„Ecuații fracționale” - Aria valorilor admisibile ale unei ecuații fracționale-raționale este ... .. A) 2 (1-x?) + 3x -4 \u003d 0; b) x - 3= x? - x +1; 4 2 c) x? - x - 7 = x +8; x d) 2x - 4 \u003d 3__; X? +1 x +1 e) 3x + 1= x; x -1 e) x-7 \u003d? x + 9. Nu vă stricați ochii cu lacrimi. Găsiți valorile admisibile ale fracțiilor incluse în ecuație. Ultimul tău ordin matern: „Legile vieții sunt înțelepte și crude.

„Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale” – „Teme”. 1) 0 și 1. 3) 4 și 3. Blitz - sondaj. Ce este o ecuație rațională? Dați definiția întregii ecuații. 2) 3. „Loto”. Nu conta pe ziua de mâine, ține minte: totul este în mâinile tale. Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale. Cum se rezolvă o ecuație rațională fracționară? Ce este o ecuație rațională fracțională?

„Ecuații de algebră” - Reflecție, rezultatul lecției. Teme pentru acasă. Organizarea timpului. Structura lecției: Oh-oh... Scop: Actualizarea cunoștințelor de bază. . Dezvoltarea deprinderilor și abilităților. Copii. Stabilirea obiectivelor. Algebră clasa a VII-a.

„Rezolvarea sistemelor de ecuații” - Metoda grafică Rezolvați grafic (. Monomii similare. Cum se numește soluția unui sistem de ecuații? X + 2y \u003d 3 5x-3y \u003d 2. Verificați-vă! Perechile (1; 1; 1) și (-1; 3) de numere sunt o soluție a unui sistem de repetiție:. Metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii.

„Lecția Ecuații logaritmice” - 1.logx5 = 1 2.logx(x2-1) = 0 3.log5(2x+1) = log5(x+2). Găsiți intervalul de valori valide ale ecuațiilor. ECUAȚII LOGARITMICE (5 lecție finală). logax = b. x > 0 a > 0 a ? 1.

„Ecuații trigonometrice” - Prin urmare, sinx \u003d 1/2 sau sinx \u003d -1. Soluţie. Ecuații trigonometrice. Să introducem o nouă variabilă t = sinx. Este adevărat că: Au sens expresiile: Rezolvați ecuația: Exemplul 1. Rezolvați ecuația 2 sin2x + sinx - 1 = 0. Atunci această ecuație va lua forma 2t2 + t - 1 = 0.

În total sunt 20 de prezentări la subiect

Știm că valorile cosinusului sunt în intervalul [-1; 1], adică -1 ≤ cos α ≤ 1. Prin urmare, dacă |a| > 1, atunci ecuația cos x = a nu are rădăcini. De exemplu, ecuația cos x = -1,5 nu are rădăcini.

Să luăm în considerare mai multe sarcini.

Rezolvați ecuația cos x = 1/2.

Soluţie.

Reamintim că cos x este abscisa unui punct cerc cu raza egală cu 1, obținută prin rotirea punctului P (1; 0) printr-un unghi x în jurul originii.

Abscisa 1/2 are două puncte ale cercului M 1 și M 2. Deoarece 1/2 = cos π/3, atunci putem obține punctul M 1 din punctul P (1; 0) rotind prin unghiul x 1 = π/3, precum și prin unghiurile x = π/3 + 2πk, unde k = +/-1, +/-2, ...

Punctul M 2 se obține din punctul P (1; 0) prin rotire prin unghiul x 2 = -π/3, precum și prin unghiurile -π/3 + 2πk, unde k = +/-1, +/-2, ...

Deci, toate rădăcinile ecuației cos x = 1/2 pot fi găsite prin formule
x = π/3 + 2πk
x \u003d -π / 3 + 2πk,

Cele două formule prezentate pot fi combinate într-una singură:

x = +/-π/3 + 2πk, k ∈ Z.

Rezolvați ecuația cos x = -1/2.

Soluţie.

O abscisă egală cu - 1/2 are două puncte ale cercului M 1 și M 2. Deoarece -1/2 \u003d cos 2π / 3, atunci unghiul x 1 \u003d 2π / 3 și, prin urmare, unghiul x 2 \u003d -2π / 3.

Prin urmare, toate rădăcinile ecuației cos x = -1/2 pot fi găsite prin formula: x = +/-2π/3 + 2πk, k ∈ Z.

Astfel, fiecare dintre ecuațiile cos x = 1/2 și cos x = -1/2 are un număr infinit de rădăcini. Pe segmentul 0 ≤ x ≤ π, fiecare dintre aceste ecuații are o singură rădăcină: x 1 \u003d π / 3 - rădăcina ecuației cos x \u003d 1/2 și x 1 \u003d 2π / 3 - rădăcina ecuației cos x \u003d -1/2.

Numărul π/3 se numește arccosinus al numărului 1/2 și se scrie: arccos 1/2 = π/3, iar numărul 2π/3 este arccosinus al numărului (-1/2) și se scrie: arccos (-1/2) = 2π/3.

În general, ecuația cos x \u003d a, unde -1 ≤ a ≤ 1, are o singură rădăcină pe segmentul 0 ≤ x ≤ π. Dacă a ≥ 0, atunci rădăcina este închisă în interval; în cazul în care o< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.

Astfel, arcul cosinus al numărului a € [-1; 1] un astfel de număr se numește €, al cărui cosinus este egal cu a:

arccos a = α dacă cos α = a și 0 ≤ a ≤ π (1).

De exemplu, arccos √3/2 = π/6, deoarece cos π/6 = √3/2 și 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6 deoarece cos 5π/6 = -√3/2 și 0 ≤ 5π/6 ≤ π.

În mod similar modului în care s-a făcut în procesul de rezolvare a problemelor 1 și 2, se poate demonstra că toate rădăcinile ecuației cos x = a, unde |a| ≤ 1 sunt exprimate prin formula

x = +/- arccos a + 2 πn, n ∈ Z (2).

Rezolvați ecuația cos x = -0,75.

Soluţie.

Conform formulei (2), găsim x = +/- arccos (-0,75) + 2 πn, n € Z.

Valoarea arcos (-0,75) poate fi găsită aproximativ în figură prin măsurarea unghiului cu un raportor. Valorile aproximative ale cosinusului arcului pot fi găsite și folosind tabele speciale (tabelele Brads) sau un microcalculator. De exemplu, valoarea arccos (-0,75) poate fi calculată pe un microcalculator, obținând o valoare aproximativă de 2,4188583. Deci, arccos (-0,75) ≈ 2,42. Prin urmare, arccos (-0,75) ≈ 139°.

Răspuns: arccos (-0,75) ≈ 139°.

Rezolvați ecuația (4cos x - 1)(2cos 2x + 1) = 0.

Soluţie.

1) 4cos x - 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.

2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n ∈ Z.

Răspuns. x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn.

Se poate dovedi că pentru orice a € [-1; 1] formula arccos (-a) = π - arccos a (3) este valabilă.

Această formulă vă permite să exprimați valorile cosinusurilor inverse ale numerelor negative în ceea ce privește valorile cosinusurilor inverse ale numerelor pozitive. De exemplu:

arccos (-1/2) \u003d π - arccos 1/2 \u003d π - π / 3 \u003d 2π / 3;

arccos (-√2/2) = π - arccos √2/2 = π - π/4 = 3π/4

din formula (2) rezultă că rădăcinile ecuației, cos x \u003d a pentru a \u003d 0, a \u003d 1 și a \u003d -1 pot fi găsite folosind formule mai simple:

cos x \u003d 0 x \u003d π / 2 + πn, n € Z (4)

cos x = 1 x = 2πn, n € Z (5)

cos x \u003d -1 x \u003d π + 2πn, n € Z (6).

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Acest articol a colectat tabele de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente. În primul rând, oferim un tabel cu valorile de bază ale funcțiilor trigonometrice, adică un tabel cu sinusuri, cosinus, tangente și cotangente ale unghiurilor 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 de grade ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). După aceea, vom oferi un tabel cu sinusuri și cosinusuri, precum și un tabel cu tangente și cotangente de V. M. Bradis și vom arăta cum să folosiți aceste tabele atunci când găsiți valorile funcțiilor trigonometrice.

Navigare în pagină.

Tabel de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente pentru unghiurile 0, 30, 45, 60, 90, ... grade

Bibliografie.

• Algebră: Proc. pentru 9 celule. medie scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismul, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.
• Bradis V. M. Tabele matematice din patru cifre: Pentru învățământul general. manual stabilimente. - Ed. a II-a. - M.: Butarda, 1999.- 96 p.: ill. ISBN 5-7107-2667-2

În secolul al V-lea î.Hr., filosoful antic grec Zenon din Elea și-a formulat celebrele aporii, dintre care cea mai cunoscută este aporia „Achile și broasca țestoasă”. Iată cum sună:

Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul în care Ahile parcurge această distanță, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile a alergat o sută de pași, țestoasa se va târa încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la nesfârșit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu broasca țestoasă.

Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Toți, într-un fel sau altul, au considerat aporii lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă în prezent, comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună despre esența paradoxurilor... în studiul problemei au fost implicate analiza matematică, teoria mulțimilor, noi abordări fizice și filozofice; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție universal acceptată la problemă...„[Wikipedia,” Aporii lui Zeno „]. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege ce este înșelăciunea.

Din punctul de vedere al matematicii, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la valoare la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constante. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru aplicarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zenon. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, prin inerția gândirii, aplicăm reciprocului unități constante de timp. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până la o oprire completă în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.

Dacă întoarcem logica cu care suntem obișnuiți, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al traseului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va depăși infinit rapid broasca țestoasă”.

Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la valori reciproce. În limba lui Zeno, arată astfel:

În timpul necesar lui Ahile să alerge o mie de pași, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.

Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre insurmontabilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Încă trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.

O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:

O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.

În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp săgeata zburătoare se odihnește în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Mai este un punct de remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, nici distanța până la ea. Pentru a determina fapta mișcării mașinii, sunt necesare două fotografii realizate din același punct în momente diferite în timp, dar nu pot fi folosite pentru a determina distanța. Pentru a determina distanța până la mașină, aveți nevoie de două fotografii realizate din diferite puncte din spațiu în același timp, dar nu puteți determina faptul deplasării din ele (în mod firesc, aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta). Ceea ce vreau să subliniez în special este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt două lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de explorare.

miercuri, 4 iulie 2018

Foarte bine diferențele dintre set și multiset sunt descrise în Wikipedia. Ne uitam.

După cum puteți vedea, „multimea nu poate avea două elemente identice”, dar dacă există elemente identice în set, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică a absurdității. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, în care mintea este absentă din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.

Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timpul testelor podului. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.

Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „mind-mă, sunt în casă”, sau mai degrabă „matematica studiază concepte abstracte”, există un singur cordon ombilical care le leagă indisolubil de realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria mulțimilor matematicienilor înșiși.

Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casierie, plătim salarii. Aici vine un matematician la noi pentru banii lui. Numărăm întreaga sumă pentru el și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm câte o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său de salariu matematic”. Explicăm la matematică că va primi restul bancnotelor doar atunci când va dovedi că mulțimea fără elemente identice nu este egală cu mulțimea cu elemente identice. Aici începe distracția.

În primul rând, logica deputaților va funcționa: „puteți aplica și altora, dar mie nu!” În plus, vor începe asigurările că există numere diferite de bancnote pe bancnotele de aceeași valoare nominală, ceea ce înseamnă că acestea nu pot fi considerate elemente identice. Ei bine, numărăm salariul în monede - nu există numere pe monede. Aici, matematicianul își va aminti frenetic de fizică: diferite monede au cantități diferite de murdărie, structura cristalină și aranjarea atomilor pentru fiecare monedă este unică...

Și acum am cea mai interesantă întrebare: unde este granița dincolo de care elementele unui multiset se transformă în elemente ale unui set și invers? O astfel de linie nu există - totul este decis de șamani, știința aici nu este nici măcar aproape.

Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Aria câmpurilor este aceeași, ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă luăm în considerare numele acelorași stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set cât și un multiset în același timp. Cât de corect? Și aici matematicianul-șaman-shuller scoate un as de atu din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.

Pentru a înțelege cum funcționează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.

Duminică, 18 martie 2018

Suma cifrelor unui număr este un dans al șamanilor cu o tamburină, care nu are nimic de-a face cu matematica. Da, la lecțiile de matematică suntem învățați să găsim suma cifrelor unui număr și să o folosim, dar ei sunt șamani pentru asta, pentru a-și învăța descendenții abilitățile și înțelepciunea, altfel șamanii pur și simplu vor muri.

Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți pagina „Suma cifrelor unui număr”. Ea nu există. Nu există o formulă în matematică prin care să poți găsi suma cifrelor oricărui număr. La urma urmei, numerele sunt simboluri grafice cu care scriem numere, iar în limbajul matematicii, sarcina sună astfel: „Găsiți suma simbolurilor grafice care reprezintă orice număr”. Matematicienii nu pot rezolva această problemă, dar șamanii o pot face în mod elementar.

Să ne dăm seama ce și cum facem pentru a găsi suma cifrelor unui număr dat. Și așa, să presupunem că avem numărul 12345. Ce trebuie făcut pentru a găsi suma cifrelor acestui număr? Să luăm în considerare toți pașii în ordine.

1. Notează numărul pe o foaie de hârtie. Ce am făcut? Am convertit numărul într-un simbol grafic numeric. Aceasta nu este o operație matematică.

2. Am tăiat o imagine primită în mai multe imagini care conțin numere separate. Decuparea unei imagini nu este o operație matematică.

3. Convertiți caracterele grafice individuale în numere. Aceasta nu este o operație matematică.

4. Adunați numerele rezultate. Acum asta e matematica.

Suma cifrelor numărului 12345 este 15. Acestea sunt „cursurile de tăiere și cusut” de la șamani folosite de matematicieni. Dar asta nu este tot.

Din punct de vedere al matematicii, nu contează în ce sistem de numere scriem numărul. Deci, în sisteme de numere diferite, suma cifrelor aceluiași număr va fi diferită. În matematică, sistemul numeric este indicat ca indice în dreapta numărului. Cu un număr mare de 12345, nu vreau să-mi păcălesc capul, luați în considerare numărul 26 din articolul despre. Să scriem acest număr în sisteme de numere binar, octal, zecimal și hexazecimal. Nu vom lua în considerare fiecare pas la microscop, am făcut-o deja. Să ne uităm la rezultat.

După cum puteți vedea, în sisteme numerice diferite, suma cifrelor aceluiași număr este diferită. Acest rezultat nu are nimic de-a face cu matematica. Este ca și cum găsirea ariei unui dreptunghi în metri și centimetri ți-ar da rezultate complet diferite.

Zero în toate sistemele de numere arată la fel și nu are sumă de cifre. Acesta este un alt argument în favoarea faptului că . O întrebare pentru matematicieni: cum se notează în matematică ceea ce nu este un număr? Ce, pentru matematicieni, nu există decât numere? Pentru șamani, pot permite acest lucru, dar pentru oameni de știință, nu. Realitatea nu este doar despre cifre.

Rezultatul obținut ar trebui considerat ca o dovadă că sistemele numerice sunt unități de măsură ale numerelor. La urma urmei, nu putem compara numerele cu unități de măsură diferite. Dacă aceleași acțiuni cu diferite unități de măsură ale aceleiași mărimi duc la rezultate diferite după compararea lor, atunci acest lucru nu are nimic de-a face cu matematica.

Ce este matematica reală? Acesta este momentul în care rezultatul unei acțiuni matematice nu depinde de valoarea numărului, de unitatea de măsură folosită și de cine efectuează această acțiune.

Semnează pe uşă Deschide usa si spune:

Oh! Asta nu este toaleta pentru femei?
- Femeie tânără! Acesta este un laborator pentru studierea sfințeniei nedefinite a sufletelor la înălțarea la cer! Nimbus în partea de sus și săgeată în sus. Ce altă toaletă?

Femeie... Un halou deasupra și o săgeată în jos sunt masculin.

Dacă aveți o astfel de operă de artă de design fulgerând în fața ochilor dvs. de mai multe ori pe zi,

Atunci nu este surprinzător că găsiți brusc o pictogramă ciudată în mașina dvs.:

Personal, fac un efort pe mine să văd minus patru grade la o persoană care face caca (o poză) (compunere din mai multe imagini: semnul minus, numărul patru, desemnarea grade). Și nu o consider pe fata asta o proastă care nu știe fizică. Ea are doar un arc stereotip al percepției imaginilor grafice. Și matematicienii ne învață asta tot timpul. Iată un exemplu.

1A nu este „minus patru grade” sau „unu a”. Acesta este „omul care face caca” sau numărul „douăzeci și șase” în sistemul numeric hexazecimal. Acei oameni care lucrează constant în acest sistem numeric percep automat numărul și litera ca un simbol grafic.

Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de orice nivel de complexitate se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. Și în acest sens, cercul trigonometric se dovedește din nou a fi cel mai bun ajutor.

Amintiți-vă definițiile cosinusului și sinusului.

Cosinusul unui unghi este abscisa (adică coordonata de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător rotației cu un unghi dat.

Sinusul unui unghi este ordonata (adică coordonata de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător rotației unui unghi dat.

Direcția pozitivă a mișcării de-a lungul cercului trigonometric este considerată a fi mișcarea în sens invers acelor de ceasornic. O rotație de 0 grade (sau 0 radiani) corespunde unui punct cu coordonatele (1; 0)

Folosim aceste definiții pentru a rezolva cele mai simple ecuații trigonometrice.

1. Rezolvați ecuația

Această ecuație este îndeplinită de toate aceste valori ale unghiului de rotație, care corespund punctelor cercului, a căror ordonată este egală cu .

Să marchem un punct cu ordonată pe axa y:

Desenați o linie orizontală paralelă cu axa x până când se intersectează cu cercul. Vom obține două puncte situate pe un cerc și având o ordonată. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație ale și radianilor:

Dacă, după ce am părăsit punctul corespunzător unghiului de rotație pe radian, ocolim un cerc complet, atunci vom ajunge la un punct corespunzător unghiului de rotație pe radian și având aceeași ordonată. Adică, acest unghi de rotație satisface și ecuația noastră. Putem face oricâte ture „inactiv” ne dorim, revenind la același punct, iar toate aceste valori ale unghiului ne vor satisface ecuația. Numărul de rotații „în gol” este notat cu litera (sau). Deoarece putem face aceste revoluții atât în ​​direcții pozitive, cât și în direcții negative, (sau ) poate lua orice valoare întreagă.

Adică, prima serie de soluții la ecuația originală are forma:

, , - set de numere întregi (1)

În mod similar, a doua serie de soluții are forma:

, Unde , . (2)

După cum ați ghicit, această serie de soluții se bazează pe punctul cercului corespunzător unghiului de rotație cu .

Aceste două serii de soluții pot fi combinate într-o singură intrare:

Dacă luăm această intrare (adică chiar), atunci vom obține prima serie de soluții.

Dacă luăm această intrare (adică impar), atunci vom obține a doua serie de soluții.

2. Acum să rezolvăm ecuația

Deoarece abscisa punctului cercului unitar este obtinuta prin rotirea prin unghi, marcam pe axa un punct cu abscisa:

Desenați o linie verticală paralelă cu axa până când se intersectează cu cercul. Vom obține două puncte situate pe un cerc și având o abscisă. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație de și radiani. Amintiți-vă că atunci când ne deplasăm în sensul acelor de ceasornic, obținem un unghi negativ de rotație:

Scriem două serii de soluții:

,

,

(Ajungem la punctul potrivit trecând din cercul complet principal, adică.

Să combinăm aceste două serii într-o singură postare:

3. Rezolvați ecuația

Linia tangentelor trece prin punctul cu coordonatele (1,0) ale cercului unitar paralel cu axa OY

Marcați un punct pe el cu o ordonată egală cu 1 (căutăm tangenta a căror unghiuri este 1):

Conectați acest punct la origine cu o linie dreaptă și marcați punctele de intersecție ale dreptei cu cercul unitar. Punctele de intersecție ale dreptei și cercului corespund unghiurilor de rotație pe și:

Deoarece punctele corespunzătoare unghiurilor de rotație care satisfac ecuația noastră se află la radiani, putem scrie soluția după cum urmează:

4. Rezolvați ecuația

Linia cotangentelor trece prin punctul cu coordonatele cercului unitar paralel cu axa.

Marcam un punct cu abscisa -1 pe linia cotangentelor:

Conectați acest punct la originea dreptei și continuați-l până când se intersectează cu cercul. Această linie va intersecta cercul în puncte corespunzătoare unghiurilor de rotație ale și radianilor:

Deoarece aceste puncte sunt separate unul de celălalt printr-o distanță egală cu , atunci putem scrie soluția generală a acestei ecuații după cum urmează:

În exemplele date, ilustrând soluția celor mai simple ecuații trigonometrice, s-au folosit valori tabelare ale funcțiilor trigonometrice.

Cu toate acestea, dacă există o valoare non-tabelă în partea dreaptă a ecuației, atunci înlocuim valoarea în soluția generală a ecuației:

SOLUȚII SPECIALE:

Marcați punctele cercului a cărui ordonată este 0:

Marcați un singur punct pe cerc, a cărui ordonată este egală cu 1:

Marcați un singur punct pe cerc, a cărui ordonată este egală cu -1:

Deoarece se obișnuiește să se indice valorile cele mai apropiate de zero, scriem soluția după cum urmează:

Marcați punctele de pe cerc, a cărui abscisă este 0:

5.
Să marchem un singur punct pe cerc, a cărui abscisă este egală cu 1:

Să marchem un singur punct pe cerc, a cărui abscisă este egală cu -1:

Și câteva exemple mai complexe:

1.

Sinusul este unul dacă argumentul este

Argumentul sinusului nostru este , deci obținem:

Împărțiți ambele părți ale ecuației la 3:

Răspuns:

2.

Cosinusul este zero dacă argumentul cosinus este

Argumentul cosinusului nostru este , deci obținem:

Exprimăm , pentru aceasta ne deplasăm mai întâi la dreapta cu semnul opus:

Simplificați partea dreaptă:

Împărțiți ambele părți la -2:

Rețineți că semnul înainte de termen nu se schimbă, deoarece k poate lua orice valoare întreagă.

Răspuns:

Și în concluzie, urmăriți tutorialul video „Selectarea rădăcinilor într-o ecuație trigonometrică folosind un cerc trigonometric”

Astfel se încheie conversația despre rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. Data viitoare vom vorbi despre cum să rezolvăm.