Sunt date principalele proprietăți ale logaritmului, graficul logaritmului, domeniul de definiție, setul de valori, formulele de bază, creșterea și scăderea. Se ia în considerare găsirea derivatei logaritmului. La fel ca integrală, extinderea seriei de putere și reprezentarea prin intermediul numerelor complexe.

Conţinut

Domeniu, set de valori, crescător, descendent

Logaritmul este o funcție monotonă, deci nu are extreme. Principalele proprietăți ale logaritmului sunt prezentate în tabel.

Domeniu	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Gama de valori	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monoton	crește monoton	scade monoton
Zerouri, y= 0	x= 1	x= 1
Puncte de intersecție cu axa y, x = 0	Nu	Nu
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Valori private

Se numește logaritmul de bază 10 logaritm zecimal si este marcat astfel:

logaritm de bază e numit logaritmul natural:

Formule logaritmice de bază

Proprietățile logaritmului care rezultă din definiția funcției inverse:

Principala proprietate a logaritmilor și consecințele acesteia

Formula de înlocuire a bazei

Logaritmul este operația matematică de luare a unui logaritm. Când se ia un logaritm, produsele factorilor sunt convertite în sume de termeni.
Potențiarea este o operație matematică inversă logaritmului. La potențare, baza dată este ridicată la puterea expresiei pe care se realizează potențarea. În acest caz, sumele termenilor sunt convertite în produse de factori.

Dovada formulelor de bază pentru logaritmi

Formulele legate de logaritmi decurg din formulele pentru funcții exponențiale și din definiția unei funcții inverse.

Luați în considerare proprietatea funcției exponențiale
.
Apoi
.
Aplicați proprietatea funcției exponențiale
:
.

Să demonstrăm formula schimbării bazei.
;
.
Punând c = b , avem:

Funcție inversă

Reciproca logaritmului bazei a este funcția exponențială cu exponentul a.

Daca atunci

Daca atunci

Derivată a logaritmului

Derivată a logaritmului modulo x :
.
Derivată de ordinul al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Pentru a găsi derivata unui logaritm, aceasta trebuie redusă la bază e.
;
.

Integral

Integrala logaritmului se calculează prin integrarea pe părți : .
Asa de,

Expresii în termeni de numere complexe

Luați în considerare funcția număr complex z:
.
Să exprimăm un număr complex z prin modul r si argument φ :
.
Apoi, folosind proprietățile logaritmului, avem:
.
Sau

Cu toate acestea, argumentul φ nu este clar definit. Dacă punem
, unde n este un număr întreg,
atunci va fi același număr pentru diferit n.

Prin urmare, logaritmul, ca funcție a unei variabile complexe, nu este o funcție cu o singură valoare.

Extinderea seriei de putere

Pentru , expansiunea are loc:

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

Vezi si:

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Definiție și proprietăți

Complexul zero nu are logaritm deoarece exponentul complex nu ia valoare zero. diferit de zero $z$ poate fi reprezentat în formă exponențială:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$ Unde $k$- întreg arbitrar

Apoi $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$ se gaseste dupa formula:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash left(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash right)$

Aici $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$ este logaritmul real. Din aceasta rezultă:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash dots)$

Exemple de valori logaritmice complexe

Oferim valoarea principală a logaritmului ( $\backslash ln$) și expresia sa generală ( $\backslash mathrm(Ln)$) pentru unele argumente:

$\backslash ln(1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

Ar trebui să fiți atenți când convertiți logaritmi complecși, ținând cont de faptul că sunt multivalori și, prin urmare, egalitatea acestor expresii nu rezultă din egalitatea logaritmilor oricărei expresii. Exemplu eronat raţionament:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$ este o eroare evidentă.

Rețineți că valoarea principală a logaritmului este în stânga, iar valoarea din ramura subiacentă este în dreapta ( $k=-1$). Motivul erorii este utilizarea neglijentă a proprietății $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$, care, în general, implică în cazul complex întregul set infinit de valori ale logaritmului, și nu doar valoarea principală.

Funcția logaritmică complexă și suprafața Riemann

În virtutea faptului că este pur și simplu conectată, suprafața Riemann a logaritmului este o acoperire universală pentru planul complex fără punct $0$.

Continuare analitică

Logaritmul unui număr complex poate fi definit și ca continuarea analitică a logaritmului real la întregul plan complex. Lasă curba $\backslash Gamma$începe de la unu, nu trece prin zero și nu traversează partea negativă a axei reale. Apoi valoarea principală a logaritmului la punctul final $w$ strâmb $\backslash Gamma$ poate fi determinat prin formula:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash over\; u)$

Dacă $\backslash Gamma$- o curbă simplă (fără auto-intersecții), apoi pentru numerele care se află pe ea, identitățile logaritmice pot fi aplicate fără teamă, de exemplu:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash forall\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash colon\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

Ramura principală a funcției logaritmice este continuă și diferențiabilă pe întregul plan complex, cu excepția părții negative a axei reale, pe care sare la partea imaginară. $2\backslash pi$. Dar acest fapt este o consecință a limitării artificiale a părții imaginare a valorii principale de către interval $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. Dacă luăm în considerare toate ramurile funcției, atunci continuitatea are loc în toate punctele cu excepția zero, unde funcția nu este definită. Dacă se permite curba $\backslash Gamma$ traversează partea negativă a axei reale, apoi prima astfel de intersecție transferă rezultatul de la ramura valorii principale la ramura învecinată, iar fiecare intersecție ulterioară provoacă o deplasare similară de-a lungul ramurilor funcției logaritmice (vezi figura).

Din formula de continuare analitică rezultă că pe orice ramură a logaritmului:

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash peste\; z)$

Pentru orice cerc $S$ anexând punctul $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash over\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

Integrala este luată în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic). Această identitate stă la baza teoriei reziduurilor.

De asemenea, se poate defini continuarea analitică a logaritmului complex folosind seria cunoscută pentru cazul real:

{{{2}}}

(Rândul 1)

{{{2}}}

(Rândul 2)

Totuși, din forma acestor serii rezultă că la unitate suma seriei este egală cu zero, adică seria se referă numai la ramura principală a funcției multivalorice a logaritmului complex. Raza de convergență a ambelor serii este 1.

Relația cu funcțiile trigonometrice și hiperbolice inverse

$\backslash operatorname(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (i\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arsh)z\; =\; \backslash operatorname(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- sinus hiperbolic invers $\backslash operatorname(Arch)z=\backslash operatorname(Ln)\; \backslash left(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash right)$- cosinus hiperbolic invers $\backslash operatorname(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash right)$- tangenta hiperbolica inversa $\backslash operatorname(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash right)$- cotangentă hiperbolică inversă

Contur istoric

Primele încercări de a extinde logaritmii la numere complexe au fost făcute la începutul secolelor XVII-XVIII de către Leibniz și Johann Bernoulli, dar nu au reușit să creeze o teorie holistică - în primul rând din cauza faptului că însuși conceptul de logaritm nu era încă clar. definit. Discuția pe acest subiect a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea între d'Alembert și Euler. Bernoulli și d'Alembert credeau că este necesar să se definească $\backslash log(x)\; =\; \backslash log(x)$, în timp ce Leibniz a susținut că logaritmul unui număr negativ este un număr imaginar. Teoria completă a logaritmilor numerelor negative și complexe a fost publicată de Euler în 1747-1751 și nu este în esență diferită de cea modernă. Deși controversa a continuat (d'Alembert și-a apărat punctul de vedere și l-a argumentat în detaliu într-un articol din Enciclopedia sa și în alte lucrări), abordarea lui Euler de la sfârșitul secolului al XVIII-lea a fost universal acceptată.

Scrieți o recenzie la articolul „Logaritm complex”

Literatură

Teoria logaritmilor

• Korn G., Korn T.. - M .: Nauka, 1973. - 720 p.
• Sveșnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. - M .: Nauka, 1967. - 304 p.
• Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - ed. al 6-lea. - M .: Nauka, 1966. - 680 p.

Istoria logaritmilor

• Matematica secolului al XVIII-lea // / Editat de A.P. Yushkevich, în trei volume. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Iuşkevici A. P. (ed.). Matematica secolului al XIX-lea. Geometrie. Teoria funcţiilor analitice. - M .: Nauka, 1981. - T. II.

Note

1. Funcția logaritmică. // . - M .: Enciclopedia Sovietică, 1982. - T. 3.
2. , Volumul II, p. 520-522..
3. , Cu. 623..
4. , Cu. 92-94..
5. , Cu. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovici V. A.. - M .: Nauka, 1982. - S. 112. - (Biblioteca cuantică, numărul 21).
7. , Volumul II, p. 522-526..
8. , Cu. 624..
9. , Cu. 325-328..
10. Rybnikov K. A. Istoria matematicii. În două volume. - M .: Ed. Universitatea de Stat din Moscova, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231 ..
11. , Cu. 122-123..
12. Klein F.. - M .: Nauka, 1987. - T. II. Geometrie. - S. 159-161. - 416 p.

Un fragment care caracterizează logaritmul complex

Era evident că acest bărbat puternic și ciudat se afla sub influența irezistibilă exercitată asupra lui de această fată neagră, grațioasă și iubitoare.
Rostov a observat ceva nou între Dolokhov și Sonya; dar nu și-a definit singur ce fel de nouă relație era. „Toți sunt îndrăgostiți de cineva de acolo”, se gândi el despre Sonya și Natasha. Dar el nu era ca înainte, cu dibăcie cu Sonya și Dolokhov și a început să fie acasă mai rar.
Din toamna lui 1806, totul a început din nou să vorbească despre războiul cu Napoleon cu și mai multă fervoare decât anul trecut. Nu doar un set de recruți a fost numit, ci și încă 9 războinici din o mie. Peste tot l-au blestemat pe Bonaparte cu o anatemă, iar la Moscova s-a vorbit doar despre războiul care urma. Pentru familia Rostov, întregul interes al acestor pregătiri pentru război a constat doar în faptul că Nikolushka nu va fi de acord să rămână niciodată la Moscova și a așteptat doar sfârșitul vacanței lui Denisov pentru a merge cu el la regiment după vacanță. Plecarea iminentă nu numai că nu l-a împiedicat să se distreze, dar l-a și încurajat să facă acest lucru. Își petrecea cea mai mare parte a timpului departe de casă, la cine, petreceri și baluri.

XI
În a treia zi de Crăciun, Nikolai a luat masa acasă, ceea ce i s-a întâmplat rar în ultima vreme. Era o cină oficială de adio, din moment ce el și Denisov plecau la regiment după Bobotează. Au luat masa aproximativ douăzeci de oameni, printre care Dolokhov și Denisov.
Niciodată în casa Rostovilor aerul iubirii, atmosfera iubirii nu s-au făcut simțite cu atâta forță ca în aceste zile de sărbători. „Prinți clipe de fericire, forțați-vă să iubiți, îndrăgostiți-vă! Doar acest lucru este real în lume - restul este o prostie. Și acesta este singurul lucru cu care suntem ocupați aici”, a spus această atmosferă. Nikolay, ca întotdeauna, după ce a torturat două perechi de cai și chiar și atunci fără să aibă timp să viziteze toate locurile unde trebuia să fie și unde era chemat, a ajuns acasă chiar înainte de cină. Imediat ce a intrat, a observat și a simțit tensiunea atmosferei iubitoare din casă, dar în plus a observat o confuzie ciudată care domnește între unii dintre membrii societății. Sonya, Dolokhov, bătrâna contesă și o mică Natasha au fost deosebit de încântați. Nikolay și-a dat seama că trebuia să se întâmple ceva înainte de cină între Sonya și Dolokhov și, cu tandrețea lui caracteristică a inimii, a fost foarte blând și precaut, în timpul cinei, în a trata cu amândoi. În aceeași seară a celei de-a treia zile de sărbători urma să fie unul din acele baluri la Yogel (profesor de dans), pe care îl dădea de sărbători pentru toți elevii săi.
- Nikolenka, mergi la Yogel? Te rog, du-te, - i-a spus Natasha, - te-a întrebat în mod special, iar Vasily Dmitritch (era Denisov) pleacă.
„Unde nu merg la ordinul domnului Afini!”, a spus Denisov, care s-a pus în glumă în casa rostovilor la poalele cavalerei Natasha, „pas de chale [dansul cu șal] este gata de dans. .
- Dacă pot! Le-am promis Arkharovilor, au o seară, - a spus Nikolai.
- Și tu?... - se întoarse către Dolokhov. Și de îndată ce am întrebat asta, am observat că nu ar fi trebuit să întreb asta.
„Da, poate...” a răspuns Dolokhov rece și furios, aruncând o privire către Sonya și, încruntat, cu aceeași privire cu care se uitase la Pierre la cina clubului, se uită din nou la Nikolai.
„Există ceva”, gândi Nikolai, iar această presupunere a fost confirmată și mai mult de faptul că Dolokhov a plecat imediat după cină. A sunat-o pe Natasha și a întrebat-o ce este?
— Te căutam, spuse Natasha, alergând spre el. „Am spus că încă nu vrei să crezi”, a spus ea triumfătoare, „a cerut-o în căsătorie Sonya.
Oricât de puțin a făcut Nikolai Sonya în acest timp, ceva părea să iasă în el când a auzit asta. Dolokhov a fost un meci decent și, în unele privințe, un meci genial pentru orfana fără zestre Sonya. Din punctul de vedere al bătrânei contese și al societății, era imposibil să-l refuzi. Și, prin urmare, primul sentiment al lui Nikolai, când a auzit asta, a fost amărăciune față de Sonya. Se pregătea să spună: „Și e bine, desigur, trebuie să uiți promisiunile din copilărie și să accepți oferta”; dar nu a apucat sa spuna inca...
- Iti poti imagina! ea a refuzat, a refuzat absolut! Natasha a vorbit. „A spus că iubește pe altul”, a adăugat ea, după o pauză.
„Da, Sonya mea nu ar putea face altfel!” gândi Nicholas.
- Oricât de mult a întrebat-o mama, a refuzat și știu că nu se va schimba dacă spune ceva...
- Și mama a întrebat-o! spuse Nikolay cu reproș.
— Da, spuse Natasha. „Știi, Nikolenka, nu fi supărat; dar știu că nu te vei căsători cu ea. Știu, Dumnezeu știe de ce, știu sigur, nu te vei căsători.
— Ei bine, nu știi deloc asta, spuse Nikolai; Dar trebuie să vorbesc cu ea. Ce farmec, Sonya asta! adăugă el zâmbind.
- Este un farmec! O sa ti-l trimit. - Și Natasha, sărutându-și fratele, a fugit.
Un minut mai târziu, Sonya a intrat, speriată, confuză și vinovată. Nicholas s-a apropiat de ea și i-a sărutat mâna. A fost prima dată când în această vizită au vorbit față în față și despre dragostea lor.
„Sophie”, spuse el la început timid, apoi din ce în ce mai îndrăzneț, „dacă vrei să refuzi nu doar o petrecere strălucitoare și profitabilă; dar este un om bun, nobil... este prietenul meu...
îl întrerupse Sonya.
— Am refuzat deja, spuse ea grăbită.
- Dacă refuzi pentru mine, atunci mi-e teamă că pe mine...
l-a întrerupt din nou Sonya. Ea îl privi cu ochi rugători, înspăimântați.
— Nicolas, nu-mi spune asta, spuse ea.
- Nu, trebuie. Poate că este suficientă [aroganță] din partea mea, dar este mai bine să spun. Dacă refuzi pentru mine, atunci trebuie să-ți spun tot adevărul. Te iubesc, cred, mai mult decât pe oricine...
— Este suficient pentru mine, spuse Sonya, înroșindu-se.
- Nu, dar m-am îndrăgostit de o mie de ori și voi continua să mă îndrăgostesc, deși nu am un asemenea sentiment de prietenie, încredere, dragoste pentru nimeni ca și pentru tine. Atunci sunt tânăr. Maman nu vrea asta. Ei bine, doar, nu promit nimic. Și vă rog să vă gândiți la propunerea lui Dolokhov”, a spus el, pronunțând cu greu numele prietenului său.
- Nu-mi spune asta. Eu nu vreau nimic. Te iubesc ca pe un frate și te voi iubi mereu și nu am nevoie de nimic altceva.
- Ești un înger, nu te suport, dar mi-e teamă doar să te înșel. Nicholas îi sărută din nou mâna.

Iogel a avut cele mai amuzante baluri din Moscova. Acest lucru a fost spus de mame, privindu-și adolescenții, [fetele] făcând pașii lor nou învățați; asta au spus-o chiar adolescenții și adolescenții, [fetele și băieții] dansând până când au căzut; aceste fete mari și tineri care au venit la aceste baluri cu ideea de a le condescende și de a găsi cea mai bună distracție în ele. În același an, la aceste baluri au avut loc două căsătorii. Două prințese drăguțe Gorchakov și-au găsit pretendenți și s-au căsătorit și, cu atât mai mult, au lăsat aceste mingi în glorie. Ceea ce era deosebit la aceste baluri era că nu exista gazdă și gazdă: era, ca zburarea pufului, înclinându-se după regulile artei, Yogel bun, care accepta bilete la lecții de la toți oaspeții săi; a fost că la aceste baluri mai participau doar cei care voiau să danseze și să se distreze, așa cum își doresc fetele de 13 și 14 ani, îmbrăcându-și pentru prima dată rochii lungi. Toate, cu rare excepții, erau sau păreau drăguțe: toți zâmbeau atât de entuziasmați și ochii li s-au luminat atât de mult. Uneori, cei mai buni elevi chiar dansau pas de chale, dintre care cea mai bună era Natasha, remarcată prin harul ei; dar la asta a dansat ultimul bal, doar ecosaise, anglaises și mazurca, care tocmai intra în modă. Sala a fost dusă de Yogel acasă la Bezukhov, iar balul a fost un mare succes, după cum spuneau toată lumea. Erau multe fete drăguțe, iar domnișoarele de la Rostov erau printre cele mai bune. Amandoi erau deosebit de fericiti si veseli. În acea seară, Sonya, mândră de propunerea lui Dolokhov, de refuzul și explicația ei cu Nikolai, încă se învârtea acasă, nepermițând fetei să-și pieptene împletiturile și acum strălucea cu o bucurie impetuoasă.
Natasha, nu mai puțin mândră că a fost pentru prima dată într-o rochie lungă, la un bal adevărat, a fost și mai fericită. Ambii erau în rochii albe, de muselină, cu panglici roz.
Natasha s-a îndrăgostit chiar din momentul în care a intrat în bal. Nu era îndrăgostită de nimeni anume, dar era îndrăgostită de toată lumea. În cea la care s-a uitat în momentul în care s-a uitat, era îndrăgostită de el.
- O, ce bine! spunea ea, alergând spre Sonya.
Nikolai și Denisov se plimbau prin săli, uitându-se cu afecțiune și cu patron la dansatori.
- Ce dulce este, va fi, - spuse Denisov.
- OMS?
„Domnule Athena Natasha”, a răspuns Denisov.
„Și cum dansează, ce bucurie! – după o pauză, spuse el din nou.
- Despre cine vorbești?
„Despre sora ta”, a strigat Denisov furios.
Rostov chicoti.
– Mon cher comte; vous etes l "un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez", a spus micuțul Yogel, apropiindu-se de Nikolai. "Voyez combien de jolies demoiselles. [Dragă conte, ești unul dintre cei mai buni elevi ai mei. Trebuie să dansezi. Vezi cum fete mult drăguțe!] - S-a întors cu aceeași cerere către Denisov, tot fostul său elev.
- Non, mon cher, je fe "ai tapisse" ie, [Nu, draga mea, voi sta lângă perete,] a spus Denisov. — Nu-ţi aminteşti cât de rău am folosit lecţiile tale?
- Oh nu! – mângâindu-l în grabă, spuse Yogel. - Ai fost doar neatent, dar ai avut capacitatea, da, ai avut capacitatea.
Mazurca nou introdusă a început să cânte; Nikolai nu l-a putut refuza pe Yogel și a invitat-o ​​pe Sonya. Denisov s-a așezat lângă bătrâne și s-a sprijinit de sabia lui, bătând din picioare, povestind ceva vesel și făcându-le pe bătrâne să râdă, uitându-se la tineretul dansator. Yogel din prima pereche a dansat cu Natasha, mândria lui și cea mai bună elevă. Mișcându-și încet picioarele în pantofi, Yogel a fost primul care a traversat hol cu ​​Natasha, care era timidă, dar făcându-și pașii cu sârguință. Denisov nu și-a luat ochii de la ea și a bătut timpul cu sabia lui, cu un aer care spunea limpede că el însuși nu a dansat doar pentru că nu a vrut, și nu pentru că nu putea. În mijlocul figurii, îl strigă pe Rostov, care trecea pe acolo.
„Nu este deloc asta”, a spus el. - Este o mazu poloneză „ka? Și ea dansează bine.” Știind că Denisov era chiar faimos în Polonia pentru priceperea sa de a dansa mazurca poloneză, Nikolai a alergat la Natasha:
- Haide, alege Denisov. Aici dansează! Miracol! - el a spus.
Când a venit din nou rândul Natașei, s-a ridicat și, pipăindu-și repede pantofii cu fundături, timid, a alergat singură prin hol până în colțul în care stătea Denisov. A văzut că toată lumea se uita la ea și așteaptă. Nikolai a văzut că Denisov și Natasha se certau zâmbind și că Denisov a refuzat, dar a zâmbit fericit. El a fugit.
„Te rog, Vasily Dmitritch”, a spus Natasha, „să mergem, te rog”.
— Da, mulțumesc, doamnă Athena, spuse Denisov.
— Ei bine, este suficient, Vasya, spuse Nikolai.
„Este ca și cum Vaska ar fi fost convins”, a spus Denisov în glumă.
„Îți voi cânta toată seara”, a spus Natasha.
- Vrăjitoarea va face totul cu mine! – spuse Denisov și și-a desfăcut sabia. A ieșit din spatele scaunelor, și-a luat cu fermitate doamna de mână, și-a ridicat capul și a lăsat piciorul deoparte, așteptând tact. Numai pe un cal și într-o mazurcă nu se vedea statura mică a lui Denisov și părea să fie același tip fin ca și el însuși. După ce a așteptat o bătaie, și-a privit doamna din lateral, victorios și în glumă, bătută pe neașteptate cu un picior și, ca o minge, a revenit rezistent de pe podea și a zburat în cerc, târându-și doamna cu el. A zburat în tăcere jumătate din sală pe un picior și părea să nu vadă scaunele care stăteau în fața lui și s-a repezit direct spre ele; dar deodată, pocnind din pinteni și desfăcând picioarele, s-a oprit pe călcâie, a stat așa o secundă, cu un vuiet de pinteni, cu picioarele bătute într-un loc, s-a întors repede și, pocnind piciorul stâng cu dreapta, a zburat din nou în cerc. Natasha a ghicit ce intenționa să facă și, neștiind cum, l-a urmat - predându-se. Acum o înconjura, acum pe dreapta, apoi pe mâna stângă, apoi căzând în genunchi, o înconjura în jurul lui și din nou a sărit în sus și s-a repezit înainte cu atâta viteză, de parcă ar fi vrut, fără să tragă aer, să alerge. peste toate camerele; apoi s-a oprit brusc din nou și s-a făcut un alt genunchi nou și neașteptat. Când el, înconjurând-o cu viteză pe doamna în fața scaunului ei, a trântit pintenul, făcându-și o plecăciune în fața ei, Natasha nici măcar nu s-a așezat lângă el. Își aținti privirea nedumerită asupra lui, zâmbind de parcă nu l-ar fi recunoscut. - Ce este? ea a spus.
În ciuda faptului că Yogel nu a recunoscut această mazurcă ca fiind reală, toată lumea a fost încântată de priceperea lui Denisov, au început necontenit să-l aleagă, iar bătrânii, zâmbind, au început să vorbească despre Polonia și despre vremurile bune. Denisov, îmbujorat de mazurcă și ștergându-se cu o batistă, s-a așezat lângă Natasha și nu i-a lăsat tot mingea.

Definiție și proprietăți

Complexul zero nu are logaritm deoarece exponentul complex nu ia valoare zero. diferit de zero texvc poate fi reprezentat în formă exponențială:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, Unde Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): k- întreg arbitrar

Apoi Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \mathrm(Ln)\,z se gaseste dupa formula:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor pentru reglare.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Aici Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \ln\,r= \ln\,|z| este logaritmul real. Din aceasta rezultă:

Din formula se poate observa că una și numai una dintre valori are o parte imaginară în interval Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc . Această valoare este numită importanta principala logaritm natural complex. Funcția corespunzătoare (deja cu o singură valoare) este apelată ramura principală logaritm și se notează Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ln\,z. Uneori prin Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ln\, z denotă, de asemenea, valoarea logaritmului care nu se află pe ramura principală. Dacă Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): z este un număr real, atunci valoarea principală a logaritmului său coincide cu logaritmul real obișnuit.

De asemenea, din formula de mai sus rezultă că partea reală a logaritmului este determinată după cum urmează prin componentele argumentului:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Figura arată că partea reală în funcție de componente este simetrică central și depinde doar de distanța până la origine. Se obține prin rotirea graficului logaritmului real în jurul axei verticale. Pe măsură ce se apropie de zero, funcția tinde să Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): -\infty.

Logaritmul unui număr negativ se găsește prin formula:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor pentru reglare.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 , \ pm2\puncte)

Exemple de valori logaritmice complexe

Oferim valoarea principală a logaritmului ( Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ln) și expresia sa generală ( Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): \mathrm(Ln)) pentru unele argumente:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Ar trebui să fiți atenți când convertiți logaritmi complecși, ținând cont de faptul că sunt multivalori și, prin urmare, egalitatea acestor expresii nu rezultă din egalitatea logaritmilor oricărei expresii. Exemplu eronat raţionament:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi este o eroare evidentă.

Rețineți că valoarea principală a logaritmului este în stânga, iar valoarea din ramura subiacentă este în dreapta ( Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): k=-1). Motivul erorii este utilizarea neglijentă a proprietății Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, care, în general, implică în cazul complex întregul set infinit de valori ale logaritmului, și nu doar valoarea principală.

Funcția logaritmică complexă și suprafața Riemann

În virtutea faptului că este pur și simplu conectată, suprafața Riemann a logaritmului este o acoperire universală pentru planul complex fără punct Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc .

Continuare analitică

Logaritmul unui număr complex poate fi definit și ca continuarea analitică a logaritmului real la întregul plan complex. Lasă curba Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc începe de la unu, nu trece prin zero și nu traversează partea negativă a axei reale. Apoi valoarea principală a logaritmului la punctul final Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): w strâmb Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \Gamma poate fi determinat prin formula:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Dacă Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \Gamma- o curbă simplă (fără auto-intersecții), apoi pentru numerele care se află pe ea, identitățile logaritmice pot fi aplicate fără teamă, de exemplu:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Ramura principală a funcției logaritmice este continuă și diferențiabilă pe întregul plan complex, cu excepția părții negative a axei reale, pe care sare la partea imaginară. Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): 2\pi. Dar acest fapt este o consecință a limitării artificiale a părții imaginare a valorii principale de către interval Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): (-\pi, \pi]. Dacă luăm în considerare toate ramurile funcției, atunci continuitatea are loc în toate punctele cu excepția zero, unde funcția nu este definită. Dacă se permite curba Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \Gamma traversează partea negativă a axei reale, apoi prima astfel de intersecție transferă rezultatul de la ramura valorii principale la ramura învecinată, iar fiecare intersecție ulterioară provoacă o deplasare similară de-a lungul ramurilor funcției logaritmice (vezi figura).

Din formula de continuare analitică rezultă că pe orice ramură a logaritmului:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\peste z)

Pentru orice cerc Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): S anexând punctul Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): 0 :

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Integrala este luată în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic). Această identitate stă la baza teoriei reziduurilor.

De asemenea, se poate defini continuarea analitică a logaritmului complex folosind seria cunoscută pentru cazul real:

Totuși, din forma acestor serii rezultă că la unitate suma seriei este egală cu zero, adică seria se referă numai la ramura principală a funcției multivalorice a logaritmului complex. Raza de convergență a ambelor serii este 1.

Relația cu funcțiile trigonometrice și hiperbolice inverse

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- sinus hiperbolic invers Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- cosinus hiperbolic invers Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- tangenta hiperbolica inversa Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- cotangentă hiperbolică inversă

Contur istoric

Primele încercări de a extinde logaritmii la numere complexe au fost făcute la începutul secolelor XVII-XVIII de către Leibniz și Johann Bernoulli, dar nu au reușit să creeze o teorie holistică - în primul rând din cauza faptului că însuși conceptul de logaritm nu era încă clar. definit. Discuția pe acest subiect a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea între d'Alembert și Euler. Bernoulli și d'Alembert credeau că este necesar să se definească Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \log(-x) = \log(x), în timp ce Leibniz a susținut că logaritmul unui număr negativ este un număr imaginar. Teoria completă a logaritmilor numerelor negative și complexe a fost publicată de Euler în 1747-1751 și nu este în esență diferită de cea modernă. Deși controversa a continuat (d'Alembert și-a apărat punctul de vedere și l-a argumentat în detaliu într-un articol din Enciclopedia sa și în alte lucrări), abordarea lui Euler de la sfârșitul secolului al XVIII-lea a fost universal acceptată.

Scrieți o recenzie la articolul „Logaritm complex”

Literatură

Teoria logaritmilor

• Korn G., Korn T.. - M .: Nauka, 1973. - 720 p.
• Sveșnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. - M .: Nauka, 1967. - 304 p.
• Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - ed. al 6-lea. - M .: Nauka, 1966. - 680 p.

Istoria logaritmilor

• Matematica secolului al XVIII-lea // / Editat de A.P. Yushkevich, în trei volume. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Iuşkevici A. P. (ed.). Matematica secolului al XIX-lea. Geometrie. Teoria funcţiilor analitice. - M .: Nauka, 1981. - T. II.

Note

1. Funcția logaritmică. // . - M .: Enciclopedia Sovietică, 1982. - T. 3.
2. , Volumul II, p. 520-522..
3. , Cu. 623..
4. , Cu. 92-94..
5. , Cu. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovici V. A.. - M .: Nauka, 1982. - S. 112. - (Biblioteca cuantică, numărul 21).
7. , Volumul II, p. 522-526..
8. , Cu. 624..
9. , Cu. 325-328..
10. Rybnikov K. A. Istoria matematicii. În două volume. - M .: Ed. Universitatea de Stat din Moscova, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231 ..
11. , Cu. 122-123..
12. Klein F.. - M .: Nauka, 1987. - T. II. Geometrie. - S. 159-161. - 416 p.

Un fragment care caracterizează logaritmul complex

Din groaza sălbatică care ne-a cuprins, ne-am repezit ca gloanțele printr-o vale largă, fără să ne gândim măcar că am putea merge rapid la un alt „etaj”... Pur și simplu nu am avut timp să ne gândim la asta - eram prea speriați.
Creatura a zburat chiar deasupra noastră, clacând zgomotos cu ciocul său cu dinți căscați, și ne-am repezit cât am putut, împroșcând spray-uri sclipitoare în lateral și rugându-ne mental ca altceva să intereseze brusc această teribilă „pasăre minune”... S-a simțit că este mult mai rapid și pur și simplu nu am avut nicio șansă să ne despărțim de el. Ca rău, nu creștea un singur copac în apropiere, nu erau tufișuri, nici măcar pietre în spatele cărora să se poată ascunde, doar o stâncă neagră de rău augur se vedea în depărtare.
- Acolo! - strigă Stella, arătând cu degetul spre aceeași stâncă.
Dar deodată, pe neașteptate, chiar în fața noastră, a apărut de undeva o creatură, a cărei vedere ne-a înghețat literalmente sângele în vene... A apărut, parcă, „din aer” și a fost cu adevărat terifiant. .. Uriașa carcasă neagră era acoperită complet de păr lung și rigid, făcându-l să arate ca un urs cu burtă, doar că acest „urs” era la fel de înalt ca o casă cu trei etaje... Capul accidentat al monstrului era „căsătorit” cu două coarne uriașe curbate și o pereche de colți incredibil de lungi, ascuțiți ca cuțitele, își împodobeau gura cumplită, doar privind la care, cu o sperietură, picioarele au cedat... Și atunci, surprinzându-ne nespus, monstrul a sărit ușor. în sus și .... a ridicat „noroiul” zburător de pe unul dintre colții lui uriași... Am încremenit uluiți.
- Să fugim!!! țipă Stella. - Hai să alergăm cât e „ocupat”! ..
Și eram deja gata să ne grăbim din nou fără să ne uităm înapoi, când deodată o voce subțire se auzi în spatele nostru:
- Fetelor, stați! Nu e nevoie să fugi! .. Dean te-a salvat, nu este un dușman!
Ne-am întors brusc - o fată minusculă, foarte frumoasă, cu ochi negri, stătea în spate... și mângâia calm monstrul care s-a apropiat de ea! .. Ochii ni-au izbucnit de surprindere... A fost incredibil! Cu siguranță – a fost o zi de surprize!.. Fata, privindu-ne, zâmbi amabil, deloc teamă de monstrul blănos care stătea în apropiere.
Te rog să nu-ți fie frică de el. El este foarte blând. Am văzut că Ovara te urmărea și am decis să ajutăm. Dean este un tip bun, a reușit la timp. Serios, bunul meu?
„Bine” toarcă, care a sunat ca un ușor cutremur și, aplecându-și capul, a lins fața fetei.
„Și cine este Owara și de ce ne-a atacat?” Am întrebat.
Ea atacă pe toată lumea, este un prădător. Și foarte periculos”, a răspuns fata calmă. „Pot să te întreb ce cauți aici?” Nu sunteți de aici, fetelor, nu?
- Nu, nu de aici. Doar mergeam. Dar aceeași întrebare pentru tine - ce cauți aici?
Mă duc la mama... - fetița s-a întristat. „Am murit împreună, dar din anumite motive ea a ajuns aici. Și acum locuiesc aici, dar nu-i spun asta, pentru că nu va fi niciodată de acord cu asta. Ea crede că tocmai vin...
„Nu este mai bine să vii?” E atât de groaznic aici! .. - Stella îşi zvâcni umerii.
„Nu pot să o las aici singură, o privesc ca să nu i se întâmple nimic. Și iată-l pe Dean cu mine... El mă ajută.
Pur și simplu nu-mi venea să cred... Această fetiță curajoasă și-a părăsit de bunăvoie „potajul” frumos și amabil pentru a trăi în această lume rece, teribilă și străină, protejându-și mama, care era foarte „vinovată” de ceva! Nu mulți, cred, ar fi fost atât de curajoși și dezinteresați (chiar și adulți!) Oameni care s-ar fi hotărât la o astfel de ispravă... Și m-am gândit imediat - poate că pur și simplu nu a înțeles la ce avea de gând să se condamne. ?!
- Și de cât timp ești aici, fato, dacă nu e un secret?
„Recent...” a răspuns tristă fetița cu ochi negri, trăgând cu degetele de șuvița neagră a părului creț. - Am intrat într-o lume atât de frumoasă când am murit! .. Era atât de bun și de strălucitor! .. Și atunci am văzut că mama nu era cu mine și s-a repezit s-o caute. La început a fost atât de înfricoșător! Dintr-un motiv oarecare, ea nu a fost găsită nicăieri... Și apoi am căzut în această lume teribilă... Și apoi am găsit-o. Eram atât de îngrozită aici... Atât de singură... Mama mi-a spus să plec, ba chiar m-a certat. Dar nu pot să o părăsesc... Acum am un prieten, bunul meu Decan, și pot exista cumva aici.
„Bunul ei prieten” a mârâit din nou, ceea ce mi-a făcut ca pe Stella și pe mine să avem pielea de găină uriașă „astrală inferior”... După ce m-am adunat, am încercat să mă liniștesc puțin și am început să privesc atent la acest miracol blănos... Și el, imediat simțind că a observat, și-a scos îngrozitor gura cu colți... Am sărit înapoi.
- Oh, te rog nu te teme! El este cel care îți zâmbește, - a „liniștit” fata.
Da... Dintr-un astfel de zâmbet vei învăța să alergi repede... - mi-am zis.
„Dar cum s-a întâmplat să te împrietenești cu el?” întrebă Stella.
- Când am venit prima oară aici, mi-a fost foarte frică, mai ales când monștri ca tine au fost atacați astăzi. Și apoi într-o zi, când aproape am murit, Dean m-a salvat de o grămadă de „păsări” zburătoare înfiorătoare. Mi-a fost și mie frică de el la început, dar apoi mi-am dat seama ce inimă de aur avea... Este cel mai bun prieten! Nu am avut niciodată așa ceva, chiar și când am trăit pe Pământ.
Cum te-ai obișnuit atât de repede? Aspectul lui nu este destul de familiar, să spunem...
- Și aici am înțeles un adevăr foarte simplu, pe care din anumite motive nu l-am observat pe Pământ - aspectul nu contează dacă o persoană sau o creatură are o inimă bună... Mama mea era foarte frumoasă, dar uneori și foarte supărată . Și apoi toată frumusețea ei a dispărut undeva... Și Dean, deși înfricoșător, este întotdeauna foarte amabil și întotdeauna mă protejează, îi simt bunătatea și nu mi-e frică de nimic. Te poți obișnui cu aspectul...
„Știi că vei fi aici foarte mult timp, mult mai mult decât trăiesc oamenii pe Pământ?” Chiar vrei să stai aici?
„Mama este aici, așa că trebuie să o ajut. Și când ea „pleacă” să trăiască din nou pe Pământ, voi pleca și eu... Unde este mai multă bunătate. În această lume teribilă, oamenii sunt foarte ciudați - de parcă nu ar trăi deloc. De ce este asta? Știi ceva despre asta?
- Și cine ți-a spus că mama ta va pleca să trăiască din nou? întrebă Stella.
Dean, desigur. Știe multe, locuiește aici de foarte mult timp. El a mai spus că atunci când noi (mama și cu mine) vom trăi din nou, familiile noastre vor fi diferite. Și atunci nu voi mai avea această mamă... De aceea vreau să fiu cu ea acum.
— Și cum vorbești cu el, cu decanul tău? întrebă Stella. — Și de ce nu vrei să ne spui numele tău?
Dar este adevărat – încă nu știam numele ei! Și de unde a venit ea - nici ei nu știau...
– Mă numesc Maria... Dar chiar contează aici?
- Sigur! Stella a râs. - Și cum să comunic cu tine? Când pleci, îți vor da un nou nume, dar cât vei fi aici, va trebui să trăiești cu cel vechi. Ai vorbit cu altcineva de aici, fata Maria? - Din obişnuinţă, sărind de la un subiect la altul, a întrebat Stella.
„Da, am făcut-o…”, a spus fetița nesigură. „Dar sunt atât de ciudați aici. Și atât de nenorociți... De ce sunt atât de nenorociți?
„Dar ceea ce vezi aici conduce la fericire?” Am fost surprins de întrebarea ei. – Chiar și „realitatea” locală în sine ucide orice speranță dinainte!... Cum să fii fericit aici?
- Nu ştiu. Când sunt cu mama, mi se pare că aș putea fi fericit și aici... Adevărat, este foarte înfricoșător aici și ei chiar nu-i place aici... Când am spus că am fost de acord să rămân cu ea, a țipat la mine și a spus că eu sunt „ghinionul ei fără creier”... Dar nu sunt jignit... Știu că e doar speriată. Ca si mine...
- Poate că a vrut doar să te salveze de la decizia ta „extremă” și a vrut doar să te întorci la „etaj”? - Cu grijă, ca să nu jignesc, întrebă Stella.
– Nu, desigur că nu... Dar mulțumesc pentru cuvintele tale amabile. Mama îmi spunea adesea nume nu prea bune, chiar și pe Pământ... Dar știu că asta nu este din răutate. Era doar nefericită pentru că m-am născut și îmi spunea adesea că i-am distrus viața. Dar nu a fost vina mea, nu-i așa? Am încercat întotdeauna să o fac fericită, dar din anumite motive nu am reușit cu adevărat... Dar nu am avut niciodată un tată. Maria era foarte tristă, iar vocea îi tremura, de parcă ar fi fost pe punctul de a plânge.
Stella și cu mine ne-am uitat una la cealaltă și eram aproape sigur că o vizitaseră gânduri similare... Deja îmi displăcea această „mamă” răsfățată și egoistă, care, în loc să-și facă griji pentru copilul ei însăși, nu-i păsa de eroismul său. sacrificiu deloc.Am înțeles și, în plus, m-am rănit mai dureros.
- Dar Dean spune că sunt bun, și că îl fac foarte fericit! – murmură mai veselă fetița. Și vrea să fie prieten cu mine. Iar ceilalți pe care i-am întâlnit aici sunt foarte reci și indiferenți, și uneori chiar supărați... Mai ales cei care au monștri atașați...
- Monștri - ce? .. - nu am înțeles.
„Ei bine, au monștri înfricoșători pe spate și le spun ce ar trebui să facă. Și dacă nu ascultă, monștrii își bat joc de ei îngrozitor... Am încercat să vorbesc cu ei, dar acești monștri nu mă lasă.
Nu am înțeles absolut nimic din această „explicație”, dar însuși faptul că unele ființe astrale torturează oamenii nu puteau rămâne „explorate” de noi, prin urmare, am întrebat-o imediat cum am putea vedea acest fenomen uimitor.
- O, peste tot! Mai ales la Muntele Negru. Iată-l, în spatele copacilor. Vrei să mergem și noi cu tine?
– Desigur, vom fi fericiți! - a răspuns imediat încântată Stella.
Sincer să fiu, nici nu am zâmbit cu adevărat la perspectiva de a mă întâlni cu altcineva, „înfiorător și de neînțeles”, mai ales singur. Dar interesul a învins frica și noi, bineînțeles, am fi plecat, în ciuda faptului că ne era puțin frică... Dar când un fundaș precum Dean era alături de noi, a devenit imediat mai distractiv...
Și acum, într-o clipă scurtă, un adevărat Iad s-a desfășurat în fața ochilor noștri larg deschiși cu uimire... lume... Desigur, nu era nebun, ci era pur și simplu un văzător care, dintr-un motiv oarecare, putea vedea doar pe Astral inferior. Dar trebuie să-i acordăm credit - l-a portretizat superb... I-am văzut picturile într-o carte care se afla în biblioteca tatălui meu și încă mi-am amintit acel sentiment teribil pe care îl aveau majoritatea picturilor lui...
- Ce groază! .. - șopti Stella șocată.
S-ar putea spune, probabil, că am văzut deja multe aici, pe „etale”... Dar nici măcar noi nu am putut să ne imaginăm așa ceva în cel mai groaznic coșmar al nostru! .. În spatele „stâncii negre” s-a deschis ceva complet de neconceput. ... Arăta ca o „căldare” uriașă, plată, săpată în stâncă, în fundul căreia clocotea „lavă” purpurie... Aerul fierbinte „a izbucnit” peste tot cu bule stranii și roșiatice sclipitoare, din care ieșea abur arzător și a căzut în picături mari pe pământ, sau asupra oamenilor care au căzut sub el în acel moment... S-au auzit strigăte sfâșietoare, dar au tăcut imediat, în vreme ce cele mai dezgustătoare făpturi stăteau pe spatele acelorași oameni, care , cu o privire mulțumită, își „gestionau” victimele, fără să acorde nici cea mai mică atenție suferințelor lor... Sub picioarele goale ale oamenilor se înroșau pietre înroșite, clocotea și „topea” pământul roșu încins... Stropi. de abur fierbinte a izbucnit prin crăpături uriașe și, arzând picioarele ființelor umane plângând de durere, au fost duși în aer, evaporându-se cu o ceață ușoară... Și chiar în mijlocul „gropii” curgea un roșu strălucitor, larg. râu de foc, în care, din când în când, aceiași monștri dezgustători aruncau pe neașteptate una sau alta entitate chinuită, care, căzând, a provocat doar o scurtă explozie de scântei portocalii și apoi, dar, transformându-se pentru o clipă într-un nor alb pufos. , a dispărut... pentru totdeauna... A fost un adevărat Iad, iar eu și Stella am vrut să „dispărem” de acolo cât mai curând posibil...
- Ce o să facem? .. - șopti Stella îngrozită. - Vrei să mergi acolo jos? Putem face ceva pentru a-i ajuta? Uite cati sunt!...
Stăteam pe o stâncă negru-maro, uscată de căldură, urmărind „mizeria” durerii, deznădejdii și violenței care se întindea dedesubt, inundate de groază și ne simțeam atât de copilăresc de neputincioși încât până și Stella mea războinică și-a împăturit categoric de data aceasta ciufulit. aripi” și era gata la prima chemare să se grăbească la propriul „etaj” superior, atât de drag și de încredere...

Dovada formulei .

=

= =

întrucât sinusul și cosinusul nu depind de adăugarea unui unghi care este multiplu al

Și această egalitate este deja evidentă, deoarece aceasta este forma trigonometrică a unui număr complex.

Astfel, logaritmul există pentru toate punctele din plan, cu excepția zero. Pentru un număr pozitiv real, argumentul este 0, deci acest set infinit de puncte este , adică una dintre valori, și anume, la , va cădea pe axa reală. Dacă calculăm logaritmul unui număr negativ, obținem , adică setul de puncte este deplasat în sus și niciunul dintre ele nu cade pe axa reală.

Din formula se poate observa că numai atunci când argumentul numărului inițial este zero, una dintre valorile logaritmului cade pe axa reală. Și aceasta corespunde semiaxei drepte, și de aceea în cursul matematicii școlare au fost luate în considerare doar logaritmii numerelor pozitive. Există și logaritmii numerelor negative și imaginare, dar nu au o singură valoare pe axa reală.

Următorul desen arată unde în plan sunt situate toate valorile logaritmului unui număr pozitiv. Unul dintre ele se află pe axa reală, restul sunt deasupra și dedesubt cu , și așa mai departe. Pentru un număr negativ sau complex, argumentul este diferit de zero, astfel încât această secvență de puncte este deplasată vertical, rezultând niciun punct pe axa reală.

Exemplu. Calculati .

Soluţie. Să definim modulul numărului (egal cu 2) și argumentul 180 0 , adică . Apoi = .

Anexa 1. Întrebări pentru dovezi (pentru bilete).

Prelegerea #1

1. Demonstrați formula pentru integrarea pe părți.

Prelegerea #2

1. Demonstrați că modificarea , unde r = LCM (r 1 ,...,r k) reduce integrala la integrala unei fracții raționale.

2. Demonstrați că substituția reduce integrala formei la integrala unei fracții raționale.

3. Deduceți formulele de transformare pentru sinus și cosinus

Pentru schimbarea trigonometrică universală .

4. Demonstrați că în cazul în care funcția este impară față de cosinus, înlocuirea reduce integrala la o fracție rațională.

5. Demonstrați că în cazul în care

înlocuire: reduce integrala la o fracție rațională.

6. Demonstrați că pentru o integrală a formei

7. Demonstrați formula

8. Demonstrați că pentru o integrală a formei înlocuirea are propria sa integrală la o fracție rațională.

9. Demonstrați că pentru o integrală a formei înlocuirea reduce integrala la o fracție rațională.

Prelegerea #3

1. Demonstrați că funcția este antiderivata functiei .

2. Demonstrați formula Newton-Leibniz: .

3. Demonstrați formula pentru lungimea unei curbe date explicit:

.

4. Demonstrați formula pentru lungimea unei curbe dată în coordonate polare

Prelegerea #4

Demonstrați teorema: converge, converge.

Prelegerea #5

1. Deduceți (demonstrați) formula pentru aria unei suprafețe date în mod explicit .

2. Derivarea formulelor pentru trecerea la coordonatele polare.

3. Derivarea determinantului Jacobi al coordonatelor polare.

4. Derivarea formulelor pentru trecerea la coordonatele cilindrice.

5. Derivarea determinantului Jacobi al coordonatelor cilindrice.

6. Derivarea formulelor pentru trecerea la coordonatele sferice:

.

Prelegerea #6

1. Demonstrați că înlocuirea reduce o ecuație omogenă la o ecuație cu variabile separabile.

2. Deduceți forma generală a soluției unei ecuații liniare omogene.

3. Deduceți forma generală a soluției unei ecuații liniare neomogene prin metoda Lagrange.

4. Demonstrați că înlocuirea reduce ecuația lui Bernoulli la o ecuație liniară.

Cursul numărul 7.

1. Demonstrați că înlocuirea scade ordinea ecuației cu k.

2. Demonstrați că înlocuirea scade ordinea ecuației cu unu .

3. Demonstrați teorema: Funcția este o soluție a unei ecuații diferențiale liniare omogene și are o rădăcină caracteristică.

4. Demonstrați teorema că o combinație liniară de soluții a unui difer liniar omogen. ecuația este și soluția ei.

5. Demonstrați teorema privind impunerea soluțiilor: Dacă - soluția unei ecuații diferențiale liniare neomogene cu partea dreaptă și - soluția aceleiași ecuații diferențiale, dar cu partea dreaptă, atunci suma este soluția a ecuației cu partea dreaptă.

Cursul numărul 8.

1. Demonstrați teorema că sistemul de funcții este dependent liniar.

2. Demonstrați teorema că există n soluții liniar independente ale unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul n.

3. Demonstrați că dacă 0 este o rădăcină a multiplicității , atunci sistemul de soluții corespunzător acestei rădăcini are forma .

Cursul numărul 9.

1. Demonstrați folosind forma exponențială că la înmulțirea numerelor complexe se înmulțesc modulele și se adună argumentele.

2. Demonstrați formula lui De Moivre pentru gradul n

3. Demonstrați formula pentru rădăcina de ordin n a unui număr complex

4. Demonstrează că Și

sunt generalizări ale sinusului și cosinusului, i.e. pentru numerele reale, aceste formule dau un sinus (cosinus).

5. Demonstrați formula pentru logaritmul unui număr complex:

Anexa 2

Întrebări mici și orale despre cunoașterea teoriei (pentru colocvii).

Prelegerea #1

1. Ce este antiderivată și integrala nedefinită, prin ce diferă?

2. Explicați de ce este și antiderivat.

3. Scrieți o formulă de integrare pe părți.

4. Ce înlocuire este necesară în forma integrală și cum elimină rădăcinile?

5. Notează tipul de expansiune al integrandului unei fracții raționale în cele mai simple în cazul în care toate rădăcinile sunt diferite și reale.

6. Scrieți tipul de expansiune al integranților fracțiilor raționale în fracții simple în cazul în care toate rădăcinile sunt reale și există o rădăcină multiplă a multiplicității k.

Cursul numărul 2.

1. Scrieți care este descompunerea unei fracții raționale în cele mai simple în cazul în care numitorul are un factor de 2 grade cu discriminant negativ.

2. Ce înlocuire reduce integrala la o fracție rațională?

3. Ce este o substituție trigonometrică universală?

4. Ce înlocuiri se fac în cazurile în care funcția sub semnul integral este impară față de sinus (cosinus)?

5. Ce substituții se fac dacă integrandul conține expresiile , , sau .

Cursul numărul 3.

1. Definiția unei integrale determinate.

2. Enumeraţi câteva dintre principalele proprietăţi ale integralei definite.

3. Scrieți formula Newton-Leibniz.

4. Scrieți formula pentru volumul unui corp de revoluție.

5. Scrieți formula pentru lungimea unei curbe explicite.

6. Scrieți formula lungimii unei curbe parametrice.

Cursul numărul 4.

1. Definirea unei integrale improprie (cu ajutorul unei limite).

2. Care este diferența dintre integralele improprie de primul și al doilea fel.

3. Dați exemple simple de integrale convergente de primul și al doilea fel.

4. Pentru care converg integralele (T1).

5. Cum este legată convergența de limita finită a antiderivatei (T2)

6. Care este semnul necesar al convergenței, formularea lui.

7. Semn de comparație în forma finală

8. Test de comparatie in forma limitativa.

9. Definirea unei integrale multiple.

Cursul numărul 5.

1. Schimbarea ordinii de integrare, arătați în cel mai simplu exemplu.

2. Scrieți formula pentru suprafața.

3. Ce sunt coordonatele polare, scrieți formule de tranziție.

4. Care este jacobianul sistemului de coordonate polare?

5. Care sunt coordonatele cilindrice și sferice, care este diferența lor.

6. Care este iacobianul coordonatelor cilindrice (sferice).

Cursul numărul 6.

1. Ce este o ecuație diferențială de ordinul 1 (vedere generală).

2. Ce este o ecuație diferențială de ordinul I, rezolvată în raport cu derivata. Dați un exemplu.

3. Ce este o ecuație cu variabile separabile.

4. Care este o soluție generală, particulară, condiții Cauchy.

5. Ce este o ecuație omogenă, care este metoda generală de rezolvare a ei.

6. Ce este o ecuație liniară, care este algoritmul de rezolvare a acesteia, ce este metoda Lagrange.

7. Care este ecuația Bernoulli, algoritmul pentru rezolvarea ei.

Cursul numărul 7.

1. Ce înlocuire este necesară pentru o ecuație de forma .

2. Ce înlocuire este necesară pentru o ecuație de formă .

3. Arată cu exemple cum poate fi exprimat ca .

4. Ce este o ecuație diferențială liniară de ordinul n.

5. Ce este un polinom caracteristic, o ecuație caracteristică.

6. Formulați o teoremă pe care r funcția este o soluție a unei ecuații diferențiale liniare omogene.

7. Formulați o teoremă conform căreia o combinație liniară de soluții a unei ecuații liniare omogene este și soluția ei.

8. Formulați teorema de impunere a soluției și corolarele acesteia.

9. Care sunt sistemele de funcții liniar dependente și liniar independente, dați câteva exemple.

10. Care este determinantul Wronsky al unui sistem de n funcții, dați un exemplu de determinant Wronsky pentru sistemele LZS și LNS.

Cursul numărul 8.

1. Ce proprietate are determinantul Wronsky dacă sistemul este o funcție dependentă liniar.

2. Câte soluții liniar independente ale unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul n există.

3. Definirea FSR (sistem fundamental de soluții) al unei ecuații liniare omogene de ordinul n.

4. Câte funcții sunt conținute în SRF?

5. Notați forma sistemului de ecuații pentru găsirea prin metoda Lagrange pentru n=2.

6. Notați tipul de soluție particulară în cazul în care

7. Ce este un sistem liniar de ecuații diferențiale, scrieți câteva exemple.

8. Ce este un sistem autonom de ecuații diferențiale.

9. Semnificația fizică a sistemului de ecuații diferențiale.

10. Notați în ce funcții constă FSR-ul unui sistem de ecuații dacă sunt cunoscute valorile proprii și vectorii proprii ai matricei principale a acestui sistem.

Cursul numărul 9.

1. Ce este o unitate imaginară.

2. Ce este un număr conjugat și ce se întâmplă când este înmulțit cu originalul.

3. Care este forma trigonometrică, exponențială a unui număr complex.

4. Scrieți formula lui Euler.

5. Care este modulul, argumentul unui număr complex.

6. ce se întâmplă cu modulele și argumentele în timpul înmulțirii (împărțirii).

7. Scrieți formula lui De Moivre pentru gradul n.

8. Scrieți formula pentru rădăcina ordinului n.

9. Scrieți formulele generalizate de sinus și cosinus pentru argumentul complex.

10. Scrieți formula pentru logaritmul unui număr complex.

Anexa 3. Sarcini de la cursuri.

Prelegerea #1

Exemplu. . Exemplu. .

Exemplu. . Exemplu. .

Exemplu. Exemplu. .

Exemplu. . Exemplu. .

Prelegerea #2

Exemplu. . Exemplu. .

Exemplu. . Exemplu. .

Exemplu. . Exemplu.. , unde, număr .

Exemplu.Împărțiți în formă exponențială.

Exemplu. Găsiți după formula lui De Moivre.

Exemplu. Găsiți toate valorile rădăcină.

Funcția exponențială a unei variabile reale (cu bază pozitivă) se determină în mai mulți pași. În primul rând, pentru valorile naturale - ca un produs al factorilor egali. Definiția este apoi extinsă la valori întregi negative și non-zero pentru prin reguli. În continuare, sunt considerați indicatori fracționali, în care valoarea funcției exponențiale este determinată folosind rădăcinile: . Pentru valorile iraționale, definiția este deja legată de conceptul de bază al analizei matematice - cu trecerea la limită, din motive de continuitate. Toate aceste considerații nu sunt în niciun caz aplicabile încercărilor de a extinde funcția exponențială la valorile complexe ale indicatorului și ceea ce, de exemplu, este complet de neînțeles.

Pentru prima dată, un grad cu un exponent complex cu bază naturală a fost introdus de Euler pe baza unei analize a unui număr de construcții ale calculului integral. Uneori, expresii algebrice foarte asemănătoare, atunci când sunt integrate, dau răspunsuri complet diferite:

În același timp, aici se obține formal a doua integrală din prima prin înlocuirea ei cu

Din aceasta putem concluziona că, cu o definire corectă a unei funcții exponențiale cu un exponent complex, funcțiile trigonometrice inverse sunt legate de logaritmi și astfel funcția exponențială este legată de funcțiile trigonometrice.

Euler a avut curajul și imaginația să dea o definiție rezonabilă pentru funcția exponențială cu bază, și anume,

Aceasta este o definiție și, prin urmare, această formulă nu este dovedită, se pot căuta doar argumente în favoarea caracterului rezonabil și oportunității unei astfel de definiții. Analiza matematică oferă multe argumente de acest fel. Ne vom limita la unul singur.

Se știe că în realitate, relația limită este valabilă: . În partea dreaptă există un polinom care are sens chiar și pentru valori complexe pentru . Limita unei secvențe de numere complexe este definită într-un mod natural. Se spune că o secvență este convergentă dacă șirurile părților reale și imaginare converg și se presupune că

Sa gasim . Pentru a face acest lucru, ne întoarcem la forma trigonometrică, iar pentru argument vom alege valori din intervalul . Cu această alegere, este clar că pentru . Mai departe,

Pentru a trece la limită, trebuie să verificați existența limitelor pentru și și să găsiți aceste limite. Este clar că și

Deci în expresie

partea reală tinde spre , imaginarul - spre astfel încât

Acest argument simplu oferă unul dintre argumentele în favoarea definiției lui Euler a funcției exponențiale.

Să stabilim acum că atunci când înmulțim valorile funcției exponențiale, exponenții se adună. Într-adevăr:

2. Formule Euler.

Introducem în definiția funcției exponențiale . Primim:

Înlocuind b cu -b, obținem

Adunând și scăzând aceste egalități termen cu termen, găsim formulele

numite formulele lui Euler. Ele stabilesc o legătură între funcțiile trigonometrice și exponențiale cu exponenții imaginari.

3. Logaritmul natural al unui număr complex.

Un număr complex dat în formă trigonometrică poate fi scris sub forma Această formă de scriere a unui număr complex se numește exponențială. Ea păstrează toate proprietățile bune ale formei trigonometrice, dar este și mai concis. În plus, de aceea, este firesc să presupunem că astfel partea reală a logaritmului unui număr complex este logaritmul modulului său, iar partea imaginară este argumentul său. Aceasta explică într-o oarecare măsură proprietatea „logaritmică” a argumentului - argumentul produsului este egal cu suma argumentelor factorilor.