Pomerne často sa stretávame s problémami so zvýšenou zložitosťou goniometrické rovnice obsahujúce modul. Väčšina z nich si vyžaduje heuristický prístup k riešeniu, ktorý je väčšine školákov úplne neznámy.
Nižšie navrhnuté problémy sú určené na to, aby vám predstavili najtypickejšie techniky riešenia goniometrických rovníc obsahujúcich modul.
Úloha 1. Nájdite rozdiel (v stupňoch) najmenších kladných a najväčších záporných koreňov rovnice 1 + 2sin x |cos x| = 0.
Riešenie.
Rozšírime modul:
1) Ak cos x ≥ 0, potom pôvodná rovnica bude mať tvar 1 + 2 sin x cos x = 0.
Pomocou sínusového vzorca dvojitého uhla dostaneme:
1 + sin 2x = 0; sin 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Keďže cos x ≥ 0, potom x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Ak cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – hriech 2x = 0; hriech 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Keďže cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Najväčší záporný koreň rovnice: -π/4; najmenší kladný koreň rovnice: 5π/4.
Požadovaný rozdiel: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
Odpoveď: 270°.
Úloha 2. Nájdite (v stupňoch) najmenší kladný koreň rovnice |tg x| + 1/cos x = tan x.
Riešenie.
Rozšírime modul:
1) Ak tan x ≥ 0, potom
tan x + 1/cos x = tan x;
Výsledná rovnica nemá korene.
2) Ak tg x< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 a cos x ≠ 0.
Pomocou obrázku 1 a podmienky tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Najmenší kladný koreň rovnice je 5π/6. Preveďme túto hodnotu na stupne:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Odpoveď: 150°.
Úloha 3. Nájdite počet rôznych koreňov rovnice sin |2x| = cos 2x na intervale [-π/2; π/2].
Riešenie.
Napíšme rovnicu v tvare sin|2x| – cos 2x = 0 a uvažujme funkciu y = sin |2x| – čo 2x. Keďže funkcia je párna, nájdeme jej nuly pre x ≥ 0.
sin 2x – cos 2x = 0; Vydeľme obe strany rovnice cos 2x ≠ 0, dostaneme:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
Pomocou parity funkcie zistíme, že korene pôvodnej rovnice sú čísla tvaru
± (π/8 + πn/2), kde n € Z.
Interval [-π/2; π/2] patria číslam: -π/8; π/8.
Dva korene rovnice teda patria do daného intervalu.
odpoveď: 2.
Táto rovnica by sa dala vyriešiť aj otvorením modulu.
Úloha 4. Nájdite počet koreňov rovnice sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x na intervale [-π; 2π].
Riešenie.
1) Uvažujme prípad, keď 2cos x – 1 > 0, t.j. cos x > 1/2, potom má rovnica tvar:
sin x – sin 2 x = hriech 2 x;
sin x – 2sin 2 x = 0;
sin x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 alebo 1 – 2 sin x = 0;
sin x = 0 alebo sin x = 1/2.
Pomocou obrázku 2 a podmienky cos x > 1/2 nájdeme korene rovnice:
x = π/6 + 2πn alebo x = 2πn, n € Z.
2) Zvážte prípad, keď 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
sin x + sin 2 x = hriech 2 x;
x = 2πn, n € Z.
Pomocou obrázku 2 a podmienky cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Spojením týchto dvoch prípadov dostaneme:
x = π/6 + 2πn alebo x = πn.
3) Interval [-π; 2π] patria ku koreňom: π/6; -π; 0; π; 2π.
Daný interval teda obsahuje päť koreňov rovnice.
odpoveď: 5.
Úloha 5. Nájdite počet koreňov rovnice (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 na intervale [-π; 2π].
Riešenie.
1) Ak sin x ≥ 0, potom má pôvodná rovnica tvar (x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0. Po vyňatí spoločného činiteľa sin x zo zátvoriek dostaneme:
sin x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; keďže (x – 0,7) 2 + 1 > 0 pre všetky reálne x, potom sinx = 0, t.j. x = πn, n € Z.
2) Ak hriech x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 alebo (x – 0,7) 2 + 1 = 0. Keďže sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x – 0,7 = 1 alebo x – 0,7 = -1, čo znamená x = 1,7 alebo x = -0,3.
Berúc do úvahy podmienku sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, čo znamená, že iba číslo -0,3 je koreňom pôvodnej rovnice.
3) Interval [-π; 2π] patria k číslam: -π; 0; π; 2π; -0,3.
Rovnica má teda päť koreňov na danom intervale.
odpoveď: 5.
Na hodiny alebo skúšky sa môžete pripraviť pomocou rôznych vzdelávacích zdrojov, ktoré sú dostupné na internete. V súčasnosti ktokoľvek 
človek jednoducho potrebuje využívať nové informačné technológie, pretože ich správne a hlavne vhodné používanie pomôže zvýšiť motiváciu pri štúdiu predmetu, zvýši záujem a pomôže lepšie osvojiť si potrebný materiál. Nezabúdajte však, že počítač vás nenaučí myslieť, prijaté informácie treba spracovať, pochopiť a zapamätať si ich. Preto sa o pomoc môžete obrátiť na našich online lektorov, ktorí vám pomôžu zistiť, ako riešiť problémy, ktoré vás zaujímajú.
Stále máte otázky? Neviete, ako riešiť goniometrické rovnice?
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!
webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.
Úloha č.1
Logika je jednoduchá: urobíme to ako predtým, bez ohľadu na to, že teraz majú goniometrické funkcie zložitejší argument!
Ak by sme riešili rovnicu v tvare:
Potom zapíšeme nasledujúcu odpoveď:
Alebo (odkedy)
Ale teraz našu úlohu hrá tento výraz:
Potom môžeme napísať:
Naším cieľom s vami je zabezpečiť, aby ľavá strana stála jednoducho, bez akýchkoľvek „nečistôt“!
Poďme sa ich postupne zbaviť!
Najprv odstránime menovateľa na: aby ste to urobili, vynásobte našu rovnosť takto:
Teraz sa toho zbavme rozdelením oboch častí:
Teraz sa zbavme ôsmich:
Výsledný výraz možno zapísať ako 2 série riešení (analogicky s kvadratickou rovnicou, kde diskriminant buď sčítame alebo odčítame)
Musíme nájsť najväčší negatívny koreň! Je jasné, že sa musíme pretriediť.
Najprv sa pozrime na prvú epizódu:
Je jasné, že ak vezmeme, tak vo výsledku dostaneme kladné čísla, ale tie nás nezaujímajú.
Takže to musíte brať negatívne. Nechať byť.
Keď bude koreň užší:
A musíme nájsť najväčšie negatívum!! To znamená, že ísť negatívnym smerom tu už nemá zmysel. A najväčší negatívny koreň pre túto sériu sa bude rovnať.
Teraz sa pozrime na druhú sériu:
A opäť nahradíme: , potom:
Nezaujíma!
Potom už nemá zmysel zvyšovať! Poďme to znížiť! Potom nech:
Pasuje!
Nechať byť. Potom
Potom - najväčší negatívny koreň!
odpoveď:
Úloha č.2
Riešime znova, bez ohľadu na zložitý kosínusový argument:
Teraz vyjadríme opäť vľavo:
Vynásobte obe strany
Rozdeľte obe strany
Zostáva len posunúť ho doprava a zmeniť jeho znamienko z mínus na plus.
Opäť dostaneme 2 série koreňov, jeden s a druhý s.
Musíme nájsť najväčší negatívny koreň. Pozrime sa na prvú epizódu:
Je jasné, že dostaneme prvú zápornú odmocninu v, bude sa rovnať a bude najväčšou zápornou odmocninou v 1 sérii.
Pre druhú sériu
Prvý záporný koreň bude tiež získaný na a bude rovný. Pretože potom je najväčší záporný koreň rovnice.
odpoveď: .
Úloha č.3
Riešime bez ohľadu na zložitý argument dotyčnice.
Teraz sa to nezdá zložité, však?
Ako predtým, na ľavej strane vyjadrujeme:
No, to je skvelé, je tu len jedna séria koreňov! Opäť nájdime najväčšie negatívum.
Je jasné, že to dopadne, ak to položíte. A tento koreň je rovný.
odpoveď:
Teraz sa pokúste sami vyriešiť nasledujúce problémy.
Domáca úloha alebo 3 úlohy na samostatné riešenie.
- Vyriešte rovnicu.
- Vyriešte rovnicu.
V odpovedi na pi-shi-th-najmenší-možný koreň. - Vyriešte rovnicu.
V odpovedi na pi-shi-th-najmenší-možný koreň.
pripravený? Skontrolujme to. Nebudem podrobne popisovať celý algoritmus riešenia, zdá sa mi, že mu už bola venovaná dostatočná pozornosť vyššie.
Je všetko v poriadku? Ach, tie škaredé dutiny, vždy je s nimi nejaký problém!
Teraz môžete vyriešiť jednoduché goniometrické rovnice!
Pozrite si riešenia a odpovede:
Úloha č.1
Vyjadrime sa
Najmenší kladný koreň získame, ak dáme, since, then
odpoveď:
Úloha č.2
Najmenší kladný koreň sa získa pri.
Bude to rovné.
odpoveď: .
Úloha č.3
Keď dostaneme, keď budeme mať.
odpoveď: .
Tieto znalosti vám pomôžu vyriešiť mnoho problémov, s ktorými sa na skúške stretnete.
Ak žiadate o hodnotenie „5“, potom stačí pokračovať v čítaní článku stredná úroveň ktorý bude venovaný riešeniu zložitejších goniometrických rovníc (úloha C1).
PRIEMERNÁ ÚROVEŇ
V tomto článku popíšem riešenie zložitejších goniometrických rovníc a ako si vybrať ich korene. Tu budem čerpať z nasledujúcich tém:
- Goniometrické rovnice pre začiatočníkov (pozri vyššie).
Zložitejšie goniometrické rovnice sú základom pre pokročilé úlohy. Vyžadujú tak riešenie samotnej rovnice vo všeobecnej forme, ako aj nájdenie koreňov tejto rovnice patriacich do určitého daného intervalu.
Riešenie goniometrických rovníc pozostáva z dvoch čiastkových úloh:
- Riešenie rovnice
- Výber koreňa
Treba poznamenať, že druhý nie je vždy potrebný, ale vo väčšine príkladov sa výber stále vyžaduje. Ale ak to nie je potrebné, môžeme s vami súcitiť - to znamená, že rovnica je sama o sebe dosť zložitá.
Moje skúsenosti s analýzou problémov C1 ukazujú, že sú zvyčajne rozdelené do nasledujúcich kategórií.
Štyri kategórie úloh so zvýšenou zložitosťou (predtým C1)
- Rovnice, ktoré sa redukujú na faktorizáciu.
- Rovnice zredukované do tvaru.
- Rovnice riešené zmenou premennej.
- Rovnice, ktoré vyžadujú dodatočný výber koreňov z dôvodu iracionality alebo menovateľa.
Zjednodušene povedané: ak vás chytia jedna z rovníc prvých troch typov, potom sa považujte za šťastného. Pre nich spravidla musíte navyše vybrať korene patriace do určitého intervalu.
Ak narazíte na rovnicu typu 4, máte menej šťastia: musíte sa s ňou pohrávať dlhšie a opatrnejšie, ale často si to nevyžaduje dodatočný výber koreňov. Napriek tomu tento typ rovníc rozoberiem v ďalšom článku a tento sa budem venovať riešeniu rovníc prvých troch typov.
Rovnice, ktoré sa redukujú na faktorizáciu
Najdôležitejšia vec, ktorú si musíte zapamätať pri riešení tohto typu rovnice, je
Ako ukazuje prax, tieto znalosti sú spravidla dostatočné. Pozrime sa na niekoľko príkladov:
Príklad 1. Rovnica zredukovaná na faktorizáciu použitím vzorca redukcie a dvojitého uhla sínusu
- Vyriešte rovnicu
- Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré ležia nad rezom
Tu, ako som sľúbil, fungujú redukčné vzorce:
Potom bude moja rovnica vyzerať takto:
Potom bude moja rovnica mať nasledujúci tvar:
Krátkozraký študent by mohol povedať: teraz znížim obe strany, získam najjednoduchšiu rovnicu a budem si užívať život! A bude sa trpko mýliť!
| PAMATUJTE: NIKDY NEMÔŽETE ZNÍŽIŤ OBE STRANY TRIGONOMETRICKEJ ROVNICE FUNKCIOU OBSAHUJÚ bola NEZNÁME! TAK STRATE KORENE! |
Čo teda robiť? Áno, je to jednoduché, posuňte všetko na jednu stranu a odstráňte spoločný faktor:
Dobre, započítali sme to do faktorov, hurá! Teraz sa rozhodneme:
Prvá rovnica má korene:
A druhý:
Tým je prvá časť problému hotová. Teraz musíte vybrať korene:
Medzera je takáto:
Alebo sa to dá napísať aj takto:
No, vezmime korene:
Najprv poďme pracovať s prvou epizódou (a je to prinajmenšom jednoduchšie!)
Keďže náš interval je úplne záporný, nie je potrebné brať nezáporné, stále budú dávať nezáporné korene.
Vezmime si to teda – je toho priveľa, netrafí.
Nechaj to tak - znova som to netrafil.
Ešte jeden pokus - potom - áno, mám to! Prvý koreň bol nájdený!
Znovu vystrelím: potom znova zasiahnem!
No ešte raz: : - to už je úlet.
Takže z prvého radu sú 2 korene patriace do intervalu: .
Pracujeme s druhou sériou (staviame k moci podľa pravidla):
Podstreliť!
Znova to chýba!
Znova to chýba!
Mám to!
Let!
Môj interval má teda tieto korene:
Toto je algoritmus, ktorý použijeme na riešenie všetkých ostatných príkladov. Poďme si spolu precvičiť ešte jeden príklad.
Príklad 2. Rovnica redukovaná na faktorizáciu použitím redukčných vzorcov
- Vyriešte rovnicu
Riešenie:
Opäť notoricky známe redukčné vzorce:
Nepokúšajte sa znova znížiť!
Prvá rovnica má korene:
A druhý:
Teraz opäť hľadanie koreňov.
Začnem druhou epizódou, už o nej viem všetko z predchádzajúceho príkladu! Pozrite sa a uistite sa, že korene patriace do intervalu sú nasledovné:
Teraz prvá epizóda a je to jednoduchšie:
Ak - vhodné
Ak je to tiež v poriadku
Ak je to už let.
Potom budú korene nasledovné:
Samostatná práca. 3 rovnice.
Je vám jasná technika? Nezdá sa vám už riešenie goniometrických rovníc také ťažké? Potom sami rýchlo vyriešte nasledujúce problémy a potom vyriešime ďalšie príklady:
- Vyriešte rovnicu
Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré ležia nad intervalom. - Vyriešte rovnicu
Označte korene rovnice, ktoré ležia nad rezom - Vyriešte rovnicu
Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré ležia medzi nimi.
Rovnica 1.
A opäť redukčný vzorec:
Prvá séria koreňov:
Druhá séria koreňov:
Začneme výberom medzery
Odpoveď: ,.
2. rovnica Kontrola samostatnej práce.
Dosť zložité zoskupenie do faktorov (použijem vzorec sínusu s dvojitým uhlom):
potom alebo
Toto je všeobecné riešenie. Teraz musíme vybrať korene. Problém je v tom, že nevieme povedať presnú hodnotu uhla, ktorého kosínus sa rovná jednej štvrtine. Preto sa nemôžem len tak zbaviť kosínusu oblúka - taká škoda!
Čo môžem urobiť, je zistiť, že tak, tak, tak.
Vytvorme tabuľku: interval:
No, bolestivým hľadaním sme dospeli k sklamaniu, že naša rovnica má jeden koreň v uvedenom intervale: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
Rovnica 3: Nezávislý pracovný test.
Hrôzostrašne vyzerajúca rovnica. Dá sa to však vyriešiť celkom jednoducho použitím sínusového vzorca dvojitého uhla:
Znížime to o 2:
Zoskupme prvý výraz s druhým a tretí so štvrtým a vyberieme spoločné faktory:
Je jasné, že prvá rovnica nemá korene a teraz sa pozrime na druhú:
Vo všeobecnosti som sa pri riešení takýchto rovníc chystal trochu neskôr, ale keďže sa to ukázalo, nedá sa nič robiť, musím to vyriešiť...
Rovnice formulára:
Táto rovnica je vyriešená delením oboch strán:
Naša rovnica má teda jeden rad koreňov:
Musíme nájsť tie, ktoré patria do intervalu: .
Znova zostavíme tabuľku, ako som to urobil predtým:
Odpoveď: .
Rovnice zredukované do tvaru:
No, teraz je čas prejsť k druhej časti rovníc, najmä preto, že som už vysypal fazuľu o tom, z čoho pozostáva riešenie goniometrických rovníc nového typu. Ale stojí za to zopakovať, že rovnica má tvar
Vyriešené vydelením oboch strán kosínusom:
- Vyriešte rovnicu
Označte korene rovnice, ktoré ležia nad rezom. - Vyriešte rovnicu
Označte korene rovnice, ktoré ležia medzi nimi.
Príklad 1
Prvý je celkom jednoduchý. Presuňte sa doprava a použite kosínusový vzorec s dvojitým uhlom:
Áno! Rovnica tvaru: . Obe časti delím podľa
Vykonávame skríning koreňov:
Medzera:
odpoveď:
Príklad 2
Všetko je tiež celkom triviálne: otvorme zátvorky vpravo:
Základná trigonometrická identita:
Sínus dvojitého uhla:
Nakoniec dostaneme:
Skríning koreňov: interval.
Odpoveď: .
Ako sa vám páči technika, nie je príliš komplikovaná? Dúfam, že nie. Okamžite môžeme urobiť rezerváciu: vo svojej čistej forme sú rovnice, ktoré sa okamžite redukujú na rovnicu pre dotyčnicu, pomerne zriedkavé. Tento prechod (delenie kosínusom) je zvyčajne len časťou zložitejšieho problému. Tu je príklad na precvičenie:
- Vyriešte rovnicu
- Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré ležia nad rezom.
Skontrolujme to:
Rovnicu je možné vyriešiť okamžite, stačí obe strany vydeliť:
Skríning koreňov:
Odpoveď: .
Tak či onak, ešte sme sa nestretli s rovnicami typu, ktorý sme práve skúmali. Je však príliš skoro na to, aby sme to nazvali dňom: ešte stále zostáva jedna „vrstva“ rovníc, ktoré sme nevyriešili. Takže:
Riešenie goniometrických rovníc zmenou premenných
Všetko je tu transparentné: pozorne sa pozrieme na rovnicu, čo najviac ju zjednodušíme, urobíme substitúciu, vyriešime ju, urobíme spätnú substitúciu! Slovami je všetko veľmi jednoduché. Pozrime sa v akcii:
Príklad.
- Vyriešte rovnicu: .
- Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré ležia nad rezom.
No a tu sa nám navrhuje samotná náhrada!
Potom sa naša rovnica zmení na toto:
Prvá rovnica má korene:
A ten druhý je takýto:
Teraz nájdime korene patriace do intervalu
Odpoveď: .
Pozrime sa spolu na trochu zložitejší príklad:
- Vyriešte rovnicu
- Označte korene danej rovnice, ležiace nad nimi.
Tu výmena nie je okamžite viditeľná, navyše nie je príliš viditeľná. Najprv sa zamyslime: čo môžeme urobiť?
Môžeme si predstaviť napr
A zároveň
Potom bude mať moja rovnica tvar:
A teraz pozornosť, sústreďte sa:
Vydeľme obe strany rovnice takto:
Zrazu vy a ja máme relatívnu kvadratickú rovnicu! Urobme náhradu, potom dostaneme:
Rovnica má nasledujúce korene:
Nepríjemná druhá séria koreňov, ale nič sa nedá robiť! Korene vyberieme v intervale.
Aj to musíme zvážiť
Odvtedy a potom
odpoveď:
Aby ste to upevnili skôr, ako sami vyriešite problémy, je tu pre vás ďalšie cvičenie:
- Vyriešte rovnicu
- Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré ležia medzi nimi.
Tu musíte mať oči otvorené: teraz máme menovateľov, ktorí môžu byť nula! Preto musíte byť obzvlášť pozorní ku koreňom!
V prvom rade potrebujem preusporiadať rovnicu, aby som vedel urobiť vhodnú substitúciu. Teraz ma nenapadá nič lepšie, ako prepísať tangentu na sínus a kosínus:
Teraz sa presuniem z kosínu na sínus pomocou základnej trigonometrickej identity:
A nakoniec všetko privediem k spoločnému menovateľovi:
Teraz môžem prejsť k rovnici:
Ale pri (teda pri).
Teraz je všetko pripravené na výmenu:
Potom alebo
Všimnite si však, že ak, tak zároveň!
Kto týmto trpí? Problém s dotyčnicou je, že nie je definovaná, keď je kosínus rovný nule (nastáva delenie nulou).
Korene rovnice sú teda:
Teraz preosejeme korene v intervale:
| - pasuje | |
| - prehnaný |
Naša rovnica má teda jeden koreň na intervale a ten sa rovná.
Vidíte: vzhľad menovateľa (rovnako ako dotyčnica vedie k určitým ťažkostiam s koreňmi! Tu musíte byť opatrnejší!).
Vy a ja sme už takmer skončili s analýzou goniometrických rovníc, zostáva veľmi málo - vyriešiť dva problémy sami. Tu sú.
- Vyriešte rovnicu
Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré ležia nad rezom. - Vyriešte rovnicu
Označte korene tejto rovnice, ktoré sa nachádzajú nad rezom.
Rozhodnuté? Nie je to veľmi ťažké? Skontrolujme to:
- Pracujeme podľa redukčných vzorcov:
Dosaďte do rovnice:
Prepíšme všetko cez kosínusy, aby sme uľahčili výmenu:
Teraz je ľahké vykonať náhradu:
Je jasné, že ide o cudzí koreň, pretože rovnica nemá žiadne riešenia. potom:
V intervale hľadáme korene, ktoré potrebujeme
Odpoveď: .
Tu je náhrada okamžite viditeľná:Potom alebo
- pasuje! - pasuje! - pasuje! - pasuje! - veľa! - tiež veľa! odpoveď:
Tak a teraz je to! Riešením goniometrických rovníc to však nekončí, v najťažších prípadoch zostávame pozadu: keď rovnice obsahujú iracionalitu alebo rôzne druhy „komplexných menovateľov“. Na to, ako takéto úlohy riešiť, sa pozrieme v článku pre pokročilých.
POKROČILÁ ÚROVEŇ
Okrem goniometrických rovníc diskutovaných v predchádzajúcich dvoch článkoch zvážime ďalšiu triedu rovníc, ktoré si vyžadujú ešte starostlivejšiu analýzu. Tieto trigonometrické príklady obsahujú buď iracionalitu alebo menovateľa, čo sťažuje ich analýzu. S týmito rovnicami sa však môžete stretnúť v časti C skúšobnej práce. Každý oblak má však striebornú vôľu: pri takýchto rovniciach sa už spravidla nekladie otázka, ktorý z jeho koreňov patrí do daného intervalu. Nebijme sa, ale poďme rovno na trigonometrické príklady.
Príklad 1
Vyriešte rovnicu a nájdite korene, ktoré patria do segmentu.
Riešenie:
Máme menovateľa, ktorý by sa nemal rovnať nule! Potom riešenie tejto rovnice je rovnaké ako riešenie systému
Poďme vyriešiť každú z rovníc:
A teraz to druhé:
Teraz sa pozrime na sériu:
Je jasné, že táto možnosť nám nevyhovuje, pretože v tomto prípade je náš menovateľ vynulovaný (pozri vzorec pre korene druhej rovnice)
Ak, potom je všetko v poriadku a menovateľ nie je nula! Potom korene rovnice sú nasledovné: , .
Teraz vyberieme korene patriace do intervalu.
| - nevhodný | - pasuje | |
| - pasuje | - pasuje | |
| prehnané | prehnané |
Potom sú korene nasledovné:
Vidíte, dokonca aj objavenie sa malej poruchy v podobe menovateľa výrazne ovplyvnilo riešenie rovnice: zahodili sme sériu koreňov, ktoré menovateľa vynulovali. Veci sa môžu ešte viac skomplikovať, ak narazíte na trigonometrické príklady, ktoré sú iracionálne.
Príklad 2
Vyriešte rovnicu:
Riešenie:
No, aspoň nemusíte odoberať korienky, a to je dobre! Najprv vyriešme rovnicu bez ohľadu na iracionalitu:
Takže, to je všetko? Nie, bohužiaľ, bolo by to príliš jednoduché! Musíme si uvedomiť, že pod koreňom sa môžu objaviť iba nezáporné čísla. potom:
Riešením tejto nerovnosti je:
Teraz zostáva zistiť, či časť koreňov prvej rovnice nedopatrením neskončila tam, kde nerovnosť neplatí.
Na tento účel môžete znova použiť tabuľku:
| : , Ale | Nie! | |
| Áno! | ||
| Áno! |
Jeden z mojich koreňov teda „vypadol“! Ukáže sa, ak to položíte. Potom môže byť odpoveď napísaná takto:
odpoveď:
Vidíte, koreň vyžaduje ešte viac pozornosti! Skúsme to skomplikovať: teraz mám pod koreňom goniometrickú funkciu.
Príklad 3
Ako predtým: najprv vyriešime každú zvlášť, a potom sa zamyslíme nad tým, čo sme urobili.
Teraz druhá rovnica:
Teraz je najťažšie zistiť, či sa pod aritmetickým koreňom získajú záporné hodnoty, ak tam dosadíme korene z prvej rovnice:
Číslo treba chápať ako radiány. Keďže radián je približne stupňov, radiány sú rádovo v stupňoch. Toto je roh druhej štvrtiny. Aké je znamenie kosínusu druhého štvrťroka? Mínus. A čo sinus? Plus. Čo teda môžeme povedať o výraze:
Je to menej ako nula!
To znamená, že to nie je koreň rovnice.
Teraz je čas.
Porovnajme toto číslo s nulou.
Kotangens je funkcia klesajúca o 1 štvrtinu (čím menší argument, tým väčší kotangens). radiány sú približne stupňov. V rovnakom čase
odvtedy, potom a preto
,
Odpoveď: .
Môže sa to ešte skomplikovať? Prosím! Bude to ťažšie, ak bude koreňom stále goniometrická funkcia a druhá časť rovnice bude opäť goniometrická funkcia.
Čím viac trigonometrických príkladov, tým lepšie, pozri nižšie:
Príklad 4.
Koreň nie je vhodný kvôli obmedzenému kosínusu
Teraz ten druhý:
Zároveň podľa definície koreňa:
Musíme si zapamätať jednotkový kruh: konkrétne tie štvrtiny, kde je sínus menší ako nula. Čo sú to za štvrte? Tretí a štvrtý. Potom nás budú zaujímať tie riešenia prvej rovnice, ktoré ležia v tretej alebo štvrtej štvrtine.
Prvá séria dáva korene ležiace na priesečníku tretej a štvrtej štvrtiny. Druhá séria - diametrálne proti nej - dáva vznik koreňom ležiacim na hranici prvej a druhej štvrtiny. Preto táto séria nie je pre nás vhodná.
odpoveď: ,
A znova trigonometrické príklady s „ťažkou iracionalitou“. Nielenže máme goniometrickú funkciu opäť pod koreňom, ale teraz je aj v menovateli!
Príklad 5.
No nedá sa nič robiť – robíme ako predtým.
Teraz pracujeme s menovateľom:
Nechcem riešiť trigonometrickú nerovnosť, takže urobím niečo prefíkané: vezmem a dosadím svoj rad koreňov do nerovnosti:
Ak - je párne, potom máme:
keďže všetky uhly pohľadu ležia v štvrtej štvrtine. A opäť posvätná otázka: aké je znamenie sínusu vo štvrtej štvrtine? Negatívne. Potom nerovnosť
Ak -nepárne, potom:
V ktorej štvrtine leží uhol? Toto je roh druhej štvrtiny. Potom sú všetky rohy opäť rohmi druhej štvrtiny. Sínus je tam kladný. Presne to, čo potrebujete! Takže séria:
Pasuje!
S druhou sériou koreňov sa zaoberáme rovnakým spôsobom:
Do našej nerovnosti dosadíme:
Ak - dokonca, potom
Rohy prvej štvrtiny. Sínus je tam kladný, čo znamená, že séria je vhodná. Ak teraz - nepárne, potom:
hodí sa tiež!
No a teraz si zapíšeme odpoveď!
odpoveď:
No, toto bol možno najnáročnejší prípad. Teraz vám ponúkam problémy, ktoré musíte vyriešiť sami.
Školenie
- Vyriešte a nájdite všetky korene rovnice, ktoré patria do segmentu.
Riešenia:
Prvá rovnica:
alebo
ODZ koreňa:Druhá rovnica:
Výber koreňov, ktoré patria do intervalu
odpoveď:
Alebo
alebo
ale
Uvažujme: . Ak - dokonca, potom
- nehodí sa!
Ak - nepárne, : - vhodné!
To znamená, že naša rovnica má nasledujúci rad koreňov:
alebo
Výber koreňov v intervale:
| - nevhodný | - pasuje | |
| - pasuje | - veľa | |
| - pasuje | veľa |
Odpoveď: ,.
Alebo
Pretože potom dotyčnica nie je definovaná. Túto sériu koreňov okamžite zavrhujeme!
Druhá časť:
Zároveň sa podľa DZ vyžaduje, aby
Skontrolujeme korene nájdené v prvej rovnici:
Ak znamenie:
Prvá štvrtina uhlov, kde je dotyčnica kladná. Nepasuje!
Ak znamenie:
Roh štvrtej štvrtiny. Tam je dotyčnica záporná. Pasuje. Zapíšeme odpoveď:
Odpoveď: ,.
V tomto článku sme sa spoločne pozreli na zložité trigonometrické príklady, ale rovnice by ste si mali vyriešiť sami.
SÚHRN A ZÁKLADNÉ VZORCE
Goniometrická rovnica je rovnica, v ktorej je neznáma striktne pod znamienkom goniometrickej funkcie.
Existujú dva spôsoby riešenia goniometrických rovníc:
Prvým spôsobom je použitie vzorcov.
Druhý spôsob je cez trigonometrický kruh.
Umožňuje merať uhly, nájsť ich sínusy, kosínusy atď.
