După ce am discutat câteva caracteristici importante ale problemelor de calcul, să ne îndreptăm atenția asupra acelor metode care sunt utilizate în matematica computațională pentru a transforma problemele într-o formă convenabilă pentru implementare pe un computer și pentru a permite construirea de algoritmi de calcul. Vom numi aceste metode computaționale. Cu un anumit grad de convenție, metodele de calcul pot fi împărțite în următoarele clase: 1) metode de transformări echivalente; 2)

metode de aproximare; 3) metode directe (exacte); 4) metode iterative; 5) metode de testare statistică (metode Monte Carlo). O metodă care calculează o soluție la o anumită problemă poate avea o structură destul de complexă, dar pașii ei elementari sunt, de regulă, implementarea metodelor specificate. Să ne dăm o idee generală despre ele.

1. Metode de transformări echivalente.

Aceste metode vă permit să înlocuiți problema inițială cu alta care are aceeași soluție. Efectuarea transformărilor echivalente se dovedește a fi utilă dacă noua problemă este mai simplă decât cea inițială sau are proprietăți mai bune, sau există o metodă de rezolvare cunoscută pentru aceasta, sau poate un program gata făcut.

Exemplul 3.13. O transformare echivalentă a ecuației pătratice în formă (selectarea unui pătrat complet) reduce problema la problema calculării rădăcinii pătrate și duce la formulele (3.2) cunoscute pentru rădăcinile sale.

Transformările echivalente fac uneori posibilă reducerea soluției problemei de calcul inițiale la soluția unei probleme de calcul de un tip complet diferit.

Exemplul 3.14. Problema găsirii rădăcinii unei ecuații neliniare poate fi redusă la problema echivalentă a găsirii punctului minim global al funcției. Într-adevăr, funcția este nenegativă și atinge o valoare minimă egală cu zero pentru acelea și numai acele x pentru care

2. Metode de aproximare.

Aceste metode fac posibilă aproximarea (aproximarea) a problemei inițiale cu o alta, a cărei soluție este într-un anumit sens apropiată de soluția problemei inițiale. Eroarea care rezultă dintr-o astfel de înlocuire se numește eroare de aproximare. De regulă, o problemă de aproximare conține niște parametri care vă permit să ajustați magnitudinea erorii de aproximare sau să influențați alte proprietăți ale problemei. Se obișnuiește să spunem că o metodă de aproximare converge dacă eroarea de aproximare tinde spre zero, deoarece parametrii metodei tind către o anumită valoare limită.

Exemplul 3.15. Una dintre cele mai simple moduri de a calcula integrala este de a aproxima integrala pe baza formulei pentru dreptunghiuri de dimensiune

Pasul este un parametru de metodă aici. Deoarece este o sumă integrală special construită, din definiția unei integrale definite rezultă că atunci când metoda dreptunghiului converge,

Exemplul 3.16. Ținând cont de definiția derivatei unei funcții, pentru calcularea ei aproximativă, puteți utiliza formula Eroarea aproximativă a acestei formule de diferențiere numerică tinde spre zero atunci când

Una dintre metodele obișnuite de aproximare este discretizarea - o înlocuire aproximativă a problemei inițiale cu o problemă de dimensiuni finite, i.e. o problemă ale cărei date de intrare și soluția dorită pot fi specificate în mod unic printr-un set finit de numere. Pentru problemele care nu sunt de dimensiuni finite, acest pas este necesar pentru implementarea ulterioară pe un computer, deoarece un computer este capabil să opereze numai cu un număr finit de numere. În exemplele 3.15 și 3.16 de mai sus, a fost utilizată eșantionarea. Deși calculul exact al integralei implică utilizarea unui număr infinit de valori (pentru toate, valoarea sa aproximativă poate fi calculată folosind un număr finit de valori la punctele a). a cărui soluție exactă implică operația de trecere la limita la (și, prin urmare, utilizarea unui număr infinit de valori ale funcției se reduce la un calcul aproximativ al derivatei în raport cu două valori ale funcției.

La rezolvarea problemelor neliniare sunt utilizate pe scară largă diverse metode de liniarizare, care constau în înlocuirea aproximativă a problemei inițiale cu probleme liniare mai simple. Exemplul 3.17. Să fie necesar să se calculeze aproximativ valoarea pentru pe un computer capabil să efectueze operații aritmetice simple. Rețineți că, prin definiție, x este o rădăcină pozitivă a unei ecuații neliniare Să existe o aproximare cunoscută Să înlocuim parabola cu o dreaptă care este o tangentă trasată la ea.

punct cu abscisa Punctul de intersecție al acestei tangente cu axa dă o aproximare mai bună și se găsește dintr-o ecuație liniară, se obține o formulă aproximativă

De exemplu, dacă luați pentru, obțineți o valoare rafinată

La rezolvarea diferitelor clase de probleme de calcul se pot folosi diferite metode de aproximare; Acestea includ metode de regularizare pentru rezolvarea problemelor prost puse. Rețineți că metodele de regularizare sunt utilizate pe scară largă pentru a rezolva problemele necondiționate.

3. Metode directe.

O metodă de rezolvare a unei probleme se numește directă dacă permite obținerea unei soluții după efectuarea unui număr finit de operații elementare.

Exemplul 3.18. Metoda de calcul a rădăcinilor unei ecuații pătratice folosind formule este o metodă directă. Cele patru operații aritmetice și operația cu rădăcina pătrată sunt considerate elementare aici.

Rețineți că o operație elementară a metodei directe poate fi destul de complexă (calcularea valorilor unei funcții elementare sau speciale, rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare, calcularea unei integrale definite etc.). Faptul că este acceptat ca elementar implică, în orice caz, că implementarea sa este semnificativ mai simplă decât calcularea soluției întregii probleme.

La construirea metodelor directe, se acordă o atenție deosebită reducerii la minimum a numărului de operații elementare.

Exemplul 3.19 (circuit Horner). Fie problema de a calcula valoarea unui polinom

în funcţie de coeficienţii daţi şi de valoarea argumentului x. Dacă calculați polinomul direct folosind formula (3.12) și îl găsiți prin înmulțire secvențială cu x, atunci va trebui să efectuați operații de înmulțire și adunare.

O metodă de calcul mult mai economică se numește schema Horner. Se bazează pe scrierea unui polinom în următoarea formă echivalentă:

Asezarea parantezelor dicteaza urmatoarea ordine de calcule: Aici, calculul valorii necesar efectuand numai operatii de inmultire si adunare.

Schema lui Horner este interesantă deoarece oferă un exemplu de metodă optimă din punct de vedere al numărului de operații elementare. În general, o valoare nu poate fi obținută prin nicio metodă ca urmare a efectuării mai puține operații de înmulțire și adunare.

Uneori metodele directe sunt numite exacte, ceea ce înseamnă că dacă nu există erori în datele de intrare și dacă operațiunile elementare sunt efectuate cu acuratețe, rezultatul rezultat va fi și el precis. Cu toate acestea, la implementarea metodei pe un computer, apariția unei erori de calcul este inevitabilă, a cărei amploare depinde de sensibilitatea metodei la erorile de rotunjire. Multe metode directe (exacte) dezvoltate în perioada pre-mașină s-au dovedit a fi nepotrivite pentru calculele mașinii tocmai din cauza sensibilității excesive la erorile de rotunjire. Nu toate metodele exacte sunt așa, dar este de remarcat faptul că termenul „exact” care nu este complet de succes caracterizează proprietățile unei implementări ideale a unei metode, dar nu și calitatea rezultatului obținut din calcule reale.

4. Metode iterative.

Acestea sunt metode speciale pentru construirea de aproximări succesive pentru rezolvarea unei probleme. Aplicarea metodei începe cu selectarea uneia sau a mai multor aproximări inițiale. Pentru a obține fiecare dintre aproximările ulterioare, se efectuează un set similar de acțiuni folosind aproximațiile găsite anterior - iterație. Continuarea nelimitată a acestui proces iterativ ne permite teoretic să construim o succesiune infinită de aproximări ale soluției.

secvență de iterație. Dacă această secvență converge către o soluție a problemei, atunci se spune că metoda iterativă converge. Setul de aproximări inițiale pentru care metoda converge se numește regiunea de convergență a metodei.

Rețineți că metodele iterative sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea unei game largi de probleme cu ajutorul computerelor.

Exemplul 3.20. Să luăm în considerare binecunoscuta metodă iterativă concepută pentru a calcula (unde metoda lui Newton. Să stabilim o aproximare inițială arbitrară. Calculăm următoarea aproximare folosind formula derivată folosind metoda liniarizării din exemplul 3.17 (vezi formula (3.11)). Continuând acest proces în continuare, obținem o secvență iterativă în care următoarea aproximare este calculată folosind formula recurentă

Se știe că această metodă converge la orice aproximare inițială, astfel încât regiunea sa de convergență este mulțimea tuturor numerelor pozitive.

Să-l folosim pentru a calcula valoarea pe un computer zecimal de biți. Să setăm (ca în exemplul 3.17). Apoi calculele ulterioare sunt inutile, deoarece din cauza naturii limitate a grilei de biți, toate perfecționările ulterioare vor da același rezultat. Cu toate acestea, comparația cu valoarea exactă arată că deja la a treia iterație au fost obținute 6 cifre semnificative corecte.

Folosind metoda lui Newton ca exemplu, vom discuta câteva probleme tipice pentru metodele iterative (și nu numai pentru acestea). Metodele iterative sunt în mod inerent aproximative; nici una dintre aproximările rezultate nu este valoarea exactă a soluției. Cu toate acestea, metoda iterației convergente face posibilă, în principiu, găsirea unei soluții cu orice precizie dată. Prin urmare, atunci când se utilizează metoda iterativă, precizia necesară este întotdeauna specificată și procesul iterativ este întrerupt imediat ce este atins.

Deși faptul că metoda converge este cu siguranță important, nu este suficient să se recomande metoda pentru utilizare în practică. Dacă metoda converge foarte lent (de exemplu, pentru a obține o soluție cu o precizie de 1%, trebuie să faceți iterații), atunci este nepotrivită pentru calculele computerizate. Metodele rapid convergente, care includ metoda lui Newton, sunt de valoare practică (amintim că acuratețea calculului a fost obținută în doar trei iterații). Pentru a studia teoretic rata de convergență și condițiile de aplicabilitate a metodelor iterative, sunt derivate așa-numitele estimări de eroare a priori, care permit să se dea o concluzie despre calitatea metodei chiar înainte de calcule.

Să prezentăm două astfel de estimări a priori pentru metoda lui Newton. Să se știe că atunci pentru toate și erorile a două aproximări succesive sunt legate de următoarea inegalitate:

Iată o valoare care caracterizează eroarea relativă a aproximării. Această inegalitate indică o rată pătratică foarte mare de convergență a metodei: la fiecare iterație, „eroarea” este pătrată. Dacă o exprimăm prin eroarea aproximării inițiale, obținem inegalitatea

din care este rolul unei bune alegeri de aproximare initiala. Cu cât valoarea este mai mică, cu atât metoda va converge mai rapid.

Implementarea practică a metodelor iterative este întotdeauna asociată cu necesitatea de a selecta un criteriu pentru încheierea procesului iterativ. Calculele nu pot continua la nesfârșit și trebuie întrerupte în conformitate cu un criteriu legat, de exemplu, de obținerea unei precizii date. Utilizarea estimărilor a priori în acest scop se dovedește cel mai adesea imposibilă sau ineficientă. Deși descriu corect calitativ comportamentul metodei, astfel de estimări sunt supraestimate și oferă informații cantitative foarte nesigure. Adesea, estimările a priori conțin necunoscute

cantități (de exemplu, estimările (3.14), (3.15) conțin cantitatea a) sau implică prezența și utilizarea serioasă a unor informații suplimentare despre soluție. Cel mai adesea, astfel de informații nu sunt disponibile, iar achiziția lor este asociată cu nevoia de a rezolva probleme suplimentare, adesea mai complexe decât cea inițială.

Pentru a forma un criteriu de terminare la obținerea unei precizii date, de regulă, se folosesc așa-numitele estimări de eroare a posteriori - inegalități în care magnitudinea erorii este estimată prin valori cunoscute sau valori obținute în timpul procesului de calcul. Deși astfel de estimări nu pot fi utilizate înainte de începerea calculelor, ele oferă o cuantificare concretă a incertitudinii în timpul procesului de calcul.

De exemplu, pentru metoda lui Newton (3.13) este valabilă următoarea estimare a posteriori:

S. Ulam a folosit numere aleatorii pentru a simula pe computer comportamentul neutronilor într-un reactor nuclear. Aceste metode pot fi indispensabile atunci când se modelează sisteme mari, dar prezentarea lor detaliată implică utilizarea semnificativă a aparatului de teorie a probabilității și statistici matematice și depășește scopul acestei cărți.

Determinanți

Conceptul de determinant

Orice matrice pătrată de ordin al n-lea poate fi asociată unui număr numit determinant (determinant) matricea A și se notează după cum urmează: , sau , sau det A.

Determinant al unei matrice de ordinul întâi, sau determinantul de ordinul întâi, este elementul

Determinant de ordinul doi(determinantul unei matrice de ordinul doi) se calculează după cum urmează:

Orez. Schema de calcul al determinantului de ordinul doi

Astfel, determinantul de ordinul doi este suma 2=2! termeni, fiecare dintre care este produsul a 2 factori - elemente ale matricei A, câte unul din fiecare rând și fiecare coloană. Unul dintre termeni este luat cu semnul „+”, celălalt cu semnul „-”.

Găsiți determinantul

Determinantul de ordinul trei (determinantul de ordinul trei al unei matrice pătrate) este dat de:

Astfel, determinantul de ordinul trei este suma 6=3! termeni, fiecare dintre care este produsul a 3 factori - elemente ale matricei A, câte unul din fiecare rând și fiecare coloană. O jumătate din termeni sunt luate cu semnul „+”, cealaltă jumătate cu semnul „-”.

Principala metodă de calcul a determinantului de ordinul trei este așa-numita regula triunghiului (regula lui Sarrus): primul dintre cei trei termeni incluși în suma cu semnul „+” este produsul elementelor diagonalei principale, al doilea și al treilea sunt produsele elementelor situate la vârfurile a două triunghiuri cu baze paralele cu diagonala principală; cei trei termeni incluși în suma cu semnul „-” sunt definiți în mod similar, dar relativ la a doua diagonală (laterală). Mai jos sunt 2 scheme pentru calcularea determinanților de ordinul trei

b)

Orez. Scheme de calcul al determinanților de ordinul 3

Găsiți determinantul:

Determinantul unei matrici pătrate de ordinul al n-lea (n 4) este calculat folosind proprietățile determinanților.

Proprietățile de bază ale determinanților. Metode de calcul al determinanților

Determinanții matricei au următoarele proprietăți de bază:

1. Determinantul nu se schimbă atunci când matricea este transpusă.

2. Dacă două rânduri (sau coloane) sunt schimbate în determinant, determinantul va schimba semnul.

3. Un determinant cu două rânduri (coloane) proporționale (în special, egale) este egal cu zero.

4. Dacă un rând (coloană) dintr-un determinant este format din zerouri, atunci determinantul este egal cu zero.

5. Factorul comun al elementelor oricărui rând (sau coloane) poate fi scos din semnul determinant.

6. Determinantul nu se va schimba dacă la toate elementele unui rând (sau coloană) adăugăm elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (sau coloană), înmulțite cu același număr.

7. Determinantul matricelor diagonale și triunghiulare (superioare și inferioare) este egal cu produsul elementelor diagonale.

8. Determinantul produsului matricelor pătrate este egal cu produsul determinanților lor.

Orientări pentru studenții din anul I

Bazey Alexander Anatolievici

Odesa 2008

LITERATURĂ

1 Hemming R.V. Metode numerice pentru oameni de știință și ingineri. – M.: Nauka, 1968. – 400 p.

2 Blazhko S.N. Curs de astronomie sferică. – Moscova, Leningrad, OGIZ, 1948. – 416 p.

3 Shcigolev B.M. Prelucrarea matematică a observațiilor. – M.: Nauka, 1969. – 344 p.

4 Krylov V.I., Bobkov V.V., Monastyrny P.I. Metode de calcul. – M.: Nauka, 1977. volumul I, volumul II – 400 p.

5 Hudson D. Statistici pentru fizicieni. – M.: Mir, 1967. – 244 p.

6.Berman G.N. Tehnici de contabilitate. – Moscova, 1953. – 88 p.

7.Rumshinsky L.Z. Prelucrarea matematică a rezultatelor experimentale. – Moscova, Nauka 1971. – 192 p.

8. Kalitkin N.N. Metode numerice. – Moscova, Nauka 1978. – 512 p.

9. Filchakov P.F. Metode numerice și grafice ale matematicii aplicate. – Kiev, „Naukova Dumka”, 1970. – 800 p.

10. Fikhtengolts G.M. Curs de calcul diferenţial şi integral, vol.1-3. – Moscova, Nauka 1966.

Calcule aproximative 2

Despre complot

Netezire 10

Apropiere 12

Îndreptare (liniarizare) 13

Metoda celor mai mici pătrate 15

Interpolare 24

Polinomul de interpolare Lagrange 26

Termenul rezidual al formulei Lagrange 29

Polinomul de interpolare al lui Newton pentru un tabel cu un pas variabil de 30

Interpolare dintr-un tabel cu un pas constant de 34

Polinoame de interpolare ale lui Stirling, Bessel, Newton 37

Interpolarea dintr-un tabel de funcții cu două argumente 42

Diferențierea după tabel 44

Rezolvarea numerică a ecuațiilor 46

Dihotomie (metoda bisectiei) 46

Metoda simplă de iterație 47

Metoda Newton 50

Găsirea minimului unei funcții a unei variabile 51

Metoda proporției de aur 51

Metoda parabolelor 54

Calculul integralei definite 56

Formula trapezoidală 59

Formula mediilor sau formula dreptunghiurilor 61

Formula lui Simpson 62

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite. Problema Cauchy 64

Metoda Euler clasică 66

Metoda Euler rafinată 67

Metoda de prognoză și corectare 69

Metodele Runge-Kutta 71

Analiza armonică 74

Sisteme de funcții ortogonale 78

Metoda 12 ordonate 79

CALCULE APROXIMATIVE

Să rezolvăm o problemă simplă. Sa zicem ca un student locuieste la o distanta de 1247 m de statie. Trenul pleacă la 17:38. Cu cât timp înainte de plecarea trenului ar trebui un student să plece de acasă dacă viteza lui medie este de 6 km/h?

Obținem imediat soluția:

.

Cu toate acestea, este puțin probabil ca cineva să folosească de fapt această soluție precisă din punct de vedere matematic și iată de ce. Calculele au fost efectuate cu absolut exactitate, dar distanța până la stație a fost măsurată cu exactitate? Este chiar posibil să măsori calea unui pieton fără a face erori? Poate un pieton să meargă de-a lungul unei linii strict definite într-un oraș plin de oameni și mașini care se deplasează în tot felul de direcții? Și viteza de 6 km/h - este determinată absolut exact? Și așa mai departe.

Este destul de clar că toată lumea va acorda preferință în acest caz nu unei „exacte din punct de vedere matematic”, ci unei soluții „practice” a acestei probleme, adică vor estima că plimbarea va dura 12-15 minute și mai adaugă câteva. minute pentru a fi sigur.

Atunci de ce să calculăm secundele și fracțiile lor și să te străduiești pentru un asemenea grad de precizie care nu poate fi folosit în practică?

Matematica este o știință exactă, dar conceptul de „precizie” în sine necesită clarificare. Pentru a face acest lucru, trebuie să începem cu conceptul de număr, deoarece acuratețea rezultatelor calculului depinde în mare măsură de acuratețea numerelor și de fiabilitatea datelor inițiale.

Există trei surse pentru obținerea numerelor: numărarea, măsurarea și efectuarea diferitelor operații matematice

Dacă numărul de articole de numărat este mic și dacă este constant în timp, atunci vom obține absolut exacte rezultate. De exemplu, există 5 degete pe o mână și există 300 de rulmenți într-o cutie. Situația este diferită când se spune: în Odesa în 1979 erau 1.000.000 de locuitori. La urma urmei, oamenii se nasc și mor, vin și pleacă; numărul lor se schimbă tot timpul, chiar și în perioada de timp în care se încheie numărătoarea. Deci ceea ce vrem să spunem cu adevărat este că erau aproximativ 1.000.000 de locuitori, poate 999.125, sau 1.001.263, sau un alt număr apropiat de 1.000.000 În acest caz, 1.000.000 dă aproximativ numărul de locuitori ai orașului.

Orice măsurătoare nu poate fi efectuată absolut exact. Fiecare dispozitiv dă un fel de eroare. În plus, doi observatori care măsoară aceeași cantitate cu același instrument obțin de obicei rezultate ușor diferite acordul complet al rezultatelor este o excepție rară.

Chiar și un dispozitiv de măsurare atât de simplu ca o riglă are o „eroare de dispozitiv” - marginile și planurile riglei sunt oarecum diferite de liniile și planurile drepte ideale, loviturile de pe riglă nu pot fi aplicate la distanțe absolut egale, iar liniile în sine. au o anumită grosime; deci atunci când măsurăm nu putem obține rezultate mai precise decât grosimea curselor.

Dacă ai măsurat lungimea mesei și ai primit o valoare de 1360,5 mm, asta nu înseamnă deloc că lungimea mesei este exact de 1360,5 mm - dacă acest tabel măsoară altul sau repeți măsurarea, atunci poți obține un valoare atât de 1360,4 mm, cât și de 1360,6 mm. Numărul 1360,5 mm exprimă lungimea mesei aproximativ.

Nu toate operațiile matematice pot fi efectuate fără erori. Nu este întotdeauna posibil să extrageți rădăcina, să găsiți sinusul sau logaritmul sau chiar să divizați cu precizie absolută.

Fără excepție, toate măsurătorile conduc la valori aproximative ale cantităților măsurate.. În unele cazuri, măsurătorile sunt efectuate aproximativ, apoi se obțin erori mari cu măsurători atente, erorile sunt mai mici; Precizia absolută în măsurători nu este niciodată atinsă.

Să luăm acum în considerare a doua parte a întrebării. Este necesară acuratețea absolută în practică și ce valoare are un rezultat aproximativ?

Când se calculează o linie electrică sau o conductă de gaz, nimeni nu va determina distanța dintre suporturi cu o precizie de un milimetru sau diametrul unei țevi cu o precizie de un micron. În tehnologie și construcție, fiecare piesă sau structură poate fi fabricată numai cu o anumită precizie, care este determinată de așa-numitele toleranțe. Aceste toleranțe variază de la părți de un micron la milimetri și centimetri, în funcție de materialul, dimensiunea și scopul piesei sau structurii. Prin urmare, pentru a determina dimensiunile unei piese, nu are sens să efectuați calcule cu o precizie mai mare decât cea necesară.

1) Datele inițiale pentru calcule, de regulă, au erori, adică sunt aproximative;

2) Aceste erori, adesea crescute, intră în rezultatele calculului. Dar practica nu necesită date exacte, ci se mulțumește cu rezultate cu unele erori acceptabile, a căror amploare trebuie predeterminată.

3) Este posibil să se asigure acuratețea necesară a rezultatului numai atunci când datele sursă sunt suficient de exacte și când se iau în considerare toate erorile introduse de calculele în sine.

4) Calculele cu numere aproximative trebuie efectuate aproximativ, încercând să se realizeze cheltuiala minimă de muncă și timp la rezolvarea problemei.

De obicei, în calculele tehnice, erorile admisibile variază de la 0,1 la 5%, dar în chestiuni științifice acestea pot fi reduse la miimi de procent. De exemplu, la lansarea primului satelit artificial al Lunii (31 martie 1966), viteza de lansare de aproximativ 11.200 m/sec trebuia asigurată cu o precizie de câțiva centimetri pe secundă pentru ca satelitul să intre mai degrabă într-un circumlunar. decât o orbită circumsolară.

Rețineți, în plus, că regulile de aritmetică sunt derivate din ipoteza că toate numerele sunt exacte. Prin urmare, dacă calculele cu numere aproximative sunt efectuate ca și cu cele exacte, atunci se creează o impresie periculoasă și dăunătoare de precizie acolo unde în realitate nu există. Adevărata acuratețe științifică și, în special, matematică constă tocmai în evidențierea prezenței erorilor aproape întotdeauna inevitabile și determinarea limitelor acestora.

Pe baza conceptelor de determinanți de ordinul doi și trei, putem introduce în mod similar conceptul de determinant de ordine n. Determinanții de ordine mai mari decât al treilea se calculează, de regulă, folosind proprietățile determinanților formulate la paragraful 1.3., care sunt valabile pentru determinanții de orice ordine.

Folosind proprietatea determinanților numărul 9 0, introducem definiția unui determinant de ordinul 4:

Exemplul 2. Calculați folosind o expansiune adecvată.

În mod similar, se introduce conceptul de determinant al 5-lea, al 6-lea etc. Ordin. Deci determinantul ordinului n:

.

Toate proprietățile determinanților de ordinul 2 și 3, discutate mai devreme, sunt valabile și pentru determinanții de ordinul al n-lea.

Să luăm în considerare principalele metode de calculare a determinanților n-a ordine.

Cometariu:Înainte de a aplica această metodă, este util, folosind proprietățile de bază ale determinanților, să se transforme la zero toate elementele, cu excepția unuia, dintr-un anumit rând sau coloană. (Metoda eficientă de reducere a comenzilor)

Metoda de reducere la formă triunghiulară constă într-o astfel de transformare a determinantului atunci când toate elementele sale situate pe o parte a diagonalei principale devin egale cu zero. În acest caz, determinantul este egal cu produsul elementelor diagonalei sale principale.

Exemplul 3. Calculați prin reducere la formă triunghiulară.

Exemplul 4. Calculați folosind metoda reducerii efective a comenzilor

.

Rezolvare: conform proprietății a 4 0 determinanți, vom scoate factorul 10 din primul rând, apoi vom înmulți secvențial al doilea rând cu 2, cu 2, cu 1 și îl vom adăuga cu primul, al treilea și al patrulea rânduri, respectiv (proprietatea 8 0).

.

Determinantul rezultat poate fi extins în elementele primei coloane. Acesta va fi redus la un determinant de ordinul trei, care este calculat folosind regula Sarrus (triunghi).

Exemplul 5. Calculați determinantul reducându-l la formă triunghiulară.

.

Exemplul 3. Calculați folosind relații de recurență.

.

.

Curs 4. Matrice inversă. Rangul matricei.

1. Conceptul de matrice inversă

Definiția 1. Pătrat se numeste matricea A de ordinul n nedegenerat, dacă determinantul ei | A| ≠ 0. În cazul în care | A| = 0, se numește matricea A degenerat.

Numai pentru matricele pătrate nesingulare A este introdus conceptul de matrice inversă A -1.

Definiția 2 . Se numește matricea A -1 verso pentru o matrice pătrată nesingulară A, dacă A -1 A = AA -1 = E, unde E este matricea unitară de ordin n.

Definiția 3 . Matrice numit anexat elementele sale sunt complemente algebrice matrice transpusă
.

Algoritm pentru calcularea matricei inverse folosind metoda matricei adiacente.

, Unde
.

Verificăm corectitudinea calculului A -1 A = AA -1 = E. (E este matricea identității)

Matricele A și A -1 reciproc. Dacă | A| = 0, atunci matricea inversă nu există.

Exemplul 1. Având în vedere o matrice A. Asigurați-vă că este nesingulară și găsiți matricea inversă
.

Soluţie:
. Prin urmare, matricea este nesingulară.

Să găsim matricea inversă. Să compunem complemente algebrice ale elementelor matricei A.

Primim

.

Prezentarea atât a datelor inițiale din problemă, cât și a soluției acesteia - ca număr sau set de numere

Este o componentă importantă în sistemul de pregătire a inginerilor de specialități tehnice.

Baza metodelor de calcul este:

• rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
• interpolare și calcul aproximativ al funcției
• rezolvarea numerică a ecuațiilor diferențiale obișnuite
• soluție numerică a ecuațiilor cu diferențe parțiale (ecuații de fizică matematică)
• rezolvarea problemelor de optimizare

Vezi si

Note

Literatură

• Kalitkin N. N. Metode numerice. M., Nauka, 1978
• Amosov A. A., Dubinsky Yu A., Kopchenova N. V. „Metode de calcul pentru ingineri”, 1994
• Fletcher K, Computational Methods in Fluid Dynamics, ed. Lumea, 1991, 504 p.
• E. Alekseev „Rezolvarea problemelor de matematică computațională în pachetele Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9”, 2006, 496 pagini.
• Tikhonov A. N., Goncharsky A. V., Stepanov V. V., Yagola A. G. „Metode numerice pentru rezolvarea problemelor prost puse” (1990)
• Bakushinsky A. B., Goncharsky A. V. Probleme prost puse. Metode și aplicații numerice, ed. Editura Universității din Moscova, 1989
• N. N. Kalitkin, A. B. Alshin, E. A. Alshina, V. B. Rogov. Calcule pe grile cvasi-uniforme. Moscova, Nauka, Fizmatlit, 2005, 224 p.
• Yu Ryzhikov „Metode computaționale” ed. BHV, 2007, 400 p., ISBN 978-5-9775-0137-8
• Computational Methods in Applied Mathematics, Jurnalul Internațional, ISSN 1609-4840

Legături

• Revista științifică „Metode computaționale și programare. Noi tehnologii de calcul"

Fundația Wikimedia. 2010.

• Matematică computațională și fizică matematică
• Conductă de calcul

Vedeți ce sunt „Metode de calcul” în alte dicționare:

Metode de chimie electroanalitică- Cuprins 1 Metode de chimie electroanalitică 2 Introducere 3 Parte teoretică ... Wikipedia

Metode de codificare a semnalului digital- Acest articol nu are link-uri către surse de informații. Informațiile trebuie să fie verificabile, altfel pot fi puse sub semnul întrebării și șterse. Poți... Wikipedia

DINAMICA GAZULUI METODE NUMERICE- metode de rezolvare a problemelor de dinamică a gazelor bazate pe algoritmi de calcul. Să luăm în considerare principalele aspecte ale teoriei metodelor numerice de rezolvare a problemelor de dinamică a gazelor, scriind ecuațiile de dinamică a gazelor sub formă de legi de conservare în inerțiale... ... Enciclopedie matematică

METODE DE DIFUZIE- metode de rezolvare a cineticii. ecuații de transport de neutroni (sau alte particule) care modifică ecuațiile de aproximare a difuziei. Deoarece aproximarea difuziei dă forma corectă a ecuației asimptotice. rezolvarea ecuației transportului (departe de surse și... ... Enciclopedie matematică

METODE DE MINIMIZARE A FUNCȚIILOR GULISH- metode numerice de găsire a minimelor de funcţii ale multor variabile. Să fie dată o funcție, mărginită de jos, de două ori continuu diferențiabilă în raport cu argumentele sale, pentru care se știe că pentru un anumit vector (semn transpus) este nevoie de... ... Enciclopedie matematică

GOST R 53622-2009: Tehnologii informaționale. Sisteme informatice si de calcul. Etapele și etapele ciclului de viață, tipurile și caracterul complet al documentelor- Terminologie GOST R 53622 2009: Tehnologii informaționale. Sisteme informatice si de calcul. Etapele și etapele ciclului de viață, tipurile și caracterul complet al documentelor document original: 3.1 Platformă software hardware: Set unificat de instrumente... ...

Sisteme de calcul aplicative- Sistemele de calcul aplicative, sau ABC, includ sisteme de calcul obiect bazate pe logica combinatorie și calcul lambda. Singurul lucru care este dezvoltat semnificativ în aceste sisteme este ideea de obiect. În... ... Wikipedia

GOST 24402-88: Teleprocesare și rețele de calculatoare. Termeni și definiții- Terminologie GOST 24402 88: Teleprocesare și rețele de calculatoare. Termeni și definiții document original: TIPURI DE SISTEME ȘI REȚELE 90. Sistem de prelucrare a datelor abonatului Sistemul de abonat Sistemul de abonat Sistem de prelucrare a datelor,… … Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice

ST SEV 4291-83: Mașini de calcul și sisteme de prelucrare a datelor. Pachete de discuri magnetice cu o capacitate de 100 si 200 MB. Cerințe tehnice și metode de încercare- Terminologie ST SEV 4291 83: Mașini de calcul și sisteme de prelucrare a datelor. Pachete de discuri magnetice cu o capacitate de 100 si 200 MB. Cerințe tehnice și metode de testare: 8. Amplitudinea semnalului de la suprafața de informații VTAA Media pe întregul ... Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice

Metode de explorare geofizică- studiul structurii scoarței terestre folosind metode fizice în scopul căutării și explorării mineralelor; geofizica de explorare este o parte integrantă a geofizicii (vezi Geofizica). G.m.r. bazat pe studiul câmpurilor fizice... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Cărți

• Metode de calcul. Manual, Andrey Avenirovich Amosov, Yuliy Andreevich Dubininsky, Natalya Vasilievna Kopchenova. Cartea discută metode de calcul cele mai des folosite în practica calculelor aplicate și științifico-tehnice: metode de rezolvare a problemelor de algebră liniară, ecuații neliniare,...