4.2. Numerele algebrice și transcendentale

Numerele reale sunt uneori împărțite în algebrice și transcendentale.

Numerele algebrice sunt numere care sunt rădăcinile polinoamelor algebrice cu coeficienți întregi, de exemplu, 4, . Toate celelalte numere (non-algebrice) sunt considerate transcendentale. Deoarece fiecare număr rațional p/q este rădăcina polinomului corespunzător de gradul I cu coeficienți întregi qx -p, atunci toate numerele transcendentale sunt iraționale.

Să evidențiem trăsăturile caracteristice ale numerelor considerate (naturale, raționale, reale): modelează o singură proprietate - cantitatea; sunt unidimensionale și toate sunt reprezentate prin puncte pe o singură dreaptă, numită axa de coordonate.

5. Numere complexe

5.1. Numerele imaginare

Și mai ciudate decât cele iraționale au fost numerele de natură nouă, descoperite de omul de știință italian Cardano în 1545. El a arătat că un sistem de ecuații care nu are soluții în mulțimea numerelor reale are soluții de forma, . Trebuie doar să fiți de acord să acționați asupra unor astfel de expresii conform regulilor algebrei obișnuite și să presupuneți că · = -.

Cardano a numit astfel de cantități „pur negative” și chiar „negative din punct de vedere sofistic”, le-a considerat inutile și a încercat să nu le folosească.

Multă vreme, aceste numere au fost considerate imposibile, inexistente, imaginare. Descartes i-a numit imaginari, Leibniz - „un ciudat din lumea ideilor, o entitate situată între ființă și neființă”.

De fapt, cu ajutorul unor astfel de numere este imposibil de exprimat fie rezultatul măsurării oricărei cantități, fie modificarea oricărei cantități.

Nu era loc pentru numerele imaginare pe axa de coordonate. Cu toate acestea, oamenii de știință au observat că dacă luăm numărul real b pe partea pozitivă a axei de coordonate și îl înmulțim cu, obținem un număr imaginar b, situat necunoscut unde. Dar dacă înmulțim din nou acest număr cu, obținem -b, adică numărul inițial, dar pe partea negativă a axei de coordonate. Deci, cu două înmulțiri cu am aruncat numărul b de la pozitiv la negativ, iar exact la mijlocul acestei aruncări numărul era imaginar. Așa am găsit un loc pentru numerele imaginare în puncte de pe o axă de coordonate imaginară perpendiculară pe mijlocul axei de coordonate reale. Punctele planului dintre axa imaginară și reală reprezintă numerele găsite de Cardano, care în forma generală a + b·i conțin numerele reale a și imaginarul b·i într-un singur complex (compunere), de aceea se numesc numere complexe.

Acesta a fost al 4-lea nivel de generalizare a numerelor.

Tehnica operațiilor asupra numerelor imaginare s-a dezvoltat treptat. La începutul secolelor al XVII-lea și al XVII-lea, a fost construită o teorie generală a rădăcinilor puterilor a n-a, mai întâi din numere negative și apoi din orice numere complexe, pe baza următoarei formule a matematicianului englez A. Moivre:

Folosind această formulă, a fost, de asemenea, posibil să se obțină formule pentru cosinus și sinusuri ale arcelor multiple.

Leonhard Euler a derivat o formulă remarcabilă în 1748:

care lega între ele funcţia exponenţială cu cea trigonometrică. Folosind formula lui Euler, a fost posibil să se ridice numărul e la orice putere complexă. Este interesant, de exemplu, că... Puteți găsi sinul și cosul numerelor complexe, puteți calcula logaritmii unor astfel de numere etc.

Multă vreme, chiar și matematicienii au considerat numerele complexe misterioase și le-au folosit doar pentru manipulări matematice. Astfel, matematicianul elvețian Bernoulli a folosit numere complexe pentru a rezolva integrale. Puțin mai târziu, au învățat să exprime soluții la ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți folosind numere imaginare. Astfel de ecuații se găsesc, de exemplu, în teoria oscilațiilor unui punct material într-un mediu rezistent.

Grupuri de matrice algebrice

Sisteme de închidere algebrică

Să începem cu conceptul de operație algebrică. Fie A o algebră universală cu o mulțime de operații algebrice U. Fiecare operație U din U are o anumită aritate n, nN(0). Pentru orice număr natural n, operația n-ară u este o mapare de la An la A...

Puterea numerelor prime

Numerele reciproc simple sunt numere naturale sau întregi, astfel încât nu vă puteți gândi la cele mai mari numere de dormit pentru 1, sau, altfel, se pare că cel mai mare număr de dormit este mai scump 1. În această ordine, 2 și 3 - sunt reciproc simplu, iar 2 și 4 nu sunt niciunul (împărțit la 2)...

Grafice și funcțiile lor

Luați în considerare operațiile algebrice de bază asupra funcțiilor și graficele acestora, cum ar fi adunarea și scăderea (y = f(x) ±g(x)), înmulțirea (y = f(x) g(x)), împărțirea (y = f() x) / g(x)). Când construiți acest tip de grafic, ar trebui să luați în considerare...

Numerele complexe: trecutul și prezentul lor

Matematica în Evul Mediu

O condiție necesară pentru aplicarea metodei Fang Cheng la sistemele de ecuații a fost introducerea numerelor negative. De exemplu, atunci când rezolvăm un sistem, obținem un tabel. Următorul pas: scădeți elementele coloanei a treia din dreapta din elementele primei...

numerologie

Numerele din Pitagora au fost considerate nu doar substitute abstracte ale lucrurilor reale, ci și entități vii care reflectă proprietățile spațiului, energiei sau vibrația sonoră. Principala știință a numerelor, aritmetica...

numerologie

Legenda spune că numerele armonice, al căror raport dă naștere muzicii sferelor, au fost găsite de Pitagora. Flammarion povestește această legendă astfel: „Se spune că trecând pe lângă o forjă, a auzit zgomotul ciocanelor...

Aplicarea practică a formulelor de cuadratura cu greutăți Chebyshev-Hermite

Să fie specificată o funcție de greutate uniformă pe întreaga axă. (1.1) Diferențiând succesiv această funcție, aflăm (1.2) Este ușor de demonstrat prin inducție că derivata de ordin n a funcției (1.1) este produsul acestei funcții de un polinom de gradul n...

Să introducem un nou număr invalid al cărui pătrat este -1. Notăm acest număr prin simbolul I și îl numim unitatea imaginară. Deci, (2.1) Atunci. (2.2) 1. Forma algebrică a unui număr complex Dacă, atunci numărul (2.3) se numește număr complex...

Secvențe numerice definite în mod recurent

Atunci când rezolvi multe probleme, de multe ori trebuie să te confrunți cu secvențe date în mod recurent, dar, spre deosebire de secvența Fibonacci, nu este întotdeauna posibil să obții sarcina analitică...

Ecuații transcendentale cu parametri și metode pentru soluțiile lor

O ecuație transcendentală este o ecuație care conține funcții transcendentale (iraționale, logaritmice, exponențiale, trigonometrice și trigonometrice inverse) dintr-o necunoscută (variabilă), de exemplu, o ecuație...

Cifre uimitoare

Cu mult timp în urmă, când se ajutau să numere cu pietricele, oamenii acordau atenție figurilor corecte care puteau fi făcute din pietricele. Puteți pune pur și simplu pietricelele pe rând: una, două, trei. Dacă le pui în două rânduri pentru a face dreptunghiuri...

Cifre uimitoare

Uneori numerele perfecte sunt considerate un caz special de numere prietenoase: fiecare număr perfect este prietenos cu el însuși. Nicomachus din Gheras, un renumit filozof și matematician, a scris: „Numerele perfecte sunt frumoase. Dar se știe...

Proprietăți fractale ale proceselor sociale

Fractalii geometrici sunt figuri statice. Această abordare este destul de acceptabilă atâta timp cât nu este nevoie să se ia în considerare fenomene naturale cum ar fi căderea fluxurilor de apă, vârtejurile turbulente de fum...

Număr transcendental

un număr (real sau imaginar) care nu satisface nicio ecuație algebrică (vezi ecuația algebrică) cu coeficienți întregi. Astfel, numerele sunt contrastate cu numerele algebrice (vezi Numărul algebric). Existența lui T. ch. a fost stabilită pentru prima dată de J. Liouville (1844). Punctul de plecare pentru Liouville a fost teorema sa, conform căreia ordinea de aproximare a unei fracții raționale cu un numitor dat la un număr algebric irațional dat nu poate fi arbitrar mare. Și anume, dacă numărul algebric A satisface o ecuație algebrică ireductibilă de grad n cu coeficienți întregi, atunci pentru orice număr rațional c depinde numai de α ). Prin urmare, dacă pentru un număr irațional dat α se poate specifica o mulțime infinită de aproximări raționale care nu satisfac inegalitatea dată pentru niciun CuȘi n(la fel pentru toate aproximările), atunci α este T. h. Un exemplu de astfel de număr oferă:

O altă dovadă a existenței numerelor a fost dată de G. Cantor (1874), observând că mulțimea tuturor numerelor algebrice este numărabilă (adică toate numerele algebrice pot fi renumerotate; vezi Teoria mulțimilor), în timp ce mulțimea tuturor numerelor reale. este de nenumărat. De aici rezultă că setul de numere este de nenumărat și, în plus, numerele alcătuiesc cea mai mare parte a setului de numere.

Cea mai importantă sarcină a teoriei numerelor absolute este de a determina dacă valorile funcțiilor analitice care au anumite proprietăți aritmetice și analitice pentru valorile algebrice ale argumentului sunt numere adevărate. Problemele de acest fel sunt printre cele mai dificile probleme ale matematicii moderne. În 1873, C. Hermite a dovedit că numărul Nepero

În 1882, matematicianul german F. Lindemann a obţinut un rezultat mai general: dacă α este un număr algebric, atunci e Rezultatul α - T. h. Lipdemann a fost generalizat semnificativ de matematicianul german K. Siegel (1930), care a demonstrat, de exemplu, transcendența valorii unei clase largi de funcții cilindrice pentru valorile algebrice ale argumentului. În 1900, la congresul de matematică de la Paris, D. Hilbert, dintre cele 23 de probleme nerezolvate de matematică, a subliniat următoarele: este un număr transcendental α β , Unde α Și β - numere algebrice, și β - un număr irațional și, în special, este numărul e π transcendental (problema transcendenței numerelor de forma α β a fost pus în scenă pentru prima dată în formă privată de L. Euler, 1744). O soluție completă a acestei probleme (în sens afirmativ) a fost obținută abia în 1934 de către A. O. Gelfond u. Din descoperirea lui Gelfond, în special, rezultă că toți logaritmii zecimali ai numerelor naturale (adică „logaritmii tabulari”) sunt numere întregi.Metodele teoriei numerelor sunt aplicate unui număr de probleme de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi.

Lit.: Gelfond A. O., Numerele transcendentale și algebrice, M., 1952.

Marea Enciclopedie Sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică. 1969-1978 .

Vedeți ce este „numărul transcendental” în alte dicționare:

Un număr care nu satisface nicio ecuație algebrică cu coeficienți întregi. Numerele transcendentale sunt: ​​numărul??3,14159...; logaritmul zecimal al oricărui număr întreg care nu este reprezentat de unități urmate de zerouri; numărul e=2,71828... etc... Dicţionar enciclopedic mare

- (din latinescul transcendere a trece, depăși) este un număr real sau complex care nu este algebric, cu alte cuvinte, un număr care nu poate fi rădăcina unui polinom cu coeficienți întregi. Cuprins 1 Proprietăți 2 ... ... Wikipedia

Un număr care nu satisface nicio ecuație algebrică cu coeficienți întregi. Numerele transcendentale sunt: ​​numărul π = 3,14159...; logaritmul zecimal al oricărui număr întreg care nu este reprezentat de unități urmate de zerouri; numărul e \u003d 2,71828 ... și altele ... Dicţionar enciclopedic

Un număr care nu satisface nicio algebră. ecuație cu coeficienți întregi. Cuprinzând: numărul PI = 3,14159...; logaritmul zecimal al oricărui număr întreg care nu este reprezentat de unități urmate de zerouri; numărul e \u003d 2,71828 ... și altele ... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Un număr care nu este rădăcina niciunui polinom cu coeficienți întregi. Domeniul de definire a unor astfel de numere este zerourile numerelor reale, complexe și raditice. Existența și construcțiile explicite ale părților reale au fost fundamentate de J. Liouville... ... Enciclopedie matematică

O ecuație care nu este algebrică. De obicei, acestea sunt ecuații care conțin funcții exponențiale, logaritmice, trigonometrice, trigonometrice inverse, de exemplu: O definiție mai strictă este: O ecuație transcendentală este o ecuație ... Wikipedia

Un număr aproximativ egal cu 2.718, care se găsește adesea în matematică și știință. De exemplu, atunci când o substanță radioactivă se descompune după timpul t, rămâne o fracție egală cu e kt din cantitatea inițială a substanței, unde k este un număr,... ... Enciclopedia lui Collier

E este o constantă matematică, baza logaritmului natural, un număr irațional și transcendental. Uneori, numărul e se numește numărul Euler (a nu se confunda cu așa-numitele numere Euler de primul fel) sau numărul Napier. Notat cu litera latină minusculă „e”.... ... Wikipedia

E este o constantă matematică, baza logaritmului natural, un număr irațional și transcendental. Uneori, numărul e se numește numărul Euler (a nu se confunda cu așa-numitele numere Euler de primul fel) sau numărul Napier. Notat cu litera latină minusculă „e”.... ... Wikipedia

Pe linia reală, pe lângă numerele algebrice, mai există o mulțime, a cărei putere coincide cu puterea întregii linii - acesta este mulțimea numerelor transcendentale.

Definiție 6 : Un număr care nu este algebric se numește transcendent, adică un număr transcendental (lat. transcendere - a trece, a depăși) este un număr real sau complex care nu poate fi rădăcina unui polinom (nu identic egal cu zero) cu coeficienți raționali

Proprietățile numerelor transcendentale:

· Mulțimea numerelor transcendentale este continuă.

· Fiecare număr real transcendental este irațional, dar inversul nu este adevărat. De exemplu, un număr este irațional, dar nu transcendent: este rădăcina unui polinom (și, prin urmare, este algebric).

· Ordinea în mulțimea numerelor reale transcendentale este izomorfă cu ordinea în mulțimea numerelor iraționale.

· Măsura iraționalității aproape oricărui număr transcendental este 2.

Existența numerelor transcendentale a fost dovedită pentru prima dată de Liouville. Dovada lui Lauville a existenței numerelor transcendentale este eficientă; pe baza următoarei teoreme, care este o consecință directă a teoremei 5, se construiesc exemple concrete de numere transcendentale.

Teorema 6 [3, p. 54].: Lăsa - numar real. Dacă pentru orice natural n 1 și orice real c>0 există cel puțin o fracție rațională astfel încât (11), atunci - număr transcendental.

Dovada: Dacă era algebrică, atunci ar exista (Teorema 5) un întreg pozitiv n si reale c>0 astfel încât pentru orice fracție ar fi, iar acest lucru contrazice ceea ce este adevărat (11). Presupunerea este că număr algebric, adică număr transcendental. Teorema a fost demonstrată.

Numere pentru care, pentru orice n 1 și c>0 inegalitatea (11) are o soluție în numere întregi AȘi b sunt numite numere Liouville transcendentale.

Acum avem un mijloc de a construi numere reale care nu sunt algebrice. Este necesar să se construiască un număr care să permită aproximări de ordin arbitrar ridicat.

Exemplu:

A- număr transcendental.

Să luăm un real arbitrar n 1 și c>0. Lasă unde k ales atât de mare încât kn, Apoi

Din moment ce pentru arbitrar n 1 și c>0 puteți găsi o fracție astfel încât atunci este un număr transcendental.

Să setăm numărul sub forma unei fracții zecimale infinite: unde

Apoi, oriunde, . Astfel, și asta înseamnă că permite aproximări de ordin arbitrar înalt și, prin urmare, nu poate fi algebric.

În 1873, C. Hermite a dovedit transcendența numărului e, bazele logaritmilor naturali.

Pentru a demonstra transcendența unui număr e sunt necesare două leme.

Lema 1. Dacă g(X) este un polinom cu coeficienți întregi, atunci pentru oricare kN toți coeficienții săi k- o derivată g (k) (X) se împart în k!.

Dovada. Din moment ce operatorul d/dx liniar, atunci este suficient să verificați afirmația lemei numai pentru polinoame de formă g(X)=X s, s 0.

Dacă k>s, Acea g (k) (X)= 0 și k!|0.

Dacă k< s , Acea

coeficientul binom este un întreg și g(k) ( X) este din nou împărțit la k! complet.

Lema 2 (identitatea Ermite). Lăsa f(X) este un polinom de grad arbitrar k cu coeficienți reali,

F( X)=f(X)+f" (X)+f"(X)+ … +f (k) (X) este suma tuturor derivatelor sale. Apoi, pentru orice real (și chiar complex, dar nu vom avea nevoie de asta pentru moment) X Terminat:

Dovada. Să integrăm pe părți:

Integrala este din nou integrată de părți și așa mai departe. Repetând această procedură k+1 dată, obținem:

Teorema 7 (Hermite, 1873). Număr e transcendental.

Dovada. Să demonstrăm această afirmație prin contradicție. Să presupunem că e - număr algebric, puteri m. Apoi

A m e m + … +A 1 e+A 0 =0

pentru unele naturale m iar unele întregi A m ,… A 1 , A 0 . Să substituim în schimb identitatea Ermite (12). Xîntreg k care ia valori de la 0 la m; înmulțiți fiecare egalitate

după spusele A k, apoi adună-le pe toate. Primim:

Deoarece (aceasta este presupunerea noastră contrară), se dovedește că pentru orice polinom f(X) egalitatea trebuie îndeplinită:

Prin alegerea adecvată a polinomului f(X) puteți face din partea stângă a (13) un număr întreg diferit de zero, iar partea dreaptă va fi între zero și unu.

Să considerăm un polinom unde n va fi stabilit ulterior ( nN, Și n mare).

Numărul 0 este rădăcina multiplicității n-1 polinom f(X), numerele 1, 2,…, m- rădăcinile multiplicității n, prin urmare:

f (l) (0)=0, l=1,2,…, n-2

f(n-1) (0)=(-1) mn (m!) n

f (l) (k)=0, l=0,1, …, n-1; k=1,2,…, m

Luați în considerare g( X)=X n-1 (X-1) n (X-2) n … (x-m) n - un polinom asemănător cu f(X), dar cu coeficienți întregi. După lema 1, coeficienții g ( l) (X) - numere întregi divizibile cu l!, prin urmare, când l< n , derivata g ( l) (X) toți coeficienții sunt numere întregi divizibile cu n, deoarece g ( l) (X) se obține din g (l) ( X) prin împărțirea numai la ( n-1)!. Acesta este motivul pentru care

Unde A- un întreg potrivit, iar deasupra semnului sumei există un număr ( m+1) n-1 - gradul de polinom f(X) și, deși este posibil să se însumeze până la infinit, derivate nenule ale f(X) exact atât.

De asemenea

Unde B k- numere întregi potrivite, k = 1, 2,…, m.

Lasă-l acum nN - orice număr întreg care îndeplinește următoarele condiții:

Luați în considerare din nou egalitatea (13):

În suma din stânga, toți termenii sunt numere întregi și A k F(k) la k = 1, 2,…, m impartit de n, A A 0 F(0) activat n nu împărtășește. Aceasta înseamnă că întreaga sumă, fiind un număr întreg, este n nedivizibil, adică nu este zero. Prin urmare,

Să estimăm acum partea dreaptă a egalității (13). Este clar că pe segment și deci pe acest segment

unde sunt constantele C 0 și C 1 nu depind de n. Se știe că

prin urmare, pentru suficient de mare n, partea dreaptă a lui (13) este mai mică de unu, iar egalitatea (13) este imposibilă.

În 1882, Lindemann a demonstrat teorema transcendenței puterii e cu un exponent algebric diferit de zero, dovedind astfel transcendența numărului.

Teorema 8 (Lindeman) [3, pagina 58]. Dacă este un număr algebric și, atunci numărul este transcendental.

Teorema lui Lindemann permite construirea numerelor transcendentale.

Exemple:

Din teorema Lindemann rezultă, de exemplu, că numărul ln 2 - transcendental, deoarece 2=e ln 2, iar numărul 2 este algebric, iar dacă numărul ln 2 era algebric, apoi după lemă numărul 2 ar fi un număr transcendental.

În general, pentru orice algebric, ln prin teorema lui Lindemann este transcendentală. Dacă este transcendental, atunci ln nu neapărat un număr transcendental, de exemplu ln e =1

Se pare că în liceu am văzut o mulțime de numere transcendentale - ln 2,ln 3,ln() și așa mai departe.

De asemenea, rețineți că numerele transcendentale sunt numere de forma oricărui număr algebric diferit de zero (conform teoremei Lindemann-Weierstrass, care este o generalizare a teoremei Lindemann). De exemplu, numerele sunt transcendentale.

Dacă sunt transcendentale, atunci nu neapărat numerele transcendentale, de exemplu,

Dovada teoremei lui Lindemann se poate face folosind identitatea lui Hermite, similar cu modul în care s-a dovedit transcendența, cu unele complicații în transformări. Exact așa a demonstrat Lindemann însuși. Dar această teoremă poate fi demonstrată într-un mod diferit, așa cum a fost făcută de matematicianul sovietic A.O. Gelfond, ale cărui idei au condus la mijlocul secolului al XX-lea la rezolvarea celei de-a șaptea probleme a lui Hilbert.

În 1900, la al II-lea Congres Internațional al Matematicienilor, Hilbert, printre problemele pe care le-a formulat, a formulat a șaptea problemă: „Dacă, este adevărat că numerele de forma în care, - algebric și - irațional sunt numere transcendentale?" . Această problemă a fost rezolvată în 1934 de către Gelfond, care a demonstrat că toate astfel de numere sunt într-adevăr transcendentale.

Dovada transcendenței valorilor funcției exponențiale, propusă de Gelfond, se bazează pe utilizarea metodelor de interpolare.

Exemple:

1) Pe baza teoremei lui Gelfond, se poate demonstra, de exemplu, că un număr este transcendental, pentru că dacă ar fi irațional algebric, atunci, întrucât acel număr 19, conform teoremei lui Gelfond, ar fi transcendental, ceea ce nu este adevărat.

2) Lasă AȘi b- numere irationale. Poate un număr A b fii rațional?

Desigur, folosind a șaptea problemă a lui Hilbert, această problemă nu este greu de rezolvat. Într-adevăr, numărul este transcendent (pentru că este un număr irațional algebric). Dar toate numerele raționale sunt algebrice, deci iraționale. Pe de alta parte,

Deci, am prezentat pur și simplu aceste numere: Cu toate acestea, această problemă poate fi rezolvată și fără nicio referire la rezultatul lui Gelfond. Puteți raționa în felul următor: luați în considerare un număr. Dacă acest număr este rațional, atunci problema este rezolvată, așa AȘi b găsite. Dacă este irațional, atunci luăm și.

Așadar, am prezentat două perechi de numere AȘi b, astfel încât una dintre aceste perechi satisface condiția dată, dar nu știe care dintre ele. Dar nu a fost nevoie să prezinți o astfel de pereche! Astfel, această soluție este, într-un fel, o teoremă de existență.

care, când a = 1, ne-a servit la determinarea sumei progresiei geometrice. Presupunând că teorema lui Gauss a fost demonstrată, presupunem că a = a 1 este rădăcina ecuației (17), astfel încât

	) = a n + a		un n−1			un n−2		a 1 + a

Scăzând această expresie din f(x) și rearanjand termenii, obținem identitatea

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x − a1).

(21) Folosind acum formula (20), putem izola factorul x − a 1 din fiecare termen și apoi să-l scoatem din paranteze, iar gradul polinomului rămas între paranteze va deveni cu unul mai mic. Regrupând din nou termenii, obținem identitatea

f(x) = (x − a1 )g(x),

unde g(x) este un polinom de grad n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0 .

(Nu ne interesează să calculăm aici coeficienții notați cu b.) Să aplicăm în continuare același raționament polinomului g(x). După teorema lui Gauss, există o rădăcină a2 a ecuației g(x) = 0, deci

g(x) = (x − a2 )h(x),

unde h(x) este un nou polinom de gradul deja n − 2. Repetând aceste argumente n − 1 ori (desigur, aplicarea principiului inducției matematice este implicită), ajungem în sfârșit la descompunere

f(x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x - an).

Din identitatea (22) rezultă nu numai că numerele complexe a1, a2,

An sunt rădăcinile ecuației (17), dar și acea ecuație (17) nu are alte rădăcini. Într-adevăr, dacă numărul y ar fi rădăcina ecuației (17), atunci din (22) ar urma

f(y) = (y − a1 )(y − a2 ) . . . (y − an ) = 0.

Dar am văzut (p. 115) că produsul numerelor complexe este zero dacă și numai dacă unul dintre factori este zero. Deci, unul dintre factorii y - ar este egal cu 0, adică y = ar, care este ceea ce trebuia stabilit.

§ 6.

1. Definiția și întrebările existenței. Un număr algebric este orice număr x, real sau imaginar, care satisface o ecuație algebrică de forma

an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0 (n > 1, an 6= 0),

130 SISTEM NUMERICAL MATEMATIC cap. II

unde numerele ai sunt numere întregi. Deci, de exemplu, numărul 2 este algebric, deoarece satisface ecuația

x2 − 2 = 0.

În același mod, orice rădăcină a oricărei ecuații cu coeficienți întregi de al treilea, al patrulea, al cincilea, orice grad și indiferent dacă este exprimată sau nu în radicali, este un număr algebric. Conceptul de număr algebric este o generalizare naturală a conceptului de număr rațional, care corespunde cazului particular n = 1.

Nu orice număr real este algebric. Aceasta rezultă din următoarea teoremă enunțată de Cantor: mulțimea tuturor numerelor algebrice este numărabilă. Deoarece mulțimea tuturor numerelor reale este de nenumărat, trebuie să existe în mod necesar numere reale care nu sunt algebrice.

Să indicăm una dintre metodele de recalculare a unui set de numere algebrice. Fiecare ecuație de forma (1) este asociată cu un număr întreg pozitiv

h = |an | + |an−1 | + . . . + |a1 | + |a0 | + n,

pe care o vom numi de dragul conciziei „înălțimea” ecuației. Pentru fiecare valoare fixă ​​a lui n, există doar un număr finit de ecuații de forma (1) cu înălțimea h. Fiecare dintre aceste ecuații are cel mult n rădăcini. Prin urmare, nu poate exista decât un număr finit de numere algebrice generate de ecuațiile de înălțime h; In consecinta, toate numerele algebrice pot fi aranjate sub forma unei siruri, enumerand mai intai cele generate de ecuatiile de inaltime 1, apoi cele de inaltime 2 etc.

Această dovadă că mulțimea numerelor algebrice este numărabilă stabilește existența numerelor reale care nu sunt algebrice. Astfel de numere sunt numite transcendentale (din latinescul transcendere - a trece, a depăși); Euler le-a dat acest nume pentru că „depășesc puterea metodelor algebrice”.

Dovada lui Cantor a existenței numerelor transcendentale nu este constructivă. Teoretic vorbind, ar fi posibil să se construiască un număr transcendental folosind o procedură diagonală efectuată pe o listă imaginară de expansiuni zecimale ale tuturor numerelor algebrice; dar o astfel de procedură este lipsită de orice semnificație practică și nu ar conduce la un număr a cărui expansiune într-o fracție zecimală (sau altă fracție) ar putea fi de fapt scrisă. Cele mai interesante probleme asociate cu numerele transcendentale implică demonstrarea faptului că anumite numere specifice (aceasta include numerele p și e, despre care vezi pp. 319–322) sunt transcendentale.

NUMERE ALGEBRICE ȘI TRANSCENDENTALE

**2. Teorema lui Liouville și construcția numerelor transcendentale. Dovada existenței numerelor transcendentale, chiar înainte de Cantor, a fost dată de J. Liouville (1809–1862). Face posibilă construirea efectivă a exemplelor de astfel de numere. Dovada lui Liouville este mai dificilă decât cea a lui Cantor și acest lucru nu este surprinzător, deoarece construirea unui exemplu este, în general, mai dificilă decât demonstrarea existenței. Când prezentăm mai jos demonstrația lui Liouville, avem în vedere doar cititorul pregătit, deși cunoștințele de matematică elementară sunt complet suficiente pentru a înțelege demonstrația.

După cum a descoperit Liouville, numerele algebrice iraționale au proprietatea că nu pot fi aproximate de numere raționale cu un grad foarte mare de precizie decât dacă numitorii fracțiilor de aproximare sunt considerați a fi extrem de mari.

Să presupunem că numărul z satisface o ecuație algebrică cu coeficienți întregi

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn = 0 (an 6= 0),

dar nu satisface aceeaşi ecuaţie de grad inferior. Apoi

ei spun că x însuși este un număr algebric de grad n. De exemplu,

numărul z = 2 este un număr algebric de gradul 2, deoarece satisface ecuația x2 − 2 = 0√ de gradul 2, dar nu satisface ecuația de gradul I; numărul z = 3 2 este de grad 3, întrucât satisface ecuația x3 − 2 = 0, dar nu satisface (cum vom arăta în capitolul III) o ecuație de grad inferior. Număr algebric de grad n > 1

nu poate fi rațional, deoarece numărul rațional z = p q satisface

satisface ecuația qx − p = 0 de gradul 1. Fiecare număr irațional z poate fi aproximat cu orice grad de precizie folosind un număr rațional; aceasta înseamnă că puteți specifica întotdeauna o succesiune de numere raționale

p 1 , p 2 , . . .

q 1 q 2

cu numitori în creștere nelimitată, care are propriile sale

acea

p r → z. qr

Teorema lui Liouville afirmă: indiferent de numărul algebric z de gradul n > 1, acesta nu poate fi aproximat prin raționalizare.

Pentru numitori suficient de mari, inegalitatea este valabilă în mod necesar

z - p q			> q n1 +1 .

SISTEM NUMERICAL MATEMATIC

Vom da o demonstrație a acestei teoreme, dar mai întâi vom arăta cum poate fi folosită pentru a construi numere transcendentale. Luați în considerare numărul

z = a1 10−1! + a2 · 10−2! + a3 · 10−3! + . . . + am · 10−m! + . . . = = 0.a1 a2 000a3 000000000000000000a4 000 . . . ,

unde ai denotă numere arbitrare de la 1 la 9 (cel mai simplu mod ar fi să setați toate ai egale cu 1), iar simbolul n!, ca de obicei (vezi pagina 36), denotă 1 · 2 · . . . · n. O proprietate caracteristică a expansiunii zecimale a unui astfel de număr este aceea că grupurile de zerouri care cresc rapid în lungime alternează în el cu cifre individuale, altele decât zero. Să notăm cu zm fracția zecimală finală obținută atunci când în expansiune luăm toți termenii până la am · 10−m! inclusiv. Apoi obținem inegalitatea

Să presupunem că z ar fi un număr algebric de grad n. Apoi, presupunând în inegalitatea Liouville (3) p q = zm = 10 p m! , trebuie sa avem

|z − zm | > 10 (n+1)m!

pentru valori suficient de mari ale m. Comparând ultima inegalitate cu inegalitatea (4) dă

10 (n+1)m!		10 (m+1)!			10 (m+1)!−1

ceea ce presupune (n + 1)m! > (m + 1)! − 1 pentru m suficient de mare. Dar acest lucru nu este adevărat pentru valorile lui m mai mari decât n (lăsați cititorul să-și dea osteneala să dea o dovadă detaliată a acestei afirmații). Am ajuns la o contradicție. Deci, numărul z este transcendental.

Rămâne de demonstrat teorema lui Liouville. Să presupunem că z este un număr algebric de grad n > 1 care satisface ecuația (1), astfel încât

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn ).

Împărțind ambele părți la zm − z și folosind formula algebrică

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

primim:

	f(zm)	A1 + a2 (zm + z) + a3 (zm 2 + zm z + z2 ) + . . .
	zm − z
		An (zm n−1 + . . . + zn−1). (6)

NUMERE ALGEBRICE ȘI TRANSCENDENTALE

Deoarece zm tinde spre z, atunci pentru m suficient de mare numărul rațional zm va diferi de z cu mai puțin de unu. Prin urmare, pentru m suficient de mare, putem face următoarea estimare aproximativă:

	f(zm)		< |a1 | + 2|a2 |(|z| + 1) + 3|a3 |(|z| + 1)2
zm − z

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

În plus, numărul M din dreapta este constant, deoarece z nu se modifică în timpul demonstrației. Să alegem acum m atât de mare încât

fracția z m = p m are numitor q m era mai mare decât M; Apoi qm

|z − zm | >	|f(zm )|			|f(zm )|

|f(zm)| =							−q n
							1 p +. . . + a
Număr rațional zm =			nu poate fi rădăcina ecuației

de atunci s-ar putea izola factorul (x − zm) din polinomul f(x), și, prin urmare, z ar satisface o ecuație de grad mai mică decât n. Deci, f(zm) 6= 0. Dar numărătorul din partea dreaptă a egalității (9) este un număr întreg și, prin urmare, în valoare absolută este cel puțin egal cu unu. Astfel, dintr-o comparaţie a relaţiilor (8) şi (9) rezultă că

|z − zm | >
					qn+1

tocmai conţinutul teoremei indicate.

În ultimele decenii, cercetările privind posibilitatea aproximării numerelor algebrice cu numere raționale au avansat mult mai departe. De exemplu, matematicianul norvegian A. Thue (1863–1922) a descoperit că în inegalitatea Liouville (3) exponentul n + 1 poate fi înlocuit cu un exponent mai mic n 2 + 1.

K. L. Siegel a arătat că este posibil să luați unul și mai mic (și mai mic

pentru n mai mare indicatorul este 2 n.

Numerele transcendentale au fost întotdeauna un subiect care a atras atenția matematicienilor. Dar până relativ recent, dintre numerele care sunt interesante în sine, foarte puține erau cunoscute al căror caracter transcendental fusese stabilit. (Din transcendența numărului p, care va fi discutată în capitolul III, rezultă că este imposibil să cuadratrizați cercul folosind o riglă și o busolă.) În discursul său la Congresul Internațional de Matematică de la Paris din 1900, David Hilbert a propus treizeci matematice

ALGEBRA MULTILOR

probleme care permiteau o formulare simplă, unele chiar destul de elementare și populare, dintre care nici una nu a fost doar rezolvată, dar nici măcar nu părea capabilă să fie rezolvată prin mijloacele matematicii din acea epocă. Aceste „probleme Hilbert” au avut o puternică influență stimulatoare pe parcursul perioadei ulterioare de dezvoltare a matematicii. Aproape toate au fost rezolvate treptat, iar în multe cazuri soluția lor a fost asociată cu succese clar exprimate în sensul dezvoltării unor metode mai generale și mai profunde. O problemă care părea destul de fără speranță a fost

dovada că numărul

este transcendent (sau cel puțin irațional). Timp de trei decenii nu a existat nici măcar un indiciu de o asemenea abordare a problemei din partea nimănui care să deschidă orice speranță de succes. În cele din urmă, Siegel și, independent de el, tânărul matematician rus A. Gelfond au descoperit noi metode pentru a demonstra transcendența multor

numere care contează în matematică. În special, a fost stabilit

transcendența nu numai a numărului Hilbert 2 2, ci și a întregii clase destul de extinse de numere de forma ab, unde a este un număr algebric diferit de 0 și 1, iar b este un număr algebric irațional.

ANEXĂ LA CAPITOLUL II

Algebra multimilor

1. Teoria generală. Conceptul de clasă, sau de colecție sau de un set de obiecte este unul dintre cele mai fundamentale în matematică. O mulțime este definită de o proprietate („atribut”) A, pe care fiecare obiect în cauză trebuie să o aibă sau nu; acele obiecte care au proprietatea A formează mulțimea A. Astfel, dacă luăm în considerare numerele întregi și proprietatea lui A este „a fi prim”, atunci mulțimea corespunzătoare A este formată din toate numerele prime 2, 3, 5, 7, . . .

Teoria matematică a mulțimilor pornește din faptul că din mulțimi se pot forma noi mulțimi folosind anumite operații (la fel cum se obțin numere noi din numere prin operațiile de adunare și înmulțire). Studiul operațiilor pe mulțimi constituie subiectul „algebrei de mulțimi”, care are multe în comun cu algebra numerică obișnuită, deși în anumite privințe diferă de aceasta. Faptul că metodele algebrice pot fi aplicate la studiul obiectelor nenumerice, cum ar fi mulțimile, este ilustrat de

ALGEBRA MULTILOR

arată o mare generalitate a ideilor matematicii moderne. Recent a devenit clar că algebra seturilor aruncă o lumină nouă asupra multor domenii ale matematicii, de exemplu, teoria măsurării și teoria probabilității; este utilă şi în sistematizarea conceptelor matematice şi clarificarea legăturilor lor logice.

În cele ce urmează, voi desemna un anumit set constant de obiecte, a căror natură este indiferentă și pe care le putem numi multimea universală (sau universul raționamentului) și

A, B, C,. . . vor exista unele submulțimi ale lui I. Dacă I ​​este mulțimea tuturor numerelor naturale, atunci A, să zicem, poate desemna mulțimea tuturor numerelor pare, B mulțimea tuturor numerelor impare, C mulțimea tuturor numerelor prime etc. Dacă I ​​desemnează ansamblul tuturor punctelor din plan, atunci A poate fi un set de puncte în interiorul unui cerc, B poate fi un set de puncte în interiorul altui cerc etc. Este convenabil pentru noi să includem I însuși precum și un „ gol” set care nu conține niciun element. Scopul urmărit de o astfel de extindere artificială este păstrarea poziţiei că fiecărei proprietăţi A îi corespunde un anumit set de elemente din I care au această proprietate. Dacă A este o proprietate universal valabilă, un exemplu al cărei exemplu (în cazul numerelor) este proprietatea de a satisface egalitatea trivială x = x, atunci submulțimea corespunzătoare a lui I va fi eu însuși, deoarece fiecare element are o astfel de proprietate; pe de altă parte, dacă A este un fel de proprietate internă contradictorie (cum ar fi x 6 = x), atunci submulțimea corespunzătoare nu conține niciun element, este „gol” și este notat cu simbolul.

Ei spun că o mulțime A este o submulțime a unei mulțimi B, pe scurt, „A este în B” sau „B conține A”, dacă nu există niciun element în mulțimea A care să nu fie și în mulțimea B. Acest lucru relatia corespunde notatiei

A B sau B A.

De exemplu, mulțimea A tuturor numerelor întregi divizibile cu 10 este o submulțime a mulțimii B a tuturor numerelor întregi divizibile cu 5, deoarece fiecare număr divizibil cu 10 este de asemenea divizibil cu 5. Relația A B nu exclude relația B A. Dacă și asta și asta, atunci

Aceasta înseamnă că fiecare element al lui A este, de asemenea, un element al lui B și invers, astfel încât mulțimile A și B conțin exact aceleași elemente.

Relația A B dintre mulțimi în multe privințe seamănă cu relația a 6 b dintre numere. În special, notăm următoarele

ALGEBRA MULTILOR

următoarele proprietăți ale acestei relații:

1) A A.

2) Dacă A B și B A, atunci A = B.

3) Dacă A B și B C, atunci A C.

Din acest motiv, relația A B este uneori numită „relație de ordine”. Principala diferență dintre relația luată în considerare și relația a 6 b dintre numere este aceea că între oricare două numere (reale) date a și b, cel puțin una dintre relațiile a 6 b sau b 6 a se realizează în mod necesar, în timp ce pentru relația A B dintre seturi o afirmație similară este falsă. De exemplu, dacă A este o mulțime formată din numerele 1, 2, 3,

iar B este o mulțime formată din numerele 2, 3, 4,

atunci nu se ține nici relația A B și nici relația B A. Din acest motiv, submulțimile A, B, C, . . . mulţimile I sunt „parţial ordonate”, în timp ce numerele reale a, b, c, . . .

formează un set „complet ordonat”.

De remarcat, de altfel, că din definiția relației A B rezultă că, oricare ar fi submulțimea A a mulțimii I,

Proprietatea 4) poate părea oarecum paradoxală, dar dacă vă gândiți bine, logic corespunde strict sensului exact al definiției semnului. De fapt, relația A ar fi doar încălcată

V în cazul în care mulțimea goală conținea un element care nu ar fi conținut în A; dar din moment ce mulţimea goală nu conţine deloc elemente, aceasta nu poate fi, oricare ar fi A.

Definim acum două operații pe mulțimi care au în mod formal multe dintre proprietățile algebrice de adunare și înmulțire a numerelor, deși în conținutul lor interior sunt complet diferite de aceste operații aritmetice. Fie A și B vreo două mulțimi. Unirea, sau „suma logică”, a lui A și B este înțeleasă ca mulțime formată din acele elemente care sunt conținute fie în A, fie în

V B (inclusiv acele elemente conținute atât în ​​A cât și în B). Acest set este notat cu A + B. 1 Prin „intersecția” sau „produsul logic” a lui A și B se înțelege o mulțime formată din acele elemente conținute atât în ​​A cât și în B. Această mulțime se notează AB.2

Printre proprietățile algebrice importante ale operațiilor A + B și AB enumeram următoarele. Cititorul va putea verifica validitatea acestora pe baza definiției operațiunilor în sine:

	A + (B + C) = (A + B) + C. 9)
	A(B + C) = AB + AC.		A + (BC) = (A + B)(A + C).
	Relația A B este echivalentă cu fiecare dintre cele două relații

Verificarea tuturor acestor legi este o chestiune de cea mai elementară logică. De exemplu, regula 10) spune că mulțimea de elemente conținută fie în A, fie în A este tocmai mulțimea A; regula 12) prevede că mulțimea acelor elemente care sunt conținute în A și în același timp conținute fie în B, fie în C coincide cu mulțimea elementelor care sunt fie conținute simultan în A și B, fie conținute simultan în A și C. Raționamentul logic folosit în demonstrarea regulilor de acest fel este ilustrat convenabil dacă suntem de acord să descriem mulțimile A, B, C, . . . sub forma unor figuri pe plan si vom avea mare grija sa nu ratam nici una dintre posibilitatile logice care apar cand vine vorba de prezenta elementelor comune a doua multimi sau, dimpotriva, de prezenta intr-un singur set de elemente care sunt neconţinut în celălalt.

ALGEBRA MULTILOR

Cititorul a atras, fără îndoială, atenția asupra faptului că legile 6), 7), 8), 9) și 12) sunt identice din exterior cu binecunoscutele legi comutative, asociative și distributive ale algebrei obișnuite. Rezultă că toate regulile algebrei obișnuite care decurg din aceste legi sunt valabile și în algebra mulțimilor. În schimb, legile 10), 11) și 13) nu au analogi în algebra obișnuită și dau algebrei multime o structură mai simplă. De exemplu, formula binomială din algebra mulțimilor se reduce la cea mai simplă egalitate

(A + B)n = (A + B) · (A + B) . . . (A + B) = A + B,

care rezultă din Legea 11). Legile 14), 15) și 17) spun că proprietățile mulțimilor și I în raport cu operațiile de unire și intersecție a mulțimilor sunt foarte asemănătoare cu proprietățile numerelor 0 și 1 în raport cu operațiile de acțiuni numerice de adunare și multiplicare. Dar legea 16) nu are analog în algebra numerică.

Rămâne de definit încă o operație în algebra seturilor. Fie A o oarecare submultime a multimii universale I. Atunci complementul lui A in I este multimea tuturor elementelor lui I care nu sunt continute in A. Pentru aceasta multime introducem notatia A0 . Deci, dacă I ​​este mulțimea tuturor numerelor naturale și A este mulțimea tuturor numerelor prime, atunci A0 este mulțimea formată din toate numerele compuse și numărul 1. Operația de tranziție de la A la A0 , pentru care nu există analog în algebra obișnuită, are următoarele proprietăți:

	A + A0 = I.		AA0 = .
	0 = I.		I0 = .

23) A 00 = A.

24) Raportul A B este echivalent cu raportul B 0 A0 .

25) (A + B)0 = A0 B0 . 26) (AB)0 = A0 + B0.

Lăsăm din nou verificarea acestor proprietăți în seama cititorului.

Legile 1)–26) sunt baza algebrei mulțimilor. Ei au proprietatea remarcabilă a „dualității” în următorul sens:

Dacă într-una din legile 1)–26) înlocuim corespunzătoare

(în fiecare dintre aparițiile lor), atunci rezultatul este din nou una dintre aceleași legi. De exemplu, legea 6) intră în legea 7), 12) - în 13), 17) - în 16), etc. Rezultă că fiecare teoremă care poate fi derivată din legile 1)–26) corespunde unei alte , teorema „dual” la acesta, care se obține de la primul prin intermediul permutărilor indicate de simboluri. De fapt, de la dovada

Ch. II ALGEBRA MULTILOR 139

a primei teoreme constă într-o aplicare succesivă (la diferite etape ale raționamentului) a unora dintre legile 1–26), apoi aplicarea legilor „duale” la etapele corespunzătoare va constitui o dovadă a teoremei „duale”. . (Pentru o „dualitate” similară în geometrie, vezi capitolul IV.)

2. Aplicare la logica matematică. Verificarea legilor algebrei multimilor sa bazat pe analiza sensului logic al relatiei A B si a operatiilor A + B, AB si A0 . Acum putem inversa acest proces și considerăm legile 1)–26) ca bază pentru „algebra logicii”. Să spunem mai precis: acea parte a logicii care privește mulțimile, sau, care este în esență aceeași, proprietățile obiectelor luate în considerare, poate fi redusă la un sistem algebric formal bazat pe legile 1)–26). „Universul convențional” logic definește mulțimea I; fiecare proprietate a lui A definește o mulțime A formată din acele obiecte din I care au acea proprietate. Regulile pentru traducerea terminologiei logice obișnuite în limbajul seturilor sunt clare din

următoarele exemple:
"Nici a, nici b"			(A + B)0, sau, ceea ce este același, A0 B0
„Nu este adevărat că atât A cât și B”			(AB)0 sau, ceea ce este același, A0 + B0
este B”, sau
„Dacă A atunci B”
„De la A urmează B”
„Unele A este un B”
„Nu A este un B”			AB =
„Unele A nu sunt B”			AB0 6=
„Nu există A”

În ceea ce privește algebrei multimelor, silogismul „Barbara” care denotă că „dacă fiecare A este un B și fiecare B este un C, atunci fiecare A este un C” ia forma simplă:

3) Dacă A B și B C, atunci A C.

În mod similar, „legea contradicției”, care afirmă că „un obiect nu poate avea și nu poate avea simultan o proprietate”, este scrisă astfel:

20) AA 0 = ,

A „Legea mijlocului exclus”, care spune că „un obiect trebuie fie să aibă, fie să nu aibă o anumită proprietate”, este scrisă:

19) A + A 0 = I.

ALGEBRA MULTILOR

Astfel, acea parte a logicii, care este exprimabilă în termeni de simboluri, +, · și 0 , poate fi tratată ca un sistem algebric formal, supus legilor 1)–26). Pe baza fuziunii dintre analiza logică a matematicii și analiza matematică a logicii, a fost creată o nouă disciplină - logica matematică, care se află în prezent în proces de dezvoltare rapidă.

Din punct de vedere axiomatic, faptul remarcabil că afirmațiile 1)–26), împreună cu toate celelalte teoreme ale algebrei mulțimilor, poate fi dedus logic din următoarele trei egalități:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0 )0 + (A0 + B)0 = A.

Rezultă că algebra mulțimilor poate fi construită ca o teorie pur deductivă, ca geometria euclidiană, pe baza acestor trei propoziții luate ca axiome. Dacă aceste axiome sunt acceptate, atunci operația AB și relația A B sunt definite în termeni de A + B și A0 :

	denotă mulțimea (A0 + B0 )0,
	B indică faptul că A + B = B.

Un exemplu complet diferit de sistem matematic în care sunt îndeplinite toate legile formale ale algebrei mulțimilor este dat de sistemul de opt numere 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: aici a + b denotă , de

prin definiție, cel mai mic multiplu comun al lui a și b, ab este cel mai mare divizor comun al lui a și b, a b este afirmația „b este divizibil cu a”, iar a0 este numărul 30 a . Su-

Existenta unor astfel de exemple a condus la studiul sistemelor algebrice generale care satisfac legile 27). Astfel de sisteme sunt numite „algebre booleene” după George Boole (1815–1864), un matematician și logician englez, a cărui carte O investigație a legilor gândirii a apărut în 1854.

3. Una dintre aplicațiile teoriei probabilităților. Algebra seturilor este strâns legată de teoria probabilității și ne permite să o privim într-o lumină nouă. Să luăm în considerare cel mai simplu exemplu: imaginați-vă un experiment cu un număr finit de rezultate posibile, despre care toate sunt considerate „la fel de posibile”. Un experiment poate consta, de exemplu, în extragerea unei cărți la întâmplare dintr-un pachet complet bine amestecat. Dacă notăm cu I setul tuturor rezultatelor unui experiment, iar A indică un subset al lui I, atunci probabilitatea ca rezultatul experimentului să aparțină submulțimii A este definită ca raport

p(A) = numărul de elemente ale lui A . numărul de elemente I

ALGEBRA MULTILOR

Dacă suntem de acord să notăm numărul de elemente dintr-o mulțime A prin n(A), atunci ultima egalitate poate fi dată sub forma

În exemplul nostru, presupunând că A este un subset de crose, obținem
unde n(A) = 13, n(I) = 52 și p(A) =

Ideile de algebrei multimi sunt relevate la calcularea probabilitatilor cand este necesar, cunoscand probabilitatile unor multimi, sa se calculeze probabilitatile altora. De exemplu, cunoscând probabilitățile p(A), p(B) și p(AB), puteți calcula probabilitatea p(A + B):

p(A + B) = p(A) + p(B) − p(AB).

Nu va fi greu să demonstrezi asta. Avem

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

întrucât elementele conținute simultan în A și B, adică elementele AB, sunt numărate de două ori la calcularea sumei n(A) + n(B), și, prin urmare, este necesar să se scadă n(AB) din această sumă pentru a calcula n(A + B) a fost produs corect. Apoi împărțind ambele părți ale egalității la n(I), obținem relația (2).

O formulă mai interesantă se obține dacă vorbim despre trei mulțimi A, B, C din I. Folosind relația (2), avem

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Legea (12) din paragraful precedent ne dă (A + B)C = AC + BC. Asta implică:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Înlocuind valoarea p[(A + B)C] și valoarea p(A + B) luată din (2) în relația obținută anterior, ajungem la formula de care avem nevoie:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Ca exemplu, luați în considerare următorul experiment. Trei numere 1, 2, 3 sunt scrise în orice ordine. Care este probabilitatea ca cel puțin una dintre cifre să fie în locul corect (din punct de vedere al numerotării)? Fie A setul de permutări în care numărul 1 se află pe primul loc, B setul de permutări în care numărul 2 se află pe locul doi, C setul de permutări în care numărul 3 se află pe locul trei. Trebuie să calculăm p(A + B + C). Este clar că

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

într-adevăr, dacă orice cifră este în locul potrivit, atunci există două posibilități de a rearanja celelalte două cifre dintr-un număr total de 3 · 2 · 1 = 6 posibile permutări a trei cifre. Mai departe,

Exercițiu. Deduceți formula corespunzătoare pentru p(A + B + C + D) și aplicați-o experimentului care implică 4 cifre. Probabilitatea corespunzătoare este 5 8 = 0,6250.

Formula generală pentru combinarea n mulţimi este

p(A1 + A2 +... + An) =
	p(Ai) −
			p(Ai Aj ) + p(Ai Aj Ak ) − . . . ± p(A1 A2 ... An), (4)
unde sunt personajele				denotă însumarea peste tot posibilul

combinații care conțin unul, doi, trei, . . . , (n − 1) litere din A1 , A2 , . . .

Un. Această formulă poate fi stabilită prin inducție matematică - în același mod în care formula (3) a fost derivată din formula (2).

Din formula (4) putem concluziona că dacă n cifre sunt 1, 2, 3, . . . , n sunt scrise în orice ordine, atunci probabilitatea ca cel puțin una dintre cifre să fie în locul corect este egală cu

pn = 1 −

iar ultimul termen este precedat de un semn + sau −, în funcție de faptul că n este par sau impar. În special, pentru n = 5 această probabilitate este egală cu

p5 = 1 − 2! + 3! - 4! + 5! = 30 = 0,6333. . .

Vom vedea în capitolul VIII că pe măsură ce n se apropie de infinit, expresia

1 1 1 1 Sn = 2! - 3! + 4! − . . . ±n!

tinde spre limita 1 e, a cărei valoare, cu cinci zecimale,

este egal cu 0,36788. Deoarece din formula (5) este clar că pn = 1 − Sn, rezultă că n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.