Definícia. Hranol- je to mnohosten, ktorého všetky vrcholy sú umiestnené v dvoch rovnobežných rovinách a v tých istých rovinách sú dve strany hranola, ktoré sú rovnakými mnohouholníkmi s príslušnými rovnobežnými stranami a všetky hrany, ktoré v nich neležia roviny sú rovnobežné.

Volajú sa dve rovnaké tváre hranolové základne(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Všetky ostatné plochy hranola sú tzv bočné steny(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Všetky bočné plochy sa tvoria bočný povrch hranola .

Všetky bočné strany hranola sú rovnobežníky .

Hrany, ktoré neležia na základniach, sa nazývajú bočné hrany hranola ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Uhlopriečka hranola nazýva sa segment, ktorého konce sú dva vrcholy hranola, ktoré neležia na jednej z jeho plôch (AD 1).

Dĺžka úsečky spájajúcej podstavy hranola a kolmá na obe podstavy súčasne je tzv. výška hranola .

Označenie:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Najskôr sú v poradí obchvatu označené vrcholy jednej základne a potom v rovnakom poradí vrcholy druhej; konce každej bočnej hrany sú označené rovnakými písmenami, len vrcholy ležiace v jedna základňa je označená písmenami bez indexu a v druhej - s indexom)

Názov hranola je spojený s počtom uhlov na obrázku ležiacom pri jeho základni, napríklad na obrázku 1 je základňa päťuholník, takže hranol je tzv. päťuholníkový hranol. Ale odvtedy taký hranol má 7 plôch, potom to sedemsten(2 strany sú základne hranola, 5 strán sú rovnobežníky, sú jeho bočné strany)

Medzi rovnými hranolmi vyniká konkrétny typ: pravidelné hranoly.

Priamy hranol sa nazýva správne, ak sú jeho základne pravidelné mnohouholníky.

Rovnobežníkovité

kváder- pravý rovnobežnosten, ktorého základňou je obdĺžnik.

Vlastnosti a vety:

,

kde d je uhlopriečka štvorca;
a - strana námestia.

Myšlienka hranolu je daná:

• rôzne architektonické štruktúry;
• Detské hračky;
• krabice na balenie;
• dizajnérske predmety atď.

Celková a bočná plocha hranola

S plná \u003d S strana + 2S hlavná,

kde S plný- celková plocha, S strana- bočná plocha, S hlavná- základná plocha

Plocha bočného povrchu rovného hranola sa rovná súčinu obvodu základne a výšky hranola.

S strana\u003d P hlavná * h,

kde S strana je plocha bočného povrchu rovného hranola,

P hlavná - obvod základne rovného hranolu,

h je výška priameho hranola, rovná bočnej hrane.

Prism Volume

Objem hranola sa rovná súčinu plochy základne a výšky.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám posielali dôležité upozornenia a komunikáciu.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

V školských osnovách pre predmet objemová geometria sa štúdium trojrozmerných útvarov zvyčajne začína jednoduchým geometrickým telesom - hranolovým mnohostenom. Úlohu jeho základov plnia 2 rovnaké polygóny ležiace v rovnobežných rovinách. Špeciálnym prípadom je pravidelný štvorhranný hranol. Jeho základňami sú 2 rovnaké pravidelné štvoruholníky, na ktoré sú strany kolmé, majúce tvar rovnobežníkov (alebo obdĺžnikov, ak hranol nie je naklonený).

Ako vyzerá hranol

Pravidelný štvorhranný hranol je šesťuholník, na základni ktorého sú 2 štvorce a bočné strany sú znázornené obdĺžnikmi. Ďalším názvom tejto geometrickej postavy je rovný rovnobežnosten.

Obrázok, ktorý zobrazuje štvoruholníkový hranol, je zobrazený nižšie.

Môžete vidieť aj na obrázku najdôležitejšie prvky, ktoré tvoria geometrické teleso. Bežne sa označujú ako:

Niekedy v problémoch v geometrii nájdete koncept sekcie. Definícia bude znieť takto: rez sú všetky body objemového telesa, ktoré patria do roviny rezu. Rez je kolmý (pretína okraje obrázku pod uhlom 90 stupňov). Pre pravouhlý hranol sa počíta aj s diagonálnym rezom (maximálny počet sekcií, ktoré je možné postaviť sú 2), prechádzajúcimi cez 2 hrany a uhlopriečky podstavy.

Ak je rez nakreslený tak, že rovina rezu nie je rovnobežná ani so základňami, ani s bočnými plochami, výsledkom je zrezaný hranol.

Na nájdenie redukovaných prizmatických prvkov sa používajú rôzne pomery a vzorce. Niektoré z nich sú známe z priebehu planimetrie (napríklad na nájdenie plochy základne hranola stačí pripomenúť vzorec pre plochu štvorca).

Plocha a objem

Ak chcete určiť objem hranola pomocou vzorca, musíte poznať oblasť jeho základne a výšky:

V = Sprim h

Pretože základom pravidelného štvorstenného hranola je štvorec so stranou a, Vzorec môžete napísať v podrobnejšej forme:

V = a² h

Ak hovoríme o kocke - pravidelnom hranole s rovnakou dĺžkou, šírkou a výškou, objem sa vypočíta takto:

Aby ste pochopili, ako nájsť bočnú plochu hranola, musíte si predstaviť jeho zametanie.

Z výkresu je zrejmé, že bočná plocha je tvorená 4 rovnakými obdĺžnikmi. Jeho plocha sa vypočíta ako súčin obvodu základne a výšky postavy:

Strana = Poz. h

Keďže obvod štvorca je P = 4a, vzorec má tvar:

Sside = 4h

Pre kocku:

Strana strany = 4a²

Na výpočet celkovej plochy hranola pridajte 2 základné plochy k bočnej ploche:

Plná = Sstrana + 2Szákladňa

Pri použití na štvoruholníkový pravidelný hranol má vzorec tvar:

Plný = 4a h + 2a²

Pre povrch kocky:

Plný = 6a²

Keď poznáte objem alebo plochu povrchu, môžete vypočítať jednotlivé prvky geometrického telesa.

Hľadanie hranolových prvkov

Často sa vyskytujú problémy, pri ktorých je daný objem alebo je známa hodnota bočnej plochy, kde je potrebné určiť dĺžku strany základne alebo výšku. V takýchto prípadoch možno odvodiť vzorce:

• dĺžka základnej strany: a = strana S/4h = √(V/h);
• výška alebo dĺžka bočného rebra: h = strana S/4a = V/a2;
• základná plocha: Sprim = V/h;
• oblasť bočnej tváre: Side gr = Sstrana / 4.

Ak chcete určiť, akú veľkú plochu má uhlopriečka, musíte poznať dĺžku uhlopriečky a výšku postavy. Pre štvorec d = a√2. Preto:

Sdiag = ah√2

Na výpočet uhlopriečky hranola sa používa vzorec:

dcena = √(2a² + h²)

Aby ste pochopili, ako použiť vyššie uvedené pomery, môžete si precvičiť a vyriešiť niekoľko jednoduchých úloh.

Príklady problémov s riešeniami

Tu sú niektoré z úloh, ktoré sa objavujú na štátnych záverečných skúškach z matematiky.

Cvičenie 1.

Piesok sa nasype do krabice v tvare pravidelného štvoruholníkového hranolu. Výška jeho hladiny je 10 cm Aká bude hladina piesku, ak ho presuniete do nádoby rovnakého tvaru, ale s 2-krát dlhšou základňou?

Malo by sa argumentovať nasledovne. Množstvo piesku v prvej a druhej nádobe sa nezmenilo, t.j. jeho objem v nich je rovnaký. Dĺžku základne môžete definovať ako a. V tomto prípade pre prvý box bude objem látky:

V₁ = ha2 = 10a2

Pre druhú krabicu je dĺžka základne 2a, ale výška hladiny piesku nie je známa:

V2 = h(2a)2 = 4 ha2

Pretože V1 = V2, výrazy možno prirovnať:

10a² = 4ha²

Po zmenšení oboch strán rovnice o a² dostaneme:

V dôsledku toho bude nová úroveň piesku h = 10/4 = 2,5 cm.

Úloha 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravidelný hranol. Je známe, že BD = AB₁ = 6√2. Nájdite celkový povrch tela.

Aby ste ľahšie pochopili, ktoré prvky sú známe, môžete nakresliť obrázok.

Keďže hovoríme o pravidelnom hranole, môžeme usúdiť, že základňa je štvorec s uhlopriečkou 6√2. Uhlopriečka bočnej plochy má rovnakú hodnotu, preto má aj bočná plocha tvar štvorca rovnajúceho sa základni. Ukazuje sa, že všetky tri rozmery - dĺžka, šírka a výška - sú rovnaké. Môžeme konštatovať, že ABCDA₁B₁C₁D₁ je kocka.

Dĺžka ktorejkoľvek hrany je určená pomocou známej uhlopriečky:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Celkový povrch sa zistí podľa vzorca pre kocku:

Plný = 6a² = 662 = 216

Úloha 3.

V izbe prebieha rekonštrukcia. Je známe, že jeho podlaha má tvar štvorca s rozlohou 9 m². Výška miestnosti je 2,5 m Aké sú najnižšie náklady na tapetovanie miestnosti, ak 1 m² stojí 50 rubľov?

Keďže podlaha a strop sú štvorce, teda pravidelné štvoruholníky a jej steny sú kolmé na vodorovné plochy, môžeme usúdiť, že ide o pravidelný hranol. Je potrebné určiť plochu jeho bočného povrchu.

Dĺžka miestnosti je a = √9 = 3 m.

Námestie bude pokryté tapetou Strana strany = 4 3 2,5 = 30 m².

Najnižšie náklady na tapety pre túto miestnosť budú 50 30 = 1 500 rubľov.

Na riešenie úloh pre pravouhlý hranol teda stačí vedieť vypočítať obsah a obvod štvorca a obdĺžnika, ako aj poznať vzorce na zistenie objemu a povrchu.

Ako nájsť plochu kocky