O ecuație liniară în două variabile este orice ecuație care are următoarea formă: a*x + b*y =c. Aici x și y sunt două variabile, a,b,c sunt niște numere.

Soluția ecuației liniare a*x + b*y = c este orice pereche de numere (x,y) care satisface această ecuație, adică transformă ecuația cu variabilele x și y într-o egalitate numerică corectă. O ecuație liniară are un număr infinit de soluții.

Dacă fiecare pereche de numere care sunt soluții la o ecuație liniară în două variabile este reprezentată pe planul de coordonate ca puncte, atunci toate aceste puncte formează graficul unei ecuații liniare în două variabile. Coordonatele punctelor vor fi valorile noastre x și y. În acest caz, valoarea x va fi abscisa, iar valoarea y va fi ordonată.

Graficul unei ecuații liniare în două variabile

Graficul unei ecuații liniare cu două variabile este mulțimea tuturor punctelor posibile de pe planul de coordonate, ale căror coordonate vor fi soluții ale acestei ecuații liniare. Este ușor de ghicit că graficul va fi o linie dreaptă. De aceea, astfel de ecuații sunt numite liniare.

Algoritm de construcție

Algoritm pentru reprezentarea grafică a unei ecuații liniare în două variabile.

1. Desenați axele de coordonate, etichetați-le și marcați scara unității.

2. Într-o ecuație liniară, puneți x = 0 și rezolvați ecuația rezultată pentru y. Marcați punctul rezultat pe grafic.

3. Într-o ecuație liniară, luați numărul 0 ca y și rezolvați ecuația rezultată pentru x. Marcați punctul rezultat pe grafic

4. Dacă este necesar, luați o valoare arbitrară a lui x și rezolvați ecuația rezultată pentru y. Marcați punctul rezultat pe grafic.

5. Conectați punctele rezultate și continuați graficul dincolo de ele. Semnează linia dreaptă rezultată.

Exemplu: Reprezentați grafic ecuația 3*x - 2*y =6;

Să punem x=0, atunci - 2*y =6; y= -3;

Să punem y=0, apoi 3*x = 6; x=2;

Marcam punctele obținute pe grafic, tragem o linie dreaptă prin ele și o etichetăm. Uită-te la figura de mai jos, graficul ar trebui să arate exact așa.

Să fie dat ecuație cu două variabile F(x; y). Te-ai familiarizat deja cu modalități de a rezolva astfel de ecuații analitic. Multe soluții ale unor astfel de ecuații pot fi reprezentate sub formă de grafic.

Graficul ecuației F(x; y) este mulțimea punctelor de pe planul de coordonate xOy ale căror coordonate satisfac ecuația.

Pentru a reprezenta grafic ecuații în două variabile, mai întâi exprimați variabila y din ecuație în termeni ai variabilei x.

Cu siguranță știi deja să construiești diverse grafice de ecuații cu două variabile: ax + b = c – linie dreaptă, yx = k – hiperbola, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – cerc a cărui rază este egal cu R, iar centrul este în punctul O(a; b).

Exemplul 1.

Reprezentați grafic ecuația x 2 – 9y 2 = 0.

Soluţie.

Să factorizăm partea stângă a ecuației.

(x – 3y)(x+ 3y) = 0, adică y = x/3 sau y = -x/3.

Răspuns: Figura 1.

Un loc aparte îl ocupă definirea figurilor pe un plan cu ecuații care conțin semnul valorii absolute, asupra cărora ne vom opri în detaliu. Să luăm în considerare etapele construcției graficelor ecuațiilor de forma |y| = f(x) și |y| = |f(x)|.

Prima ecuație este echivalentă cu sistemul

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) sau y = -f(x).

Adică, graficul său este format din grafice a două funcții: y = f(x) și y = -f(x), unde f(x) ≥ 0.

Pentru a reprezenta graficul celei de-a doua ecuații, reprezentați grafic două funcții: y = f(x) și y = -f(x).

Exemplul 2.

Reprezentați grafic ecuația |y| = 2 + x.

Soluţie.

Ecuația dată este echivalentă cu sistemul

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 sau y = -x – 2.

Construim multe puncte.

Răspuns: Figura 2.

Exemplul 3.

Trasează ecuația |y – x| = 1.

Soluţie.

Dacă y ≥ x, atunci y = x + 1, dacă y ≤ x, atunci y = x – 1.

Răspuns: Figura 3.

Când se construiesc grafice ale ecuațiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului, este convenabil și rațional să se utilizeze metoda zonei, bazat pe împărțirea planului de coordonate în părți în care fiecare expresie submodulară își păstrează semnul.

Exemplul 4

Reprezentați grafic ecuația x + |x| + y + |y| = 2.

Soluţie.

În acest exemplu, semnul fiecărei expresii submodulare depinde de cadranul de coordonate.

1) În primul trimestru de coordonate x ≥ 0 și y ≥ 0. După extinderea modulului, ecuația dată va arăta astfel:

2x + 2y = 2, iar după simplificare x + y = 1.

2) În al doilea trimestru, unde x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) În trimestrul al treilea x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) În al patrulea trimestru, când x ≥ 0 și y< 0 получим, что x = 1.

Vom reprezenta această ecuație pe sferturi.

Răspuns: Figura 4.

Exemplul 5.

Desenați o mulțime de puncte ale căror coordonate satisfac egalitatea |x – 1| + |y – 1| = 1.

Soluţie.

Zerourile expresiilor submodulare x = 1 și y = 1 împart planul de coordonate în patru regiuni. Să defalcăm modulele în funcție de regiune. Să aranjam asta sub forma unui tabel.

Regiune	Semn de expresie submodulară	Ecuația rezultată după extinderea modulului
eu	x ≥ 1 și y ≥ 1	x + y = 3
II	X< 1 и y ≥ 1	-x + y = 1
III	X< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 și y< 1	x – y = 1

Răspuns: Figura 5.

Pe planul de coordonate pot fi specificate cifre și inegalităților.

Graficul inegalității cu două variabile este mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate ale căror coordonate sunt soluții la această inegalitate.

Sa luam in considerare algoritm pentru construirea unui model de rezolvare a inegalităților cu două variabile:

1. Scrieți ecuația corespunzătoare inegalității.
2. Reprezentați grafic ecuația de la pasul 1.
3. Selectați un punct arbitrar într-unul dintre semiplanuri. Verificați dacă coordonatele punctului selectat satisfac această inegalitate.
4. Desenați grafic mulțimea tuturor soluțiilor inegalității.

Să considerăm mai întâi inegalitatea ax + bx + c > 0. Ecuația ax + bx + c = 0 definește o dreaptă care împarte planul în două semiplane. În fiecare dintre ele, funcția f(x) = ax + bx + c își păstrează semnul. Pentru a determina acest semn, este suficient să luați orice punct aparținând semiplanului și să calculați valoarea funcției în acest punct. Dacă semnul funcției coincide cu semnul inegalității, atunci acest semiplan va fi soluția inegalității.

Să ne uităm la exemple de soluții grafice pentru cele mai comune inegalități cu două variabile.

1) ax + bx + c ≥ 0. Figura 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Figura 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Figura 8.

4) y ≥ x 2 . Figura 9.

5) xy ≤ 1. Figura 10.

Dacă aveți întrebări sau doriți să exersați desenarea pe un model plan a mulțimilor tuturor soluțiilor inegalităților din două variabile folosind modelarea matematică, puteți efectua lecție gratuită de 25 de minute cu un tutor online dupa ce te inregistrezi. Pentru a continua să lucrezi cu un profesor, vei avea posibilitatea de a alege un plan tarifar care ți se potrivește.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să desenezi o figură pe un plan de coordonate?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

În această lecție vom arunca o privire mai atentă asupra graficării ecuațiilor. În primul rând, să ne amintim ce este o ecuație rațională și setul soluțiilor sale care formează graficul ecuației. Să aruncăm o privire mai atentă la graficul unei ecuații liniare și la proprietățile unei funcții liniare și să învățăm cum să citim grafice. Apoi, luați în considerare graficul unei ecuații pătratice și proprietățile unei funcții pătratice. Luați în considerare funcția hiperbolică și graficul acesteia și graficul ecuației unui cerc. În continuare, să trecem la construirea și studierea unui set de grafice.

Tema: Sisteme de ecuații

Lecția: Reprezentarea grafică a ecuațiilor

Considerăm o ecuație rațională de formă și un sistem de ecuații raționale de formă

Am spus că fiecare ecuație din acest sistem are propriul grafic, dacă, desigur, există soluții ale ecuațiilor. Ne-am uitat la mai multe grafice ale diferitelor ecuații.

Acum vom lua în considerare sistematic fiecare dintre ecuațiile cunoscute nouă, adică. face o recenzie pe grafice de ecuații.

1. Ecuație liniară cu două variabile

x, y - la primul grad; a,b,c - numere specifice.

Exemplu:

Graficul acestei ecuații este o linie dreaptă.

Am acționat cu transformări echivalente - am lăsat y pe loc, totul a fost mutat în cealaltă parte cu semne opuse. Ecuațiile inițiale și cele rezultate sunt echivalente, adică. au același set de soluții. Știm să construim un grafic al acestei ecuații, iar metoda de construire a acestuia este următoarea: găsim punctele de intersecție cu axele de coordonate și construim o dreaptă folosindu-le.

În acest caz

Cunoscând graficul ecuației, putem spune multe despre soluțiile ecuației inițiale și anume: dacă dacă

Această funcție crește, adică pe măsură ce x crește, și crește. Am primit două soluții particulare, dar cum să notăm setul tuturor soluțiilor?

Dacă un punct are o abscisă x, atunci ordonata punctului respectiv

Deci numerele

Am avut o ecuație, am construit un grafic, am găsit soluții. Setul tuturor perechilor - câte sunt? Nenumărat.

Aceasta este o ecuație rațională

Să găsim y și prin transformări echivalente obținem

Să o punem și să obținem o funcție pătratică, graficul ei ne este cunoscut.

Exemplu: Reprezentați grafic o ecuație rațională.

Graficul este o parabolă, ramurile sunt îndreptate în sus.

Să găsim rădăcinile ecuației:

Să reprezentăm schematic graficul ( Orez. 2).

Cu ajutorul unui grafic, obținem tot felul de informații atât despre funcție, cât și despre soluțiile unei ecuații raționale. Am determinat intervalele de constanță a semnelor, acum vom găsi coordonatele vârfului parabolei.

Ecuația are nenumărate soluții, adică nenumărate perechi care satisfac ecuația, dar toate Și ce poate fi x? Oricine!

Dacă stabilim orice x, vom obține un punct

Soluția ecuației inițiale este mulțimea de perechi

3. Trasează ecuația

Trebuie să exprimi y. Să luăm în considerare două opțiuni.

Graficul funcției este o hiperbolă, pentru care funcția nu este definită

Funcția este în scădere.

Dacă luăm un punct cu o abscisă, atunci ordonata lui va fi egală cu

Soluția ecuației inițiale este mulțimea de perechi

Hiperbola construită poate fi deplasată în raport cu axele de coordonate.

De exemplu, graficul funcției - de asemenea o hiperbolă - va fi deplasată cu unu în sus de-a lungul axei y.

4. Ecuația unui cerc

Aceasta este o ecuație rațională cu două variabile. Mulțimea soluției sunt punctele cercului. Centrul în punctul de rază este egal cu R (Fig. 4).

Să ne uităm la exemple specifice.

A.

Să reducem ecuația la forma standard a ecuației unui cerc; pentru aceasta selectăm pătratul complet al sumei:

- a obţinut ecuaţia unui cerc cu centrul la .

Să tragem ecuația (Fig. 5).

b. Reprezentați grafic ecuația

Amintiți-vă că produsul este egal cu zero dacă și numai dacă unul dintre factori este egal cu zero și al doilea există.

Graficul unei ecuații date constă dintr-un set de grafice ale primei și celei de-a doua ecuații, i.e. două linii drepte.

Să-l construim (Fig. 6).

Să construim un grafic al funcției.Dreapta va trece prin punctul (0; -1). Dar cum va merge - va crește sau va scădea? Coeficientul unghiular, coeficientul lui x, ne va ajuta să determinăm acest lucru; este negativ, ceea ce înseamnă că funcția este în scădere. Să găsim punctul de intersecție cu axa bou, acesta este punctul (-1; 0).

În mod similar, trasăm graficul celei de-a doua ecuații. Linia dreaptă trece prin punctul (0; 1), dar crește deoarece panta este pozitivă.

Coordonatele tuturor punctelor celor două drepte construite sunt soluția ecuației.

Astfel, am analizat graficele celor mai importante ecuații raționale, acestea vor fi utilizate atât în ​​metoda grafică, cât și în ilustrarea altor metode de rezolvare a sistemelor de ecuații.

1. Mordkovich A.G. si altele.Algebra Clasa a IX-a: Manual. Pentru invatamantul general Instituții.- Ed. a IV-a. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. Mordkovich A.G. și altele.Algebră Clasa a IX-a: Cartea de probleme pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina etc.- ed. a IV-a. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. Makarychev Yu. N. Algebră. Clasa a 9-a: manual. pentru studenții din învățământul general. instituții / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — Ed. a VII-a, rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebră. clasa a 9-a. a 16-a ed. - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 9-a. În 2 ore Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — Ed. a XII-a, șters. - M.: 2010. - 224 p.: ill.

6. Algebră. clasa a 9-a. În 2 părți Partea 2. Cartea cu probleme pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina și alții; Ed. A. G. Mordkovici. — Ed. a XII-a, rev. - M.: 2010.-223 p.: ill.

1. College.ru secțiunea de matematică ().

2. Proiectul Internet „Sarcini” ().

3. Portal educațional „VOI REZOLVA Examenul Unificat de Stat” ().

1. Mordkovich A.G. și altele.Algebră Clasa a IX-a: Cartea de probleme pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina etc.- ed. a IV-a. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. Nr. 95-102.

OBIECTIV: 1) Să prezinte elevilor conceptul de „o ecuație cu două variabile”;

2) Învățați să determinați gradul unei ecuații cu două variabile;

3) Învățați să determinați printr-o funcție dată care figură este un grafic

ecuația dată;

4) Se consideră transformări ale graficelor cu două variabile;

ecuație dată cu două variabile folosind programul Agrapher;

6) Dezvoltați gândirea logică a elevilor.

I. Material nou - o prelegere explicativă cu elemente de conversație.

(prelegerea se desfășoară folosind diapozitivele autorului; graficele sunt desenate în programul Agrapher)

T: Când studiezi liniile, apar două probleme:

Folosind proprietățile geometrice ale unei linii date, găsiți ecuația acesteia;

Problemă inversă: dată fiind ecuația unei drepte, studiați proprietățile geometrice ale acesteia.

Am considerat prima problemă din cursul de geometrie în raport cu cercuri și drepte.

Astăzi vom analiza problema inversă.

Luați în considerare ecuații de forma:

A) x(x-y)=4; b) 2y-x 2 =-2 ; V) x(x+y 2 ) = x +1.

sunt exemple de ecuații cu două variabile.

Ecuații cu două variabile XȘi la se pare ca f(x,y)=(x,y), Unde fȘi – expresii cu variabile XȘi u.

Dacă în Ec. x(x-y)=4înlocuire în loc de variabilă X valoarea sa este -1 și, în schimb la– valoarea 3, atunci se va obține egalitatea corectă: 1*(-1-3)=4,

Pereche (-1; 3) valori variabile XȘi la este o soluție a ecuației x(x-y)=4.

Acesta este rezolvarea ecuației cu două variabile se numește setul de perechi ordonate de valori ale variabilelor care formează această ecuație într-o egalitate adevărată.

Ecuațiile cu două variabile au de obicei infinite soluții. Excepții formează, de exemplu, ecuații precum X 2 +(y 2 - 4) 2 = 0 sau

2x 2 + la 2 = 0 .

Prima dintre ele are două soluții (0; -2) și (0; 2), a doua are o soluție (0; 0).

Ecuația x 4 + y 4 +3 = 0 nu are deloc soluții. Este de interes atunci când valorile variabilelor din ecuație sunt numere întregi. Prin rezolvarea unor astfel de ecuații cu două variabile se găsesc perechi de numere întregi. În astfel de cazuri, se spune că ecuația este rezolvată în numere întregi.

Se numesc două ecuații care au același set de soluții ecuații echivalente. De exemplu, ecuația x(x + y 2) = x + 1 este o ecuație de gradul trei, deoarece poate fi transformată în ecuația xy 2 + x 2 - x-1 = 0, a cărei parte dreaptă este un polinom al formei standard de gradul trei.

Gradul unei ecuații cu două variabile, reprezentat sub forma F(x, y) = 0, unde F(x, y) este un polinom de formă standard, se numește gradul polinomului F(x, y).

Dacă toate soluțiile unei ecuații cu două variabile sunt reprezentate ca puncte în planul de coordonate, veți obține un grafic al unei ecuații cu două variabile.

Programa ecuația cu două variabile este mulțimea de puncte ale căror coordonate servesc drept soluții pentru această ecuație.

Deci, graficul ecuației ax + by + c = 0 este o linie dreaptă dacă cel puțin unul dintre coeficienți A sau b nu este egal cu zero (Fig. 1). Dacă a = b = c = 0, atunci graficul acestei ecuații este plan de coordonate (Fig. 2), dacă a=b=0, A c0, atunci graficul este set gol (Fig. 3).

Graficul ecuației y = ax 2 + prin + c este o parabolă (Fig. 4), graficul ecuației xy=k (k0) – hiperbolă (fig. 5). Graficul ecuației X 2 + y 2 = r, unde x și y sunt variabile, r este un număr pozitiv, este cerc cu centrul la origine și raza egală cu r(Fig. 6). Graficul ecuației este elipsă, Unde AȘi b– semiaxele majore și minore ale elipsei (Fig. 7).

Construirea graficelor unor ecuații este facilitată de utilizarea transformărilor acestora. Sa luam in considerare conversia graficelor ecuațiilor în două variabileși formulați regulile prin care se realizează cele mai simple transformări ale graficelor de ecuații

1) Graficul ecuației F (-x, y) = 0 se obține din graficul ecuației F (x, y) = 0 folosind simetria în jurul axei u.

2) Graficul ecuației F (x, -y) = 0 se obține din graficul ecuației F (x, y) = 0 folosind simetria în jurul axei X.

3) Graficul ecuației F (-x, -y) = 0 se obține din graficul ecuației F (x, y) = 0 folosind simetria centrală în jurul originii.

4) Graficul ecuației F (x-a, y) = 0 se obține din graficul ecuației F (x, y) = 0 prin deplasarea paralelă cu axa x cu |a| unități (în dreapta, dacă A> 0, iar la stânga dacă A < 0).

5) Graficul ecuației F (x, y-b) = 0 se obține din graficul ecuației F (x, y) = 0 prin trecerea la |b| unități paralele cu axa la(sus daca b> 0 și în jos dacă b < 0).

6) Graficul ecuației F (ax, y) = 0 se obține din graficul ecuației F (x, y) = 0 prin comprimarea pe axa y și a ori, dacă A> 1 și prin întinderea de pe axa y în timp, dacă 0< A < 1.

7) Graficul ecuației F (x, by) = 0 se obține din graficul ecuației F (x, y) = 0 folosind compresia pe axa x în b ori dacă b> 1 și prin întinderea de pe axa x cu ori dacă 0 < b < 1.

Dacă graficul unei ecuații este rotit cu un anumit unghi aproape de origine, atunci noul grafic va fi graficul unei alte ecuații. Cazurile speciale de rotație la unghiuri de 90 0 și 45 0 sunt importante.

8) Graficul ecuației F (x, y) = 0 ca urmare a unei rotații în sensul acelor de ceasornic lângă originea coordonatelor cu un unghi de 90 0 se transformă în graficul ecuației F (-y, x) = 0, și în sens invers acelor de ceasornic în graficul ecuației F (y , -x) = 0.

9) Graficul ecuației F (x, y) = 0 ca rezultat al unei rotații în sensul acelor de ceasornic în apropierea originii coordonatelor cu un unghi de 45 0 se transformă în graficul ecuației F = 0 și în sens invers acelor de ceasornic în graficul lui ecuația F = 0.

Din regulile pe care le-am luat în considerare pentru transformarea graficelor ecuațiilor cu două variabile, se obțin cu ușurință reguli pentru transformarea graficelor funcțiilor.

Exemplul 1. Să arătăm că prin reprezentarea grafică a ecuației X 2 + y 2 + 2x – 8y + 8 = 0 este un cerc (Fig. 17).

Să transformăm ecuația după cum urmează:

1) grupează termenii care conțin variabila Xși care conține o variabilă la, și imaginați-vă fiecare grup de termeni sub forma unui trinom pătrat complet: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2*4*y + 16) + 8 – 1 – 16 = 0;

2) scrieți trinoamele rezultate ca pătratul sumei (diferenței) a două expresii: (x + 1) 2 + (y – 4) 2 - 9 = 0;

3) să analizăm, după regulile de transformare a graficelor ecuațiilor cu două variabile, ecuația (x + 1) 2 + (y – 4) 2 = 3 2: graficul acestei ecuații este un cerc cu centrul la punctul (-1; 4) și o rază de 3 unități .

Exemplul 2: Să reprezentăm grafic ecuația X 2 + 4у 2 = 9 .

Să ne imaginăm 4y 2 sub forma (2y) 2, obținem ecuația x 2 + (2y) 2 = 9, al cărei grafic poate fi obținut din cercul x 2 + y 2 = 9 prin comprimarea axei x cu o factor de 2.

Desenați un cerc cu un centru la origine și o rază de 3 unități.

Să reducem distanța fiecărui punct față de axa X de 2 ori și să obținem un grafic al ecuației

x 2 + (2y) 2 = 9.

Am obținut figura comprimând cercul la unul dintre diametrele acestuia (până la diametrul care se află pe axa X). Această figură se numește elipsă (Fig. 18).

Exemplul 3. Să aflăm care este graficul ecuației x 2 - y 2 = 8.

Să folosim formula F= 0.

Înlocuind în această ecuație în loc de X și în loc de Y, obținem:

T: Care este graficul ecuației y = ?

D: Graficul ecuației y = este o hiperbolă.

U: Am transformat ecuația de forma x 2 - y 2 = 8 în ecuația y =.

Care linie va fi graficul acestei ecuații?

D: Deci, graficul ecuației x 2 - y 2 = 8 este o hiperbolă.

U: Care linii sunt asimptote ale hiperbolei y = .

D: Asimptotele hiperbolei y = sunt drepte y = 0 și x = 0.

U: Când rotația este finalizată, aceste drepte se vor transforma în drepte = 0 și = 0, adică în drepte y = x și y = - x. (Fig. 19).

Exemplul 4: Să aflăm ce formă va lua ecuația y = x 2 a parabolei atunci când este rotită în jurul originii cu un unghi de 90 0 în sensul acelor de ceasornic.

Folosind formula F (-y; x) = 0, în ecuația y = x 2 înlocuim variabila x cu – y, iar variabila y cu x. Obținem ecuația x = (-y) 2, adică x = y 2 (Fig. 20).

Ne-am uitat la exemple de grafice de ecuații de gradul doi cu două variabile și am descoperit că graficele unor astfel de ecuații pot fi o parabolă, o hiperbolă, o elipsă (în special, un cerc). În plus, graficul unei ecuații de gradul doi poate fi o pereche de drepte (în intersectare sau paralele).Acesta este așa-numitul caz degenerat. Deci graficul ecuației x 2 - y 2 = 0 este o pereche de drepte care se intersectează (Fig. 21a), iar graficul ecuației x 2 - 5x + 6 + 0y = 0 este drepte paralele.

II Consolidare.

(elevilor li se oferă „Fișe de instrucțiuni” pentru construirea graficelor de ecuații cu două variabile în programul Agrapher (Anexa 2) și carduri „Sarcina practică” (Anexa 3) cu formularea sarcinilor 1-8. Profesorul demonstrează grafice de ecuații pentru sarcinile 4-5 pe diapozitive).

Exercitiul 1. Care dintre perechile (5;4), (1;0), (-5;-4) și (-1; -) sunt soluții ale ecuației:

a) x 2 - y 2 = 0, b) x 3 - 1 = x 2 y + 6y?

Soluţie:

Înlocuind coordonatele acestor puncte în ecuația dată, suntem convinși că nici o singură pereche dată nu este o soluție a ecuației x 2 - y 2 = 0, iar soluțiile ecuației x 3 - 1 = x 2 y + 6y sunt perechile (5;4), (1;0) și (-1; -).

125 - 1 = 100 + 24 (I)

1 - 1= 0 + 0 (I)

125 – 1 = -100 – 24 (L)

1 – 1 = - - (I)

Răspuns: A); b) (5; 4), (1; 0), (-1; -).

Sarcina 2. Găsiți soluții pentru ecuația xy 2 - x 2 y = 12 în care valoarea X este egal cu 3.

Rezolvare: 1) Înlocuiți valoarea 3 în loc de X în ecuația dată.

2) Obținem o ecuație pătratică pentru variabila Y, având forma:

3y 2 - 9y = 12.

4) Să rezolvăm această ecuație:

3y 2 - 9y – 12 = 0

D = 81 + 144 = 225

Răspuns: perechile (3;4) și (3;-1) sunt soluții ale ecuației xy 2 - x 2 y = 12

Sarcina 3. Determinați gradul ecuației:

a) 2y 2 - 3x 3 + 4x = 2; c) (3 x 2 + x)(4x - y 2) = x;

b) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 = 0; d) (2y - x 2) 2 = x(x 2 + 4xy + 1).

Răspuns: a) 3; b) 5; la 4; d) 4.

Sarcina 4. Care figură este graficul ecuației:

a) 2x = 5 + 3y; b) 6 x 2 - 5x = y – 1; c) 2(x + 1) = x 2 - y;

d) (x - 1,5)(x – 4) = 0; e) xy – 1,2 = 0; e) x 2 + y 2 = 9.

Sarcina 5. Scrieți o ecuație al cărei grafic este simetric față de graficul ecuației x 2 - xy + 3 = 0 (Fig. 24) în raport cu: a) axa X; b) axele la; c) linie dreaptă y \u003d x; d) dreapta y = -x.

Sarcina 6. Alcătuiți o ecuație, al cărei grafic se obține prin întinderea graficului ecuației y = x 2 -3 (Fig. 25):

a) de pe axa x de 2 ori; b) de pe axa y de 3 ori.

Verificați cu programul Agrapher dacă sarcina a fost finalizată corect.

Răspuns: a)y - x 2 + 3 = 0 (Fig. 25a); b) y-(x) 2 + 3 = 0 (Fig. 25b).

b) liniile sunt paralele, deplasându-se paralel cu axa x cu 1 unitate spre dreapta și paralel cu axa y cu 3 unități în jos (Fig. 26b);

c) se intersectează linii drepte, afișare simetrică față de axa x (Fig. 26c);

d) linii drepte se intersectează, afișare simetrică față de axa y (Fig. 26d);

e) liniile sunt paralele, afișate simetrice față de origine (Fig. 26e);

f) liniile se intersectează, se rotesc în jurul originii cu 90 în sensul acelor de ceasornic și se afișează simetric față de axa x (Fig. 26f).

III. Muncă educațională independentă.

(elevilor li se dau fișe „Munca independentă” și „Tabelul de raport al rezultatelor muncii independente”, în care elevii își notează răspunsurile și, după autoexaminare, evaluează munca conform schemei propuse) Anexa 4 ..

I. opțiunea.

a) 5x 3 -3x 2 y 2 + 8 = 0; b) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 = 2(x + y).

a) x 3 + y 3 -5x 2 = 0; b) x 4 +4x 3 y +6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 = 1.

x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0.

a) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;

b) x 2 -y 2 \u003d 1;

c) x - y 2 \u003d 9.

x 2 - 2x + y 2 - 4y = 20.

Specificați coordonatele centrului cercului și ale razei acestuia.

6. Cum ar trebui să fie mutată hiperbola y \u003d pe planul de coordonate, astfel încât ecuația sa să ia forma x 2 - y 2 \u003d 16?

Verificați răspunsul prin reprezentarea grafică folosind Agrapher.

7. Cum să mutați parabola y \u003d x 2 pe planul de coordonate, astfel încât ecuația sa să ia forma x \u003d y 2 - 1

varianta II.

1. Determinați gradul ecuației:

a)3xy = (y-x 3)(x 2 +y); b) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 = 0.

2. Este perechea de numere (-2;3) o soluție a ecuației:

a) x 2 -y 2 -3x \u003d 1; b) 8x 3 + 12x 2 y + 6xy 2 + y 3 = -1.

3. Găsiți setul de soluții ale ecuației:

x 2 + y 2 -2x – 8y + 17 = 0.

4. Ce fel de curbă (hiperbolă, cerc, parabolă) este un set de puncte dacă ecuația acestei curbe are forma:

a) (x-2) 2 + (y + 2) 2 =9

b) y 2 - x 2 \u003d 1

c) x \u003d y 2 - 1.

(verificați cu programul Agrapher dacă sarcina a fost finalizată corect)

5. Folosind programul Agrapher, trasați ecuația:

x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.

6. Cum ar trebui să fie mutată hiperbola y = pe planul de coordonate astfel încât ecuația ei să ia forma x 2 - y 2 = 28?

7. Cum ar trebui mutată parabola y = x 2 pe planul de coordonate astfel încât ecuația ei să ia forma x = y 2 + 9.