Lecție și prezentare pe tema: „Secvențe de numere. Progresie geometrică”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Ajutoare educaționale și simulatoare în magazinul online Integral pentru clasa a 9-a
Puteri și rădăcini Funcții și grafice

Băieți, astăzi ne vom familiariza cu un alt tip de progresie.
Tema lecției de astăzi este progresia geometrică.

Progresie geometrică

Definiție. O succesiune numerică în care fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu produsul celui precedent și un număr fix se numește progresie geometrică.
Să definim secvența noastră recursiv: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
unde b și q sunt anumite numere date. Numărul q se numește numitorul progresiei.

Exemplu. 1,2,4,8,16... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu unu și $q=2$.

Exemplu. 8,8,8,8... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu opt,
și $q=1$.

Exemplu. 3,-3,3,-3,3... Progresie geometrică în care primul termen este egal cu trei,
și $q=-1$.

Progresia geometrică are proprietățile monotoniei.
Dacă $b_(1)>0$, $q>1$,
atunci secvența crește.
Dacă $b_(1)>0$, $0 Secvența se notează de obicei sub forma: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

La fel ca într-o progresie aritmetică, dacă într-o progresie geometrică numărul de elemente este finit, atunci progresia se numește progresie geometrică finită.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Rețineți că, dacă o secvență este o progresie geometrică, atunci șirul de pătrate de termeni este, de asemenea, o progresie geometrică. În a doua secvență, primul termen este egal cu $b_(1)^2$, iar numitorul este egal cu $q^2$.

Formula pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice

Progresia geometrică poate fi specificată și sub formă analitică. Să vedem cum să facem asta:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Observăm cu ușurință modelul: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Formula noastră se numește „formula celui de-al n-lea termen al unei progresii geometrice”.

Să revenim la exemplele noastre.

Exemplu. 1,2,4,8,16... Progresie geometrică în care primul termen este egal cu unu,
și $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Exemplu. 16,8,4,2,1,1/2... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu șaisprezece și $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Exemplu. 8,8,8,8... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu opt și $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Exemplu. 3,-3,3,-3,3... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu trei și $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Exemplu. Având în vedere o progresie geometrică $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Se știe că $b_(1)=6, q=3$. Găsiți $b_(5)$.
b) Se știe că $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Găsiți n.
c) Se știe că $q=-2, b_(6)=96$. Găsiți $b_(1)$.
d) Se știe că $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Găsiți q.

Soluţie.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, deoarece $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Exemplu. Diferența dintre termenii al șaptelea și al cincilea al progresiei geometrice este 192, suma celor cinci și al șaselea termeni ale progresiei este 192. Aflați al zecelea termen al acestei progresii.

Soluţie.
Știm că: $b_(7)-b_(5)=192$ și $b_(5)+b_(6)=192$.
Mai știm: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Apoi:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Am primit un sistem de ecuații:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Echivalând ecuațiile noastre obținem:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Avem două soluții q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Înlocuiți secvențial în a doua ecuație:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ nicio soluție.
Am obținut că: $b_(1)=4, q=2$.
Să găsim al zecelea termen: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Suma unei progresii geometrice finite

Să avem o progresie geometrică finită. Să calculăm, la fel ca pentru o progresie aritmetică, suma termenilor săi.

Să fie dată o progresie geometrică finită: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Să introducem denumirea pentru suma termenilor săi: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
În cazul în care $q=1$. Toți termenii progresiei geometrice sunt egali cu primul termen, atunci este evident că $S_(n)=n*b_(1)$.
Să luăm acum în considerare cazul $q≠1$.
Să înmulțim suma de mai sus cu q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Notă:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Am obținut formula pentru suma unei progresii geometrice finite.

Exemplu.
Aflați suma primilor șapte termeni ai unei progresii geometrice al cărei prim termen este 4 și numitorul este 3.

Soluţie.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Exemplu.
Aflați al cincilea termen al progresiei geometrice care este cunoscut: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Soluţie.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341$ q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Proprietatea caracteristică a progresiei geometrice

Băieți, se dă o progresie geometrică. Să ne uităm la cei trei membri consecutivi ai săi: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Noi stim aia:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Apoi:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Dacă progresia este finită, atunci această egalitate este valabilă pentru toți termenii, cu excepția primului și ultimului.
Dacă nu se știe dinainte ce formă are șirul, dar se știe că: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Apoi putem spune cu siguranță că aceasta este o progresie geometrică.

O succesiune de numere este o progresie geometrică numai atunci când pătratul fiecărui membru este egal cu produsul celor două elemente adiacente ale progresiei. Nu uitați că pentru o progresie finită această condiție nu este îndeplinită pentru primul și ultimul termen.

Să ne uităm la această identitate: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ se numește media geometrică a numerelor a și b.

Modulul oricărui termen al unei progresii geometrice este egal cu media geometrică a celor doi termeni vecini ai săi.

Exemplu.
Găsiți x astfel încât $x+2; 2x+2; 3x+3$ au fost trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Soluţie.
Să folosim proprietatea caracteristică:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ și $x_(2)=-1$.
Să substituim succesiv soluțiile noastre în expresia originală:
Cu $x=2$ am obtinut sirul: 4;6;9 – o progresie geometrica cu $q=1.5$.
Pentru $x=-1$, obținem succesiunea: 1;0;0.
Răspuns: $x=2.$

Probleme de rezolvat independent

1. Aflați al optulea prim termen al progresiei geometrice 16;-8;4;-2….
2. Aflați al zecelea termen al progresiei geometrice 11,22,44….
3. Se știe că $b_(1)=5, q=3$. Găsiți $b_(7)$.
4. Se știe că $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Găsiți n.
5. Aflați suma primilor 11 termeni ai progresiei geometrice 3;12;48….
6. Găsiți x astfel încât $3x+4; 2x+4; x+5$ sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

O progresie geometrică este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero și fiecare termen ulterior este egal cu termenul anterior înmulțit cu același număr diferit de zero.

Conceptul de progresie geometrică

Progresia geometrică se notează b1,b2,b3, …, bn, ….

Raportul dintre orice termen al erorii geometrice și termenul anterior este egal cu același număr, adică b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Aceasta rezultă direct din definiția unei progresii aritmetice. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice. De obicei, numitorul unei progresii geometrice este notat cu litera q.

Suma unei progresii geometrice infinite pentru |q|<1

Una dintre modalitățile de a specifica o progresie geometrică este de a specifica primul său termen b1 și numitorul erorii geometrice q. De exemplu, b1=4, q=-2. Aceste două condiții definesc progresia geometrică 4, -8, 16, -32, ….

Dacă q>0 (q nu este egal cu 1), atunci progresia este o secvență monotonă. De exemplu, secvența, 2, 4,8,16,32, ... este o secvență crescătoare monoton (b1=2, q=2).

Dacă numitorul în eroarea geometrică este q=1, atunci toți termenii progresiei geometrice vor fi egali între ei. În astfel de cazuri, se spune că progresia este o secvență constantă.

Pentru ca o secvență de numere (bn) să fie o progresie geometrică, este necesar ca fiecare dintre membrii săi, începând de la al doilea, să fie media geometrică a membrilor învecinați. Adică, este necesar să se îndeplinească următoarea ecuație
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), pentru orice n>0, unde n aparține mulțimii numerelor naturale N.

Acum să punem (Xn) - o progresie geometrică. Numitorul progresiei geometrice q, și |q|∞).
Dacă notăm acum cu S suma unei progresii geometrice infinite, atunci se va aplica următoarea formulă:
S=x1/(1-q).

Să ne uităm la un exemplu simplu:

Aflați suma progresiei geometrice infinite 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….

Pentru a găsi S, folosim formula pentru suma unei progresii aritmetice infinite. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

O progresie geometrică este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero și fiecare termen ulterior este egal cu termenul anterior înmulțit cu același număr diferit de zero. Progresia geometrică se notează b1,b2,b3, …, bn, …

Proprietăți ale progresiei geometrice

Raportul dintre orice termen al erorii geometrice și termenul anterior este egal cu același număr, adică b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Aceasta rezultă direct din definiția unei progresii aritmetice. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice. De obicei, numitorul unei progresii geometrice este notat cu litera q.

Una dintre modalitățile de a specifica o progresie geometrică este de a specifica primul său termen b1 și numitorul erorii geometrice q. De exemplu, b1=4, q=-2. Aceste două condiții definesc progresia geometrică 4, -8, 16, -32, ….

Dacă q>0 (q nu este egal cu 1), atunci progresia este o secvență monotonă. De exemplu, secvența, 2, 4,8,16,32, ... este o secvență crescătoare monoton (b1=2, q=2).

Dacă numitorul în eroarea geometrică este q=1, atunci toți termenii progresiei geometrice vor fi egali între ei. În astfel de cazuri, se spune că progresia este o secvență constantă.

Formula pentru al n-lea termen al progresiei

Pentru ca o secvență de numere (bn) să fie o progresie geometrică, este necesar ca fiecare dintre membrii săi, începând de la al doilea, să fie media geometrică a membrilor învecinați. Adică, este necesar să se îndeplinească următoarea ecuație - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), pentru orice n>0, unde n aparține mulțimii numerelor naturale N.

Formula pentru al n-lea termen al progresiei geometrice este:

bn=b1*q^(n-1), unde n aparține mulțimii numerelor naturale N.

Să ne uităm la un exemplu simplu:

În progresia geometrică b1=6, q=3, n=8 găsiți bn.

Să folosim formula pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice.

Lecție pe tema „Progresie geometrică în scădere infinită”

Scopul lecției: introducerea elevilor într-un nou tip de succesiune – o progresie geometrică infinit descrescătoare.

Sarcini:

formularea unei idei inițiale a limitei unei secvențe numerice; cunoașterea unui alt mod de a converti fracții periodice infinite în fracții obișnuite folosind formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare;

dezvoltarea calităților intelectuale ale personalității școlarilor, cum ar fi gândirea logică, capacitatea de a face acțiuni evaluative și generalizarea;

stimularea activității, asistenței reciproce, colectivismului și interesului pentru subiect.

Echipament: clasa de calculatoare, proiector, ecran.

Tip de lecție: lecție - învățarea unui subiect nou.

În timpul orelor

eu . Org. moment. Mesaj despre subiectul și scopul lecției.

II . Actualizarea cunoștințelor elevilor.1. Verificarea temelor.

1) Verificarea formulelor de bază referitoare la progresiile aritmetice și geometrice. Doi elevi pregătesc note despre formule la tablă.

2) Restul elevilor o fac dictare matematică pe tema „Formulele sumei”.

Sarcini:

№1. Aflați suma primilor cinci termeni ai unei progresii aritmetice dacă primul său termen este 6 (prima opțiune), -20 (a doua opțiune), iar al cincilea termen este -6 (prima opțiune), 20 (a doua opțiune).

№2. Aflați suma primilor cinci termeni ai unei progresii aritmetice dacă primul său termen este -20 (prima opțiune), 6 (a doua opțiune), iar diferența este 10 (prima opțiune), -3 (a doua opțiune).

№3. Aflați suma primilor cinci termeni ai unei progresii geometrice dacă primul său termen este egal cu 1 (prima opțiune), -1 (a doua opțiune), iar numitorul este -2 (prima opțiune), 2 (a doua opțiune).

La sfârșitul dictatului, munca a doi elevi este verificată selectiv pentru evaluare, ceilalți efectuează un autotest folosind soluții gata făcute scrise pe clapele tablei.

Solutii:

Sarcini

1. Progresia aritmetică este dată de formula A n = 7 – 4 n. Găsi A 10 . (-33)

2. În progresie aritmetică A 3 = 7 Și A 5 = 1 . Găsi A 4 . (4)

3. În progresie aritmetică A 3 = 7 Și A 5 = 1 . Găsi A 17 . (-35)

4. În progresie aritmetică A 3 = 7 Și A 5 = 1 . Găsi S 17 . (-187)

5. Pentru progresie geometrică
găsiți al cincilea termen.

6. Pentru progresie geometrică
găsi n al-lea membru.

7. Exponenţial b 3 = 8 Și b 5 = 2 . Găsi b 4 . (4)

8. Exponenţial b 3 = 8 Și b 5 = 2 . Găsi b 1 Și q .

9. Exponenţial b 3 = 8 Și b 5 = 2 . Găsi S 5 . (62)

III . Învățarea unui subiect nou(demonstrație de prezentare).

Să considerăm un pătrat cu latura egală cu 1. Să desenăm un alt pătrat a cărui latură este jumătate din dimensiunea primului pătrat, apoi altul a cărui latură este jumătate din a doua, apoi următorul etc. De fiecare dată când latura noului pătrat este egală cu jumătate din cea precedentă.

Ca rezultat, am primit o succesiune de laturi ale pătratelor formând o progresie geometrică cu numitorul .

Și, ceea ce este foarte important, cu cât construim mai multe astfel de pătrate, cu atât latura pătratului va fi mai mică. De exemplu,

Acestea. Pe măsură ce numărul n crește, termenii progresiei se apropie de zero.

Folosind această figură, puteți lua în considerare o altă secvență.

De exemplu, succesiunea ariilor pătratelor:

. Și, din nou, dacă n crește la nesfârșit, apoi zona se apropie de zero cât de aproape doriți.

Să ne uităm la un alt exemplu. Un triunghi echilateral cu laturile egale cu 1 cm. Să construim următorul triunghi cu vârfurile în mijlocul laturilor primului triunghi, conform teoremei despre linia mediană a triunghiului - latura celui de-al doilea este egală cu jumătatea laturii primului, latura celui de-al treilea este egal cu jumătate din latura celui de-al 2-lea etc. Din nou obținem o succesiune de lungimi ale laturilor triunghiurilor.

la
.

Dacă luăm în considerare o progresie geometrică cu numitor negativ.

Apoi, din nou, cu un număr tot mai mare n termenii progresiei se apropie de zero.

Să fim atenți la numitorii acestor secvențe. Peste tot numitorii erau mai mici de 1 în valoare absolută.

Putem concluziona: o progresie geometrică va fi infinit descrescătoare dacă modulul numitorului său este mai mic de 1.

Lucru frontal.

Definiție:

Se spune că o progresie geometrică este infinit descrescătoare dacă modulul numitorului său este mai mic de unu.
.

Folosind definiția, puteți decide dacă o progresie geometrică este în scădere infinit sau nu.

Sarcină

Este succesiunea o progresie geometrică infinit descrescătoare dacă este dată de formula:

;
.

Soluţie:

. Vom găsi q .

;
;
;
.

această progresie geometrică este infinit în scădere.

b) această succesiune nu este o progresie geometrică infinit descrescătoare.

Să considerăm un pătrat cu latura egală cu 1. Împărțiți-l în jumătate, una dintre jumătăți în jumătate etc. Aricele tuturor dreptunghiurilor rezultate formează o progresie geometrică infinit descrescătoare:

Suma ariilor tuturor dreptunghiurilor obținute în acest fel va fi egală cu aria primului pătrat și egală cu 1.

Dar în partea stângă a acestei egalități se află suma unui număr infinit de termeni.

Să considerăm suma primilor n termeni.

Conform formulei pentru suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice, este egal cu .

Dacă n crește fără limită, atunci

sau
. De aceea
, adică
.

Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare există o limită de secvență S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

De exemplu, pentru progresie
,

Deoarece

Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare poate fi găsit folosind formula
.

III . Înțelegerea și consolidarea(finalizarea sarcinilor).

Sarcina numărul 2. Aflați suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, primul termen fiind 3 și al doilea termen fiind 0,3.

Soluţie:

Sarcina nr. 3. manual, p. 160, nr. 433(1)

Aflați suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare:

Soluţie:

Sarcina nr. 4. Scrieți fracția zecimală periodică infinită 0,(5) ca o fracție comună.

1a metoda. Fie x=0,(5)= 0,555... / 10 Metoda a 2-a. 0,(5)=0,555…=

Sarcina nr. 5. manual, p. 162, nr. 445(3) (soluție independentă)

Scrieți fracția zecimală periodică infinită 0,(12) ca o fracție comună.

Răspuns: 0,(12)= 4/33.

IV . Rezumând.

Cu ce ​​secvență v-ați familiarizat astăzi?

Definiți o progresie geometrică infinit descrescătoare.

Cum se demonstrează că o progresie geometrică este în scădere infinită?

Dați formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare.

V . Teme pentru acasă.

Matematica este ceea ceoamenii controlează natura și pe ei înșiși.

Matematicianul sovietic, academicianul A.N. Kolmogorov

Progresie geometrică.

Alături de problemele privind progresiile aritmetice, problemele legate de conceptul de progresie geometrică sunt frecvente și la examenele de admitere la matematică. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, trebuie să cunoașteți proprietățile progresiilor geometrice și să aveți bune abilități în utilizarea lor.

Acest articol este dedicat prezentării proprietăților de bază ale progresiei geometrice. Aici sunt oferite și exemple de rezolvare a problemelor tipice., împrumutat din sarcinile examenelor de admitere la matematică.

Să notăm mai întâi proprietățile de bază ale progresiei geometrice și să ne amintim cele mai importante formule și enunțuri, legate de acest concept.

Definiție. O succesiune de numere se numește progresie geometrică dacă fiecare număr, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Numărul se numește numitorul unei progresii geometrice.

Pentru progresie geometricăformulele sunt valabile

, (1)

Unde . Formula (1) se numește formula termenului general al unei progresii geometrice, iar formula (2) reprezintă proprietatea principală a unei progresii geometrice: fiecare termen al progresiei coincide cu media geometrică a termenilor săi învecinați și .

Notă, că tocmai din cauza acestei proprietăți progresia în cauză se numește „geometrică”.

Formulele (1) și (2) de mai sus sunt generalizate după cum urmează:

, (3)

Pentru a calcula suma primul membrii unei progresii geometricese aplică formula

Dacă notăm , atunci

Unde . Deoarece , formula (6) este o generalizare a formulei (5).

În cazul când și progresie geometricăeste în scădere infinită. Pentru a calcula sumadintre toți termenii unei progresii geometrice infinit descrescătoare, se folosește formula

. (7)

De exemplu , folosind formula (7) putem arăta, Ce

Unde . Aceste egalități se obțin din formula (7) cu condiția ca , (prima egalitate) și , (a doua egalitate).

Teorema. Daca atunci

Dovada. Daca atunci

Teorema a fost demonstrată.

Să trecem la considerarea unor exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Progresiune geometrică”.

Exemplul 1. Având în vedere: , și . Găsi .

Soluţie. Dacă aplicăm formula (5), atunci

Răspuns: .

Exemplul 2. Lăsați-l să fie. Găsi .

Soluţie. Deoarece și , folosim formulele (5), (6) și obținem un sistem de ecuații

Dacă a doua ecuație a sistemului (9) este împărțită la prima, apoi sau . De aici rezultă că . Să luăm în considerare două cazuri.

1. Dacă, atunci din prima ecuație a sistemului (9) avem.

2. Dacă , atunci .

Exemplul 3. Să , și . Găsi .

Soluţie. Din formula (2) rezultă că sau . De când , atunci sau .

După condiție. Cu toate acestea, prin urmare. Din moment ce şi atunci aici avem un sistem de ecuații

Dacă a doua ecuație a sistemului este împărțită la prima, atunci sau .

Deoarece, ecuația are o rădăcină adecvată unică. În acest caz, rezultă din prima ecuație a sistemului.

Ținând cont de formula (7), obținem.

Răspuns: .

Exemplul 4 Având în vedere: și . Găsi .

Soluţie. De atunci.

De când, atunci sau

Conform formulei (2) avem . În acest sens, din egalitatea (10) obținem sau .

Totuși, prin condiție, așadar.

Exemplul 5. Se știe că . Găsi .

Soluţie. Conform teoremei, avem două egalități

De când , atunci sau . Pentru că atunci .

Răspuns: .

Exemplul 6. Având în vedere: și . Găsi .

Soluţie.Ținând cont de formula (5), obținem

De atunci. De când , și , atunci .

Exemplul 7. Lăsați-l să fie. Găsi .

Soluţie. După formula (1) putem scrie

Prin urmare, avem sau . Se știe că și , prin urmare și .

Răspuns: .

Exemplul 8. Aflați numitorul unei progresii geometrice descrescătoare infinite dacă

Și .

Soluţie. Din formula (7) rezultăȘi . De aici și din condițiile problemei obținem un sistem de ecuații

Dacă prima ecuație a sistemului este la pătrat, și apoi împărțiți ecuația rezultată la a doua ecuație, apoi primim

Sau .

Răspuns: .

Exemplul 9. Găsiți toate valorile pentru care șirul , , este o progresie geometrică.

Soluţie. Să , și . Conform formulei (2), care definește proprietatea principală a unei progresii geometrice, putem scrie sau .

De aici obținem ecuația pătratică, ale căror rădăcini suntȘi .

Să verificăm: dacă, apoi , și ; dacă , atunci , și .

În primul caz avemși , iar în al doilea – și .

Răspuns: , .

Exemplul 10.Rezolvați ecuația

, (11)

unde si .

Soluţie. Partea stângă a ecuației (11) este suma unei progresii geometrice descrescătoare infinite, în care și , sub rezerva: și .

Din formula (7) rezultă, Ce . În acest sens, ecuația (11) ia forma sau . Rădăcină potrivită ecuația pătratică este

Răspuns: .

Exemplul 11. P succesiune de numere pozitiveformează o progresie aritmetică, A – progresie geometrică, ce legatura are cu . Găsi .

Soluţie. Deoarece succesiune aritmetică, Acea (proprietatea principală a progresiei aritmetice). Deoarece, apoi sau . Asta implică , că progresia geometrică are forma. Conform formulei (2), apoi scriem asta .

De când și , atunci . În acest caz, expresia ia forma sau . După condiție, deci din Eq.obținem o soluție unică la problema luată în considerare, adică .

Răspuns: .

Exemplul 12. Calculați Suma

. (12)

Soluţie. Înmulțiți ambele părți ale egalității (12) cu 5 și obțineți

Dacă scădem (12) din expresia rezultată, Acea

sau .

Pentru a calcula, înlocuim valorile în formula (7) și obținem . De atunci.

Răspuns: .

Exemplele de rezolvare a problemelor prezentate aici vor fi utile candidaților atunci când se pregătesc pentru examenele de admitere. Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a problemelor, legate de progresia geometrică, Puteți folosi tutoriale din lista de literatură recomandată.

1. Culegere de probleme de matematică pentru candidații la colegii / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir și Educația, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare din programa școlară. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.

3. Medynsky M.M. Un curs complet de matematică elementară în probleme și exerciții. Cartea 2: Secvențe de numere și progresii. – M.: Editus, 2015. – 208 p.

Mai ai întrebări?

Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.