Deoarece măsura în radian a unui unghi este caracterizată prin găsirea mărimii unghiului prin lungimea arcului, este posibil să se descrie grafic relația dintre măsura în radian și măsura gradului. Pentru a face acest lucru, desenăm un cerc cu raza 1 pe planul de coordonate, astfel încât centrul său să fie la origine. Vom reprezenta unghiurile pozitive în sens invers acelor de ceasornic și unghiurile negative în sensul acelor de ceasornic.
Indicam gradul de masura a unui unghi ca de obicei, iar masura radianilor folosind arce situate pe cerc. P 0 – începutul unghiului. Restul sunt puncte 
intersecția laturilor unui unghi cu un cerc.
Definiție: Un cerc cu raza 1 centrat la origine se numește cerc unitar.
Pe lângă desemnarea unghiurilor, acest cerc mai are o caracteristică: poate reprezenta orice număr real ca un singur punct al acestui cerc. Acest lucru se poate face la fel ca pe o linie numerică. Este ca și cum am îndoi linia numerică astfel încât să se afle pe un cerc.
P 0 este originea, punctul numărului 0. Numerele pozitive sunt marcate în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic), iar numerele negative în sens negativ (în sensul acelor de ceasornic). Un segment egal cu α este un arc P 0 P α .
Orice număr poate fi reprezentat printr-un punct P α pe un cerc, iar acest punct este unic pentru fiecare număr, dar puteți observa că mulțimea numerelor α + 2πn, unde n este un număr întreg, corespunde aceluiași punct P α .
Fiecare punct are propriile coordonate, care au nume speciale.
Definiție:Cosinusul numărului α se numește abscisa punctului corespunzător numărului α de pe cercul unitar.
Definiție:Sinusul numărului α este ordonata unui punct corespunzătoare numărului α de pe cercul unitar.
Pα (cosα, sinα).
Din geometrie:
Cosinusul unui unghi dreptunghiular triunghi - raportul dintre unghiul opus față de ipotenuză. În acest caz, ipotenuza este egală cu 1, adică cosinusul unghiului se măsoară prin lungimea segmentului OA.
Sinusul unui unghi dintr-un triunghi dreptunghic– raportul catetei adiacente la ipotenuză. Adică, sinusul este măsurat prin lungimea segmentului OB.
Să notăm definițiile tangentei și cotangentei unui număr.
Unde cos α≠0
Unde sin α≠0
Sarcina de a găsi valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr arbitrar prin aplicarea anumitor formule se reduce la găsirea valorilor sinα, cosα, tanα și ctgα, unde 0≤α≤π/2.
Tabelul valorilor de bază ale funcțiilor trigonometrice
| α | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 2π | |
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 360° | |
| sin α | |||||||
| cos α | ½ | -1 | |||||
| tan α | - | ||||||
| ctg α | - | - | - |
Găsiți sensul expresiilor.
Una dintre domeniile matematicii cu care elevii se luptă cel mai mult este trigonometria. Nu este surprinzător: pentru a stăpâni liber această zonă de cunoaștere, aveți nevoie de gândire spațială, abilitatea de a găsi sinusuri, cosinus, tangente, cotangente folosind formule, simplifica expresii și puteți utiliza numărul pi în calculele. În plus, trebuie să puteți folosi trigonometria atunci când demonstrați teoreme, iar acest lucru necesită fie o memorie matematică dezvoltată, fie capacitatea de a deriva lanțuri logice complexe.
Originile trigonometriei
Familiarizarea cu această știință ar trebui să înceapă cu definiția sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi, dar mai întâi trebuie să înțelegeți ce face trigonometria în general.
Din punct de vedere istoric, principalul obiect de studiu în această ramură a științei matematice a fost triunghiurile dreptunghiulare. Prezența unui unghi de 90 de grade face posibilă efectuarea diferitelor operații care permit determinarea valorilor tuturor parametrilor figurii în cauză folosind două laturi și un unghi sau două unghiuri și o latură. În trecut, oamenii au observat acest model și au început să-l folosească activ în construcția de clădiri, navigație, astronomie și chiar în artă.
Primul stagiu
Inițial, oamenii au vorbit despre relația dintre unghiuri și laturi folosind exclusiv exemplul triunghiurilor dreptunghiulare. Apoi au fost descoperite formule speciale care au făcut posibilă extinderea limitelor de utilizare în viața de zi cu zi a acestei ramuri a matematicii.
Studiul trigonometriei în școală începe astăzi cu triunghiuri dreptunghiulare, după care elevii folosesc cunoștințele dobândite în fizică și rezolvarea de ecuații trigonometrice abstracte, care încep din liceu.
Trigonometrie sferică
Mai târziu, când știința a ajuns la următorul nivel de dezvoltare, formulele cu sinus, cosinus, tangentă și cotangentă au început să fie folosite în geometria sferică, unde se aplică reguli diferite, iar suma unghiurilor dintr-un triunghi este întotdeauna mai mare de 180 de grade. Această secțiune nu este studiată la școală, dar este necesar să cunoaștem existența ei, cel puțin pentru că suprafața pământului și suprafața oricărei alte planete este convexă, ceea ce înseamnă că orice marcaj de suprafață va fi „în formă de arc” în spatiu tridimensional.
Luați globul și firul. Atașați firul la oricare două puncte de pe glob, astfel încât să fie întins. Vă rugăm să rețineți - a luat forma unui arc. Geometria sferică se ocupă de astfel de forme, care este folosită în geodezie, astronomie și alte domenii teoretice și aplicate.
Triunghi dreptunghic
După ce am învățat puțin despre modalitățile de utilizare a trigonometriei, să revenim la trigonometria de bază pentru a înțelege mai bine ce sunt sinusul, cosinusul, tangenta, ce calcule pot fi efectuate cu ajutorul lor și ce formule să folosiți.
Primul pas este să înțelegeți conceptele legate de un triunghi dreptunghic. În primul rând, ipotenuza este latura opusă unghiului de 90 de grade. Este cel mai lung. Ne amintim că, conform teoremei lui Pitagora, valoarea sa numerică este egală cu rădăcina sumei pătratelor celorlalte două laturi.
De exemplu, dacă cele două laturi au 3 și respectiv 4 centimetri, lungimea ipotenuzei va fi de 5 centimetri. Apropo, egiptenii antici știau despre asta acum aproximativ patru mii și jumătate de ani.
Cele două laturi rămase, care formează un unghi drept, se numesc picioare. În plus, trebuie să ne amintim că suma unghiurilor dintr-un triunghi într-un sistem de coordonate dreptunghiular este egală cu 180 de grade.
Definiție
În cele din urmă, cu o înțelegere fermă a bazei geometrice, se poate apela la definiția sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi.
Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (adică, latura opusă unghiului dorit) și ipotenuză. Cosinusul unui unghi este raportul dintre latura adiacentă și ipotenuză.
Amintiți-vă că nici sinus, nici cosinus nu pot fi mai mari decât unu! De ce? Deoarece ipotenuza este implicit cea mai lungă. Indiferent cât de lung este catetul, acesta va fi mai scurt decât ipotenuza, ceea ce înseamnă că raportul lor va fi întotdeauna mai mic de unu. Astfel, dacă în răspunsul dumneavoastră la o problemă obțineți un sinus sau un cosinus cu o valoare mai mare decât 1, căutați o eroare în calcule sau raționament. Acest răspuns este clar incorect.
În cele din urmă, tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Împărțirea sinusului la cosinus va da același rezultat. Uite: conform formulei, împărțim lungimea laturii cu ipotenuză, apoi împărțim cu lungimea celei de-a doua laturi și înmulțim cu ipotenuză. Astfel, obținem aceeași relație ca și în definiția tangentei.
Cotangenta, în consecință, este raportul dintre latura adiacentă colțului și latura opusă. Același rezultat îl obținem împărțind unul la tangentă.
Deci, ne-am uitat la definițiile a ceea ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă și putem trece la formule.
Cele mai simple formule
În trigonometrie nu puteți face fără formule - cum să găsiți sinus, cosinus, tangentă, cotangentă fără ele? Dar exact acest lucru este necesar atunci când rezolvați probleme.
Prima formulă pe care trebuie să o știți când începeți să studiați trigonometria spune că suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este egală cu unu. Această formulă este o consecință directă a teoremei lui Pitagora, dar economisește timp dacă trebuie să cunoști dimensiunea unghiului mai degrabă decât latura.
Mulți elevi nu-și pot aminti a doua formulă, care este, de asemenea, foarte populară atunci când rezolvă probleme școlare: suma lui unu și pătratul tangentei unui unghi este egală cu unul împărțit la pătratul cosinusului unghiului. Aruncă o privire mai atentă: aceasta este aceeași afirmație ca în prima formulă, doar ambele părți ale identității au fost împărțite la pătratul cosinusului. Se dovedește că o simplă operație matematică face formula trigonometrică complet de nerecunoscut. Amintiți-vă: știind ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, reguli de transformare și mai multe formule de bază, puteți oricând să derivați formulele mai complexe necesare pe o foaie de hârtie.
Formule pentru unghiuri duble și adăugare de argumente
Încă două formule pe care trebuie să le învățați sunt legate de valorile sinusului și cosinusului pentru suma și diferența unghiurilor. Ele sunt prezentate în figura de mai jos. Vă rugăm să rețineți că în primul caz, sinusul și cosinusul sunt înmulțiți de ambele ori, iar în al doilea, produsul pe perechi dintre sinus și cosinus este adăugat.
Există și formule asociate cu argumente cu unghi dublu. Sunt complet derivate din cele anterioare - ca practică, încercați să le obțineți singur luând unghiul alfa egal cu unghiul beta.
În cele din urmă, rețineți că formulele cu unghi dublu pot fi rearanjate pentru a reduce puterea sinusului, cosinusului, tangentei alfa.
Teoreme
Cele două teoreme principale în trigonometrie de bază sunt teorema sinusului și teorema cosinusului. Cu ajutorul acestor teoreme, puteți înțelege cu ușurință cum să găsiți sinusul, cosinusul și tangenta și, prin urmare, aria figurii și dimensiunea fiecărei laturi etc.
Teorema sinusului spune că împărțirea lungimii fiecărei laturi a unui triunghi la unghiul opus are ca rezultat același număr. Mai mult, acest număr va fi egal cu două raze ale cercului circumscris, adică cercul care conține toate punctele unui triunghi dat.
Teorema cosinusului generalizează teorema lui Pitagora, proiectând-o pe orice triunghi. Se pare că din suma pătratelor celor două laturi, scădeți produsul lor înmulțit cu cosinusul dublu al unghiului adiacent - valoarea rezultată va fi egală cu pătratul celei de-a treia laturi. Astfel, teorema lui Pitagora se dovedește a fi un caz special al teoremei cosinusului.
Greșeli neglijente
Chiar și știind ce sunt sinus, cosinus și tangentă, este ușor să faci o greșeală din cauza distragerii sau a unei erori în cele mai simple calcule. Pentru a evita astfel de greșeli, să aruncăm o privire la cele mai populare.
În primul rând, nu ar trebui să convertiți fracțiile în zecimale până când nu obțineți rezultatul final - puteți lăsa răspunsul ca o fracție, dacă nu este specificat altfel în condiții. O astfel de transformare nu poate fi numită o greșeală, dar trebuie amintit că în fiecare etapă a problemei pot apărea noi rădăcini, care, conform ideii autorului, ar trebui reduse. În acest caz, îți vei pierde timpul cu operații matematice inutile. Acest lucru este valabil mai ales pentru valori precum rădăcina lui trei sau rădăcina lui doi, deoarece acestea se găsesc în probleme la fiecare pas. Același lucru este valabil și pentru rotunjirea numerelor „urâte”.
Mai mult, rețineți că teorema cosinusului se aplică oricărui triunghi, dar nu teorema lui Pitagora! Dacă uitați din greșeală să scădeți de două ori produsul laturilor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele, nu numai că veți obține un rezultat complet greșit, dar veți demonstra și o lipsă totală de înțelegere a subiectului. Acest lucru este mai rău decât o greșeală neglijentă.
În al treilea rând, nu confundați valorile pentru unghiuri de 30 și 60 de grade pentru sinusuri, cosinus, tangente, cotangente. Rețineți aceste valori, deoarece sinusul de 30 de grade este egal cu cosinusul lui 60 și invers. Este ușor să le confundați, în urma căruia veți obține inevitabil un rezultat eronat.
Aplicație
Mulți studenți nu se grăbesc să înceapă să studieze trigonometria, deoarece nu înțeleg sensul său practic. Ce este sinusul, cosinusul, tangenta pentru un inginer sau astronom? Acestea sunt concepte cu ajutorul cărora puteți calcula distanța până la stelele îndepărtate, puteți prezice căderea unui meteorit sau puteți trimite o sondă de cercetare pe o altă planetă. Fără ele, este imposibil să construiești o clădire, să proiectezi o mașină, să calculezi sarcina pe o suprafață sau traiectoria unui obiect. Și acestea sunt doar exemplele cele mai evidente! La urma urmei, trigonometria într-o formă sau alta este folosită peste tot, de la muzică la medicină.
In cele din urma
Deci ești sinus, cosinus, tangentă. Le puteți folosi în calcule și rezolva cu succes problemele școlare.
Întregul punct al trigonometriei se reduce la faptul că folosind parametrii cunoscuți ai unui triunghi trebuie să calculați necunoscutele. Există șase parametri în total: lungimea a trei laturi și dimensiunea a trei unghiuri. Singura diferență în sarcini constă în faptul că sunt date diferite date de intrare.
Acum știți cum să găsiți sinus, cosinus, tangentă pe baza lungimii cunoscute ale catetelor sau ipotenuzei. Deoarece acești termeni nu înseamnă altceva decât un raport, iar un raport este o fracție, scopul principal al unei probleme de trigonometrie este de a găsi rădăcinile unei ecuații obișnuite sau ale unui sistem de ecuații. Și aici matematica obișnuită a școlii vă va ajuta.
Conceptele de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt principalele categorii ale trigonometriei, o ramură a matematicii și sunt indisolubil legate de definiția unghiului. Stăpânirea acestei științe matematice necesită memorarea și înțelegerea formulelor și teoremelor, precum și gândirea spațială dezvoltată. Acesta este motivul pentru care calculele trigonometrice provoacă adesea dificultăți pentru școlari și elevi. Pentru a le depăși, ar trebui să vă familiarizați mai mult cu funcțiile și formulele trigonometrice.
Concepte în trigonometrie
Pentru a înțelege conceptele de bază ale trigonometriei, trebuie mai întâi să înțelegeți ce sunt un triunghi dreptunghic și un unghi dintr-un cerc și de ce toate calculele trigonometrice de bază sunt asociate cu acestea. Un triunghi în care unul dintre unghiuri măsoară 90 de grade este dreptunghiular. Din punct de vedere istoric, această cifră a fost adesea folosită de oameni în arhitectură, navigație, artă și astronomie. În consecință, studiind și analizând proprietățile acestei figuri, oamenii au ajuns să calculeze rapoartele corespunzătoare ale parametrilor ei.
Principalele categorii asociate triunghiurilor dreptunghic sunt ipotenuza și catetele. Ipotenuza este latura unui triunghi opusă unghiului drept. Picioarele, respectiv, sunt celelalte două laturi. Suma unghiurilor oricăror triunghiuri este întotdeauna de 180 de grade.
Trigonometria sferică este o secțiune a trigonometriei care nu este studiată în școală, dar în științe aplicate precum astronomia și geodezia, oamenii de știință o folosesc. Particularitatea unui triunghi în trigonometria sferică este că are întotdeauna o sumă de unghiuri mai mare de 180 de grade.
Unghiurile unui triunghi
Într-un triunghi dreptunghic, sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus unghiului dorit și ipotenuza triunghiului. În consecință, cosinusul este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuza. Ambele valori au întotdeauna o magnitudine mai mică decât unu, deoarece ipotenuza este întotdeauna mai lungă decât catetul.
Tangenta unui unghi este o valoare egală cu raportul dintre latura opusă și latura adiacentă unghiului dorit, sau sinus la cosinus. Cotangenta, la rândul său, este raportul dintre latura adiacentă unghiului dorit și latura opusă. Cotangenta unui unghi se poate obține și prin împărțirea unuia la valoarea tangentei.
Cercul unitar
Un cerc unitar în geometrie este un cerc a cărui rază este egală cu unu. Un astfel de cerc este construit într-un sistem de coordonate carteziene, cu centrul cercului coincizând cu punctul de origine, iar poziția inițială a vectorului rază este determinată de-a lungul direcției pozitive a axei X (axa absciselor). Fiecare punct de pe cerc are două coordonate: XX și YY, adică coordonatele abscisei și ordonatei. Selectând orice punct al cercului în planul XX și scăzând o perpendiculară din acesta pe axa absciselor, obținem un triunghi dreptunghic format din raza către punctul selectat (notat cu litera C), perpendiculara trasată pe axa X. (punctul de intersecție este notat cu litera G), iar segmentul axa absciselor dintre origine (punctul este desemnat cu litera A) și punctul de intersecție G. Triunghiul rezultat ACG este un triunghi dreptunghic înscris într-un cerc, unde AG este ipotenuza, iar AC și GC sunt catetele. Unghiul dintre raza cercului AC și segmentul axei absciselor cu denumirea AG este definit ca α (alfa). Deci, cos α = AG/AC. Având în vedere că AC este raza cercului unitar și este egală cu unu, rezultă că cos α=AG. La fel, sin α=CG.
În plus, cunoscând aceste date, puteți determina coordonatele punctului C pe cerc, deoarece cos α=AG și sin α=CG, ceea ce înseamnă că punctul C are coordonatele date (cos α;sin α). Știind că tangenta este egală cu raportul dintre sinus și cosinus, putem determina că tan α = y/x și cot α = x/y. Luând în considerare unghiurile într-un sistem de coordonate negativ, puteți calcula că valorile sinusului și cosinusului unor unghiuri pot fi negative.
Calcule și formule de bază
Valorile funcției trigonometrice
Având în vedere esența funcțiilor trigonometrice prin cercul unitar, putem deriva valorile acestor funcții pentru unele unghiuri. Valorile sunt enumerate în tabelul de mai jos.
Cele mai simple identități trigonometrice
Ecuațiile în care există o valoare necunoscută sub semnul funcției trigonometrice se numesc trigonometrice. Identități cu valoarea sin x = α, k - orice număr întreg:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
- sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, fără soluții.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Identități cu valoarea cos x = a, unde k este orice număr întreg:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x = -1, x = π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, fără soluții.
- cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.
Identități cu valoarea tg x = a, unde k este orice număr întreg:
- tan x = 0, x = π/2 + πk.
- tan x = a, x = arctan α + πk.
Identități cu valoarea ctg x = a, unde k este orice număr întreg:
- cot x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Formule de reducere
Această categorie de formule constante denotă metode prin care puteți trece de la funcțiile trigonometrice de formă la funcțiile unui argument, adică reduceți sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi de orice valoare la indicatorii corespunzători ai unghiului de intervalul de la 0 la 90 de grade pentru o mai mare comoditate a calculelor.
Formulele pentru funcțiile de reducere pentru sinusul unui unghi arată astfel:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
Pentru cosinusul unghiului:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Utilizarea formulelor de mai sus este posibilă sub rezerva a două reguli. În primul rând, dacă unghiul poate fi reprezentat ca valoare (π/2 ± a) sau (3π/2 ± a), valoarea funcției se modifică:
- de la sin la cos;
- de la cos la sin;
- de la tg la ctg;
- de la ctg la tg.
Valoarea funcției rămâne neschimbată dacă unghiul poate fi reprezentat ca (π ± a) sau (2π ± a).
În al doilea rând, semnul funcției reduse nu se schimbă: dacă a fost inițial pozitiv, așa rămâne. La fel și cu funcțiile negative.
Formule de adunare
Aceste formule exprimă valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sumei și diferenței a două unghiuri de rotație prin funcțiile lor trigonometrice. De obicei, unghiurile sunt notate ca α și β.
Formulele arată astfel:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Aceste formule sunt valabile pentru orice unghiuri α și β.
Formule cu unghi dublu și triplu
Formulele trigonometrice cu unghi dublu și triplu sunt formule care raportează funcțiile unghiurilor 2α și, respectiv, 3α la funcțiile trigonometrice ale unghiului α. Derivat din formule de adunare:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2 α.
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Trecerea de la sumă la produs
Considerând că 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), simplificând această formulă, obținem identitatea sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. În mod similar sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Trecerea de la produs la sumă
Aceste formule decurg din identitățile tranziției unei sume la un produs:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Formule de reducere a gradului
În aceste identități, puterile pătrate și cubice ale sinusului și cosinusului pot fi exprimate în termenii sinusului și cosinusului primei puteri a unui unghi multiplu:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Substituție universală
Formulele pentru substituția trigonometrică universală exprimă funcții trigonometrice în termeni de tangente a unui jumătate de unghi.
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), cu x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), unde x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), unde x = π + 2πn;
- cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), cu x = π + 2πn.
Cazuri speciale
Mai jos sunt prezentate cazuri speciale ale celor mai simple ecuații trigonometrice (k este orice număr întreg).
Coeficiente pentru sinus:
| Valoarea sin x | valoarea x |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk sau 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk sau -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk sau 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk sau -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk sau 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk sau -2π/3 + 2πk |
Coeficienti pentru cosinus:
| valoarea cos x | valoarea x |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Coeficienti pentru tangenta:
| valoarea tg x | valoarea x |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Coeficienti pentru cotangente:
| valoarea ctg x | valoarea x |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Teoreme
Teorema sinusurilor
Există două versiuni ale teoremei - simplă și extinsă. Teorema sinusului simplu: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. În acest caz, a, b, c sunt laturile triunghiului și, respectiv, α, β, γ sunt unghiurile opuse.
Teorema sinusului extins pentru un triunghi arbitrar: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. În această identitate, R denotă raza cercului în care este înscris triunghiul dat.
Teorema cosinusului
Identitatea este afișată astfel: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. În formula, a, b, c sunt laturile triunghiului, iar α este unghiul opus laturii a.
Teorema tangentei
Formula exprimă relația dintre tangentele a două unghiuri și lungimea laturilor opuse acestora. Laturile sunt etichetate a, b, c, iar unghiurile opuse corespunzătoare sunt α, β, γ. Formula teoremei tangentei: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).
Teorema cotangentei
Leagă raza unui cerc înscris într-un triunghi cu lungimea laturilor sale. Dacă a, b, c sunt laturile triunghiului și, respectiv, A, B, C sunt unghiurile opuse acestora, r este raza cercului înscris și p este semiperimetrul triunghiului, următoarele identitățile sunt valabile:
- cot A/2 = (p-a)/r;
- cot B/2 = (p-b)/r;
- cot C/2 = (p-c)/r.
Aplicație
Trigonometria nu este doar o știință teoretică asociată cu formulele matematice. Proprietățile, teoremele și regulile sale sunt folosite în practică de diverse ramuri ale activității umane - astronomie, navigație aeriană și maritimă, teoria muzicii, geodezie, chimie, acustică, optică, electronică, arhitectură, economie, inginerie mecanică, lucrări de măsurare, grafică pe computer, cartografie, oceanografie și multe altele.
Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt conceptele de bază ale trigonometriei, cu ajutorul cărora se pot exprima matematic relațiile dintre unghiurile și lungimile laturilor dintr-un triunghi și se pot găsi mărimile necesare prin identități, teoreme și reguli.
Cred că meriți mai mult decât atât. Iată cheia mea pentru trigonometrie:
- Desenați cupola, peretele și tavanul
- Funcțiile trigonometrice nu sunt altceva decât procente din aceste trei forme.
Metaforă pentru sinus și cosinus: dom
În loc să te uiți doar la triunghiurile în sine, imaginează-le în acțiune găsind un exemplu specific din viața reală.
Imaginați-vă că vă aflați în mijlocul unui dom și doriți să atârnați un ecran de proiector de film. Îndreptați cu degetul spre dom la un anumit unghi „x”, iar ecranul ar trebui să fie suspendat din acest punct.
Unghiul spre care indicați determină:
- sine(x) = sin(x) = înălțimea ecranului (de la podea până la punctul de montare al domului)
- cosinus(x) = cos(x) = distanța de la tine până la ecran (pe etaj)
- ipotenuză, distanța de la tine până la partea de sus a ecranului, întotdeauna aceeași, egală cu raza cupolei
Vrei ca ecranul să fie cât mai mare? Atârnă-l direct deasupra ta.
Vrei ca ecranul să atârne cât mai departe de tine? Agățați-l drept perpendicular. Ecranul va avea înălțime zero în această poziție și va atârna cel mai departe, așa cum ați cerut.
Înălțimea și distanța față de ecran sunt invers proporționale: cu cât ecranul atârnă mai aproape, cu atât este mai mare înălțimea acestuia.
Sinusul și cosinusul sunt procente
Nimeni în anii mei de studiu, vai, nu mi-a explicat că funcțiile trigonometrice sinus și cosinus nu sunt altceva decât procente. Valorile lor variază de la +100% la 0 la -100%, sau de la un maxim pozitiv la zero la un maxim negativ.
Să presupunem că am plătit un impozit de 14 ruble. Nu știi cât este. Dar dacă spuneți că am plătit 95% impozit, veți înțelege că pur și simplu am fost lână.
Înălțimea absolută nu înseamnă nimic. Dar dacă valoarea sinusului este 0,95, atunci înțeleg că televizorul atârnă aproape de partea superioară a domului tău. Foarte curând va atinge înălțimea maximă în centrul domului și apoi va începe să scadă din nou.
Cum putem calcula acest procent? Este foarte simplu: împărțiți înălțimea curentă a ecranului la maximul posibil (raza cupolei, numită și ipotenuză).
De aceea ni se spune că „cosinus = latura opusă / ipotenuză”. Totul este să obții interes! Cel mai bine este să definiți sinusul ca „procentul înălțimii curente față de maximul posibil”. (Sinusul devine negativ dacă unghiul dvs. este îndreptat „sub pământ”. Cosinusul devine negativ dacă unghiul este îndreptat către punctul domului din spatele vostru.)
Să simplificăm calculele presupunând că suntem în centrul cercului unitar (raza = 1). Putem sări peste diviziune și doar să luăm sinusul egal cu înălțimea.
Fiecare cerc este în esență un singur cerc, mărit în sus sau în jos la dimensiunea dorită. Deci, determinați conexiunile cercului unității și aplicați rezultatele la dimensiunea specifică a cercului dvs.
Experiment: luați orice colț și vedeți ce procent din înălțime față de lățime afișează:
Graficul creșterii valorii sinusului nu este doar o linie dreaptă. Primele 45 de grade acoperă 70% din înălțime, dar ultimele 10 grade (de la 80° la 90°) acoperă doar 2%.
Acest lucru îți va fi mai clar: dacă mergi în cerc, la 0° te ridici aproape vertical, dar pe măsură ce te apropii de vârful cupolei, înălțimea se schimbă din ce în ce mai puțin.
Tangenta si secanta. Perete
Într-o zi, un vecin a construit un zid chiar unul lângă altul la cupola ta. Am plâns vederea de la fereastră și un preț bun pentru revânzare!
Dar este posibil să câștigi cumva în această situație?
Desigur ca da. Dacă am agăța un ecran de film chiar pe peretele vecinului nostru? Tintiti unghiul (x) si obtineti:
- tan(x) = tan(x) = înălțimea ecranului pe perete
- distanța de la tine până la perete: 1 (aceasta este raza cupolei tale, peretele nu se mișcă nicăieri de la tine, nu?)
- secant(x) = sec(x) = „lungimea scării” de la tine în picioare în centrul domului până în partea de sus a ecranului suspendat
Să clarificăm câteva puncte privind tangenta sau înălțimea ecranului.
- începe de la 0 și poate ajunge la infinit de sus. Puteți întinde ecranul din ce în ce mai sus pe perete pentru a crea o pânză nesfârșită pentru vizionarea filmului preferat! (Pentru unul atât de uriaș, desigur, va trebui să cheltuiți mulți bani).
- tangenta este doar o versiune mai mare a sinusului! Și în timp ce creșterea sinusului încetinește pe măsură ce vă deplasați spre partea de sus a cupolei, tangenta continuă să crească!
Sekansu are și cu ce să se laude:
- Secanta începe la 1 (scara este pe podea, de la tine până la perete) și începe să se ridice de acolo
- Secanta este întotdeauna mai lungă decât tangenta. Scara înclinată pe care o folosiți pentru a agăța ecranul ar trebui să fie mai lungă decât ecranul în sine, nu? (Cu dimensiuni nerealiste, când ecranul este atât de lung și scara trebuie plasată aproape vertical, dimensiunile lor sunt aproape aceleași. Dar chiar și atunci secanta va fi puțin mai lungă).
Amintiți-vă, valorile sunt la sută. Dacă decideți să atârnați ecranul la un unghi de 50 de grade, tan(50)=1,19. Ecranul dvs. este cu 19% mai mare decât distanța până la perete (raza domului).
(Introduceți x=0 și verificați-vă intuiția - tan(0) = 0 și sec(0) = 1.)
Cotangente și cosecante. Tavan
Incredibil, vecinul tău a decis acum să construiască un acoperiș peste domul tău. (Ce e în neregulă cu el? Se pare că nu vrea să-l spioni în timp ce se plimbă gol prin curte...)
Ei bine, este timpul să construiești o ieșire pe acoperiș și să vorbești cu vecinul tău. Alegeți unghiul de înclinare și începeți construcția:
- distanța verticală dintre ieșirea din acoperiș și podea este întotdeauna 1 (raza cupolei)
- cotangent(x) = cot(x) = distanța dintre vârful domului și punctul de ieșire
- cosecant(x) = csc(x) = lungimea drumului către acoperiș
Tangenta și secanta descriu peretele, iar COtangente și COsecante descriu tavanul.
Concluziile noastre intuitive de această dată sunt similare cu cele anterioare:
- Dacă iei unghiul egal cu 0°, ieșirea ta pe acoperiș va dura pentru totdeauna, deoarece nu va ajunge niciodată la tavan. Problemă.
- Cea mai scurtă „scara” până la acoperiș va fi obținută dacă o construiți la un unghi de 90 de grade față de podea. Cotangenta va fi egală cu 0 (nu ne mișcăm deloc de-a lungul acoperișului, ieșim strict perpendicular), iar cosecantul va fi egal cu 1 („lungimea scării” va fi minimă).
Vizualizați conexiunile
Dacă toate cele trei cazuri sunt desenate într-o combinație dom-perete-tavan, rezultatul va fi următorul:
Ei bine, este încă același triunghi, mărit în dimensiune pentru a ajunge la perete și tavan. Avem laturi verticale (sinus, tangentă), laturi orizontale (cosinus, cotangent) și „ipotenuze” (secante, cosecantă). (Cu ajutorul săgeților puteți vedea unde ajunge fiecare element. Cosecantul este distanța totală de la dvs. până la acoperiș).
Puțină magie. Toate triunghiurile au aceleași egalități:
Din teorema lui Pitagora (a 2 + b 2 = c 2) vedem cum sunt conectate laturile fiecărui triunghi. În plus, raporturile „înălțime/lățime” ar trebui să fie, de asemenea, aceleași pentru toate triunghiurile. (Pur și simplu treceți de la cel mai mare triunghi la cel mai mic. Da, dimensiunea s-a schimbat, dar proporțiile laturilor vor rămâne aceleași).
Știind care latură din fiecare triunghi este egală cu 1 (raza cupolei), putem calcula cu ușurință că „sin/cos = tan/1”.
Am încercat întotdeauna să-mi amintesc aceste fapte printr-o simplă vizualizare. În imagine vedeți clar aceste dependențe și înțelegeți de unde provin. Această tehnică este mult mai bună decât memorarea formulelor uscate.
Nu uitați de alte unghiuri
Psst... Nu vă blocați pe un singur grafic, gândindu-vă că tangenta este întotdeauna mai mică de 1. Dacă creșteți unghiul, puteți ajunge la tavan fără a ajunge la perete:
Conexiunile pitagoreice funcționează întotdeauna, dar dimensiunile relative pot varia.
(Este posibil să fi observat că rapoartele sinus și cosinus sunt întotdeauna cele mai mici, deoarece sunt conținute în dom).
Pentru a rezuma: ce trebuie să ne amintim?
Pentru majoritatea dintre noi, aș spune că va fi suficient:
- trigonometria explică anatomia obiectelor matematice, cum ar fi cercurile și intervalele repetate
- Analogia cupolă/perete/acoperiș arată relația dintre diferitele funcții trigonometrice
- Funcțiile trigonometrice rezultă în procente, pe care le aplicăm scenariului nostru.
Nu trebuie să memorați formule precum 1 2 + cot 2 = csc 2 . Sunt potrivite doar pentru teste stupide în care cunoașterea unui fapt este pretinsă drept înțelegere. Luați un minut pentru a desena un semicerc sub formă de cupolă, un perete și un acoperiș, etichetați elementele și toate formulele vă vor veni pe hârtie.
Aplicație: Funcții inverse
Orice funcție trigonometrică ia un unghi ca parametru de intrare și returnează rezultatul ca procent. sin(30) = 0,5. Aceasta înseamnă că un unghi de 30 de grade ocupă 50% din înălțimea maximă.
Funcția trigonometrică inversă este scrisă ca sin -1 sau arcsin. Asin este, de asemenea, adesea scris în diferite limbaje de programare.
Dacă înălțimea noastră este de 25% din înălțimea domului, care este unghiul nostru?
În tabelul nostru de proporții puteți găsi un raport în care secanta este împărțită la 1. De exemplu, secanta cu 1 (ipotenuza față de orizontală) va fi egală cu 1 împărțit la cosinus:
Să presupunem că secanta noastră este 3,5, adică. 350% din raza unui cerc unitar. Cu ce unghi de înclinare față de perete corespunde această valoare?
Anexă: Câteva exemple
Exemplu: Aflați sinusul unghiului x.
O sarcină plictisitoare. Să complicăm banalul „găsește sinusul” la „Care este înălțimea ca procent din maxim (ipotenuză)?”
În primul rând, observați că triunghiul este rotit. Nu e nimic în neregulă cu asta. Triunghiul are și înălțime, este indicat cu verde în figură.
Cu ce este egala ipotenuza? Conform teoremei lui Pitagora, știm că:
3 2 + 4 2 = ipotenuză 2 25 = ipotenuză 2 5 = ipotenuză
Amenda! Sinusul este procentul din înălțimea celei mai lungi laturi a triunghiului sau ipotenuza. În exemplul nostru, sinusul este 3/5 sau 0,60.
Desigur, putem merge pe mai multe căi. Acum știm că sinusul este 0,60, putem găsi pur și simplu arcsinusul:
Asin(0,6)=36,9
Iată o altă abordare. Rețineți că triunghiul este „cu fața la perete”, așa că putem folosi tangenta în loc de sinus. Înălțimea este 3, distanța până la perete este 4, deci tangenta este ¾ sau 75%. Putem folosi arctangenta pentru a trece de la o valoare procentuală înapoi la un unghi:
Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Exemplu: Vei înota până la țărm?
Ești într-o barcă și ai suficient combustibil pentru a parcurge 2 km. Acum sunteți la 0,25 km de coastă. În ce unghi maxim față de țărm poți înota până la el, astfel încât să ai suficient combustibil? Adăugare la afirmația problemei: avem doar un tabel cu valorile arc-cosinus.
Ce avem? Linia de coastă poate fi reprezentată ca un „zid” în faimosul nostru triunghi, iar „lungimea scării” atașată de perete este distanța maximă posibilă de parcurs cu barca până la țărm (2 km). Apare o secanta.
În primul rând, trebuie să mergeți la procente. Avem 2 / 0,25 = 8, adică putem înota o distanță care este de 8 ori distanța dreaptă până la țărm (sau la perete).
Apare întrebarea: „Care este secanta lui 8?” Dar nu putem răspunde, deoarece avem doar arc cosinus.
Folosim dependențele noastre derivate anterior pentru a lega secanta la cosinus: „sec/1 = 1/cos”
Secanta lui 8 este egală cu cosinusul lui ⅛. Un unghi al cărui cosinus este ⅛ este egal cu acos(1/8) = 82,8. Și acesta este cel mai mare unghi pe care ni-l putem permite pe o barcă cu cantitatea specificată de combustibil.
Nu-i rău, nu? Fără analogia dom-perete-tavan, m-aș fi pierdut într-o grămadă de formule și calcule. Vizualizarea problemei simplifică foarte mult căutarea unei soluții și este, de asemenea, interesant de văzut care funcție trigonometrică va ajuta în cele din urmă.
Pentru fiecare problemă, gândiți-vă astfel: Mă interesează domul (sin/cos), perete (tan/sec) sau tavan (cot/csc)?
Și trigonometria va deveni mult mai plăcută. Calcule usoare pentru tine!
Acolo unde au fost luate în considerare probleme de rezolvare a unui triunghi dreptunghic, am promis să prezint o tehnică de memorare a definițiilor sinusului și cosinusului. Folosind-o, vă veți aminti întotdeauna rapid ce latură aparține ipotenuzei (adiacentă sau opusă). Am decis să nu o amân mult timp, materialul necesar este mai jos, vă rog să îl citiți 😉
Cert este că am observat în mod repetat cum elevii din clasele 10-11 au dificultăți în a-și aminti aceste definiții. Ei își amintesc foarte bine că piciorul se referă la ipotenuză, dar care- uită şi confuz. Prețul unei greșeli, așa cum știți la un examen, este un punct pierdut.
Informațiile pe care le voi prezenta direct nu au nicio legătură cu matematica. Este asociat cu gândirea figurativă și cu metode de comunicare verbal-logică. Exact așa îmi amintesc, odată pentru totdeaunadate de definiție. Dacă le uitați, vă puteți aminti cu ușurință de ele folosind tehnicile prezentate.
Permiteți-mi să vă reamintesc definițiile sinusului și cosinusului într-un triunghi dreptunghic:
Cosinus Unghiul ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză:
Sinusul Unghiul ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei:
Deci, ce asociații aveți cu cuvântul cosinus?
Probabil fiecare are a lui 😉Amintiți-vă linkul:
Astfel, expresia va apărea imediat în memoria ta -
«… raportul catetei ADJACENT la ipotenuză».
Problema cu determinarea cosinusului a fost rezolvată.
Dacă trebuie să vă amintiți definiția sinusului într-un triunghi dreptunghic, apoi amintindu-vă definiția cosinusului, puteți stabili cu ușurință că sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă și ipotenuză. La urma urmei, există doar două picioare; dacă piciorul adiacent este „ocupat” de cosinus, atunci doar piciorul opus rămâne cu sinusul.
Dar tangenta si cotangenta? Confuzia este aceeași. Elevii știu că aceasta este o relație de picioare, dar problema este să ne amintim care dintre ele se referă la care - fie opusul celui adiacent, fie invers.
Definitii:
Tangentă Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă:
Cotangentă Unghiul ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura adiacentă și opusul:
Cum să-ți amintești? Există două moduri. Unul folosește și o conexiune verbal-logică, celălalt folosește una matematică.
METODĂ MATEMATICĂ
Există o astfel de definiție - tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unghiului și cosinusul său:
* După ce ați memorat formula, puteți determina întotdeauna că tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.
De asemenea.Cotangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre cosinusul unghiului și sinusul său:
Asa de! Reținând aceste formule, puteți determina întotdeauna că:
- tangenta unui unghi ascutit intr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusa fata de cea adiacenta
— cotangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.
CUVINTE-METODA LOGICĂ
Despre tangenta. Amintiți-vă linkul:
Adică, dacă trebuie să vă amintiți definiția tangentei, folosind această conexiune logică, vă puteți aminti cu ușurință ce este
„... raportul dintre latura opusă și latura adiacentă”
Dacă vorbim despre cotangente, atunci amintindu-ne definiția tangentei, puteți exprima cu ușurință definiția cotangentei -
„... raportul dintre latura adiacentă și latura opusă”
Există un truc interesant pentru reamintirea tangentei și cotangentei pe site " Tandem matematic " , uite.
METODĂ UNIVERSALĂ
Poți doar să-l memorezi.Dar, așa cum arată practica, datorită conexiunilor verbale-logice, o persoană își amintește mult timp informațiile, și nu numai pe cele matematice.
Sper că materialul ți-a fost de folos.
Cu stimă, Alexander Krutitskikh
P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.
