Dacă un corp solid este situat lângă suprafața Pământului, atunci gravitația este aplicată fiecărui punct material al acestui corp. În același timp, dimensiunile corpului în comparație cu dimensiunea Pământului sunt atât de mici încât forțele gravitaționale care acționează asupra tuturor particulelor corpului pot fi considerate paralele între ele.

Punctul central CU) se numește sisteme de forțe gravitaționale paralele ale tuturor punctelor corpului centrul de greutate al unui corp rigid , iar suma forțelor gravitaționale ale tuturor punctelor sale materiale se numește gravitatie acţionând asupra lui

Coordonatele centrului de greutate al unui corp rigid sunt determinate de formulele:

unde sunt coordonatele punctelor de aplicare a gravitaţiei asupra cărora acţionează k-al-lea punct material.

Pentru un corp omogen:

unde V este volumul întregului corp;

V k- volum k-a particulă.

Pentru o placă subțire uniformă:

unde S este aria plăcii;

S k- pătrat k- o parte din farfurie.

Pentru linie:

Unde L- lungimea întregii linii;

L k- lungime k partea-a a liniei.

Metode de determinare a coordonatelor centrelor de greutate ale corpurilor:

Teoretic

Simetrie. Dacă un corp omogen are un plan, o axă sau un centru de simetrie, atunci centrul său de greutate se află, respectiv, fie în planul de simetrie, fie pe axă, fie în centrul de simetrie.

Despicare. Dacă corpul poate fi împărțit într-un număr finit de astfel de părți, pentru fiecare dintre care poziția centrului de greutate este cunoscută, atunci coordonatele centrului de greutate al întregului corp pot fi calculate direct folosind formulele de mai sus.

Plus. Această metodă este un caz special al metodei de partiționare. Se aplică corpurilor cu decupaje dacă sunt cunoscute centrele de greutate ale corpului fără decupaj și decupaj. Ele sunt incluse în calcule cu semnul „-”.

Integrare. Când corpul nu poate fi împărțit în părți componente ale căror centre de greutate sunt cunoscute, se folosește metoda de integrare, care este universală.

experimental

metoda de agățare. Corpul este suspendat de două sau trei puncte, trasând linii verticale din ele. Punctul de intersecție a acestora este centrul de masă.

Metoda de cântărire. Corpul este așezat în diferite părți pe cântar, determinând astfel reacțiile de sprijin. Compuneți ecuații de echilibru, din care se determină coordonatele centrului de greutate.

Folosind metode teoretice, formule de determinare coordonatele centrului de greutate cel mai comun corpuri omogene:

arc de cerc

Centrul de greutate al unui corp rigid

centrul de greutate Un corp rigid este un punct geometric care este conectat rigid cu acest corp și este centrul forțelor de greutate paralele aplicate particulelor elementare individuale ale corpului (Figura 1.6).

Vector raza acestui punct

Figura 1.6

Pentru un corp omogen, poziția centrului de greutate al corpului nu depinde de material, ci este determinată de forma geometrică a corpului.

Dacă greutatea specifică a unui corp omogen γ , greutatea particulei elementare a corpului

Pk = γΔVk (P = γV)

înlocuiți în formula pentru a determina r C , avem

De unde, proiectand pe axe si trecand la limita, obtinem coordonatele centrului de greutate al unui volum omogen.

În mod similar, pentru coordonatele centrului de greutate al unei suprafețe omogene cu o zonă S (Figura 1.7, a)

Figura 1.7

Pentru coordonatele centrului de greutate al unei linii omogene de lungime L (Figura 1.7, b)

Metode de determinare a coordonatelor centrului de greutate

Pe baza formulelor generale obținute mai devreme, este posibil să se indice metode pentru determinarea coordonatelor centrelor de greutate ale corpurilor solide:

Figura 1.8

Figura 1.9

11. Concepte de bază ale cinematicii. Cinematica punctuală. Metode de precizare a mișcării unui punct. Viteza punctului și accelerația.

Concepte de bază ale cinematicii

Cinematică- o ramură a mecanicii care studiază mișcarea corpurilor fără a ține cont de cauzele care au determinat această mișcare.

Sarcina principală a cinematicii este de a găsi poziția unui corp în orice moment de timp, dacă sunt cunoscute poziția, viteza și accelerația acestuia în momentul inițial de timp.

mișcare mecanică- aceasta este o schimbare a poziției corpurilor (sau părților corpului) unele față de altele în spațiu în timp.

Pentru a descrie mișcarea mecanică, trebuie să alegeți un cadru de referință.

Corp de referință- un corp (sau un grup de corpuri), luat în acest caz staționar, în raport cu care se consideră mișcarea altor corpuri.

Sistem de referință- acesta este sistemul de coordonate asociat corpului de referință și metoda aleasă de măsurare a timpului (Fig. 1).

Poziția corpului poate fi determinată folosind vectorul rază r⃗ r→ sau folosind coordonatele.

Vector rază r⃗ r→ puncte Μ - segment de dreaptă direcționat care leagă originea DESPRE cu un punct Μ (Fig. 2).

Coordona x puncte Μ este proiecția capătului vectorului rază al punctului Μ pe axă Oh. De obicei se folosește un sistem de coordonate dreptunghiular. În acest caz, poziția punctului Μ pe o linie, planul și, respectiv, în spațiu sunt determinate de unul ( X), Două ( X, la) și trei ( X, la, z) numere - coordonate (Fig. 3).

În cursul elementar, fizicienii studiază cinematica mișcării unui punct material.

Punct material- un corp ale cărui dimensiuni în condiții date pot fi neglijate.

Acest model este utilizat în cazurile în care dimensiunile liniare ale corpurilor luate în considerare sunt mult mai mici decât toate celelalte distanțe dintr-o problemă dată sau când corpul se mișcă înainte.

Translativ numită mișcarea corpului, în care o linie dreaptă care trece prin oricare două puncte ale corpului se mișcă în timp ce rămâne paralelă cu ea însăși. În mișcarea de translație, toate punctele corpului descriu aceleași traiectorii și au în orice moment aceleași viteze și accelerații. Prin urmare, pentru a descrie o astfel de mișcare a unui corp, este suficient să descriem mișcarea punctului său arbitrar.

În cele ce urmează, cuvântul „corp” va fi înțeles ca „punct material”.

Se numește linia pe care o descrie un corp în mișcare într-un anumit cadru de referință traiectorie. În practică, forma traiectoriei este stabilită folosind formule matematice ( y = f(X) - ecuația traiectoriei) sau reprezentată în figură. Tipul de traiectorie depinde de alegerea sistemului de referință. De exemplu, traiectoria unui corp în cădere liberă într-o mașină care se mișcă uniform și în linie dreaptă este o linie verticală dreaptă în cadrul de referință asociat cu mașina și o parabolă în cadrul de referință asociat cu Pământul .

În funcție de tipul de traiectorie, se disting mișcarea rectilinie și curbilinia.

cale s- o mărime fizică scalară determinată de lungimea traiectoriei descrisă de corp într-o anumită perioadă de timp. Calea este întotdeauna pozitivă: s > 0.

in miscareΔr⃗ Δr→ corpuri pentru o anumită perioadă de timp - un segment direcționat al unei linii drepte care leagă inițialul (punctul M 0) și final (punctul M) poziția corpului (vezi Fig. 2):

Δr⃗ =r⃗ −r⃗ 0, Δr→=r→−r→0,

unde r⃗ r→ și r⃗ 0 r→0 sunt vectorii-rază ai corpului în aceste momente de timp.

Proiecția deplasării pe axă Bou

Δrx=Δx=x−x0 Δrx=Δx=x−x0

Unde X 0 și X- coordonatele corpului în momentele inițiale și finale ale timpului.

Modulul de deplasare nu poate fi mai mult decât o cale

|Δr⃗ |≤s |Δr→|≤s

Semnul egal se referă la cazul mișcării rectilinie dacă direcția de mișcare nu se schimbă.

Cunoscând deplasarea și poziția inițială a corpului, putem găsi poziția acestuia la momentul t:

r⃗ =r⃗ 0+Δr⃗ ; r→=r→0+Δr→;

(x=x0+Δrx;y=y0+Δry. (x=x0+Δrx;y=y0+Δry.

Viteză

Viteza medie hυ⃗ i hυ→i este o mărime fizică vectorială, numeric egală cu raportul dintre deplasarea și intervalul de timp în care a avut loc și direcționată de-a lungul deplasării (Fig. 4):

hυ⃗ i=Δr⃗ Δt; hυ⃗ i⇈Δr⃗. hυ→i=Δr→Δt;hυ→i⇈Δr→.

Unitatea SI pentru viteza este metri pe secunda (m/s).

Viteza medie găsită prin această formulă caracterizează mișcarea doar în acea parte a traiectoriei pentru care este definită. Pe o altă parte a traiectoriei, poate fi diferit.

Uneori folosesc viteza medie a căii

hυi=sΔt hυi=sΔt

Unde s este calea parcursă în intervalul de timp Δ t. Viteza medie a traseului este o valoare scalară.

Viteza instantaneeυ⃗ υ→ corp - viteza corpului la un moment dat (sau la un punct dat al traiectoriei). Este egală cu limita la care tinde viteza medie pe un interval de timp infinitezimal υ⃗ =limΔt→0Δr⃗ Δt=r⃗ ′ υ→=limΔt→0Δr→Δt=r→ ′. Aici r⃗ ′ r→ ′ este derivata în timp a vectorului rază.

În proiecția pe axă Oh:

υx=limΔt→0ΔxΔt=x′. υx=limΔt→0ΔxΔt=x′.

Viteza instantanee a corpului este direcționată tangențial la traiectorie în fiecare punct din direcția mișcării (vezi Fig. 4).

Accelerare

Accelerație medie- o mărime fizică egală numeric cu raportul dintre schimbarea vitezei și timpul în care a avut loc:

ha⃗ i=Δυ⃗ Δt=υ⃗ −υ⃗ 0Δt. ha→i=Δυ→Δt=υ→−υ→0Δt.

Vectorul ha⃗ i ha→i este îndreptat paralel cu vectorul de schimbare a vitezei Δυ⃗ Δυ→ (ha⃗ i⇈Δυ⃗ ha→i⇈Δυ→) spre concavitatea traiectoriei (Fig. 5).

Boost instantaneu:

a⃗ =limΔt→0Δυ⃗ Δt=υ⃗′. a→=limΔt→0Δυ→Δt=υ→ ′.

Unitatea SI pentru accelerație este metri pe secundă pătrat (m/s2).

În cazul general, accelerația instantanee este direcționată la un unghi față de viteza. Cunoscând traiectoria, puteți determina direcția vitezei, dar nu și accelerația. Direcția accelerației este determinată de direcția forțelor rezultante care acționează asupra corpului.

În mișcare rectilinie cu creșterea vitezei modulo (Fig. 6, a), vectorii a⃗ a→ și υ⃗ 0 υ→0 sunt co-direcționați (a⃗ ⇈υ⃗ 0 a→⇈υ→0) iar proiecția accelerației pe direcția lui mișcarea este pozitivă.

În mișcare rectilinie cu modul descrescător al vitezei (Fig. 6, b), direcțiile vectorilor a⃗ a→ și υ⃗ 0 υ→0 sunt opuse (a⃗ ↓υ⃗ 0 a→↓υ→0) iar proiecția accelerației pe direcția de mișcare este negativă.

Vectorul a⃗ a→ în timpul mișcării curbilinie poate fi descompus în două componente direcționate de-a lungul vitezei a⃗ τ a→τ și perpendicular pe viteza a⃗ n a→n (Fig. 1.7), a⃗ τ a→τ mișcare, a⃗ n a→n - accelerație normală, care caracterizează viteza de schimbare a direcției vectorului viteză în timpul mișcării curbilinii Modulul de accelerație a=a2τ+a2n−−−−−−√ a=aτ2+an2.

Metode de precizare a mișcării unui punct

Puteți utiliza una dintre următoarele trei metode pentru a specifica mișcarea unui punct:

1) vector, 2) coordonate, 3) natural.

1. Metoda vectoriala pentru precizarea miscarii unui punct.

Lasă punctul M se mișcă în raport cu un anumit cadru de referință Oxyz. Poziția acestui punct poate fi determinată în orice moment prin setarea vectorului său rază desenat de la origine DESPRE exact M(Fig. 3).

Fig.3

Când punctul se mișcă M vectorul se va modifica în timp atât în ​​valoare absolută, cât și în direcție. Prin urmare, este un vector variabil (vector funcție) în funcție de argumentul t:

Egalitatea definește legea mișcării unui punct sub formă vectorială, deoarece vă permite să construiți vectorul corespunzător în orice moment și să găsiți poziția punctului în mișcare.

Locul capetelor vectorului, i.e. odograf a acestui vector determină traiectoria punctului în mișcare.

2. Metoda coordonatelor de precizare a mișcării unui punct.

Poziția unui punct poate fi determinată direct de coordonatele sale carteziene x, y, z(Fig. 3), care, atunci când punctul se mișcă, se va schimba în timp. Pentru a cunoaște legea mișcării unui punct, adică poziția sa în spațiu în orice moment de timp, este necesar să se cunoască valorile coordonatelor punctului pentru fiecare moment de timp, adică cunoaște dependențele

x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Ecuațiile sunt ecuațiile de mișcare ale unui punct în coordonate carteziene dreptunghiulare. Ei determină legea mișcării unui punct cu metoda coordonatelor de specificare a mișcării.

Pentru a obține ecuația traiectoriei, este necesar să excludem parametrul t din ecuațiile de mișcare.

Este ușor de stabilit relația dintre metodele vector și coordonate de definire a mișcării.

Descompunem vectorul în componente de-a lungul axelor de coordonate:

unde r x , ry y , r z - proiectii vectoriale pe axa; – vectori unitari direcționați de-a lungul axelor, ortelor axelor.

Deoarece începutul vectorului este la origine, proiecțiile vectorului vor fi egale cu coordonatele punctului M. De aceea

Dacă mișcarea punctului este dată în coordonate polare

r=r(t), φ = φ(t),

unde r este raza polară, φ este unghiul dintre axa polară și raza polară, atunci aceste ecuații exprimă ecuația traiectoriei punctului. Eliminând parametrul t, obținem

r = r(φ).

Exemplul 1 Mișcarea unui punct este dată de ecuații

Fig.4

Pentru a exclude timpul, parametrul t, găsim din prima ecuație sin2t=x/2, din a doua cos2t=y/3. Apoi îl pătram și îl adăugăm. Deoarece sin 2 2t+cos 2 2t=1, obținem . Aceasta este ecuația unei elipse cu semiaxele de 2 cm și 3 cm (Fig. 4).

Poziția de pornire a punctului M 0 (când t\u003d 0) este determinată de coordonatele x 0 \u003d 0, y 0 \u003d 3 cm.

După 1 sec. punctul va fi pe poziție M 1 cu coordonatele

x 1 \u003d 2sin2 \u003d 2 ∙ 0,91 \u003d 1,82 cm, y 1 \u003d 2cos2=3 ∙ (-0,42) \u003d -1,25 cm.

Notă.

Mișcarea unui punct poate fi specificată folosind și alte coordonate. De exemplu, cilindric sau sferic. Printre acestea vor fi nu numai dimensiuni liniare, ci și unghiuri. Dacă este necesar, vă puteți familiariza cu sarcina mișcării prin coordonatele cilindrice și sferice din manuale.

3. O modalitate naturală de a specifica mișcarea unui punct.

Fig.5

Este convenabil să folosiți modul natural de specificare a mișcării în cazurile în care traiectoria punctului în mișcare este cunoscută dinainte. Lasă curba AB este traiectoria punctului M când se deplasează în raport cu sistemul de referinţă Oxyz(fig.5) Să alegem un punct fix pe această traiectorie DESPRE", pe care o vom lua ca origine, și vom stabili direcțiile de referință pozitive și negative pe traiectorie (ca pe axa de coordonate).

Apoi poziția punctului M pe traiectorie va fi determinată în mod unic de coordonatele curbilinii s, care este egală cu distanța de la punct DESPRE' până la punctul M măsurată de-a lungul arcului traiectoriei și luată cu semnul corespunzător. La mutarea punctului M se mută pe poziții M 1 , M 2,... . de aici distanța s se va schimba în timp.

Pentru a cunoaște poziția unui punct M pe traiectorie în orice moment, trebuie să cunoașteți dependența

Ecuația exprimă legea mișcării unui punct M de-a lungul traiectoriei. Funcția s= f(t) trebuie să fie cu o singură valoare, continuă și diferențiabilă.

Pentru direcția de referință pozitivă a coordonatei arcului s, se ia direcția de mișcare a punctului în momentul în care acesta ocupă poziția O. Trebuie reținut că ecuația s \u003d f (t) nu determină legea mișcării a punctului în spațiu, deoarece pentru a determina poziția punctului în spațiu, trebuie să cunoașteți și traiectoria punctului cu poziția inițială a punctului pe el și o direcție pozitivă fixă. Astfel, mișcarea unui punct este considerată a fi dată în mod natural, dacă se cunosc traiectoria și ecuația (sau legea) mișcării punctului de-a lungul traiectoriei.

Este important de remarcat că coordonata arcului punctului s este diferită de calea σ parcursă de punctul de-a lungul traiectoriei. În timpul mișcării sale, punctul parcurge o anumită cale σ, care este funcție de timpul t. Cu toate acestea, distanța parcursă σ coincide cu distanța s numai atunci când funcția s = f(t) se modifică monoton cu timpul, adică. când punctul se mișcă în aceeași direcție. Să presupunem că punctul M merge de la M 1 la M 2 . Poziția punctului din M ​​1 corespunde timpului t 1 , iar poziția punctului din M ​​2 corespunde timpului t 2 . Să descompunăm intervalul de timp t 2 - t 1 în intervale de timp foarte mici ∆t 1 (i = 1,2, …n) astfel încât în ​​fiecare dintre ele punctul să se miște într-o direcție. Să notăm incrementul corespunzător al coordonatei arcului ca ∆s i . Calea σ parcursă de punct va fi o valoare pozitivă:

Dacă mișcarea unui punct este dată într-un mod de coordonate, atunci distanța parcursă este determinată de formulă

unde dx=xdt, dy=ydt, dz=zdt.

Prin urmare,

Exemplul 2 Punctul se deplasează în linie dreaptă, conform legii s=2t+3 (cm) (Fig. 6).

Fig.6

La inceputul miscarii, la t=0 s=OM 0 =s 0 =3 cm.Pozitia punctului M 0 este numit poziția inițială. La t=1 s, s=OM1 =5 cm.

Desigur, în 1 secundă. punctul a parcurs o distanţă M 0 M 1 = 2 cm Deci s- aceasta nu este calea parcursă de punct, ci distanța de la origine până la punct.

Vector viteza punctului

Una dintre principalele caracteristici cinematice ale mișcării unui punct este o mărime vectorială numită viteza unui punct. Conceptul de viteză punctuală în mișcare rectilinie uniformă este unul dintre conceptele elementare.

Viteză- o măsură a stării mecanice a corpului. Caracterizează rata de schimbare a poziției corpului față de un sistem de referință dat și este o mărime fizică vectorială.

Unitatea de măsură a vitezei este m/s. Alte unități sunt adesea folosite, de exemplu, km/h: 1 km/h=1/3,6 m/s.

Mișcarea unui punct se numește uniformă dacă incrementele vectorului rază a punctului pentru aceleași intervale de timp sunt egale între ele. Dacă traiectoria punctului este o linie dreaptă, atunci mișcarea punctului se numește rectilinie.

Pentru o mișcare rectilinie uniformă

∆r= v∆t, (1)

Unde v este un vector constant.

Vector v se numește viteza de mișcare rectilinie și o determină complet.

Din relația (1) se poate observa că viteza mișcării rectilinie și uniforme este o mărime fizică care determină mișcarea unui punct pe unitatea de timp. Din (1) avem

direcția vectorială v prezentată în fig. 6.1.

Fig.6.1

Cu mișcare neuniformă, această formulă nu este potrivită. Să introducem mai întâi conceptul de viteză medie a unui punct pe o anumită perioadă de timp.

Lăsați punctul de mișcare să fie în momentul respectiv t gravidă M, determinată de vectorul rază , iar în momentul t 1 vine în poziție M 1 determinată de vector (Fig. 7). Atunci mișcarea unui punct pe o perioadă de timp ∆t=t 1 -t este determinată de un vector pe care îl vom numi vector de mișcare a punctului. Dintr-un triunghi OMM 1 arată că ; prin urmare,

Orez. 7

Raportul dintre vectorul deplasării punctului și intervalul de timp corespunzător dă o valoare vectorială, numită viteza punctului mediată în valoare absolută și direcție pe intervalul de timp ∆t:

Viteza unui punct la un moment dat t este mărimea vectorială v, la care tinde viteza medie v cf atunci când intervalul de timp ∆t tinde spre zero:

Deci, vectorul viteză al unui punct la un moment dat de timp este egal cu prima derivată a vectorului rază a punctului în raport cu timpul.

Deoarece sensul limitativ al secantei MM 1 este tangentă, atunci vectorul viteză al punctului la un moment dat de timp este direcționat tangențial la traiectoria punctului în direcția mișcării.

Determinarea vitezei unui punct cu metoda coordonatelor de specificare a mișcării

Vectorul viteză punctual, având în vedere că r x =x, r y =y, r z =z, găsim:

Astfel, proiecțiile vitezei punctului pe axele de coordonate sunt egale cu primele derivate ale coordonatelor corespunzătoare ale punctului în raport cu timpul.

Cunoscând proiecțiile vitezei, găsim modulul și direcția acesteia (adică unghiurile α, β, γ pe care le formează vectorul v cu axele de coordonate) folosind formulele

Deci, valoarea numerică a vitezei unui punct la un moment dat este egală cu prima derivată a distanței (coordonată curbilinie) s puncte în timp.

Vectorul viteză este direcționat de-a lungul unei tangente la traiectorie, pe care o cunoaștem dinainte.

Determinarea vitezei unui punct cu un mod natural de specificare a mișcării

Mărimea vitezei poate fi definită ca o limită (∆r este lungimea coardei MM 1):

unde ∆s este lungimea arcului MM 1 . Prima limită este egală cu unu, a doua limită este derivata ds/dt.

Prin urmare, viteza unui punct este derivata pentru prima dată a legii mișcării:

Vectorul viteză este direcționat, așa cum sa stabilit mai devreme, tangențial la traiectorie. Dacă valoarea vitezei este în prezent mai mare decât zero, atunci vectorul viteză este direcționat în direcția pozitivă.

Vector de accelerație punctual

Accelerare- mărime fizică vectorială care caracterizează viteza de schimbare a vitezei. Arată cât de mult se modifică viteza corpului pe unitatea de timp.

Unitatea SI a accelerației este metru pe secundă pătrat. la intervalul de timp corespunzător ∆t determină vectorul accelerației punctuale medii pe acest interval de timp:

Vectorul de accelerație medie are aceeași direcție ca vectorul, adică. îndreptată spre concavitatea traiectoriei.

Accelerația unui punct la un moment dat t se numește valoarea vectorială la care tinde accelerația medie atunci când intervalul de timp ∆t tinde spre zero: Vectorul accelerație al unui punct la un moment dat de timp este egal cu derivata întâi a vectorului viteză sau derivata a doua a razei. -vector al punctului în raport cu timpul.

Accelerația unui punct este zero numai când viteza punctului v este constantă atât ca mărime cât și ca direcție: aceasta corespunde numai mișcării rectilinie și uniforme.

Să aflăm cum este situat vectorul în raport cu traiectoria punctului. În mișcare rectilinie, vectorul este îndreptat de-a lungul liniei drepte de-a lungul căreia se mișcă punctul. este îndreptată spre concavitatea traiectoriei și se află în planul care trece prin tangenta la traiectorie în punctul Mși o dreaptă paralelă cu tangenta într-un punct adiacent M 1 (Fig. 8). În limita când punctul M tinde să M, acest plan ocupă poziţia aşa-numitului plan contiguu, adică. un plan în care are loc o rotație infinit de mică a tangentei la traiectorie cu o deplasare elementară a unui punct în mișcare. Prin urmare, în cazul general, vectorul de accelerație se află într-un plan contiguu și este îndreptat către concavitatea curbei.

Determinarea accelerației cu metoda coordonatelor de specificare a mișcării

Vectorul de accelerație al punctului din proiecția pe axă obținem:

acestea. proiecția accelerației unui punct pe axele de coordonate sunt egale cu primele derivate ale proiecțiilor vitezei sau derivatele secunde ale coordonatelor corespunzătoare punctului în timp. Modulul și direcția de accelerație pot fi găsite din formule

Fig.10

Proiecțiile accelerației a x = =0, a y = =-8 cm∙s -2 . Din moment ce proiectia vectorului acceleratie pe axa X este egal cu zero și pe axă y- este negativ, atunci vectorul de accelerație este îndreptat vertical în jos, iar valoarea lui este constantă, nu depinde de timp.

Prima descoperire a lui Arhimede în mecanică a fost introducerea conceptului de centru de greutate, adică. dovada că în orice corp există un singur punct în care greutatea acestuia poate fi concentrată fără a încălca starea de echilibru.

Centrul de greutate al unui corp este un punct al unui corp rigid prin care rezultanta tuturor forțelor gravitaționale care acționează asupra maselor elementare ale acestui corp trece în orice poziție din spațiu.

Centrul de greutate al sistemului mecanic se numește punctul, raportat la care momentul total de greutate care acționează asupra tuturor corpurilor sistemului este egal cu zero.

Pur și simplu pune, centrul de greutate- acesta este punctul în care se aplică forța gravitațională, indiferent de poziția corpului însuși. Dacă corpul este uniform, centrul de greutate situat de obicei în centrul geometric al corpului. Astfel, centrul de greutate într-un cub omogen sau o bilă omogenă coincide cu centrul geometric al acestor corpuri.

Dacă dimensiunile corpului sunt mici în comparație cu raza Pământului, atunci putem presupune că forțele gravitaționale ale tuturor particulelor corpului formează un sistem de forțe paralele. Rezultatul lor se numește gravitatie, iar centrul acestor forțe paralele este centrul de greutate al corpului.

Coordonatele centrului de greutate al corpului pot fi determinate prin formulele (Fig. 7.1):

, , ,

Unde - greutate corporala x i, y eu, z i– coordonatele unei particule elementare, greutatea P i;.

Formulele pentru determinarea coordonatelor centrului de greutate al unui corp sunt exacte, strict vorbind, numai atunci când corpul este împărțit într-un număr infinit de particule elementare infinit de mici cântărind P i. Dacă numărul de particule în care corpul este divizat mental este finit, atunci în cazul general aceste formule vor fi aproximative, deoarece coordonatele x i , y i , z iîn acest caz, ele pot fi determinate numai cu o precizie a dimensiunilor particulelor. Cu cât aceste particule sunt mai mici, cu atât mai mică este eroarea pe care o vom face atunci când calculăm coordonatele centrului de greutate. Expresiile exacte pot fi obținute doar ca urmare a trecerii la limită, când dimensiunea fiecărei particule tinde spre zero, iar numărul lor crește la infinit. După cum știți, o astfel de limită se numește integrală definită. Prin urmare, determinarea efectivă a coordonatelor centrelor de greutate ale corpurilor în cazul general necesită înlocuirea sumelor cu integralele corespunzătoare acestora și aplicarea metodelor de calcul integral.

Dacă masa din interiorul unui corp rigid sau a unui sistem mecanic este distribuită neuniform, atunci centrul de greutate se deplasează în partea în care este mai greu.

Centrul de greutate al unui corp poate să nu fie întotdeauna situat în interiorul corpului însuși. Deci, de exemplu, centrul de greutate al bumerangului se află undeva la mijloc între capetele bumerangului, dar în afara corpului bumerangului însuși.

Pentru asigurarea sarcinilor, poziția centrului de greutate este foarte importantă. În acest moment sunt aplicate forțele gravitaționale și forțele inerțiale care acționează asupra sarcinii în procesul de mișcare. Cu cât centrul de greutate al unui corp sau al unui sistem mecanic este mai sus, cu atât este mai predispus la răsturnare.

Centrul de greutate al corpului coincide cu centrul de masă.

Orice corp poate fi considerat ca un set de puncte materiale, care, de exemplu, pot fi luate ca molecule. Fie corpul format din n puncte materiale cu mase m1, m2, ...mn.

centrul de masă al corpului, constând din n puncte materiale, se numește punct (în sens geometric), al cărui vector rază este determinat de formula:

Aici R1 este vectorul rază al punctului cu numărul i (i = 1, 2, ... n).

Această definiție pare neobișnuită, dar de fapt dă poziția chiar a centrului de masă, despre care avem o idee intuitivă. De exemplu, centrul de masă al tijei va fi în mijlocul acesteia. Suma maselor tuturor punctelor incluse în numitorul formulei de mai sus se numește masa corpului. greutate corporala numit suma maselor tuturor punctelor sale: m = m1 + m2 + ... + mn .

În corpurile omogene simetrice, CM este întotdeauna situat în centrul de simetrie sau se află pe axa de simetrie dacă figura nu are un centru de simetrie. Centrul de masă poate fi situat atât în ​​interiorul corpului (disc, pătrat, triunghi), cât și în exteriorul acestuia (inel, cadru, pătrat).

Pentru o persoană, poziția CM depinde de postura adoptată. În multe sporturi, o componentă importantă a succesului este capacitatea de a menține echilibrul. Deci, la gimnastică, acrobație

un număr mare de elemente vor include diferite tipuri de echilibru. Capacitatea de a menține echilibrul este importantă în patinaj artistic, în patinaj, unde suportul are o suprafață foarte mică.

Condițiile de echilibru pentru un corp în repaus sunt egalitatea simultană cu zero a sumei forțelor și suma momentelor forțelor care acționează asupra corpului.

Să aflăm ce poziţie trebuie să ocupe axa de rotaţie pentru ca corpul fixat pe ea să rămână în echilibru sub acţiunea gravitaţiei. Pentru a face acest lucru, vom sparge corpul în multe bucăți mici și vom trage forțele gravitaționale care acționează asupra lor.

În conformitate cu regula momentelor, pentru echilibru este necesar ca suma momentelor tuturor acestor forțe în jurul axei să fie egală cu zero.

Se poate arăta că pentru fiecare corp există un punct unic în care suma momentelor de greutate în jurul oricărei axe care trece prin acest punct este egală cu zero. Acest punct se numește centru de greutate (de obicei coincide cu centrul de masă).

Centrul de greutate al corpului (CG) numit punctul în jurul căruia suma momentelor gravitaționale care acționează asupra tuturor particulelor corpului este egală cu zero.

Astfel, forțele de greutate nu fac corpul să se rotească în jurul centrului de greutate. Prin urmare, toate forțele gravitației ar putea fi înlocuite cu o singură forță care este aplicată în acest punct și este egală cu forța gravitației.

Pentru a studia mișcările corpului unui atlet, este adesea introdus termenul de centru de greutate comun (CGG). Principalele proprietăți ale centrului de greutate:

Dacă corpul este fixat pe o axă care trece prin centrul de greutate, atunci gravitația nu îl va determina să se rotească;

Centrul de greutate este punctul de aplicare al gravitației;

Într-un câmp uniform, centrul de greutate coincide cu centrul de masă.

Echilibrul este poziția corpului în care acesta poate rămâne în repaus pentru un timp arbitrar lung. Când corpul se abate de la poziția de echilibru, forțele care acționează asupra lui se schimbă, iar echilibrul forțelor este perturbat.

Există diferite tipuri de echilibru (Fig. 9). Se obișnuiește să se distingă trei tipuri de echilibru: stabil, instabil și indiferent.

Echilibrul stabil (Fig. 9, a) se caracterizează prin faptul că corpul revine la poziția inițială atunci când este deviat. În acest caz, apar forțe, sau momente de forțe, care tind să readucă corpul în poziția inițială. Un exemplu este poziția corpului cu un suport superior (de exemplu, agățat de bara transversală), când, cu orice abateri, corpul tinde să revină la poziția inițială.

Echilibrul indiferent (Fig. 9, b) se caracterizează prin faptul că atunci când poziția corpului se schimbă, nu există forțe sau momente de forțe care tind să readucă corpul în poziția inițială sau să îndepărteze în continuare corpul din acesta. Aceasta este o întâmplare rară la om. Un exemplu este starea de imponderabilitate pe o navă spațială.

Echilibrul instabil (Fig. 9, c) se observă atunci când, cu mici abateri ale corpului, apar forțe sau momente de forțe care tind să devieze și mai mult corpul de la poziția inițială. Un astfel de caz poate fi observat atunci când o persoană, stând pe un suport de o zonă foarte mică (mult mai mică decât aria celor două picioare sau chiar a unui picior), deviază în lateral.

Figura 9 Echilibrul corpului: stabil (a), indiferent (b), instabil (c)

Alături de tipurile de echilibru ale corpurilor enumerate în biomecanică, este considerat încă un tip de echilibru - limitat-stabil. Acest tip de echilibru se distinge prin faptul că corpul poate reveni la poziția inițială dacă se abate de la acesta până la o anumită limită, de exemplu, determinată de limita zonei de sprijin. Dacă abaterea depășește această limită, echilibrul devine instabil.

Sarcina principală în asigurarea echilibrului corpului uman este să se asigure că proiecția GCM a corpului se află în zona de sprijin. În funcție de tipul de activitate (menținerea unei poziții statice, mers, alergare etc.) și cerințele de stabilitate, frecvența și viteza acțiunilor corective se modifică, dar procesele de menținere a echilibrului sunt aceleași.

Distribuția masei în corpul uman

Masa corpului și masele segmentelor individuale sunt foarte importante pentru diferite aspecte ale biomecanicii. În multe sporturi, este necesar să se cunoască distribuția masei pentru a dezvolta tehnica corectă pentru efectuarea exercițiilor. Pentru a analiza mișcările corpului uman se utilizează metoda segmentării: este împărțită în mod convențional în anumite segmente. Pentru fiecare segment se determină masa acestuia și poziția centrului de masă. În tabel. 1 definește masele părților corpului în unități relative.

Tabelul 1. Masele părților corpului în unități relative

Adesea, în locul conceptului de centru de masă, se folosește un alt concept - centrul de greutate. Într-un câmp uniform de greutate, centrul de greutate coincide întotdeauna cu centrul de masă. Poziția centrului de greutate al legăturii este indicată ca distanța sa față de axa articulației proximale și este exprimată în raport cu lungimea legăturii luată ca unitate.

În tabel. 2 prezintă poziția anatomică a centrelor de greutate ale diferitelor părți ale corpului.

Masa 2. Centrele de greutate ale părților corpului

Parte a corpului	Poziția centrului de greutate
Şold	0,44 lungime link
Fluierul piciorului	0,42 lungime link
Umăr	0,47 lungime link
Antebraț	0,42 lungime link
trunchiul
Cap
Perie
Picior
Umăr	0,47 lungime link
Antebraț	0,42 lungime link
trunchiul	0,44 distanță de la axa transversală a articulațiilor umărului până la axa șoldului
Cap	Situat în regiunea șeii turcești a osului sfenoid (proiecție din față între sprâncene, din lateral - 3,0 - 3,5 deasupra canalului auditiv extern)
Perie	În regiunea capului celui de-al treilea os metacarpian
Picior	Pe o linie dreaptă care leagă tuberculul calcanean al calcaneului cu capătul celui de-al doilea deget la o distanță de 0,44 de primul punct
Centrul general de greutate în poziția verticală a corpului	Situat in pozitia principala in zona pelviana, in fata sacrului

Vedere: acest articol a fost citit de 11269 ori

Pdf Selectează limba... Rusă Ucraineană Engleză

Scurtă recenzie

Materialul complet este descărcat mai sus, după selectarea limbii

Revizuire

Maneta este un corp rigid care are o axă de rotație imobilă și se află sub acțiunea unor forțe situate într-un plan perpendicular pe această axă.

Dacă pârghia este în repaus, atunci suma algebrică a momentelor tuturor forțelor aplicate pârghiei în raport cu punctul de referință este zero

Sistemul de forțe plan arbitrar - acesta este un sistem de forțe, ale căror linii de acțiune sunt situate într-un plan independent.

Folosind metoda Poinsot în centrul de reducere O se va obține un sistem de forțe și un sistem de perechi, momentele fiecăruia fiind egale cu momentele forței corespunzătoare față de centrul de reducere.

Sistem vectorial principal se numește vector, care este egal cu suma geometrică a tuturor forțelor sistemului.

Punctul principal al sistemului relativ la centrul O din plan se numește suma algebrică a momentelor de forță ale sistemului relativ la centrul de reducere O.

Vectorul principal nu depinde de alegerea centrului de reducere O. Momentul principal al forțelor depinde de centrul de reducere.

Teorema de bază a staticii despre aducerea sistemului de forțe la un centru dat : Orice sistem arbitrar plat de forțe care acționează asupra unui corp absolut rigid, atunci când este redus la un centru ales arbitrar O, poate fi înlocuit cu o forță egală cu vectorul principal al sistemului și aplicată la centrul de reducere O, și o pereche cu un moment egal cu momentul principal al sistemului în jurul centrului O.

Sunt luate în considerare cazurile de reducere a unui sistem plat de forțe la o formă mai simplă.

Condiții de echilibru pentru un sistem de forțe plan arbitrar.

1. Condiții de echilibru geometric : pentru echilibrul unui sistem arbitrar de forțe plan, este necesar și suficient ca vectorul principal și momentul principal al sistemului să fie egale cu zero

2. Condiții de echilibru analitic .

Forma de bază a condițiilor de echilibru: Pentru echilibrul unui sistem plat arbitrar de forțe, este necesar și suficient ca suma proiecțiilor tuturor forțelor pe axele de coordonate și suma momentelor acestora față de orice centru care se află în planul de acțiune al forțelor. sunt egale cu zero.

A doua formă a condițiilor de echilibru: Pentru echilibrul unui sistem planar arbitrar de forțe, este necesar și suficient ca suma momentelor tuturor forțelor în jurul oricăror doi centre A și B și suma proiecțiilor acestora pe o axă neperpendiculară pe dreapta AB să fie egal cu zero.

A treia formă de condiții de echilibru (ecuația celor trei momente): Pentru echilibrul unui sistem arbitrar de forțe plat, este necesar și suficient ca suma momentelor tuturor forțelor în jurul oricăror trei centre A, B și C, care nu se află pe o singură dreaptă, să fie egală cu zero.

Centrul Forțelor Paralele

Un sistem de forțe paralele îndreptate într-o direcție nu poate fi echilibrat sau redus la o pereche de forțe, are întotdeauna o rezultantă.

Linia de acțiune a rezultantei este paralelă cu forțele. Poziția punctului de aplicare a acestuia depinde de mărimea și poziția punctelor de aplicare a forțelor sistemului.

Centrul Forțelor Paralele - punctul C este punctul de aplicare al sistemului rezultant de forte paralele.
Poziția centrului de forțe paralele - punctul C, este determinată de coordonatele acestui punct

Centrul de greutate al unui corp rigid și coordonatele acestuia

Centrul de greutate al corpului - un punct geometric asociat invariabil cu acest corp, la care se aplică rezultanta forțelor gravitaționale ale particulelor individuale ale corpului, i.e. greutatea corporală în spațiu.

Coordonatele centrului de greutate sunt determinate în mod similar cu coordonatele centrului de forțe paralele C (), compuse din forțele gravitaționale ale particulelor corpului.

Poziția centrului de greutate al unui corp omogen depinde numai de forma și dimensiunile sale geometrice și nu depinde de proprietățile materialului din care este realizat corpul.

Suma produselor ariilor elementare care alcătuiesc o figură plată prin valorile algebrice ale distanțelor lor față de o anumită axă se numește momentul static al ariei figurii plate.

Moment static aria unei figuri plate este egală cu produsul dintre aria figurii cu distanța algebrică de la centrul de greutate la această axă. Unitatea de măsură pentru momentul static este [cm3].
momentul static al ariei unei figuri plate în raport cu axa care trece prin centrul de greutate al figurii este egal cu zero.

Greutatea corporală este rezultanta forțelor gravitaționale ale particulelor individuale ale corpului.

Metode de determinare a poziției centrului de greutate .

1. Metoda simetriei : Dacă un corp omogen are un plan, axă sau centru de simetrie, atunci centrul de greutate se află, respectiv, fie în planul de simetrie, fie pe axa de simetrie, fie în centrul de simetrie Centrul de greutate al o linie de lungime este la mijloc. Centrul de greutate al unui cerc (sau cerc) de rază se află în centrul său, adică. în punctul de intersecţie a diametrelor. Centrul de greutate al unui paralelogram, romb sau paralelipiped se află în punctul de intersecție al diagonalelor. Centrul de greutate al unui poligon regulat se află în centrul unui cerc înscris sau circumscris.
2. Metoda de trasare : Dacă corpul poate fi împărțit într-un număr finit de elemente (volume, plane, linii), pentru fiecare dintre care poziția centrului de greutate este cunoscută, atunci coordonatele centrului de greutate al întregului corp pot fi determinate prin cunoașterea valorilor elementelor direct prin formule
3. Metoda complementului (planuri negative): Dacă corpul are elemente tăiate, atunci când se împarte în elemente, partea tăiată (suprafață, volum) este scăzută din total, adică. elementelor tăiate li se dau valori negative de suprafață sau de volum

Format: pdf

Dimensiune: 700 KV

Limba: rusă, ucraineană

Un exemplu de calcul al unui angrenaj drept
Un exemplu de calcul al unui angrenaj drept. S-au efectuat alegerea materialului, calculul tensiunilor admisibile, calculul rezistenței la contact și la încovoiere.

Un exemplu de rezolvare a problemei de îndoire a fasciculului
În exemplu, sunt reprezentate diagrame ale forțelor transversale și ale momentelor încovoietoare, se găsește o secțiune periculoasă și se selectează o grindă I. În problemă, se analizează construcția diagramelor folosind dependențe diferențiale, se efectuează o analiză comparativă a diferitelor secțiuni transversale ale fasciculului.

Un exemplu de rezolvare a problemei torsiunii arborelui
Sarcina este de a testa rezistența unui arbore de oțel pentru un diametru dat, material și tensiuni admisibile. În timpul soluției, se construiesc diagrame ale cuplurilor, tensiunilor tăietoare și unghiurilor de răsucire. Greutatea proprie a arborelui nu este luată în considerare

Un exemplu de rezolvare a problemei de tensiune-comprimare a unei tije
Sarcina este de a testa rezistența unei tije de oțel la solicitări admisibile date. În timpul soluției, se construiesc diagrame ale forțelor longitudinale, solicitărilor normale și deplasărilor. Greutatea proprie a barei nu este luată în considerare

Aplicarea teoremei de conservare a energiei cinetice
Un exemplu de rezolvare a problemei de aplicare a teoremei privind conservarea energiei cinetice a unui sistem mecanic

Determinarea vitezei și accelerației unui punct conform ecuațiilor de mișcare date
Un exemplu de rezolvare a problemei determinării vitezei și accelerației unui punct conform ecuațiilor de mișcare date

Determinarea vitezelor și accelerațiilor punctelor unui corp rigid în timpul mișcării plan-paralel
Un exemplu de rezolvare a problemei determinării vitezelor și accelerațiilor punctelor unui corp rigid în timpul mișcării plan-paralel