Graf kvadratického trinomu

2019-04-19

Štvorcový trojčlen

Štvorcový trojčlen sme nazvali celou racionálnou funkciou druhého stupňa:

$y = ax^2 + bx + c$, (1)

kde $a \neq 0$. Dokážme, že grafom kvadratického trinomu je parabola získaná paralelnými posunmi (v smeroch súradnicových osí) od paraboly $y = ax^2$. Aby sme to dosiahli, zredukujeme výraz (1) jednoduchými identickými transformáciami do tvaru

$y = a(x + \alpha)^2 + \beta$. (2)

Zodpovedajúce transformácie, napísané nižšie, sú známe ako "exaktná štvorcová extrakcia":

$y = x^2 + bx + c = a \vľavo (x^2 + \frac(b)(a) x \vpravo) + c = a \vľavo (x^2 + \frac(b)(a) x + \frac (b^2)(4a^2) \right) - \frac (b^2)(4a) + c = a \left (x + \frac(b)(2a) \right)^2 - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$. (2")

Kvadratickú trojčlenku sme zredukovali na tvar (2); kde

$\alpha = \frac(b)(2a), \beta = - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$

(tieto výrazy by ste sa nemali učiť naspamäť, výhodnejšie je trojčlenku (1) vždy priamo transformovať do tvaru (2).

Teraz je jasné, že grafom trojčlenky (1) je parabola rovnajúca sa parabole $y = ax^2$ a získaná posunutím paraboly $y = ax^2$ v smeroch súradnicových osí o $\ alpha$ a $\beta$ (berúc do úvahy znak $\alpha$ a $\beta$). Vrchol tejto paraboly sa nachádza v bode $(- \alpha, \beta)$, jej osou je priamka $x = - \alpha$. Pre $a > 0$ je vrchol najnižším bodom paraboly, pre $a
Urobme teraz štúdiu kvadratického trinómu, t.j. zistíme jeho vlastnosti v závislosti od číselných hodnôt koeficientov $a,b,c$ v jeho vyjadrení (1).

V rovnosti (2") označíme hodnotu $b^2- 4ac$ $d$:

$y = a \vľavo (x + \frac(b)(2a) \vpravo)^2 - \frac(d)(4a)$; (4)

$d = b^2 - 4ac$ sa nazýva diskriminant kvadratického trinomu. Vlastnosti trojčlenu (1) (a umiestnenie jeho grafu) sú určené znamienkami diskriminantu $d$ a vodiacim koeficientom $a$.

1) $a > 0, d 0$; keďže $a > 0$, potom sa graf nachádza nad vrcholom $O^( \prime)$; leží v hornej polrovine ($y > 0$ - obr. a.).

2) $a
3) $a > 0, d > 0 $. Vrchol $O^( \prime)$ leží pod osou $Ox$, parabola pretína os $Ox$ v dvoch bodoch $x_1, x_2$ (obr. c.).

4) $ a 0 $. Vrchol $O^( \prime)$ leží nad osou $Ox$, parabola opäť pretína os $Ox$ v dvoch bodoch $x_1, x_2$ (obr. d).

5) $a > 0, d = 0 $. Vrchol leží na samotnej osi $Ox$, parabola sa nachádza v hornej polrovine (obr. e).

6) $a
Závery. Ak $d 0$) alebo nižšie (ak $a
Ak $d > 0$, potom je funkcia striedavá (graf leží čiastočne pod a čiastočne nad osou $Ox$). Štvorcová trojčlenka s $d > 0$ má dve odmocniny (nuly) $x_1, x_2$. Pre $a > 0$ je záporná v intervale medzi koreňmi (obr. c) a kladná mimo tohto intervalu. Pri $a

Definované vzorcom $a((x)^(2))+bx+c$ $(a\ne 0).$ Čísla $a, b$ a $c$ sú koeficienty kvadratického trinomu, sú zvyčajne nazývané: a - vedúci, b - druhý alebo priemerný koeficient, c - voľný termín. Funkcia v tvare y = ax 2 + bx + c sa nazýva kvadratická funkcia.

Všetky tieto paraboly majú svoj vrchol v počiatku; pre a > 0 je to najnižší bod grafu (najmenšia hodnota funkcie) a pre a< 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.

Ako je možné vidieť, pre a > 0 parabola smeruje nahor, pre a< 0 - вниз.

Existuje jednoduchá a pohodlná grafická metóda, ktorá umožňuje zostrojiť ľubovoľný počet bodov paraboly y = ax 2 bez výpočtov, ak je známy iný bod paraboly ako vrchol. Nech bod M(x 0 , y 0) leží na parabole y = ax 2 (obr. 2). Ak chceme zostrojiť ďalších n bodov medzi bodmi O a M, potom rozdelíme úsečku ON osi x na n + 1 rovnakých častí a v deliacich bodoch nakreslíme kolmice na os Ox. Úsek NM rozdelíme na rovnaký počet rovnakých častí a deliace body spojíme lúčmi s počiatkom súradníc. Potrebné body paraboly ležia v priesečníku kolmíc a lúčov s rovnakými číslami (na obr. 2 je počet deliacich bodov 9).

Graf funkcie y = ax 2 + bx + c sa od grafu y = ax 2 líši len svojou polohou a možno ho získať jednoduchým pohybom krivky na výkrese. Vyplýva to zo znázornenia kvadratického trinomu vo forme

z čoho je ľahké usúdiť, že grafom funkcie y = ax 2 + bx + c je parabola y = ax 2, ktorej vrchol je posunutý do bodu

a jeho os symetrie zostala rovnobežná s osou Oy (obr. 3). Z výsledného výrazu pre kvadratickú trojčlenku ľahko vyplývajú všetky jej základné vlastnosti. Výraz D = b 2 − 4ac sa nazýva diskriminant kvadratickej trinomickej osi 2 + bx + c a diskriminant pridruženej kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0. Znamienko diskriminantu určuje, či graf kvadratická trojčlenka pretína os x alebo leží na rovnakej strane od nej. Totiž, ak D< 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a >0, potom parabola leží nad osou Ox a ak a< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D >0 graf kvadratického trinómu pretína os x v dvoch bodoch x 1 a x 2, ktoré sú koreňmi kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0 a sú rovnaké, resp.

Pri D = 0 sa parabola dotýka osi Ox v bode

Vlastnosti kvadratického trinomu tvoria základ riešenia kvadratických nerovníc. Vysvetlime si to na príklade. Predpokladajme, že potrebujeme nájsť všetky riešenia pre nerovnosť 3x 2 - 2x - 1< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D >0, potom zodpovedajúca kvadratická rovnica 3x 2 − 2x − 1 = 0 má dva rôzne korene, sú určené vzorcami uvedenými vyššie:

x 1 = -1/3 a x 2 = 1.

V uvažovanom kvadratickom trinome je a = 3 > 0, čo znamená, že vetvy jeho grafu smerujú nahor a hodnoty kvadratického trinomu sú záporné iba v intervale medzi koreňmi. Takže všetky riešenia nerovnosti spĺňajú podmienku

−1/3 < x < 1.

Rôzne nerovnosti možno redukovať na kvadratické nerovnosti rovnakými substitúciami, ktorými sa rôzne rovnice redukujú na kvadratické.