Fie G=(p 0 =e, p 1, …, p r) un anumit grup de permutări definit pe mulțimea X = (1, 2, …, n) cu unitatea e=p 0 permutare identică. Să definim relația x~y punând x~y echivalent cu faptul că există p aparținând lui G(p(x)=y). Relația introdusă este o relație de echivalență, adică satisface trei axiome:

1) x~x;
2) x~y→y~x;
3) x~y&y~z→x~z;

Fie A o mulțime arbitrară.
Definiție: O relație binară δ=A*A este o relație de echivalență (notată cu a ~ b) dacă satisface următoarele axiome:
∀ a, b, c ∈ A
1) a ~ a – reflexivitate;
2) a ~ b ⇒ b ~ a – comutativitate;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c - tranzitivitatea

notat cu a ~ b, σ(a,b), (a,b) ∈ σ, a σ b

Definiție: O partiție a unei mulțimi A este o familie de submulțimi disjunse în perechi ale lui A, care în unire (în total) dau tot A.
А= ∪А i, А i ∩А j = ∅, ∀i ≠ j.

Subseturile A i sunt numite clase ale partiției.

Teorema: fiecare relație de echivalență definită pe A corespunde unei partiții a mulțimii A. Fiecare partiție a mulțimii A corespunde unei relații de echivalență pe mulțimea A.

Pe scurt: există o corespondență unu-la-unu între clasele tuturor relațiilor de echivalență definite în mulțimea A și clasa tuturor partițiilor mulțimii A.

Dovada: fie σ o relație de echivalență pe mulțimea A. Fie a ∈ A.

Să construim o mulțime: K a =(x ∈ A,: x~a) – toate elementele echivalente cu a. Mulțimea (notația) se numește clasa de echivalență în raport cu echivalența σ. Rețineți că dacă b aparține lui K a , atunci b~a. Să arătăm că a~b⇔K a =K b . Într-adevăr, să fie a~b. Luați un element arbitrar c aparținând lui K a . Atunci c~a, a~b, c~b, c aparţine lui K b şi deci K b aparţine lui K a . Faptul că K a aparține lui K b este arătat în mod similar. Prin urmare, K b =K a.
Fie acum K b =K a . Atunci a aparține lui K a = K b , a aparține lui K b , a~b. Asta trebuia arătat.

Dacă 2 clase Ka și K b au un element comun c, atunci Ka = K b. De fapt, dacă c aparține lui Ka și K b , atunci b~c, c~a, b~a => Ka = K b .

Prin urmare, diferite clase de echivalență fie nu se intersectează, fie se intersectează și apoi coincid. Fiecare element c al lui A aparține unei singure clase de echivalență K c. Prin urmare, un sistem de clase de echivalență disjuncte la intersecție dă întreaga mulțime A. Și, prin urmare, acest sistem este o partiție a mulțimii A în clase de echivalență.

Revers: Fie A = suma peste sau A i este o partiție a lui A. Să introducem relația a~b pe A, deoarece a~b ⇔ a,b aparțin aceleiași clase de partiții. Această relație satisface următoarele axiome:

1) a ~ a (sunt în aceeași clasă);
2) a ~ b → b ~ a;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c, i.e. relaţia introdusă ~ este o relaţie de echivalenţă.

cometariu:
1) o partiție a unei mulțimi A în submulțimi cu un singur element și o partiție a lui A constând numai din mulțimea A se numesc partiții triviale (improprii).

2) Împărțirea lui A în submulțimi cu un singur element corespunde unei relații de echivalență care este egalitate.

3) Partițiile A, formate dintr-o clasă A, corespund unei relații de echivalență care conține A x A.

4) a σ b → [a] σ = [b] σ - orice relație de echivalență definită pe o anumită mulțime împarte această mulțime în clase disjunse pe perechi numite clase de echivalență.

Definiție: Mulțimea claselor de echivalență ale unei mulțimi A se numește coeficientul A/σ a mulțimii A prin echivalență σ.

Definiție: Maparea p:A→A/σ, pentru care p(A)=[a] σ, se numește mapare canonică (naturală).

Orice relație de echivalență definită pe o anumită set împărțiește acest set în clase disjunse pe perechi numite clase de echivalență.

Fie R o relație binară pe mulțimea X. Relația R se numește reflectorizant , dacă (x, x) О R pentru toate x О X; simetric – dacă din (x, y) О R rezultă (y, x) О R; numărul tranzitiv 23 corespunde opțiunii 24 dacă (x, y) О R și (y, z) О R implică (x, z) О R.

Exemplul 1

Vom spune că x О X are în comun cu elementul y О X, dacă mulţimea
x Ç y nu este gol. Relația de a avea în comun va fi reflexivă și simetrică, dar nu tranzitivă.

Relația de echivalență pe X este o relație reflexivă, tranzitivă și simetrică. Este ușor de observat că R Í X ´ X va fi o relație de echivalență dacă și numai dacă incluziunile sunt valabile:

Id X Í R (reflexivitate),

R -1 Í R (simetrie),

R ° R Í R (tranzitivitate).

În realitate, aceste trei condiții sunt echivalente cu următoarele:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

Prin despicare a unei mulțimi X este mulțimea A de submulțimi disjunse perechi a Í X astfel încât UA = X. Cu fiecare partiție A putem asocia o relație de echivalență ~ pe X, punând x ~ y dacă x și y sunt elemente ale unor a Î A .

Fiecărei relații de echivalență ~ pe X îi corespunde o partiție A, ale cărei elemente sunt submulțimi, fiecare fiind formată din cele din relația ~. Aceste subseturi sunt numite clase de echivalenţă . Această partiție A se numește mulțime de factori a mulțimii X față de ~ și se notează: X/~.

Să definim relația ~ pe mulțimea w de numere naturale, punând x ~ y dacă resturile de la împărțirea x și y la 3 sunt egale. Atunci w/~ constă din trei clase de echivalență corespunzătoare resturilor 0, 1 și 2.

Relația de comandă

O relație binară R pe o mulțime X se numește antisimetric , dacă din x R y și y R x rezultă: x = y. O relație binară R pe o mulțime X se numește relație de ordine , dacă este reflexiv, antisimetric și tranzitiv. Este ușor de observat că acest lucru este echivalent cu următoarele condiții:

1) Id X Í R (reflexivitate),

2) R Ç R -1 (antisimetrie),

3) R ° R Í R (tranzitivitate).

Se numește o pereche ordonată (X, R) formată dintr-o mulțime X și o relație de ordine R pe X set parțial comandat .

Exemplul 1

Fie X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2) ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

Deoarece R îndeplinește condițiile 1 – 3, atunci (X, R) este o mulțime parțial ordonată. Pentru elementele x = 2, y = 3, nici x R y nici y R x nu sunt adevărate. Astfel de elemente sunt numite incomparabil . De obicei, relația de ordine este notată cu £. În exemplul dat, 0 £ 1 și 2 £ 2, dar nu este adevărat că 2 £ 3.

Exemplul 2

Lăsa< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Elementele x, y О X ale unei mulțimi parțial ordonate (X, £) sunt numite comparabil , dacă x £ y sau y £ x.

Se numește o mulțime parțial ordonată (X, £). ordonat liniar sau lanţ , dacă oricare două dintre elementele sale sunt comparabile. Setul din exemplul 2 va fi ordonat liniar, dar setul din exemplul 1 nu.

Se numește o submulțime A Í X dintr-o mulțime parțial ordonată (X, £). mărginit deasupra , dacă există un element x О X astfel încât un £ x pentru tot un О A. Elementul x О X se numește cel mai mare în X dacă y £ x pentru tot y О X. Un element x О X se numeşte maxim dacă nu există elemente y О X diferite de x pentru care x £ y. În exemplul 1, elementele 2 și 3 vor fi maxime, dar nu cele mai mari. Definit în mod similar limita inferioara submulțimi, elementele cele mai mici și minime. În exemplul 1, elementul 0 va fi atât cel mai mic, cât și minim. În Exemplul 2, 0 are și aceste proprietăți, dar (w, £) nu are nici cel mai mare, nici cel mai mare element.

Teoria multimilor. Noțiuni de bază

Teoria mulțimilor este definiția fundamentală a matematicii moderne. A fost creat de Georg Cantor în anii 1860. El a scris: „Multiplu sunt mulți, conceputi ca un singur întreg”. Conceptul de mulțime este unul dintre conceptele de bază, nedefinite, ale matematicii. Nu se poate reduce la alte concepte, mai simple. Prin urmare, nu poate fi definită, ci poate fi doar explicată. Astfel, un set este o unificare într-un singur întreg de obiecte care se disting clar prin intuiția noastră sau prin gândirea noastră; o colecție de anumite obiecte definite de o caracteristică comună.

De exemplu,

1. Mulți locuitori din Voronezh

2. Set de puncte plane

3. Set de numere naturale ℕetc.

Seturile sunt de obicei notate cu majuscule latine( A, B, C etc.). Obiectele care alcătuiesc o mulțime dată se numesc elementele sale. Elementele unui set sunt notate cu litere mici latine( a, b, c etc.). Dacă X– setați, apoi înregistrați x∈Xînseamnă că X este un element al ansamblului X sau ce X aparține setului X, și intrarea x∉X acel element X nu aparține setului X. De exemplu, fie ℕ mulțimea numerelor naturale. Apoi 5 ℕ , A 0,5∉ℕ .

Dacă setul Y este format din elemente ale ansamblului X, atunci ei spun asta Y este un subset al multimii X si denota Y⊂Х(sau Y⊆Х). De exemplu, un set de numere întregi ℤ este o submulțime de numere raționale ℚ .

Dacă pentru două seturi XȘi Y două incluziuni apar simultan X yȘi Y X, adică X este un subset al multimii YȘi Y este un subset al multimii X, apoi seturile XȘi Y constau din aceleasi elemente. Astfel de seturi XȘi Y se numesc egale si scrie: X=Y.

Termenul set gol este adesea folosit - Ø - un set care nu conține un singur element. Este un subset al oricărui set.

Următoarele metode pot fi utilizate pentru a descrie seturile.

Metode de specificare a seturilor

1. Enumerarea obiectelor. Folosit numai pentru seturi finite.

De exemplu, X=(x1, x2, x3… x n). Y intrare ={1, 4, 7, 5} înseamnă că setul este format din patru numere 1, 4, 7, 5 .

2. Indicarea proprietății caracteristice a elementelor mulțimii.

Pentru a face acest lucru, este setată o anumită proprietate R, care vă permite să determinați dacă un element aparține unui set. Această metodă este mai universală.

X=(x: P(x))

(o multime de X constă din astfel de elemente X, pentru care proprietatea detine P(x)).

Un set gol poate fi specificat prin specificarea proprietăților sale: Ø=(x: x≠x)

Puteți construi seturi noi folosind cele deja definite folosind operații pe seturi.

Setați operațiuni

1. O uniune (sumă) este o mulțime formată din toate acele elemente, fiecare dintre ele aparținând cel puțin uneia dintre mulțimi A sau ÎN.

A∪B=(x: x A sau x B).

2. O intersecție (produs) este o mulțime formată din toate elementele, fiecare dintre acestea aparținând simultan mulțimii A, și multe ÎN.

A∩B=(x: x A și x B).

3. Setați diferența AȘi ÎN este o multime formata din toate acele elemente care apartin multimii Ași nu aparțin mulțimii ÎN.

A\B=(x: x A și x B)

4. Dacă A– submulțimea unui set ÎN. Asta e mult B\A numit complementul unei multimi A la multe ÎN si denota A'.

5. Diferenta simetrica a doua multimi este multimea A∆B=(A\B) (B\A)

N- multimea tuturor numerelor naturale;
Z- multimea tuturor numerelor intregi;
Q- mulţimea tuturor numerelor raţionale;
R- multimea tuturor numerelor reale;
C- multimea tuturor numerelor complexe;
Z 0- mulțimea tuturor numerelor întregi nenegative.

Proprietățile operațiilor pe platouri:

1. A B=B A (comutativitatea uniunii)

2. A B=B A (comutativitatea intersecției)

3. A(B C)=(A ÎN) C (asociativitatea uniunii)

4. A (ÎN C)=(A ÎN) C (asociativitatea intersecției)

5. A (ÎN C)=(A ÎN) (A C) (prima lege a distributivității)

6. A (ÎN C)=(A ÎN) (A C) (a doua lege a distributivității)

7. A Ø=A

8. A U= U

9. A Ø= Ø

10. A U=A

11. (A B)'=A' B' (legea lui de Morgan)

12. (A B)'=A' B' (legea lui de Morgan)

13. A (A B)=A (legea absorbției)

14. A (A B)=A (legea absorbției)

Să demonstrăm proprietatea nr. 11. (A B)'=A' ÎN'

Prin definiția mulțimilor egale, trebuie să demonstrăm două incluziuni 1) (A B)’ ⊂A’ ÎN';

2) A' B’⊂(A ÎN)'.

Pentru a demonstra prima includere, luați în considerare un element arbitrar x∈(A B)’=X\(A∪B).Înseamnă că x∈X, x∉ A∪B. Rezultă că x∉AȘi x∉B, De aceea x∈X\AȘi x∈X\B, care înseamnă x∈A’∩B’. Prin urmare, (A B)’⊂A’ ÎN'

Înapoi dacă x∈A’ ÎN', Acea X simultan aparţine mulţimilor A', B', care înseamnă x∉AȘi x∉B. Rezultă că x∉ A ÎN, De aceea x∈(A ÎN)'. Prin urmare, A' B’⊂(A ÎN)'.

Asa de, (A B)'=A' ÎN'

O mulțime formată din două elemente, în care este definită ordinea elementelor, se numește pereche ordonată. Pentru a o scrie, folosiți paranteze. (x 1, x 2)– o mulțime de două elemente în care x 1 este considerat primul element, iar x 2 este al doilea. Cupluri (x 1, x 2)Și (x 2, x 1), Unde x 1 ≠ x 2, sunt considerate diferite.

O mulțime formată din n elemente, în care este definită ordinea elementelor, se numește o mulțime ordonată de n elemente.

Un produs cartezian este o mulțime arbitrară X 1, X 2,…,X n mulţimi ordonate de n elemente, unde x 1 X1, x2 X 2 ,…, x n Xn

X 1 X n

Dacă seturile X 1, X 2,…,X n Meci (X 1 = X 2 =…=X n), atunci produsul lor este notat Xn.

De exemplu, ℝ 2 – un set de perechi ordonate de numere reale.

Relații de echivalență. Seturi de factori

Pe baza unei mulțimi date, se pot construi noi mulțimi luând în considerare mulțimea unor submulțimi. În acest caz, de obicei vorbim nu despre un set de submulțimi, ci despre o familie sau clasă de submulțimi.

Într-un număr de întrebări, se ia în considerare clasa unor astfel de submulțimi dintr-o mulțime dată A, care nu se intersectează și a căror unire coincide cu A. Dacă acest set A poate fi reprezentat ca o uniune a submulților sale disjunse în perechi, atunci se obișnuiește să spunem că Aîmpărțit în clase. Împărțirea în clase se realizează pe baza unor caracteristici.

Lăsa X nu este un set gol, apoi orice subset R din lucrare X X se numește relație binară pe mulțime X. Dacă un cuplu (X y) inclus în R, ei spun că elementul x este în relație R Cu la.

De exemplu, relațiile x=y, x≥y sunt relații binare pe mulțime ℝ.

Relație binară R pe un platou X se numește relație de echivalență dacă:

1. (x,x) R; X X (proprietate de reflexivitate)

2. (x,y) R => (y,x) R (proprietate de simetrie)

3. (x,y) R, (y,z) R, atunci (x,z) R (proprietate de tranzitivitate)

Dacă un cuplu (X y) intrat în relații de echivalență, atunci x și y se numesc echivalente (x~y).

1.Lasa ℤ – un set de numere întregi, m≥1– un număr întreg. Să definim relația de echivalență R pe ℤ astfel încât n~k, Dacă n-k impartit de m. Să verificăm dacă proprietățile sunt satisfăcute pe această relație.

1. Reflexivitate.

Pentru oricine n∈ℤ ℤ astfel încât (p,p)∈R

р-р=0. Deoarece 0∈ ℤ , Acea (p,p)∈ℤ.

2. Simetrie.

Din (n,k) ∈R rezultă că există așa ceva р∈ℤ, Ce n-k=mp;

k-n =m(-p), -p∈ ℤ, prin urmare (k,n) ∈R.

3. Tranzitivitatea.

De la ce (n,k) ∈R, (k,q) ∈R rezultă că există asemenea p 1Și р 2 ∈ ℤ, Ce n-k=mp 1Și k-q=mp 2. Adăugând aceste expresii, obținem asta n-q=m(p 1 + p 2), p 1 + p 2 =p, p∈ ℤ. De aceea (n,q) ∈ ℤ.

2. Luați în considerare setul X toate segmentele direcționate ale spațiului sau planului . =(A, B). Să introducem relația de echivalență R pe X.

∼ (\displaystyle \sim ). Apoi se numește mulțimea tuturor claselor de echivalență set de factori si este desemnat . Partiționarea unui set în clase de elemente echivalente se numește sa factorizarea.

Afișare de la X (\displaystyle X)într-un set de clase de echivalență X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) numit cartografierea factorilor. Datorită proprietăților relației de echivalență, partiția în mulțimi este unică. Aceasta înseamnă că clasele care conțin ∀ x , y ∈ X (\displaystyle \forall x,\;y\in X), fie nu se intersectează, fie coincid complet. Pentru orice element x ∈ X (\displaystyle x\in X) o anumită clasă de X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ), cu alte cuvinte, există o mapare surjectivă din X (\displaystyle X) V X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ). Clasa care contine x (\displaystyle x), uneori notat [ x ] (\displaystyle [x]).

Dacă un set este prevăzut cu o structură, atunci deseori maparea X → X / ∼ (\displaystyle X\to X/\!\sim ) poate fi folosit pentru a furniza un set de factori X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) aceeași structură, de exemplu topologia. În acest caz, mulți X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) cu structura indusa se numeste spațiu factorial.

YouTube enciclopedic

1 / 4

✪ 3. Clase de echivalare

✪ Teoria multimilor Lecția 3 Partea 1

✪ Teoria multimilor Lecția 3 Partea 2

✪ Teoria multimilor Lecția 3 Partea 3

Subtitrări

Factorizarea spațiului cu subspațiu

Relația de echivalență este adesea introdusă după cum urmează. Lăsa X (\displaystyle X)- spațiu liniar și L (\displaystyle L)- ceva subspațiu liniar. Apoi două elemente x , y ∈ X (\displaystyle x,\;y\in X) astfel încât x − y ∈ L (\displaystyle x-y\in L), sunt numite echivalent. Acest lucru este indicat x ∼ L y (\displaystyle x\,(\overset (L)(\sim ))\,y). Spațiul rezultat ca rezultat al factorizării se numește factorul spațiu prin subspațiu L (\displaystyle L). Dacă X (\displaystyle X) se descompune într-o sumă directă X = L ⊕ M (\displaystyle X=L\oplus M), atunci există un izomorfism din M (\displaystyle M) V X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim ))). Dacă X (\displaystyle X) este un spațiu finit-dimensional, apoi spațiul coeficient X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim ))) este, de asemenea, finit-dimensional şi dim ⁡ X / ∼ L = dim ⁡ X − dim ⁡ L (\displaystyle \dim X/\,(\overset (L)(\sim ))=\dim X-\dim L).

Exemple

. Putem considera setul de factori X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ). Funcţie f (\displaystyle f) definește o corespondență naturală unu-la-unu între X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim )Și Y (\displaystyle Y).

Este rezonabil să folosim factorizarea multime pentru a obține spații normate din cele semi-normate, spații cu produs interior din spații cu produs aproape interior etc. Pentru a face acest lucru, introducem, respectiv, norma unei clase, egală cu norma a unui element arbitrar și produsul interior al claselor ca produs interior al elementelor arbitrare ale claselor. La rândul său, relația de echivalență este introdusă astfel (de exemplu, pentru a forma un spațiu de coeficient normalizat): se introduce o submulțime a spațiului seminormat inițial, formată din elemente cu seminorma zero (apropo, este liniară, adică, este un subspaţiu) şi se consideră că două elemente sunt echivalente dacă diferenţa lor aparţine chiar acestui subspaţiu.

Dacă, pentru factorizarea unui spațiu liniar, se introduce un anumit subspațiu și se presupune că dacă diferența a două elemente din spațiul original aparține acestui subspațiu, atunci aceste elemente sunt echivalente, atunci mulțimea factorilor este un spațiu liniar și se numește un spațiu factorial.

Setați factorul

Mulțimi.

O relație de ordin parțial pe o mulțime x este o relație binară care este antisimetrică, reflexivă și tranzitivă și se notează cu
ca pereche:

O relație binară se numește toleranță dacă este reflexivă și simetrică.

O relație binară se numește cvasi-ordine dacă este ireflexivă, antisimetrică și tranzitivă (pre-ordine).

O relație binară se numește ordine strictă dacă este reflexivă și tranzitivă.

O operație algebrică enary pe mulțimea M este funcția

– operare unară;

– operare binară;

– operațiune triară.

operație algebrică binară -

– o operație care atribuie fiecărei perechi ordonate din mulțimea M un element al mulțimii M.

Proprietăți:

1) Comutativitate:

2) Asociativitate:

Element neutru

Setează M pentru operații algebrice binare

Elementul se numește:

• 
  Factor seturi– un set de clase de echivalență ale acestuia seturi. Relația de ordine parțială pe mulți x se numește relație binară...


• 
  Urmatoarea intrebare." Factor seturi. Factor seturi– totalitatea Forme multiplicative și aditive.


• 
  Factor seturi– totalitatea
  O multime de- un set de obiecte definite și distincte care sunt concepute ca un singur întreg.


• 
  O funcție multiplicativă este o... mai mult ». Factor seturi. Factor seturi– un set de clase de echivalență ale acestuia seturi.


• 
  În realitate, procesul de producție este mai complex, iar produsul său este rezultatul utilizării seturi factori.


• 
  De calitatea deciziilor de management depinde seturi factori, dintre care cel mai semnificativ poate fi n.


• 
  Optimizarea deciziilor de strângere de capital este un proces de cercetare seturi factori afectând rezultatele așteptate...