O tópico deste tutorial em vídeo será as propriedades de movimento, bem como a tradução paralela. No início da lição, repetiremos mais uma vez o conceito de movimento, seus principais tipos - simetria axial e central. Depois disso, consideramos todas as propriedades do movimento. Vamos analisar o conceito de "transferência paralela", para que serve, vamos nomear suas propriedades.

Tema: Movimento

Lição: Movimento. Propriedades de movimento

Vamos provar o teorema: ao se mover, o segmento passa para o segmento.

Vamos decifrar a formulação do teorema com a ajuda da Fig. 1. Se as extremidades de um determinado segmento MN durante o movimento forem exibidas em alguns pontos M 1 e N 1, respectivamente, então qualquer ponto P do segmento MN irá necessariamente para algum ponto P 1 do segmento M 1 N 1, e vice-versa, a cada ponto Q 1 do segmento M 1 N 1 será exibido algum ponto Q do segmento MN.

Prova.

Como pode ser visto na figura, MN = MP + PN.

Deixe o ponto P ir para algum ponto P 1 "do plano. A definição de movimento implica a igualdade dos comprimentos dos segmentos MN \u003d M 1 N 1, MP \u003d M 1 P 1", PN \u003d P 1 "N 1. Destas igualdades segue-se que M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MP + РN = MN = M 1 N 1, ou seja, o ponto Р 1 "pertence ao segmento M 1 N 1 e coincide com o ponto P 1, caso contrário ao invés da igualdade acima, a desigualdade do triângulo M 1 P 1 "+ P 1" N 1 > M 1 N 1 seria verdadeira. que ao se mover, qualquer ponto, qualquer ponto P do segmento MN irá necessariamente para algum ponto P 1 do segmento M 1 N 1. A segunda parte do teorema (referente ao ponto Q 1) é provada exatamente da mesma maneira .

O teorema provado é válido para qualquer movimento!

Teorema: ao se mover, o ângulo entra em um ângulo igual.

Seja RAOB (Fig. 2). E seja dado algum movimento, no qual o vértice РО vai para o ponto О 1 , e os pontos A e B - respectivamente para os pontos А 1 e В 1 .

Considere os triângulos AOB e A 1 O 1 B 1 . De acordo com a condição do teorema, os pontos A, O e B se movem quando se deslocam para os pontos A 1, O 1 e B 1, respectivamente. Portanto, há uma igualdade de comprimentos AO \u003d A 1 O 1, OB \u003d O 1 B 1 e AB \u003d A 1 B 1. Assim, AOB \u003d A 1 O 1 B 1 em três lados. Da igualdade dos triângulos segue a igualdade dos ângulos correspondentes O e O 1.

Assim, qualquer movimento preserva os ângulos.

Muitas consequências decorrem das propriedades básicas do movimento, em particular, que qualquer figura durante o movimento é mapeada em uma figura igual a ela.

Considere outro tipo de movimento - transferência paralela.

Transferência paralela sobre um determinado vetor é chamado de mapeamento do plano sobre si mesmo, no qual cada ponto M do plano vai para um ponto M 1 do mesmo plano que (Fig. 3).

Vamos provar isso a tradução paralela é um movimento.

Prova.

Considere um segmento arbitrário MN (Fig. 4). Deixe o ponto M se mover para o ponto M 1 durante a transferência paralela e o ponto N - para o ponto N 1. Neste caso, as condições de transferência paralela são cumpridas: e . Considere um quadrilátero

MM 1 N 1 N. Seus dois lados opostos (MM 1 e NN 1) são iguais e paralelos, conforme ditado pelas condições de tradução paralela. Portanto, este quadrilátero é um paralelogramo de acordo com um dos sinais deste último. Isso implica que os outros dois lados (MN e M 1 N 1) do paralelogramo têm comprimentos iguais, o que deve ser provado.

Assim, a transferência paralela é de fato um movimento.

Vamos resumir. Já estamos familiarizados com três tipos de movimento: simetria axial, simetria central e translação paralela. Provamos que, ao se mover, um segmento passa para um segmento e um ângulo para um ângulo igual. Além disso, pode-se mostrar que uma linha reta passa por uma linha reta ao se mover e um círculo passa por um círculo de mesmo raio.

1. Atanasyan L. S. e outros. Graus de geometria 7-9. Livro didático para instituições de ensino. - M.: Educação, 2010.

2. Testes de geometria Farkov A. V.: 9ª série. Para o livro de L. S. Atanasyan e outros - M.: Exame, 2010.

3. A. V. Pogorelov, Geometria, relato. para 7-11 células. em geral inst. - M.: Iluminismo, 1995.

1. Portal educacional russo ().

2. Festival de ideias pedagógicas "Aula Aberta" ().

1. Atanasyan (ver referências), p. 293, § 1, item 114.

Propriedade 1. Seja f o movimento dos pontos no plano, A", B" e C" sejam as imagens dos pontos A, B e C durante o movimento de f. Então os pontos A", B" e C" estão em uma linha reta se e somente se quando os pontos A, B e C são colineares.

Propriedade 4. Ao se mover, transforma-se em um segmento igual a ele. Propriedade 5. Ao se mover, um raio se transforma em raio.

Propriedade 7. Seja dado um círculo de raio r centrado em um ponto O. Então, ao se mover, ele se transforma em um círculo de mesmo raio, centrado em um ponto coincidente com a imagem do centro O.

Por um referencial plano afim queremos dizer um triplo ordenado de pontos não colineares. Propriedade 7. Ao se mover, o quadro se transforma em quadro e o quadro ortonoral em ortonormal.

Teorema (Teorema básico dos movimentos). Sejam os referenciais ortonormais u dados no plano. Então há um movimento único g que leva o quadro R para R": .

Consequência. Se f é um movimento do plano: traduzindo um referencial ortonnormal R em um referencial ortonormal R", então cada ponto M do plano com coordenadas xey relativas a R corresponde a um ponto M" = f(M) com a mesma coordenadas x e y em relação a R".

"Investigação de movimentos planos e algumas de suas propriedades". página 21 de 21

Investigação de movimentos planos

e algumas de suas propriedades

Contente

Da história do desenvolvimento da teoria dos movimentos.

Definição e propriedades dos movimentos.

Congruência de figuras.

Tipos de movimentos.

4.1. Transferência paralela.

4.2. Virar.

4.3. Simetria em relação a uma linha reta.

4.4. Simetria deslizante.

5. Estudo de propriedades especiais de simetria axial.

6. Investigação da possibilidade da existência de outros tipos de movimentos.

7. Teorema da mobilidade. Dois tipos de movimentos.

8. Classificação dos movimentos. Teorema de Chall.

Movimentos como conjunto de transformações geométricas.

Aplicação de movimentos na resolução de problemas.

Literatura.

História do desenvolvimento da teoria dos movimentos.

O primeiro que começou a provar algumas proposições geométricas é considerado o antigo matemático grego Tales de Mileto(625-547 aC). Foi graças a Tales que a geometria começou a se transformar de um conjunto de regras práticas em uma verdadeira ciência. Antes de Tales, as provas simplesmente não existiam!

Como Tales conduziu suas provas? Para isso, ele usou movimentos.

Tráfego - esta é uma transformação de figuras, em que as distâncias entre os pontos são preservadas. Se duas figuras são combinadas exatamente umas com as outras por meio do movimento, essas figuras são iguais, iguais.

Foi assim que Tales provou vários dos primeiros teoremas da geometria. Se o plano é girado como um todo rígido em torno de algum ponto O 180º, feixe OA vai para a sua continuação OA ’ . Com tamanha girando (também chamado simetria central centrado O ) cada ponto MAS move-se para um ponto MAS ’ , o que O é o ponto médio do segmento AA ’ (Figura 1).

Fig.1 Fig.2

Deixar O - vértice comum dos cantos verticais AOB e MAS ’ OV ’ . Mas então fica claro que ao girar 180°, os lados de um dos dois ângulos verticais passarão apenas para os lados do outro, ou seja, estes dois cantos estão alinhados. Isto significa que os ângulos verticais são iguais (Fig. 2).

Provando a igualdade dos ângulos na base de um triângulo isósceles, Tales usou simetria axial : ele combinou as duas metades de um triângulo isósceles dobrando o desenho ao longo da bissetriz do ângulo no vértice (Fig. 3). Da mesma forma, Tales provou que o diâmetro divide o círculo.

Fig.3 Fig.4

Thales aplicado e outro movimento - transferência paralela , em que todos os pontos da figura são deslocados em uma determinada direção pela mesma distância. Com sua ajuda, ele provou o teorema que agora leva seu nome:

se segmentos iguais são colocados de lado em um lado do ângulo e linhas paralelas são desenhadas através das extremidades desses segmentos até que se cruzem com o segundo lado do ângulo, então segmentos iguais também serão obtidos no outro lado do ângulo(Fig. 4).

Nos tempos antigos, a ideia de movimento também foi usada pelos famosos Euclides, o autor de "Beginnings" - um livro que sobreviveu mais de dois milênios. Euclides foi contemporâneo de Ptolomeu I, que governou no Egito, Síria e Macedônia de 305-283 aC.

Os movimentos estavam implicitamente presentes, por exemplo, no raciocínio de Euclides ao provar os sinais de igualdade dos triângulos: "Vamos impor um triângulo a outro de tal maneira". De acordo com Euclides, duas figuras são chamadas iguais se podem ser "combinadas" por todos os seus pontos, ou seja, movendo uma figura como um todo sólido, pode-se sobrepô-la com precisão a uma segunda figura. Para Euclides, o movimento ainda não era um conceito matemático. O sistema de axiomas estabelecido pela primeira vez por ele nos "Princípios" tornou-se a base de uma teoria geométrica chamada geometria euclidiana.

Nos tempos modernos, o desenvolvimento de disciplinas matemáticas continua. A geometria analítica foi criada no século XI. Professor de Matemática na Universidade de Bolonha Boaventura Cavalieri(1598-1647) publica o ensaio "Geometria, enunciada de uma nova forma com a ajuda do contínuo indivisível". Segundo Cavalieri, qualquer figura plana pode ser considerada como um conjunto de linhas paralelas ou "traços" que uma linha deixa ao se mover paralela a si mesma. Da mesma forma, uma ideia é dada sobre os corpos: eles são formados durante o movimento dos planos.

O desenvolvimento posterior da teoria do movimento está associado ao nome do matemático e historiador da ciência francês Michel Chal(1793-1880). Em 1837, publicou a obra "Revisão histórica da origem e desenvolvimento dos métodos geométricos". No processo de sua própria pesquisa geométrica, Schall prova o teorema mais importante:

todo movimento de preservação de orientação de um plano é

translação ou rotação paralela,

qualquer movimento de mudança de orientação de um plano é axial

simetria ou simetria deslizante.

A prova do teorema de Chall está completa no item 8 deste resumo.

Um importante enriquecimento que a geometria deve ao século XIX é a criação da teoria das transformações geométricas, em particular, a teoria matemática dos movimentos (deslocamentos). Por esta altura, havia a necessidade de dar uma classificação de todos os sistemas geométricos existentes. Este problema foi resolvido por um matemático alemão Christian Félix Klein(1849-1925).

Em 1872, assumindo o cargo de professor na Universidade de Erlangen, Klein deu uma palestra sobre "Uma revisão comparativa das mais recentes pesquisas geométricas". A ideia apresentada por ele de repensar toda a geometria com base na teoria dos movimentos foi chamada de "Programa Erlangen".

Segundo Klein, para construir uma geometria específica, você precisa especificar um conjunto de elementos e um grupo de transformações. A tarefa da geometria é estudar aquelas relações entre elementos que permanecem invariantes sob todas as transformações de um determinado grupo. Por exemplo, a geometria de Euclides estuda as propriedades das figuras que permanecem inalteradas durante o movimento. Em outras palavras, se uma figura é obtida de outra por movimento (tais figuras são chamadas de congruentes), essas figuras têm as mesmas propriedades geométricas.

Nesse sentido, os movimentos formam a base da geometria, e os cinco axiomas de congruência são destacados por um grupo independente no sistema de axiomas da geometria moderna. Este sistema de axiomas completo e bastante rigoroso, resumindo todos os estudos anteriores, foi proposto pelo matemático alemão David Gilbert(1862-1943). Seu sistema de vinte axiomas, divididos em cinco grupos, foi publicado pela primeira vez em 1899 no livro "Fundamentos de Geometria".

Em 1909, um matemático alemão Friedrich Schur(1856-1932), seguindo as ideias de Thales e Klein, desenvolveu outro sistema de axiomas da geometria - baseado na consideração dos movimentos. Em seu sistema, em particular, em vez do grupo de axiomas de congruência de Hilbert, um grupo de três axiomas de movimento.

Os tipos e algumas propriedades importantes dos movimentos são discutidos em detalhes neste ensaio, mas podem ser brevemente expressos da seguinte forma: os movimentos formam um grupo que define e determina a geometria euclidiana.

Definição e propriedades dos movimentos.

Deslocando cada ponto desta figura de alguma forma, uma nova figura é obtida. Diz-se que este número é recebido transformação deste. A transformação de uma figura em outra é chamada de movimento se preserva as distâncias entre os pontos, ou seja, traduz quaisquer dois pontos X e S uma forma por ponto X ’ e S ’ outra figura para que XY = X ’S ’.

Definição. Transformação de forma que preserva a distância

entre os pontos é chamado de movimento desta figura.

! Comente: o conceito de movimento na geometria está ligado à ideia usual de deslocamento. Mas se, falando em deslocamento, imaginarmos um processo contínuo, então em geometria apenas as posições inicial e final (imagem) da figura nos importarão. Essa abordagem geométrica difere da física.

Ao mover-se, diferentes pontos correspondem a diferentes imagens, e cada ponto X uma figura é colocada em correspondência com a única ponto X ’ outra figura. Esse tipo de transformação é chamado bijetivo ou bijetivo.

No que diz respeito aos movimentos, em vez do termo "igualdade" de figuras (retas, segmentos, planos, etc.), utiliza-se o termo "congruência" e o símbolo é usado  . O símbolo є é usado para denotar pertencimento. Com isso em mente, podemos dar uma definição mais correta de movimento:

O movimento é uma transformação bijetiva φ do plano π, sob a qual para qualquer

vários pontos X, Y є π a relação XY  φ (X ) φ (S ).

O resultado da execução sucessiva de dois movimentos é chamado composição. Se o movimento for feito primeiro φ , seguido de movimento ψ , então a composição desses movimentos é denotada por ψ ◦ φ .

O exemplo mais simples de movimento é a exibição de identidade (é costume denotar - ε ), em que cada ponto X , pertencente ao plano, este ponto em si é comparado, ou seja. ε (X ) = X .

Vamos considerar algumas propriedades importantes dos movimentos.

C propriedade 1.

Lema 2. 1. Composiçãoφ ◦ ψ dois movimentosψ , φ é um movimento.

Prova.

Deixe a figura F traduzido pelo movimento ψ em uma figura F ', e a figura F ’ é traduzido pelo movimento φ em uma figura F ''. Deixe o ponto X figuras F vai ao ponto X ' formas F ’, e durante o segundo movimento, o ponto X ' formas F ' vai ao ponto X '' figuras F ''. Então a transformação da figura F em uma figura F '', em que um ponto arbitrário X figuras F vai ao ponto X '' figuras F '', preserva a distância entre os pontos e, portanto, também é um movimento.

Observe que a gravação de uma composição sempre começa a partir do último movimento, porque o resultado da composição é a imagem final - ela é colocada de acordo com o original:

X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

C propriedade 2.

Lema 2.2 . Se umφ – movimento, depois transformaçãoφ -1 também é um movimento.

Prova.

Deixe a transformação da forma F em uma figura F ’ traduz os vários pontos da figura F em vários pontos da figura F '. Deixe um ponto arbitrário X figuras F sob esta transformação vai a um ponto X ' formas F ’.

Transformação da forma F ' em uma figura F , em que o ponto X ' vai ao ponto X , é chamado transformação inversa à dada. Para cada movimento φ é possível definir o movimento inverso, que é denotado φ -1 .

Argumentando de forma semelhante à prova da propriedade 1, podemos verificar que uma transformação inversa a um movimento também é um movimento.

É óbvio que a transformação φ -1 satisfaz as igualdades:

f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε , Onde ε é a exibição idêntica.

Propriedade 3 (associatividade de composições).

Lema 2.3. Seja φ 1 , φ 2 , φ 3 - movimentos voluntários. Então φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3 ) = (φ 1 ◦φ 2 )◦φ 3 .

O fato de a composição dos movimentos ter a propriedade de associatividade nos permite determinar o grau φ com um indicador natural n .

Vamos colocar φ 1 = φ e φ n+1 = φ n ◦ φ , E se n ≥ 1 . Assim o movimento φ n obtido por n - aplicação sequencial múltipla de movimento φ .

C propriedade 4 (mantendo a retidão).

Teorema 2. 1. Pontos situados na mesma linha reta, ao se mover, passam para pontos,

Tráfego corpos sob a influência da gravidade

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Introdução.

As transformações geométricas são um ramo bastante tardio da matemática. As primeiras transformações geométricas começaram a ser consideradas no século XVII, enquanto as transformações projetivas surgiram apenas no início do século XIX.

Na álgebra, várias funções são consideradas. A função f atribui a cada número x do domínio da função um certo número f(x) - o valor da função f no ponto x. Na geometria, são consideradas funções que possuem outros domínios de definição e conjuntos de valores. Eles atribuem um ponto a cada ponto. Essas funções são chamadas de transformações geométricas.

As transformações geométricas são de grande importância na geometria. Com a ajuda de transformações geométricas, conceitos geométricos importantes como igualdade e semelhança de figuras são definidos. Graças às transformações geométricas, muitos fatos díspares da geometria se encaixam em uma teoria coerente.

Em resumo, principalmente, falaremos sobre as transformações do espaço. Serão considerados todos os movimentos, semelhanças, transformações circulares e afins do espaço, assim como as transformações afins e projetivas do plano. Para cada transformação serão consideradas suas propriedades e exemplos de aplicação na solução de problemas geométricos.

Primeiro, vamos ver alguns conceitos básicos que precisaremos para trabalhar com transformações. Detenhamo-nos em dois termos: distância e transformação. Então, o que queremos dizer com essas palavras:

Definição. Distância entre dois pontos chamaremos o comprimento do segmento com extremidades nestes pontos.

Definição. Transformação set é chamado de mapeamento um-para-um deste conjunto sobre si mesmo.

Agora vamos passar para a consideração de certos tipos de transformações geométricas.

Parte I. Movimentos do espaço.

Propriedades gerais dos movimentos.

Definição. A transformação espacial é chamada movimento, se preserva as distâncias entre os pontos.

Propriedades do movimento.

1. A transformação inversa ao movimento é o movimento.
2. A composição dos movimentos é o movimento.
3. Ao se mover, uma linha reta se transforma em uma linha reta, um raio em um raio, um segmento em um segmento, um plano em um plano, um semiplano em um semiplano.
4. A imagem de um ângulo plano em movimento é um ângulo plano de mesma magnitude.
5. O movimento preserva o ângulo entre linhas retas, entre uma linha reta e um plano, entre planos.
6. O movimento preserva o paralelismo das linhas retas, uma linha reta e um plano, planos.

Provas de propriedade.

1 e 2. Siga da definição de movimento.

1. Deixe os pontos A, X e B estarem na mesma linha reta, e o ponto X está entre A e B. Então AX + XB = AB. Sejam os pontos А´, Х´, В´ as imagens dos pontos А, Х, В durante o movimento. Então А´Х´+Х´В´=А´В´ (da definição de movimento). E daí segue que os pontos A´, X´, B´ estão em uma linha reta, e X´ está entre A´ e B´.
   Da afirmação comprovada, segue-se imediatamente que, ao se mover, uma linha reta se transforma em uma linha reta, um raio em um raio, um segmento em um segmento.

Para o plano, a prova pode ser feita da seguinte forma. Sejam a, b duas linhas de interseção do nosso plano α, a´, b´ suas imagens. Obviamente, a´ e b´ se cruzam. Seja α´ o plano que contém as retas a´, b´. Vamos provar que α´ é a imagem do plano α. Seja M um ponto arbitrário do plano α não pertencente às retas a e b. Vamos desenhar uma linha c por M que intercepta as linhas a e b em pontos diferentes. A imagem desta linha é a linha c´ que cruza as linhas a´, b´ em diferentes pontos. Isso significa que M´, a imagem do ponto M, também está no plano α´. Assim, a imagem de qualquer ponto do plano α está no plano α´. Prova-se similarmente que a pré-imagem de qualquer ponto do plano α´ está no plano α. Portanto α´ é a imagem do plano α.

Agora não é difícil provar a afirmação também para o semiplano. Só é necessário completar o semiplano para um plano, considerar a reta a que limita o semiplano e sua imagem a´, e então provar por contradição que as imagens de quaisquer dois pontos do semiplano estão sobre mesmo lado de a´.

1. Segue da propriedade 3.
2. Decorre da propriedade 4 e da definição do ângulo entre as linhas (uma linha e um plano, dois planos) no espaço.
3. Suponha o contrário, ou seja. deixe as imagens de nossas linhas paralelas (uma linha e um plano, planos) se cruzarem (no caso de linhas paralelas, ainda é necessário mostrar que suas imagens não podem ser linhas enviesadas, mas isso decorre imediatamente do fato de que o plano contendo essas linhas passarão para um plano). Em seguida, considere seu ponto comum. Terá dois protótipos, o que é impossível pela definição de transformação.

Definição. A figura F é chamada igual figura Ф´, se houver um movimento que transforme Ф em Ф´.

Tipos de movimentos.

3.1. Transformação de identidade.

Definição. Transformação de identidade O espaço E é chamado de transformação em que cada ponto do espaço entra em si mesmo.

Obviamente, a transformação idêntica é um movimento.

3.2. Transferência paralela.

Definição. Seja um vetor dado no espaço. Transferência paralela espaço em um vetor é chamado de transformação em que cada ponto M é mapeado para um ponto M' tal que .

Teorema 3.2. Transferência paralela - movimento.

Prova. Sejam А´, В´ as imagens dos pontos А, В sob transferência paralela ao vetor . Basta mostrar que AB=A´B´, que segue da igualdade:

Transferir propriedade. A tradução paralela traduz uma linha (plano) em si mesma ou em uma linha paralela a ela (plano).

Prova. Ao provar o Teorema 3.2, provamos que os vetores são preservados sob tradução paralela. Isso significa que os vetores de direção das linhas e os vetores normais dos planos são preservados. É aqui que nossa afirmação segue.

simetria central.

Definição. Simetria em relação ao ponto O ( simetria central) do espaço é uma transformação de espaço que mapeia um ponto O sobre si mesmo e mapeia qualquer outro ponto M em um ponto M' de modo que o ponto O seja o ponto médio do segmento MM'. O ponto O é chamado centro de simetria.

Teorema 3.4. Simetria central - movimento.

Prova.

Sejam A, B dois pontos arbitrários, A´, B´ suas imagens, О o centro de simetria. Então .

propriedade da simetria central. A simetria central leva uma linha (plano) para si mesma ou para uma linha paralela a ela (plano).

Prova. Ao provar o Teorema 3.4, provamos que os vetores são invertidos em translação paralela. Isso significa que os vetores diretores das retas e os vetores normais dos planos com simetria central só mudam de direção. É aqui que nossa afirmação segue.

O teorema da atribuição de movimento.

Teorema 5.1. (teorema sobre especificação de movimento) Dados dois tetraedros ABCD e A´B´C´D´ com arestas respectivamente iguais, então existe um e apenas um movimento do espaço que mapeia os pontos A, B, C, D respectivamente para os pontos A´, B´, C´, D´.

Prova.

EU. Existência. Se A coincide com A', B coincide com B', C coincide com C', D coincide com D', então simplesmente a transformação de identidade é dada. Se não, então assumimos por definição que A não coincide com A'. Considere o plano α de simetria dos pontos A e A´. Deixe a simetria S α levar o tetraedro ABCD para o tetraedro A'B 1 C 1 D 1 .

Agora, se В 1 coincidiu com В´, С 1 - com С´, D 1 - com D´, então a prova está completa. Se não, então podemos assumir sem perda de generalidade que os pontos В´ e В 1 não coincidem. Considere o plano β de simetria dos pontos B 1 e B´. O ponto A´ é equidistante dos pontos B1 e B´, portanto está no plano β. Deixe a simetria S β levar o tetraedro A'B 1 C 1 D 1 para o tetraedro A'B'C 2 D 2 .

Agora, se С 2 coincide com С´, e D 2 coincide com D´, então a prova está completa. Caso contrário, podemos assumir sem perda de generalidade que os pontos С´ e С 2 não coincidem. Considere o plano γ de simetria dos pontos С 2 e С´. Os pontos А´, В´ são equidistantes dos pontos С 2 e С´, portanto estão no plano γ. Deixe a simetria S γ transformar o tetraedro A´B´C 2 D 2 no tetraedro A´B´C´D 3 .

Agora, se D 3 coincide com D´, então a prova está completa. Se não, então considere o plano δ de simetria dos pontos D 3 e D´. Os pontos А´, В´, С´ são equidistantes dos pontos D 3 e D´, portanto estão no plano δ. Assim, a simetria S δ leva o tetraedro A´B´C´D 3 ao tetraedro A´B´C´D´.

Assim, a composição do número requerido de simetrias espelhadas reduzidas transforma o tetraedro ABCD no tetraedro A´B´C´D´. E essa transformação é um movimento (propriedade 2 dos movimentos).

II. Singularidade. Sejam 2 movimentos f e g que levam A para A´, B para B´, C para C´, D para D´. Então o movimento é uma transformação idêntica, pois deixa os pontos A, B, C, D fixos. Então f=g.

Na prova do Teorema 5.1 (existência), de fato, o

Teorema 5.2. Qualquer movimento do espaço é uma composição de não mais que quatro simetrias espelhadas.

Homotetia do espaço.

Consideremos primeiro um importante caso particular de similaridade, a homotetia.

Definição. Homotetia com centro O e coeficiente é uma transformação do espaço, em que a imagem de cada ponto X é um ponto X´ tal que .

Propriedades da homotetia.

Provas de propriedade.

1 e 2. Segue da definição de homotetia.

3. Prova-se de forma análoga ao teorema correspondente no plano. De fato, se considerarmos um ponto X arbitrário do espaço, bastará provar nosso teorema para o plano (AXB).

4. Provado por contradição.

1. Segue da propriedade 1.

propriedades de semelhança.

Teorema 2.1. A semelhança do espaço pode ser representada pela composição de homotetia e movimento f:

Prova. Vamos fazer uma homotetia centrada em um ponto arbitrário. Considere uma transformação f tal que (a existência de tal transformação segue da definição de uma transformação). A transformação f será movimento pela definição de movimento.

Observe que escolhendo para f o movimento , podemos obter uma representação de nossa similaridade também nesta forma.

propriedades de semelhança.

Provas de propriedade.

1 e 2. Corolários do Teorema 2.1.

3. Decorre da definição de similaridade.

4. Para o cubo, o teorema é obviamente verdadeiro. Para um corpo composto por cubos, é claro, também.

Um poliedro arbitrário M pode ser imposto a uma rede cúbica. Vamos moer esta treliça. Como o lado de um cubo de nossa rede tende a zero, os volumes de dois corpos: o corpo I, formado por cubos completamente dentro de M, e o corpo S, formado por cubos que têm pontos em comum com M, tendem ao volume do poliedro M (isso decorre do fato de que para cada face do nosso poliedro M, o volume dos cubos que cruzam essa face tenderá a zero). Ao mesmo tempo, para a imagem M´ do poliedro M com nossa semelhança, os volumes dos corpos I´, S´ (imagens dos corpos I, S) tendem ao volume do poliedro M´. Para os corpos I e S, nosso teorema é verdadeiro, o que significa que também é verdadeiro para o poliedro M.

O volume de um corpo arbitrário é determinado em termos dos volumes do poliedro correspondente, de modo que o teorema também é verdadeiro para um corpo arbitrário.

Teorema 2.2. (ao definir a semelhança de espaço) Se dois tetraedros ABCD e A´B´C´D´ são dados tais que , então existe exatamente uma similaridade de espaço para o qual A→A´, B→B´, С→С´, D→D´.

Prova. Que tal semelhança existe segue do Teorema 2.1 e do teorema sobre a especificação do movimento do espaço (Parte I, Teorema 5.1). Sejam duas dessas transformações: P e Р´. Então a transformação é um movimento com pontos fixos A, B, C, D, ou seja. f é a transformação de identidade. Portanto, P=P'.

Tarefa 1.

Os pontos M, N, P estão localizados nos lados AB, BC, AC do triângulo ABC. Os pontos M´, N´, P´ são simétricos aos pontos M, N, P em relação aos lados AB, BC, AC. Prove que as áreas dos triângulos MNP e M´N´P´ são iguais.

Solução.

Para um triângulo regular, a afirmação é óbvia.

Da mesma forma, qualquer trapézio pode ser convertido em um isósceles por uma transformação afim, ou seja, basta provar qualquer afirmação afim para um trapézio isósceles.

Tarefa 2.

Em um trapézio ABCD com bases AD e BC, uma linha é traçada através do ponto B, paralela ao lado CD e cruzando a diagonal AC no ponto P, e através do ponto C, uma linha paralela ao lado AB e cruzando a diagonal BD no ponto Q. que a linha PQ é paralela ao trapézio de bases.

Solução.

Para um trapézio isósceles, a afirmação é óbvia.

Compressão para uma linha reta.

Definição. Compressão em linha retaℓ com coeficiente k() é uma transformação que leva um ponto arbitrário M a um ponto M´ tal que e , onde .

Teorema 2.1. A contração em linha reta é uma transformação afim.

Prova. Por uma verificação direta, garantimos que a linha reta se transforma em uma linha reta. Você pode até notar que encolher para uma linha reta é um caso especial de projeção paralela (quando a direção da projeção é perpendicular à linha de interseção dos planos).

Teorema 2.2. Para qualquer transformação afim, existe uma rede quadrada, que, sob essa transformação, se transforma em uma rede retangular.

Prova. Vamos pegar uma rede quadrada arbitrária e considerar um de seus quadrados OABS. Com nossa transformação, ele se transformará em um paralelogramo О´А´В´С´. Se O´A´B´C´ for um retângulo, então nossa prova está completa. Caso contrário, assumimos por definição que o ângulo А´О´В´ é agudo. Giraremos o quadrado OABS e toda a nossa rede em torno do ponto O. Quando o quadrado OABS ligar (assim o ponto A se moveu para o ponto B), o ponto A´ irá para o ponto B´, e B´ para o vértice do paralelogramo adjacente a O´A´ W´S´. Aqueles. ângulo A´O´B´ torna-se obtuso. De acordo com o princípio da continuidade, em algum momento ele era heterossexual. Neste momento, o quadrado OABS se transformou em um retângulo, e nossa rede em uma rede retangular, etc.

Teorema 2.3. Uma transformação afim pode ser representada por uma composição de contração a uma linha reta e semelhança.

Prova. Segue do Teorema 2.2.

Teorema 2.4. Uma transformação afim que transforma certo círculo em círculo é uma semelhança.

Prova. Descrevemos um quadrado próximo ao nosso círculo e o giramos para que se transforme em um retângulo durante nossa transformação (Teorema 2.2.). Nosso círculo entrará em um círculo inscrito neste retângulo, então este retângulo é um quadrado. Agora podemos especificar a grade quadrada que nossa transformação transformará em uma grade quadrada. Obviamente, nossa transformação é uma semelhança.

3. Transformações afins do espaço.

Definição. afim uma transformação de espaço é uma transformação de espaço que transforma cada plano em um plano.

Propriedades.

1. Sob uma transformação afim, as linhas retas tornam-se linhas retas.
2. Uma transformação afim do espaço induz um mapeamento afim de cada plano em sua imagem.
3. Sob uma transformação afim, planos paralelos (linhas retas) passam para planos paralelos (linhas retas).

Provas de propriedade.

1. Decorre do fato de que uma linha reta é a interseção de dois planos e da definição de uma transformação afim.
2. Segue da definição de uma transformação afim e propriedade 1.
3. Para planos é provado por contradição, para linhas retas - através da propriedade 2 e da propriedade da transformação afim do plano.

Teorema 3.1. (na especificação de uma transformação de espaço afim) Para qualquer tetraedro ABCD e A´B´C´D´ existe uma única transformação afim que leva A para A´, B para B´, C para C´, D para D´.

Prova. A prova é semelhante ao Teorema 1.1. (as redes de paralelepípedos são construídas).

Segue da prova do Teorema 3.1 que se temos algum sistema de coordenadas oblíquas W, e W´ é sua imagem sob uma transformação afim, então as coordenadas de um ponto arbitrário no espaço no sistema de coordenadas W são iguais às coordenadas de seu imagem no sistema de coordenadas W´.

Disto segue imediatamente um pouco mais propriedades transformação afim.

1. Uma transformação afim é afim.
2. As transformações afins preservam as proporções dos comprimentos dos segmentos paralelos.

Agora seja o sistema de coordenadas (O, , , ) dado no espaço e a transformação afim f leva O em O', e os vetores de base em vetores , , respectivamente. Vamos encontrar as coordenadas x´, y´, z´ da imagem M´(x´,y´,z´) do ponto M(x,y,z) sob a transformação f.

Partimos do fato de que o ponto M no sistema de coordenadas (О, , , ) tem as mesmas coordenadas que o ponto М´ no sistema de coordenadas (О´, , , ). Daqui

Portanto, temos igualdades (*):

Também vale notar que , Porque os vetores , , são linearmente independentes.

Esse determinante é chamado determinante de transformação afim.

Teorema 3.2. A transformação dada pelas igualdades (*) em é afim.

Prova. Basta verificar que a transformação inversa à transformação(*) é afim (propriedade 4). Tome um plano arbitrário Аx´+Вy´+Сz´+D=0, onde А, В, С não são iguais a zero ao mesmo tempo. Realizando substituições (*), obtemos a equação de sua pré-imagem:

Resta apenas verificar se os coeficientes em x, y, z na equação resultante não são simultaneamente iguais a zero. Isso é verdade, porque caso contrário o sistema

com um determinante diferente de zero teria apenas uma solução zero: A=B=C=0, o que não é verdade.

Teorema 3.3. Para os volumes V e V´ dos corpos correspondentes à transformação afim, há uma dependência .

Prova. Sejam vetores não coplanares , , formem uma base vetorial do espaço, e sejam os vetores , e . Calculando o produto misto desses vetores, obtemos:

.

Vamos aproveitar o fato de que o volume de um paralelepípedo orientado construído sobre vetores como sobre arestas é igual ao produto misto desses vetores:

,

onde V 0 é o volume do paralelepípedo construído sobre vetores de base.

Uma transformação afim não altera as coordenadas dos vetores correspondentes nas bases correspondentes. Portanto, para o volume V´ da imagem do paralelepípedo de volume V, temos:

,

onde é o volume de um paralelepípedo construído sobre vetores como sobre arestas.

A partir daqui temos: . Mais longe , então para volumes não orientados temos . Esta igualdade pode ser estendida a todos os órgãos de forma semelhante à prova da propriedade 4 das semelhanças (Parte II, §2).

Uma tarefa.

O vértice do paralelepípedo está ligado aos centros de três faces que não o contêm. Encontre a razão entre o volume do tetraedro resultante e o volume do paralelepípedo dado.

Solução.

Vamos calcular essa razão para um cubo e, tendo convertido o cubo em paralelepípedo por uma transformação afim, usaremos o fato de que a transformação afim preserva a razão de volumes. Para um cubo, a proporção é fácil de calcular. É igual a 1:12.

Responda: 1:12.

A relação do espaço.

Definição. Uma transformação afim do espaço com um plano de pontos fixos é chamada transformação relacionada ρ (parentesco), e o plano de seus pontos fixos é chamado plano de parentesco. Os elementos que estão relacionados são chamados relacionado.

Definição. A direção das linhas que conectam pontos relacionados é chamada direção de parentesco.

propriedades de parentesco.

1. Linhas relacionadas (planos) se cruzam no plano de parentesco ou são paralelas a ele.
2. (Correção de determinar a direção do parentesco) As linhas, cada uma das quais conectam dois pontos relacionados, são paralelas.
3. Se a direção da relação não for paralela ao plano dessa relação, então cada segmento conectando dois pontos relacionados é dividido pelo plano de relação na mesma razão.
4. Qualquer plano paralelo à direção do parentesco é imóvel nesse parentesco. Nela, é induzida a relação do plano (uma transformação afim que possui uma linha de pontos fixos, chamada eixo de relação), cujo eixo é a linha de sua interseção com o plano da relação espacial dada.

Provas de propriedade.

1. A prova é semelhante à prova da propriedade de simetria do espelho (Parte I, §3.5).

2. Sejam A, B dois pontos distintos; A´, B´ são suas imagens em relação, α é o plano da relação. Deixar . Então (uma propriedade de uma transformação afim), i.e. AA´||BB´, etc.

3 e 4. Segue da prova de propriedade 2.

Definição. A superfície representada pela equação , é chamado elipsóide. Um caso especial de um elipsóide é uma esfera.

Ocorre o seguinte fato, que não provaremos, porém, na prova dos seguintes teoremas, precisaremos dele:

Teorema 4.1. Uma transformação afim transforma um elipsóide em um elipsóide.

Teorema 4.2. Uma transformação afim arbitrária do espaço pode ser representada por uma composição de similaridade e relacionamento.

Prova. Faça uma transformação afim f mapear a esfera σ no elipsóide σ´. Segue do Teorema 3.1 que f pode ser dado por essas figuras. Considere um plano α´ contendo o centro do elipsóide e intersectando-o ao longo de algum círculo ω´ (a existência de tal plano pode ser facilmente provada por considerações de continuidade). Seja α a pré-imagem de α´, seja a pré-imagem de ω´, e β seja a esfera que tem o círculo ω´ como seu círculo diametral. Existe uma relação ρ mapeando β para σ´ e há uma similaridade P mapeando σ para β. Então é a representação necessária.

O teorema 4.3 segue imediatamente da prova do teorema anterior:

Teorema 4.3. Uma transformação afim que preserva a esfera é uma semelhança.

Parte IV. Transformações projetivas.

1. Transformações projetivas do plano.

Definição. Plano projetivo– um plano comum (euclidiano), completado por pontos no infinito e uma linha reta no infinito, também chamada elementos impróprios. Nesse caso, cada linha reta é complementada por um ponto impróprio, todo o plano - por uma linha imprópria; linhas paralelas são complementadas por um ponto impróprio comum, não paralelo - por diferentes; pontos impróprios que complementam todas as linhas possíveis do plano pertencem à linha imprópria.

Definição. Uma transformação de plano projetivo que leva qualquer linha a uma linha é chamada projetivo.

Consequência. Uma transformação projetiva que preserva a linha no infinito é afim; qualquer transformação afim é projetiva, preservando a linha no infinito.

Definição. projeto central o plano α sobre o plano β centrado em um ponto O não situado nesses planos é chamado de mapeamento que associa qualquer ponto A do plano α com o ponto A´ da interseção da linha OA com o plano β.

Além disso, se os planos α e β não são paralelos, então no plano α existe uma linha ℓ tal que o plano que passa pelo ponto O e a linha ℓ é paralela ao plano β. Vamos supor que ℓ durante nossa projeção vai para a linha no infinito do plano β (neste caso, cada ponto B da linha ℓ vai para aquele ponto da linha no infinito, que complementa as retas paralelas a OB). No plano β existe uma linha ℓ´ tal que o plano que passa pelo ponto O e a linha ℓ´ é paralela ao plano α. Vamos considerar ℓ´ a imagem da reta α no infinito. As linhas ℓ e ℓ´ serão chamadas dedicada.

Podemos dizer que é dada uma transformação simples do plano projetivo (se combinarmos os planos α e β).

Segue imediatamente da definição propriedades de projeção central:

1. O design central é uma transformação projetiva.
2. A transformação inversa ao desenho central é o desenho central com o mesmo centro.
3. As linhas paralelas às selecionadas tornam-se paralelas.

Definição. Deixe os pontos A, B, C, D estarem na mesma linha. Atitude dupla(AB; CD) desses pontos é chamado de valor. Se um dos pontos estiver no infinito, os comprimentos dos segmentos, cuja extremidade é esse ponto, podem ser encurtados.

Teorema 1.1. A projeção central preserva a relação dual.

Prova. Seja О o centro de projeção, А, В, С, D – quatro pontos sobre uma linha reta, A´, B´, C´, D´ – suas imagens.

De forma similar .

Dividindo uma equação pela outra, temos .

Da mesma forma, em vez do ponto C, considerando o ponto D, obtemos .

Daqui , ou seja .

Para completar a prova, resta observar que todos os segmentos, áreas e ângulos podem ser considerados orientados.

Teorema 1.2. Sejam dados quatro pontos A, B, C, D do plano π não estejam em uma linha e quatro pontos M, N, P, Q do plano π´ não estejam em uma linha sejam dados. Depois, há uma composição de projeção central (paralela) e similaridade que mapeia A para M, B para N, C para P, D para Q.

Prova.

Por conveniência, diremos que ABCD e MNPQ são quadriláteros, embora na verdade isso não seja necessário (por exemplo, os segmentos AB e CD podem se cruzar). Será visto pela prova que em nenhum lugar usamos que os pontos A, B, C, D e M, N, P, Q formam quadriláteros nessa ordem.

.

Vamos agora traçar linhas AK, BL, CF, DG através dos pontos A, B, C, D paralelas a X 1 X 2 (K, L estão em DC; G, F estão em AB), e através dos pontos N, M - linhas NT, MS paralelas a Y 1 Y 2 (T, S situam-se em PQ). Usando a projeção central (paralela) f, transformamos o trapézio ABLK no trapézio A´B´L´K´ do plano π´, que é semelhante ao trapézio MNTS (isso é possível de acordo com a parte I da nossa prova) . Além disso, da escolha dos pontos X 1 , X 2 segue que a linha X 1 X 2 é uma linha distinta do plano π'. Vamos marcar os pontos С´, D´ na linha L´K´ de modo que o trapézio ABCD seja semelhante ao trapézio A´B´C´D´. Desenhe as linhas C´F´, D´G´ paralelas à linha B´L´ (F´, G´ estão em А´В´) e marque um ponto Y 1 ´ na linha A´B´ tal que , . Na linha C´D´ marque um ponto Y 2 ´ tal que Y 1 ´Y 2 ´||A´K´ (veja a figura). Da escolha dos pontos Y 1 ´ e Y 2 ´ segue-se que a linha Y 1 ´Y 2 ´ é uma linha distinta do plano π´. Sob a transformação f, o ponto E vai para o ponto E´ da intersecção das linhas A´B´ e L´K´. O ponto С vai para algum ponto С 0 ´ da linha reta С´D´.

Vamos provar que С 0 coincide com С´. Do fato de que X 2 sob a transformação f vai para o ponto no infinito da reta C´D´, e Y 2 ´ é a imagem do ponto no infinito da reta CD e a projeção central preserva relações duplas, segue-se que este , Onde . Agora considere a transformação g, a composição da projeção central e similaridade, que leva o trapézio CDGF ao trapézio C´D´G´F´. Para a transformação g, pode-se mostrar similarmente que . Daqui seguir-se-á que os pontos С 0 e С´ coincidem. Da mesma forma, pode-se mostrar que D 0 - a imagem do ponto D sob a transformação f - coincide com D´. Assim, a transformação f transforma o quadrilátero ABCD no quadrilátero A´B´C´D´ semelhante ao quadrilátero MNPQ, conforme necessário.

Teorema 1.3. Sejam dados quatro pontos, dos quais três não estão na mesma linha reta: A, B, C, D e A´, B´, C´, D´. Então há uma transformação projetiva única que leva A para A´, B para B´, C para C´, D para D´.

Existência tal transformação segue do Teorema 1.1.

singularidade pode ser provada da mesma forma que a unicidade de uma transformação afim (Teorema 1.1, Parte III): considere uma rede quadrada, construa sua imagem e depois refine-a. Contorne as dificuldades que enfrentamos

O teorema do movimento do centro de massa.

Em alguns casos, para determinar a natureza do movimento de um sistema (especialmente um corpo rígido), é suficiente conhecer a lei do movimento de seu centro de massa. Por exemplo, se você jogar uma pedra em um alvo, você não precisa saber como ela vai cair durante o voo, é importante estabelecer se ela vai acertar o alvo ou não. Para isso, basta considerar o movimento de algum ponto desse corpo.

Para encontrar essa lei, nos voltamos para as equações de movimento do sistema e somamos suas partes esquerda e direita termo a termo. Então obtemos:

Vamos transformar o lado esquerdo da igualdade. Da fórmula para o vetor raio do centro de massa, temos:

Tomando de ambas as partes desta igualdade a segunda derivada temporal e notando que a derivada da soma é igual à soma das derivadas, encontramos:

onde é a aceleração do centro de massa do sistema. Uma vez que, de acordo com a propriedade das forças internas do sistema , então, substituindo todos os valores encontrados, finalmente obtemos:

A equação e expressa o teorema sobre o movimento do centro de massa do sistema: o produto da massa do sistema pela aceleração do seu centro de massa é igual à soma geométrica de todas as forças externas que atuam no sistema. Comparando com a equação do movimento de um ponto material, obtemos outra expressão do teorema: o centro de massa do sistema se move como um ponto material, cuja massa é igual à massa de todo o sistema e ao qual são aplicadas todas as forças externas que atuam sobre o sistema.

Projetando ambos os lados da igualdade nos eixos coordenados, obtemos:

Essas equações são equações diferenciais de movimento do centro de massa em projeções nos eixos do sistema de coordenadas cartesianas.

O significado do teorema provado é o seguinte.

1) O teorema fornece uma justificativa para os métodos de dinâmica de pontos. Pode-se ver pelas equações que as soluções que obtemos, considerando o corpo dado como um ponto material, determinam a lei do movimento do centro de massa desse corpo, Essa. tem um significado muito específico.

Em particular, se o corpo se move para frente, seu movimento é completamente determinado pelo movimento do centro de massa. Assim, um corpo em movimento progressivo pode sempre ser considerado como um ponto material com massa igual à massa do corpo. Em outros casos, o corpo pode ser considerado como ponto material somente quando, na prática, para determinar a posição do corpo, basta conhecer a posição de seu centro de massa.

2) O teorema permite, ao determinar a lei do movimento do centro de massa de qualquer sistema, excluir da consideração todas as forças internas anteriormente desconhecidas. Este é o seu valor prático.

Assim, o movimento de um carro em um plano horizontal pode ocorrer apenas sob a ação de forças externas, forças de atrito que atuam nas rodas ao lado da estrada. E a frenagem do carro também é possível apenas por essas forças, e não pelo atrito entre as pastilhas de freio e o tambor de freio. Se a estrada for lisa, por mais que as rodas travem, elas deslizarão e não irão parar o carro.

Ou após a explosão de um projétil voador (sob a influência de forças internas), seus fragmentos se espalharão para que seu centro de massa se mova ao longo da mesma trajetória.

O teorema do movimento do centro de massa de um sistema mecânico deve ser usado para resolver problemas em mecânica que requerem:

De acordo com as forças aplicadas a um sistema mecânico (na maioria das vezes a um corpo sólido), determine a lei do movimento do centro de massa;

De acordo com a lei de movimento dada dos corpos incluídos no sistema mecânico, encontre as reações das restrições externas;

Com base no movimento mútuo dado dos corpos incluídos no sistema mecânico, determine a lei do movimento desses corpos em relação a algum referencial fixo.

Usando este teorema, uma das equações de movimento de um sistema mecânico com vários graus de liberdade pode ser compilada.

Ao resolver problemas, as consequências do teorema sobre o movimento do centro de massa de um sistema mecânico são frequentemente usadas.

Corolário 1. Se o vetor principal de forças externas aplicadas a um sistema mecânico é igual a zero, então o centro de massa do sistema está em repouso ou se move de forma uniforme e retilínea. Como a aceleração do centro de massa é zero, .

Corolário 2. Se a projeção do vetor principal de forças externas em qualquer eixo for igual a zero, então o centro de massa do sistema não muda sua posição em relação a esse eixo ou se move uniformemente em relação a ele.

Por exemplo, se duas forças começam a agir sobre o corpo, formando um par de forças (Fig. 38), então o centro de massa A PARTIR DE ele se moverá ao longo da mesma trajetória. E o próprio corpo vai girar em torno do centro de massa. E não importa onde algumas forças são aplicadas.

Aliás, em estática provamos que o efeito de um par em um corpo não depende de onde ele é aplicado. Aqui mostramos que a rotação do corpo será em torno do eixo central A PARTIR DE.

Fig.38

Teorema da variação do momento cinético.

Momento cinético de um sistema mecânico em relação a um centro fixo Oé uma medida do movimento do sistema em torno deste centro. Ao resolver problemas, geralmente não é o próprio vetor que é usado, mas suas projeções nos eixos de um sistema de coordenadas fixo, que são chamados de momentos cinéticos em relação ao eixo. Por exemplo, - o momento cinético do sistema em relação ao eixo fixo Oz .

O momento cinético de um sistema mecânico é a soma dos momentos cinéticos dos pontos e corpos incluídos neste sistema. Considere métodos para determinar o momento angular de um ponto material e um corpo rígido em vários casos de seu movimento.

Para um ponto material com uma massa com velocidade, o momento angular em torno de algum eixo Ozé definido como o momento do vetor momento deste ponto em relação ao eixo selecionado:

O momento angular de um ponto é considerado positivo se, do lado da direção positiva do eixo, o movimento do ponto ocorrer no sentido anti-horário.

Se um ponto faz um movimento complexo, para determinar seu momento angular, o vetor momento deve ser considerado como a soma das quantidades de movimentos relativos e portáteis (Fig. 41)

Mas , onde é a distância do ponto ao eixo de rotação, e

Arroz. 41

A segunda componente do vetor momento angular pode ser definida da mesma forma que o momento da força em torno do eixo. Quanto ao momento da força, o valor é zero se o vetor velocidade relativa estiver no mesmo plano que o eixo de rotação translacional.

A quantidade de movimento de um corpo rígido em relação a um centro fixo pode ser definida como a soma de duas componentes: a primeira caracteriza a parte translacional do movimento do corpo juntamente com seu centro de massa, a segunda caracteriza o movimento do sistema em torno do centro de massa:

Se o corpo realiza movimento de translação, então o segundo componente é igual a zero

O momento cinético de um corpo rígido é calculado de forma mais simples quando ele gira em torno de um eixo fixo.

onde é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação.

O teorema sobre a variação do momento angular de um sistema mecânico à medida que ele se move em torno de um centro fixo é formulado da seguinte forma: a derivada do tempo total do vetor momento angular de um sistema mecânico em relação a algum centro fixo O em magnitude e direção é igual ao momento principal de forças externas aplicadas ao sistema mecânico, definido em relação ao mesmo centro

Onde - o momento principal de todas as forças externas sobre o centro O.

Ao resolver problemas em que os corpos são considerados girando em torno de um eixo fixo, eles usam o teorema da mudança no momento angular em relação a um eixo fixo

Quanto ao teorema do movimento do centro de massa, o teorema da variação do momento angular tem consequências.

Corolário 1. Se o momento principal de todas as forças externas em relação a algum centro fixo é igual a zero, então o momento cinético do sistema mecânico em relação a esse centro permanece inalterado.

Corolário 2. Se o momento principal de todas as forças externas em torno de algum eixo fixo é igual a zero, então o momento cinético do sistema mecânico em torno desse eixo permanece inalterado.

O teorema da mudança de quantidade de movimento é utilizado para resolver problemas em que se considera o movimento de um sistema mecânico, constituído por um corpo central girando em torno de um eixo fixo, e um ou mais corpos, cujo movimento está associado ao central. ser realizado por meio de roscas, os corpos podem se mover ao longo da superfície do corpo central ou em seus canais devido a forças internas. Usando este teorema, pode-se determinar a dependência da lei de rotação do corpo central da posição ou movimento dos demais corpos.