În articolul despre vectori n -dimensionali, am ajuns la conceptul de spațiu liniar generat de o mulțime de vectori n -dimensionali. Acum trebuie să luăm în considerare concepte nu mai puțin importante, cum ar fi dimensiunea și baza unui spațiu vectorial. Ele sunt direct legate de conceptul de sistem liniar independent de vectori, așa că este recomandat în plus să vă amintiți și de elementele de bază ale acestui subiect.

Să introducem câteva definiții.

Definiția 1

Dimensiunea spațiului vectorial este numărul corespunzător numărului maxim de vectori liniar independenți din acest spațiu.

Definiția 2

Baza spațiului vectorial- un set de vectori liniar independenți, ordonați și în număr egal cu dimensiunea spațiului.

Se consideră un anumit spațiu de n -vectori. Dimensiunea sa este, respectiv, egală cu n . Să luăm un sistem de vectori de n unități:

e (1) = (1 , 0 , . . . . , 0) e (2) = (0 , 1 , . . . . , 0) e (n) = (0 , 0 , . . . . , 1)

Să folosim acești vectori ca componente ale matricei A: va fi unitate cu dimensiunea n cu n . Rangul acestei matrice este n. Prin urmare, sistemul vectorial e (1) , e (2) , . . . , e (n) este liniar independent. În acest caz, este imposibil să adăugați un singur vector la sistem fără a-i încălca independența liniară.

Deoarece numărul de vectori din sistem este egal cu n, atunci dimensiunea spațiului vectorilor n-dimensionali este egală cu n, iar vectorii unitari e (1) , e (2) , . . . , e (n) sunt baza spațiului specificat.

Din definiția obținută, concluzionăm: orice sistem de vectori n-dimensionali, în care numărul de vectori este mai mic decât n, nu este o bază de spațiu.

Dacă schimbăm primul și al doilea vector, obținem un sistem de vectori e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Va fi, de asemenea, baza unui spațiu vectorial n-dimensional. Să compunem o matrice, luând ca rânduri vectorii sistemului rezultat. Matricea poate fi obținută din matricea de identitate schimbând primele două rânduri, rangul său va fi egal cu n . Sistemul e (2) , e (1) , . . . , e (n) este independent liniar și este o bază a unui spațiu vectorial n-dimensional.

Rearanjand alți vectori în sistemul original, obținem încă o bază.

Putem lua un sistem liniar independent de vectori non-unitari, iar acesta va reprezenta, de asemenea, baza unui spațiu vectorial n-dimensional.

Definiția 3

Un spațiu vectorial cu dimensiunea n are atâtea baze câte sisteme liniar independente de vectori n-dimensionali cu număr n.

Planul este un spațiu bidimensional - baza sa va fi oricare doi vectori necoliniari. Orice trei vectori necoplanari vor servi ca bază a spațiului tridimensional.

Luați în considerare aplicarea acestei teorii pe exemple specifice.

Exemplul 1

Date inițiale: vectori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Este necesar să se determine dacă vectorii indicați sunt baza unui spațiu vectorial tridimensional.

Soluţie

Pentru a rezolva problema, studiem sistemul dat de vectori pentru o dependență liniară. Să facem o matrice, unde rândurile sunt coordonatele vectorilor. Să determinăm rangul matricei.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 (- 1) - 1 1 3 - (- 2) 2 (- 2) - 3 2 (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

În consecință, vectorii dați de condiția problemei sunt liniar independenți, iar numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial - ei stau la baza spațiului vectorial.

Răspuns: acești vectori stau la baza spațiului vectorial.

Exemplul 2

Date inițiale: vectori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Este necesar să se determine dacă sistemul indicat de vectori poate fi baza unui spațiu tridimensional.

Soluţie

Sistemul de vectori specificat în condiția problemei este dependent liniar, deoarece numărul maxim de vectori liniar independenți este 3. Astfel, acest sistem de vectori nu poate servi ca bază pentru un spațiu vectorial tridimensional. Dar este de remarcat faptul că subsistemul sistemului original a = (3 , - 2 , 1) , b = (2 , 1 , 2) , c = (3 , - 1 , - 2) este o bază.

Răspuns: sistemul de vectori indicat nu este o bază.

Exemplul 3

Date inițiale: vectori

a = (1 , 2 , 3 , 3) ​​​​b = (2 , 5 , 6 , 8) c = (1 , 3 , 2 , 4) d = (2 , 5 , 4 , 7)

Pot fi ele baza unui spațiu cu patru dimensiuni?

Soluţie

Compuneți o matrice folosind coordonatele vectorilor dați ca șiruri

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Folosind metoda Gauss, determinăm rangul matricei:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Prin urmare, sistemul de vectori dați este liniar independent și numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial - ei sunt baza spațiului vectorial cu patru dimensiuni.

Răspuns: vectorii dați stau la baza spațiului cu patru dimensiuni.

Exemplul 4

Date inițiale: vectori

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Formează ele baza unui spațiu cu 4 dimensiuni?

Soluţie

Sistemul original de vectori este liniar independent, dar numărul de vectori din el este insuficient pentru a deveni baza unui spațiu cu patru dimensiuni.

Răspuns: nu, ei nu.

Descompunerea unui vector în termeni de bază

Acceptăm că vectorii arbitrari e (1) , e (2) , . . . , e (n) sunt baza unui spațiu vectorial n-dimensional. Să le adăugăm un vector n-dimensional x →: sistemul de vectori rezultat va deveni liniar dependent. Proprietățile dependenței liniare afirmă că cel puțin unul dintre vectorii unui astfel de sistem poate fi exprimat liniar în termenii celorlalți. Reformulând această afirmație, putem spune că cel puțin unul dintre vectorii unui sistem dependent liniar poate fi extins în termenii altor vectori.

Astfel, am ajuns la formularea celei mai importante teoreme:

Definiția 4

Orice vector al unui spațiu vectorial n-dimensional este descompus în mod unic în termeni de bază.

Dovada 1

Să demonstrăm această teoremă:

stabiliți baza spațiului vectorial n-dimensional - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Să facem sistemul dependent liniar prin adăugarea unui vector n-dimensional x → la el. Acest vector poate fi exprimat liniar în termenii vectorilor originali e:

x = x 1 e (1) + x 2 e (2) + . . . + x n e (n) , unde x 1 , x 2 , . . . , x n - unele numere.

Demonstrăm acum că o astfel de descompunere este unică. Să presupunem că acesta nu este cazul și că există o altă extindere similară:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , unde x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - unele numere.

Scădeți din părțile din stânga și din dreapta acestei egalități, respectiv, părțile din stânga și din dreapta ale egalității x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n e (n) . Primim:

0 = (x ~ 1 - x 1) e (1) + (x ~ 2 - x 2) e (2) + . . . (x~n - xn) e(2)

Sistem de vectori de bază e (1) , e (2) , . . . , e (n) este liniar independent; Prin definiția independenței liniare a unui sistem de vectori, egalitatea de mai sus este posibilă numai atunci când toți coeficienții sunt (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) va fi egal cu zero. Din care va fi corect: x 1 \u003d x ~ 1, x 2 \u003d x ~ 2,. . . , x n = x ~ n . Și aceasta dovedește singura modalitate de a extinde un vector în termeni de bază.

În acest caz, coeficienții x 1 , x 2 , . . . , x n se numesc coordonate ale vectorului x → în baza e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Teoria dovedită face clară expresia „este dat un vector n-dimensional x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)”: se consideră un vector x → spațiu vectorial n-dimensional, iar coordonatele sale sunt date în vreo bază. De asemenea, este clar că același vector într-o bază diferită a spațiului n-dimensional va avea coordonate diferite.

Luați în considerare următorul exemplu: să presupunem că într-o anumită bază a unui spațiu vectorial n-dimensional este dat un sistem de n vectori liniar independenți

și, de asemenea, este dat vectorul x = (x 1 , x 2 , . . . , x n).

Vectorii e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) în acest caz sunt, de asemenea, baza acestui spațiu vectorial.

Să presupunem că este necesar să se determine coordonatele vectorului x → în baza e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , notat cu x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n .

Vectorul x → va fi reprezentat astfel:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e(n)

Scriem această expresie sub formă de coordonate:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2 , . . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . . . . + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . . + x ~ n e 2 (n) , . . . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) +... + x ~ n e n (n))

Egalitatea rezultată este echivalentă cu un sistem de n expresii algebrice liniare cu n variabile liniare necunoscute x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Matricea acestui sistem va arăta astfel:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Fie aceasta o matrice A , iar coloanele ei să fie vectori ai unui sistem liniar independent de vectori e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) . Rangul matricei este n, iar determinantul său este diferit de zero. Acest lucru indică faptul că sistemul de ecuații are o soluție unică, care poate fi determinată în orice mod convenabil: de exemplu, prin metoda Cramer sau prin metoda matricei. Astfel putem determina coordonatele x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n al vectorului x → în baza e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Să aplicăm teoria avută în vedere pe un exemplu concret.

Exemplul 6

Date inițiale: vectorii sunt dați pe baza spațiului tridimensional

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Este necesar să se confirme faptul că sistemul de vectori e (1) , e (2) , e (3) servește și ca bază a spațiului dat și, de asemenea, să se determine coordonatele vectorului x în baza dată. .

Soluţie

Sistemul de vectori e (1) , e (2) , e (3) va sta la baza spațiului tridimensional dacă este liniar independent. Să aflăm această posibilitate determinând rangul matricei A , ale cărei rânduri sunt vectorii dați e (1) , e (2) , e (3) .

Folosim metoda Gauss:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Astfel, sistemul de vectori e (1) , e (2) , e (3) este liniar independent și este o bază.

Fie vectorul x → din bază să aibă coordonatele x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 . Legătura acestor coordonate este determinată de ecuația:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Să aplicăm valorile în funcție de condițiile problemei:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Rezolvăm sistemul de ecuații prin metoda Cramer:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Deci, vectorul x → în baza e (1) , e (2) , e (3) are coordonatele x ~ 1 = 1 , x ~ 2 = 1 , x ~ 3 = 1 .

Răspuns: x = (1, 1, 1)

Legătura între baze

Să presupunem că într-o anumită bază a unui spațiu vectorial n-dimensional sunt date două sisteme de vectori liniar independente:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Aceste sisteme sunt, de asemenea, bazele spațiului dat.

Fie c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - coordonatele vectorului c (1) în baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) , atunci relația de coordonate va fi dată de un sistem de ecuații liniare:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Sub forma unei matrice, sistemul poate fi afișat după cum urmează:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Să facem aceeași notație pentru vectorul c (2) prin analogie:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Egalitățile matriceale sunt combinate într-o singură expresie:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Acesta va determina relația vectorilor a două baze diferite.

Folosind același principiu, se pot exprima toți vectorii de bază e (1) , e (2) , . . . , e (3) prin baza c (1) , c (2) , . . . , c (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Dăm următoarele definiții:

Definiția 5

Matricea c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) este matricea de tranziție de la baza e (1) , e (2) , . . . , e(3)

la baza c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definiția 6

Matrice e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) este matricea de tranziție de la baza c (1) , c (2) , . . . ,c(n)

la baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Din aceste egalităţi, este clar că

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

acestea. matricele de tranziție sunt reciproc inverse.

Să luăm în considerare teoria pe un exemplu concret.

Exemplul 7

Date inițiale: este necesar să se găsească matricea de tranziție de la bază

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

De asemenea, trebuie să specificați relația dintre coordonatele unui vector arbitrar x → în bazele date.

Soluţie

1. Fie T matricea de tranziție, atunci egalitatea va fi adevărată:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

si ia:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Definiți matricea de tranziție:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Definiți relația coordonatelor vectorului x → :

să presupunem că în baza c (1) , c (2) , . . . , c (n) vector x → are coordonatele x 1 , x 2 , x 3 , atunci:

x \u003d (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

iar în baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) are coordonatele x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 , atunci:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Deoarece părțile din stânga acestor egalități sunt egale, putem echivala și părțile din dreapta:

(x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Înmulțiți ambele părți din dreapta cu

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

si ia:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Pe cealaltă parte

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Ultimele egalități arată relația coordonatelor vectorului x → în ambele baze.

Răspuns: matricea de tranziție

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Coordonatele vectorului x → în bazele date sunt legate prin relația:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Găsiți baza sistemului de vectori și vectori care nu sunt incluși în bază, extindeți pe baza:

A 1 = {5, 2, -3, 1}, A 2 = {4, 1, -2, 3}, A 3 = {1, 1, -1, -2}, A 4 = {3, 4, -1, 2}, A 5 = {13, 8, -7, 4}.

Soluţie. Considerăm un sistem omogen de ecuații liniare

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 + A 4 X 4 + A 5 X 5 = 0

sau extins.

Vom rezolva acest sistem folosind metoda Gaussiană, fără a schimba rândurile și coloanele și, în plus, alegând elementul principal nu în colțul din stânga sus, ci pe întregul rând. Sarcina este să selectați partea diagonală a sistemului transformat de vectori.

~ ~

~ ~ ~ .

Sistemul de vectori permis, care este echivalent cu cel original, are forma

A 1 1 X 1 + A 2 1 X 2 + A 3 1 X 3 + A 4 1 X 4 + A 5 1 X 5 = 0 ,

Unde A 1 1 = , A 2 1 = , A 3 1 = , A 4 1 = , A 5 1 = . (1)

Vectori A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 formează un sistem diagonal. De aici vectorii A 1 , A 3 , A 4 formează baza sistemului de vectori A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 .

Acum extindem vectorii A 2 Și A 5 în bază A 1 , A 3 , A 4 . Pentru a face acest lucru, extindem mai întâi vectorii corespunzători A 2 1 Și A 5 1 sistem diagonal A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 , având în vedere că coeficienții expansiunii vectoriale în sistemul diagonal sunt coordonatele acestuia x i.

Din (1) avem:

A 2 1 = A 3 1 (-1) + A 4 1 0 + A 1 1 1 A 2 1 = A 1 1 – A 3 1 .

A 5 1 = A 3 1 0 + A 4 1 1+ A 1 1 2 A 5 1 = 2A 1 1 + A 4 1 .

Vectori A 2 Și A 5 extinde în bază A 1 , A 3 , A 4 cu aceiași coeficienți ca și vectorii A 2 1 Și A 5 1 sistem diagonal A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 (acei coeficienți x i). Prin urmare,

A 2 = A 1 – A 3 , A 5 = 2A 1 + A 4 .

Sarcini. 1.Găsiți baza sistemului de vectori și vectorii care nu sunt incluși în bază, extindeți în funcție de bază:

1. A 1 = { 1, 2, 1 }, A 2 = { 2, 1, 3 }, A 3 = { 1, 5, 0 }, A 4 = { 2, -2, 4 }.

2. A 1 = { 1, 1, 2 }, A 2 = { 0, 1, 2 }, A 3 = { 2, 1, -4 }, A 4 = { 1, 1, 0 }.

3. A 1 = { 1, -2, 3 }, A 2 = { 0, 1, -1 }, A 3 = { 1, 3, 0 }, A 4 = { 0, -7, 3 }, A 5 = { 1, 1, 1 }.

4. A 1 = { 1, 2, -2 }, A 2 = { 0, -1, 4 }, A 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Găsiți toate bazele unui sistem de vectori:

1. A 1 = { 1, 1, 2 }, A 2 = { 3, 1, 2 }, A 3 = { 1, 2, 1 }, A 4 = { 2, 1, 2 }.

2. A 1 = { 1, 1, 1 }, A 2 = { -3, -5, 5 }, A 3 = { 3, 4, -1 }, A 4 = { 1, -1, 4 }.

Prelegeri despre algebră și geometrie. Semestrul 1.

Cursul 9. Bazele unui spațiu vectorial.

Rezumat: sistem de vectori, combinație liniară a unui sistem de vectori, coeficienți ai unei combinații liniare a unui sistem de vectori, baza pe o dreaptă, plan și în spațiu, dimensiunile spațiilor vectoriale pe o dreaptă, plan și în spațiu, descompunerea un vector într-o bază, coordonatele unui vector față de o bază, teorema egalității doi vectori, operații liniare cu vectori în notație de coordonate, triplu ortonormal al vectorilor, triple dreapta și stânga ale vectorilor, bază ortonormală, teorema fundamentală a algebrei vectoriale.

Capitolul 9

elementul 1. Bazat pe linie, pe plan și în spațiu.

Definiție. Orice set finit de vectori se numește sistem de vectori.

Definiție. Expresia unde
se numește combinație liniară a unui sistem de vectori
, și numerele
se numesc coeficienții acestei combinații liniare.

Fie L, Р și S o dreaptă, un plan și, respectiv, un spațiu de puncte și
. Apoi
sunt spații vectoriale ale vectorilor ca segmente direcționate pe dreapta L, pe planul P și, respectiv, în spațiul S.

orice vector diferit de zero este numit
, adică orice vector diferit de zero coliniar cu dreapta L:
Și
.

Notația de bază
:
- baza
.

Definiție. Baza spațiului vectorial
este orice pereche ordonată de vectori necoliniari în spațiu
.

, Unde
,
- baza
.

Definiție. Baza spațiului vectorial
este orice triplu ordonat al vectorilor necoplanari (adică, care nu se află în același plan) a spațiului
.

- baza
.

Cometariu. Baza unui spațiu vectorial nu poate conține un vector zero: în spațiu
prin definiție, în spațiu
doi vectori vor fi coliniari dacă cel puțin unul dintre ei este zero, în spațiu
trei vectori vor fi coplanari, adică se vor afla în același plan dacă cel puțin unul dintre cei trei vectori este zero.

punctul 2. Descompunerea unui vector în termeni de bază.

Definiție. Lăsa este un vector arbitrar,
este un sistem arbitrar de vectori. Dacă egalitatea

apoi se spune că vectorul reprezentată ca o combinație liniară a unui sistem dat de vectori. Dacă sistemul dat de vectori
este o bază a spațiului vectorial, atunci egalitatea (1) se numește descompunerea vectorului bază
. Coeficienți de combinație liniară
se numesc în acest caz coordonatele vectorului raportat la bază
.

Teorema. (Despre expansiunea unui vector în termeni de bază.)

Orice vector al unui spațiu vectorial poate fi descompus în baza lui și, în plus, într-un mod unic.

Dovada. 1) Fie L o dreaptă (sau axă) arbitrară și
- baza
. Luați un vector arbitrar
. Deoarece ambii vectori Și coliniar pe aceeași linie L, atunci
. Să folosim teorema privind coliniaritatea a doi vectori. Deoarece
, atunci există (există) un astfel de număr
, Ce
şi astfel am obţinut o descompunere a vectorului bază
spațiu vectorial
.

Demonstrăm acum unicitatea unei astfel de descompunere. Să presupunem contrariul. Să fie două descompuneri ale vectorului bază
spațiu vectorial
:

Și
, Unde
. Apoi
și folosind legea distribuției, obținem:

Deoarece
, atunci din ultima egalitate rezultă că
, etc.

2) Fie acum P un plan arbitrar și
- baza
. Lăsa
vector arbitrar al acestui plan. Să amânăm toți cei trei vectori din orice punct al acestui plan. Să construim 4 linii drepte. Să tragem o linie dreaptă , pe care se află vectorul , direct
, pe care se află vectorul . Până la sfârșitul vectorului trageți o dreaptă paralelă cu vectorul și o dreaptă paralelă cu vectorul . Aceste 4 linii taie un paralelogram. Vezi mai jos fig. 3. După regula paralelogramului
, Și
,
,
- baza ,
- baza
.

Acum, prin ceea ce a fost deja dovedit în prima parte a acestei dovezi, există numere
, Ce

Și
. De aici obținem:

si se dovedeste posibilitatea extinderii din punct de vedere al bazei.

Să demonstrăm acum unicitatea expansiunii din punct de vedere al bazei. Să presupunem contrariul. Să fie două descompuneri ale vectorului bază
spațiu vectorial
:
Și
. Obținem egalitate

Unde ar trebui
. Dacă
, Acea
, și de când
, Acea
iar coeficienții de expansiune sunt:
,
. Lasă acum
. Apoi
, Unde
. Prin teorema privind coliniaritatea a doi vectori, aceasta implică faptul că
. Am obținut o contradicție cu condiția teoremei. Prin urmare,
Și
, etc.

3) Lasă
- baza
lăsați-l să plece
vector arbitrar. Să realizăm următoarele construcții.

Lăsați deoparte toți cei trei vectori de bază
și vector dintr-un punct și construiți 6 planuri: planul în care se află vectorii de bază
, avion
si avionul
; mai departe până la sfârșitul vectorului trageți trei plane paralele cu cele trei plane tocmai construite. Aceste 6 avioane decupează cutia:

Conform regulii de adunare vectorială, obținem egalitatea:

. (1)

Prin constructie
. Prin urmare, prin teorema privind coliniaritatea a doi vectori, rezultă că există un număr
, astfel încât
. De asemenea,
Și
, Unde
. Acum, înlocuind aceste egalități în (1), obținem:

si se dovedeste posibilitatea extinderii din punct de vedere al bazei.

Să demonstrăm unicitatea unei astfel de descompunere. Să presupunem contrariul. Să fie două descompuneri ale vectorului bază
:

ȘI . Apoi

Rețineți că, prin presupunere, vectorii
non-coplanare, deci sunt necoliniare perechi.

Sunt posibile două cazuri:
sau
.

a) Fie
, apoi din egalitatea (3) rezultă:

. (4)

Din egalitatea (4) rezultă că vectorul extins din punct de vedere al bazei
, adică vector se află în planul vectorial
și de aici vectorii
coplanar, ceea ce contrazice condiția.

b) Rămâne un caz
, adică
. Apoi din egalitatea (3) obținem sau

Deoarece
este baza spațiului vectorilor aflați în plan și am demonstrat deja unicitatea expansiunii în baza vectorilor planului, rezultă din egalitatea (5) că
Și
, etc.

Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă.

1) Există o corespondență unu-la-unu între mulțimea de vectori ai spațiului vectorial
și mulțimea numerelor reale R.

2) Există o corespondență unu-la-unu între mulțimea de vectori ai spațiului vectorial
și pătrat cartezian

3) Există o corespondență unu-la-unu între mulțimea de vectori ai spațiului vectorial
și cub cartezian
multimi de numere reale R.

Dovada. Să demonstrăm a treia afirmație. Primele două sunt dovedite în mod similar.

Să alegem și să reparăm în spațiu
vreo bază
și configurați un afișaj
conform următoarei reguli:

acestea. fiecare vector este asociat cu un set ordonat al coordonatelor sale.

Deoarece, cu o bază fixă, fiecare vector are un set unic de coordonate, corespondența dată de regula (6) este într-adevăr o mapare.

Din demonstrarea teoremei rezultă că diferiți vectori au coordonate diferite față de aceeași bază, i.e. cartografierea (6) este o injecție.

Lăsa
un set arbitrar ordonat de numere reale.

Luați în considerare vectorul
. Prin construcție, acest vector are coordonate
. Prin urmare, maparea (6) este o suprajecție.

O mapare care este atât injectivă, cât și surjectivă este bijectivă, adică. unu-la-unu etc.

Consecința este dovedită.

Teorema. (Despre egalitatea a doi vectori.)

Doi vectori sunt egali dacă și numai dacă coordonatele lor față de aceeași bază sunt egale.

Dovada decurge imediat din corolarul anterior.

punctul 3. Dimensiunea unui spațiu vectorial.

Definiție. Numărul de vectori din baza unui spațiu vectorial se numește dimensiunea acestuia.

Desemnare:
este dimensiunea spațiului vectorial V.

Astfel, în conformitate cu aceasta și definițiile anterioare, avem:

1)
este spațiul vectorial al vectorilor dreptei L.

- baza
,
,
,
– descompunerea vectorială
bază
,
- coordonata vectoriala raportat la bază
.

2)
este spațiul vectorial al vectorilor planului Р.

- baza
,
,
,
– descompunerea vectorială
bază
,
sunt coordonate vectoriale raportat la bază
.

3)
este spațiul vectorial al vectorilor în spațiul punctelor S.

- baza
,
,
– descompunerea vectorială
bază
,
sunt coordonate vectoriale raportat la bază
.

Cometariu. Dacă
, Acea
și poți alege baza
spaţiu
Asa de
- baza
Și
- baza
. Apoi
, Și
, .

Astfel, orice vector al dreptei L, al planului P și al spațiului S poate fi extins din punct de vedere al bazei
:

Desemnare. În virtutea teoremei egalității vectoriale, putem identifica orice vector cu un triplu ordonat al numerelor reale și să scriem:

Acest lucru este posibil numai dacă baza
fixat si nu exista pericol de incurcare.

Definiție. Înregistrarea unui vector sub forma unui triplu ordonat de numere reale se numește forma de coordonate a înregistrării vectoriale:
.

punctul 4. Operații liniare cu vectori în notație de coordonate.

Lăsa
- baza spatiala
Și
sunt cei doi vectori arbitrari ai săi. Lăsa
Și
este notația acestor vectori în formă de coordonate. Să, mai departe,
este un număr real arbitrar. În aceste notații, este valabilă următoarea teoremă.

Teorema. (Despre operațiile liniare cu vectori sub formă de coordonate.)

2)
.

Cu alte cuvinte, pentru a adăuga doi vectori, trebuie să adăugați coordonatele corespunzătoare ale acestora, iar pentru a înmulți un vector cu un număr, trebuie să înmulțiți fiecare coordonată a acestui vector cu un număr dat.

Dovada. Deoarece, conform condiției teoremei, folosind apoi axiomele spațiului vectorial, care sunt supuse operațiilor de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un număr, obținem:

Asta implică .

A doua egalitate este dovedită în mod similar.

Teorema a fost demonstrată.

punctul 5. Vectori ortogonali. Baza ortonormala.

Definiție. Doi vectori sunt numiți ortogonali dacă unghiul dintre ei este egal cu unghiul drept, adică.
.

Desemnare:
– vectori Și ortogonală.

Definiție. Trio de vectori
se numește ortogonală dacă acești vectori sunt perechi ortogonali unul față de celălalt, adică.
,
.

Definiție. Trio de vectori
se numește ortonormal dacă este ortogonal și lungimile tuturor vectorilor sunt egale cu unu:
.

Cometariu. Din definiție rezultă că un triplu de vectori ortogonal și, prin urmare, ortonormal este necoplanar.

Definiție. Triplul necoplanar ordonat al vectorilor
, concediat dintr-un punct, se numește drept (orientat la dreapta) dacă, atunci când este observat de la sfârșitul celui de-al treilea vector la planul care conține primii doi vectori Și , cea mai scurtă rotație a primului vector la al doilea are loc în sens invers acelor de ceasornic. În caz contrar, triplul vectorilor se numește stânga (orientat la stânga).

Aici, Fig. 6 arată triplul corect al vectorilor
. Următoarea figură 7 arată tripletul stâng al vectorilor
:

Definiție. Bază
spațiu vectorial
se numeste ortonormal daca
triplu ortonormal al vectorilor.

Desemnare. În cele ce urmează, vom folosi baza ortonormală potrivită
, vezi figura următoare.

Exprimarea formei numit combinație liniară de vectori A 1 , A 2 ,...,A n cu coeficienți λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Determinarea dependenței liniare a unui sistem de vectori

Sistem vectorial A 1 , A 2 ,...,A n numit dependent liniar, dacă există un set de numere diferit de zero λ 1, λ 2 ,...,λ n, sub care combinaţia liniară de vectori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n egal cu vectorul zero, adică sistemul de ecuații: are o soluție diferită de zero.
Set de numere λ 1, λ 2 ,...,λ n este diferit de zero dacă cel puțin unul dintre numere λ 1, λ 2 ,...,λ n diferit de zero.

Determinarea independenței liniare a unui sistem de vectori

Sistem vectorial A 1 , A 2 ,...,A n numit liniar independent, dacă combinația liniară a acestor vectori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n este egal cu vectorul zero numai pentru un set zero de numere λ 1, λ 2 ,...,λ n , adică sistemul de ecuații: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ are o soluție unică zero.

Exemplul 29.1

Verificați dacă un sistem de vectori este dependent liniar

Soluţie:

1. Compunem un sistem de ecuații:

2. O rezolvăm folosind metoda Gauss. Transformările iordaniene ale sistemului sunt prezentate în Tabelul 29.1. La calcul, părțile corecte ale sistemului nu sunt notate, deoarece sunt egale cu zero și nu se modifică în cazul transformărilor Jordan.

3. Din ultimele trei rânduri ale tabelului scriem sistemul permis echivalent cu cel original sistem:

4. Obținem soluția generală a sistemului:

5. După ce ați stabilit la propria discreție valoarea variabilei libere x 3 =1, obținem o anumită soluție diferită de zero X=(-3,2,1).

Răspuns: Astfel, cu o mulțime de numere nenule (-3,2,1), combinația liniară de vectori este egală cu vectorul zero -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Prin urmare, sistem de vectori dependenti liniar.

Proprietățile sistemelor vectoriale

Proprietate (1)
Dacă sistemul de vectori este dependent liniar, atunci cel puțin unul dintre vectori este descompus în ceea ce privește restul și invers, dacă cel puțin unul dintre vectorii sistemului este descompus în raport cu restul, atunci sistemul de vectorii este dependent liniar.

Proprietate (2)
Dacă orice subsistem de vectori este dependent liniar, atunci întregul sistem este dependent liniar.

Proprietate (3)
Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci oricare dintre subsistemele sale este liniar independent.

Proprietate (4)
Orice sistem de vectori care conține un vector zero este dependent liniar.

Proprietate (5)
Un sistem de vectori m-dimensionali este întotdeauna dependent liniar dacă numărul de vectori n este mai mare decât dimensiunea lor (n>m)

Baza sistemului vectorial

Baza sistemului de vectori A 1 , A 2 ,..., A n un astfel de subsistem B 1 , B 2 ,...,B r(fiecare dintre vectorii B 1 ,B 2 ,...,B r este unul dintre vectorii A 1 , A 2 ,..., A n) care îndeplinește următoarele condiții:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r sistem liniar independent de vectori;
2. orice vector Aj a sistemului A 1 , A 2 ,..., A n se exprimă liniar în termeni de vectori B 1 ,B 2 ,...,B r

r este numărul de vectori incluși în bază.

Teorema 29.1 Pe baza unitară a unui sistem de vectori.

Dacă un sistem de vectori m-dimensionali conține m vectori unitari diferiți E 1 E 2 ,..., E m , atunci ei formează baza sistemului.

Algoritm pentru găsirea bazei unui sistem de vectori

Pentru a găsi baza sistemului de vectori A 1 ,A 2 ,...,A n este necesar:

• Alcătuiți un sistem omogen de ecuații corespunzător sistemului de vectori A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• aduce acest sistem

Definiția de bază. Un sistem de vectori formează o bază dacă:

1) este liniar independent,

2) orice vector de spațiu prin el este exprimat liniar.

Exemplul 1 Baza spatiala: .

2. În sistemul de vectori vectorii stau la baza: , deoarece exprimată liniar în termeni de vectori .

Cometariu. Pentru a găsi baza unui sistem dat de vectori, trebuie să:

1) scrieți coordonatele vectorilor din matrice,

2) folosind transformări elementare, aduceți matricea într-o formă triunghiulară,

3) rândurile diferite de zero ale matricei vor fi baza sistemului,

4) numărul de vectori din bază este egal cu rangul matricei.

Teorema Kronecker-Capelli

Teorema Kronecker-Capelli oferă un răspuns exhaustiv la întrebarea compatibilității unui sistem arbitrar de ecuații liniare cu necunoscute

Teorema Kronecker–Capelli. Un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei extinse a sistemului este egal cu rangul matricei principale, .

Algoritmul pentru găsirea tuturor soluțiilor unui sistem consistent de ecuații liniare decurge din teorema Kronecker–Capelli și din următoarele teoreme.

Teorema. Dacă rangul unui sistem consistent este egal cu numărul de necunoscute, atunci sistemul are o soluție unică.

Teorema. Dacă rangul unui sistem consistent este mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul are un număr infinit de soluții.

Algoritm pentru rezolvarea unui sistem arbitrar de ecuații liniare:

1. Găsiți rangurile matricelor principale și extinse ale sistemului. Dacă nu sunt egale (), atunci sistemul este inconsecvent (nu are soluții). Dacă rangurile sunt egale ( , atunci sistemul este compatibil.

2. Pentru un sistem compatibil găsim vreun minor a cărui ordine determină rangul matricei (un astfel de minor se numește de bază). Compunem un nou sistem de ecuații în care coeficienții necunoscutelor sunt incluși în minorul de bază (aceste necunoscute se numesc necunoscute principale), aruncăm restul ecuațiilor. Lăsăm principalele necunoscute cu coeficienți în stânga și transferăm necunoscutele rămase (se numesc necunoscute libere) în partea dreaptă a ecuațiilor.

3. Să găsim expresiile principalelor necunoscute în termenii celor libere. Obținem soluția generală a sistemului.

4. Dând valori arbitrare necunoscutelor libere, obținem valorile corespunzătoare ale necunoscutelor principale. Astfel, găsim soluții speciale la sistemul original de ecuații.

Programare liniară. Noțiuni de bază

Programare liniară este o ramură a programării matematice care studiază metode de rezolvare a problemelor extreme care se caracterizează printr-o relație liniară între variabile și un criteriu liniar.

O condiție necesară pentru stabilirea unei probleme de programare liniară sunt restricțiile privind disponibilitatea resurselor, cantitatea cererii, capacitatea de producție a întreprinderii și alți factori de producție.

Esența programării liniare este de a găsi punctele celei mai mari sau mai mici valori ale unei anumite funcții sub un anumit set de restricții impuse argumentelor și generatoarelor. sistem de restricții , care are de obicei un număr infinit de soluții. Fiecare set de valori variabile (argumente ale funcției F ) care satisfac sistemul de constrângeri se numește plan acceptabil probleme de programare liniară. Funcţie F , al cărui maxim sau minim este determinat, se numește funcție obiectivă sarcini. Plan admisibil pe care se atinge maximul sau minimul funcției F , se numește plan optim sarcini.

Sistemul de constrângeri care definește setul de planuri este dictat de condițiile de producție. O problemă de programare liniară ( ZLP ) este alegerea celui mai profitabil (optim) din setul de planuri fezabile.

Formularea generală a problemei de programare liniară este următoarea:

Există câteva variabile x \u003d (x 1, x 2, ... x n) și funcția acestor variabile f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) , care poartă numele ţintă funcții. Sarcina este stabilită: să găsească extremul (maxim sau minim) al funcției obiectiv f(x) cu condiţia ca variabilele X aparțin unei anumite zone G :

În funcție de tipul funcției f(x) și zone G și distingeți între secțiuni ale programării matematice: programare pătratică, programare convexă, programare cu numere întregi etc. Programarea liniară se caracterizează prin faptul că
o functie f(x) este o funcție liniară a variabilelor x 1, x 2, ... x n
b) zona G determinat de sistem liniar egalități sau inegalități.