Podľa definície sa diferenciál (prvý diferenciál) funkcie vypočíta podľa vzorca
ak je nezávislá premenná.

PRÍKLAD.

Ukážme, že tvar prvého diferenciálu zostáva nezmenený (je invariantný) aj v prípade, keď argument funkcie je samo o sebe funkciou, teda pre komplexnú funkciu
.

Nechaj
sú diferencovateľné, teda podľa definície

Okrem toho, ako je potrebné preukázať.

PRÍKLADY.

Dokázaná nemennosť tvaru prvého diferenciálu nám to umožňuje predpokladať
to jest derivácia sa rovná pomeru diferenciálu funkcie k rozdiel jeho argumentácie bez ohľadu na to, či je argumentom nezávislá premenná alebo funkcia.

Diferenciácia funkcie definovanej parametricky

Nechajte funkciu If
má na scéne potom obrátene
Potom rovnosť
definované na súprave funkcia definovaná parametricky, – parameter (stredná premenná).

PRÍKLAD. Nakreslite funkciu
.

r O 1 X

Zostrojená krivka je tzv cykloid(Obr. 25) a je trajektóriou bodu na kružnici s polomerom 1, ktorý sa bez sklzu otáča pozdĺž osi OX.

KOMENTÁR. Niekedy, ale nie vždy, môže byť parameter eliminovaný z rovníc parametrickej krivky.

PRÍKLADY.
sú parametrické rovnice kruhu, pretože, samozrejme,

sú parametrické rovnice elipsy, keďže

sú parametrické rovnice paraboly

Nájdite deriváciu funkcie zadanej parametricky:

Derivácia funkcie definovanej parametricky je tiež funkcia definovaná parametricky: .

DEFINÍCIA. Druhá derivácia funkcie sa nazýva derivácia jej prvej derivácie.

derivát -tý rád je derivátom jeho derivátu rádu
.

označujú deriváty druhého a objednávka takto:

Z definície druhej derivácie a pravidla diferenciácie parametricky danej funkcie vyplýva, že
Pre výpočet tretej derivácie je potrebné reprezentovať druhú deriváciu vo forme
a znova použite výsledné pravidlo. Deriváty vyššieho rádu sa počítajú podobným spôsobom.

PRÍKLAD. Nájdite derivácie prvého a druhého rádu funkcie

.

Základné teorémy diferenciálneho počtu

TEOREM(Farma). Nechajte funkciu
má v bode
extrém. Ak existuje
, potom

DÔKAZ. Nechaj
, je napríklad minimálny bod. Podľa definície minimálneho bodu existuje susedstvo tohto bodu
, v rámci ktorej
, teda
- prírastok
v bode
. Podľa definície
Vypočítajte jednostranné derivácie v bode
:

prechodom na limitnú vetu v nerovnosti,

pretože

, pretože
Ale podľa podmienok
existuje, takže ľavá derivácia sa rovná pravej, a to je možné len vtedy, ak

Predpoklad, že
- maximálny bod, vedie k tomu istému.

Geometrický význam vety:

TEOREM(Roll). Nechajte funkciu
nepretržitý
, diferencovateľné
a
potom je tu
také že

DÔKAZ. Pretože
nepretržitý
, potom druhou Weierstrassovou vetou dosiahne
ich najväčší
a najmenej
hodnoty buď v extrémnych bodoch alebo na koncoch segmentu.

1. Nechajte
, potom

2. Nechajte
Pretože
buď
, alebo
dosiahol v extrémnom bode
, ale Fermatovou vetou
Q.E.D.

TEOREM(Lagrange). Nechajte funkciu
nepretržitý
a diferencovateľné
, potom existuje
také že
.

Geometrický význam vety:

Pretože
, potom je sečna rovnobežná s dotyčnicou. Veta teda hovorí, že existuje dotyčnica rovnobežná so sečnou prechádzajúcou bodmi A a B.

DÔKAZ. Cez body A
a B
nakreslite sečnicu AB. Jej rovnica
Zvážte funkciu

- vzdialenosť medzi zodpovedajúcimi bodmi na grafe a na sečnici AB.

1.
nepretržitý
ako rozdiel spojitých funkcií.

2.
diferencovateľné
ako rozdiel diferencovateľných funkcií.

3.

znamená,
spĺňa podmienky Rolleovej vety, takže existuje
také že

Veta bola dokázaná.

KOMENTÁR. Vzorec sa nazýva Lagrangeov vzorec.

TEOREM(Koshi). Nechajte funkcie
nepretržitý
, diferencovateľné
a
, potom je tu bod
také že
.

DÔKAZ. Ukážme to
. Ak
, potom funkciu
by spĺňala podmienku Rolleovej vety, takže by tu bola pointa
také že
je v rozpore s podmienkou. znamená,
a obidve časti vzorca sú definované. Zoberme si pomocnú funkciu.

nepretržitý
, diferencovateľné
a
, teda
spĺňa podmienky Rolleovej vety. Potom je tu pointa
, kde
, ale

Q.E.D.

Osvedčený vzorec je tzv Cauchyho vzorec.

L'Hopitalovo PRAVIDLO(L'Hopital-Bernoulli teorém). Nechajte funkcie
nepretržitý
, diferencovateľné
,
a
. Okrem toho existuje konečný alebo nekonečný
.

Potom existuje

DÔKAZ. Keďže podľa stavu
, potom definujeme
v bode
, za predpokladu
Potom
stávajú sa nepretržitými
. Ukážme to

Predstierajme to
potom je tu
také že
, keďže funkcia
na
spĺňa podmienky Rolleovej vety. Ale podľa podmienok
- rozpor. Preto

. Funkcie
spĺňajú podmienky Cauchyho vety na ľubovoľnom segmente
, ktorý je obsiahnutý v
. Napíšme Cauchyho vzorec:

,
.

Preto máme:
, pretože ak
, potom
.

Premenovaním premennej v poslednom limite získame požadované:

POZNÁMKA 1. L'Hopitalovo pravidlo zostáva v platnosti aj vtedy
a
. Umožňuje odhaliť nielen neurčitosť formy , ale aj formou :

.

POZNÁMKA 2. Ak sa po uplatnení L'Hopitalovho pravidla neistota neodhalí, mala by sa použiť znova.

PRÍKLAD.

KOMENTÁR 3 . L'Hopitalovo pravidlo je univerzálnym spôsobom odhaľovania neistôt, existujú však limity, ktoré možno odhaliť použitím iba jednej z predtým študovaných konkrétnych techník.

Ale evidentne
, keďže stupeň čitateľa sa rovná stupňu menovateľa a limita sa rovná pomeru koeficientov pri vyšších mocninách

Výraz pre celkový diferenciál funkcie viacerých premenných je rovnaký, či u a v sú nezávislé premenné alebo funkcie iných nezávislých premenných.

Dôkaz je založený na totálnom diferenciálnom vzorci

Q.E.D.

5.Totálna derivácia funkcie je časová derivácia funkcie pozdĺž trajektórie. Nech má funkcia tvar a jej argumenty závisia od času: . Potom , kde sú parametre definujúce trajektóriu. Celková derivácia funkcie (v bode ) sa v tomto prípade rovná derivácii parciálneho času (v zodpovedajúcom bode ) a možno ju vypočítať podľa vzorca:

kde - parciálne deriváty. Treba poznamenať, že označenie je podmienené a nemá nič spoločné s rozdelením diferenciálov. Okrem toho celková derivácia funkcie závisí nielen od funkcie samotnej, ale aj od trajektórie.

Napríklad celková derivácia funkcie:

Tu neexistuje, pretože samo o sebe („explicitne“) nezávisí od .

Úplný diferenciál

Úplný diferenciál

funkcie f (x, y, z, ...) viacerých nezávislých premenných - výraz

v prípade, keď sa líši od celého prírastku

Δf = f(x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) - f(x, y, z, …)

na nekonečne malú hodnotu v porovnaní s

Dotyková rovina k povrchu

(X, Y, Z - aktuálne súradnice bodu na dotykovej rovine; - polomerový vektor tohto bodu; x, y, z - súradnice dotykového bodu (resp. pre normálu); - vektory dotyčníc k súradnicovým čiaram, respektíve v = const;u = const; )

1.

2.

3.

Povrch normálny

3.

4.

Koncept diferenciálu. Geometrický význam diferenciálu. Invariantnosť tvaru prvého diferenciálu.

Uvažujme funkciu y = f(x) diferencovateľnú v danom bode x. Jeho prírastok Dy môže byť reprezentovaný ako

D y \u003d f "(x) D x + a (D x) D x,

kde prvý člen je lineárny vzhľadom na Dx a druhý člen v bode Dx = 0 je infinitezimálna funkcia vyššieho rádu ako Dx. Ak f "(x) č. 0, potom prvý člen je hlavnou časťou prírastku Dy. Táto hlavná časť prírastku je lineárnou funkciou argumentu Dx a nazýva sa diferenciál funkcie y \u003d f ( x). Ak f "(x) \u003d 0, potom sa diferenciálna funkcia podľa definície považuje za nulu.

Definícia 5 (diferenciál). Diferenciál funkcie y = f(x) je hlavná časť prírastku Dy, lineárna vzhľadom na Dx, rovná súčinu derivácie a prírastku nezávislej premennej

Všimnite si, že diferenciál nezávislej premennej sa rovná prírastku tejto premennej dx = Dx. Preto je vzorec pre diferenciál zvyčajne napísaný v nasledujúcom tvare: dy \u003d f "(x) dx. (4)

Poďme zistiť, aký je geometrický význam diferenciálu. Vezmite ľubovoľný bod M(x, y) na grafe funkcie y = f(x) (obr. 21.). Nakreslite dotyčnicu ku krivke y = f(x) v bode M, ktorá zviera uhol f s kladným smerom osi OX, teda f "(x) = tgf. Z pravouhlého trojuholníka MKN

KN \u003d MNtgf \u003d D xtg f \u003d f "(x) D x,

dy = KN.

Diferenciál funkcie je teda prírastok y ordináty dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie y = f(x) v danom bode, keď sa x zvýši o Dx.

Zaznamenávame hlavné vlastnosti diferenciálu, ktoré sú podobné vlastnostiam derivátu.

2. d(c u(x)) = c d u(x);

3. d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x);

4. d(u(x) v(x)) = v(x)d u(x) + u(x)d v(x);

5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).

Upozorníme ešte na jednu vlastnosť, ktorú má diferenciál, ale derivácia nie. Uvažujme funkciu y = f(u), kde u = f (x), čiže uvažujme komplexnú funkciu y = f(f(x)). Ak je každá z funkcií f a f diferencovateľná, potom sa derivácia zloženej funkcie podľa vety (3) rovná y" = f"(u) u". Potom je diferenciál funkcie

dy \u003d f "(x) dx \u003d f "(u) u" dx \u003d f "(u) du,

keďže u "dx = du. To znamená, dy = f" (u) du. (5)

Posledná rovnosť znamená, že diferenciálny vzorec sa nemení, ak namiesto funkcie x uvažujeme funkciu premennej u. Táto vlastnosť diferenciálu sa nazýva invariantnosť tvaru prvého diferenciálu.

Komentujte. Všimnite si, že vo vzorci (4) dx = Dx, zatiaľ čo vo vzorci (5) du je len lineárna časť prírastku funkcie u.

Integrálny počet je odvetvie matematiky, ktoré študuje vlastnosti a metódy výpočtu integrálov a ich aplikácie. I. a. úzko súvisí s diferenciálnym počtom a spolu s ním tvorí jednu z hlavných častí

Funkčný diferenciál

Funkcia sa volá diferencovateľné v určitom bode, limitujúce pre súpravu E, ak je jeho prírastok Δ f(X 0) zodpovedajúce prírastku argumentu X, môže byť reprezentovaný ako

Δ f(X 0) = A(X 0)(X - X 0) + ω (X - X 0), (1)

kde ω (X - X 0) = o(X - X 0) pri X → X 0 .

Displej, tzv diferenciál funkcie f v bode X 0 a hodnotu A(X 0)h - rozdielová hodnota v tomto bode.

Pre hodnotu funkčného diferenciálu f akceptované označenie df alebo df(X 0), ak chcete vedieť, v akom bode bola vypočítaná. Touto cestou,

df(X 0) = A(X 0)h.

Delenie v (1) podľa X - X 0 a mierenie X do X 0, dostávame A(X 0) = f"(X 0). Preto máme

df(X 0) = f"(X 0)h. (2)

Pri porovnaní (1) a (2) vidíme, že hodnota diferenciálu df(X 0) (kedy f"(X 0) ≠ 0) je hlavná časť prírastku funkcie f v bode X 0, lineárne a zároveň homogénne vzhľadom na prírastok h = X - X 0 .

Kritérium diferencovateľnosti funkcií

Aby bola funkcia f bol v danom bode diferencovateľný X 0 , je potrebné a postačujúce, aby v tomto bode mala konečnú deriváciu.

Invariantnosť tvaru prvého diferenciálu

Ak X je teda nezávislá premenná dx = X - X 0 (pevný prírastok). V tomto prípade máme

df(X 0) = f"(X 0)dx. (3)

Ak X = φ (t) je teda diferencovateľná funkcia dx = φ" (t 0)dt. v dôsledku toho