Cele mai ingenioase descoperiri din știință pot schimba radical viața umană. Vaccinul inventat poate salva milioane de oameni, crearea de arme, dimpotrivă, ia aceste vieți. Mai recent (pe scara evoluției umane) am învățat să „îmblânzim” electricitatea – iar acum nu ne putem imagina viața fără toate aceste dispozitive convenabile care folosesc electricitate. Există însă și descoperiri cărora puțini oameni le acordă importanță, deși ne influențează foarte mult și viața.

Una dintre aceste descoperiri „imperceptibile” sunt fractalii. Probabil ați auzit acest cuvânt captivant, dar știți ce înseamnă și câte lucruri interesante se ascund în acest termen?

Fiecare persoană are o curiozitate firească, o dorință de a afla despre lumea din jurul său. Și în această aspirație, o persoană încearcă să adere la logica în judecăți. Analizând procesele care au loc în jurul său, încearcă să găsească logica a ceea ce se întâmplă și să deducă o oarecare regularitate. Cele mai mari minți de pe planetă sunt ocupate cu această sarcină. În linii mari, oamenii de știință caută un model unde nu ar trebui să fie. Cu toate acestea, chiar și în haos, se poate găsi o legătură între evenimente. Și această conexiune este un fractal.

Fiica noastră mică, în vârstă de patru ani și jumătate, este acum la acea vârstă minunată când numărul întrebărilor „De ce?” de multe ori mai mare decât numărul de răspunsuri pe care adulții au timp să le dea. Nu cu mult timp în urmă, privind o creangă ridicată din pământ, fiica mea a observat brusc că această creangă, cu noduri și ramuri, arăta ea însăși ca un copac. Și, bineînțeles, a urmat întrebarea obișnuită „De ce?”, pentru care părinții au fost nevoiți să caute o explicație simplă pe care copilul să o poată înțelege.

Asemănarea unei singure ramuri cu un copac întreg descoperit de un copil este o observație foarte precisă, care mărturisește încă o dată principiul auto-asemănării recursive în natură. Foarte multe forme organice și anorganice în natură se formează în mod similar. Norii, scoici de mare, „casa” unui melc, scoarța și coroana copacilor, sistemul circulator și așa mai departe - formele aleatorii ale tuturor acestor obiecte pot fi descrise printr-un algoritm fractal.

⇡ Benoit Mandelbrot: părintele geometriei fractale

Însuși cuvântul „fractal” a apărut datorită genialului om de știință Benoît B. Mandelbrot.

El a inventat el însuși termenul în anii 1970, împrumutând cuvântul fractus din latină, unde literalmente înseamnă „rupt” sau „zdrobit”. Ce este? Astăzi, cuvântul „fractal” este cel mai adesea folosit pentru a însemna o reprezentare grafică a unei structuri care este similară cu ea însăși la o scară mai mare.

Baza matematică pentru apariția teoriei fractalilor a fost pusă cu mulți ani înainte de nașterea lui Benoit Mandelbrot, dar s-a putut dezvolta doar odată cu apariția dispozitivelor de calcul. La începutul carierei sale științifice, Benoit a lucrat la centrul de cercetare IBM. La acea vreme, angajații centrului lucrau la transmiterea datelor la distanță. În cursul cercetărilor, oamenii de știință s-au confruntat cu problema pierderilor mari rezultate din interferența zgomotului. Benoit s-a confruntat cu o sarcină dificilă și foarte importantă - să înțeleagă cum să prezică apariția interferenței de zgomot în circuitele electronice atunci când metoda statistică este ineficientă.

Privind rezultatele măsurătorilor de zgomot, Mandelbrot a atras atenția asupra unui model ciudat - graficele de zgomot la diferite scale arătau la fel. Un model identic a fost observat, indiferent dacă a fost o diagramă de zgomot pentru o zi, o săptămână sau o oră. A meritat să schimbi scara graficului, iar imaginea s-a repetat de fiecare dată.

În timpul vieții, Benoit Mandelbrot a spus în repetate rânduri că nu s-a ocupat de formule, ci pur și simplu s-a jucat cu imagini. Acest om a gândit foarte figurat și a tradus orice problemă algebrică în domeniul geometriei, unde, potrivit lui, răspunsul corect este întotdeauna evident.

Nu este de mirare că un om cu o imaginație spațială atât de bogată a devenit părintele geometriei fractale. La urma urmei, realizarea esenței fractalilor vine tocmai atunci când începi să studiezi desenele și să te gândești la semnificația tiparelor de vârtej ciudate.

Un model fractal nu are elemente identice, dar are similitudini la orice scară. Pentru a construi o astfel de imagine cu un grad ridicat de detaliu manual, era pur și simplu imposibil înainte, era nevoie de o cantitate imensă de calcule. De exemplu, matematicianul francez Pierre Joseph Louis Fatou a descris acest set cu mai bine de șaptezeci de ani înainte de descoperirea lui Benoit Mandelbrot. Dacă vorbim despre principiile auto-asemănării, atunci ele au fost menționate în lucrările lui Leibniz și Georg Cantor.

Unul dintre primele desene ale unui fractal a fost o interpretare grafică a setului Mandelbrot, care a luat naștere în urma cercetărilor lui Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (întotdeauna mascat - accidentare din Primul Război Mondial)

Acest matematician francez s-a întrebat cum ar arăta un set dacă ar fi construit dintr-o formulă simplă repetată de o buclă de feedback. Dacă se explică „pe degete”, aceasta înseamnă că pentru un anumit număr găsim o nouă valoare folosind formula, după care o înlocuim din nou în formulă și obținem o altă valoare. Rezultatul este o succesiune mare de numere.

Pentru a obține o imagine completă a unui astfel de set, trebuie să faceți o cantitate imensă de calcule - sute, mii, milioane. Pur și simplu era imposibil să o faci manual. Dar când au apărut dispozitive de calcul puternice la dispoziția matematicienilor, aceștia au putut să arunce o privire nouă asupra formulelor și expresiilor care au fost de multă vreme de interes. Mandelbrot a fost primul care a folosit un computer pentru a calcula fractalul clasic. După ce a procesat o secvență formată dintr-un număr mare de valori, Benoit a transferat rezultatele într-un grafic. Iată ce a primit.

Ulterior, această imagine a fost colorată (de exemplu, una dintre modalitățile de colorare este după numărul de iterații) și a devenit una dintre cele mai populare imagini create vreodată de om.

După cum spune vechea zicală atribuită lui Heraclit din Efes: „Nu poți intra de două ori în același râu”. Este cel mai potrivit pentru interpretarea geometriei fractalilor. Indiferent cât de detaliat examinăm o imagine fractală, vom vedea întotdeauna un model similar.

Cei care doresc să vadă cum ar arăta o imagine a spațiului Mandelbrot atunci când este mărită de mai multe ori, pot face acest lucru prin încărcarea unui GIF animat.

⇡ Lauren Carpenter: artă creată de natură

Teoria fractalilor și-a găsit curând aplicație practică. Deoarece este strâns legată de vizualizarea imaginilor auto-similare, nu este de mirare că primii care au adoptat algoritmi și principii pentru construirea formelor neobișnuite au fost artiștii.

Viitorul co-fondator al legendarului studio Pixar, Loren C. Carpenter, a început să lucreze în 1967 la Boeing Computer Services, care era una dintre diviziile cunoscutei corporații angajate în dezvoltarea de noi avioane.

În 1977, a creat prezentări cu prototipuri de modele zburătoare. Lauren a fost responsabilă pentru dezvoltarea imaginilor aeronavei proiectate. A trebuit să creeze imagini cu modele noi, arătând viitoarele avioane din diferite unghiuri. La un moment dat, viitorul fondator al Pixar Animation Studios a venit cu ideea creativă de a folosi o imagine a munților ca fundal. Astăzi, orice școlar poate rezolva o astfel de problemă, dar la sfârșitul anilor șaptezeci ai secolului trecut, computerele nu puteau face față unor calcule atât de complexe - nu existau editori grafici, ca să nu mai vorbim de aplicații pentru grafică tridimensională. În 1978, Lauren a văzut accidental cartea lui Benoit Mandelbrot Fractals: Form, Randomness and Dimension într-un magazin. În această carte, i s-a atras atenția asupra faptului că Benoit a oferit o mulțime de exemple de forme fractale în viața reală și a demonstrat că pot fi descrise printr-o expresie matematică.

Această analogie a fost aleasă de matematician nu întâmplător. Cert este că, de îndată ce și-a publicat cercetările, a trebuit să facă față unui întreg val de critici. Principalul lucru pe care i-au reproșat colegii a fost inutilitatea teoriei dezvoltate. „Da”, au spus ei, „acestea sunt poze frumoase, dar nimic mai mult. Teoria fractalilor nu are valoare practică.” Au existat, de asemenea, cei care credeau în general că modelele fractale sunt pur și simplu un produs secundar al muncii „mașinilor diavolului”, care la sfârșitul anilor șaptezeci părea multora a fi ceva prea complicat și neexplorat pentru a fi de încredere. Mandelbrot a încercat să găsească o aplicație evidentă a teoriei fractalilor, dar, în general, nu a fost nevoie să facă acest lucru. Adepții lui Benoit Mandelbrot în următorii 25 de ani s-au dovedit a fi de mare folos unei astfel de „curiozități matematice”, iar Lauren Carpenter a fost una dintre primele care a pus în practică metoda fractală.

După ce a studiat cartea, viitorul animator a studiat serios principiile geometriei fractale și a început să caute o modalitate de a o implementa în grafica computerizată. În doar trei zile de muncă, Lauren a reușit să vizualizeze pe computerul său o imagine realistă a sistemului montan. Cu alte cuvinte, cu ajutorul formulelor, a pictat un peisaj montan complet recunoscut.

Principiul pe care Lauren l-a folosit pentru a-și atinge scopul a fost foarte simplu. Ea a constat în împărțirea unei figuri geometrice mai mari în elemente mici, iar acestea, la rândul lor, au fost împărțite în figuri similare de dimensiuni mai mici.

Folosind triunghiuri mai mari, Carpenter le-a împărțit în patru mai mici și apoi a repetat această procedură iar și iar până când a obținut un peisaj montan realist. Astfel, a reușit să devină primul artist care a folosit un algoritm fractal în grafica computerizată pentru a construi imagini. De îndată ce a devenit cunoscut despre munca depusă, pasionații din întreaga lume au preluat această idee și au început să folosească algoritmul fractal pentru a simula forme naturale realiste.

Una dintre primele randări 3D care utilizează algoritmul fractal

Doar câțiva ani mai târziu, Lauren Carpenter a putut să-și aplice realizările într-un proiect mult mai amplu. Animatorul le-a bazat pe un demo de două minute, Vol Libre, care a fost afișat pe Siggraph în 1980. Acest videoclip a șocat pe toți cei care l-au văzut, iar Lauren a primit o invitație de la Lucasfilm.

Animația a fost redată pe un computer VAX-11/780 de la Digital Equipment Corporation la o viteză de ceas de cinci megaherți și fiecare cadru a durat aproximativ o jumătate de oră pentru a fi desenat.

Lucrând pentru Lucasfilm Limited, animatorul a creat aceleași peisaje 3D pentru al doilea lungmetraj din saga Star Trek. În The Wrath of Khan, Carpenter a reușit să creeze o întreagă planetă folosind același principiu de modelare a suprafeței fractale.

În prezent, toate aplicațiile populare pentru crearea peisajelor 3D folosesc același principiu de generare a obiectelor naturale. Terragen, Bryce, Vue și alți editori 3D se bazează pe un algoritm de modelare a suprafeței fractale și a texturii.

⇡ Antene fractale: mai puțin este mai bine, dar mai bine

În ultima jumătate de secol, viața s-a schimbat rapid. Cei mai mulți dintre noi considerăm progresele tehnologiei moderne de la sine înțeles. Cu tot ceea ce face viața mai confortabilă, te obișnuiești foarte repede. Rareori cineva pune întrebările „De unde a venit asta?” și „Cum funcționează?”. Un cuptor cu microunde încălzește micul dejun - bine, grozav, un smartphone vă permite să vorbiți cu o altă persoană - grozav. Aceasta ni se pare o posibilitate evidentă.

Dar viața ar putea fi complet diferită dacă o persoană nu ar căuta o explicație pentru evenimentele care au loc. Luați, de exemplu, telefoanele mobile. Îți amintești de antenele retractabile de pe primele modele? Au intervenit, au mărit dimensiunea dispozitivului, în cele din urmă, s-au rupt adesea. Credem că s-au scufundat în uitare pentru totdeauna și, parțial, din această cauză... fractali.

Desenele fractale fascinează cu modelele lor. Cu siguranță seamănă cu imagini ale obiectelor spațiale - nebuloase, grupuri de galaxii și așa mai departe. Prin urmare, este destul de firesc ca atunci când Mandelbrot și-a exprimat teoria fractalilor, cercetările sale au stârnit un interes sporit în rândul celor care au studiat astronomia. Un astfel de amator pe nume Nathan Cohen, după ce a participat la o prelegere a lui Benoit Mandelbrot la Budapesta, a fost inspirat de ideea aplicării practice a cunoștințelor dobândite. Adevărat, a făcut-o intuitiv, iar întâmplarea a jucat un rol important în descoperirea sa. Ca radioamator, Nathan a căutat să creeze o antenă cu cea mai mare sensibilitate posibilă.

Singura modalitate de a îmbunătăți parametrii antenei, care era cunoscută la acea vreme, era creșterea dimensiunilor geometrice ale acesteia. Cu toate acestea, proprietarul apartamentului lui Nathan din centrul orașului Boston s-a opus categoric instalării de dispozitive mari pe acoperiș. Apoi Nathan a început să experimenteze cu diverse forme de antene, încercând să obțină rezultatul maxim cu dimensiunea minimă. Aprins de ideea formelor fractale, Cohen, după cum se spune, a făcut aleatoriu unul dintre cei mai faimoși fractali din sârmă - „fulgul de zăpadă Koch”. Matematicianul suedez Helge von Koch a creat această curbă în 1904. Se obține prin împărțirea segmentului în trei părți și înlocuirea segmentului din mijloc cu un triunghi echilateral fără ca o latură să coincidă cu acest segment. Definiția este puțin greu de înțeles, dar cifra este clară și simplă.

Există și alte soiuri ale „curbei Koch”, dar forma aproximativă a curbei rămâne similară

Când Nathan a conectat antena la receptorul radio, a fost foarte surprins - sensibilitatea a crescut dramatic. După o serie de experimente, viitorul profesor de la Universitatea din Boston și-a dat seama că o antenă realizată după un tipar fractal are o eficiență ridicată și acoperă o gamă de frecvență mult mai largă în comparație cu soluțiile clasice. În plus, forma antenei sub forma unei curbe fractale poate reduce semnificativ dimensiunile geometrice. Nathan Cohen a dezvoltat chiar și o teoremă care demonstrează că pentru a crea o antenă de bandă largă, este suficient să-i dea forma unei curbe fractale auto-similare.

Autorul și-a patentat descoperirea și a fondat o firmă de dezvoltare și proiectare a antenelor fractale Fractal Antenna Systems, crezând pe bună dreptate că în viitor, datorită descoperirii sale, telefoanele mobile vor putea scăpa de antenele voluminoase și vor deveni mai compacte.

Practic, asta s-a întâmplat. Adevărat, până astăzi, Nathan se află într-un proces cu mari corporații care folosesc ilegal descoperirea sa pentru a produce dispozitive compacte de comunicație. Unii producători cunoscuți de dispozitive mobile, precum Motorola, au ajuns deja la un acord de pace cu inventatorul antenei fractale.

⇡ Dimensiuni fractale: mintea nu înțelege

Benoit a împrumutat această întrebare de la celebrul om de știință american Edward Kasner.

Acesta din urmă, la fel ca mulți alți matematicieni celebri, îi plăcea foarte mult să comunice cu copiii, să le pună întrebări și să obțină răspunsuri neașteptate. Uneori, acest lucru a dus la rezultate surprinzătoare. Deci, de exemplu, nepotul de nouă ani al lui Edward Kasner a venit cu cuvântul acum binecunoscut „googol”, care desemnează o unitate cu o sută de zerouri. Dar să revenim la fractali. Matematicianului american îi plăcea să întrebe cât de lungă este coasta SUA. După ce a ascultat opinia interlocutorului, Edward însuși a rostit răspunsul corect. Dacă măsurați lungimea pe hartă cu segmente rupte, atunci rezultatul va fi inexact, deoarece linia de coastă are un număr mare de nereguli. Și ce se întâmplă dacă măsori cât mai precis? Va trebui să țineți cont de lungimea fiecărei denivelări - va trebui să măsurați fiecare pelerină, fiecare golf, stâncă, lungimea unei margini stâncoase, o piatră pe ea, un grăunte de nisip, un atom și așa mai departe. Deoarece numărul de nereguli tinde spre infinit, lungimea măsurată a liniei de coastă va crește la infinit cu fiecare nouă neregulă.

Cu cât măsura este mai mică la măsurare, cu atât lungimea măsurată este mai mare

Interesant, urmând îndemnurile lui Edward, copiii au fost mult mai rapid decât adulții în a spune răspunsul corect, în timp ce aceștia din urmă au avut probleme în a accepta un răspuns atât de incredibil.

Folosind această problemă ca exemplu, Mandelbrot a sugerat utilizarea unei noi abordări a măsurătorilor. Deoarece linia de coastă este aproape de o curbă fractală, înseamnă că i se poate aplica un parametru de caracterizare, așa-numita dimensiune fractală.

Care este dimensiunea obișnuită este clară pentru oricine. Dacă dimensiunea este egală cu unu, obținem o linie dreaptă, dacă doi - o figură plată, trei - volum. Cu toate acestea, o astfel de înțelegere a dimensiunii în matematică nu funcționează cu curbele fractale, unde acest parametru are o valoare fracțională. Dimensiunea fractală în matematică poate fi considerată condiționat drept „rugurozitate”. Cu cât este mai mare rugozitatea curbei, cu atât dimensiunea sa fractală este mai mare. O curbă care, conform lui Mandelbrot, are o dimensiune fractală mai mare decât dimensiunea sa topologică, are o lungime aproximativă care nu depinde de numărul de dimensiuni.

În prezent, oamenii de știință găsesc din ce în ce mai multe domenii pentru aplicarea teoriei fractale. Cu ajutorul fractalilor, puteți analiza fluctuațiile prețurilor acțiunilor, puteți explora tot felul de procese naturale, cum ar fi fluctuațiile numărului de specii sau puteți simula dinamica fluxurilor. Algoritmii fractali pot fi utilizați pentru compresia datelor, de exemplu pentru compresia imaginilor. Și apropo, pentru a obține un fractal frumos pe ecranul computerului, nu trebuie să ai un doctorat.

⇡ Fractal în browser

Poate că una dintre cele mai ușoare modalități de a obține un model fractal este să folosești editorul de vectori online de la un tânăr talentat programator Toby Schachman. Setul de instrumente al acestui editor grafic simplu se bazează pe același principiu al auto-asemănării.

Există doar două forme simple la dispoziție - un pătrat și un cerc. Le puteți adăuga pe pânză, le puteți scala (pentru a scala de-a lungul uneia dintre axe, țineți apăsată tasta Shift) și rotiți. Suprapunându-se pe principiul operațiilor de adunare booleană, aceste elemente cele mai simple formează forme noi, mai puțin triviale. Mai mult, aceste noi forme pot fi adăugate la proiect, iar programul va repeta generarea acestor imagini pe termen nelimitat. În orice etapă a lucrului la un fractal, puteți reveni la orice componentă a unei forme complexe și puteți edita poziția și geometria acesteia. Este foarte distractiv, mai ales când ai în vedere că singurul instrument de care ai nevoie pentru a fi creativ este un browser. Dacă nu înțelegeți principiul lucrului cu acest editor vectorial recursiv, vă sfătuim să urmăriți videoclipul de pe site-ul oficial al proiectului, care arată în detaliu întregul proces de creare a unui fractal.

⇡ XaoS: fractali pentru toate gusturile

Mulți editori grafici au instrumente încorporate pentru a crea modele fractale. Cu toate acestea, aceste instrumente sunt de obicei secundare și nu vă permit să reglați modelul fractal generat. În cazurile în care este necesar să se construiască un fractal precis din punct de vedere matematic, editorul multiplatform XaoS va veni în ajutor. Acest program face posibilă nu numai construirea unei imagini auto-similare, ci și efectuarea diferitelor manipulări cu aceasta. De exemplu, în timp real, puteți „plimba” printr-un fractal schimbându-i scara. Mișcarea animată de-a lungul unui fractal poate fi salvată ca fișier XAF și apoi redată în programul însuși.

XaoS poate încărca un set aleatoriu de parametri, precum și poate folosi diferite filtre de post-procesare a imaginii - adăugați un efect de mișcare neclară, neteziți tranzițiile clare între punctele fractale, simulați o imagine 3D și așa mai departe.

⇡ Fractal Zoomer: generator compact de fractali

În comparație cu alte generatoare de imagini fractale, are mai multe avantaje. În primul rând, este destul de mică și nu necesită instalare. În al doilea rând, implementează capacitatea de a defini paleta de culori a imaginii. Puteți alege nuanțe în modelele de culoare RGB, CMYK, HVS și HSL.

De asemenea, este foarte convenabil să utilizați opțiunea de selecție aleatorie a nuanțelor de culoare și funcția de inversare a tuturor culorilor din imagine. Pentru a regla culoarea, există o funcție de selecție ciclică a nuanțelor - atunci când modul corespunzător este pornit, programul animă imaginea, schimbând ciclic culorile pe ea.

Fractal Zoomer poate vizualiza 85 de funcții fractale diferite, iar formulele sunt afișate clar în meniul programului. Există filtre pentru post-procesarea imaginilor în program, deși într-o cantitate mică. Fiecare filtru alocat poate fi anulat în orice moment.

⇡ Mandelbulb3D: editor fractal 3D

Când se folosește termenul „fractal”, cel mai adesea înseamnă o imagine plată bidimensională. Cu toate acestea, geometria fractală depășește dimensiunea 2D. În natură, se pot găsi atât exemple de forme fractale plate, de exemplu, geometria fulgerului, cât și figuri tridimensionale tridimensionale. Suprafețele fractale pot fi 3D, iar o ilustrare foarte grafică a fractalilor 3D în viața de zi cu zi este un cap de varză. Poate cel mai bun mod de a vedea fractalii este în Romanesco, un hibrid de conopidă și broccoli.

Și acest fractal poate fi mâncat

Programul Mandelbulb3D poate crea obiecte tridimensionale cu o formă similară. Pentru a obține o suprafață 3D folosind algoritmul fractal, autorii acestei aplicații, Daniel White și Paul Nylander, au convertit setul Mandelbrot în coordonate sferice. Programul Mandelbulb3D pe care l-au creat este un adevărat editor tridimensional care modelează suprafețe fractale de diferite forme. Deoarece observăm adesea modele fractale în natură, un obiect tridimensional fractal creat artificial pare incredibil de realist și chiar „viu”.

Poate arăta ca o plantă, poate să semene cu un animal ciudat, cu o planetă sau cu altceva. Acest efect este îmbunătățit de un algoritm de randare avansat care face posibilă obținerea de reflexii realiste, calcularea transparenței și umbrelor, simularea efectului adâncimii câmpului și așa mai departe. Mandelbulb3D are o cantitate imensă de setări și opțiuni de randare. Puteți controla nuanțele surselor de lumină, puteți alege fundalul și nivelul de detaliu al obiectului modelat.

Editorul de fractali Incendia acceptă netezirea imaginii duble, conține o bibliotecă de cincizeci de fractali tridimensionali diferiți și are un modul separat pentru editarea formelor de bază.

Aplicația folosește scripting fractal, cu ajutorul căruia puteți descrie în mod independent noi tipuri de structuri fractale. Incendia are editori de textură și materiale și un motor de randare care vă permite să utilizați efecte de ceață volumetrică și diverse shadere. Programul are o opțiune de salvare a tamponului în timpul redării pe termen lung, este acceptată crearea de animație.

Incendia vă permite să exportați un model fractal în formate populare de grafică 3D - OBJ și STL. Incendia include un mic utilitar Geometrica - un instrument special pentru configurarea exportului unei suprafețe fractale la un model tridimensional. Folosind acest utilitar, puteți determina rezoluția unei suprafețe 3D, puteți specifica numărul de iterații fractale. Modelele exportate pot fi folosite în proiecte 3D atunci când lucrați cu editori 3D, cum ar fi Blender, 3ds max și altele.

Recent, lucrările la proiectul Incendia au încetinit oarecum. În acest moment, autorul caută sponsori care să-l ajute să dezvolte programul.

Dacă nu aveți suficientă imaginație pentru a desena un frumos fractal tridimensional în acest program, nu contează. Utilizați biblioteca de parametri, care se află în folderul INCENDIA_EX\parameters. Cu ajutorul fișierelor PAR, puteți găsi rapid cele mai neobișnuite forme fractale, inclusiv cele animate.

⇡ Aural: cum cântă fractalii

De obicei nu vorbim despre proiecte la care tocmai se lucrează, dar în acest caz trebuie să facem o excepție, aceasta este o aplicație foarte neobișnuită. Un proiect numit Aural a venit cu aceeași persoană ca Incendia. Adevărat, de data aceasta programul nu vizualizează setul fractal, ci îl voce, transformându-l în muzică electronică. Ideea este foarte interesantă, mai ales având în vedere proprietățile neobișnuite ale fractalilor. Aural este un editor audio care generează melodii folosind algoritmi fractali, adică este, de fapt, un sintetizator-sequencer audio.

Secvența de sunete emise de acest program este neobișnuită și... frumoasă. Poate fi la îndemână pentru a scrie ritmuri moderne și, în opinia noastră, este deosebit de potrivit pentru crearea de coloane sonore pentru intrările programelor de televiziune și radio, precum și „bucle” de muzică de fundal pentru jocurile pe calculator. Ramiro nu a oferit încă o demonstrație a programului său, dar promite că atunci când o va face, pentru a lucra cu Aural, nu va trebui să învețe teoria fractalilor - doar joacă-te cu parametrii algoritmului pentru generarea unei secvențe de note. Ascultă cum sună fractalii și.

Fractali: pauză muzicală

De fapt, fractalii pot ajuta la scrierea muzicii chiar și fără software. Dar acest lucru poate fi făcut doar de cineva care este cu adevărat impregnat de ideea de armonie naturală și, în același timp, nu s-a transformat într-un „tocilar” nefericit. Este logic să luăm un indiciu de la un muzician pe nume Jonathan Coulton, care, printre altele, scrie compoziții pentru revista Popular Science. Și, spre deosebire de alți artiști, Colton își publică toate lucrările sub o licență Creative Commons Atribuire-Necomerciale, care (atunci când este utilizată în scopuri necomerciale) asigură copierea, distribuirea, transferul operei către alții, precum și modificarea acesteia (crearea). de lucrări derivate) pentru a-l adapta nevoilor dumneavoastră.

Jonathan Colton, desigur, are un cântec despre fractali.

⇡ Concluzie

În tot ceea ce ne înconjoară, vedem adesea haos, dar de fapt acesta nu este un accident, ci o formă ideală, pe care fractalii ne ajută să o discernem. Natura este cel mai bun arhitect, constructorul și inginerul ideal. Este aranjat foarte logic, iar dacă undeva nu vedem tipare, asta înseamnă că trebuie să-l căutăm la o scară diferită. Oamenii înțeleg acest lucru din ce în ce mai bine, încercând să imite formele naturale în multe feluri. Inginerii proiectează sisteme de difuzoare sub formă de carcasă, creează antene cu geometrie de fulgi de zăpadă și așa mai departe. Suntem siguri că fractalii păstrează încă o mulțime de secrete și multe dintre ele nu au fost încă descoperite de om.

Ce au în comun un copac, un mal de mare, un nor sau vasele de sânge din mâna noastră? La prima vedere, poate părea că toate aceste obiecte nu au nimic în comun. Cu toate acestea, de fapt, există o proprietate a structurii care este inerentă tuturor obiectelor enumerate: acestea sunt auto-asemănătoare. Din ramură, precum și din trunchiul unui copac, procesele mai mici pleacă de la ele - chiar și mai mici, etc., adică o ramură este similară cu întregul copac. Sistemul circulator este aranjat într-un mod similar: arteriolele pleacă din artere și din ele - cele mai mici capilare prin care oxigenul pătrunde în organe și țesuturi. Să ne uităm la imaginile din satelit ale coastei mării: vom vedea golfuri și peninsule; haideti sa ne uitam la el, dar din vedere de ochi: vom vedea golfuri si pelerine; acum imaginați-vă că stăm pe plajă și ne uităm la picioare: întotdeauna vor fi pietricele care ies mai mult în apă decât restul. Adică, linia de coastă rămâne similară cu ea însăși când este mărită. Matematicianul american Benoit Mandelbrot a numit această proprietate a obiectelor fractalitate, iar astfel de obiecte în sine - fractali (din latinescul fractus - rupt).

Acest concept nu are o definiție strictă. Prin urmare, cuvântul „fractal” nu este un termen matematic. De obicei, un fractal este o figură geometrică care satisface una sau mai multe dintre următoarele proprietăți: Are o structură complexă la orice mărire (spre deosebire de, de exemplu, o linie dreaptă, a cărei parte este cea mai simplă figură geometrică - un segment). Este (aproximativ) auto-similar. Are o dimensiune Hausdorff (fractală) fracțională, care este mai mare decât cea topologică. Poate fi construit cu proceduri recursive.

Geometrie și algebră

Studiul fractalilor la începutul secolelor al XIX-lea și al XX-lea a fost mai mult episodic decât sistematic, deoarece matematicienii anteriori au studiat în principal obiectele „bune” care puteau fi investigate folosind metode și teorii generale. În 1872, matematicianul german Karl Weierstrass construiește un exemplu de funcție continuă care nu poate fi diferențiată nicăieri. Cu toate acestea, construcția sa a fost în întregime abstractă și greu de înțeles. Prin urmare, în 1904, suedezul Helge von Koch a venit cu o curbă continuă care nu are tangentă nicăieri și este destul de simplu să o desenezi. S-a dovedit că are proprietățile unui fractal. O variație a acestei curbe se numește fulg de zăpadă Koch.

Ideile de auto-asemănare a figurilor au fost preluate de francezul Paul Pierre Levy, viitorul mentor al lui Benoit Mandelbrot. În 1938, a fost publicat articolul său „Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole”, în care este descris un alt fractal - curba C Lévy. Toți acești fractali enumerați mai sus pot fi atribuiți condiționat unei singure clase de fractali constructivi (geometrici).

O altă clasă este fractalii dinamici (algebrici), care includ mulțimea Mandelbrot. Primele cercetări în această direcție au început la începutul secolului al XX-lea și sunt asociate cu numele matematicienilor francezi Gaston Julia și Pierre Fatou. În 1918, Julia a publicat un memoriu de aproape două sute de pagini, dedicat iterațiilor de funcții raționale complexe, în care sunt descrise mulțimi Julia - o întreagă familie de fractali strâns înrudite cu mulțimea Mandelbrot. Această lucrare a fost distinsă cu premiul Academiei Franceze, dar nu conținea o singură ilustrație, așa că a fost imposibil de apreciat frumusețea obiectelor descoperite. În ciuda faptului că această lucrare a făcut-o celebră pe Julia printre matematicienii vremii, a fost rapid uitată. Din nou, atenția s-a îndreptat către el abia o jumătate de secol mai târziu, odată cu apariția computerelor: ei au făcut vizibilă bogăția și frumusețea lumii fractalilor.

Dimensiuni fractale

După cum știți, dimensiunea (numărul de măsurători) unei figuri geometrice este numărul de coordonate necesare pentru a determina poziția unui punct situat pe această figură.
De exemplu, poziția unui punct pe o curbă este determinată de o coordonată, pe o suprafață (nu neapărat un plan) de două coordonate, în spațiul tridimensional de trei coordonate.
Dintr-un punct de vedere matematic mai general, se poate defini dimensiunea în acest fel: o creștere a dimensiunilor liniare, să zicem, de două ori, pentru obiectele unidimensionale (din punct de vedere topologic) (segmentul) duce la o creștere a dimensiunii. (lungime) cu un factor de doi, pentru bidimensional (pătrat) aceeași creștere a dimensiunilor liniare duce la o creștere a dimensiunii (aria) de 4 ori, pentru tridimensional (cub) - de 8 ori. Adică, dimensiunea „reală” (așa-numita Hausdorff) poate fi calculată ca raport dintre logaritmul creșterii „dimensiunii” unui obiect și logaritmul creșterii dimensiunii sale liniare. Adică pentru un segment D=log (2)/log (2)=1, pentru un plan D=log (4)/log (2)=2, pentru un volum D=log (8)/log (2 )=3.
Să calculăm acum dimensiunea curbei Koch, pentru construcția căreia segmentul unitar este împărțit în trei părți egale, iar intervalul din mijloc este înlocuit cu un triunghi echilateral fără acest segment. Cu o creștere a dimensiunilor liniare ale segmentului minim de trei ori, lungimea curbei Koch crește în log (4) / log (3) ~ 1,26. Adică dimensiunea curbei Koch este fracțională!

Știința și arta

În 1982, a fost publicată cartea lui Mandelbrot „Geometria fractală a naturii”, în care autorul a colectat și sistematizat aproape toate informațiile despre fractali disponibile la acea vreme și le-a prezentat într-un mod ușor și accesibil. Mandelbrot a pus accentul principal în prezentarea sa nu pe formule grele și construcții matematice, ci pe intuiția geometrică a cititorilor. Datorită ilustrațiilor generate de computer și poveștilor istorice, cu care autorul a diluat cu pricepere componenta științifică a monografiei, cartea a devenit un bestseller, iar fractalii au devenit cunoscuți publicului larg. Succesul lor în rândul non-matematicienilor se datorează în mare măsură faptului că cu ajutorul unor construcții și formule foarte simple pe care chiar și un licean le poate înțelege, se obțin imagini de o complexitate și frumusețe uimitoare. Când computerele personale au devenit suficient de puternice, a apărut chiar și o întreagă tendință în artă - pictura fractală și aproape orice proprietar de computer ar putea să o facă. Acum pe Internet puteți găsi cu ușurință multe site-uri dedicate acestui subiect.

Schema de obtinere a curbei Koch

Razboi si pace

După cum sa menționat mai sus, unul dintre obiectele naturale care au proprietăți fractale este linia de coastă. O poveste interesantă este legată de ea, sau mai degrabă, de o încercare de a-i măsura lungimea, care a stat la baza articolului științific al lui Mandelbrot și este descrisă și în cartea sa „Geometria fractală a naturii”. Vorbim despre un experiment care a fost pus la cale de Lewis Richardson, un matematician, fizician și meteorolog foarte talentat și excentric. Una dintre direcțiile cercetării sale a fost încercarea de a găsi o descriere matematică a cauzelor și probabilității unui conflict armat între două țări. Printre parametrii pe care i-a luat în calcul a fost și lungimea graniței comune dintre cele două țări în război. Când a strâns date pentru experimente numerice, a descoperit că, în diferite surse, datele privind granița comună a Spaniei și Portugaliei diferă foarte mult. Aceasta l-a condus la următoarea descoperire: lungimea granițelor țării depinde de rigla cu care le măsurăm. Cu cât scara este mai mică, cu atât chenarul va fi mai lung. Acest lucru se datorează faptului că la o mărire mai mare devine posibil să se ia în considerare tot mai multe coturi ale coastei, care anterior au fost ignorate din cauza rugozității măsurătorilor. Și dacă, cu fiecare zoom, se deschid îndoituri de linii necontabile anterior, atunci se dovedește că lungimea granițelor este infinită! Adevărat, de fapt acest lucru nu se întâmplă - acuratețea măsurătorilor noastre are o limită finită. Acest paradox se numește efectul Richardson.

Fractali constructivi (geometrici).

Algoritmul pentru construirea unui fractal constructiv în cazul general este următorul. În primul rând, avem nevoie de două forme geometrice potrivite, să le numim bază și fragment. În prima etapă, este descrisă baza viitorului fractal. Apoi, unele dintre părțile sale sunt înlocuite cu un fragment luat la o scară adecvată - aceasta este prima iterație a construcției. Apoi, în figura rezultată, unele părți se schimbă din nou în figuri similare cu un fragment și așa mai departe Dacă continuăm acest proces la nesfârșit, atunci în limită obținem un fractal.

Luați în considerare acest proces folosind exemplul curbei Koch (vezi bara laterală de pe pagina anterioară). Orice curbă poate fi luată ca bază a curbei Koch (pentru fulgul de zăpadă Koch, acesta este un triunghi). Dar ne limităm la cel mai simplu caz - un segment. Fragmentul este o linie întreruptă prezentată în partea de sus a figurii. După prima iterație a algoritmului, în acest caz, segmentul inițial va coincide cu fragmentul, apoi fiecare dintre segmentele sale constitutive va fi el însuși înlocuit cu o linie întreruptă similară cu fragmentul și așa mai departe.Figura arată primele patru etapele acestui proces.

Limbajul matematicii: fractali dinamici (algebrici).

Fractalii de acest tip apar în studiul sistemelor dinamice neliniare (de unde și numele). Comportamentul unui astfel de sistem poate fi descris printr-o funcție complexă neliniară (polinom) f (z). Să luăm un punct inițial z0 pe planul complex (vezi bara laterală). Acum luați în considerare o astfel de succesiune infinită de numere pe plan complex, fiecare dintre ele obținută din precedenta: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). În funcție de punctul inițial z0, o astfel de succesiune se poate comporta diferit: tind spre infinit ca n -> ∞; converge către un punct final; ia ciclic un număr de valori fixe; sunt posibile variante mai complexe.

Numere complexe

Un număr complex este un număr format din două părți - reală și imaginară, adică suma formală x + iy (x și y aici sunt numere reale). eu sunt așa-numitul. unitate imaginară, adică un număr care satisface ecuația eu^ 2 = -1. Peste numere complexe sunt definite operațiile matematice de bază - adunarea, înmulțirea, împărțirea, scăderea (nu este definită doar operația de comparare). Pentru a afișa numere complexe, se folosește adesea o reprezentare geometrică - în plan (se numește complex), partea reală este trasată de-a lungul axei absciselor, iar partea imaginară de-a lungul axei ordonatelor, în timp ce numărul complex va corespunde unui punct cu coordonatele carteziene x și y.

Astfel, orice punct z al planului complex are propriul său caracter de comportament în timpul iterațiilor funcției f (z), iar întregul plan este împărțit în părți. Mai mult decât atât, punctele situate la limitele acestor părți au următoarea proprietate: pentru o deplasare arbitrar mică, natura comportamentului lor se schimbă dramatic (astfel de puncte se numesc puncte de bifurcație). Deci, se dovedește că seturile de puncte care au un anumit tip de comportament, precum și seturile de puncte de bifurcație, au adesea proprietăți fractale. Acestea sunt seturile Julia pentru funcția f(z).

familia dragonului

Variind baza și fragmentul, puteți obține o varietate uimitoare de fractali constructivi.
Mai mult, operațiuni similare pot fi efectuate în spațiul tridimensional. Exemple de fractali volumetrici sunt „buretele lui Menger”, „piramida lui Sierpinski” și altele.
Familia dragonilor se referă și la fractali constructivi. Ei sunt uneori denumiți prin numele descoperitorilor ca „dragonii din Heiwei-Harter” (seamănă cu dragonii chinezi în forma lor). Există mai multe moduri de a construi această curbă. Cel mai simplu și cel mai evident dintre ele este acesta: trebuie să luați o fâșie de hârtie suficient de lungă (cu cât hârtia este mai subțire, cu atât mai bine) și să o îndoiți în jumătate. Apoi îndoiți-l din nou în jumătate în aceeași direcție ca prima dată. După mai multe repetări (de obicei, după cinci sau șase pliuri, banda devine prea groasă pentru a fi îndoită cu grijă în continuare), trebuie să îndreptați banda înapoi și să încercați să formați unghiuri de 90˚ la pliuri. Apoi curba dragonului se va arăta în profil. Desigur, aceasta va fi doar o aproximare, ca toate încercările noastre de a descrie obiecte fractale. Computerul vă permite să descrieți mai mulți pași în acest proces, iar rezultatul este o figură foarte frumoasă.

Setul Mandelbrot este construit oarecum diferit. Se consideră funcția fc (z) = z 2 +c, unde c este un număr complex. Să construim o succesiune a acestei funcții cu z0=0, în funcție de parametrul c, poate diverge la infinit sau rămâne mărginită. Mai mult, toate valorile lui c pentru care această secvență este mărginită formează mulțimea Mandelbrot. A fost studiat în detaliu de Mandelbrot însuși și de alți matematicieni, care au descoperit multe proprietăți interesante ale acestui set.

Se poate observa că definițiile seturilor Julia și Mandelbrot sunt similare între ele. De fapt, aceste două seturi sunt strâns legate. Și anume, mulțimea Mandelbrot este toate valorile parametrului complex c pentru care se conectează mulțimea Julia fc (z) (o mulțime se numește conectată dacă nu poate fi împărțită în două părți care nu se intersectează, cu unele condiții suplimentare).

fractalii și viața

În zilele noastre, teoria fractalilor este utilizată pe scară largă în diverse domenii ale activității umane. Pe lângă un obiect pur științific pentru cercetare și pictura fractală deja menționată, fractalii sunt utilizați în teoria informației pentru a comprima datele grafice (aici, proprietatea de auto-similaritate a fractalilor este utilizată în principal - la urma urmei, pentru a aminti un mic fragment a unui desen și transformări cu care puteți obține restul pieselor, este nevoie de mult mai puțină memorie decât pentru a stoca întreg fișierul). Adăugând perturbări aleatorii la formulele care definesc fractalul, puteți obține fractali stocastici care transmit foarte plauzibil unele obiecte reale - elemente de relief, suprafața corpurilor de apă, unele plante, care este folosit cu succes în fizică, geografie și grafică pe computer pentru a realiza asemănare mai mare a obiectelor simulate cu cele reale. În electronica radio, în ultimul deceniu, au început să producă antene care au formă fractală. Ocupând puțin spațiu, oferă o recepție a semnalului de înaltă calitate. Economiștii folosesc fractalii pentru a descrie curbele de fluctuație a monedei (această proprietate a fost descoperită de Mandelbrot cu peste 30 de ani în urmă). Astfel se încheie această scurtă excursie în lumea fractalilor, uimitoare prin frumusețea și diversitatea ei.

MINISTERUL ÎNVĂŢĂMÂNTULUI SUPERIOR ŞI PROFESIONAL

ACADEMIA DE STAT DE ECONOMIE IRKUTSK

DEPARTAMENTUL SISTEME INFORMATICE

După modele şi metode economice şi matematice

TEORIA FRACTALĂ ŞI APLICAŢIILE EI

Pregătit de: Lider:

Pogodaeva E.A. Tolstikova T.V.

Chetverikov S.V.

IRKUTSK 1997

Toate imaginile sunt similare și

Dar nu unul pe altul

Goy nu este ca; corurile lor

Voi indica legea secretă

Da, la ghicitoarea sfântă...

J. W. Goethe.

metamorfoza plantelor.

DE CE VORBIM DESPRE fractali?

În a doua jumătate a secolului nostru în știința naturii au existat
schimbări fundamentale care au dat naștere așa-zisei teorii
auto-organizare, sau sinergetice. Ea s-a născut brusc, parcă pe
traversând mai multe linii de cercetare științifică. Una dintre cele decisive
impulsurile inițiale i-au fost trădate de oamenii de știință ruși la rândul său
cincizeci - şaizeci. În anii cincizeci omul de știință
Chimistul analitic B.P. Belousov a descoperit redox
reactie chimica. Descoperirea și studiul auto-oscilațiilor și autowavelor în timpul
Reacții Belousov

S. E. Shnolem, A. M. Zhabotinsky, V.I. Krinsky, A.N. Zaikin, G.R.
Ivanitsky - poate cea mai strălucită pagină a fundamentalului
Știința rusă în perioada postbelică. Învățare rapidă și de succes
reacție Belousov - Zhabotinsky a lucrat în știință ca declanșator
cârlig: și-au amintit imediat că procesele de acest fel erau cunoscute înainte
fel și că multe fenomene naturale de la formarea galaxiilor
la tornade, cicloane și jocul de lumină pe suprafețele reflectorizante (deci
numite caustice), - de fapt, procesele de autoorganizare. Sunt
poate fi de o natură foarte diferită: chimică, mecanică,
optice, electrice etc. Mai mult, s-a dovedit că
a fost mult timp gata și perfect dezvoltată teoria matematică
autoorganizare. Baza ei a fost pusă de lucrările lui A. Poincaré și A. A.
Lyapunov la sfârșitul secolului trecut. Disertație „Despre sustenabilitate
mișcare” a fost scrisă de Lyapunov în 1892.

Teoria matematică a auto-organizării ne forțează într-un mod nou
uită-te la lumea din jurul nostru. Să explicăm cum diferă de
viziunea clasică asupra lumii, deoarece va trebui să știm acest lucru când
studiul obiectelor fractale.

„Viziunea clasică asupra lumii unic deterministă
poate fi simbolizat printr-o suprafață plană, netedă pe care
bilele se ciocnesc, după ce au primit o anumită mișcare.
Soarta viitoare a fiecărui astfel de corp este determinată în mod unic de el
„trecut” în momentul anterior al timpului (impuls, încărcare) și
interacțiunea cu alte organisme. Nicio integritate a unui astfel de sistem
nu posedă." (L. Belousov. Mesageri ai unei furtuni vii. \\ Cunoaşterea este putere. N
2. 1996. - p.32). Astfel, știința clasică credea că viitorul
un astfel de sistem este determinat rigid și fără ambiguitate de trecutul său și, supus
cunoașterea trecutului, previzibilă nelimitat.

Matematica modernă a arătat că în unele cazuri nu este așa
astfel: de exemplu, dacă bilele lovesc un perete convex, atunci este neglijabil
diferenţele dintre traiectoriile lor vor creşte la infinit, astfel încât
comportamentul sistemului devine imprevizibil la un moment dat.
Astfel, pozițiile de determinism fără ambiguitate au fost chiar subminate
în situaţii relativ simple.

O viziune asupra lumii bazată pe teoria auto-organizării,
simbolizat de imaginea unei țări muntoase cu văi prin care curg râuri,
și crestele bazinelor de apă. Această țară are un feedback puternic
- atât negative, cât și pozitive. Dacă corpul se rostogolește în jos
de-a lungul pantei, atunci există un pozitiv
feedback-ul, dacă încearcă să urce, este negativ.
Feedback-urile neliniare (suficient de puternice) sunt o condiție indispensabilă
autoorganizare. Neliniaritatea în sens ideologic înseamnă
căi multivariate de evoluție, prezența unei alegeri de căi alternative
și o anumită rată de evoluție, precum și ireversibilitatea evoluției
proceselor. De exemplu, luați în considerare interacțiunea a două corpuri: A și B. B -
trunchi elastic de copac, A este un pârâu de munte în țara noastră. Fluxul se îndoaie
trunchi în sensul mișcării apei, dar la atingerea unui anumit
îndoirea trunchiului sub acțiunea unei forțe elastice se poate îndrepta, respingând
particulele de apă înapoi. Adică vedem o interacțiune alternativă
două corpuri A şi B. Mai mult, această interacţiune are loc în aşa fel încât
că relația A-B este pozitivă, iar relația B-A este negativă. Condiția este îndeplinită
neliniaritate.

Mai mult, în teoria auto-organizării, ne putem forța
ţară muntoasă a „trăi”, adică a se schimba în timp. În același timp, este important
selectați variabile de ordine diferită. O astfel de ierarhie a variabilelor
timpul este o conditie necesara pentru ordonarea autoorganizarii.
Rupeți-l, „amestecați” vremurile - va veni haosul (de exemplu, un cutremur,
când se produc schimbări în ordinea geologică în câteva minute și
ar trebui - de câteva milenii).Totuși, după cum se dovedește, trăind
sistemele nu se tem atât de haos: trăiesc la limita lui tot timpul,
uneori chiar căzând în ea, dar totuși știu cum, atunci când este necesar, din ea
ieși. În acest caz, cele mai importante sunt cele mai lente
variabile de timp (se numesc parametri). Sunt valorile parametrilor
să determine ce set de soluții durabile va avea sistemul și,
astfel, ce structuri pot fi implementate în el. LA
in acelasi timp mai repede

variabilele (dinamice) sunt responsabile pentru alegerea specifică a realizabilului
stări stabile dintre cele posibile.

Principiile neliniarității și alternativele de alegere a dezvoltării oricărei
proces, dezvoltarea sistemului este implementată și în construcția de fractali.

După cum a devenit clar în ultimele decenii (datorită dezvoltării teoriei
auto-organizare), autoasemănarea apare într-o varietate de obiecte și
fenomene. De exemplu, auto-asemănarea poate fi observată în ramurile copacilor și
arbuști, la împărțirea unui zigot fertilizat, fulgi de zăpadă, cristale
gheață, cu dezvoltarea sistemelor economice (valuri Kondratiev), structura
sistemele montane, în structura norilor. Toate cele de mai sus și altele
asemănătoare lor în structura lor se numesc fractal. Adică ei
posedă proprietățile auto-asemănării sau invarianța la scară. Și asta
înseamnă că unele fragmente din structura lor sunt strict repetate prin
anumite intervale spațiale. Este clar că aceste obiecte
pot fi de orice natură, iar aspectul și forma lor rămân neschimbate
indiferent de scară.

Astfel, putem spune că fractalii ca modele sunt utilizați în
cazul în care obiectul real nu poate fi reprezentat sub formă de clasic
modele. Și asta înseamnă că avem de-a face cu relații neliniare și
natura nedeterministă a datelor. Neliniaritatea în viziunea asupra lumii
sens înseamnă multivarianța căilor de dezvoltare, disponibilitatea unei alegeri din
căi alternative și un anumit ritm de evoluție, precum și ireversibilitatea
procese evolutive. Neliniaritate în sens matematic înseamnă
un anumit tip de ecuații matematice (diferenţială neliniară
ecuaţii) conţinând mărimile dorite în puteri mai mari decât unu sau
coeficienţi în funcţie de proprietăţile mediului. Adică atunci când aplicăm
modele clasice (de exemplu, tendință, regresie etc.), noi
spunem că viitorul obiectului este determinat în mod unic. Și putem
preziceți-l, cunoscând trecutul obiectului (date de intrare pentru
modelare). Și fractalii sunt folosiți atunci când un obiect are
mai multe opțiuni de dezvoltare și se determină starea sistemului
pozitia in care se afla in acest moment. Adică noi
încercând să simuleze o dezvoltare haotică.

Ce ne oferă utilizarea fractalilor?

Ele vă permit să simplificați foarte mult procesele și obiectele complexe, ceea ce este foarte
important pentru modelare. Vă permite să descrieți sisteme instabile și
procese și, cel mai important, să prezică viitorul unor astfel de obiecte.

TEORIA FRACTALĂ

FONDUL APARIȚIEI

Teoria fractalilor are o vârstă foarte fragedă. Ea a apărut în
sfârşitul anilor şaizeci la intersecţia dintre matematică, informatică, lingvistică
și biologie. La acea vreme, computerele pătrundeau din ce în ce mai mult în viață.
oameni, oamenii de știință au început să le aplice în cercetarea lor, numărul de
utilizatorilor de computere. Pentru utilizare în masă
calculatoare, a devenit necesară facilitarea procesului de comunicare între o persoană și
mașinărie. Dacă chiar la începutul computerului era câteva
programatorii-utilizatori au introdus dezinteresat comenzi în mașină
coduri și rezultate primite sub formă de benzi de hârtie nesfârșite, apoi cu
a apărut modul masiv și încărcat de utilizare a computerelor
nevoia de a inventa un limbaj de programare care a fost
ar fi de înțeles de către mașină și, în același timp, ar fi ușor de învățat și
aplicarea. Adică, utilizatorul ar trebui să introducă doar unul
comandă, iar computerul o descompune în altele mai simple și ar executa
le-ar avea deja. Pentru a facilita scrierea traducătorilor, la intersecția informaticii
și lingvistică, a apărut o teorie a fractalilor, care vă permite să setați strict
relaţiile dintre limbaje algoritmice. Și matematicianul danez și
biologul A. Lindenmeer a venit cu o astfel de gramatică în 1968,
pe care l-a numit sistemul L, care, după cum credea, modelează și creșterea
organisme vii, în special formarea tufișurilor și a ramurilor la plante.

Iată cum arată modelul lui. Set alfabet - set arbitrar
personaje. Alocați unul, cuvântul inițial, numit axiomă, - puteți
considera ca corespunde starii initiale a organismului – embrionul.
Și apoi descriu regulile pentru înlocuirea fiecărui caracter al alfabetului cu un anumit
un set de simboluri, adică ele stabilesc legea dezvoltării embrionului. A functiona
regulile sunt următoarele: citim fiecare simbol al axiomei în ordine și înlocuim
la cuvântul specificat în regula de substituție.

Astfel, după ce citim o dată axioma, obținem o nouă linie
personaje, cărora le aplicăm din nou aceeași procedură. Pas cu pas
apare un șir din ce în ce mai lung – fiecare dintre acești pași poate fi
considerată ca una dintre etapele succesive ale dezvoltării „organismului”.
Prin limitarea numărului de pași, determinați când dezvoltarea este considerată finalizată.

ORIGINEA TEORIEI FRACTALLOR

Benoit Mandelbrot poate fi considerat pe drept părintele fractalilor.
Mandelbrot este inventatorul termenului „fractal”. Mandelbrot
a scris: „Am venit cu cuvântul „fractal”, bazat pe latină
adjectiv „fractus”, adică neregulat, recursiv,
fragmentar. Prima definiție a fractalilor a fost dată și de B. Mandelbrot:

Un fractal este o structură auto-similară de a cărei imagine nu depinde
scară. Acesta este un model recursiv, din care fiecare parte se repetă în sine
dezvoltarea dezvoltării întregului model în ansamblu.

Până în prezent, există multe modele matematice diferite
fractali. Trăsătura distinctivă a fiecăruia dintre ele este aceea că
se bazează pe o funcție recursivă, de exemplu: xi=f(xi-1).
Cu ajutorul computerelor, cercetătorii au posibilitatea de a obține
imagini grafice ale fractalilor. Cele mai simple modele nu necesită mari
calcule și pot fi implementate direct într-o lecție de informatică, în timp ce
alte modele sunt atât de solicitante în ceea ce privește puterea computerului încât
implementarea se realizează cu ajutorul unui supercalculator. De altfel, în SUA
modelele fractale sunt studiate de Centrul Național de Aplicații
pentru supercalculatoare (NCSA). În această lucrare, vrem doar să arătăm
mai multe modele fractale pe care am reușit să le obținem.

Modelul Mandelbrot.

Benoit Mandelbrot a propus un model fractal, care a devenit deja
clasic și este adesea folosit pentru a arăta cât de tipic
exemplu de fractal în sine și pentru a demonstra frumusețea fractalilor,
care atrage și cercetători, artiști, doar
persoane interesate.

Descrierea matematică a modelului este următoarea: pe planul complex în
se calculează un interval pentru fiecare punct cu funcția recursivă
Z=Z2+c. S-ar părea, ce este atât de special la această funcție? Dar după N
repetari ale acestei proceduri de calcul al coordonatelor punctelor, pe
plan complex, apare o figură surprinzător de frumoasă, ceva
asemănător unei pere.

În modelul Mandelbrot, factorul de schimbare este punctul de plecare
c, iar parametrul z este dependent. Prin urmare, pentru a construi un fractal
Mandelbrot există o regulă: valoarea inițială a lui z este zero (z=0)!
Această restricție este introdusă astfel încât derivata întâi a funcției
z la punctul de plecare a fost egal cu zero. Și asta înseamnă că la inițială
punct, funcția are un minim și de acum înainte va dura doar
valori mari.

Vrem să observăm că dacă formula recursivă fractală are o altă
vizualizare, atunci ar trebui să alegeți o altă valoare a punctului de plecare pentru
parametrul Z. De exemplu, dacă formula arată ca z=z2+z+c, atunci inițiala
punctul va fi:

2*z+1=0 ???z= -1/2.

În această lucrare, avem ocazia să aducem imagini cu fractali,
care au fost construite în NCSA. Am primit fișierele imagine prin
Rețea de internet.

Fig.1 Fractal Mandelbrot

Cunoașteți deja modelul matematic al fractalului Mandelbrot. acum noi
Să arătăm cum este implementat grafic. Punctul de plecare al modelului
este egal cu zero. Grafic, corespunde centrului corpului perei. Prin N
trepte vor umple tot corpul perei și în locul unde s-a terminat
ultima iterație, „capul” fractalului începe să se formeze.
„Capul” fractalului va fi exact de patru ori mai mic decât corpul, de atunci
formula matematică a unui fractal este un pătrat
polinom. Apoi, din nou, după N iterații, „corpul” începe să se formeze
„rinichi” (în dreapta și în stânga „corpului”). Si asa mai departe. Cu atât mai mult dat
numărul de iterații N, cu atât imaginea fractalului va fi mai detaliată,
cu atât va avea mai multe procese diferite. Reprezentare schematică
Stadiile de creștere ale fractalului Mandelbrot sunt prezentate în Fig. 2:

Fig.2 Schema formării fractalului Mandelbrot

Figurile 1 și 2 arată că fiecare formațiune ulterioară pe „corp”
repetă exact în structura sa corpul însuși. Acesta este distinctiv
caracteristică că acest model este un fractal.

Următoarele figuri arată cum se va schimba poziția punctului,
corespunzător parametrului z, pentru diferite poziții inițiale ale punctului
c.

A) Punctul de plecare în „corp” B) Punctul de plecare
punct în cap

C) Punctul de plecare în „rinichi” D) Punctul de plecare în
„rinichi” de al doilea nivel

E) Punctul de plecare în „rinichiul” al treilea nivel

Din figurile A - E se vede clar cum cu fiecare pas din ce in ce mai mult
structura fractalului devine mai complicată iar parametrul z are o complexitate din ce în ce mai mare
traiectorie.

Limitări ale modelului Mandelbrot: există dovezi că în
modelul Mandelbrot |z|

Model Julia (set Julia)

Modelul fractal Julia are aceeași ecuație ca și modelul
Mandelbrot: Z=Z2+c, doar aici este parametrul variabil
nu c, ci z.

În consecință, întreaga structură a fractalului se schimbă, de acum înainte
pozitia de start nu este supusa nicio restrictie. Între
modelele lui Mandelbrot și Julia, există o astfel de diferență: dacă modelul
Mandelbrot este static (deoarece z inițial este întotdeauna
zero), atunci modelul Julia este un model fractal dinamic. Pe
orez. 4 prezintă o reprezentare grafică a fractalului Julia.

Orez. 4 Model Julia

După cum se poate vedea din desenul fractal, este simetric față de central
forma punctelor, în timp ce fractalul Mandelbrot are o formă simetrică
despre axa.

covor Sierpinski

Covorul Sierpinski este considerat un alt model fractal. Este în construcție
după cum urmează: se ia un pătrat, împărțit în nouă pătrate,
decupați pătratul central. Apoi cu fiecare dintre cele opt rămase
pătrate, se efectuează o procedură similară. Și așa mai departe la infinit. LA
Drept urmare, în loc de un pătrat întreg, obținem un covor cu o particularitate
model simetric. Acest model a fost propus pentru prima dată de matematician
Sierpinsky, după care și-a primit numele. Exemplu de covor
Sierpinski poate fi văzut în fig. 4d.

Fig.4 Construcția covorului Sierpinski

4. Curba Koch

La începutul secolului al XX-lea, matematicienii căutau curbe care nu puteau fi găsite altundeva.
punctele nu au tangentă. Aceasta însemna că curba și-a schimbat brusc
direcție și, în plus, la o viteză enorm de mare (derivata
este egal cu infinitul). Căutarea acestor curbe a fost cauzată nu doar de
interesul inactiv al matematicienilor. Cert este că la începutul secolului al XX-lea, foarte
mecanica cuantică s-a dezvoltat rapid. Cercetătorul M.Brown
a schițat traiectoria mișcării particulelor în suspensie în apă și a explicat acest lucru
fenomenul este următorul: atomii în mișcare aleatoriu ai unui lichid se ciocnesc cu
particulele în suspensie și, prin urmare, le pun în mișcare. Dupa asa ceva
explicația mișcării browniene, oamenii de știință s-au confruntat cu sarcina de a găsi astfel
curba care aproximează cel mai bine mișcarea
Particule browniene. Pentru aceasta, curba trebuia să corespundă cu următoarele
proprietăți: nu au tangentă în niciun punct. Matematicianul Koch
a propus o astfel de curbă. Nu vom intra în explicații
reguli pentru construcția sa, ci pur și simplu să-i dea imaginea, din care toate
devine clar (Fig. 5).

Fig.5 Etapele construcției curbei Koch

Curba Koch este un alt exemplu de fractal, deoarece fiecare dintre ele
parte este o imagine redusă a întregii curbe.

6. Imagini grafice ale diverșilor fractali

În acest paragraf, am decis să plasăm imagini grafice de diverse
fractali pe care i-am primit de pe Internet. Din păcate nu suntem
au putut găsi o descriere matematică a acestor fractali, dar pentru a
pentru a le înțelege frumusețea, sunt suficiente doar desenele.

Orez. 6 Exemple de reprezentare grafică a fractalilor

SECȚIUNEA II

APLICAREA TEORIEI FRACTALLOR ÎN ECONOMIE

ANALIZA TEHNICĂ A PIEȚELELOR FINANCIARE

Piața financiară din țările dezvoltate ale lumii există de peste o sută
ani. Timp de secole, oamenii au cumpărat și vândut valori mobiliare.
Acest tip de tranzacții cu titluri de valoare aduceau venituri participanților la piață
deoarece prețurile acțiunilor și obligațiunilor au fluctuat tot timpul,
se schimbau constant. Timp de secole, oamenii au cumpărat titluri de valoare de la
același preț și vândute când au devenit mai scumpe. Dar cateodata
asteptarile cumparatorului nu s-au indeplinit si au inceput preturile pentru hartiile achizitionate
cad, astfel, nu numai că nu a primit venituri, ci și a suferit
pierderi. De foarte mult timp, nimeni nu s-a gândit de ce se întâmplă asta:
prețul crește și apoi scade. Oamenii au văzut pur și simplu rezultatul acțiunii și nu au văzut-o
gândit la mecanismul cauzal care o generează.

Asta s-a întâmplat până când un finanțator american, unul dintre
editori ai cunoscutului ziar „Financial Times”, Charles Dow nu a făcut-o
a publicat o serie de articole în care și-a expus punctele de vedere asupra
funcționarea pieței financiare. Dow a observat că prețurile acțiunilor
supus fluctuațiilor ciclice: după o perioadă lungă de creștere,
o cădere lungă, apoi o altă creștere și coborâre. În acest fel,
Charles Dow a observat mai întâi că este posibil să prezică viitorul
comportamentul prețului acțiunilor, dacă direcția acestuia este cunoscută pentru unii
ultima perioadă.

Fig.1 Comportamentul prețului conform Ch.Dow

Ulterior, pe baza descoperirilor făcute de Ch. Dow, un întreg
teoria analizei tehnice a pieţei financiare, care a primit
numită Teoria Dow. Această teorie datează din anii nouăzeci
al XIX-lea, când C. Dow și-a publicat articolele.

Analiza tehnică a piețelor este o metodă de prezicere a viitorului
comportamentul tendinței prețurilor, bazat pe cunoașterea istoriei comportamentului acestuia.
Analiza tehnică pentru prognoză utilizează matematică
proprietățile tendințelor, nu performanța economică a titlurilor.

La mijlocul secolului al XX-lea, când întreaga lume științifică era doar interesată de
că teoria emergentă a fractalilor, un alt american binecunoscut
finanțatorul Ralph Elliot și-a propus teoria comportamentului prețurilor acțiunilor,
care s-a bazat pe utilizarea teoriei fractale.

Elliot a pornit de la faptul că geometria fractalilor nu există.
numai în natura vie, dar și în procesele sociale. către public
El a atribuit procesele tranzacționării acțiunilor la bursă.

TEORIA UNDELOR ELLIOT

Teoria undelor Elliot este una dintre cele mai vechi teorii tehnice.
analiză. De la începuturile sale, niciunul dintre utilizatori nu a contribuit la el
orice modificări notabile. Dimpotrivă, toate eforturile au fost îndreptate către
că principiile formulate de Elliot se profilau mai mult şi
mai clar. Rezultatul este evident. Cu ajutorul teoriei lui Elliot,
cele mai bune prognoze pentru mișcarea indicelui american Dow Jones.

Baza teoriei este așa-numita diagramă de undă. Valul este
mișcarea prețurilor vizibilă. Urmând regulile de dezvoltare a masei
comportamentul psihologic, toate mișcările prețurilor sunt împărțite în cinci valuri în
direcția unei tendințe mai puternice și trei valuri în direcția opusă
direcţie. De exemplu, în cazul unei tendințe dominante, vom vedea cinci
valuri atunci când prețul se mișcă în sus și trei - când se mișcă (corectează) în jos.

Pentru a indica o tendință cu cinci valuri, sunt folosite numere și pentru
opusul trei valuri - litere. Fiecare dintre cele cinci mișcări de undă
numit impuls, iar fiecare dintre cele trei câștigate - corective. De aceea
fiecare dintre undele 1,3,5, A și C este impuls, iar 2,4 și B -
corectiv.

Orez. 7 Diagrama Elliott Wave

Elliot a fost unul dintre primii care a definit clar funcționarea Geometriei
Fractali în natură, în acest caz - în graficul prețurilor. El
a sugerat că în fiecare din impulsul tocmai arătat și
undele corective este, de asemenea, o diagramă a valurilor Elliot.
La rândul lor, acele unde pot fi, de asemenea, descompuse în componente și așa
Mai departe. Astfel, Elliot a aplicat teoria fractalilor la descompunere
tendința în părți mai mici și mai ușor de înțeles. Cunoașterea acestor părți în mai multe
o scară mai mică decât cea mai mare formă de undă este importantă deoarece
că comercianții (participanții pieței financiare), știind în ce parte
graficele în care se află, pot vinde cu încredere titluri atunci când
începe un val corector și ar trebui să le cumpere când începe
val de impuls.

Fig.8 Structura fractală a diagramei Elliott

FIBONACCCI NUMERE SI CARACTERISTICI UNDE

Ralph Elliot a venit pentru prima dată cu ideea de a folosi o secvență de numere
Fibonacci pentru realizarea de prognoze în cadrul analizei tehnice. DIN
folosind numerele și coeficienții Fibonacci, puteți prezice lungimea
fiecare val și momentul finalizării lui. Fără a atinge problema timpului,
Să ne întoarcem la regulile cele mai frecvent utilizate pentru determinarea lungimii
Elliot face semn cu mâna. Prin lungime, în acest caz, ne referim
cresterea sau scaderea preturilor.

unde de impuls.

Valul 3 are de obicei o lungime de 1,618 a valului 1, mai rar - egală cu
a ei.

Două dintre undele de impuls sunt adesea egale ca lungime, de obicei undele 5
și 1. Acest lucru se întâmplă de obicei dacă lungimea de undă 3 este mai mică de 1,618
lungime de unda 1.

Adesea există un raport în care lungimea de undă 5 este egală cu 0,382
sau 0,618 distanța parcursă de preț de la începutul valului 1 până la sfârșit
valuri 3.

Corecții

Lungimile undelor corective alcătuiesc un anumit coeficient
Fibonacci din lungimea undei de impuls anterioare. În conformitate cu
dupa regula alternantei, undele 2 si 4 trebuie sa alterneze procentual
raport. Cel mai frecvent exemplu este următorul:
valul 2 a fost 61,8% din valul 1, în timp ce valul 4 ar putea fi
doar 38,2% sau 50% din valul 3.

CONCLUZIE

În munca noastră, nu sunt date toate domeniile cunoașterii umane,
unde teoria fractalilor și-a găsit aplicarea. Vrem doar să spunem asta
nu a trecut mai mult de o treime de secol de la apariția teoriei, dar pentru aceasta
fractalii de timp pentru mulți cercetători au devenit dintr-o dată o lumină strălucitoare
în nopţile care luminau fapte şi tipare necunoscute până acum în
domenii specifice de date. Folosind teoria fractalilor a început să explice
evoluția galaxiilor și dezvoltarea celulei, apariția munților și formarea
norii, mișcarea prețurilor la bursă și dezvoltarea societății și a familiei. Poate
poate că la început a fost chiar și această pasiune pentru fractali
furtunoasă și încercările de a explica totul folosind teoria fractalilor au fost
nejustificat. Dar, fără îndoială, această teorie are dreptul să
existență și regretăm că în ultima vreme a fost cumva uitat
si a ramas soarul alesilor. În pregătirea acestei lucrări, noi
Este foarte interesant să găsești aplicații ale TEORIEI în PRACTICĂ. deoarece
de foarte multe ori există sentimentul în care se află cunoștințele teoretice
departe de viața reală.

La finalul muncii noastre, vrem să aducem cuvinte entuziaste
nașul teoriei fractale, Benoit Mandelbrot: „Geometria naturii
fractal! În zilele noastre sună la fel de îndrăzneț și absurd ca
celebra exclamație a lui G. Galileo: „Dar totuși se învârte!” în secolul XVI
secol.

LISTA SURSELOR UTILIZATE

Sheipak ​​​​I.A. Fractali, grefe, tufișuri... //Chimie și viață. 1996 №6

Înțelegerea haosului //Chimie și viață. 1992 №8

Erlich A. Analiza tehnică a piețelor de mărfuri și de valori, M: Infra-M, 1996

Materiale de pe internet.

Secvența Fibonacci - o secvență propusă în 1202
de matematicianul medieval Leonardo Fibonacci. Se referă la specie
secvențe de returnare. a1=1, a2=1, ai=ai-1+ai-2.
Coeficienții Fibonacci - coeficientul de împărțire a doi termeni vecini
Secvențe Fibonacci: K1=ai/ai-1=1.618,

K2=ai-1/ai=0,618. Acești coeficienți sunt așa-numiții
„secțiunea de aur”.

prețul acțiunilor

graficul prețului acțiunilor

Adesea, descoperirile strălucitoare făcute în știință ne pot schimba radical viața. Deci, de exemplu, inventarea unui vaccin poate salva mulți oameni, iar crearea unei noi arme duce la crimă. Literal, ieri (la scara istoriei), o persoană a „îmblânzit” electricitatea, iar astăzi nu își mai poate imagina viața fără ea. Cu toate acestea, există și astfel de descoperiri care, după cum se spune, rămân în umbră și în ciuda faptului că au și o anumită influență asupra vieții noastre. Una dintre aceste descoperiri a fost fractalul. Majoritatea oamenilor nici măcar nu au auzit de un astfel de concept și nu vor putea explica semnificația lui. În acest articol, vom încerca să ne ocupăm de întrebarea ce este un fractal, luați în considerare semnificația acestui termen din punctul de vedere al științei și naturii.

Ordine în haos

Pentru a înțelege ce este un fractal, ar trebui să începem debriefing-ul din poziția matematicii, totuși, înainte de a pătrunde în el, filosofăm puțin. Fiecare persoană are o curiozitate firească, datorită căreia învață lumea din jurul său. Adesea, în dorința lui de cunoaștere, încearcă să opereze cu logică în judecățile sale. Așadar, analizând procesele care au loc în jur, el încearcă să calculeze relațiile și să derive anumite tipare. Cele mai mari minți de pe planetă sunt ocupate să rezolve aceste probleme. În linii mari, oamenii de știință caută modele acolo unde acestea nu sunt și nu ar trebui să fie. Cu toate acestea, chiar și în haos există o legătură între anumite evenimente. Această conexiune este fractalul. Ca exemplu, luați în considerare o creangă ruptă întinsă pe drum. Dacă ne uităm atent la el, vom vedea că ea, cu toate ramurile și nodurile sale, arată ca un copac. Această asemănare a unei părți separate cu un singur întreg mărturisește așa-numitul principiu al autoasemănării recursive. Fractalii în natură pot fi găsiți tot timpul, deoarece multe forme anorganice și organice se formează într-un mod similar. Acestea sunt nori și scoici de mare și scoici de melc și coroane de copaci și chiar și sistemul circulator. Această listă poate fi continuată pe termen nelimitat. Toate aceste forme aleatoare sunt ușor descrise de algoritmul fractal. Aici ajungem să luăm în considerare ce este un fractal din punctul de vedere al științelor exacte.

Câteva fapte seci

Însuși cuvântul „fractal” este tradus din latină ca „parțial”, „divizat”, „fragmentat”, iar în ceea ce privește conținutul acestui termen, formularea ca atare nu există. De obicei, este tratat ca un set auto-similar, o parte a întregului, care se repetă prin structura sa la nivel micro. Acest termen a fost inventat în anii șaptezeci ai secolului XX de Benoit Mandelbrot, care este recunoscut ca tată.Astăzi, conceptul de fractal înseamnă o reprezentare grafică a unei anumite structuri, care, atunci când este mărită, va fi similară cu ea însăși. Cu toate acestea, baza matematică pentru crearea acestei teorii a fost pusă chiar înainte de nașterea lui Mandelbrot însuși, dar nu s-a putut dezvolta până când nu au apărut computerele electronice.

Referință istorică sau Cum a început totul

La începutul secolelor al XIX-lea și al XX-lea, studiul naturii fractalilor era episodic. Acest lucru se datorează faptului că matematicienii au preferat să studieze obiectele care pot fi investigate pe baza unor teorii și metode generale. În 1872, matematicianul german K. Weierstrass a construit un exemplu de funcție continuă care nu este diferențiabilă nicăieri. Cu toate acestea, această construcție s-a dovedit a fi complet abstractă și greu de înțeles. Urmează suedezul Helge von Koch, care în 1904 a construit o curbă continuă care nu are tangentă nicăieri. Este destul de ușor de desenat și, după cum sa dovedit, este caracterizat de proprietăți fractale. Una dintre variantele acestei curbe a fost numită după autorul său - „fulgul de zăpadă al lui Koch”. În plus, ideea auto-asemănării figurilor a fost dezvoltată de viitorul mentor al lui B. Mandelbrot, francezul Paul Levy. În 1938 a publicat lucrarea „Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Like a Whole”. În ea, el a descris o nouă specie - curba C Levy. Toate figurile de mai sus se referă în mod condiționat la o astfel de formă ca fractali geometrici.

Fractali dinamici sau algebrici

Setul Mandelbrot aparține acestei clase. Matematicienii francezi Pierre Fatou și Gaston Julia au devenit primii cercetători în această direcție. În 1918, Julia a publicat o lucrare bazată pe studiul iterațiilor funcțiilor complexe raționale. Aici el a descris o familie de fractali care sunt strâns legate de mulțimea Mandelbrot. În ciuda faptului că această lucrare l-a glorificat pe autor în rândul matematicienilor, a fost rapid uitată. Și doar o jumătate de secol mai târziu, datorită computerelor, opera Juliei a primit o a doua viață. Calculatoarele au făcut posibilă să facă vizibilă pentru fiecare persoană frumusețea și bogăția lumii fractalilor pe care matematicienii le puteau „vedea” afișându-le prin funcții. Mandelbrot a fost primul care a folosit un computer pentru a efectua calcule (manual un astfel de volum este imposibil de realizat) care a făcut posibilă construirea unei imagini a acestor cifre.

Om cu imaginație spațială

Mandelbrot și-a început cariera științifică la Centrul de Cercetare IBM. Studiind posibilitățile de transmitere a datelor pe distanțe lungi, oamenii de știință s-au confruntat cu faptul că pierderile mari au apărut din cauza interferențelor de zgomot. Benoit căuta modalități de a rezolva această problemă. Privind rezultatele măsurătorilor, el a atras atenția asupra unui model ciudat, și anume: graficele de zgomot arătau la fel pe diferite scale de timp.

O imagine similară a fost observată atât pentru o perioadă de o zi, cât și pentru șapte zile, sau pentru o oră. Benoit Mandelbrot însuși a repetat adesea că nu lucrează cu formule, ci se joacă cu imagini. Acest om de știință s-a remarcat prin gândirea imaginativă, el a tradus orice problemă algebrică într-o zonă geometrică, unde răspunsul corect este evident. Deci, nu este surprinzător, distins de bogați și a devenit părintele geometriei fractale. La urma urmei, conștientizarea acestei figuri poate veni doar atunci când studiezi desenele și te gândești la semnificația acestor vârtejuri ciudate care formează modelul. Desenele fractale nu au elemente identice, dar sunt similare la orice scară.

Julia - Mandelbrot

Unul dintre primele desene ale acestei figuri a fost o interpretare grafică a setului, care a luat naștere datorită lucrării lui Gaston Julia și a fost finalizată de Mandelbrot. Gaston încerca să-și imagineze cum arată un set atunci când este construit dintr-o formulă simplă care este repetată de o buclă de feedback. Să încercăm să explicăm ceea ce s-a spus în limbajul uman, ca să spunem așa, pe degete. Pentru o anumită valoare numerică, folosind formula, găsim o nouă valoare. O înlocuim în formulă și găsim următoarele. Rezultatul este unul mare. Pentru a reprezenta un astfel de set, trebuie să faceți această operație de un număr mare de ori: sute, mii, milioane. Asta a făcut Benoit. El a procesat secvența și a transferat rezultatele în formă grafică. Ulterior, a colorat figura rezultată (fiecărei culori îi corespunde un anumit număr de iterații). Această imagine grafică se numește fractalul Mandelbrot.

L. Carpenter: artă creată de natură

Teoria fractalilor a găsit rapid aplicare practică. Deoarece este foarte strâns legată de vizualizarea imaginilor auto-similare, primii care au adoptat principiile și algoritmii pentru construirea acestor forme neobișnuite au fost artiștii. Primul dintre aceștia a fost viitorul fondator al studioului Pixar Lauren Carpenter. În timp ce lucra la prezentarea prototipurilor de avioane, i-a venit ideea de a folosi imaginea munților ca fundal. Astăzi, aproape fiecare utilizator de computer poate face față unei astfel de sarcini, iar în anii șaptezeci ai secolului trecut, computerele nu erau capabile să efectueze astfel de procese, deoarece nu existau editori grafici și aplicații pentru grafica tridimensională la acea vreme. Loren a dat peste Fractalii lui Mandelbrot: formă, aleatoriu și dimensiune. În ea, Benois a dat multe exemple, arătând că există fractali în natură (fiva), el a descris diferitele lor forme și a demonstrat că sunt ușor de descris prin expresii matematice. Matematicianul a citat această analogie ca un argument pentru utilitatea teoriei pe care o dezvolta ca răspuns la un val de critici din partea colegilor săi. Ei au susținut că un fractal este doar o imagine frumoasă fără valoare, un produs secundar al mașinilor electronice. Carpenter a decis să încerce această metodă în practică. După ce a studiat cu atenție cartea, viitorul animator a început să caute o modalitate de a implementa geometria fractală în grafica computerizată. I-au luat doar trei zile pentru a reda pe computerul său o imagine complet realistă a peisajului montan. Și astăzi acest principiu este utilizat pe scară largă. După cum sa dovedit, crearea fractalilor nu necesită mult timp și efort.

Soluția dulgherului

Principiul folosit de Lauren s-a dovedit a fi simplu. Constă în împărțirea celor mai mari în elemente mai mici, iar cele în altele asemănătoare mai mici și așa mai departe. Carpenter, folosind triunghiuri mari, le-a zdrobit în 4 mici și așa mai departe, până când a obținut un peisaj montan realist. Astfel, a devenit primul artist care a aplicat algoritmul fractal în grafica computerizată pentru a construi imaginea necesară. Astăzi, acest principiu este folosit pentru a simula diverse forme naturale realiste.

Prima vizualizare 3D bazată pe algoritmul fractal

Câțiva ani mai târziu, Lauren și-a aplicat munca într-un proiect la scară largă - un videoclip animat Vol Libre, afișat pe Siggraph în 1980. Acest videoclip i-a șocat pe mulți, iar creatorul său a fost invitat să lucreze la Lucasfilm. Aici animatorul a putut să se realizeze pe deplin, a creat peisaje tridimensionale (întreaga planetă) pentru lungmetrajul „Star Trek”. Orice program modern („Fractali”) sau aplicație pentru crearea de grafice tridimensionale (Terragen, Vue, Bryce) folosește același algoritm pentru modelarea texturilor și suprafețelor.

Tom Beddard

Fost fizician laser și acum artist și artist digital, Beddard a creat o serie de forme geometrice extrem de interesante pe care le-a numit fractalii lui Faberge. În exterior, seamănă cu ouăle decorative ale unui bijutier rus, au același model genial și complicat. Beddard a folosit o metodă de șablon pentru a-și crea redările digitale ale modelelor. Produsele rezultate sunt izbitoare prin frumusețea lor. Deși mulți refuză să compare un produs manual cu un program de calculator, trebuie să recunoaștem că formele rezultate sunt neobișnuit de frumoase. Punctul culminant este că oricine poate construi un astfel de fractal folosind biblioteca de software WebGL. Vă permite să explorați diferite structuri fractale în timp real.

fractali în natură

Puțini oameni acordă atenție, dar aceste cifre uimitoare sunt peste tot. Natura este formată din figuri auto-asemănătoare, pur și simplu nu o observăm. Este suficient să ne uităm printr-o lupă la pielea noastră sau la o frunză de copac și vom vedea fractali. Sau luați, de exemplu, un ananas sau chiar o coadă de păun - sunt formate din figuri similare. Iar soiul de broccoli Romanescu este in general izbitor prin aspect, pentru ca poate fi numit cu adevarat un miracol al naturii.

Pauza muzicala

Se dovedește că fractalii nu sunt doar forme geometrice, pot fi și sunete. Așadar, muzicianul Jonathan Colton scrie muzică folosind algoritmi fractali. El pretinde că corespunde armoniei naturale. Compozitorul își publică toate lucrările sub licența CreativeCommons Attribution-Noncomercial, care prevede distribuirea, copierea, transferul gratuit de lucrări de către alte persoane.

Indicator fractal

Această tehnică a găsit o aplicație foarte neașteptată. Pe baza acestuia a fost creat un instrument de analiză a pieței bursiere și, ca urmare, a început să fie utilizat pe piața Forex. Acum indicatorul fractal se găsește pe toate platformele de tranzacționare și este folosit într-o tehnică de tranzacționare numită spargere a prețului. Bill Williams a dezvoltat această tehnică. După cum comentează autorul despre invenția sa, acest algoritm este o combinație de mai multe „lumânări”, în care cel central reflectă punctul maxim sau, dimpotrivă, punctul extrem minim.

In cele din urma

Deci ne-am gândit ce este un fractal. Se dovedește că în haosul care ne înconjoară, de fapt, există forme ideale. Natura este cel mai bun arhitect, constructorul și inginerul ideal. Este aranjat foarte logic, iar dacă nu putem găsi un model, asta nu înseamnă că nu există. Poate că trebuie să te uiți la o scară diferită. Putem spune cu încredere că fractalii păstrează încă o mulțime de secrete pe care încă nu le descoperim.

Bună tuturor! Numele meu este, Ribenek Valeria, Ulyanovsk și astăzi voi posta câteva dintre articolele mele științifice pe site-ul LCI.

Primul meu articol științific din acest blog îi va fi dedicat fractali. Voi spune imediat că articolele mele sunt concepute pentru aproape orice public. Acestea. Sper că vor fi de interes atât pentru școlari, cât și pentru elevi.

Recent am aflat despre obiecte atât de interesante ale lumii matematice precum fractalii. Dar ele există nu numai în matematică. Ne înconjoară peste tot. Fractalii sunt naturali. Despre ce sunt fractalii, despre tipurile de fractali, despre exemple ale acestor obiecte și aplicarea lor, voi spune în acest articol. Pentru început, vă voi spune pe scurt ce este un fractal.

Fractal(lat. fractus - zdrobit, spart, spart) este o figură geometrică complexă care are proprietatea auto-asemănării, adică este compusă din mai multe părți, fiecare dintre ele similară întregii figuri în ansamblu. Într-un sens mai larg, fractalii sunt înțeleși ca seturi de puncte din spațiul euclidian care au o dimensiune metrică fracțională (în sensul lui Minkowski sau Hausdorff) sau o dimensiune metrică, alta decât cea topologică. De exemplu, voi insera o imagine cu patru fractali diferiți.

Permiteți-mi să vă spun puțin despre istoria fractalilor. Conceptele de geometrie fractală și fractală, care au apărut la sfârșitul anilor '70, au devenit ferm stabilite în viața de zi cu zi a matematicienilor și programatorilor încă de la mijlocul anilor '80. Cuvântul „fractal” a fost introdus de Benoit Mandelbrot în 1975 pentru a se referi la structurile neregulate, dar auto-asemănătoare pe care le-a studiat. Nașterea geometriei fractale este de obicei asociată cu publicarea în 1977 a cărții lui Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature. Lucrările sale au folosit rezultatele științifice ale altor oameni de știință care au lucrat în perioada 1875-1925 în același domeniu (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff). Dar numai în vremea noastră a fost posibil să le combine munca într-un singur sistem.

Există multe exemple de fractali, pentru că, așa cum am spus, ei ne înconjoară peste tot. În opinia mea, chiar și întregul nostru Univers este un fractal imens. La urma urmei, totul în el, de la structura atomului până la structura Universului însuși, se repetă exact unul pe celălalt. Dar există, desigur, exemple mai specifice de fractali din diferite zone. Fractalii, de exemplu, sunt prezenți în dinamica complexă. Acolo apar în mod natural în studiul neliniarului sisteme dinamice. Cel mai studiat caz este atunci când sistemul dinamic este specificat prin iterații polinom sau holomorf funcţia unui complex de variabile la suprafata. Unii dintre cei mai faimoși fractali de acest tip sunt setul Julia, setul Mandelbrot și bazinele Newton. Mai jos, în ordine, imaginile arată fiecare dintre fractalii de mai sus.

Un alt exemplu de fractali sunt curbele fractale. Cel mai bine este să explicați cum să construiți un fractal folosind exemplul curbelor fractale. O astfel de curbă este așa-numita Koch Snowflake. Există o procedură simplă pentru obținerea curbelor fractale pe un plan. Definim o linie întreruptă arbitrară cu un număr finit de legături, numită generator. În continuare, înlocuim fiecare segment din el cu un generator (mai precis, o linie întreruptă similară unui generator). În linia întreruptă rezultată, înlocuim din nou fiecare segment cu un generator. Continuând până la infinit, în limită obținem o curbă fractală. Mai jos este afișat un fulg de zăpadă Koch (sau curbă).

Există, de asemenea, o mulțime de curbe fractale. Cele mai cunoscute dintre ele sunt deja amintita Koch Snowflake, precum și curba Levy, curba Minkowski, Dragonul spart, curba Piano și arborele Pitagore. O imagine a acestor fractali și a istoriei lor, cred că, dacă doriți, o puteți găsi cu ușurință pe Wikipedia.

Al treilea exemplu sau tip de fractali sunt fractalii stocastici. Astfel de fractali includ traiectoria mișcării browniene pe un plan și în spațiu, evoluții Schramm-Löwner, diverse tipuri de fractali randomizati, adică fractali obținuți folosind o procedură recursivă, în care se introduce un parametru aleator la fiecare pas.

Există și fractali pur matematici. Acestea sunt, de exemplu, setul Cantor, buretele Menger, triunghiul Sierpinski și altele.

Dar poate că cei mai interesanți fractali sunt cei naturali. Fractalii naturali sunt obiecte din natură care au proprietăți fractale. Și există deja o listă mare. Nu voi enumera totul, pentru că, probabil, nu le pot enumera pe toate, dar voi povesti despre unele. De exemplu, în natura vie, astfel de fractali includ sistemul nostru circulator și plămânii. Și, de asemenea, coroanele și frunzele copacilor. Tot aici poti include stele de mare, arici de mare, corali, scoici, unele plante, precum varza sau broccoli. Mai jos, câțiva astfel de fractali naturali din fauna sălbatică sunt afișați clar.

Dacă luăm în considerare natura neînsuflețită, atunci există exemple mult mai interesante decât în ​​natura vie. Fulgere, fulgi de zăpadă, nori, cunoscuți de toată lumea, modele pe ferestre în zilele geroase, cristale, lanțuri muntoase - toate acestea sunt exemple de fractali naturali din natura neînsuflețită.

Am luat în considerare exemple și tipuri de fractali. În ceea ce privește utilizarea fractalilor, aceștia sunt folosiți în diverse domenii ale cunoașterii. În fizică, fractalii apar în mod natural la modelarea proceselor neliniare, cum ar fi curgerea fluidelor turbulente, procesele complexe de difuzie-adsorbție, flăcări, nori etc. Fractalii sunt utilizați la modelarea materialelor poroase, de exemplu, în petrochimie. În biologie, ele sunt folosite pentru a modela populațiile și pentru a descrie sistemele de organe interne (sistemul vaselor de sânge). După crearea curbei Koch, s-a propus utilizarea acesteia la calcularea lungimii liniei de coastă. De asemenea, fractalii sunt utilizați activ în inginerie radio, în informatică și tehnologia computerelor, în telecomunicații și chiar în economie. Și, desigur, viziunea fractală este folosită activ în arta și arhitectura contemporană. Iată un exemplu de picturi fractale:

Și așa, în acest sens, mă gândesc să-mi completez povestea despre un fenomen matematic atât de neobișnuit ca un fractal. Astăzi am aflat despre ce este un fractal, cum a apărut, despre tipurile și exemplele de fractali. Și am vorbit și despre aplicarea lor și am demonstrat clar unii dintre fractali. Sper că v-a plăcut această scurtă excursie în lumea obiectelor fractale uimitoare și fermecatoare.