Unghi mic de atac - [A.S. Goldberg. Dicționar energetic englez-rus. 2006] Subiecte inginerie energetică în general Sinonime unghi scăzut de atac EN incidență negativă incidență scăzută ...
unghi negativ de tăiere- - Subiecte industria petrolului și gazelor EN unghi negativ de tăiere unghi negativ de tăiere grebla negativă ... Ghidul tehnic al traducătorului
unghiul de teșire negativ al suprafeței superioare a periei- [GOST 21888 82 (IEC 276 68, IEC 560 77)] Subiecte ale mașinilor electrice rotative în general... Ghidul tehnic al traducătorului
unghiul aripii Enciclopedia „Aviație”
unghiul aripii- Unghi de instalare a aripii. unghiul de instalare al aripii unghiul φ0 dintre coarda centrală a aripii și axa de bază a aeronavei (vezi figura). În funcție de configurația aerodinamică a aeronavei, acest unghi poate fi fie pozitiv, fie negativ. De obicei … Enciclopedia „Aviație”
Unghiul aripii- unghiul (φ)0 dintre coarda centrală a aripii și axa de bază a aeronavei. În funcție de configurația aerodinamică a aeronavei, acest unghi poate fi fie pozitiv, fie negativ. De obicei este în intervalul de la -2(°) la +3(°). Unghi (φ)0… … Enciclopedia tehnologiei
unghiul de amăgire- (Unghi deprimat) unghiul format de linia de elevație (cm) cu orizontul când primul trece sub orizont, adică un unghi de elevație negativ. Dicționarul marin Samoilov K.I. M.L.: Editura Navală de Stat a Sindicatului NKVMF... ... Dicționar marin
UNGHIUL AXELOR OPTICE- unghi ascutit intre opt. axe în arbori biaxiali. U. o. O. numit pozitiv când bisectoarea acută este Ng și negativă când bisectoarea acută este Np (vezi Cristal biaxial optic). Adevărat U. o. O. este desemnat...... Enciclopedie geologică
Rolă (unghi)- Acest termen are alte semnificații, vezi Castor. θ roată, linia roșie este axa de direcție a roții. În figură, roata este pozitivă (unghiul este măsurat în sensul acelor de ceasornic, partea din față a mașinii este pe stânga) ... Wikipedia
Rolă (unghi de rotație)- Rolă θ, linia roșie este axa de direcție a roții. În figură, roata este pozitivă (unghiul este măsurat în sensul acelor de ceasornic, partea din față a mașinii este pe stânga) Rota (rota engleză) este unghiul de înclinare longitudinală a axei de rotație a roții mașinii. Castor... ...Wikipedia
unghi de inclinare- 3.2.9 unghi de rake: Unghiul dintre suprafața de rake și planul de bază (vezi Figura 5). 1 unghi negativ de greblare; 2 unghi pozitiv de rake Figura 5 Unghiuri de rake
Alpha reprezintă numărul real. Semnul egal din expresiile de mai sus indică faptul că dacă adăugați un număr sau un infinit la infinit, nimic nu se va schimba, rezultatul va fi același infinit. Dacă luăm ca exemplu mulțimea infinită de numere naturale, atunci exemplele luate în considerare pot fi reprezentate în următoarea formă:
Pentru a demonstra clar că au dreptate, matematicienii au venit cu multe metode diferite. Personal, privesc toate aceste metode ca pe șamani care dansează cu tamburine. În esență, toate se rezumă la faptul că fie unele dintre camere sunt neocupate și se mută noi oaspeți, fie că unii dintre vizitatori sunt aruncați pe coridor pentru a face loc oaspeților (foarte uman). Mi-am prezentat punctul de vedere asupra unor astfel de decizii sub forma unei povești fantastice despre Blonda. Pe ce se bazează raționamentul meu? Relocarea unui număr infinit de vizitatori necesită o perioadă infinită de timp. După ce am eliberat prima cameră pentru un oaspete, unul dintre vizitatori va merge mereu de-a lungul coridorului de la camera lui la următoarea până la sfârșitul timpului. Desigur, factorul timp poate fi ignorat în mod stupid, dar acesta va fi în categoria „nicio lege nu este scrisă pentru proști”. Totul depinde de ceea ce facem: ajustarea realității la teoriile matematice sau invers.
Ce este un „hotel fără sfârșit”? Un hotel infinit este un hotel care are întotdeauna orice număr de paturi goale, indiferent de câte camere sunt ocupate. Dacă toate camerele din nesfârșitul coridor „vizitatorului” sunt ocupate, există un alt coridor nesfârșit cu camere „de oaspeți”. Vor exista un număr infinit de astfel de coridoare. Mai mult, „hotelul infinit” are un număr infinit de etaje într-un număr infinit de clădiri pe un număr infinit de planete într-un număr infinit de universuri create de un număr infinit de Zei. Matematicienii nu sunt capabili să se distanțeze de problemele banale de zi cu zi: există întotdeauna un singur Dumnezeu-Allah-Buddha, există un singur hotel, există un singur coridor. Așadar, matematicienii încearcă să jongleze cu numerele de serie ale camerelor de hotel, convingându-ne că este posibil să „împingem imposibilul”.
Vă voi demonstra logica raționamentului meu folosind exemplul unui set infinit de numere naturale. Mai întâi trebuie să răspunzi la o întrebare foarte simplă: câte seturi de numere naturale există - unul sau mai multe? Nu există un răspuns corect la această întrebare, deoarece numerele le-am inventat noi înșine, numerele nu există în Natură. Da, Natura se pricepe la numărătoare, dar pentru asta folosește alte instrumente matematice care nu ne sunt familiare. Îți voi spune ce crede Natura altădată. Din moment ce am inventat numerele, noi înșine vom decide câte seturi de numere naturale există. Să luăm în considerare ambele opțiuni, așa cum se cuvine oamenilor de știință adevărați.
Opțiunea unu. „Să ni se dea” un singur set de numere naturale, care se află senin pe raft. Luăm acest set de pe raft. Gata, nu au mai rămas alte numere naturale pe raft și de unde să le duci. Nu putem adăuga unul la acest set, deoarece îl avem deja. Dacă vrei cu adevărat? Nici o problemă. Putem lua unul din setul pe care l-am luat deja și îl putem întoarce la raft. După aceea, putem lua unul de pe raft și îl putem adăuga la ce ne-a mai rămas. Ca rezultat, vom obține din nou un set infinit de numere naturale. Puteți nota toate manipulările noastre astfel:
Am notat acțiunile în notație algebrică și în notație în teoria mulțimilor, cu o listă detaliată a elementelor mulțimii. Indicele indică faptul că avem unul și singurul set de numere naturale. Se dovedește că mulțimea numerelor naturale va rămâne neschimbată numai dacă din el se scade unul și se adaugă aceeași unitate.
Varianta a doua. Avem multe seturi infinite diferite de numere naturale pe raftul nostru. Subliniez - DIFERITE, în ciuda faptului că practic nu se pot distinge. Să luăm unul dintre aceste seturi. Apoi luăm unul dintr-un alt set de numere naturale și îl adăugăm la setul pe care l-am luat deja. Putem adăuga chiar două seturi de numere naturale. Iată ce obținem:
Indicele „unu” și „doi” indică faptul că aceste elemente aparțineau unor seturi diferite. Da, dacă adăugați unul la un set infinit, rezultatul va fi și un set infinit, dar nu va fi același cu setul original. Dacă adăugați un alt set infinit unui set infinit, rezultatul este un nou set infinit format din elementele primelor două seturi.
Mulțimea numerelor naturale este folosită pentru numărare la fel ca o riglă pentru măsurare. Acum imaginați-vă că ați adăugat un centimetru la riglă. Aceasta va fi o linie diferită, nu egală cu cea originală.
Poți să accepți sau să nu accepți raționamentul meu - este treaba ta. Dar dacă întâmpinați vreodată probleme de matematică, gândiți-vă dacă urmați calea raționamentului fals călcat de generații de matematicieni. La urma urmei, studiul matematicii, în primul rând, formează în noi un stereotip stabil de gândire și abia apoi se adaugă la abilitățile noastre mentale (sau, dimpotrivă, ne privează de gândirea liberă).
Duminică, 4 august 2019
Termineam un postscript la un articol despre și am văzut acest text minunat pe Wikipedia:
Citim: „... bogata bază teoretică a matematicii Babilonului nu avea un caracter holistic și s-a redus la un set de tehnici disparate, lipsite de un sistem comun și de o bază de dovezi”.
Wow! Cât de deștepți suntem și cât de bine putem vedea neajunsurile celorlalți. Ne este greu să privim matematica modernă în același context? Parafrazând ușor textul de mai sus, personal am primit următoarele:
Baza teoretică bogată a matematicii moderne nu este holistică și se reduce la un set de secțiuni disparate, lipsite de un sistem comun și bază de dovezi.
Nu voi merge departe pentru a-mi confirma cuvintele - are un limbaj și convenții care sunt diferite de limbajul și convențiile multor alte ramuri ale matematicii. Aceleași nume în diferite ramuri ale matematicii pot avea semnificații diferite. Vreau să dedic o serie întreagă de publicații celor mai evidente greșeli ale matematicii moderne. Pe curând.
Sâmbătă, 3 august 2019
Cum se împarte un set în subseturi? Pentru a face acest lucru, trebuie să introduceți o nouă unitate de măsură care este prezentă în unele dintre elementele setului selectat. Să ne uităm la un exemplu.
Să avem destule A format din patru persoane. Acest set este format pe baza „oamenilor”. Să notăm elementele acestui set prin literă A, indicele cu un număr va indica numărul de serie al fiecărei persoane din acest set. Să introducem o nouă unitate de măsură „gen” și să o notăm cu literă b. Deoarece caracteristicile sexuale sunt inerente tuturor oamenilor, înmulțim fiecare element al setului A bazate pe gen b. Observați că setul nostru de „oameni” a devenit acum un set de „oameni cu caracteristici de gen”. După aceasta, putem împărți caracteristicile sexuale în masculin bmși de femei bw caracteristici sexuale. Acum putem aplica un filtru matematic: selectăm una dintre aceste caracteristici sexuale, indiferent care - bărbat sau femeie. Dacă o persoană o are, atunci o înmulțim cu unu, dacă nu există un astfel de semn, o înmulțim cu zero. Și apoi folosim matematica obișnuită de la școală. Uite ce sa întâmplat.
După înmulțire, reducere și rearanjare, am ajuns să avem două submulțimi: submulțimea bărbaților Bmși un subgrup de femei Bw. Matematicienii raționează aproximativ în același mod atunci când aplică teoria mulțimilor în practică. Dar ei nu ne spun detaliile, ci ne oferă rezultatul final - „mulți oameni constau dintr-un subset de bărbați și un subset de femei”. Desigur, este posibil să aveți o întrebare: cât de corect a fost aplicată matematica în transformările prezentate mai sus? Îndrăznesc să vă asigur că în esență totul a fost făcut corect este suficient să cunoașteți baza matematică a aritmeticii, algebrei booleene și a altor ramuri ale matematicii. Ce este? Altă dată vă voi povesti despre asta.
În ceea ce privește superseturile, puteți combina două seturi într-un singur superset selectând unitatea de măsură prezentă în elementele acestor două seturi.
După cum puteți vedea, unitățile de măsură și matematica obișnuită fac din teoria seturilor o relicvă a trecutului. Un semn că totul nu este bine cu teoria mulțimilor este că matematicienii au venit cu propriul lor limbaj și notație pentru teoria mulțimilor. Matematicienii au acționat ca odinioară șamanii. Doar șamanii știu cum să-și aplice „în mod corect” „cunoștințele”. Ei ne învață această „cunoaștere”.
În concluzie, vreau să vă arăt cum manipulează matematicienii.
luni, 7 ianuarie 2019
În secolul al V-lea î.Hr., vechiul filosof grec Zenon din Elea și-a formulat faimoasele aporii, dintre care cea mai faimoasă este aporia „Achile și țestoasa”. Iată cum sună:
Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile aleargă o sută de pași, țestoasa se târăște încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la infinit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu țestoasa.
Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Cu toții au considerat într-un fel sau altul aporia lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă până în prezent comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună asupra esenței paradoxurilor ... analiza matematică, teoria seturilor, noi abordări fizice și filozofice au fost implicate în studiul problemei; ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la problemă...„[Wikipedia, „Aporia lui Zeno”. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege în ce constă înșelăciunea.
Din punct de vedere matematic, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la cantitate la . Această tranziție presupune aplicare în loc de cele permanente. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru utilizarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat la aporia lui Zeno. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, datorită inerției gândirii, aplicăm unități constante de timp valorii reciproce. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.
Dacă ne întoarcem logica obișnuită, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al drumului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va ajunge din urmă broasca testoasă infinit de repede”.
Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la unități reciproce. În limbajul lui Zeno arată astfel:
În timpul necesar lui Ahile pentru a alerga o mie de pași, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea broaștei țestoase.
Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre irezistibilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Mai trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.
O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:
O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.
În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp o săgeată zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Un alt punct trebuie remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini de pe șosea este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, fie distanța până la ea. Pentru a determina dacă o mașină se mișcă, aveți nevoie de două fotografii făcute din același punct în momente diferite, dar nu puteți determina distanța față de acestea. Pentru a determina distanța până la o mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte ale spațiului la un moment dat, dar din ele nu puteți determina faptul de mișcare (desigur, mai aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta ). Ceea ce vreau să atrag atenția în mod deosebit este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de cercetare.
miercuri, 4 iulie 2018
V-am spus deja asta cu ajutorul căruia şamanii încearcă să sorteze „“ realitatea. Cum fac ei asta? Cum are loc de fapt formarea unui set?
Să aruncăm o privire mai atentă asupra definiției unui set: „o colecție de elemente diferite, concepute ca un singur întreg”. Acum simțiți diferența dintre două expresii: „concepibil ca întreg” și „conceput ca întreg”. Prima frază este rezultatul final, setul. A doua frază este o pregătire preliminară pentru formarea unei mulțimi. În această etapă, realitatea este împărțită în elemente individuale („întregul”), din care se va forma apoi o multitudine („întregul unic”). În același timp, factorul care face posibilă combinarea „întregului” într-un „unic întreg” este monitorizat cu atenție, altfel șamanii nu vor reuși. La urma urmei, șamanii știu dinainte exact ce set vor să ne arate.
Vă voi arăta procesul cu un exemplu. Selectăm „solidul roșu într-un coș” - acesta este „întregul nostru”. În același timp, vedem că aceste lucruri sunt cu arc și există fără arc. După aceea, selectăm o parte din „întreg” și formăm un set „cu un arc”. Acesta este modul în care șamanii își obțin hrana legându-și teoria seturilor de realitate.
Acum hai să facem un mic truc. Să luăm „solid cu coș cu fundă” și să combinăm aceste „întregări” în funcție de culoare, selectând elementele roșii. Avem mult „roșu”. Acum ultima întrebare: seturile rezultate „cu fundă” și „roșu” sunt același set sau două seturi diferite? Doar șamanii știu răspunsul. Mai exact, ei înșiși nu știu nimic, dar așa cum spun ei, așa va fi.
Acest exemplu simplu arată că teoria seturilor este complet inutilă când vine vorba de realitate. Care este secretul? Am format un set de „solid roșu cu un coș și o fundă”. Formarea a avut loc în patru unități de măsură diferite: culoare (roșu), rezistență (solid), rugozitate (coșuri), decor (cu fundă). Doar un set de unități de măsură ne permite să descriem în mod adecvat obiectele reale în limbajul matematicii. Așa arată.
Litera „a” cu indici diferiți indică unități de măsură diferite. Unitățile de măsură prin care se distinge „întregul” în etapa preliminară sunt evidențiate între paranteze. Unitatea de măsură prin care se formează setul este scoasă din paranteze. Ultima linie arată rezultatul final - un element al setului. După cum puteți vedea, dacă folosim unități de măsură pentru a forma un set, atunci rezultatul nu depinde de ordinea acțiunilor noastre. Și aceasta este matematică, și nu dansul șamanilor cu tamburine. Șamanii pot ajunge „intuitiv” la același rezultat, argumentând că este „evident”, deoarece unitățile de măsură nu fac parte din arsenalul lor „științific”.
Folosind unități de măsură, este foarte ușor să împărțiți un set sau să combinați mai multe seturi într-un singur superset. Să aruncăm o privire mai atentă asupra algebrei acestui proces.
Sâmbătă, 30 iunie 2018
Dacă matematicienii nu pot reduce un concept la alte concepte, atunci ei nu înțeleg nimic despre matematică. Răspund: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Răspunsul este foarte simplu: numere și unități de măsură.
Astăzi, tot ceea ce nu luăm aparține unui set (cum ne asigură matematicienii). Apropo, ai văzut în oglinda de pe frunte o listă cu acele seturi cărora le faci parte? Și nu am văzut o astfel de listă. Voi spune mai multe - nici un singur lucru în realitate nu are o etichetă cu o listă cu seturile cărora le aparține acest lucru. Seturile sunt toate invenții ale șamanilor. Cum o fac? Să ne uităm puțin mai adânc în istorie și să vedem cum arătau elementele setului înainte ca șamanii matematicieni să le introducă în seturile lor.
Cu mult timp în urmă, când nimeni nu auzise vreodată de matematică și doar copacii și Saturn aveau inele, turme uriașe de elemente sălbatice de seturi cutreiera câmpurile fizice (la urma urmei, șamanii nu inventaseră încă câmpurile matematice). Arătau cam așa.
Da, nu fi surprins, din punct de vedere al matematicii, toate elementele setului sunt cel mai asemănătoare cu aricii de mare - dintr-un punct, cum ar fi acele, unitățile de măsură ies în toate direcțiile. Pentru cei care, vă reamintesc că orice unitate de măsură poate fi reprezentată geometric ca un segment de lungime arbitrară, iar un număr ca punct. Geometric, orice cantitate poate fi reprezentată ca o grămadă de segmente care ies în direcții diferite dintr-un punct. Acest punct este punctul zero. Nu voi desena această piesă de artă geometrică (fără inspirație), dar vă puteți imagina cu ușurință.
Ce unități de măsură formează un element al unei mulțimi? Tot felul de lucruri care descriu un anumit element din puncte de vedere diferite. Acestea sunt unități de măsură străvechi pe care strămoșii noștri le-au folosit și de care toată lumea a uitat de mult. Acestea sunt unitățile de măsură moderne pe care le folosim acum. Acestea sunt și unități de măsură necunoscute nouă, pe care urmașii noștri le vor găsi și pe care le vor folosi pentru a descrie realitatea.
Am aranjat geometria - modelul propus al elementelor mulțimii are o reprezentare geometrică clară. Dar fizica? Unitățile de măsură sunt legătura directă dintre matematică și fizică. Dacă șamanii nu recunosc unitățile de măsură ca un element cu drepturi depline al teoriilor matematice, aceasta este problema lor. Eu personal nu îmi pot imagina adevărata știință a matematicii fără unități de măsură. De aceea, chiar la începutul poveștii despre teoria seturilor am vorbit despre ea ca fiind în epoca de piatră.
Dar să trecem la cel mai interesant lucru - algebra elementelor mulțimilor. Din punct de vedere algebric, orice element al unei mulțimi este un produs (rezultatul înmulțirii) a unor cantități diferite.
Nu am folosit în mod deliberat convențiile teoriei mulțimilor, deoarece luăm în considerare un element al unei mulțimi în mediul său natural înainte de apariția teoriei mulțimilor. Fiecare pereche de litere dintre paranteze denotă o cantitate separată, constând dintr-un număr indicat de litera " n" și unitatea de măsură indicată prin litera " A". Indicii de lângă litere indică faptul că numerele și unitățile de măsură sunt diferite. Un element al mulțimii poate consta dintr-un număr infinit de cantități (cât de mult avem noi și descendenții noștri suficientă imaginație). Fiecare paranteză este reprezentată geometric ca un segment separat În exemplul cu arici de mare, un bracket este un ac.
Cum formează șamanii seturi din diferite elemente? De fapt, după unități de măsură sau după numere. Neînțelegând nimic despre matematică, ei iau diferiți arici de mare și îi examinează cu atenție în căutarea acelui ac unic, de-a lungul căruia formează un set. Dacă există un astfel de ac, atunci acest element aparține setului, dacă nu există un astfel de ac, atunci acest element nu este din acest set. Șamanii ne spun fabule despre procesele de gândire și despre întreg.
După cum probabil ați ghicit, același element poate aparține unor seturi foarte diferite. În continuare vă voi arăta cum se formează seturile, submulțimile și alte prostii șamanice. După cum puteți vedea, „nu pot exista două elemente identice într-o mulțime”, dar dacă există elemente identice într-o mulțime, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică absurdă. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, care nu au inteligență din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.
Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timp ce testau podul. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.
Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „amintește-mă, sunt în casă” sau, mai degrabă, „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le leagă indisolubil de realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria mulțimilor matematicienilor înșiși.
Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casa de marcat, dăm salarii. Deci un matematician vine la noi pentru banii lui. Îi numărăm întreaga sumă și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său matematic de salariu”. Să-i explicăm matematicianului că va primi bancnotele rămase numai atunci când va dovedi că o mulțime fără elemente identice nu este egală cu o mulțime cu elemente identice. Aici începe distracția.
În primul rând, logica deputaților va funcționa: „Acest lucru se poate aplica și altora, dar nu și mie!” Apoi vor începe să ne liniștească că bancnotele de aceeași denominație au numere de bancnote diferite, ceea ce înseamnă că nu pot fi considerate aceleași elemente. Bine, să numărăm salariile în monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul va începe să-și amintească frenetic de fizică: diferite monede au cantități diferite de murdărie, structura cristalină și aranjarea atomilor este unică pentru fiecare monedă...
Și acum am cea mai interesantă întrebare: unde este linia dincolo de care elementele unui multiset se transformă în elemente ale unui set și invers? O astfel de linie nu există - totul este hotărât de șamani, știința nu este nici măcar aproape să zacă aici.
Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Zonele câmpurilor sunt aceleași - ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă ne uităm la numele acestor stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set, cât și un multiset. Care este corect? Și aici matematicianul-șamanul-ascuțitor scoate un as de atuuri din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.
Pentru a înțelege cum funcționează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.
Să numim rotația vectorului cu rază în mișcare în sens invers acelor de ceasornic pozitivă, iar în sens opus (sensul acelor de ceasornic) negativă. Unghiul descris de rotația negativă a vectorului rază în mișcare va fi numit unghi negativ.
Regulă. Unghiul se măsoară cu un număr pozitiv dacă este pozitiv și cu un număr negativ dacă este negativ.
Exemplul 1. În Fig. 80 prezintă două unghiuri cu o latură de început comună OA și o latură comună de sfârșit OD: unul este egal cu +270°, celălalt -90°.
Suma a două unghiuri. Pe planul de coordonate Oxy, considerăm un cerc cu raza unitară cu centrul la origine (Fig. 81).
Să se obțină un unghi arbitrar a (pozitiv în desen) ca urmare a rotirii unui anumit vector cu rază în mișcare din poziția sa inițială OA, care coincide cu direcția pozitivă a axei Ox, până la poziția sa finală.
Să luăm acum poziția vectorului rază OE ca fiind cea inițială și să lăsăm deoparte un unghi arbitrar din acesta (pozitiv în desen), pe care îl obținem ca urmare a rotirii unui anumit vector rază în mișcare din poziția sa inițială OE la sa. poziția finală OS. În urma acestor acțiuni, vom obține un unghi, pe care îl vom numi suma unghiurilor a și . (Poziția inițială a vectorului de rază în mișcare OA, poziția finală a vectorului de rază OS.)
Diferența dintre două unghiuri.
Prin diferența a două unghiuri a și , pe care le notăm vom înțelege al treilea unghi y, care în sumă cu unghiul dă unghiul a, adică dacă diferența a două unghiuri poate fi interpretată ca suma unghiurilor a și . De fapt, în general, pentru orice unghi, suma lor este măsurată prin suma algebrică a numerelor reale care măsoară aceste unghiuri.
Exemplul 2. atunci .
Exemplul 3. Unghiul , și unghiul . Suma acestora.
În formula (95.1) s-a presupus că - orice număr întreg nenegativ. Dacă presupunem că este orice număr întreg (pozitiv, negativ sau zero), atunci folosind formula
unde poți scrie orice unghi, atât pozitiv, cât și negativ.
Exemplul 4. Un unghi egal cu -1370° poate fi scris astfel:
Rețineți că toate unghiurile scrise folosind formula (96.1), cu valori diferite ale lui , dar același a, au laturile inițiale (OA) și finale (OE) comune (Fig. 79). Prin urmare, construcția oricărui unghi se reduce la construcția unghiului nenegativ corespunzător mai mic de 360°. În fig. 79 de unghiuri nu diferă unul de celălalt; ele diferă doar în procesul de rotație a vectorului rază, care a dus la formarea lor.
În ultima lecție, am stăpânit cu succes (sau am repetat, în funcție de cine) conceptele cheie ale tuturor trigonometriei. Acest cerc trigonometric , unghi pe un cerc , sinusul și cosinusul acestui unghi , și, de asemenea, stăpânit semnele funcţiilor trigonometrice pe sferturi . L-am stăpânit în detaliu. Pe degete, s-ar putea spune.
Dar acest lucru nu este încă de ajuns. Pentru a aplica cu succes toate aceste concepte simple în practică, avem nevoie de încă o abilitate utilă. Și anume, cea corectă lucrul cu colțuri în trigonometrie. Fără această abilitate în trigonometrie, nu există nicio cale. Chiar și în cele mai primitive exemple. De ce? Da, pentru că unghiul este cifra operațională cheie în toată trigonometria! Nu, nu funcții trigonometrice, nu sinus cu cosinus, nu tangentă cu cotangentă și anume colţul însuşi. Fără unghi înseamnă fără funcții trigonometrice, da...
Cum se lucrează cu unghiuri pe un cerc? Pentru a face acest lucru, trebuie să înțelegem ferm două puncte.
1) Cum Se măsoară unghiurile pe un cerc?
2) Ce sunt numărate (măsurate)?
Răspunsul la prima întrebare este subiectul lecției de astăzi. Vom trata prima întrebare în detaliu chiar aici și acum. Nu voi da aici răspunsul la a doua întrebare. Pentru că este destul de dezvoltat. La fel cum a doua întrebare în sine este foarte alunecoasă, da.) Nu voi intra încă în detalii. Acesta este subiectul următoarei lecții separate.
Să începem?
Cum se măsoară unghiurile pe un cerc? Unghiuri pozitive și negative.
Cei care citesc titlul paragrafului s-ar putea să aibă deja părul în picioare. Cum așa?! Unghiuri negative? Este chiar posibil acest lucru?
La negativ numere Ne-am obișnuit deja. Le putem reprezenta pe axa numerelor: la dreapta lui zero sunt pozitive, la stânga lui zero sunt negative. Da, și ne uităm periodic la termometrul din afara ferestrei. Mai ales iarna, pe frig.) Și banii de pe telefon sunt în minus (adică. datorie) uneori pleacă. Toate acestea sunt familiare.
Dar colțurile? Se pare că unghiurile negative în matematică sunt si! Totul depinde de cum se măsoară chiar acest unghi... nu, nu pe linia numerică, ci pe cercul numeric! Adică pe un cerc. Cercul - iată-l, un analog al dreptei numerice în trigonometrie!
Asa de, Cum se măsoară unghiurile pe un cerc? Nu putem face nimic, mai întâi va trebui să desenăm chiar acest cerc.
Voi desena această imagine frumoasă:
Este foarte asemănător cu imaginile din ultima lecție. Există axe, există un cerc, există un unghi. Dar există și informații noi.
Am adăugat și numere de 0°, 90°, 180°, 270° și 360° pe axe. Acum, acest lucru este mai interesant.) Ce fel de numere sunt acestea? Dreapta! Acestea sunt valorile unghiurilor măsurate din partea noastră fixă care cad la axele de coordonate. Ne amintim că latura fixă a unghiului este întotdeauna strâns legată de semiaxa pozitivă OX. Și orice unghi în trigonometrie este măsurat exact din această semi-axă. Acest punct de plecare de bază pentru unghiuri trebuie păstrat cu fermitate în minte. Și axele – se intersectează în unghi drept, nu? Deci adăugăm 90° în fiecare trimestru.
Și mai multe adăugate sageata rosie. Cu un plus. Roșul este intenționat, astfel încât să atragă atenția. Și este bine gravat în memoria mea. Pentru că acest lucru trebuie reținut în mod sigur.) Ce înseamnă această săgeată?
Deci, se dovedește că dacă ne răsucim colțul de-a lungul săgeții cu un plus(în sens invers acelor de ceasornic, după numerotarea sferturilor), apoi unghiul va fi considerat pozitiv! Figura prezintă un unghi de +45° ca exemplu. Apropo, vă rugăm să rețineți că unghiurile axiale 0°, 90°, 180°, 270° și 360° sunt, de asemenea, derulate în direcția pozitivă! Urmați săgeata roșie.
Acum să ne uităm la o altă imagine:
Aproape totul este la fel aici. Numai unghiurile de pe axe sunt numerotate inversat.În sensul acelor de ceasornic. Și au un semn minus.) Încă desenat săgeată albastră. Tot cu un minus. Această săgeată este direcția unghiurilor negative de pe cerc. Ea ne arată că dacă ne amânăm colțul în sensul acelor de ceasornic, Acea unghiul va fi considerat negativ. De exemplu, am arătat un unghi de -45°.
Apropo, vă rugăm să rețineți că numerotarea sferturilor nu se schimbă niciodată! Nu contează dacă mutăm unghiurile în plus sau în minus. Întotdeauna strict în sens invers acelor de ceasornic.)
Tine minte:
1. Punctul de pornire pentru unghiuri este de la semiaxa pozitivă OX. După ceas – „minus”, contra cronometru – „plus”.
2. Numerotarea sferturilor este întotdeauna în sens invers acelor de ceasornic, indiferent de direcția în care sunt calculate unghiurile.
Apropo, etichetarea unghiurilor pe axele 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, desenând de fiecare dată un cerc, nu este deloc obligatorie. Acest lucru se face doar de dragul înțelegerii subiectului. Dar aceste numere trebuie să fie prezente in mintea ta la rezolvarea oricărei probleme de trigonometrie. De ce? Da, pentru că aceste cunoștințe de bază oferă răspunsuri la atâtea alte întrebări din toată trigonometria! Cea mai importantă întrebare este În ce sfert se încadrează unghiul care ne interesează? Credeți sau nu, răspunsul corect la această întrebare rezolvă partea leului din toate celelalte probleme de trigonometrie. Ne vom ocupa de această sarcină importantă (distribuirea unghiurilor în sferturi) în aceeași lecție, dar puțin mai târziu.
Valorile unghiurilor situate pe axele de coordonate (0°, 90°, 180°, 270° și 360°) trebuie reținute! Amintiți-l cu fermitate, până când devine automat. Și atât un plus, cât și un minus.
Dar din acest moment încep primele surprize. Și împreună cu ele, întrebări dificile adresate mie, da...) Ce se întâmplă dacă există un unghi negativ pe un cerc coincide cu pozitivul? Se pare că acelasi punct pe un cerc poate fi notat atat cu un unghi pozitiv cat si cu un unghi negativ???
Absolut corect! Acest lucru este adevărat.) De exemplu, un unghi pozitiv de +270° ocupă un cerc aceeași situație , la fel ca un unghi negativ de -90°. Sau, de exemplu, va lua un unghi pozitiv de +45° pe un cerc aceeași situație , la fel ca unghiul negativ -315°.
Ne uităm la următorul desen și vedem totul:
În același mod, un unghi pozitiv de +150° va cădea în același loc cu un unghi negativ de -210°, un unghi pozitiv de +230° va cădea în același loc cu un unghi negativ de -130°. Și așa mai departe…
Și acum ce pot face? Cum să numărăm exact unghiurile, dacă poți face asta și asta? Care este corect?
Răspuns: corect din toate punctele de vedere! Matematica nu interzice niciuna dintre cele două direcții pentru numărarea unghiurilor. Și alegerea unei direcții specifice depinde numai de sarcină. Dacă sarcina nu spune nimic în text simplu despre semnul unghiului (cum ar fi „definiți cel mai mare negativ colţ" etc.), apoi lucrăm cu unghiurile care ne sunt cele mai convenabile.
Desigur, de exemplu, în subiecte atât de interesante precum ecuațiile trigonometrice și inegalitățile, direcția calculului unghiului poate avea un impact imens asupra răspunsului. Și în subiectele relevante vom lua în considerare aceste capcane.
Tine minte:
Orice punct dintr-un cerc poate fi desemnat fie printr-un unghi pozitiv, fie printr-un unghi negativ. Oricine! Orice ne dorim.
Acum să ne gândim la asta. Am aflat că un unghi de 45° este exact același cu un unghi de -315°? Cum am aflat despre aceleași 315° ? Nu poți ghici? Da! Printr-o rotire completă.) În 360°. Avem un unghi de 45°. Cât timp durează pentru a finaliza o revoluție completă? Scădeți 45° de la 360° - deci obținem 315° . Deplasați-vă în direcția negativă și obținem un unghi de -315°. Încă nu este clar? Apoi uită-te din nou la imaginea de mai sus.
Și acest lucru ar trebui făcut întotdeauna atunci când convertiți unghiurile pozitive în negative (și invers) - desenați un cerc, marcați aproximativ un unghi dat, calculăm câte grade lipsesc pentru a finaliza o revoluție completă și mutam diferența rezultată în direcția opusă. Asta e tot.)
Ce mai este interesant despre unghiurile care ocupă aceeași poziție pe un cerc, crezi? Și faptul că în astfel de colțuri exact la fel sinus, cosinus, tangentă și cotangentă! Mereu!
De exemplu:
Sin45° = sin(-315°)
Cos120° = cos(-240°)
Tg249° = tg(-111°)
Ctg333° = ctg(-27°)
Dar acest lucru este extrem de important! Pentru ce? Da, toate pentru același lucru!) Pentru a simplifica expresiile. Pentru că simplificarea expresiilor este o procedură cheie pentru o soluție de succes orice teme de matematică. Și în trigonometrie.
Deci, ne-am dat seama de regula generală pentru numărarea unghiurilor pe un cerc. Ei bine, dacă am început să vorbim despre virajele complete, despre virajele un sfert, atunci este timpul să răsucim și să desenăm chiar aceste colțuri. Să desenăm?)
Sa incepem cu pozitiv colțuri Vor fi mai ușor de desenat.
Desenăm unghiuri într-o singură rotație (între 0° și 360°).
Să desenăm, de exemplu, un unghi de 60°. Totul este simplu aici, fără bătăi de cap. Desenăm axe de coordonate și un cerc. O poți face direct manual, fără nicio busolă sau riglă. Hai sa desenam schematic: Nu desenăm cu tine. Nu trebuie să respectați niciun GOST, nu veți fi pedepsit.)
Puteți marca (pentru dvs.) valorile unghiurilor pe axe și îndreptați săgeata în direcția Împotriva ceasului. La urma urmei, vom economisi ca plus?) Nu trebuie să faceți acest lucru, dar trebuie să păstrați totul în cap.
Și acum desenăm a doua parte (în mișcare) a colțului. In ce trimestru? În primul, desigur! Pentru că 60 de grade este strict între 0° și 90°. Deci tragem în primul trimestru. La un unghi aproximativ 60 de grade față de partea fixă. Cum să numere aproximativ 60 de grade fără raportor? Uşor! 60° este două treimi dintr-un unghi drept!Împărțim mental primul diavol al cercului în trei părți, luând două treimi pentru noi. Și desenăm... Cât de mult ajungem de fapt acolo (dacă atașați un raportor și măsurați) - 55 de grade sau 64 - nu contează! Este important să fie încă undeva aproximativ 60°.
Primim poza:
Asta e tot. Și nu au fost necesare instrumente. Să ne dezvoltăm ochiul! Va veni la îndemână în probleme de geometrie.) Acest desen inestetic este indispensabil atunci când trebuie să mâzgăliți rapid un cerc și un unghi, fără să vă gândiți cu adevărat la frumusețe. Dar în același timp mâzgăliți Dreapta, fara erori, cu toate informatiile necesare. De exemplu, ca ajutor în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice și a inegalităților.
Să desenăm acum un unghi, de exemplu, 265°. Să ne dăm seama unde ar putea fi amplasat? Ei bine, este clar că nu în primul trimestru și nici măcar în al doilea: se termină la 90 și 180 de grade. Vă puteți da seama că 265° este 180° plus încă 85°. Adică, la semiaxa negativă OX (unde 180°) trebuie să adăugați aproximativ 85°. Sau, și mai simplu, ghiciți că 265° nu atinge semiaxa negativă OY (unde este 270°) niște nefericiți 5°. Pe scurt, în trimestrul al treilea va fi acest unghi. Foarte aproape de semiaxa negativă OY, la 270 de grade, dar tot în a treia!
Hai sa desenam:
Din nou, precizia absolută nu este necesară aici. În realitate, acest unghi să se dovedească a fi, să zicem, 263 de grade. Dar la cea mai importantă întrebare (ce sfert?) am raspuns corect. De ce este aceasta cea mai importantă întrebare? Da, pentru că orice lucrare cu un unghi în trigonometrie (nu contează dacă desenăm acest unghi sau nu) începe cu răspunsul exact la această întrebare! Mereu. Dacă ignori această întrebare sau încerci să-i răspunzi mental, atunci greșelile sunt aproape inevitabile, da... Ai nevoie de ea?
Tine minte:
Orice lucru cu un unghi (inclusiv desenarea acestui unghi pe un cerc) începe întotdeauna cu determinarea sfertului în care se încadrează acest unghi.
Acum, sper că puteți descrie cu precizie unghiuri, de exemplu, 182°, 88°, 280°. ÎN corect sferturi. În al treilea, primul și al patrulea, dacă asta...)
Al patrulea sfert se termină cu un unghi de 360°. Aceasta este o revoluție completă. Este clar că acest unghi ocupă aceeași poziție pe cerc ca 0° (adică, originea). Dar unghiurile nu se termină aici, da...
Ce să faci cu unghiuri mai mari de 360°?
„Există cu adevărat astfel de lucruri?”- tu intrebi. Se întâmplă! Există, de exemplu, un unghi de 444°. Și uneori, să zicem, un unghi de 1000°. Există tot felul de unghiuri.) Doar că vizual astfel de unghiuri exotice sunt percepute puțin mai dificil decât unghiurile cu care suntem obișnuiți într-o singură revoluție. Dar trebuie și să poți să desenezi și să calculezi astfel de unghiuri, da.
Pentru a desena corect astfel de unghiuri pe un cerc, trebuie să faceți același lucru - aflați În ce sfert se încadrează unghiul care ne interesează? Aici, capacitatea de a determina cu precizie sfert este mult mai importantă decât pentru unghiuri de la 0° la 360°! Procedura de determinare a trimestrului în sine este complicată printr-un singur pas. Vei vedea ce este în curând.
Deci, de exemplu, trebuie să ne dăm seama în ce cadran se încadrează unghiul de 444°. Să începem să ne învârtim. Unde? Un plus, desigur! Ne-au dat un unghi pozitiv! +444°. Răsucim, răsucim... Am răsucit-o o tură - am ajuns la 360°.
Cât mai este până la 444°?Numărăm coada rămasă:
444°-360° = 84°.
Deci, 444° este o rotație completă (360°) plus încă 84°. Evident, acesta este primul trimestru. Deci, unghiul de 444° scade în primul trimestru. Jumătate din bătălie este încheiată.
Acum tot ce rămâne este să descriem acest unghi. Cum? Foarte simplu! Facem o întoarcere completă de-a lungul săgeții roșii (plus) și adăugăm încă 84°.
Ca aceasta:
Aici nu m-am deranjat să aglomerez desenul - etichetând sferturile, desenând unghiuri pe axe. Toate aceste lucruri bune ar fi trebuit să fie în capul meu de mult timp.)
Dar am folosit un „melc” sau o spirală pentru a arăta exact cum se formează un unghi de 444° din unghiuri de 360° și 84°. Linia roșie punctată reprezintă o revoluție completă. La care sunt înșurubate suplimentar 84° (linie continuă). Apropo, vă rugăm să rețineți că dacă această revoluție completă este aruncată, acest lucru nu va afecta în niciun fel poziția unghiului nostru!
Dar asta este important! Poziție unghi 444° coincide complet cu o poziţie unghiulară de 84°. Nu există miracole, așa se dovedește.)
Este posibil să renunți nu la o revoluție completă, ci la două sau mai multe?
De ce nu? Dacă unghiul este mare, atunci nu numai că este posibil, ci chiar și necesar! Unghiul nu se va schimba! Mai precis, unghiul în sine se va schimba, desigur, în mărime. Dar poziția lui pe cerc nu este absolut!) De aceea, ei deplin revoluții, că indiferent câte copii ai adăuga, indiferent câte ai scădea, tot vei ajunge în același punct. Frumos, nu-i așa?
Tine minte:
Dacă adăugați (scădeți) orice unghi unui unghi întreg numărul de rotații complete, poziția unghiului inițial pe cerc NU se va schimba!
De exemplu:
În ce sfert se încadrează unghiul de 1000°?
Nici o problemă! Numărăm câte revoluții complete stau într-o mie de grade. O revoluție este de 360°, alta este deja 720°, a treia este de 1080°... Stop! Prea mult! Aceasta înseamnă că se află la un unghi de 1000° Două ture complete. Le aruncăm din 1000° și calculăm restul:
1000° - 2 360° = 280°
Deci, poziția unghiului este de 1000° pe cerc aceeași, ca la un unghi de 280°. Cu care este mult mai plăcut să lucrezi.) Și unde cade acest colț? Se încadrează în al patrulea trimestru: 270° (semi-axa negativă OY) plus încă zece.
Hai sa desenam:
Aici nu mai am desenat două ture complete cu o spirală punctată: se dovedește a fi prea lung. Tocmai am desenat coada rămasă de la zero, aruncând Toate ture suplimentare. Este ca și cum nu ar exista deloc.)
Încă o dată. Într-un sens bun, unghiurile 444° și 84°, precum și 1000° și 280°, sunt diferite. Dar pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă aceste unghiuri sunt - aceeași!
După cum puteți vedea, pentru a lucra cu unghiuri mai mari de 360 °, trebuie să determinați câte rotații complete se află într-un unghi mare dat. Acesta este pasul suplimentar care trebuie făcut mai întâi atunci când lucrați cu astfel de unghiuri. Nimic complicat, nu?
Respingerea revoluțiilor complete este, desigur, o experiență plăcută.) Dar, în practică, atunci când lucrați cu unghiuri absolut teribile, apar dificultăți.
De exemplu:
În ce sfert se încadrează unghiul 31240°?
Deci ce, vom adăuga 360 de grade de multe, de multe ori? Se poate, dacă nu arde prea mult. Dar nu putem doar să adăugăm.) Putem și împărți!
Deci, să împărțim unghiul nostru imens în 360 de grade!
Cu această acțiune vom afla exact câte revoluții complete sunt ascunse în 31240 de grade noastre. Îl poți împărți într-un colț, poți (șoptește la ureche:)) pe un calculator.)
Obținem 31240:360 = 86,777777...
Faptul că numărul s-a dovedit a fi fracționat nu este înfricoșător. Numai noi întreg Sunt interesat de turatii! Prin urmare, nu este nevoie să împărțiți complet.)
Așadar, în cărbunele nostru sclipitor se află până la 86 de revoluții complete. Groază…
Va fi în grade86·360° = 30960°
Ca aceasta. Acesta este exact câte grade pot fi aruncate fără durere dintr-un unghi dat de 31240°. Rămășițe:
31240° - 30960° = 280°
Toate! Poziția unghiului 31240° este pe deplin identificată! Același loc ca 280°. Acestea. al patrulea trimestru.) Cred că am descris deja acest unghi înainte? Când a fost desenat unghiul de 1000°?) Acolo am mers și 280 de grade. Coincidență.)
Deci, morala acestei povești este:
Dacă ni se oferă un unghi înfricoșător, atunci:
1. Stabiliți câte revoluții complete stau în acest colț. Pentru a face acest lucru, împărțiți unghiul inițial la 360 și aruncați partea fracțională.
2. Numărăm câte grade există în numărul de rotații rezultat. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numărul de rotații cu 360.
3. Scădem aceste revoluții din unghiul inițial și lucrăm cu unghiul obișnuit cuprins între 0° și 360°.
Cum se lucrează cu unghiuri negative?
Nici o problemă! Exact la fel ca la cele pozitive, doar cu o singură diferență. Care? Da! Trebuie să întorci colțurile reversul, minus! Mergând în sensul acelor de ceasornic.)
Să desenăm, de exemplu, un unghi de -200°. În primul rând, totul este ca de obicei pentru unghiuri pozitive - axe, cerc. Să desenăm și o săgeată albastră cu un minus și să semnăm unghiurile de pe axe în mod diferit. Desigur, ele vor trebui numărate și într-o direcție negativă. Acestea vor fi aceleași unghiuri, trecând prin 90°, dar numărate în direcția opusă, până la minus: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.
Poza va arăta astfel:
Când lucrați cu unghiuri negative, există adesea un sentiment de ușoară nedumerire. Cum așa?! Se pare că aceeași axă este, să zicem, +90° și -270° în același timp? Nu, ceva este de pește aici...
Da, totul este curat și transparent! Știm deja că orice punct dintr-un cerc poate fi numit fie unghi pozitiv, fie unghi negativ! Absolut orice. Inclusiv pe unele dintre axele de coordonate. În cazul nostru avem nevoie negativ calculul unghiului. Așa că facem toate colțurile în minus.)
Acum desenarea corectă a unghiului -200° nu este deloc dificilă. Aceasta este -180° și minusîncă 20°. Începem să balansăm de la zero la minus: zburăm prin al patrulea trimestru, ratăm și al treilea, ajungem la -180°. Unde ar trebui să cheltuiesc restul de douăzeci? Da, totul este acolo! La oră.) Unghiul total -200° se încadrează în al doilea sfert.
Acum înțelegeți cât de important este să vă amintiți cu fermitate unghiurile de pe axele de coordonate?
Unghiurile de pe axele de coordonate (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) trebuie reținute cu precizie pentru a determina cu exactitate sfertul în care cade unghiul!
Ce se întâmplă dacă unghiul este mare, cu mai multe ture complete? E bine! Ce diferență are dacă aceste revoluții complete sunt transformate în pozitive sau negative? Un punct dintr-un cerc nu își va schimba poziția!
De exemplu:
În ce sfert se încadrează unghiul de -2000°?
Tot la fel! În primul rând, numărăm câte revoluții complete stau în acest colț rău. Pentru a nu strica semnele, să lăsăm minusul în pace pentru moment și să împărțim pur și simplu 2000 la 360. Vom obține 5 cu o coadă. Nu ne pasă de coadă deocamdată, o vom număra puțin mai târziu când tragem colțul. Noi numărăm cinci revoluții complete în grade:
5 360° = 1800°
Wow. Acesta este exact câte grade în plus putem arunca în siguranță din colțul nostru, fără a ne afecta sănătatea.
Numărăm coada rămasă:
2000° – 1800° = 200°
Dar acum ne putem aminti despre minus.) Unde vom înfăşura coada de 200°? Minus, desigur! Ni se dă un unghi negativ.)
2000° = -1800° - 200°
Deci desenăm un unghi de -200°, doar fără nicio rotație suplimentară. Tocmai l-am desenat, dar așa să fie, îl voi mai desena o dată. De mana.
Este clar că unghiul dat -2000°, precum și -200°, se încadrează Al doilea sfert.
Deci, hai să înnebunim... scuze... pe capul nostru:
Dacă este dat un unghi negativ foarte mare, atunci prima parte a lucrului cu acesta (găsirea numărului de rotații complete și aruncarea lor) este aceeași ca atunci când lucrați cu un unghi pozitiv. Semnul minus nu joacă niciun rol în această etapă a soluției. Semnul este luat în considerare doar la sfârșit, când se lucrează cu unghiul rămas după îndepărtarea rotațiilor complete.
După cum puteți vedea, trasarea unghiurilor negative pe un cerc nu este mai dificilă decât cele pozitive.
Totul este la fel, doar în cealaltă direcție! La oră!
Acum vine partea cea mai interesantă! Ne-am uitat la unghiuri pozitive, unghiuri negative, unghiuri mari, unghiuri mici - întreaga gamă. De asemenea, am aflat că orice punct de pe un cerc poate fi numit unghi pozitiv și negativ, am renunțat la revoluții complete... Ceva gânduri? Trebuie amanat...
Da! Oricare ar fi punctul de pe cerc pe care îl luați, acesta va corespunde numar infinit de unghiuri! Mari și nu atât de mari, pozitive și negative - tot felul! Și diferența dintre aceste unghiuri va fi întreg numărul de revoluții complete. Mereu! Așa funcționează cercul trigonometric, da...) De aceea verso sarcina este de a găsi unghiul folosind cunoscutul sinus/cosinus/tangent/cotangent - solubil ambiguu. Și mult mai dificil. Spre deosebire de problema directă - dat un unghi, găsiți întregul set al funcțiilor sale trigonometrice. Și în subiecte mai serioase de trigonometrie ( arcade, trigonometric ecuațiiȘi inegalităților ) vom întâlni acest truc tot timpul. Ne obișnuim.)
1. În ce sfert se încadrează unghiul de -345°?
2. În ce sfert se încadrează unghiul de 666°?
3. În ce sfert se încadrează unghiul 5555°?
4. În ce sfert se încadrează unghiul de -3700°?
5. Ce semn facecos999°?
6. Ce semn facectg999°?
Și a funcționat? Minunat! Există o problemă? Atunci tu.
Raspunsuri:
1. 1
2. 4
3. 2
4. 3
5. "+"
6. "-"
De data aceasta răspunsurile au fost date în ordine, rupând cu tradiția. Căci sunt doar patru sferturi și sunt doar două semne. Nu vei fugi prea mult...)
În lecția următoare vom vorbi despre radiani, despre misteriosul număr „pi”, vom învăța cum să convertim ușor și simplu radianii în grade și invers. Și vom fi surprinși să descoperim că chiar și aceste simple cunoștințe și abilități vor fi destul de suficiente pentru ca noi să rezolvăm cu succes multe probleme de trigonometrie non-triviale!
Colţ: ° π rad =
Convertiți în: radiani grade 0 - 360° 0 - 2π pozitiv negativ Calculați
Când liniile se intersectează, există patru zone diferite în raport cu punctul de intersecție.
Aceste noi zone sunt numite colțuri.
Imaginea prezintă 4 unghiuri diferite formate prin intersecția dreptelor AB și CD
Unghiurile sunt de obicei măsurate în grade, care este notat cu °. Când un obiect face un cerc complet, adică se deplasează din punctul D prin B, C, A și apoi înapoi în D, atunci se spune că s-a întors la 360 de grade (360 °). Deci un grad este $\frac(1)(360)$ dintr-un cerc.
Unghiuri mai mari de 360 de grade
Am vorbit despre cum, atunci când un obiect face un cerc complet în jurul unui punct, merge la 360 de grade, totuși, când un obiect face mai mult de un cerc, face un unghi de peste 360 de grade. Aceasta este o întâmplare comună în viața de zi cu zi. Roata se învârte în multe cercuri când mașina se mișcă, adică formează un unghi de peste 360°.
Pentru a afla numărul de cicluri (cercuri finalizate) la rotirea unui obiect, numărăm de câte ori trebuie să adăugăm 360 la sine pentru a obține un număr egal sau mai mic decât un unghi dat. În același mod, găsim un număr pe care îl înmulțim cu 360 pentru a obține un număr mai mic, dar cel mai apropiat de unghiul dat.
Exemplul 2
1. Aflați numărul de cercuri descrise de un obiect care formează un unghi
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
Soluţie
a) 380 = (1 × 360) + 20
Obiectul a descris un cerc și 20°
Deoarece $20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ cerc
Obiectul a descris $1\frac(1)(18)$ cercuri.
B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Obiectul a descris două cercuri și 50°
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ cerc
Obiectul descrie $2\frac(5)(36)$ dintr-un cerc
c)2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ cercuri
Obiectul a descris $2\frac(7)(9)$ cercuri
Când un obiect se rotește în sensul acelor de ceasornic, formează un unghi negativ de rotație, iar când se rotește în sens invers acelor de ceasornic, formează un unghi pozitiv. Până în acest moment, am luat în considerare doar unghiurile pozitive.
Sub formă de diagramă, un unghi negativ poate fi reprezentat așa cum se arată mai jos. 
Figura de mai jos arată semnul unghiului, care este măsurat dintr-o linie dreaptă comună, axa 0 (axa x - axa x) 
Aceasta înseamnă că dacă există un unghi negativ, putem obține un unghi pozitiv corespunzător.
De exemplu, partea de jos a unei linii verticale este de 270°. Când se măsoară în direcția negativă, obținem -90°. Pur și simplu scădem 270 din 360. Având în vedere un unghi negativ, adunăm 360 pentru a obține unghiul pozitiv corespunzător.
Când unghiul este de -360°, înseamnă că obiectul a făcut mai mult de un cerc în sensul acelor de ceasornic.
Exemplul 3
1. Găsiți unghiul pozitiv corespunzător
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) - 670°
2. Aflați unghiul negativ corespunzător de 80°, 167°, 330° și 1300°.
Soluţie
1. Pentru a găsi unghiul pozitiv corespunzător, adăugăm 360 la valoarea unghiului.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Aceasta înseamnă un cerc în sensul acelor de ceasornic (360)
360 + (-310) = 50°
Unghiul este 360 + 50 = 410°
2. Pentru a obține unghiul negativ corespunzător, scădem 360 din valoarea unghiului.
80° = 80 - 360 = - 280°
167° = 167 - 360 = -193°
330° = 330 - 360 = -30°
1300° = 1300 - 360 = 940 (o tură finalizată)
940 - 360 = 580 (a doua rundă finalizată)
580 - 360 = 220 (turda a treia finalizată)
220 - 360 = -140°
Unghiul este -360 - 360 - 360 - 140 = -1220°
Astfel 1300° = -1220°
Radian
Un radian este unghiul din centrul unui cerc care cuprinde un arc a cărui lungime este egală cu raza cercului. Aceasta este o unitate de măsură pentru mărimea unghiulară. Acest unghi este de aproximativ 57,3°.
În cele mai multe cazuri, acest lucru este notat ca bucuros.
Astfel $1 rad \aprox 57,3^(\circ)$ 
Raza = r = OA = OB = AB
Unghiul BOA este egal cu un radian
Deoarece circumferința este dată ca $2\pi r$, atunci există $2\pi$ raze în cerc și, prin urmare, în întregul cerc sunt $2\pi$ radiani.
Radianii sunt de obicei exprimați în termeni de $\pi$ pentru a evita zecimale în calcule. În majoritatea cărților, abrevierea bucuros nu apare, dar cititorul trebuie să știe că atunci când vine vorba de unghi, acesta este specificat în termeni de $\pi$, iar unitățile de măsură devin automat radiani.
$360^(\circ) = 2\pi\rad$
$180^(\circ) = \pi\rad$,
$90^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$,
$30^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$,
$45^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$,
$60^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$
$270^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$
Exemplul 4
1. Convertiți 240°, 45°, 270°, 750° și 390° în radiani folosind $\pi$.
Soluţie
Să înmulțim unghiurile cu $\frac(\pi)(180)$.
$240^(\circ) = 240 \times \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$
$120^(\circ) = 120 \times \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$
$270^(\circ) = 270 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$
$750^(\circ) = 750 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$
$390^(\circ) = 390 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$
2. Convertiți următoarele unghiuri în grade.
a) $\frac(5)(4)\pi$
b) 3,12 $\pi$
c) 2,4 radiani
Soluţie
$180^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \times 180 = 225^(\circ)$
b) $3,12\pi = 3,12 \times 180 = 561,6^(\circ)$
c) 1 rad = 57,3°
$2.4 = \frac(2.4 \times 57.3)(1) = 137.52$
Unghiuri negative și unghiuri mai mari de $2\pi$ radiani
Pentru a converti un unghi negativ într-un unghi pozitiv, îl adăugăm la $2\pi$.
Pentru a converti un unghi pozitiv într-un unghi negativ, scădem $2\pi$ din acesta.
Exemplul 5
1. Convertiți $-\frac(3)(4)\pi$ și $-\frac(5)(7)\pi$ în unghiuri pozitive în radiani.
Soluţie
Adăugați $2\pi$ la unghi
$-\frac(3)(4)\pi = -\frac(3)(4)\pi + 2\pi = \frac(5)(4)\pi = 1\frac(1)(4)\ pi$
$-\frac(5)(7)\pi = -\frac(5)(7)\pi + 2\pi = \frac(9)(7)\pi = 1\frac(2)(7)\ pi$
Când un obiect se rotește cu un unghi mai mare de $2\pi$;, acesta face mai mult de un cerc.
Pentru a determina numărul de rotații (cercuri sau cicluri) într-un astfel de unghi, găsim un număr, înmulțindu-l cu $2\pi$, rezultatul este egal sau mai mic, dar cât mai aproape de acest număr.
Exemplul 6
1. Aflați numărul de cercuri străbătute de obiect la unghiuri date
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac(7)(2)\pi$
Soluţie
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ implică un ciclu în sensul acelor de ceasornic, aceasta înseamnă că
obiectul a făcut 5 cicluri în sensul acelor de ceasornic.
b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ jumătate de ciclu
obiectul a făcut patru cicluri și jumătate în sens invers acelor de ceasornic
c) $\frac(7)(2)\pi=3,5\pi=2\pi+1,5\pi$, $1,5\pi$ este egal cu trei sferturi din ciclul $(\frac(1,5\pi)(2 \pi)= \frac(3)(4))$
obiectul a trecut printr-un ciclu și trei sferturi în sens invers acelor de ceasornic
