derivada de uma função fica imediatamente claro. Essa compreensão deve facilitar a resolução de problemas práticos.

Conseqüentemente, se a derivada mostra a taxa de variação de uma função, então a derivada dupla mostra aceleração.

2080.1947

Data: 20/11/2014

O que é um derivado?

Tabela de derivadas.

Derivada é um dos principais conceitos da matemática superior. Nesta lição apresentaremos esse conceito. Vamos nos conhecer, sem formulações e provas matemáticas rígidas.

Este conhecimento permitirá que você:

Compreender a essência das tarefas simples com derivadas;

Resolva com sucesso essas tarefas mais simples;

Prepare-se para lições mais sérias sobre derivadas.

Primeiro - uma surpresa agradável.)

A definição estrita da derivada é baseada na teoria dos limites e a coisa é bastante complicada. Isso é perturbador. Mas a aplicação prática das derivadas, via de regra, não requer um conhecimento tão amplo e profundo!

Para completar com sucesso a maioria das tarefas na escola e na universidade, basta saber apenas alguns termos- compreender a tarefa, e apenas algumas regras- para resolver isso. Isso é tudo. Isso me faz feliz.

Vamos começar a nos conhecer?)

Termos e designações.

Existem muitas operações matemáticas diferentes na matemática elementar. Adição, subtração, multiplicação, exponenciação, logaritmo, etc. Se você adicionar mais uma operação a essas operações, a matemática elementar se tornará mais elevada. Esta nova operação é chamada diferenciação. A definição e o significado desta operação serão discutidos em lições separadas.

É importante compreender aqui que a diferenciação é simplesmente uma operação matemática numa função. Pegamos qualquer função e, de acordo com certas regras, a transformamos. O resultado será uma nova função. Esta nova função é chamada: derivado.

Diferenciação- ação em uma função.

Derivado- o resultado desta ação.

Assim como, por exemplo, soma- o resultado da adição. Ou privado- o resultado da divisão.

Conhecendo os termos, você pode pelo menos entender as tarefas.) As formulações são as seguintes: encontre a derivada de uma função; pegue a derivada; diferenciar a função; calcular derivada e assim por diante. Isso é tudo mesmo. Claro, existem também tarefas mais complexas, onde encontrar a derivada (diferenciação) será apenas uma das etapas para resolver o problema.

A derivada é indicada por um traço no canto superior direito da função. Assim: você" ou f"(x) ou S"(t) e assim por diante.

Leitura acidente vascular cerebral igrek, ef acidente vascular cerebral de x, es acidente vascular cerebral de te, bem, você entende...)

Um primo também pode indicar a derivada de uma função específica, por exemplo: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" etc. Freqüentemente, as derivadas são denotadas por diferenciais, mas não consideraremos tal notação nesta lição.

Suponhamos que aprendemos a compreender as tarefas. Tudo o que resta é aprender como resolvê-los.) Deixe-me lembrá-lo mais uma vez: encontrar a derivada é transformação de uma função de acordo com certas regras. Surpreendentemente, existem muito poucas dessas regras.

Para encontrar a derivada de uma função, você precisa saber apenas três coisas. Três pilares sobre os quais assenta toda a diferenciação. Aqui estão estes três pilares:

1. Tabela de derivadas (fórmulas de diferenciação).

3. Derivada de uma função complexa.

Vamos começar em ordem. Nesta lição veremos a tabela de derivadas.

Tabela de derivadas.

Há um número infinito de funções no mundo. Nesse conjunto existem funções que são mais importantes para o uso prático. Estas funções são encontradas em todas as leis da natureza. A partir dessas funções, como a partir de tijolos, você pode construir todas as outras. Esta classe de funções é chamada funções elementares. São essas funções que se estudam na escola - linear, quadrática, hipérbole, etc.

Diferenciação de funções "do zero", ou seja, Com base na definição de derivada e na teoria dos limites, isso é algo bastante trabalhoso. E os matemáticos também são pessoas, sim, sim!) Então eles simplificaram a vida deles (e a nossa). Eles calcularam as derivadas de funções elementares antes de nós. O resultado é uma tabela de derivadas, onde tudo está pronto.)

Aqui está esta placa para as funções mais populares. À esquerda está uma função elementar, à direita está sua derivada.

	Função sim	Derivada da função y você"
1	C (valor constante)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - qualquer número)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	pecado x	(pecado x)" = cosx
	porque x	(cos x)" = - sen x
	tg x
	ctg x
5	arco seno x
	arcos x
	arctano x
	arcoctg x
4	a x
	e x
5	registro a x
	Em x ( uma = e)

Recomendo prestar atenção ao terceiro grupo de funções desta tabela de derivadas. A derivada de uma função potência é uma das fórmulas mais comuns, senão a mais comum! Entendeu a dica?) Sim, é aconselhável saber de cor a tabela de derivadas. Aliás, isso não é tão difícil quanto pode parecer. Tente resolver mais exemplos, a própria tabela será lembrada!)

Encontrar o valor tabular da derivada, como você entende, não é a tarefa mais difícil. Portanto, muitas vezes em tais tarefas existem chips adicionais. Seja no texto da tarefa, seja na função original, que não parece estar na tabela...

Vejamos alguns exemplos:

1. Encontre a derivada da função y = x 3

Não existe tal função na tabela. Mas existe uma derivada de uma função de potência na forma geral (terceiro grupo). No nosso caso n=3. Então substituímos três em vez de n e anotamos cuidadosamente o resultado:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

É isso.

Responder: e" = 3x 2

2. Encontre o valor da derivada da função y = sinx no ponto x = 0.

Esta tarefa significa que você deve primeiro encontrar a derivada do seno e depois substituir o valor x = 0 nesta mesma derivada. Exatamente nessa ordem! Caso contrário, acontece que eles substituem imediatamente zero na função original... Somos solicitados a encontrar não o valor da função original, mas o valor sua derivada. A derivada, deixe-me lembrá-lo, é uma nova função.

Usando a tabuinha encontramos o seno e a derivada correspondente:

y" = (sen x)" = cosx

Substituímos zero na derivada:

y"(0) = cos 0 = 1

Esta será a resposta.

3. Diferencie a função:

O que isso inspira?) Não existe tal função na tabela de derivadas.

Deixe-me lembrá-lo de que derivar uma função é simplesmente determinar a derivada desta função. Se você esquecer a trigonometria elementar, procurar a derivada da nossa função é bastante problemático. A mesa não ajuda...

Mas se percebermos que nossa função é cosseno de ângulo duplo, então tudo melhora imediatamente!

Sim Sim! Lembre-se que transformando a função original antes da diferenciação bastante aceitável! E isso torna a vida muito mais fácil. Usando a fórmula do cosseno de ângulo duplo:

Aqueles. nossa função complicada nada mais é do que y = cosx. E esta é uma função de tabela. Obtemos imediatamente:

Responder: y" = - pecado x.

Exemplo para graduados e estudantes avançados:

4. Encontre a derivada da função:

É claro que não existe tal função na tabela de derivadas. Mas se você se lembra da matemática elementar, operações com potências... Então é bem possível simplificar esta função. Assim:

E x elevado a um décimo já é uma função tabular! Terceiro grupo, n=1/10. Escrevemos diretamente de acordo com a fórmula:

Isso é tudo. Esta será a resposta.

Espero que tudo fique claro com o primeiro pilar da diferenciação - a tabela de derivadas. Resta lidar com as duas baleias restantes. Na próxima lição aprenderemos as regras de diferenciação.

Deixe a função ser definida em um ponto e em alguma de sua vizinhança. Vamos dar ao argumento um incremento tal que o ponto caia dentro do domínio de definição da função. A função será então incrementada.

DEFINIÇÃO. Derivada de uma função em um ponto é chamado o limite da razão entre o incremento da função neste ponto e o incremento do argumento, em (se este limite existir e for finito), ou seja,

Denote: ,,,.

Derivada de uma função em um ponto à direita (esquerda) chamado

(se este limite existir e for finito).

Designado por: , – derivada no ponto à direita,

, é a derivada no ponto à esquerda.

Obviamente, o seguinte teorema é verdadeiro.

TEOREMA. Uma função tem uma derivada em um ponto se e somente se neste ponto as derivadas da função à direita e à esquerda existem e são iguais entre si. Além disso

O teorema a seguir estabelece uma conexão entre a existência de uma derivada de uma função em um ponto e a continuidade da função nesse ponto.

TEOREMA (condição necessária para a existência de uma derivada de uma função em um ponto). Se uma função tem uma derivada num ponto, então a função nesse ponto é contínua.

PROVA

Deixe existir. Então

,

onde é infinitesimal em.

Comente

derivada de uma função e denotar

diferenciação de função .

SIGNIFICADO GEOMÉTRICO E FÍSICO

1) Significado físico da derivada. Se uma função e seu argumento são quantidades físicas, então a derivada é a taxa de variação de uma variável em relação à variável em um ponto. Por exemplo, se é a distância percorrida por um ponto no tempo, então sua derivada é a velocidade no momento. Se é a quantidade de eletricidade que flui através da seção transversal do condutor em um instante de tempo, então é a taxa de variação na quantidade de eletricidade em um instante de tempo, ou seja, força atual em um momento no tempo.

2) Significado geométrico da derivada.

Seja alguma curva, seja um ponto na curva.

Qualquer linha reta que cruza pelo menos dois pontos é chamada secante .

Tangente a uma curva em um ponto chamada de posição limite de uma secante se o ponto tende, movendo-se ao longo de uma curva.

Pela definição é óbvio que se uma tangente a uma curva existe num ponto, então ela é a única

Considere uma curva (ou seja, um gráfico de uma função). Deixe-o ter uma tangente não vertical em um ponto. Sua equação: (equação de uma reta que passa por um ponto e possui coeficiente angular).

Por definição de inclinação

onde é o ângulo de inclinação da linha reta em relação ao eixo.

Seja o ângulo de inclinação da secante em relação ao eixo, onde. Como é uma tangente, então quando

Por isso,

Assim, conseguimos que – coeficiente angular da tangente ao gráfico da função no ponto(significado geométrico da derivada de uma função em um ponto). Portanto, a equação da tangente à curva em um ponto pode ser escrita na forma

Comente . Uma linha reta que passa por um ponto perpendicular à tangente traçada à curva no ponto é chamada normal à curva no ponto . Como os coeficientes angulares das retas perpendiculares estão relacionados pela relação, a equação da normal à curva em um ponto terá a forma

, Se .

Se , então a tangente à curva no ponto terá a forma

e normal.

EQUAÇÕES TANGENT E NORMAIS

Equação tangente

Deixe a função ser dada pela equação sim=f(x), você precisa escrever a equação tangente no ponto x 0. Da definição de derivada:

sim/(x)=limΔ x→0Δ simΔ x

Δ sim=f(x+Δ x)−f(x).

A equação tangente para o gráfico da função: sim=kx+b (k,b=const). Do significado geométrico da derivada: f/(x 0)=tgα= k Porque x 0 e f(x 0)∈ linha reta, então a equação tangenteé escrito como: sim−f(x 0)=f/(x 0)(x−x 0) ou

sim=f/(x 0)· x+f(x 0)−f/(x 0)· x 0.

Equação normal

Normal- é perpendicular a tangente(Ver foto). Com base nisso:

tgβ= tg(2π−α)= ctgα=1 tgα=1 f/(x 0)

Porque o ângulo de inclinação da normal é o ângulo β1, então temos:

tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=−1 f/(x).

Ponto ( x 0,f(x 0))∈ normal, a equação assume a forma:

sim−f(x 0)=−1f/(x 0)(x−x 0).

PROVA

Deixe existir. Então

,

onde é infinitesimal em.

Mas isto significa que é contínuo num ponto (ver a definição geométrica de continuidade). ∎

Comente . A continuidade de uma função num ponto não é condição suficiente para a existência de uma derivada desta função num ponto. Por exemplo, uma função é contínua, mas não possui derivada em um ponto. Realmente,

e portanto não existe.

Obviamente, a correspondência é uma função definida em algum conjunto. Eles a chamam derivada de uma função e denotar

A operação de encontrar para uma função sua função derivada é chamada diferenciação de função .

Derivada de soma e diferença

Sejam dadas as funções f(x) e g(x) cujas derivadas são conhecidas por nós. Por exemplo, você pode usar as funções elementares discutidas acima. Então você pode encontrar a derivada da soma e da diferença dessas funções:

(f + g)’ = f ’ + g ’

(f − g)’ = f ’ − g ’

Assim, a derivada da soma (diferença) de duas funções é igual à soma (diferença) das derivadas. Pode haver mais termos. Por exemplo, (f + g + h)’ = f’ + g’ + h’.

A rigor, não existe o conceito de “subtração” em álgebra. Existe um conceito de “elemento negativo”. Portanto, a diferença f − g pode ser reescrita como a soma f + (−1) g, e então resta apenas uma fórmula - a derivada da soma.