1.3 Metode de rezolvare a ecuațiilor

Când se rezolvă ecuații în numere întregi și numere naturale, se pot distinge aproximativ următoarele metode:

1. Metoda de enumerare a opțiunilor.

2. Algoritm euclidian.

3. Fracții continuate.

4. Metoda factorizării.

5. Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi ca pătrate în raport cu o variabilă.

6. Metoda reziduurilor.

7. Metoda coborârii infinite.

Capitolul 2. Aplicarea metodelor de rezolvare a ecuaţiilor

1. Exemple de rezolvare a ecuațiilor.

2.1 Algoritmul euclidian.

Problema 1 . Rezolvați ecuația în numere întregi 407 X – 2816y = 33.

Să folosim algoritmul compilat.

1. Folosind algoritmul euclidian, găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 407 și 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Prin urmare (407,2816) = 11, cu 33 divizibil cu 11

2. Împărțiți ambele părți ale ecuației inițiale la 11, obținem ecuația 37 X – 256y= 3 și (37, 256) = 1

3. Folosind algoritmul euclidian, găsim o reprezentare liniară a numărului 1 prin numerele 37 și 256.

256 = 37 6 + 34;

Să exprimăm 1 din ultima egalitate, apoi crescând succesiv egalitățile vom exprima 3; 34 și înlocuiți expresiile rezultate în expresia pentru 1.

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83·37 – 256·(–12)

Astfel, 37·(–83) – 256·(–12) = 1, deci o pereche de numere x 0= – 83 și y 0= – 12 este soluția ecuației 37 X – 256y = 3.

4. Să notăm formula generală pentru soluțiile ecuației inițiale

Unde t- orice număr întreg.

2.2 Metoda de enumerare a opțiunilor.

Sarcina 2. Iepurii și fazanii stau într-o cușcă; au 18 picioare în total. Aflați câți dintre ambele sunt în celulă?

Soluţie: Se întocmește o ecuație cu două variabile necunoscute, în care x este numărul de iepuri, y este numărul de fazani:

4x + 2y = 18 sau 2x + y = 9.

Să ne exprimăm la prin X : y = 9 – 2x.

X	1	2	3	4
la	7	5	3	1

Astfel, problema are patru soluții.

Răspuns: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Metoda de factorizare.

Enumerarea opțiunilor atunci când găsiți soluții naturale pentru o ecuație cu două variabile se dovedește a fi foarte laborioasă. Mai mult, dacă ecuația are întreg soluții, atunci este imposibil să le enumerăm, deoarece există un număr infinit de astfel de soluții. Prin urmare, vom arăta încă o tehnică - metoda factorizării.

Sarcina 3. Rezolvați ecuația în numere întregiy 3 - X 3 = 91.

Soluţie. 1) Folosind formule de înmulțire abreviate, factorizăm partea dreaptă a ecuației:

(y - X)(y 2 + X y + X 2) = 91……………………….(1)

2) Să notăm toți divizorii numărului 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Efectuați cercetări. Rețineți că pentru orice numere întregi XȘi y număr

y 2 + yx + X 2 ≥ y 2 - 2|y||X| + X 2 = (|y| - |X|) 2 ≥ 0,

prin urmare, ambii factori din partea stângă a ecuației trebuie să fie pozitivi. Atunci ecuația (1) este echivalentă cu un set de sisteme de ecuații:

; ; ;

4) După ce au rezolvat sistemele, obținem: primul sistem are soluții (5; 6), (-6; -5); a treia (-3; 4),(-4; 3); al doilea și al patrulea nu au soluții în numere întregi.

Răspuns: ecuația (1) are patru soluții (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Sarcina 4. Găsiți toate perechile de numere naturale care satisfac ecuația

Soluţie. Să factorizăm partea stângă a ecuației și să scriem ecuația sub forma

.

Deoarece Divizorii numărului 69 sunt numerele 1, 3, 23 și 69, apoi 69 se poate obține în două moduri: 69=1·69 și 69=3·23. Având în vedere că

, obținem două sisteme de ecuații, rezolvând care putem găsi numerele necesare: sau .

Primul sistem are o soluție

, iar al doilea sistem are o soluție.

Răspuns:

.

Sarcina 5. Rezolvați ecuația în numere întregi:

.

Soluţie. Să scriem ecuația sub forma

.

Să factorizăm partea stângă a ecuației. Primim

.

Produsul a două numere întregi poate fi egal cu 1 numai în două cazuri: dacă ambele sunt egale cu 1 sau -1. Obținem două sisteme:

sau .

Primul sistem are o soluție x=2, y=2, iar al doilea sistem are o soluție x=0, y=0.

Răspuns:

.

Sarcina 6. Rezolvați ecuația în numere întregi

Soluţie. Să scriem această ecuație sub forma

.

Să factorizăm partea stângă a ecuației folosind metoda de grupare, obținem

.

Produsul a două numere întregi poate fi egal cu 7 în următoarele cazuri:

7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1) Astfel, obținem patru sisteme:

sau , sau , sau .

Soluția primului sistem este o pereche de numere x = - 5, y = - 6. Rezolvând al doilea sistem, obținem x = 13, y = 6. Pentru al treilea sistem, soluția este numerele x = 5, y = 6. Al patrulea sistem are o soluție x = - 13, y = - 6.

.

Sarcina 7. Demonstrați că ecuația ( X - y) 3 + (y - z) 3 + (z - X) 3 = 30 nu

Instituție de învățământ municipală

Școala secundară Savrushskaya

Districtul Pokhvistnevsky, regiunea Samara

Rezumat la matematică pe tema:

„Ecuații cu doi

necunoscut

în numere întregi"

Completat de: Kolesova Tatyana

Staroverova Nina

la elevi de clasa a X-a

Instituția de învățământ municipală școala secundară Savrushskaya

districtul Pokhvistnevsky

Regiunea Samara.

supraveghetor: Yatmankina Galina Mihailovna

profesor de matematică.

Savrukha 2011

Introducere.________________________________________________3

1. Context istoric ________________________________________________5

1.1 Teoreme privind numărul de soluții ale ecuațiilor diofante liniare___6

1.2 Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor în numere întregi_________________ 6

1.3 Metode de rezolvare a ecuațiilor______________________________ 7

Capitolul 2. Aplicarea metodelor de rezolvare a ecuaţiilor.

1. Rezolvarea problemelor_____________________________________________ 8

2.1 Rezolvarea problemelor folosind algoritmul euclidian________________ 8

2.2 Metoda de enumerare a opțiunilor________________________________ 9

2.3 Metoda de factorizare___________________________ 9

2.4 Metoda reziduală________________________________________________ 12

2. Sarcini la nivel de examen___________________________ 13

Concluzie________________________________________________ 16

Lista referințelor ____________________________________________________ 17

„Cine controlează numerele,

El conduce lumea"

Pitagora.

Introducere.

Analiza situatiei: Ecuațiile diofante sunt un subiect de actualitate în timpul nostru, deoarece rezolvarea ecuațiilor, inegalităților și problemelor care se reduc la rezolvarea ecuațiilor în numere întregi folosind estimări pentru variabile se găsește în diferite colecții matematice și colecții ale Examenului de stat unificat.

După ce am studiat în clasă diferite moduri de a rezolva o ecuație pătratică cu o variabilă, am fost interesați să înțelegem cum sunt rezolvate ecuațiile cu două variabile. Astfel de sarcini se găsesc la olimpiade și în materialele pentru examenele unificate de stat.

În acest an universitar, elevii de clasa a XI-a vor trebui să susțină Examenul de stat unificat la matematică, unde KIM-urile sunt întocmite după o nouă structură. Nu există nicio parte „A”, dar sarcinile au fost adăugate la partea „B” și la partea „C”. Compilatorii explică adăugarea lui C6 prin faptul că pentru a intra într-o universitate tehnică trebuie să fii capabil să rezolvi sarcini de un nivel atât de ridicat de complexitate.

Problemă: În timp ce rezolvăm versiuni eșantioane ale sarcinilor Unified State Exam, am observat că cel mai adesea în C6 există sarcini pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul I și II în numere întregi. Dar nu știm cum să rezolvăm astfel de ecuații. În acest sens, a devenit necesară studierea teoriei unor astfel de ecuații și a algoritmului de rezolvare a acestora.

Ţintă: Stăpânește metoda de rezolvare a ecuațiilor cu două necunoscute de gradul I și II în numere întregi.

Sarcini: 1) Studiază literatură educațională și de referință;

2) Colectarea materialului teoretic despre metodele de rezolvare a ecuaţiilor;

3) Analizați algoritmul de rezolvare a ecuațiilor de acest tip;

4) Descrieți soluția.

5) Luați în considerare o serie de exemple folosind această tehnică.

6) Rezolvați ecuații cu două variabile în numere întregi din

materiale ale examenului unificat de stat-2010 C6.

Obiect de studiu : Rezolvarea ecuațiilor

Subiect de studiu : Ecuații cu două variabile în numere întregi.

Ipoteză: Acest subiect are o mare importanță practică. În cursul școlar de matematică sunt studiate în detaliu ecuațiile cu o variabilă și diverse metode de rezolvare a acestora. Nevoile procesului educațional impun ca elevii să cunoască și să fie capabili să rezolve ecuații simple cu două variabile. Prin urmare, o atenție sporită la acest subiect nu este doar justificată, ci este și relevantă în cursul de matematică din școală.

Această lucrare poate fi folosită pentru a studia această temă la cursuri opționale pentru studenți, în pregătirea examenelor finale și a examenelor de admitere. Sperăm că materialul nostru îi va ajuta pe elevii de liceu să învețe să rezolve ecuații de acest tip.

Capitolul 1. Teoria ecuaţiilor cu două variabile în numere întregi.

1. Context istoric.

Diophantus și istoria ecuațiilor diofantine .

Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi este una dintre cele mai vechi probleme matematice. Această zonă a matematicii a atins cea mai mare înflorire în Grecia Antică. Principala sursă care a ajuns până în timpul nostru este opera lui Diophantus - „Aritmetica”. Diophantus a rezumat și a extins experiența acumulată înaintea lui în rezolvarea ecuațiilor nedefinite în numere întregi.

Istoria ne-a păstrat câteva trăsături ale biografiei remarcabilului algebriist alexandrin Diophantus. Potrivit unor surse, Diophantus a trăit până în 364 d.Hr. Doar biografia unică a lui Diophantus este cunoscută cu siguranță, care, conform legendei, a fost sculptată pe piatra funerară și a prezentat o sarcină de puzzle:

„Dumnezeu l-a trimis să fie băiat pentru o șaseme din viață; adăugând la aceasta a douăsprezecea parte, Și-a acoperit obrajii cu puf; după partea a șaptea, El a aprins lumina căsătoriei pentru el și la cinci ani după căsătorie i-a dat un fiu. Vai! Un copil întârziat nefericit, ajuns la măsura a jumătate din viața plină a tatălui său, a fost purtat de o soartă nemiloasă. Patru ani mai târziu, mângâind durerea care l-a cuprins cu știința numerelor, [Diophantus] și-a încheiat viața” (aproximativ 84 de ani).

Acest puzzle servește ca un exemplu al problemelor pe care le-a rezolvat Diophantus. S-a specializat în rezolvarea problemelor în numere întregi. Astfel de probleme sunt cunoscute în prezent sub numele de probleme diofantine.

Cea mai cunoscută problemă, rezolvată de Diophantus, este problema „descompunerii în două pătrate”. Echivalentul său este binecunoscuta teoremă a lui Pitagora. Această teoremă era cunoscută în Babilon, poate că era cunoscută și în Egiptul Antic, dar a fost dovedită pentru prima dată în școala pitagoreică. Acesta a fost numele unui grup de filozofi interesați de matematică, numit după fondatorul școlii lui Pitagora (c. 580-500 î.Hr.)

Viața și opera lui Diofant s-au desfășurat în Alexandria, a adunat și a rezolvat probleme cunoscute și a venit cu altele noi. Mai târziu le-a combinat într-o mare lucrare numită Aritmetică. Din cele treisprezece cărți care compun Aritmetica, doar șase au supraviețuit în Evul Mediu și au devenit o sursă de inspirație pentru matematicienii Renașterii.

1.1 Teoreme asupra numărului de soluții la o ecuație diofantică liniară.

Prezentăm aici formulările de teoreme pe baza cărora poate fi compilat un algoritm de rezolvare a ecuațiilor nedeterminate de gradul I a două variabile în numere întregi.

Teorema 1. Dacă într-o ecuație , , atunci ecuația are cel puțin o soluție.

Teorema 2. Dacă în ecuație , și Cu nu este divizibil cu , atunci ecuația nu are soluții întregi.

Teorema 3. Dacă în ecuație , și , atunci este echivalent cu ecuația în care .

Teorema 4. Dacă în ecuația , , atunci toate soluțiile întregi ale acestei ecuații sunt conținute în formulele:

Unde x 0, y 0

1.2. Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor în numere întregi.

Teoremele formulate ne permit să compunem următoarele algoritm soluții în numere întregi la ecuații de forma .

1. Găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor AȘi b ,

dacă Cu nu este divizibil cu , atunci ecuația nu are soluții întregi;

dacă și , atunci

2. Împărțiți termenul ecuației cu termen, obținând o ecuație în care .

3. Găsiți întreaga soluție ( x 0, y 0) ecuaţii prin reprezentarea lui 1 ca o combinaţie liniară de numere şi ;

4. Creați o formulă generală pentru soluțiile întregi ale acestei ecuații

Unde x 0, y 0– o soluție întreagă a ecuației, - orice număr întreg.

1.3 Metode de rezolvare a ecuațiilor

Când se rezolvă ecuații în numere întregi și numere naturale, se pot distinge aproximativ următoarele metode:

1. Metoda de enumerare a opțiunilor.

2. Algoritm euclidian.

3. Fracții continuate.

4. Metoda factorizării.

5. Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi ca pătrate în raport cu o variabilă.

6. Metoda reziduurilor.

7. Metoda coborârii infinite.

Capitolul 2. Aplicarea metodelor de rezolvare a ecuaţiilor

1. Exemple de rezolvare a ecuațiilor.

2.1 Algoritmul euclidian.

Problema 1 . Rezolvați ecuația în numere întregi 407 X – 2816y = 33.

Să folosim algoritmul compilat.

1. Folosind algoritmul euclidian, găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 407 și 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Prin urmare (407,2816) = 11, cu 33 divizibil cu 11

2. Împărțiți ambele părți ale ecuației inițiale la 11, obținem ecuația 37 X – 256y= 3 și (37, 256) = 1

3. Folosind algoritmul euclidian, găsim o reprezentare liniară a numărului 1 prin numerele 37 și 256.

256 = 37 6 + 34;

Să exprimăm 1 din ultima egalitate, apoi crescând succesiv egalitățile vom exprima 3; 34 și înlocuiți expresiile rezultate în expresia pentru 1.

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83·37 – 256·(–12)

Astfel, 37·(–83) – 256·(–12) = 1, deci o pereche de numere x 0= – 83 și y 0= – 12 este soluția ecuației 37 X – 256y = 3.

4. Să notăm formula generală pentru soluțiile ecuației inițiale

Unde t- orice număr întreg.

2.2 Metoda de enumerare a opțiunilor.

Sarcina 2. Iepurii și fazanii stau într-o cușcă; au 18 picioare în total. Aflați câți dintre ambele sunt în celulă?

Soluţie: Se întocmește o ecuație cu două variabile necunoscute, în care x este numărul de iepuri, y este numărul de fazani:

4x + 2y = 18 sau 2x + y = 9.

Să ne exprimăm la prin X : y = 9 – 2x.

Astfel, problema are patru soluții.

Răspuns: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Metoda de factorizare.

Enumerarea opțiunilor atunci când găsiți soluții naturale pentru o ecuație cu două variabile se dovedește a fi foarte laborioasă. Mai mult, dacă ecuația are întreg soluții, atunci este imposibil să le enumerăm, deoarece există un număr infinit de astfel de soluții. Prin urmare, vom arăta încă o tehnică - metoda factorizării.

Sarcina 3. Rezolvați ecuația în numere întregi y 3 - X 3 = 91.

Soluţie. 1) Folosind formule de înmulțire abreviate, factorizăm partea dreaptă a ecuației:

(y - X)(y 2 + X y + X 2) = 91……………………….(1)

2) Să notăm toți divizorii numărului 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Efectuați cercetări. Rețineți că pentru orice numere întregi XȘi y număr

y 2 + yx + X 2 ≥ y 2 - 2|y ||X | + X 2 = (|y | - |X |) 2 ≥ 0,

prin urmare, ambii factori din partea stângă a ecuației trebuie să fie pozitivi. Atunci ecuația (1) este echivalentă cu un set de sisteme de ecuații:

; ; ;

4) După ce au rezolvat sistemele, obținem: primul sistem are soluții (5; 6), (-6; -5); a treia (-3; 4),(-4; 3); al doilea și al patrulea nu au soluții în numere întregi.

Răspuns: ecuația (1) are patru soluții (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Sarcina 4. Găsiți toate perechile de numere naturale care satisfac ecuația

Soluţie. Să factorizăm partea stângă a ecuației și să scriem ecuația sub forma

.

Deoarece Divizorii numărului 69 sunt numerele 1, 3, 23 și 69, apoi 69 se poate obține în două moduri: 69=1·69 și 69=3·23. Având în vedere că , obținem două sisteme de ecuații, prin rezolvarea cărora putem găsi numerele necesare:

Primul sistem are o soluție, iar al doilea sistem are o soluție.

Răspuns: .

Sarcina 5.

Soluţie. Să scriem ecuația sub forma

.

Să factorizăm partea stângă a ecuației. Primim

.

Produsul a două numere întregi poate fi egal cu 1 numai în două cazuri: dacă ambele sunt egale cu 1 sau -1. Obținem două sisteme:

Primul sistem are o soluție x=2, y=2, iar al doilea sistem are o soluție x=0, y=0.

Răspuns: .

Sarcina 6. Rezolvați ecuația în numere întregi

.

Soluţie. Să scriem această ecuație sub forma

Să factorizăm partea stângă a ecuației folosind metoda de grupare, obținem

.

Produsul a două numere întregi poate fi egal cu 7 în următoarele cazuri:

7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1) Astfel, obținem patru sisteme:

Sau, sau, sau.

Soluția primului sistem este o pereche de numere x = - 5, y = - 6. Rezolvând al doilea sistem, obținem x = 13, y = 6. Pentru al treilea sistem, soluția este numerele x = 5, y = 6. Al patrulea sistem are o soluție x = - 13, y = - 6.

Sarcina 7. Demonstrați că ecuația ( X - y) 3 + (y - z) 3 + (z - X) 3 = 30 nu

are soluții în numere întregi.

Soluţie. 1) Să factorizăm partea stângă a ecuației și să împărțim ambele părți ale ecuației la 3, rezultând următoarea ecuație:

(X - y)(y - z)(z - X) = 10…………………………(2)

2) Divizorii lui 10 sunt numerele ±1, ±2, ±5, ±10. De asemenea, rețineți că suma factorilor din partea stângă a ecuației (2) este egală cu 0. Este ușor de verificat că suma oricăror trei numere din mulțimea divizorilor numărului 10, dând produsul 10, va nu este egal cu 0. În consecință, ecuația inițială nu are soluții în numere întregi.

Sarcina 8. Rezolvați ecuația: x 2 - y 2 = 3 în numere întregi.

Soluţie:

1. aplicați formula de înmulțire prescurtată x 2 - y 2 = (x-y)(x+y)=3

2. aflați divizorii numărului 3 = -1;-3;1;3

3. Această ecuație este echivalentă cu un set de 4 sisteme:

X-y=1 2x=4 x=2, y=1

X-y=3 x=2, y=-1

X-y=-3 x=-2, y=1

X-y=-1 x=-2, y=-1

Răspuns: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)

2.4 Metoda reziduală.

Problema 9 .Rezolvați ecuația: x 2 + xy = 10

Soluţie:

1. Exprimați variabila y prin x: y= 10 ani 2

Y = - X

2. Fracție va fi întreg dacă x Є ±1;±2; ±5;±10

3. Găsiți 8 valori u.

Dacă x=-1, atunci y=-9 x=-5, atunci y=3

X=1, apoi y=9 x=5, apoi y=-3

X=-2, apoi y=-3 x=-10, apoi y=9

X=2, apoi y=3 x=10, apoi y=-9

Problema 10. Rezolvați ecuația în numere întregi:

2x 2 -2xy +9x+y=2

Soluţie:

Să exprimăm din ecuație necunoscuta care este inclusă în ea doar până la primul grad - în acest caz y:

2x 2 +9x-2=2xy-y

Y =

Să selectăm întreaga parte a unei fracții folosind regula împărțirii unui polinom la un polinom la un „unghi”. Primim:

Prin urmare, diferența 2x-1 poate lua doar valorile -3,-1,1,3.

Rămâne de trecut prin aceste patru cazuri.

Răspuns : (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

2. Sarcini la nivel de examen

Având în vedere mai multe modalități de rezolvare a ecuațiilor de gradul întâi cu două variabile în numere întregi, am observat că metoda de factorizare și metoda resturilor sunt cele mai des folosite.

Ecuațiile date în versiunile USE -2011 sunt rezolvate în principal prin metoda reziduală.

1. Rezolvați ecuația în numere naturale: , unde m>n

Soluţie:

Să exprimăm variabila P prin variabilă T

(y+10) 2< 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8

(y+6) 2< 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8

Răspuns: (12; -8)

Concluzie.

Rezolvarea diferitelor tipuri de ecuații este una dintre domeniile de conținut ale cursului școlar de matematică, dar metodele de rezolvare a ecuațiilor cu mai multe necunoscute practic nu sunt luate în considerare. În același timp, rezolvarea ecuațiilor mai multor necunoscute în numere întregi este una dintre cele mai vechi probleme matematice. Majoritatea metodelor de rezolvare a unor astfel de ecuații se bazează pe teoria divizibilității numerelor întregi, interes pentru care este determinat în prezent de dezvoltarea rapidă a tehnologiei informației. În acest sens, va fi interesant pentru elevii de liceu să se familiarizeze cu metodele de rezolvare a unor ecuații în numere întregi, mai ales că olimpiadele de la diferite niveluri oferă foarte des sarcini care presupun rezolvarea unei ecuații în numere întregi, iar anul acesta sunt incluse și astfel de ecuații. și în materialele pentru examenul unificat de stat.

În lucrarea noastră, am luat în considerare doar ecuații nedeterminate ale gradului I și II. Ecuațiile de gradul întâi, după cum am văzut, sunt rezolvate destul de simplu. Am identificat tipurile de astfel de ecuații și algoritmi pentru rezolvarea acestora. S-a găsit și o soluție generală la astfel de ecuații.

Cu ecuațiile de gradul doi este mai dificil, așa că am luat în considerare doar cazuri speciale: teorema lui Pitagora și cazurile în care o parte a ecuației are forma unui produs, iar a doua este factorizată.

Marii matematicieni studiază ecuațiile de gradul al treilea și superior, deoarece soluțiile lor sunt prea complexe și greoaie

În viitor, intenționăm să ne aprofundăm cercetările în studiul ecuațiilor cu mai multe variabile care sunt utilizate în rezolvarea problemelor.

Literatură.

1. Berezin V.N. Culegere de probleme pentru activități opționale și extrașcolare la matematică. „Iluminismul” de la Moscova 1985

2. Galkin E.G. Probleme non-standard la matematică. Chelyabinsk „Vzglyad” 2004

3. Galkin E.G. Probleme cu numerele întregi. Chelyabinsk „Vzglyad” 2004

4. Glazer E.I. Istoria matematicii la scoala. „Iluminismul” de la Moscova 1983

5. Mordkovich A.G. Algebra si inceputul analizei clasele 10-11. Moscova 2003

6. Matematică. Examen de stat unificat 2010. Institutul Federal

măsurători pedagogice.

7. Sharygin I.F. Curs opțional de matematică. Soluţie

sarcini. Moscova 1986

Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi.

Ecuațiile incerte sunt ecuații care conțin mai multe necunoscute. Prin o soluție a unei ecuații nedeterminate înțelegem un set de valori ale necunoscutelor care transformă ecuația dată într-o egalitate adevărată.

Pentru a rezolva în numere întregi o ecuație de forma ah + de = c , Unde A, b , c - numere întregi altele decât zero, prezentăm o serie de prevederi teoretice care ne vor permite stabilirea unei reguli de decizie. Aceste prevederi se bazează și pe fapte deja cunoscute ale teoriei divizibilității.

Teorema 1.Dacă gcd (A, b ) = d , apoi există astfel de numere întregi XȘi la, că egalitatea este valabilă ah + b y = d . (Această egalitate se numește o combinație liniară sau o reprezentare liniară a celui mai mare divizor comun a două numere în ceea ce privește numerele în sine.)

Demonstrarea teoremei se bazează pe utilizarea egalității algoritmului euclidian pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două numere (cel mai mare divizor comun este exprimat în termeni de coeficienti parțiali și resturi, pornind de la ultima egalitate din algoritmul euclidian).

Exemplu.

Aflați reprezentarea liniară a celui mai mare divizor comun al numerelor 1232 și 1672.

Soluţie.

1. Să creăm egalitățile algoritmului euclidian:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, adică. (1672,352) = 88.

2) Să exprimăm secvenţial 88 prin câte şi resturi incomplete, folosind egalităţile obţinute mai sus, începând de la sfârşit:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, adică. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Teorema 2. Dacă ecuaţia ah + b y = 1 , dacă gcd (A, b ) = 1 , este suficient să ne imaginăm numărul 1 ca o combinație liniară a numerelor a și b.

Valabilitatea acestei teoreme rezultă din teorema 1. Astfel, pentru a găsi o singură soluție întreagă a ecuației ah + b y = 1, dacă mcd (a, b) = 1, este suficient să reprezentați numărul 1 ca o combinație liniară de numere A Și V .

Exemplu.

Găsiți o soluție întreagă a ecuației 15x + 37y = 1.

Soluţie.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Teorema 3. Dacă în Ec. ah + b y = c gcd(a, b ) = d >1 Și Cu nedivizibil cu d , atunci ecuația nu are soluții întregi.

Pentru a demonstra teorema, este suficient să presupunem contrariul.

Exemplu.

Găsiți o soluție întreagă a ecuației 16x - 34y = 7.

Soluţie.

(16,34)=2; 7 nu este divizibil cu 2, ecuația nu are soluții întregi

Teorema 4. Dacă în Ec. ah + b y = c gcd(a, b ) = d >1 și c d , atunci este

Când se demonstrează teorema, ar trebui să se arate că o soluție întreagă arbitrară a primei ecuații este, de asemenea, o soluție a celei de-a doua ecuații și invers.

Teorema 5. Dacă în Ec. ah + b y = c gcd(a, b ) = 1, atunci toate soluțiile întregi ale acestei ecuații sunt conținute în formulele:

t – orice număr întreg.

Când se demonstrează teorema, ar trebui să se arate, în primul rând, că formulele de mai sus oferă de fapt soluții pentru această ecuație și, în al doilea rând, că o soluție întreagă arbitrară a acestei ecuații este conținută în formulele de mai sus.

Teoremele de mai sus ne permit să stabilim următoarea regulă pentru rezolvarea ecuației în numere întregi ah+ b y = c gcd(a, b ) = 1:

1) Se găsește o soluție întreagă a ecuației ah + b y = 1 prin reprezentarea 1 ca o combinație liniară de numere A Șib (există și alte modalități de a găsi soluții întregi la această ecuație, de exemplu folosind fracții continue);

O formulă generală pentru soluțiile întregi ale datei

Dăruind t anumite valori întregi, puteți obține soluții parțiale ale acestei ecuații: cea mai mică în valoare absolută, cea mai mică pozitivă (dacă este posibil), etc.

Exemplu.

Găsiți soluții întregi ale ecuației 407x - 2816y = 33.

Soluţie.

1. Simplificam aceasta ecuatie, aducand-o la forma 37x - 256y = 3.

2. Rezolvați ecuația 37x - 256y = 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Vedere generală a tuturor soluțiilor întregi ale acestei ecuații:

x = -83∙3 - 256 t = -249 - 256 t,

y = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t.

Metoda de enumerare exhaustivă a tuturor valorilor posibile ale variabilelor,

incluse în ecuație.

Aflați mulțimea tuturor perechilor de numere naturale care sunt soluții ale ecuației 49x + 51y = 602.

Soluţie:

Să exprimăm variabila x din ecuație prin y x =, deoarece x și y sunt numere naturale, atunci x =602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10.

O căutare completă a opțiunilor arată că soluțiile naturale ale ecuației sunt x=5, y=7.

Răspuns: (5;7).

Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda factorizării.

Diophantus, împreună cu ecuațiile liniare, considerau ecuații nedefinite pătratice și cubice. Rezolvarea lor este de obicei dificilă.

Să luăm în considerare un caz în care formula diferenței de pătrate sau o altă metodă de factorizare poate fi aplicată ecuațiilor.

Rezolvați ecuația în numere întregi: x 2 + 23 = y 2

Soluţie:

Să rescriem ecuația sub forma: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23

Deoarece x și y sunt numere întregi și 23 este un număr prim, sunt posibile următoarele cazuri:

Rezolvând sistemele rezultate, găsim:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Exprimarea unei variabile în termenii alteia și izolarea întregii părți a fracției.

Rezolvați ecuația în numere întregi: x 2 + xy – y – 2 = 0.

Soluţie:

Să exprimăm y prin x din această ecuație:

y(x - 1) =2 - x 2,

Heinrich G.N. FMS nr. 146, Perm

54 ≡ 6× 5 ≡ 2(mod 7),

55 ≡ 2× 5 ≡ 3(mod 7), 56 ≡ 3× 5 ≡ 1(mod 7).

Ridicând k la putere, obținem 56k ≡ 1(mod 7) pentru orice k natural. Prin urmare 5555 =56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7).

(Geometric, această egalitate înseamnă că ocolim cercul, începând de la 5, nouăzeci și două de cicluri și încă trei numere). Astfel, numărul 222555 lasă un rest de 6 atunci când este împărțit la 7.

Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi.

Fără îndoială, unul dintre subiectele interesante din matematică este soluția ecuațiilor diofantine. Această temă este studiată în clasele a VIII-a, apoi în clasele a X-a și a XI-a.

Orice ecuație care trebuie rezolvată în numere întregi se numește ecuație diofantină. Cea mai simplă dintre ele este o ecuație de forma ax+bу=c, unde a, b și cÎ Z. Următoarea teoremă este folosită pentru a rezolva această ecuație.

Teorema. Ecuația liniară diofantică ax+bу=c, unde a, b și сО Z are o soluție dacă și numai dacă c este divizibil cu mcd a numerelor a și b. Dacă d=GCD (a, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d și (x0, y0) este o soluție a ecuației akh+bу=с, atunci toate soluțiile sunt date prin formulele x=x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, unde t este un întreg arbitrar.

1. Rezolvați ecuațiile în numere întregi:

	3xy–6x2 =y–2x+4;
	(x–2)(xy+4)=1;		y-x-xy=2;
	2x2 +xy=x+7;		3xy+2x+3y=0;
	x2 – xy – x + y = 1;
	x2 –3xy=x–3y+2;	10. x2 – xy – y = 4.

2. Am luat în considerare următoarele probleme cu absolvenții în pregătirea pentru Examenul de stat unificat la matematică pe această temă.

1). Rezolvați ecuația în numere întregi: xy+3y+2x+6=13. Soluţie:

Să factorizăm partea stângă a ecuației. Primim:

y(x+3)+2(x+3)=13;

(x+3)(y+2)=13.

Deoarece x,уО Z, obținem un set de sisteme de ecuații:

Heinrich G.N.

	М x +
	М x +
	М x +
ê Ð x +

FMS nr. 146, Perm

		М x =
		М x =
		М x =
	ê Ð x =

Răspuns: (–2;11), (10; –1), (–4; –15), (–15, –3)

2). Rezolvați ecuația în numere naturale: 3x +4y =5z.

9). Aflați toate perechile de numere naturale m și n pentru care este valabilă egalitatea 3m +7=2n.

10). Aflați toate tripletele numerelor naturale k, m și n pentru care egalitatea este valabilă: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)

unsprezece). Toți termenii șirului finit sunt numere naturale. Fiecare membru al acestei secvențe, începând cu al doilea, este fie de 14 ori mai mare, fie de 14 ori mai mic decât cel precedent. Suma tuturor termenilor șirului este 4321.

c) Care este cel mai mare număr de termeni pe care o poate avea șirul? Soluţie:

a) Fie a1 =x, apoi a2 = 14x sau a1 =14x, apoi a2 =x. Apoi, prin condiție, a1 + a2 = 4321. Se obține: x + 14x = 4321, 15x = 4321, dar 4321 nu este un multiplu al lui 15, ceea ce înseamnă că nu pot exista doi termeni în succesiune.

b) Fie a1 =x, apoi a2 = 14x, a3 =x sau 14x+x+14x=4321, sau x+14x+x=4321. 29x=4321, apoi x=149, 14x=2086. Aceasta înseamnă că secvența poate avea trei termeni. În al doilea caz, 16x=4321, dar atunci x nu este un număr natural.

Nici un raspuns; b) da; c) 577.

Heinrich G.N.

FMS nr. 146, Perm

12). Toți termenii șirului finit sunt numere naturale. Fiecare membru al acestei secvențe, începând cu al doilea, sau la 10; ori mai mult sau de 10 ori mai puțin decât precedentul. Suma tuturor termenilor șirului este 1860.

a) Poate o secvență să aibă doi termeni? b) Poate o secvență să aibă trei termeni?

c) Care este cel mai mare număr de termeni pe care o poate avea șirul?

Evident, putem vorbi despre divizibilitatea numerelor întregi și putem lua în considerare problemele pe această temă la nesfârșit. Am încercat să consider această temă în așa fel încât să-i intereseze într-o măsură mai mare pe elevi, să le arăt frumusețea matematicii din acest punct de vedere.

Heinrich G.N.

FMS nr. 146, Perm

Bibliografie:

1. A. Ya. Kannel-Belov, A. K. Kovaldzhi. Cum se rezolvă problemele non-standard Moscova ICSME 2001

2. A.V. Spivak. Supliment la revista Kvant nr. 4/2000 Sărbătoare matematică, Moscova 2000

3. A.V. Spivak. Cercul matematic, „Semănat” 2003

4. St.Petersburg palatul orașului al creativității tineretului. Cercul matematic. Cartea cu probleme pentru primul și al doilea an de studiu. Saint Petersburg. 1993

5. Algebră pentru clasa a VIII-a. Un manual pentru elevii din școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii. Editat de N.Ya. Vilenkin. Moscova, 1995

6. M.L. Galitsky, A.M. Goldman, L.I. Zvavich. Culegere de probleme de algebră pentru 8-9 clase. Un manual pentru elevii din școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii. Moscova, Iluminismul. 1994

7. Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov. Algebră clasa a VIII-a. Un manual pentru școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii. Moscova, 2001

8. M.I.Shabunin, A.A.Prokofiev UMK MATEMATICĂ Algebră. Începuturile analizei matematice. Nivel de profil. Manual pentru clasa a XI-a. Binom din Moscova. Laboratorul de cunoștințe 2009

9. M.I. Shabunin, A.A. Prokofiev, T.A. Oleinik, T.V. Sokolova. UMK MATEMATICĂ Algebră. Începuturile analizei matematice. Nivel de profil Carte de probleme pentru clasa a XI-a. Binom din Moscova. Laboratorul de cunoștințe 2009

10. A.G. Klovo, D.A. Maltsev, L.I. Abzelilova Matematică. Colectarea testelor conform planului Unified State Exam 2010

11. Examenul de stat unificat-2010. „Legiunea-M”. Rostov-pe-Don 2009

12. Examenul de stat unificat UMK „Matematică. Pregătirea pentru examenul de stat unificat”. Editat de F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. Pregătirea pentru Examenul de stat unificat 2011. „Legiunea-M”. Rostov-pe-Don 2010

13. UMK „Matematică. Examenul de stat unificat 2010”. Editat de F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. MATEMATICĂ Pregătire pentru Examenul Unificat de Stat-2010. Teste educaționale și de formare. „Legiunea-M”. Rostov-pe-Don 2009

14. Examenul de stat unificat FIPI. Materiale universale pentru pregătirea elevilor MATH 2010„Intellect-Center” 2010

15. A.Zh.Zhafyarov. Matematică. Unified State Exam-2010 Consultare expresă. Editura Universității din Siberia, 2010

Ecuații în numere întregi sunt ecuații algebrice cu două sau mai multe variabile necunoscute și coeficienți întregi. Soluțiile unei astfel de ecuații sunt toate seturi întregi (uneori naturale sau raționale) de valori ale variabilelor necunoscute care satisfac această ecuație. Astfel de ecuații se mai numesc diofantina, în onoarea matematicianului grec antic care a studiat unele tipuri de astfel de ecuații înainte de epoca noastră.

Formularea modernă a problemelor diofantine o datorăm matematicianului francez. El a fost cel care a pus problema rezolvării ecuațiilor nedefinite numai în numere întregi înaintea matematicienilor europeni. Cea mai cunoscută ecuație în numere întregi este ultima teoremă a lui Fermat: ecuația

nu are soluții raționale diferite de zero pentru toate n > 2 naturale.

Interesul teoretic pentru ecuațiile în numere întregi este destul de mare, deoarece aceste ecuații sunt strâns legate de multe probleme din teoria numerelor.

În 1970, matematicianul de la Leningrad Yuri Vladimirovici Matiyasevich a demonstrat că o metodă generală care permite rezolvarea ecuațiilor diofantine arbitrare în numere întregi într-un număr finit de pași nu există și nu poate exista. Prin urmare, ar trebui să alegeți propriile metode de rezolvare pentru diferite tipuri de ecuații.

Când se rezolvă ecuații în numere întregi și numere naturale, se pot distinge aproximativ următoarele metode:

modalitate de sortare a opțiunilor;

aplicarea algoritmului euclidian;

reprezentarea numerelor sub formă de fracții continuate (continuare);

factorizarea;

rezolvarea ecuațiilor în numere întregi ca pătrat (sau altele) în raport cu orice variabilă;

metoda reziduală;

metoda coborârii infinite.

Probleme cu soluțiile

1. Rezolvați ecuația x 2 – xy – 2y 2 = 7 în numere întregi.

Să scriem ecuația sub forma (x – 2y)(x + y) = 7.

Deoarece x, y sunt numere întregi, găsim soluții pentru ecuația originală ca soluții pentru următoarele patru sisteme:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

După rezolvarea acestor sisteme, obținem soluții ale ecuației: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) și (–5; –2).

Răspuns: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

a) 20x + 12y = 2013;

b) 5x + 7y = 19;

c) 201x – 1999y = 12.

a) Deoarece pentru orice valori întregi ale lui x și y partea stângă a ecuației este divizibilă cu doi, iar partea dreaptă este un număr impar, ecuația nu are soluții în numere întregi.

Răspuns: nu există soluții.

b) Să alegem mai întâi o soluție specifică. În acest caz, este simplu, de exemplu,

x 0 = 1, y 0 = 2.

5x 0 + 7y 0 = 19,

5(x – x 0) + 7(y – y 0) = 0,

5(x – x 0) = –7(y – y 0).

Întrucât numerele 5 și 7 sunt relativ prime, atunci

x – x 0 = 7k, y – y 0 = –5k.

Deci solutia generala este:

x = 1 + 7k, y = 2 – 5k,

unde k este un întreg arbitrar.

Răspuns: (1+7k; 2–5k), unde k este un număr întreg.

c) Găsirea unei soluții specifice prin selecție în acest caz este destul de dificilă. Să folosim algoritmul euclidian pentru numerele 1999 și 201:

GCD(1999, 201) = GCD(201, 190) = GCD(190, 11) = GCD(11, 3) = GCD(3, 2) = GCD(2, 1) = 1.

Să scriem acest proces în ordine inversă:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2 2 – 3 = 2 (11 – 3 3) – 3 = 2 11 – 7 3 = 2 11 – 7(190 – 11 17) =

121 11 – 7 190 = 121(201 – 190) – 7 190 = 121 201 – 128 190 =

121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Aceasta înseamnă că perechea (1273, 128) este o soluție a ecuației 201x – 1999y = 1. Atunci perechea de numere

x 0 = 1273 12 = 15276, y 0 = 128 12 = 1536

este o soluție a ecuației 201x – 1999y = 12.

Soluția generală a acestei ecuații se va scrie sub forma

x = 15276 + 1999k, y = 1536 + 201k, unde k este un număr întreg,

sau, după redenumire (folosim că 15276 = 1283 + 7 1999, 1536 = 129 + 7 201),

x = 1283 + 1999n, y = 129 + 201n, unde n este un număr întreg.

Răspuns: (1283+1999n, 129+201n), unde n este un număr întreg.

3. Rezolvați ecuația în numere întregi:

a) x 3 + y 3 = 3333333;

b) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).

a) Deoarece x 3 și y 3 atunci când sunt împărțiți la 9 pot da doar resturile 0, 1 și 8 (vezi tabelul din secțiune), atunci x 3 + y 3 poate da doar resturile 0, 1, 2, 7 și 8. Dar numărul 3333333 când este împărțit la 9 dă un rest de 3. Prin urmare, ecuația originală nu are soluții în numere întregi.

b) Să rescriem ecuația inițială sub forma (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2) + 4. Deoarece cuburile de numere întregi când sunt împărțite la 7 dau resturile 0, 1 și 6, dar nu 4, atunci ecuația nu are soluții în numere întregi.

Răspuns: Nu există soluții întregi.

a) în numere prime ecuația x 2 – 7x – 144 = y 2 – 25y;

b) în numere întregi ecuația x + y = x 2 – xy + y 2.

a) Să rezolvăm această ecuație ca o ecuație pătratică în raport cu variabila y. Primim

y = x + 9 sau y = 16 – x.

Deoarece pentru x impar numărul x + 9 este par, atunci singura pereche de numere prime care satisface prima egalitate este (2; 11).

Deoarece x, y sunt simple, atunci din egalitatea y = 16 – x avem

2 x 16,2 la 16.

Căutând prin opțiuni, găsim soluțiile rămase: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Răspuns: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

b) Considerați această ecuație ca o ecuație pătratică pentru x:

x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.

Discriminantul acestei ecuații este –3y 2 + 6y + 1. Este pozitiv doar pentru următoarele valori ale lui y: 0, 1, 2. Pentru fiecare dintre aceste valori, din ecuația inițială obținem o ecuație pătratică pentru x , care este ușor de rezolvat.

Răspuns: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Există un număr infinit de triplete de numere întregi x, y, z astfel încât x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3?

Să încercăm să selectăm triple unde y = –z. Atunci y 3 și z 3 se vor anula întotdeauna unul pe celălalt, iar ecuația noastră va arăta ca

x 2 + 2y 2 = x 3

sau altfel,

x 2 (x–1) = 2y 2 .

Pentru ca o pereche de numere întregi (x; y) să satisfacă această condiție, este suficient ca numărul x–1 să fie de două ori pătratul întregului. Există infinit de multe astfel de numere, și anume, acestea sunt toate numere de forma 2n 2 +1. Înlocuind acest număr în x 2 (x–1) = 2y 2, după transformări simple obținem:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Toate tripletele obținute în acest fel au forma (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).

Răspuns: există.

6. Găsiți numere întregi x, y, z, u astfel încât x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

Numărul x 2 + y 2 + z 2 + u 2 este par, prin urmare, printre numerele x, y, z, u există un număr par de numere impare.

Dacă toate cele patru numere x, y, z, u sunt impare, atunci x 2 + y 2 + z 2 + u 2 este divizibil cu 4, dar 2xyzu nu este divizibil cu 4 - o discrepanță.

Dacă exact două dintre numerele x, y, z, u sunt impare, atunci x 2 + y 2 + z 2 + u 2 nu este divizibil cu 4, dar 2xyzu este divizibil cu 4 – din nou o discrepanță.

Prin urmare, toate numerele x, y, z, u sunt pare. Atunci putem scrie asta

x = 2x 1 , y = 2y 1 , z = 2z 1 , u = 2u 1 ,

iar ecuația inițială va lua forma

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 = 8x 1 y 1 z 1 u 1 .

Acum rețineți că (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 când este împărțit la 8 dă un rest de 1. Prin urmare, dacă toate numerele x 1 , y 1 , z 1 , u 1 sunt impare, atunci x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 nu este divizibil cu 8. Și dacă exact două dintre aceste numere sunt impare, atunci x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 nu este divizibil par cu 4. Aceasta înseamnă

x 1 = 2x 2, y 1 = 2y 2, z 1 = 2z 2, u 1 = 2u 2,

și obținem ecuația

x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + u 2 2 = 32x 2 y 2 z 2 u 2 .

Repetând din nou același raționament, aflăm că x, y, z, u sunt divizibili cu 2 n pentru tot n natural, ceea ce este posibil numai pentru x = y = z = u = 0.

Răspuns: (0; 0; 0; 0).

7. Demonstrați că ecuația

(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

nu are soluții în numere întregi.

Să folosim următoarea identitate:

(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(x – y)(y – z)(z – x).

Atunci ecuația originală poate fi scrisă ca

(x – y)(y – z)(z – x) = 10.

Să notăm a = x – y, b = y – z, c = z – x și scriem egalitatea rezultată sub forma

În plus, este evident că a + b + c = 0. Este ușor de verificat că, până la permutare, egalitatea abc = 10 implică faptul că numerele |a|, |b|, |c| sunt egale fie cu 1, 2, 5, fie cu 1, 1, 10. Dar în toate aceste cazuri, pentru orice alegere de semne a, b, c, suma a + b + c este diferită de zero. Astfel, ecuația originală nu are soluții întregi.

8. Rezolvați ecuația 1 în numere întregi! + 2! + . . . +x! = y 2 .

Este evident că

dacă x = 1, atunci y 2 = 1,

dacă x = 3, atunci y 2 = 9.

Aceste cazuri corespund următoarelor perechi de numere:

x 1 = 1, y 1 = 1;

x 2 = 1, y 2 = –1;

x 3 = 3, y 3 = 3;

x 4 = 3, y 4 = –3.

Rețineți că pentru x = 2 avem 1! + 2! = 3, pentru x = 4 avem 1! + 2! + 3! + 4! = 33 și nici 3, nici 33 nu sunt pătrate de numere întregi. Dacă x > 5, atunci, deoarece

5! + 6! + . . . +x! = 10n,

putem scrie asta

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . +x! = 33 + 10n.

Deoarece 33 + 10n este un număr care se termină cu 3, nu este pătratul unui număr întreg.

Răspuns: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Rezolvați următorul sistem de ecuații în numere naturale:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0, apoi a 3 > b 3 + c 3 ;

astfel avem

Adăugând aceste inegalități, obținem asta

Ținând cont de ultima inegalitate, din a doua ecuație a sistemului obținem că

Dar a doua ecuație a sistemului arată, de asemenea, că a este un număr par. Astfel, a = 2, b = c = 1.

Răspuns: (2; 1; 1)

10. Aflați toate perechile de numere întregi x și y care satisfac ecuația x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y.

Factorizând ambele părți ale acestei ecuații, obținem:

x(x + 1) = y(y + 1)(y 2 + 1),

x(x + 1) = (y 2 + y)(y 2 + 1)

O astfel de egalitate este posibilă dacă laturile stângă și dreaptă sunt egale cu zero sau sunt produsul a două numere întregi consecutive. Prin urmare, echivalând anumiți factori cu zero, obținem 4 perechi de valori variabile dorite:

x 1 = 0, y 1 = 0;

x 2 = 0, y 2 = –1;

x 3 = –1, y 3 = 0;

x 4 = –1, y 4 = –1.

Produsul (y 2 + y)(y 2 + 1) poate fi considerat ca produsul a două numere întregi consecutive diferite de zero numai atunci când y = 2. Prin urmare x(x + 1) = 30, de unde x 5 = 5, x 6 = –6. Aceasta înseamnă că mai există două perechi de numere întregi care satisfac ecuația inițială:

x 5 = 5, y 5 = 2;

x 6 = –6, y 6 = 2.

Răspuns: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Probleme fără soluții

1. Rezolvați ecuația în numere întregi:

a) xy = x + y + 3;

b) x 2 + y 2 = x + y + 2.

2. Rezolvați ecuația în numere întregi:

a) x 3 + 21y 2 + 5 = 0;

b) 15x 2 – 7y 2 = 9.

3. Rezolvați ecuația în numere naturale:

a) 2 x + 1 = y 2;

b) 3 2 x + 1 = y 2.

4. Demonstrați că ecuația x 3 + 3y 3 + 9z 3 = 9xyz în numere raționale are o soluție unică

5. Demonstrați că ecuația x 2 + 5 = y 3 în numere întregi nu are soluții.