FORȚE GENERALIZATE

FORȚE GENERALIZATE

Mărimi care joacă rolul forțelor obișnuite atunci când se studiază echilibrul sau mișcarea mecanică. sistem, poziția sa este determinată de coordonate generalizate. Numărul de O. s. egal cu numărul s de grade de libertate ale sistemului; În acest caz, fiecare coordonată generalizată qi corespunde propriului său sistem de coordonate. Qi. Valoarea lui O. s. Q1 corespunzător coordonatei q1 poate fi găsit prin calcularea elementului. se lucrează dA1 a tuturor forțelor asupra posibilei mișcări a sistemului, timp în care se modifică doar coordonatele q1: primirea unui increment dq1. Atunci dA1=Q1dq1т. e. coeficientul pentru dqi în expresia dA1 va fi O. s. Î1. Q2, Q3, sunt calculate în mod similar. . .,Qs.

Dimensiunea O. s. depinde de dimensiunea coordonatei generalizate. Dacă qi are lungimi, atunci Qi este dimensiunea forței obișnuite; dacă qi este un unghi, atunci Qi are dimensiunea momentului de forță etc. Atunci când studiem mișcarea unui mecanism mecanic Sistemele O. intră în locul forțelor obișnuite în ecuațiile Lagrange ale mecanicii și, în echilibru, toate sistemele O.. sunt egale cu zero.

Dicționar enciclopedic fizic. - M.: Enciclopedia Sovietică. Redactor-șef A. M. Prohorov. 1983 .

Vedeți ce sunt „FORȚE GENERALIZATE” în ​​alte dicționare:

Mărimi care joacă rolul forțelor obișnuite atunci când, la studierea echilibrului sau mișcării unui sistem mecanic, poziția acestuia este determinată de coordonate generalizate (Vezi Coordonate generalizate). Numărul de O. s. egal cu numărul s de grade de libertate ale sistemului; la……

În mecanică, mărimile Qi, produsul mărimilor Qi și soluțiile elementare dqi ale coordonatelor generalizate qi mecanice. sistemele dau o expresie a muncii elementare bA unde este format din gramada de materiale fibroase (bumbac, vascoza). Pentru autocolante O. de obicei...... Marele Dicţionar Politehnic Enciclopedic

- (SUA) (Statele Unite ale Americii, SUA). I. Informaţii generale SUA este un stat din America de Nord. Suprafata 9,4 milioane km2. Populație 216 milioane de oameni. (1976, evaluare). Capitala este Washington. Din punct de vedere administrativ, teritoriul Statelor Unite... Marea Enciclopedie Sovietică

- (Forțele Aeriene ale URSS) Steagul Forțelor Aeriene Sovietice Ani de existență ... Wikipedia

- الإمارات العربية المتحدة‎ al Emarat al Arabiya al Muttahida ... Wikipedia

Câmpul de forță este specificat în regiunea Q a spațiului de configurare ca gradient al funcției scalare: unde coordonatele (generalizate), energia potențială U(q). Lucrarea lui P. s. de-a lungul oricărui contur închis în Q contractabil până la un punct este egal cu zero. Un semn... ... Enciclopedie fizică

- (Forța Aeriană) un tip de forțe armate ale statului, destinat acțiunilor independente în rezolvarea sarcinilor strategice operaționale și acțiunilor comune cu alte tipuri de forțe armate. În ceea ce privește capacitățile sale de luptă, forțele aeriene moderne... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Forța, măsură a acțiunii unei forțe, în funcție de mărimea și direcția numerică a forței și de mișcarea punctului de aplicare a acesteia. Dacă forța F este constantă numeric și în direcție, iar deplasarea M0M1 este rectilinie (Fig. 1), atunci P. A = F․s․cosα, unde s = M0M1 … Marea Enciclopedie Sovietică

Forța, măsură a acțiunii unei forțe, în funcție de mărimea și direcția numerică a forței și de mișcarea punctului de aplicare a acesteia. Dacă forța F este constantă numeric și în direcție, iar deplasarea M0M1 este rectilinie (Fig. 1), atunci P. A = F s cosa, unde s = M0M1, iar unghiul... ... Enciclopedie fizică

Mecanica. 1) Ecuații Lagrange de primul fel, ecuații diferențiale ale mișcării mecanice. sisteme, care sunt date în proiecții pe axe de coordonate dreptunghiulare și conțin așa-numitele. Multiplicatori de Lagrange. Obținut de J. Lagrange în 1788. Pentru un sistem holonomic, ...... Enciclopedie fizică

Desigur, atunci când se calculează această forță generalizată, energia potențială ar trebui determinată în funcție de coordonatele generalizate

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Note.

Primul. La calcularea forțelor de reacție generalizate, conexiunile ideale nu sunt luate în considerare.

Al doilea. Dimensiunea forței generalizate depinde de dimensiunea coordonatei generalizate. Deci, dacă dimensiunea [ q] – metru, apoi dimensiunea

[Q]= Nm/m = Newton, dacă [ q] – radian, atunci [Q] = Nm; Dacă [ q] = m 2, apoi [Q] = H/m etc.

Exemplul 4. Un inel alunecă de-a lungul unei tije care se balansează într-un plan vertical. M greutate R(Fig. 10). Considerăm tija lipsită de greutate. Să definim forțele generalizate.

Fig.10

Soluţie. Sistemul are două grade de libertate. Atribuim două coordonate generalizate sȘi .

Să găsim forța generalizată corespunzătoare coordonatei s. Oferim o creștere acestei coordonate, lăsând coordonatele neschimbate și calculând munca singurei forțe active R, obținem forța generalizată

Apoi creștem coordonatele, presupunând s= const. Când tija este rotită printr-un unghi, punctul de aplicare a forței R, inel M, se va muta la . Forţa generalizată va fi

Deoarece sistemul este conservator, forțele generalizate pot fi găsite și folosind energia potențială. Primim Și . Se dovedește mult mai simplu.

Ecuații de echilibru Lagrange

Prin definiție (7) forțe generalizate , k = 1,2,3,…,s, Unde s– numărul de grade de libertate.

Dacă sistemul este în echilibru, atunci conform principiului posibilelor deplasări (1) . Iată mișcările permise de conexiuni, mișcările posibile. Prin urmare, atunci când un sistem material este în echilibru, toate forțele sale generalizate sunt egale cu zero:

Q k= 0, (k=1,2,3,…, s). (10)

Aceste ecuații ecuații de echilibru în coordonate generalizate sau Ecuații de echilibru Lagrange , permite încă o metodă pentru a rezolva problemele de statică.

Dacă sistemul este conservator, atunci . Aceasta înseamnă că se află într-o poziție de echilibru. Adică, în poziția de echilibru a unui astfel de sistem material, energia sa potențială este fie maximă, fie minimă, adică. funcția П(q) are un extremum.

Acest lucru este evident din analiza celui mai simplu exemplu (Fig. 11). Energia potențială a mingii în poziție M 1 are un minim, în poziție M 2 – maxim. Se poate observa că în poziție M 1 echilibrul va fi stabil; gravidă M 2 – instabil.

Fig.11

Echilibrul este considerat stabil dacă corpului în această poziție i se dă o viteză mică sau este deplasat pe o distanță mică și aceste abateri nu cresc în viitor.

Se poate dovedi (teorema Lagrange-Dirichlet) că dacă în poziţia de echilibru a unui sistem conservator energia sa potenţială are un minim, atunci această poziţie de echilibru este stabilă.

Pentru un sistem conservator cu un grad de libertate, condiția pentru energia potențială minimă și, prin urmare, stabilitatea poziției de echilibru, este determinată de derivata a doua, valoarea acesteia în poziția de echilibru,

Exemplul 5. Nucleu OA greutate R se poate roti într-un plan vertical în jurul unei axe DESPRE(Fig. 12). Să găsim și să studiem stabilitatea pozițiilor de echilibru.

Fig.12

Soluţie. Tija are un grad de libertate. Coordonată generalizată – unghi.

Relativ la poziția inferioară, zero, energia potențială P = Ph sau

În poziția de echilibru ar trebui să existe . Prin urmare, avem două poziții de echilibru corespunzătoare unghiurilor și (pozițiilor OA 1 și OA 2). Să le explorăm stabilitatea. Găsirea derivatei a doua. Desigur, cu , . Poziția de echilibru este stabilă. La , . A doua pozitie de echilibru este instabila. Rezultatele sunt evidente.

Forțe inerțiale generalizate.

Folosind aceeași metodă (8) prin care au fost calculate forțele generalizate Q k, corespunzătoare forțelor active, specificate, se determină și forțe generalizate S k, corespunzătoare forțelor de inerție ale punctelor sistemului:

Și, de când Acea

Câteva transformări matematice.

Evident,

Deoarece a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), atunci

Aceasta înseamnă că derivata parțială a vitezei în raport cu

În plus, în ultimul termen (14) puteți modifica ordinea diferențierii:

Înlocuind (15) și (16) în (14) și apoi (14) în (13), obținem

Împărțind ultima sumă la doi și ținând cont că suma derivatelor este egală cu derivata sumei, obținem

unde este energia cinetică a sistemului și este viteza generalizată.

Ecuații Lagrange.

Prin definiție (7) și (12) forțe generalizate

Dar pe baza ecuației de dinamică generală (3), partea dreaptă a egalității este egală cu zero. Și din moment ce totul ( k = 1,2,3,…,s) sunt diferite de zero, atunci . Înlocuind valoarea forței de inerție generalizate (17), obținem ecuația

Aceste ecuații sunt numite ecuații diferențiale de mișcare în coordonate generalizate, ecuații Lagrange de al doilea fel sau pur și simplu – Ecuații Lagrange.

Numărul acestor ecuații este egal cu numărul de grade de libertate ale sistemului material.

Dacă sistemul este conservator și se mișcă sub influența forțelor potențiale de câmp, când forțele generalizate sunt , ecuațiile Lagrange pot fi compuse sub forma

Unde L = T– P se numește Funcția Lagrange (se presupune că energia potențială P nu depinde de vitezele generalizate).

Adesea, atunci când se studiază mișcarea sistemelor materiale, se dovedește că unele coordonate generalizate q j nu sunt incluse în mod explicit în funcția Lagrange (sau în Tși P). Se numesc astfel de coordonate ciclic. Ecuațiile Lagrange corespunzătoare acestor coordonate sunt obținute mai simplu.

Prima integrală a unor astfel de ecuații poate fi găsită imediat. Se numește integrală ciclică:

Studii ulterioare și transformări ale ecuațiilor lui Lagrange formează subiectul unei secțiuni speciale de mecanică teoretică - „Mecanica analitică”.

Ecuațiile lui Lagrange au o serie de avantaje în comparație cu alte metode de studiere a mișcării sistemelor. Principalele avantaje: metoda de alcătuire a ecuațiilor este aceeași în toate problemele, reacțiile conexiunilor ideale nu sunt luate în considerare la rezolvarea problemelor.

Și încă ceva - aceste ecuații pot fi folosite pentru a studia nu numai sistemele mecanice, ci și alte sisteme fizice (electrice, electromagnetice, optice etc.).

Exemplul 6. Să continuăm studiul asupra mișcării inelului M pe o tijă de balansare (exemplul 4).

Coordonatele generalizate sunt atribuite – și s (Fig. 13). Forțele generalizate sunt definite: și .

Fig.13

Soluţie. Energia cinetică a inelului Unde a și .

Compunem două ecuații Lagrange

atunci ecuațiile arată astfel:

Am obținut două ecuații diferențiale neliniare de ordinul doi, a căror rezolvare necesită metode speciale.

Exemplul 7. Să creăm o ecuație diferențială a mișcării fasciculului AB, care se rostogolește fără alunecare de-a lungul unei suprafețe cilindrice (Fig. 14). Lungimea fasciculului AB = l, greutate - R.

În poziția de echilibru, fasciculul era orizontal și centrul de greutate CU era situat în punctul de sus al cilindrului. Fasciculul are un grad de libertate. Poziția sa este determinată de o coordonată generalizată - un unghi (Fig. 76).

Fig.14

Soluţie. Sistemul este conservator. Prin urmare, vom compune ecuația Lagrange folosind energia potențială P=mgh, calculată raportat la poziția orizontală. În punctul de contact există un centru instantaneu de viteze și (egal cu lungimea arcului de cerc cu unghi).

Prin urmare (vezi Fig. 76) și .

Energia cinetică (fascicul suferă o mișcare plan-paralelă)

Găsim derivatele necesare pentru ecuația și

Să facem o ecuație

sau, în sfârșit,

Întrebări de autotest

Cum se numește mișcarea posibilă a unui sistem mecanic constrâns?

Cum sunt legate mișcările posibile și reale ale sistemului?

Ce conexiuni se numesc: a) staţionare; b) ideal?

Formulați principiul mișcărilor posibile. Notează-i expresia formulă.

Este posibil să se aplice principiul mișcărilor virtuale sistemelor cu conexiuni neideale?

Care sunt coordonatele generalizate ale unui sistem mecanic?

Care este numărul de grade de libertate ale unui sistem mecanic?

În ce caz, coordonatele carteziene ale punctelor din sistem depind nu numai de coordonatele generalizate, ci și de timp?

Cum se numesc posibilele mișcări ale unui sistem mecanic?

Mișcările posibile depind de forțele care acționează asupra sistemului?

Ce conexiuni ale unui sistem mecanic se numesc ideale?

De ce o legătură realizată cu frecare nu este o legătură ideală?

Cum este formulat principiul posibilelor mișcări?

Ce tipuri poate avea ecuația de lucru?

De ce principiul posibilelor deplasări simplifică derivarea condițiilor de echilibru pentru forțele aplicate sistemelor constrânse formate dintr-un număr mare de corpuri?

Cum se construiesc ecuațiile de lucru pentru forțele care acționează asupra unui sistem mecanic cu mai multe grade de libertate?

Care este relația dintre forța motrice și forța de rezistență la mașinile simple?

Cum este formulată regula de aur a mecanicii?

Cum sunt determinate reacțiile conexiunilor folosind principiul mișcărilor posibile?

Ce conexiuni se numesc holonomice?

Care este numărul de grade de libertate ale unui sistem mecanic?

Care sunt coordonatele generalizate ale sistemului?

Câte coordonate generalizate are un sistem mecanic neliber?

Câte grade de libertate are volanul unei mașini?

Ce este forța generalizată?

Scrieți o formulă care exprimă munca elementară totală a tuturor forțelor aplicate sistemului în coordonate generalizate.

Cum se determină dimensiunea forței generalizate?

Cum se calculează forțele generalizate în sistemele conservatoare?

Notați una dintre formulele care exprimă ecuația generală a dinamicii unui sistem cu conexiuni ideale. Care este sensul fizic al acestei ecuații?

Care este forța generalizată a forțelor active aplicată unui sistem?

Care este forța de inerție generalizată?

Formulați principiul lui d'Alembert în forțe generalizate.

Care este ecuația generală a dinamicii?

Ce se numește forța generalizată corespunzătoare unei coordonate generalizate a sistemului și ce dimensiune are?

Care sunt reacțiile generalizate ale legăturilor ideale?

Deduceți ecuația generală a dinamicii în forțe generalizate.

Ce formă sunt condițiile de echilibru pentru forțele aplicate unui sistem mecanic, obținute din ecuația generală a dinamicii în forțe generalizate?

Ce formule exprimă forțe generalizate prin proiecții de forțe pe axele fixe ale coordonatelor carteziene?

Cum se determină forțele generalizate în cazul forțelor conservatoare și în cazul forțelor neconservative?

Ce conexiuni se numesc geometrice?

Oferiți o reprezentare vectorială a principiului deplasărilor posibile.

Numiți condiția necesară și suficientă pentru echilibrul unui sistem mecanic cu conexiuni geometrice staționare ideale.

Ce proprietate are funcția de forță a unui sistem conservator în stare de echilibru?

Scrieți un sistem de ecuații diferențiale Lagrange de al doilea fel.

Câte ecuații Lagrange de al doilea fel pot fi construite pentru un sistem mecanic constrâns?

Numărul de ecuații Lagrange ale unui sistem mecanic depinde de numărul de corpuri incluse în sistem?

Care este potențialul cinetic al unui sistem?

Pentru ce sisteme mecanice există funcția Lagrange?

Ce argumente sunt funcția vectorului viteză a unui punct aparținând unui sistem mecanic cu s grade de libertate?

Care este derivata parțială a vectorului viteză al unui punct din sistem în raport cu o viteză generalizată?

Funcția a căror argumente este energia cinetică a unui sistem supusă constrângerilor holonomice non-staționare?

Ce formă au ecuațiile Lagrange de al doilea fel? Care este numărul acestor ecuații pentru fiecare sistem mecanic?

Ce formă iau ecuațiile Lagrange de al doilea fel în cazul în care sistemul este acționat simultan asupra forțelor conservatoare și neconservative?

Ce este funcția Lagrange sau potențialul cinetic?

Ce formă au ecuațiile Lagrange de al doilea fel pentru un sistem conservator?

În funcție de ce variabile ar trebui să fie exprimată energia cinetică a unui sistem mecanic la alcătuirea ecuațiilor Lagrange?

Cum se determină energia potențială a unui sistem mecanic sub influența forțelor elastice?

Probleme de rezolvat independent

Sarcina 1. Folosind principiul posibilelor deplasări, determinați reacțiile conexiunilor structurilor compozite. Diagramele structurale sunt prezentate în Fig. 15, iar datele necesare soluției sunt date în tabel. 1. În imagini, toate dimensiunile sunt în metri.

tabelul 1

R 1, kN R 2, kN q, kN/m M, kNm R 1, kN R 2, kN q, kN/m M, kNm

Opțiunea 1 Opțiunea 2

Opțiunea 3 Opțiunea 4

Opțiunea 5 Opțiunea 6

Opțiunea 7 Opțiunea 8

Fig.16 Fig.17

Soluţie. Este ușor de verificat că în această problemă sunt îndeplinite toate condițiile de aplicare a principiului Lagrange (sistemul este în echilibru, conexiunile sunt staționare, holonomice, confinante și ideale).

Să ne eliberăm de legătura corespunzătoare reacției X A (Fig. 17). Pentru a face acest lucru, în punctul A, balamaua fixă ​​ar trebui înlocuită, de exemplu, cu un suport de tijă, caz în care sistemul primește un grad de libertate. După cum sa menționat deja, posibila mișcare a sistemului este determinată de constrângerile impuse acestuia și nu depinde de forțele aplicate. Prin urmare, determinarea posibilelor deplasări este o problemă cinematică. Deoarece în acest exemplu cadrul se poate mișca doar în planul imaginii, posibilele sale mișcări sunt de asemenea plane. În mișcarea plană, mișcarea corpului poate fi considerată ca o rotație în jurul centrului instantaneu de viteze. Dacă centrul de viteze instantaneu se află la infinit, atunci aceasta corespunde cu cazul mișcării instantanee de translație, când deplasările tuturor punctelor corpului sunt aceleași.

Pentru a găsi centrul instantaneu al vitezelor, este necesar să se cunoască direcțiile vitezelor oricăror două puncte ale corpului. Prin urmare, determinarea posibilelor deplasări ale unei structuri compozite ar trebui să înceapă cu găsirea posibilelor deplasări ale elementului pentru care sunt cunoscute astfel de viteze. În acest caz, ar trebui să începeți cu cadrul CDB, din punctul său de vedere ÎN este nemișcat și, prin urmare, posibila mișcare a acestui cadru este rotirea acestuia printr-un unghi în jurul unei axe care trece prin balamaua B. Acum, cunoscând posibila mișcare a punctului CU(aparține simultan ambelor cadre ale sistemului) și posibilă mișcare a punctului A(o posibilă mișcare a punctului A este mișcarea acestuia de-a lungul axei X), găsiți centrul vitezei instantanee C 1 al cadrului AES. Astfel, posibilă mișcare a cadrului AES este rotația sa în jurul punctului C 1 cu un unghi . Legătura dintre unghiuri și se determină prin mișcarea punctului C (vezi Fig. 17)

Din asemănarea triunghiurilor EC 1 C și BCD avem

Ca rezultat, obținem dependențele:

După principiul mișcărilor posibile

Să calculăm secvenţial posibilele locuri de muncă incluse aici:

Q=2q – rezultanta sarcinii distribuite, al cărei punct de aplicare este prezentat în Fig. 79; munca posibilă efectuată de acesta este egală.

Să considerăm un sistem mecanic format din puncte materiale asupra cărora acționează forțele.Fie ca sistemul să aibă s grade de libertate și poziția sa va fi determinată de coordonatele generalizate (104). Să informăm sistemul despre o astfel de mișcare posibilă independentă la care coordonata primește o creștere și coordonatele rămase nu se schimbă. Apoi fiecare dintre vectorii de rază ai punctelor sistemului va primi un increment elementar. Deoarece, conform egalității (106), , și în timpul mișcării luate în considerare doar se modifică coordonatele (restul păstrează valori constante), se calculează ca diferență parțială și, prin urmare,

Folosind această egalitate și formula (42) din § 87, calculăm suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor care acționează asupra deplasării luate în considerare, pe care o notăm Obținem

Luând factorul comun din paranteze, găsim în sfârșit

unde este indicat

Prin analogie cu egalitatea care definește munca elementară a forței F, mărimea se numește forța generalizată corespunzătoare coordonatei

Prin informarea sistemului asupra unei alte mișcări posibile independente, în timpul căreia se schimbă doar coordonatele, obținem expresia pentru munca elementară a tuturor forțelor care acționează asupra acestei mișcări.

Mărimea reprezintă forța generalizată corespunzătoare coordonatei etc.

Evident, dacă sistemului i se oferă o astfel de mișcare posibilă care își schimbă simultan toate coordonatele generalizate, atunci suma lucrărilor elementare ale forțelor aplicate asupra acestei mișcări va fi determinată de egalitate.

Formula (112) oferă o expresie pentru lucrul elementar total al tuturor forțelor care acționează asupra sistemului în coordonate generalizate. Din această egalitate este clar că forțele generalizate sunt cantități egale cu coeficienții pentru creșteri ale coordonatelor generalizate în expresia muncii elementare totale a forțelor care acționează asupra sistemului.

Dacă toate conexiunile impuse sistemului sunt ideale, atunci lucrul în timpul posibilelor mișcări se realizează numai prin forțe active, iar mărimile vor reprezenta forțele active generalizate ale sistemului.

Dimensiunea forței generalizate depinde de dimensiunea coordonatei generalizate corespunzătoare. Din moment ce produsul și deci are dimensiunea muncii, atunci

adică dimensiunea forței generalizate este egală cu dimensiunea muncii împărțită la dimensiunea coordonatei generalizate corespunzătoare. Din aceasta este clar că dacă q este o mărime liniară, atunci Q are dimensiunea forței obișnuite (în SI se măsoară în newtoni), dacă q este un unghi (o mărime nemăsurabilă), atunci Q va fi măsurat în și are dimensiunea momentului; dacă q este volum (de exemplu, poziția pistonului în cilindru poate fi determinată de volumul spațiului pistonului), atunci Q va fi măsurat în și are dimensiunea presiunii etc.

După cum vedem, prin analogie cu viteza generalizată, conceptul de forță generalizată acoperă toate mărimile care au fost întâlnite anterior ca măsuri ale interacțiunii mecanice a corpurilor materiale (forță, moment de forță, presiune).

Vom calcula forțele generalizate folosind formule de forma (108), (110), care se reduce la calculul posibilului lucru elementar (vezi § 140). În primul rând, ar trebui să stabiliți care este numărul de grade de libertate ale sistemului, să selectați coordonatele generalizate și să reprezentați în desen toate forțele active și forțele de frecare aplicate sistemului (dacă funcționează). Apoi, pentru a determina, este necesar să se informeze sistemul despre o astfel de posibilă mișcare la care numai coordonatele se schimbă, primind o creștere pozitivă, se calculează suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor care acționează asupra acestei mișcări conform formulelor (101) și prezentați expresia rezultată sub forma (108). Apoi coeficientul pentru și dă valoarea dorită. Calculați la fel

Exemplul 1. Să calculăm forța generalizată pentru sistemul prezentat în Fig. 366, unde greutatea A este încrucișată de-a lungul unui plan înclinat neted și greutatea B este încrucișată de-a lungul unui plan orizontal brut, al cărui coeficient de frecare este egal cu

Greutățile sunt legate printr-un fir aruncat peste un bloc O. Neglijăm masa firului și a blocului. Sistemul are un grad de libertate; poziția este determinată de coordonată (direcția pozitivă de referință este indicată de săgeată). Pentru a determina, informăm sistemul despre posibila deplasare la care și calculăm lucrul elementar al forțelor asupra acestei deplasări; forțele rămase nu lucrează. De atunci

Prin urmare,

Exemplul 2. Neglijând frecarea, găsim forțele generalizate pentru sistemul prezentat în Fig. 367. O tijă omogenă A B are lungimea l și greutatea P și se poate roti în jurul axei A într-un plan vertical. Mingea M înșirată pe ea are greutate. Lungimea arcului AM este egală în stare netensionată, iar rigiditatea este c.

Sistemul are două grade de libertate (mișcarea mingii de-a lungul tijei și rotația tijei în jurul axei A sunt independente). Ca coordonate generalizate, alegem unghiul și distanța mingii de la capătul arcului netensionat; direcțiile pozitive ale coordonatelor sunt afișate prin săgeți.

Mai întâi informăm sistemul despre posibila mișcare la care unghiul primește o creștere. La această mișcare, munca este efectuată de forțe. Folosind a doua dintre formulele (101) găsim (semnul minus aici deoarece direcția momentului este opusă direcției)

Prin urmare,

Acum informăm sistemul despre o posibilă mișcare, în timpul căreia se schimbă doar coordonatele, primind un increment și unghiul. Pe această deplasare, munca este efectuată de gravitație și forța elastică, al cărei modul este Atunci

Să luăm în considerare un sistem mecanic cu conexiuni ideale. Fie forțele active ale sistemului. Să dăm sistemului mecanic o deplasare virtuală și să calculăm munca elementară a forțelor sistemului asupra acestei deplasări:

.

Folosind egalitatea (17.2) exprimăm variația
vector rază puncte M k prin variatii
coordonate generalizate:

prin urmare,

. (17.6)

Să schimbăm ordinea însumării în egalitate (17.6):

. (17.7)

Să notăm în expresia (17.7)

. (17.8)

.

Prin forţe generalizate Q j numiți coeficienții pentru variațiile coordonatelor generalizate în exprimarea muncii elementare a forțelor sistemului.

În funcţie de dimensiunea variaţiilor de coordonate generalizate
forţe generalizate Q j poate avea dimensiuni de forță, moment etc.

Metode de calcul al forțelor generalizate

Să luăm în considerare trei moduri de a calcula forțele generalizate.

1. Determinarea forțelor generalizate folosind formula de bază(17.8)

. (17.9)

Formula (17.9) este rar folosită în practică. La rezolvarea problemelor, a doua metodă este cel mai des folosită.

2. O metodă de „înghețare” a coordonatelor generalizate.

Să dăm sistemului mecanic o deplasare virtuală astfel încât toate variațiile de coordonate generalizate, cu excepția
sunt egale cu zero:

Să calculăm munca pentru această mișcare
toate forțele active aplicate sistemului

.

Prin definiție, multiplicatorul pentru variație
egală cu prima forță generalizată Q 1 .

și definiți a doua forță generalizată Q 2, după ce a calculat munca virtuală a tuturor forțelor sistemului

.

Să calculăm în mod similar toate celelalte forțe generalizate ale sistemului.

3. Cazul unui câmp de forță potențial.

Să presupunem că energia potențială a unui sistem mecanic este cunoscută

Apoi
și conform formulei (32.8)

Principiul mișcărilor virtuale ale staticii în coordonate generalizate

Conform principiului deplasărilor virtuale ale staticii, pentru echilibrul unui sistem cu conexiuni holonomice staționare de reținere ideală, condiția este necesară și suficientă:

la viteze inițiale zero.

Trecând la coordonate generalizate, obținem

. (17.11)

Deoarece variațiile coordonatelor generalizate sunt independente, egalitatea la zero a expresiei (17.11) este posibilă numai în cazul în care toți coeficienții pentru variațiile coordonatelor generalizate sunt egali cu zero:

Prin urmare, Pentru ca un sistem mecanic cu conexiuni ideale, holonomice, staționare și de restricție să fie în echilibru, este necesar și suficient ca toate forțele generalizate ale sistemului să fie egale cu zero (la viteze inițiale zero ale sistemului).

Ecuații Lagrange în coordonate generalizate (ecuații Lagrange de al doilea fel)

Ecuațiile lui Lagrange sunt derivate din ecuația generală a dinamicii prin înlocuirea deplasărilor virtuale cu expresiile lor prin variații ale coordonatelor generalizate. Ele reprezintă un sistem de ecuații diferențiale ale mișcării unui sistem mecanic în coordonate generalizate:

. (17.13)

Unde
- viteze generalizate,

T energia cinetică a sistemului, prezentată în funcţie de coordonate generalizate şi viteze generalizate

Q j- forte generalizate.

Numărul de ecuații ale sistemului (17.13) este determinat de numărul de grade de libertate și nu depinde de numărul de corpuri incluse în sistem. Cu conexiunile ideale, doar forțele active vor intra în partea dreaptă a ecuațiilor. Dacă conexiunile nu sunt ideale, atunci reacțiile lor ar trebui clasificate ca forțe active.

În cazul forțelor potențiale care acționează asupra sistemului mecanic, ecuațiile (17.13) iau forma

.

Dacă introducem funcția Lagrange L = T  P, ținând cont de faptul că energia potențială nu depinde de vitezele generalizate, obținem ecuațiile Lagrange de al doilea fel pentru cazul forțelor potențiale în forma următoare

.

Când compuneți ecuații Lagrange de al doilea fel, trebuie să efectuați următorii pași:

Setați numărul de grade de libertate ale sistemului mecanic și selectați coordonatele generalizate ale acestuia.

Compuneți o expresie pentru energia cinetică a sistemului și reprezentați-o în funcție de coordonatele generalizate și vitezele generalizate.

Folosind metodele prezentate mai sus, găsiți forțele active generalizate ale sistemului.

Efectuați toate operațiile de diferențiere necesare în ecuațiile Lagrange.

Exemplu.

Unde J z momentul de inerţie al corpului faţă de axa de rotaţie z,
- viteza unghiulara a corpului.

3. Să definim forța generalizată. Să dăm corpului o deplasare virtuală  și să calculăm munca virtuală a tuturor forțelor active ale sistemului:

Prin urmare, Q = M z momentul principal al forţelor active ale sistemului faţă de axa de rotaţie a corpului.

4. Să efectuăm operații de diferențiere în ecuația Lagrange

: (17.14)

. (17.15)

Înlocuirea egalităților (17.15) în ecuația (173

14) obținem ecuația diferențială a mișcării de rotație a corpului

.

Definiţia generalized forces

Pentru un sistem cu un grad de libertate, o forță generalizată corespunzătoare coordonatei generalizate q, se numește cantitatea determinată de formulă

unde D q– mic increment al coordonatei generalizate; – suma lucrărilor elementare ale forţelor sistemului asupra posibilei sale mişcări.

Să reamintim că posibila mișcare a sistemului este definită ca mișcarea sistemului într-o poziție infinit de apropiată permisă de conexiuni la un moment dat în timp (pentru mai multe detalii, vezi Anexa 1).

Se știe că suma muncii efectuate de forțele de reacție ale legăturilor ideale la orice posibilă deplasare a sistemului este egală cu zero. Prin urmare, pentru un sistem cu conexiuni ideale, numai munca forțelor active ale sistemului ar trebui să fie luată în considerare în expresie. Dacă conexiunile nu sunt ideale, atunci forțele lor de reacție, de exemplu, forțele de frecare, sunt considerate convențional forțe active (a se vedea mai jos instrucțiunile din diagrama din Fig. 1.5). Aceasta include munca elementară a forțelor active și munca elementară a momentelor perechilor de forțe active. Să scriem formule pentru a determina aceste lucrări. Să spunem forța ( F kx ,F ky ,F kz) aplicat la punct LA, al cărui vector rază este ( x k ,y k ,z k), și posibilă deplasare – ​​(d xk, d da k, d z k). Lucrul elementar al unei forțe asupra unei posibile deplasări este egal cu produsul scalar, care în formă analitică corespunde expresiei

d A( ) = F la d r la cos(), (1.3a)

iar sub formă de coordonate – expresia

d A( ) = F kx d x k + F ky d y k + F kz d z k. (1.3b)

Dacă câteva forţe cu un moment M aplicat unui corp rotativ, a cărui coordonată unghiulară este j, iar deplasarea posibilă este dj, atunci lucrarea elementară a momentului M pe posibila deplasare dj este determinată de formula

d A.M) = ± M d j. (1,3v)

Aici semnul (+) corespunde cazului în care momentul M si posibila miscare dj coincid in directie; semnul (–) când sunt opuse în direcție.

Pentru a putea determina forța generalizată folosind formula (1.3), este necesar să se exprime posibilele mișcări ale corpurilor și punctelor printr-un mic increment al coordonatei generalizate d. q, folosind dependențe (1)…(7) adj. 1.

Definiţia generalized force Q, corespunzătoare coordonatei generalizate selectate q, se recomandă să o faceți în următoarea ordine.

· Desenați pe diagrama de proiect toate forțele active ale sistemului.

· Dați un mic increment coordonatei generalizate d q> 0; arătați pe diagrama de calcul posibilele deplasări corespunzătoare ale tuturor punctelor în care se aplică forțe și posibilele deplasări unghiulare ale tuturor corpurilor cărora li se aplică momentele perechilor de forțe.

· Alcătuiți o expresie pentru munca elementară a tuturor forțelor active ale sistemului asupra acestor mișcări, exprimați mișcările posibile prin d q.

· Determinați forța generalizată folosind formula (1.3).

Exemplul 1.4 (vezi condiția din Fig. 1.1).

Să definim forța generalizată corespunzătoare coordonatei generalizate s(Fig. 1.4).

Forțele active acționează asupra sistemului: P- greutatea încărcăturii; G– greutatea tamburului și cuplul M.

Planul înclinat brut este pentru sarcină A conexiune imperfectă. Forța de frecare de alunecare F tr, acționând asupra sarcinii A din această legătură, este egal cu F tr = f N.

Pentru a determina puterea N presiunea normală a unei sarcini pe un plan în timpul mișcării, vom folosi principiul lui d'Alembert: dacă în fiecare punct al sistemului se aplică o forță inerțială condiționată, pe lângă forțele active active și forțele de reacție ale conexiunilor, atunci mulțimea rezultată de forțe vor fi echilibrate și ecuațiilor de dinamică li se poate da forma ecuațiilor de echilibru static. Urmând metoda binecunoscută de aplicare a acestui principiu, vom descrie toate forțele care acționează asupra sarcinii A(Fig. 1.5), – și , unde este forța de întindere a cablului.

Orez. 1.4 Fig. 1.5

Să adăugăm forța de inerție, unde este accelerația sarcinii. Ecuația principiului lui d'Alembert în proiecție pe axă y se pare ca N–Pcos A = 0.

De aici N = Pcos A. Forța de frecare de alunecare poate fi determinată acum prin formulă F tr = f P cos A.

Să dăm coordonatele generalizate s increment mic d s> 0. În acest caz, sarcina (Fig. 1.4) se va deplasa în sus pe planul înclinat până la o distanță d s, iar toba se va întoarce în sens invers acelor de ceasornic după unghiul dj.

Folosind formule precum (1.3a) și (1.3c), să compunem o expresie pentru suma lucrărilor elementare de cuplu. M, putere PȘi F tr:

Să exprimăm dj în această ecuație prin d s: , Apoi

definim forța generalizată folosind formula (1.3)

Să luăm în considerare formula scrisă anterior pentru F trși în sfârșit vom obține

Dacă în același exemplu luăm unghiul j ca coordonată generalizată, atunci forța generalizată Qj exprimat prin formula

1.4.2. Determinarea forțelor generalizate ale sistemului
cu două grade de libertate

Dacă sistemul are n grade de libertate, poziția sa este determinată n coordonate generalizate. Fiecare coordonată q i(i = 1,2,…,n) corespunde forţei sale generalizate Qi, care este determinat de formula

unde este suma lucrărilor elementare ale forţelor active asupra i-a deplasare posibilă a sistemului atunci când d q i > 0, iar coordonatele generalizate rămase sunt neschimbate.

La determinare, este necesar să se țină cont de instrucțiunile pentru determinarea forțelor generalizate conform formulei (1.3).

Se recomandă determinarea forțelor generalizate ale unui sistem cu două grade de libertate în următoarea ordine.

· Arată pe diagrama de proiect toate forțele active ale sistemului.

· Determinați prima forță generalizată Î 1. Pentru a face acest lucru, dați sistemului prima mișcare posibilă când d q 1 > 0 și d q 2 =q 1 posibilele mișcări ale tuturor corpurilor și punctelor sistemului; compune - o expresie a muncii elementare a forțelor sistemului asupra primei deplasări posibile; posibilele mișcări în exprimate prin d q 1; găsi Î 1 conform formulei (1.4), luând i = 1.

· Determinați a doua forță generalizată Î 2. Pentru a face acest lucru, dați sistemului o a doua mișcare posibilă când d q 2 > 0 și d q 1 = 0; arată d-ul corespunzător pe diagrama de proiectare q 2 posibilele mișcări ale tuturor corpurilor și punctelor sistemului; compune - o expresie a muncii elementare a forțelor sistemului asupra celei de-a doua deplasări posibile; posibilele mișcări în exprimate prin d q 2; găsi Î 2 conform formulei (1.4), luând i = 2.

Exemplul 1.5 (vezi condiția din Fig. 1.2)

Să definim Î 1Și Î 2, corespunzătoare coordonatelor generalizate xDȘi xA(Fig. 1.6, A).

Există trei forțe active care acționează asupra sistemului: PA = 2P, P B = P D = P.

Definiție Î 1. Să dăm sistemului prima mișcare posibilă când d xD> 0, d x A = 0 (Fig. 1.6, A). În același timp, sarcina D xD, bloc B se va roti în sens invers acelor de ceasornic după unghiul dj B, axa cilindrului A va rămâne nemișcat, cilindru A se va roti în jurul unei axe A la unghiul dj Aîn sensul acelor de ceasornic. Să alcătuim suma muncii asupra mișcărilor indicate:

hai sa definim

Să definim Î 2. Să dăm sistemului o a doua mișcare posibilă când d x D = 0, d xA> 0 (Fig. 1.6, b). În acest caz, axa cilindrului A se va deplasa vertical pe o distanta d xA, cilindru A se va roti în jurul unei axe Aîn sensul acelor de ceasornic la unghiul dj A, bloc B si marfa D va rămâne nemișcat. Să alcătuim suma muncii asupra mișcărilor indicate:

hai sa definim

Exemplul 1.6 (vezi condiția din Fig. 1.3)

Să definim Î 1Și Î 2, corespunzătoare coordonatelor generalizate j, s(Fig. 1.7, A). Există patru forțe active care acționează asupra sistemului: greutatea tijei P, greutatea mingii, forța elastică a arcului și .

Să luăm în considerare asta. Modulul forțelor elastice este determinat de formula (a).

Rețineți că punctul de aplicare al forței F 2 este nemișcată, prin urmare munca acestei forțe asupra oricărei posibile deplasări a sistemului este zero, în expresia forțelor generalizate forța F 2 nu va intra.

Definiție Î 1. Să dăm sistemului prima mișcare posibilă când dj > 0, d s = 0 (Fig. 1.7, A). În acest caz, tija AB se va roti în jurul unei axe z in sens invers acelor de ceasornic prin unghi dj, posibile miscari ale mingii Dși centru E tijele sunt îndreptate perpendicular pe segment ANUNȚ, lungimea arcului nu se va schimba. Să o punem sub formă de coordonate [vezi. formula (1.3b)]:

(Vă rugăm să rețineți că, prin urmare, munca efectuată de această forță asupra primei deplasări posibile este zero).

Să exprimăm deplasările d x Eși d xD prin dj. Pentru a face acest lucru, mai întâi scriem

Apoi, în conformitate cu formula (7) adj. 1 vom găsi

Înlocuind valorile găsite în , obținem

Folosind formula (1.4), ținând cont de faptul că , determinăm

Definiție Î 2. Să dăm sistemului o a doua mișcare posibilă când dj = 0, d s> 0 (Fig. 1.7, b). În acest caz, tija AB va rămâne nemișcat, iar mingea M se va deplasa de-a lungul tijei cu o distanta d s. Să alcătuim suma muncii asupra mișcărilor indicate:

hai sa definim

înlocuind valoarea forței F 1 din formula (a), obținem

1.5. Exprimarea energiei cinetice a unui sistem
în coordonate generalizate

Energia cinetică a unui sistem este egală cu suma energiilor cinetice ale corpurilor și punctelor sale (Anexa 2). Pentru a obţine T Expresia (1.2) ar trebui să exprime vitezele tuturor corpurilor și punctelor sistemului prin viteze generalizate folosind metode cinematice. În acest caz, sistemul este considerat a fi într-o poziție arbitrară, toate vitezele sale generalizate sunt considerate pozitive, adică direcționate către creșterea coordonatelor generalizate.

Exemplul 1. 7 (vezi condiția din Fig. 1.1)

Să determinăm energia cinetică a sistemului (Fig. 1.8), luând distanța ca coordonată generalizată s,

T = T A + T B.

După formulele (2) și (3) adj. 2 avem: .

Înlocuirea acestor date în Tși ținând cont de asta, obținem

Exemplul 1.8(vezi condiția din Fig. 1.2)

Să determinăm energia cinetică a sistemului din fig. 1.9, luând ca coordonate generalizate mărimile xDȘi xA,

T = T A + T B + T D.

Conform formulelor (2), (3), (4) adj. 2 vom nota

Să ne exprimăm V A , V D , w Bși W A prin :

La determinarea w A se ţine cont că punctul O(Fig. 1.9) – viteza instantanee a centrului cilindrului AȘi V k = V D(vezi explicațiile corespunzătoare de exemplu 2 anexa 2).

Înlocuind rezultatele obţinute în Tși având în vedere că

hai sa definim

Exemplul 1.9(vezi condiția din Fig. 1.3)

Să determinăm energia cinetică a sistemului din fig. 1.10, luând j și ca coordonate generalizate s,

T = T AB + T D.

După formulele (1) și (3) adj. 2 avem

Să exprimăm w ABȘi V D prin și:

unde este viteza de transfer a mingii D, modulul său este determinat de formulă

Dirijată perpendicular pe segment ANUNȚîn direcția creșterii unghiului j; – viteza relativă a mingii, modulul acesteia este determinat de formula, îndreptată spre coordonate crescătoare s. Rețineți că este perpendicular, prin urmare

Înlocuirea acestor rezultate în Tși având în vedere că

1.6. Întocmirea ecuațiilor diferențiale
mișcarea sistemelor mecanice

Pentru a obține ecuațiile necesare, este necesar să înlocuim în ecuațiile Lagrange (1.1) expresia găsită anterior pentru energia cinetică a sistemului în coordonate generalizate și forțe generalizate. Q 1 , Q 2 , … , Qn.

La găsirea derivatelor parțiale T folosind coordonate generalizate şi viteze generalizate, trebuie avut în vedere că variabilele q 1 , q 2 , … , q n; sunt considerate independente unele de altele. Aceasta înseamnă că la definirea derivatei parțiale T pentru una dintre aceste variabile, toate celelalte variabile din expresia for T ar trebui considerate constante.

La efectuarea unei operații, toate variabilele incluse în variabilă trebuie diferențiate în timp.

Subliniem că ecuațiile Lagrange sunt scrise pentru fiecare coordonată generalizată q i (i = 1, 2,…n) sisteme.