Sursa locului de munca: Soluția 4954. Examenul de stat unificat 2016 Matematică, I.V. Iascenko. 36 de opțiuni. Răspuns.

Sarcina 19. Să numim un număr natural palindrom dacă în notația sa zecimală toate cifrele sunt dispuse simetric (prima și ultima cifră sunt aceleași, a doua și penultima etc.). De exemplu, numerele 121 și 953359 sunt palindromuri, dar numerele 10 și 953953 nu sunt palindrome.

a) Dați un exemplu de număr palindromic care este divizibil cu 45.

b) Câte numere palindromice de cinci cifre sunt divizibile cu 45?

c) Aflați al zecelea număr palindrom ca mărime care este divizibil cu 45.

Soluţie.

a) Cea mai simplă opțiune ar fi numărul palindromic 5445, care este divizibil cu 45.

Răspuns: 5445.

b) Să descompunăm numărul 45 în factori primi, obținem

adică numărul trebuie să fie divizibil atât cu 5, cât și cu 9. Un semn că un număr este divizibil cu 5 este prezența numărului 5 la sfârșitul numărului (nu ținem cont de numărul 0, deoarece nu nu se potriveste). Obținem un număr palindromic sub forma 5aba5, unde a, b sunt cifrele numărului. Un semn că un număr este divizibil cu 9 este că suma cifrelor

trebuie să fie divizibil cu 9. Din această condiție avem:

Pentru b=0: ;

Pentru b=1: ;

Pentru b=2: ;

Pentru b=3: ;

Pentru b=5: ;

Pentru b=6: ;

Pentru b=7: ;

Descrierea prezentării prin diapozitive individuale:

1 tobogan

Descriere slide:

Ce este un palindrom? Lucrarea a fost realizată de profesoara de matematică Galina Vladimirovna Prihodko

2 tobogan

Descriere slide:

Problemă Un șofer s-a uitat la contorul mașinii sale și a văzut un număr simetric (palindrom) 15951 km (se citește la fel de la stânga la dreapta sau invers). Se gândea că, cel mai probabil, un alt număr simetric nu va apărea prea curând. Totuși, după 2 ore a descoperit un nou număr simetric. Cu ce ​​viteză constantă a călătorit șoferul în aceste două ore? Rezolvare: Următorul număr simetric este 16061. Diferența este 16061 - 15951 = 110 km. Dacă împărțiți 110 km la 2 ore, obțineți o viteză de 55 km/h. Raspuns: 55 km/h

3 slide

Descriere slide:

Sarcina de examinare de stat unificată a) Dați un exemplu de număr palindrom care este divizibil cu 15. b) Câte numere palindrom din cinci cifre sunt divizibile cu 15? c) Aflați al 37-lea cel mai mare număr palindromic care este divizibil cu 15. Răspunsuri: a) 5115; b) 33; c) 59295

4 slide

Descriere slide:

Ce înseamnă palindrom? Cuvântul palindrom provine din cuvântul grecesc palindromos, care înseamnă „alergă înapoi din nou”. Palindromurile pot fi nu numai numere, ci și cuvinte, propoziții și chiar texte.

5 slide

Descriere slide:

În matematică, numerele - palindromele se citesc la fel atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga. Exemple sunt toate numerele cu o singură cifră, numerele din două cifre de forma αα, cum ar fi 11 și 99, numerele din trei cifre de forma αβα, cum ar fi 535 și așa mai departe. Mai mult decât atât, toate numerele din două cifre dau palindrome (cel mai mare număr de pași - 24 - necesită numerele 89 și 98), dar încă nu se știe dacă numărul 196 dă un palindrom. Palindromuri numerice 676 (cel mai mic număr de palindrom care este pătratul unui non-palindrom este 26). 121 (cel mai mic număr de palindrom care este pătratul palindromului este 11).

6 diapozitiv

Descriere slide:

Superpalindrom Unele fraze și fraze palindromice ne sunt cunoscute din cele mai vechi timpuri. Apoi li s-a dat adesea un sens magic. Palindromurile magice includ și pătrate magice, de exemplu, SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS (tradus ca „Semănătorul lui Arepo cu greu își ține roțile”).

7 slide

Descriere slide:

În prezent, palindromul este lipsit de toate puterile magice și este un simplu joc de cuvinte care vă permite să vă folosiți puțin creierul. Majoritatea palindromurilor sunt un set relativ coerent de cuvinte, dar există și fraze interesante și inteligibile, de exemplu, „Dar Arhanghelul invizibil s-a întins pe templu și a fost minunat”. Dacă vorbim despre cuvinte palindromice, cel mai lung cuvânt din lume este considerat a fi „SAIPPUAKIVIKAUPPIAS”, care tradus din finlandeză înseamnă „vânzător de săpun”.

8 slide

Descriere slide:

Sarcină: aflați cât de des apar numere simetrice între numerele prime. Pentru numerele mai mici de 1000, acest lucru este ușor de aflat din tabelul numerelor prime. Printre numerele simple din două cifre, există un singur număr simetric - 11. Apoi am găsit: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 797, 919, 929.

Slide 9

Descriere slide:

Dovada Printre numerele de patru cifre nu există numere prime simetrice. Să demonstrăm. Numărul simetric din patru cifre are forma abba. După criteriul divizibilității cu 11, diferența dintre suma numerelor din locuri impare și suma numerelor din locuri impare: (a + b) - (b + a) = 0. Aceasta înseamnă că toate numerele simetrice din patru cifre sunt divizibile cu 11, adică compuse. În mod similar, se poate demonstra că nu vor exista numere prime între toate numerele simetrice de 2 n cifre.

10 diapozitive

Descriere slide:

Până la 100 există 25 de numere prime, dintre care unul este simetric, adică 4%. Până la 1000 de numere prime devin 168. Numere simetrice - 16. Aceasta este aproximativ 9,5%. Până la 10000, numărul de numere simetrice nu se modifică. Până la 1000000 - 78498 numere prime. Acum există 109 numere simetrice, adică aproximativ 0,13%. Este clar că procentul numerelor simetrice este în scădere, dar nu va fi deloc imposibil de spus că printre numerele foarte mari numerele prime sunt simetrice.

11 diapozitiv

Descriere slide:

Am o idee.Palindromurile numerice pot fi rezultatul operațiilor asupra altor caractere. Martin Gardner, autorul cărții „Există o idee!”, fiind un popularizator destul de cunoscut al științei, propune o anumită ipoteză. Dacă luați un număr natural (oricare) și adăugați la el inversul său (format din aceleași numere, dar în ordine inversă), atunci repetați acțiunea, dar cu suma rezultată, atunci la unul dintre pași veți obține un palindrom . În unele cazuri, este suficient să efectuați adunarea o dată: 213 + 312 = 525. Dar de obicei sunt necesare cel puțin două operații. Deci, de exemplu, dacă luăm numărul 96, atunci prin adunarea secvențială, un palindrom poate fi obținut doar la al patrulea nivel: 96 + 69 = 165 165 + 651 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 esența ipotezei este că, dacă iei orice număr, după un anumit număr de acțiuni vei obține cu siguranță un palindrom. Exemple pot fi găsite nu numai în plus, ci și în exponențiere, extragerea rădăcinilor și alte operații.

12 slide

Descriere slide:

Exemplu1 Să luăm numărul 619 Să-l citim 1 pas de la dreapta la stânga 916 Să adăugăm două numere 1535 „întoarce-l” 5351 Pasul 2 Să adăugăm 6886 Numărul 6886 este un palindrom. Mai mult, a fost obținut în doar 2 pași. Citind de la dreapta la stânga sau de la stânga la dreapta, obținem același număr.

Slide 13

Descriere slide:

Exemplul2 Să luăm numărul 95 1 pas. Pasul 1 „Să-l întoarcem” 59 Adăugați-l 154 ​​Pasul 2. „Să o întoarcem” 451 Pasul 2 Să adăugăm 605 Pasul 3 „Să o întoarcem” 506 Pasul 3 Să ​​adăugăm 1111 Numărul 1111 este un palindrom.

Slide 14

Descriere slide:

Pinocchio Probabil vă amintiți cu toții de cartea despre aventurile lui Pinocchio. Îți amintești cât de strict l-a învățat Malvina să scrie? Ea i-a spus să scrie următoarea frază: ȘI trandafirul a căzut pe laba lui AZOR - acesta este un alt palindrom.

15 slide

Descriere slide:

Palindromuri in literatura MISTRELUL A PRESAT VINETEA, TU, SASHA, SUNTEȚI PLINĂ, PE FRENTE, BOOM ARGENTINA DEVINE NEGRA DAR TU ESTI SUBȚIRE, CA NOTELE DE TON, ADA VÂNĂTORI ȘI DECEDERE

16 slide

Descriere slide:

Cuvinte-palindromuri SHALASH, NAGAN, COSSACK, KOK, STOMP, ROTOR, KABAC, PULP, BUNIC, RADAR

Slide 17

Descriere slide:

Fraze palindromice ROATA S-A OPRIT, EU NU SUNT BĂTRÂN FRATE SENYA MĂNANC UN ȘARPE ȘI CÂINELE BOSA ARGENTINA ÎNCHEIE UN NEGRU SĂ CAUTĂ UN TAXI APRECIAZĂ UN NEGRO LYOSHA ARGENTINEANĂ A GĂSIT UN BURG PE O RAFTĂ

18 slide

Descriere slide:

Palindromuri în limbi străine „Doamnă, eu sunt Adam” - prezentarea unui bărbat la o doamnă (Doamnă, eu sunt Adam). La aceasta doamna poate răspunde modest cu un „schimbător”: „Eve” (Eve). Nu sunt doar propoziții sau seturi de litere care sunt simetrice. Race fast, safe car (Race fast, safe car) Îl vezi pe Dumnezeu? (Gâștele îl văd pe Dumnezeu?) Niciodată impar sau par (Niciodată impar sau par) Nu da din cap (Nu da din cap) Dogmă: Eu sunt Dumnezeu (Dogma: Eu sunt Dumnezeu) Doamnă, în Eden sunt Adam (Doamnă, în paradis) Eu sunt Adam) Ah, Satan o vede pe Natasha (Ah, Satana o vede pe Natasha) Dumnezeu a văzut că eram câine (Dumnezeu a văzut că sunt un câine) Prefer Pi (prefer π) Prea fierbinte pentru a hoot (Prea fierbinte pentru a hohot) )

Slide 19

Descriere slide:

Palindrome-poezii Rareori țin un muc de țigară cu mâna... Stau aici cu seriozitate, creând cu furie în tăcere, o să râd o dată, o să am noroc, o să râd o dată - Da, mă bucur ! Îl poți citi de la început sau de la sfârșit.

20 de diapozitive

Descriere slide:

În muzică, piesele muzicale palindromice sunt redate „ca de obicei”, conform regulilor. Odată ce piesa este finalizată, notele sunt inversate. Apoi piesa este reluată, dar melodia nu se va schimba. Pot exista orice număr de iterații, dar nu se știe care este partea de jos și care este partea de sus. Aceste piese muzicale pot fi redate de două persoane, în timp ce citesc notele pe ambele părți în același timp. Exemple de astfel de lucrări palindromice includ The Way of the World, scrisă de Moscheles, și Table Tune for Two, compusă de Mozart.

Formulare. Este dat un număr din patru cifre. Verificați dacă este un palindrom. Notă: un palindrom este un număr, un cuvânt sau un text care citește la fel de la stânga la dreapta și de la dreapta la stânga. De exemplu, în cazul nostru acestea sunt numerele 1441, 5555, 7117 etc.

Exemple de alte numere palindromice cu zecimală arbitrară, care nu au legătură cu problema rezolvată: 3, 787, 11, 91519 etc.

Soluţie. Pentru a introduce un număr de la tastatură vom folosi o variabilă n. Numărul introdus aparține setului de numere naturale și are patru cifre, deci este în mod evident mai mare decât 255, deci tipul octet nu este potrivit pentru noi să o descriem. Apoi vom folosi tipul cuvânt.

Ce proprietăți au numerele palindromice? Din exemplele de mai sus este ușor de observat că, datorită „lizibilității” lor identice pe ambele părți, prima și ultima cifră, a doua și penultima etc., sunt egale în ele, până la mijloc. Mai mult, dacă numărul are un număr impar de cifre, atunci cifra din mijloc poate fi ignorată la verificare, deoarece atunci când regula de mai sus este îndeplinită, numărul este un palindrom, indiferent de valoarea lui.

În problema noastră, totul este chiar mai simplu, deoarece introducerea este un număr din patru cifre. Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema trebuie doar să comparăm prima cifră a numărului cu a patra și a doua cifră cu a treia. Dacă ambele aceste egalități sunt adevărate, atunci numărul este un palindrom. Tot ce rămâne este să obțineți cifrele corespunzătoare ale numărului în variabile individuale și apoi, folosind un operator condiționat, să verificați îndeplinirea ambelor egalități folosind o expresie booleană (logică).

Cu toate acestea, nu ar trebui să vă grăbiți să luați o decizie. Poate putem simplifica circuitul rezultat? Luați, de exemplu, numărul deja menționat mai sus 1441. Ce se întâmplă dacă îl împărțim în două numere din două cifre, primul dintre care va conține locul miilor și sutelor din original, iar al doilea va conține locul zecilor și unităților a originalului. Obținem numerele 14 și 41. Acum, dacă al doilea număr este înlocuit cu notația sa inversă (am făcut acest lucru în sarcina 5), atunci obținem două numere egale 14 și 14! Această transformare este destul de evidentă, deoarece palindromul se citește la fel în ambele direcții, constă dintr-o combinație de numere repetate de două ori, iar una dintre copii este pur și simplu întoarsă înapoi.

De aici concluzia: trebuie să împărțiți numărul inițial în două din două cifre, să inversați unul dintre ele și apoi să comparați numerele rezultate folosind operatorul condiționat dacă. Apropo, pentru a obține o înregistrare inversă a celei de-a doua jumătăți a unui număr, trebuie să creăm încă două variabile pentru a salva cifrele utilizate. Să le notăm ca AȘi b, și vor fi ca octet.

Acum să descriem algoritmul în sine:

1) Introduceți numărul n;

2) Atribuiți cifra unității numărului n variabil A, apoi aruncați-l. Apoi atribuim locul zecilor n variabil bși, de asemenea, aruncați-l:

3) Atribuiți unei variabile A un număr reprezentând intrarea inversă stocată în variabile AȘi b a doua parte a numărului original n conform formulei deja cunoscute:

4) Acum putem folosi un test de expresie booleană pentru egalitatea numerelor rezultate nȘi A asistenta operatorului dacăși organizați rezultatul răspunsului folosind ramuri:

if n = a then writeln(‘Da’) else writeln(‘Nu’);

Deoarece enunțul problemei nu spune în mod explicit sub ce formă trebuie afișat răspunsul, vom considera logic să îl afișam la un nivel intuitiv pentru utilizator, accesibil în limbajul propriu-zis. Pascal. Amintiți-vă că folosind operatorul scrie (scrieln) puteți afișa rezultatul unei expresii de tip boolean, iar dacă această expresie este adevărată, se va afișa cuvântul „TRUE” (adevărat în engleză înseamnă „adevărat”), dacă fals – cuvântul FALSE (fals în engleză) înseamnă "fals"). Apoi construcția anterioară cu dacă poate fi înlocuit cu

1. programul PalindromeNum;
2. n: cuvânt;
3. a, b: octet;
4. ÎNCEPE
5. readln(n);
6. a:= n mod 10;
7. n:= n div 10;
8. b:= n mod 10;
9. n:= n div 10;
10. a:= 10 * a + b;
11. scrieln(n = a)

Yakovlev Danil

Aproape toate conceptele matematice, într-un fel sau altul, se bazează pe conceptul de număr, iar rezultatul final al oricărei teorii matematice, de regulă, este exprimat în limbajul numerelor. Multe dintre ele, în special numerele naturale, după anumite caracteristici și proprietăți, sunt grupate în structuri (colecții) separate și au nume proprii. Astfel, scopul studiului este de a se familiariza cu numerele palindromice

Descarca:

Previzualizare:

FEDERAȚIA RUSĂ

Instituție de învățământ bugetar municipal

„Școala Gimnazială nr. 7”

orașul Nijnevartovsk

Muncă de cercetare
la conferinţa şcolară ştiinţifică şi practică a tinerilor cercetători

Palindromuri în matematică

2016

INTRODUCERE 4

PARTE PRINCIPALĂ................................................ .................................................. ...... .....................5

CONCLUZIA 9

REFERINȚE 11

Ipoteză
Numerele prime fac parte din numerele care alcătuiesc toate numerele naturale.
Explorând mulțimea numerelor prime, se pot obține mulțimi numerice uimitoare cu proprietățile lor extraordinare.

Scopul studiului
Aproape toate conceptele matematice, într-un fel sau altul, se bazează pe conceptul de număr, iar rezultatul final al oricărei teorii matematice, de regulă, este exprimat în limbajul numerelor. Multe dintre ele, în special numerele naturale, după anumite caracteristici și proprietăți, sunt grupate în structuri (colecții) separate și au nume proprii. Prin urmare,scopul studiuluieste o introducere în numerele palindromice.

Obiectivele cercetării

1. Studiați literatura de specialitate pe tema de cercetare.

2. Luați în considerare proprietățile palindromelor.

3. Aflați ce rol joacă numerele prime în schimbarea proprietăților numerelor care ne interesează.

Subiect de studiu– un set de numere prime.

Obiect de studiu– numerele sunt palindromuri..

Metode de cercetare:

• teoretic
• studiu
• analiză

INTRODUCERE

Într-o zi, în timp ce jucam bowling, am observat numere neobișnuite: 44, 77, 99, 101 și m-am întrebat care sunt aceste numere? Căutând pe internet, am aflat că aceste numere sunt palindrome.

Palindrom (din grecescul πάλιν - „înapoi, din nou” și grecescul δρóμος - „alergă”), uneori și palindromon, de la gr. palindromos alergând înapoi).

Vorbind despre ce este un palindrom, ar trebui spus că „schimbătorii” sunt cunoscuți încă din cele mai vechi timpuri. Adesea li s-a dat un sens magic sacru. Au apărut palindromuri, exemple ale cărora pot fi găsite într-o varietate de limbi, probabil în Evul Mediu.

Un palindrom poate fi obținut în urma operațiilor asupra altor numere. Deci, în cartea „Am o idee!” Celebrul popularizator al științei Martin Gardner menționează „ipoteza palindromului” în legătură cu această problemă.Dacă luați un număr natural (oricare) și adăugați la el inversul său (format din aceleași numere, dar în ordine inversă), atunci repetați acțiunea, dar cu suma rezultată, atunci la unul dintre pași veți obține un palindrom . În unele cazuri, este suficient să efectuați adunarea o dată: 213 + 312 = 525. Dar de obicei sunt necesare cel puțin două operații. Deci, de exemplu, dacă luăm numărul 96, atunci prin adunarea secvențială, un palindrom poate fi obținut numai la al patrulea nivel: 96 + 69 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 esența ipotezei este că, dacă iei orice număr, după un anumit număr de acțiuni vei obține cu siguranță un palindrom.

PARTE PRINCIPALĂ

Numerele sunt palindromuri

Găsirea numerelor - palindromuri în matematică nu a fost dificilă. Am încercat să scriu un număr pentru aceste numere - palindromuri.

În numerele de două cifre - palindromuri, numărul de unități coincide cu numărul de zeci.

– în numere de trei cifre – palindromuri, numărul sutelor coincide întotdeauna cu numărul unilor.

În numerele de patru cifre - palindromuri, numărul de unități de mii coincide cu numărul de unități, iar numărul de sute cu numărul de zeci etc.

Formulele sunt palindromuri

Formulele palindromice mi-au stârnit interesul. Prin formule - palindrome înțeleg o expresie (formată din suma sau diferența de numere) al cărei rezultat nu se modifică ca urmare a citirii expresiei de la dreapta la stânga.

Dacă adăugați numere care sunt palindrome, suma nu se modifică. Adăugarea numerelor din două cifre este destul de simplă, am decis să notez suma pentru numerele din trei cifre.

De exemplu: 121+343=464

În general, se poate scrie astfel:

+ = +

(100x + 10x+ x) + (100y + 10y + y) = (100y + 10y + y) + (100x + 10x + x)

100x + 10x+ x + 100y + 10y + y = 100y + 10y + y + 100x +10x + x

111x + 111y = 111y + 111x

111(x + y) = 111(y + x)

x + y = y + x

Rearanjarea termenilor nu schimbă suma(proprietatea comutativă a adunării).

Se poate dovedi exact în același mod pentru numere cu 4, 5 și n cifre.

Să luăm în considerare toate perechile de astfel de numere din două cifre, astfel încât rezultatul scăderii lor să nu se schimbe ca urmare a citirii diferenței de la dreapta la stânga.

Orice număr din două cifre poate fi reprezentat ca o sumă de termeni de cifre:

10x 1 + y 1 = 10x 2 + y 2

- = (10x 1 + y 1) – (10x 2 + y 2)

- = (10у 2 + x 2) – (10у 1 + x 1)

(10x 1 + y 1) – (10x 2 + y 2) = (10y 2 + x 2) – (10y 1 + x 1)

10x 1 + y 1 – 10x 2 - y 2 = 10y 2 + x 2 – 10y 1 - x 1

10x 1 + x 1 + y 1 + 10y 1 = 10y 2 + y 2 + 10x 2 + x 2

11 x 1 + 11 y 1 = 11 x 2 + 11 y 2

11(x 1 + y 1) = 11(x 2 + y 2)

x 1 + y 1 = x 2 + y 2

Astfel de numere au sume egale de cifre.

Acum puteți face următoarele diferențe:

41 – 32 = 23 – 14

46 – 28 = 82 – 64

52 –16 = 61 – 25 etc.

Palindroame nominale

Palindromurile se găsesc în unele seturi de numere care au nume proprii: număr Fibonacci, număr Smith, Repdigit, Repunit.

numerele Fibonaccidenumește elementele unei secvențe de numere. În ea, fiecare număr următor dintr-o serie se obține prin însumarea celor două numere anterioare.

Exemplu: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...

Numărul lui Smith - un număr compus a cărui sumă de cifre este egală cu suma cifrelor divizorilor primi.

Exemplu: 202=2+0+2=4

Repdigit - un număr natural în care toate cifrele sunt aceleași.

Repunit - un număr natural scris folosind numai unități

Constructor numeric

Din numere palindromice prime, aranjandu-le într-un anumit mod, să zicem linie cu linie, puteți crea figuri simetrice, remarcate printr-un model original de numere care se repetă.

Iată, de exemplu, o frumoasă combinație de palindromuri simple scrise cu 1 și 3 (Fig. 1). Particularitatea acestui triunghi numeric este că același fragment se repetă de trei ori fără a rupe simetria modelului.

Orez. 1

Este ușor de observat că numărul total de rânduri și coloane este un număr prim (17). În plus, numere prime și sume de cifre: fragmente evidențiate cu roșu (17); fiecare linie, cu excepția primei (5, 11, 17, 19, 23); coloanele a treia, a cincea, a șaptea și a noua (7, 11) și „scara” unităților care formează laturile triunghiului (11). În cele din urmă, dacă ne deplasăm paralel cu „laturile” indicate și adunăm numerele rândurilor al treilea și al cincilea separat (Fig. 2), obținem încă două numere prime (17, 5).

Orez. 2

Continuând construcția, puteți construi figuri mai complexe pe baza acestui triunghi. Deci, nu este dificil să obții un alt triunghi cu proprietăți similare prin deplasarea de la sfârșit, adică pornind de la ultimul număr, tăind la fiecare pas două numere identice situate simetric și rearanjand sau înlocuind altele - 3 cu 1 și invers. . În acest caz, numerele în sine ar trebui alese astfel încât numărul rezultat să se dovedească simplu. Combinând ambele figuri, obținem un romb cu un model caracteristic de numere, ascunzând multe numere prime (Fig. 3). În special, suma numerelor evidențiate cu roșu este 37.

Orez. 3

De asemenea, puteți face figuri poligonale din numere care au anumite proprietăți. Să presupunem că trebuie să construiți o figură din palindromuri simple scrise folosind 1 și 3, fiecare dintre ele având cifre extreme care sunt unu, iar suma tuturor cifrelor și numărul total de unități din linie sunt numere prime (excepția este o singură -palindromul cifrelor). În plus, un număr simplu trebuie să exprime numărul total de linii, precum și cifrele 1 sau 3, găsite în înregistrare.

În fig. Figura 4 arată una dintre soluțiile problemei - o „casă” construită din 11 palindromuri diferite.

Orez. 4

Desigur, nu este necesar să vă limitați la două cifre și să solicitați prezența tuturor cifrelor specificate în înregistrarea fiecărui număr utilizat. Mai degrabă, dimpotrivă: la urma urmei, combinațiile lor neobișnuite sunt cele care dau originalitate modelului figurii. Pentru a confirma acest lucru, dăm câteva exemple de dependențe palindromice frumoase (Fig. 5−7).

Orez. 5

Orez. 6

Orez. 7

CONCLUZIE

În munca mea, m-am uitat la numere - palindromuri, formule - palindromuri pentru suma numerelor de trei cifre și diferența numerelor de două cifre și am putut să le dovedesc. Am făcut cunoștință cu numere naturale uimitoare: palindromi și repuniți. Toți își datorează proprietățile numerelor prime.
Intuitiv, am compilat formule pentru suma și diferența numerelor cu n cifre, produsul și câtul numerelor din două cifre.

În cazul înmulțirii avem:

63 ∙ 48 = 84 ∙ 36

82 ∙ 14 = 41 ∙ 28

26 ∙ 31 = 62 ∙ 13 etc.

Produsul primelor cifre este egal cu produsul celor de-a doua cifre x 1 ∙ x 2 = y 1 ∙ y 2

Pentru împărțire obținem următoarele exemple:

62: 31 = 26: 13

96:32 = 69:23 etc.

Încă nu am reușit să dovedesc aceste afirmații, dar cred că voi putea face acest lucru în viitor.

În literatură am reușit să găsesc formule - palindromuri pentru înmulțirea numerelor cu mai multe cifre

20646 ∙ 35211 = 11253 ∙ 64602 203313 ∙ 657624 = 426756 ∙ 313302

726966306 = 726966306 133703508312 = 133703508312

Am atins scopul muncii mele. M-am uitat la numere - palindrome și le-am notat în formă generală. A dat exemple și a demonstrat formule - palindromuri pentru adunarea și scăderea numerelor din două cifre. Am identificat o serie de probleme la care mai trebuie să lucrez și să explorez formule - palindromurile. Aceasta înseamnă că am confirmat ipoteza că numerele prime fac parte din numerele care alcătuiesc toate numerele naturale. Explorând mulțimea numerelor prime, se pot obține mulțimi numerice uimitoare cu proprietățile lor extraordinare.

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă:

Natalya Karpushina.

ÎNAPOI

Un palindrom numeric este un număr natural care se citește la fel de la stânga la dreapta și de la dreapta la stânga. Cu alte cuvinte, se distinge prin simetria notației (aranjamentul numerelor), iar numărul de caractere poate fi par sau impar. Palindromurile se găsesc în unele seturi de numere care au nume proprii: printre numerele Fibonacci - 8, 55 (al 6-lea și al 10-lea membru al șirului cu același nume); numere figurate - 676, 1001 (pătrate și, respectiv, pentagonale); Numerele Smith - 45454, 983389. Orice repdigit, de exemplu 2222222 și, în special, repunit, are și această proprietate.

Un palindrom poate fi obținut în urma operațiilor asupra altor numere. Deci, în cartea „Am o idee!” Celebrul popularizator al științei Martin Gardner menționează „ipoteza palindromului” în legătură cu această problemă. Să luăm orice număr natural și să-l adăugăm la numărul invers, adică scris cu aceleași cifre, dar în ordine inversă. Să facem aceeași acțiune cu suma rezultată și să o repetăm ​​până se formează un palindrom. Uneori este suficient un singur pas (de exemplu, 312 + 213 = 525), dar de obicei sunt necesari cel puțin doi. Să presupunem că numărul 96 generează palindromul 4884 doar în pasul al patrulea. Într-adevăr:

165 + 561 = 726,

726 + 627 = 1353,

1353 + 3531 = 4884.

Iar esența ipotezei este că, luând orice număr, după un număr finit de acțiuni vom obține cu siguranță un palindrom.

Puteți lua în considerare nu numai adăugarea, ci și alte operațiuni, inclusiv exponențiarea și extragerea rădăcinilor. Iată câteva exemple despre cum pot fi folosite pentru a crea altele din unele palindrome:

JOCURI DE NUMERE

Până acum ne-am uitat în principal la numerele compuse. Acum să trecem la numerele simple. În varietatea lor infinită există multe exemplare curioase și chiar familii întregi de palindromi. Numai printre primele sute de milioane de numere naturale există 781 de palindromuri simple, douăzeci care se încadrează în prima mie, dintre care patru sunt numere cu o singură cifră - 2, 3, 5, 7 și doar una cu două cifre - 11. Multe fapte interesante iar modelele frumoase sunt asociate cu astfel de numere.

În primul rând, există un palindrom simplu unic cu un număr par de cifre - 11. Cu alte cuvinte, orice palindrom cu un număr par de cifre mai mare de două este un număr compus, care este ușor de demonstrat pe baza testului de divizibilitate cu 11. .

În al doilea rând, prima și ultima cifră ale oricărui palindrom simplu pot fi doar 1, 3, 7 sau 9. Aceasta rezultă din semnele cunoscute de divizibilitate cu 2 și 5. Este curios că toate numerele simple din două cifre scrise folosind cifrele enumerate (cu excepția lui 19), poate fi împărțit în perechi de numere „inversate” (numere inversate reciproc) de forma și , unde numerele a și b sunt diferite. Fiecare dintre ele, indiferent de numărul care vine primul, se citește la fel de la stânga la dreapta și de la dreapta la stânga:

13 și 31, 17 și 71,

37 și 73, 79 și 97.

Privind în tabelul numerelor prime, vom găsi perechi similare, în înregistrarea cărora există și alte numere, în special, printre numerele de trei cifre vor fi paisprezece astfel de perechi.

În plus, printre palindromurile simple de trei cifre există perechi de numere a căror cifră din mijloc diferă doar cu 1:

18 1 și 1 9 1, 37 3 și 3 8 3,

78 7 și 7 9 7, 91 9 și 9 2 9.

O imagine similară se observă pentru numere prime mai mari, de exemplu:

948 49 și 94 9 49,

1177 711 și 117 8 711.

Numerele prime palindromice pot fi „setate” prin diferite formule simetrice, care reflectă caracteristicile notației lor. Acest lucru se vede clar în exemplul numerelor din cinci cifre:

Apropo, numerele simple cu mai multe cifre ale formularului se găsesc, aparent, numai printre repuniți. Există cinci astfel de numere cunoscute. Este de remarcat faptul că pentru fiecare dintre ele numărul de cifre este exprimat ca număr prim: 2, 19, 23, 317, 1031. Dar printre numerele prime, în care toate cifrele cu excepția celei centrale, un palindrom de lungime foarte impresionantă a fost descoperit - are 1749 de cifre:

În general, printre numerele palindromice prime există exemple uimitoare. Iată doar un exemplu - un gigant numeric

Și este interesant pentru că conține 11.811 de cifre, care pot fi împărțite în trei grupe palidromice, iar în fiecare grupă numărul de cifre este exprimat ca număr prim (5903 sau 5).

CUPLURI NOTABILE

Modele palindromice curioase pot fi văzute și în grupuri de numere prime care conțin anumite cifre. Să spunem, doar numerele 1 și 3, și în fiecare număr. Astfel, numerele prime de două cifre formează perechi ordonate 13 - 31 și 31 - 13, din șase numere prime de trei cifre, cinci numere deodată, printre care se numără două palindrome: 131 și 313, iar încă două numere formează perechi de „inversări” 311 - 113 și 113 - 311 În toate aceste cazuri, perechile realizate sunt reprezentate vizual sub formă de pătrate numerice (Fig. 1).

Orez. 1

Proprietățile lor seamănă cu magia și pătratele latine. De exemplu, într-un pătrat mediu, suma numerelor din fiecare rând și fiecare coloană este 444, pe diagonale - 262 și 626. Adunând numerele din toate celulele, obținem 888. Și ceea ce este tipic, fiecare sumă este un palindrom. Chiar și doar notând mai multe numere dintr-un tabel fără spațiu, obținem noi palindromi: 3113, 131313131 etc. Care este cel mai mare număr care poate fi compus în acest fel? Va fi un palindrom?

Dacă adăugăm 131 sau 313 la fiecare dintre perechile 311 - 113 și 113 - 311, se formează patru tripleți palindromici. Să scriem una dintre ele într-o coloană:

După cum vedem, atât numerele în sine, cât și combinația dorită a acestora se fac simțite atunci când sunt citite în direcții diferite. În plus, aranjarea numerelor este simetrică, iar suma lor în fiecare rând, fiecare coloană și pe una dintre diagonale este exprimată printr-un număr simplu - 5.

Trebuie spus că cifrele luate în considerare sunt interesante în sine. De exemplu, palindromul 131 este un număr prim ciclic: orice rearanjare succesivă a primei cifre până la ultimul loc produce numerele prime 311 și 113. Puteți indica și alte palindromuri prime care au aceeași proprietate?

Dar perechile de numere „inversate” 13 - 31 și 113 - 311, la pătrat, dau și perechi de numere „inversate”: 169 - 961 și 12769 - 96721. Este curios că până și sumele cifrelor lor s-au dovedit a fi relatat într-un mod viclean:

(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,

(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Să adăugăm că printre numerele naturale există și alte perechi de „inversări” cu o proprietate similară: 103 - 301, 1102 - 2011, 11113 - 31111 etc. Ce explică tiparul observat? Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să înțelegeți ce este special la înregistrarea acestor numere, ce numere și în ce cantități pot fi prezente în ea.

CONSTRUCTOR NUMERICAL

Din numere palindromice prime, aranjandu-le într-un anumit mod, să zicem linie cu linie, puteți crea figuri simetrice, remarcate printr-un model original de numere care se repetă.

Iată, de exemplu, o frumoasă combinație de palindromuri simple scrise cu 1 și 3 (cu excepția primului, Fig. 2). Particularitatea acestui triunghi numeric este că același fragment se repetă de trei ori fără a rupe simetria modelului.

Orez. 2

Este ușor de observat că numărul total de rânduri și coloane este un număr prim (17). În plus, numere prime și sume de cifre: fragmente evidențiate cu roșu (17); fiecare linie, cu excepția primei (5, 11, 17, 19, 23); coloanele a treia, a cincea, a șaptea și a noua (7, 11) și „scara” unităților care formează laturile triunghiului (11). În cele din urmă, dacă ne deplasăm paralel cu „laturile” indicate și adunăm numerele rândurilor al treilea și al cincilea separat (Fig. 3), obținem încă două numere prime (17, 5).

Orez. 3

Continuând construcția, puteți construi figuri mai complexe pe baza acestui triunghi. Deci, nu este dificil să obții un alt triunghi cu proprietăți similare prin deplasarea de la sfârșit, adică pornind de la ultimul număr, tăind la fiecare pas două numere identice situate simetric și rearanjand sau înlocuind altele - 3 cu 1 și invers. . În acest caz, numerele în sine ar trebui alese astfel încât numărul rezultat să se dovedească simplu. Combinând ambele figuri, obținem un romb cu un model caracteristic de numere, ascunzând multe numere prime (Fig. 4). În special, suma numerelor evidențiate cu roșu este 37.

Orez. 4

Un alt exemplu este un triunghi obținut din cel original după adăugarea a șase palindromuri simple (Fig. 5). Figura atrage imediat atenția cu cadrul elegant de unități. Este mărginită de două repunituri simple de aceeași lungime: 23 de unități alcătuiesc „baza” și același număr alcătuiesc „laturile” triunghiului.

Orez. 5

Încă câteva cifre

De asemenea, puteți face figuri poligonale din numere care au anumite proprietăți. Să presupunem că trebuie să construiți o figură din palindromuri simple scrise folosind 1 și 3, fiecare dintre ele având cifre extreme care sunt unu, iar suma tuturor cifrelor și numărul total de unități din linie sunt numere prime (excepția este o singură -palindromul cifrelor). În plus, un număr simplu trebuie să exprime numărul total de linii, precum și cifrele 1 sau 3, găsite în înregistrare.

În fig. Figura 6 arată una dintre soluțiile problemei - o „casă” construită din 11 palindromuri diferite.

Orez. 6

Desigur, nu este necesar să vă limitați la două cifre și să solicitați prezența tuturor cifrelor specificate în înregistrarea fiecărui număr utilizat. Mai degrabă, dimpotrivă: la urma urmei, combinațiile lor neobișnuite sunt cele care dau originalitate modelului figurii. Pentru a confirma acest lucru, dăm câteva exemple de dependențe palindromice frumoase (Fig. 7−9).

Orez. 7

Orez. 8

Orez. 9

Acum, înarmat cu un tabel de numere prime, tu însuți poți construi cifre ca cele pe care le-am propus.

Și, în sfârșit, încă o curiozitate - un triunghi, străpuns literalmente longitudinal și transversal cu palindromi (Fig. 10). Are 11 rânduri de numere prime, iar coloanele sunt formate din repdigits. Și cel mai important: palindromul 193111111323111111391 limitând cifra din laturi este un număr prim!