Rešebnik Kuznecov.
III Grafy

Úloha 7. Vykonajte kompletnú štúdiu funkcie a zostavte jej graf.

        Skôr než začnete sťahovať svoje možnosti, skúste problém vyriešiť podľa nižšie uvedenej ukážky pre možnosť 3. Niektoré možnosti sú archivované vo formáte .rar

        7.3 Vykonajte kompletnú štúdiu funkcie a zakreslite ju

Riešenie.

        1) Rozsah:         alebo         t.j.        .
.
Teda:         .

        2) Neexistujú žiadne priesečníky s osou Ox. V skutočnosti rovnica         nemá žiadne riešenia.
Neexistujú žiadne priesečníky s osou Oy, pretože        .

        3) Funkcia nie je párna ani nepárna. Neexistuje žiadna symetria okolo osi y. Ani o pôvode nie je symetria. Pretože
.
Vidíme, že         a        .

        4) Funkcia je spojitá v doméne
.

; .

; .
Preto je bod         bodom diskontinuity druhého druhu (nekonečná diskontinuita).

5) Vertikálne asymptoty:       

Nájdite šikmú asymptotu        . Tu

;
.
Preto máme horizontálnu asymptotu: y=0. Neexistujú žiadne šikmé asymptoty.

        6) Nájdite prvú deriváciu. Prvá derivácia:
.
A preto
.
Nájdite stacionárne body, kde sa derivácia rovná nule, tzn
.

        7) Nájdite druhú deriváciu. Druhý derivát:
.
A to je ľahké overiť, pretože

Úlohou je: vykonať kompletnú štúdiu funkcie a zostaviť jej graf.

Každý študent prešiel podobnými úlohami.

To, čo nasleduje, predpokladá dobré znalosti. Ak máte nejaké otázky, odporúčame vám prečítať si túto časť.

Algoritmus výskumu funkcií pozostáva z nasledujúcich krokov.

Nájdenie rozsahu funkcie.

Toto je veľmi dôležitý krok pri štúdiu funkcie, pretože všetky ďalšie činnosti sa budú vykonávať v oblasti definície.

V našom príklade musíme nájsť nuly menovateľa a vylúčiť ich z oblasti reálnych čísel.



(V iných príkladoch môžu byť korene, logaritmy atď. Pripomeňme, že v týchto prípadoch sa doména hľadá takto:
pre odmocninu párneho stupňa, napríklad, - doména definície sa nájde z nerovnosti ;
pre logaritmus - definičný obor sa zistí z nerovnosti ).

Skúmanie správania sa funkcie na hranici definičného oboru, hľadanie vertikálnych asymptot.

Na hraniciach definičného oboru má funkcia vertikálne asymptoty, ak sú v týchto hraničných bodoch nekonečné.

V našom príklade sú hraničné body oblasti definície .

Skúmame správanie funkcie pri približovaní sa k týmto bodom zľava a sprava, pre ktoré nájdeme jednostranné limity:


Keďže jednostranné limity sú nekonečné, čiary sú zvislé asymptoty grafu.

Vyšetrovanie funkcie pre párnu alebo nepárnu paritu.

Funkcia je dokonca, ak . Parita funkcie udáva symetriu grafu okolo osi y.

Funkcia je zvláštny, ak . Nepárnosť funkcie udáva symetriu grafu vzhľadom na počiatok.

Ak nie je splnená žiadna z rovnosti, máme funkciu všeobecného tvaru.

V našom príklade platí rovnosť, preto je naša funkcia párna. Zohľadníme to pri vykresľovaní grafu - bude symetrický podľa osi y.

Hľadanie intervalov rastúcich a klesajúcich funkcií, extrémne body.

Intervaly nárastu a poklesu sú riešeniami nerovností resp.

Body, v ktorých derivácia mizne, sa nazývajú stacionárne.

Kritické body funkcie volajte vnútorné body definičného oboru, v ktorom je derivácia funkcie rovná nule alebo neexistuje.

KOMENTÁR(či zahrnúť kritické body do intervalov nárastu a poklesu).

Kritické body zahrnieme do vzostupných a zostupných intervalov, ak patria do oblasti funkcie.

Touto cestou, určiť intervaly nárastu a poklesu funkcie

• najprv nájdeme derivát;
• po druhé, nájdeme kritické body;
• po tretie, oblasť definície rozdeľujeme podľa kritických bodov na intervaly;
• po štvrté, určíme znamienko derivácie na každom z intervalov. Znamienko plus bude zodpovedať intervalu zvyšovania, znamienko mínus - intervalu poklesu.

Choď!

Deriváciu nájdeme na doméne definície (v prípade ťažkostí pozri časť).


Nájdeme na to kritické body:

Tieto body umiestnime na číselnú os a určíme znamienko derivácie vo vnútri každého výsledného intervalu. Prípadne môžete vziať ľubovoľný bod v intervale a vypočítať hodnotu derivácie v tomto bode. Ak je hodnota kladná, vložte znamienko plus nad tento interval a prejdite na ďalší, ak je záporná, zadajte mínus atď. Napríklad, , preto dáme plus nad prvý interval vľavo.


Dospeli sme k záveru:

Schematicky plusy / mínusy označujú intervaly, v ktorých je derivácia kladná / záporná. Vzostupné / zostupné šípky ukazujú vzostupný / zostupný smer.

extrémnych bodov funkcie sú body, v ktorých je funkcia definovaná a prechádza cez ktoré derivácia mení znamienko.

V našom príklade je extrémny bod x=0. Hodnota funkcie v tomto bode je . Keďže derivácia pri prechode bodom x=0 mení znamienko z plus na mínus, potom (0; 0) je lokálny maximálny bod. (Ak by derivácia zmenila znamienko z mínus na plus, potom by sme mali lokálny minimálny bod).

Hľadanie intervalov konvexnosti a konkávnosti funkcie a inflexných bodov.

Intervaly konkávnosti a konvexnosti funkcie sa zistia riešením nerovníc, resp.

Niekedy sa konkávnosť nazýva klesajúca konvexnosť a konvexita sa nazýva vzostupná konvexnosť.

Aj tu platia poznámky podobné tým z odseku o intervaloch nárastu a poklesu.

Touto cestou, určiť rozsahy konkávnosti a konvexnosti funkcie:

• najprv nájdeme druhú deriváciu;
• po druhé, nájdeme nuly čitateľa a menovateľa druhej derivácie;
• po tretie, doménu definície rozdelíme získanými bodmi na intervaly;
• po štvrté, určíme znamienko druhej derivácie na každom z intervalov. Znamienko plus bude zodpovedať intervalu konkávnosti, znamienko mínus - konvexnému intervalu.

Choď!

Druhú deriváciu nájdeme na doméne definície.


V našom príklade neexistujú žiadne nuly v čitateli, menovateli nuly.

Tieto body umiestnime na reálnu os a určíme znamienko druhej derivácie vo vnútri každého výsledného intervalu.



Dospeli sme k záveru:

Pointa sa volá inflexný bod, ak v danom bode existuje dotyčnica ku grafu funkcie a druhá derivácia funkcie pri prechode mení znamienko .

Inými slovami, inflexné body môžu byť body, cez ktoré druhá derivácia mení znamienko, v bodoch samých sa rovná nule alebo neexistujú, ale tieto body sú zahrnuté v definičnom obore funkcie.

V našom príklade neexistujú žiadne inflexné body, pretože druhá derivácia pri prechode bodmi mení znamienko a nie sú zahrnuté v definičnom obore funkcie.

Hľadanie vodorovných a šikmých asymptot.

Horizontálne alebo šikmé asymptoty by sa mali hľadať iba vtedy, keď je funkcia definovaná v nekonečne.

Šikmé asymptoty sa hľadajú vo forme priamych čiar , kde a .

Ak k=0 a b sa nerovná nekonečnu, potom sa stane šikmá asymptota horizontálne.

Kto sú vlastne tieto asymptoty?

Sú to čiary, ku ktorým sa graf funkcie približuje v nekonečne. Preto veľmi pomáhajú pri vykresľovaní funkcie.

Ak neexistujú žiadne horizontálne alebo šikmé asymptoty, ale funkcia je definovaná v plus nekonečne a/alebo mínus nekonečne, potom by sa mala vypočítať limita funkcie v plus nekonečne a/alebo mínus nekonečne, aby ste získali predstavu o správaní graf funkcie.

Pre náš príklad

je horizontálna asymptota.

Tým je štúdium funkcie ukončené, pristúpime k vykresľovaniu.

Hodnoty funkcií vypočítame v medziľahlých bodoch.

Pre presnejšie vykresľovanie odporúčame nájsť niekoľko funkčných hodnôt v medziľahlých bodoch (to znamená v ľubovoľných bodoch z oblasti definície funkcie).

Pre náš príklad nájdime hodnoty funkcie v bodoch x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4. Vďaka parite funkcie sa tieto hodnoty budú zhodovať s hodnotami v bodoch x=2, x=1, x=3/4, x=1/4.


Zostavenie grafu.

Najprv zostavíme asymptoty, vykreslíme body lokálnych maxím a miním funkcie, inflexné body a medziľahlé body. Pre pohodlie vykresľovania môžete použiť aj schematické označenie intervalov nárastu, poklesu, konvexnosti a konkávnosti, nie nadarmo sme študovali funkciu =).


Zostáva nakresliť čiary grafu cez označené body, priblížiť sa k asymptotám a sledovať šípky.


S týmto majstrovským dielom výtvarného umenia je úloha úplného preskúmania funkcie a kreslenia dokončená.

Grafy niektorých elementárnych funkcií je možné zostaviť pomocou grafov základných elementárnych funkcií.

Ak je v úlohe potrebné vykonať úplnú štúdiu funkcie f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 s konštrukciou jej grafu, potom tento princíp podrobne zvážime.

Na vyriešenie problému tohto typu je potrebné použiť vlastnosti a grafy hlavných elementárnych funkcií. Algoritmus výskumu zahŕňa nasledujúce kroky:

Nájdenie domény definície

Keďže výskum sa vykonáva na doméne funkcie, je potrebné začať týmto krokom.

Príklad 1

Uvedený príklad zahŕňa nájdenie núl menovateľa s cieľom vylúčiť ich z DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; +∞

V dôsledku toho môžete získať korene, logaritmy atď. Potom možno ODZ hľadať pre koreň párneho stupňa typu g (x) 4 pomocou nerovnosti g (x) ≥ 0 , pre logaritmus log a g (x) pomocou nerovnosti g (x) > 0 .

Skúmanie hraníc ODZ a hľadanie vertikálnych asymptot

Na hraniciach funkcie sú vertikálne asymptoty, kedy sú jednostranné limity v takýchto bodoch nekonečné.

Príklad 2

Uvažujme napríklad hraničné body rovné x = ± 1 2 .

Potom je potrebné študovať funkciu na nájdenie jednostrannej limity. Potom dostaneme, že: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = limit x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ limit x → 1 2 - 0 f (x) = limit x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = limit x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

To ukazuje, že jednostranné limity sú nekonečné, čo znamená, že čiary x = ± 1 2 sú zvislé asymptoty grafu.

Vyšetrenie funkcie a pre párne alebo nepárne

Keď je splnená podmienka y (- x) = y (x), funkcia sa považuje za párnu. To naznačuje, že graf je umiestnený symetricky vzhľadom na O y. Keď je splnená podmienka y (- x) = - y (x), funkcia sa považuje za nepárnu. To znamená, že symetria ide vzhľadom na pôvod súradníc. Ak zlyhá aspoň jedna nerovnosť, získame funkciu všeobecného tvaru.

Splnenie rovnosti y (- x) = y (x) znamená, že funkcia je párna. Pri konštrukcii je potrebné počítať s tým, že vzhľadom na O y bude symetria.

Na vyriešenie nerovnosti sa používajú intervaly nárastu a poklesu s podmienkami f "(x) ≥ 0 a f" (x) ≤ 0.

Definícia 1

Stacionárne body sú body, ktoré otočia deriváciu na nulu.

Kritické body sú vnútorné body z oblasti, kde sa derivácia funkcie rovná nule alebo neexistuje.

Pri rozhodovaní je potrebné vziať do úvahy nasledujúce body:

• pre existujúce intervaly nárastu a poklesu nerovnosti tvaru f"(x) > 0 nie sú kritické body zahrnuté do riešenia;
• body, v ktorých je funkcia definovaná bez konečnej derivácie, musia byť zahrnuté do intervalov nárastu a poklesu (napríklad y \u003d x 3, kde bod x \u003d 0 robí funkciu definovanú, derivácia má hodnotu nekonečna v tomto bode je y " \u003d 1 3 x 2 3, y " (0) = 1 0 = ∞, x = 0 zahrnuté do intervalu nárastu);
• aby sa predišlo nezhodám, odporúča sa používať matematickú literatúru, ktorú odporúča ministerstvo školstva.

Zahrnutie kritických bodov do intervalov zvyšovania a znižovania v prípade, že spĺňajú definičný obor funkcie.

Definícia 2

Pre určenie intervalov nárastu a poklesu funkcie, je potrebné nájsť:

• derivát;
• kritické body;
• rozdeliť oblasť definície pomocou kritických bodov na intervaly;
• určite znamienko derivácie v každom z intervalov, kde + je nárast a - je pokles.

Príklad 3

Nájdite deriváciu na doméne f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Riešenie

Na vyriešenie potrebujete:

• nájdite stacionárne body, tento príklad má x = 0 ;
• nájdite nuly menovateľa, príklad má hodnotu nula v x = ± 1 2 .

Vystavíme body na číselnej osi, aby sme určili deriváciu na každom intervale. Na to stačí zobrať ľubovoľný bod z intervalu a vykonať výpočet. Ak je výsledok kladný, nakreslíme do grafu +, čo znamená zvýšenie funkcie a - znamená jej pokles.

Napríklad f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, čo znamená, že prvý interval vľavo má znamienko +. Zvážte číslo riadok.

odpoveď:

• dochádza k nárastu funkcie na intervale - ∞ ; -12 a (-12; 0];
• dochádza k poklesu na intervale [0; 12) a 12; +∞ .

V diagrame je pomocou + a - znázornená pozitivita a negativita funkcie a šípky označujú klesanie a zvyšovanie.

Extrémne body funkcie sú body, kde je funkcia definovaná a cez ktoré derivácia mení znamienko.

Príklad 4

Ak vezmeme do úvahy príklad, kde x \u003d 0, potom hodnota funkcie v ňom je f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Keď sa znamienko derivácie zmení z + na - a prechádza bodom x \u003d 0, za maximálny bod sa považuje bod so súradnicami (0; 0). Keď sa znamienko zmení z - na +, dostaneme minimálny bod.

Konvexnosť a konkávnosť sú určené riešením nerovníc tvaru f "" (x) ≥ 0 a f "" (x) ≤ 0 . Menej často používajú názov vydutie nadol namiesto konkávnosti a vydutie nahor namiesto vydutie.

Definícia 3

Pre určenie medzier konkávnosti a konvexnosti potrebné:

• nájsť druhú deriváciu;
• nájdite nuly funkcie druhej derivácie;
• zlomiť doménu definície bodmi, ktoré sa objavujú v intervaloch;
• určiť znamienko medzery.

Príklad 5

Nájdite druhú deriváciu z oblasti definície.

Riešenie

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Nájdeme nuly čitateľa a menovateľa, kde pomocou nášho príkladu platí, že nuly menovateľa x = ± 1 2

Teraz musíte umiestniť body na číselnú os a určiť znamienko druhej derivácie z každého intervalu. Chápeme to

odpoveď:

• funkcia je konvexná z intervalu - 1 2 ; 12;
• funkcia je konkávna z medzier - ∞ ; - 12 a 12; +∞ .

Definícia 4

inflexný bod je bod v tvare x 0 ; f(x0) . Keď má dotyčnicu ku grafu funkcie, potom keď prechádza cez x 0, funkcia zmení znamienko na opačné.

Inými slovami, toto je taký bod, cez ktorý prechádza druhá derivácia a mení znamienko a v samotných bodoch sa rovná nule alebo neexistuje. Všetky body sa považujú za doménu funkcie.

V príklade bolo vidieť, že neexistujú žiadne inflexné body, pretože druhá derivácia mení znamienko pri prechode cez body x = ± 1 2 . Na druhej strane nie sú zahrnuté do oblasti definície.

Hľadanie horizontálnych a šikmých asymptot

Pri definovaní funkcie v nekonečne treba hľadať vodorovné a šikmé asymptoty.

Definícia 5

Šikmé asymptoty sú nakreslené pomocou čiar daných rovnicou y = k x + b, kde k = lim x → ∞ f (x) x a b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Pre k = 0 a b, ktoré sa nerovná nekonečnu, zistíme, že šikmá asymptota sa stáva horizontálne.

Inými slovami, asymptoty sú čiary, ku ktorým sa graf funkcie približuje v nekonečne. To prispieva k rýchlej konštrukcii grafu funkcie.

Ak neexistujú žiadne asymptoty, ale funkcia je definovaná v oboch nekonečnách, je potrebné vypočítať limitu funkcie v týchto nekonečnách, aby sme pochopili, ako sa bude graf funkcie správať.

Príklad 6

Zvážte to napríklad

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

je horizontálna asymptota. Po preskúmaní funkcie ju môžete začať budovať.

Výpočet hodnoty funkcie v medziľahlých bodoch

Aby bolo vykresľovanie čo najpresnejšie, odporúča sa nájsť niekoľko hodnôt funkcie v medziľahlých bodoch.

Príklad 7

Z príkladu, ktorý sme zvážili, je potrebné nájsť hodnoty funkcie v bodoch x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Keďže funkcia je párna, dostaneme, že hodnoty sa zhodujú s hodnotami v týchto bodoch, to znamená, že dostaneme x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Napíšeme a vyriešime:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Na určenie maxím a miním funkcie, inflexných bodov, medziľahlých bodov je potrebné postaviť asymptoty. Pre pohodlné označenie sú stanovené intervaly nárastu, poklesu, konvexnosti, konkávnosti. Zvážte obrázok nižšie.

Cez označené body je potrebné nakresliť čiary grafu, ktoré vám umožnia priblížiť sa k asymptotám podľa šípok.

Týmto sa kompletná štúdia funkcie končí. Existujú prípady konštrukcie niektorých elementárnych funkcií, na ktoré sa používajú geometrické transformácie.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Ako vyšetriť funkciu a vykresliť jej graf?

Zdá sa, že začínam chápať oduševnenú tvár vodcu svetového proletariátu, autora súhrnných diel v 55 zväzkoch .... Dlhá cesta začala základnými informáciami o funkcie a grafy, a teraz práca na prácnej téme končí prirodzeným výsledkom – článkom o úplnej funkčnej štúdii. Dlho očakávaná úloha je formulovaná takto:

Skúmajte funkciu metódami diferenciálneho počtu a na základe výsledkov štúdie zostavte jej graf

Alebo v skratke: preskúmajte funkciu a zakreslite ju.

Prečo skúmať? V jednoduchých prípadoch pre nás nebude ťažké zaoberať sa elementárnymi funkciami, nakresliť graf získaný pomocou elementárne geometrické transformácie atď. Vlastnosti a grafické znázornenia zložitejších funkcií však zďaleka nie sú zrejmé, a preto je potrebná celá štúdia.

Hlavné kroky riešenia sú zhrnuté v referenčnom materiáli Funkčná študijná schéma, toto je váš sprievodca sekciou. Dummy potrebujú vysvetlenie témy krok za krokom, niektorí čitatelia nevedia, kde začať a ako si zorganizovať štúdium, a pokročilých môže zaujímať len pár bodov. Ale nech ste ktokoľvek, milý návštevník, navrhované zhrnutie s ukazovateľmi na rôzne lekcie vás v čo najkratšom čase zorientuje a nasmeruje v smere záujmu. Roboti uronili slzu =) Návod bol vytvorený vo forme pdf súboru a zaujal svoje miesto na stránke Matematické vzorce a tabuľky.

Štúdium funkcie som zvykol rozdeliť na 5-6 bodov:

6) Ďalšie body a graf na základe výsledkov štúdie.

Pokiaľ ide o záverečnú akciu, myslím si, že každý rozumie všetkému - bude veľkým sklamaním, ak sa v priebehu niekoľkých sekúnd prečiarkne a úloha sa vráti na prepracovanie. SPRÁVNY A PRESNÝ NÁKRES je hlavným výsledkom riešenia! Je veľmi pravdepodobné, že „zakryje“ analytické prehliadky, pričom nesprávny a/alebo nedbalý harmonogram spôsobí problémy aj pri perfektne vykonanej štúdii.

Treba poznamenať, že v iných zdrojoch sa počet výskumných položiek, poradie ich implementácie a štýl dizajnu môžu výrazne líšiť od mnou navrhnutej schémy, ale vo väčšine prípadov je to dosť. Najjednoduchšia verzia úlohy pozostáva iba z 2-3 etáp a je formulovaná asi takto: „preskúmajte funkciu pomocou derivácie a grafu“ alebo „preskúmajte funkciu pomocou 1. a 2. derivácie, grafu“.

Prirodzene, ak je vo vašom tréningovom manuáli podrobne analyzovaný iný algoritmus alebo váš učiteľ striktne vyžaduje, aby ste sa držali jeho prednášok, budete musieť v riešení vykonať určité úpravy. Nie je to o nič zložitejšie ako vymeniť vidličku za lyžicu motorovej píly.

Skontrolujeme funkciu pre párne / nepárne:

Potom nasleduje šablóna odhlásenia:
, takže táto funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

Keďže funkcia je spojitá na , neexistujú žiadne vertikálne asymptoty.

Neexistujú ani šikmé asymptoty.

Poznámka : Pripomínam, že čím vyššie poradie rastu než , takže konečný limit je presne " plus nekonečno."

Poďme zistiť, ako sa funkcia správa v nekonečne:

Inými slovami, ak ideme doprava, potom graf ide nekonečne ďaleko nahor, ak ideme doľava, nekonečne dole. Áno, pod jedným záznamom sú aj dva limity. Ak máte problémy s dešifrovaním znakov, navštívte lekciu o nekonečne malé funkcie.

Takže funkcia nie je zhora obmedzený a nie je obmedzená zdola. Vzhľadom na to, že nemáme body zlomu, je jasné a funkčný rozsah: je tiež akékoľvek reálne číslo.

UŽITOČNÁ TECHNIKA

Každý krok úlohy prináša nové informácie o grafe funkcie, tak v priebehu riešenia je vhodné použiť akýsi LAYOUT. Nakreslíme na výkres karteziánsky súradnicový systém. Čo je známe s istotou? Po prvé, graf nemá žiadne asymptoty, preto nie je potrebné kresliť priame čiary. Po druhé, vieme, ako sa funkcia správa v nekonečne. Podľa analýzy nakreslíme prvú aproximáciu:

Všimnite si, že v skutočnosti kontinuita zapnutá funkcia a skutočnosť, že graf musí aspoň raz preťať os. Alebo možno existuje niekoľko priesečníkov?

3) Nuly funkcie a intervaly konštantného znamienka.

Najprv nájdite priesečník grafu s osou y. Je to jednoduché. Je potrebné vypočítať hodnotu funkcie, keď:

Polovica nad morom.

Ak chcete nájsť priesečníky s osou (nuly funkcie), musíte vyriešiť rovnicu a tu nás čaká nepríjemné prekvapenie:

Na konci číha voľný člen, čo značne komplikuje úlohu.

Takáto rovnica má aspoň jeden skutočný koreň a najčastejšie je tento koreň iracionálny. V najhoršej rozprávke nás čakajú tri prasiatka. Rovnica je riešiteľná pomocou tzv Cardanove vzorce, ale poškodenie papiera je porovnateľné s takmer celou štúdiou. V tomto ohľade je múdrejšie ústne alebo na návrh pokúsiť sa vyzdvihnúť aspoň jeden celý koreň. Pozrime sa, či sú tieto čísla:
- nesedí;
- existuje!

Tu je šťastie. V prípade zlyhania môžete tiež testovať a ak tieto čísla nebudú sedieť, obávam sa, že existuje len veľmi malá šanca na ziskové riešenie rovnice. Potom je lepšie bod výskumu úplne preskočiť - možno sa niečo vyjasní v poslednom kroku, keď sa prelomia ďalšie body. A ak sú koreň (korene) jednoznačne „zlé“, potom je lepšie skromne mlčať o intervaloch stálosti znakov a presnejšie dokončiť kresbu.

Máme však krásny koreň, preto polynóm rozdelíme bez zvyšku:

Algoritmus delenia polynómu polynómom je podrobne diskutovaný v prvom príklade lekcie. Komplexné limity.

Výsledkom je ľavá strana pôvodnej rovnice expanduje do produktu:

A teraz trochu o zdravom životnom štýle. Samozrejme tomu rozumiem kvadratické rovnice treba riešiť každý deň, ale dnes urobíme výnimku: rovnicu má dva skutočné korene.

Na číselnú os vynesieme zistené hodnoty a intervalová metóda definujte znaky funkcie:


og Teda na intervaloch graf umiestnený
pod osou x a v intervaloch - nad touto osou.

Výsledné zistenia nám umožňujú spresniť naše rozloženie a druhá aproximácia grafu vyzerá takto:

Upozorňujeme, že funkcia musí mať aspoň jedno maximum na intervale a aspoň jedno minimum na intervale. Nevieme však, koľkokrát, kde a kedy sa harmonogram „namotá“. Mimochodom, funkcia môže mať nekonečne veľa extrémy.

4) Zvyšovanie, znižovanie a extrémy funkcie.

Poďme nájsť kritické body:

Táto rovnica má dva skutočné korene. Položme ich na číselnú os a určme znamienka derivácie:


Preto sa funkcia zvyšuje o a zníži sa o .
V okamihu, keď funkcia dosiahne svoje maximum: .
V okamihu, keď funkcia dosiahne svoje minimum: .

Zistené fakty posúvajú našu šablónu do pomerne tuhého rámca:

Netreba dodávať, že diferenciálny počet je silná vec. Poďme sa konečne zaoberať tvarom grafu:

5) Konvexnosť, konkávnosť a inflexné body.

Nájdite kritické body druhej derivácie:

Definujme znaky:


Graf funkcie je konvexný na a konkávny na . Vypočítajme súradnicu inflexného bodu: .

Takmer všetko sa vyčistilo.

6) Zostáva nájsť ďalšie body, ktoré pomôžu presnejšie zostaviť graf a vykonať autotest. V tomto prípade je ich málo, ale nezanedbávame:

Vykonajte kreslenie:

Inflexný bod je označený zelenou farbou, ďalšie body sú označené krížikmi. Graf kubickej funkcie je symetrický okolo jej inflexného bodu, ktorý sa nachádza vždy presne v strede medzi maximom a minimom.

V priebehu zadania som dal tri hypotetické medzikresby. V praxi stačí nakresliť súradnicový systém, označiť nájdené body a po každom bode štúdia v duchu vymyslieť, ako by mohol vyzerať graf funkcie. Pre študentov s dobrou úrovňou prípravy nebude ťažké vykonať takúto analýzu len vo svojej mysli bez toho, aby zahŕňali návrh.

Pre samostatné riešenie:

Príklad 2

Preskúmajte funkciu a vytvorte graf.

Všetko je tu rýchlejšie a zábavnejšie, približný príklad ukončenia na konci hodiny.

Štúdium zlomkových racionálnych funkcií odhaľuje veľa tajomstiev:

Príklad 3

Pomocou metód diferenciálneho počtu skúmajte funkciu a na základe výsledkov štúdie zostrojte jej graf.

Riešenie: prvá etapa štúdie sa nelíši v ničom pozoruhodnom, s výnimkou diery v oblasti definície:

1) Funkcia je definovaná a spojitá na celej číselnej osi okrem bodu , domény: .

, takže táto funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

Je zrejmé, že funkcia je neperiodická.

Graf funkcie pozostáva z dvoch súvislých vetiev umiestnených v ľavej a pravej polrovine – to je snáď najdôležitejší záver 1. odseku.

2) Asymptoty, správanie sa funkcie v nekonečne.

a) Pomocou jednostranných limitov študujeme správanie funkcie v blízkosti podozrivého bodu, kde vertikálna asymptota musí byť jednoznačne:

Funkcie skutočne vydržia nekonečná medzera v bode
a priamka (os) je vertikálna asymptota grafické umenie.

b) Skontrolujte, či existujú šikmé asymptoty:

Áno, čiara je šikmá asymptota grafika ak .

Nemá zmysel analyzovať limity, pretože už je jasné, že funkcia v objatí so svojou šikmou asymptotou nie je zhora obmedzený a nie je obmedzená zdola.

Druhý bod štúdie priniesol veľa dôležitých informácií o funkcii. Urobme si hrubý náčrt:

Záver č. 1 sa týka intervalov stálosti znamienka. V "mínus nekonečne" je graf funkcie jednoznačne umiestnený pod osou x a v "plus nekonečne" je nad touto osou. Jednostranné limity nám navyše povedali, že vľavo aj vpravo od bodu je funkcia tiež väčšia ako nula. Upozorňujeme, že v ľavej polrovine musí graf aspoň raz pretínať os x. V pravej polrovine nemusia byť žiadne nuly funkcie.

Záver č. 2 je, že funkcia sa zvyšuje na a naľavo od bodu (prechádza „zdola nahor“). Napravo od tohto bodu sa funkcia znižuje (prechádza „zhora nadol“). Pravá vetva grafu musí mať určite aspoň jedno minimum. Vľavo nie sú zaručené extrémy.

Záver č. 3 poskytuje spoľahlivé informácie o konkávnosti grafu v blízkosti bodu. O konvexnosti/konkávnosti v nekonečne zatiaľ nemôžeme povedať nič, keďže priamku je možné pritlačiť k jej asymptote zhora aj zdola. Vo všeobecnosti existuje analytický spôsob, ako to zistiť práve teraz, ale tvar grafu „za nič“ bude jasnejší v neskoršej fáze.

Prečo toľko slov? Kontrolovať následné výskumné body a vyhnúť sa chybám! Ďalšie výpočty by nemali byť v rozpore s vyvodenými závermi.

3) Priesečníky grafu so súradnicovými osami, intervaly konštantného znamienka funkcie.

Graf funkcie nepretína os.

Pomocou intervalovej metódy určíme znamienka:

, ak ;
, ak .

Výsledky odseku sú plne v súlade so záverom č.1. Po každom kroku si pozrite návrh, v duchu sa pozrite na štúdiu a dokončite kreslenie grafu funkcie.

V tomto príklade je čitateľ rozdelený po členoch podľa menovateľa, čo je veľmi výhodné na rozlíšenie:

V skutočnosti sa to už urobilo pri hľadaní asymptot.

- kritický bod.

Definujme znaky:

zvyšuje o a znižuje sa na

V okamihu, keď funkcia dosiahne svoje minimum: .

Nezistili sa ani žiadne nezrovnalosti so záverom č. 2 a s najväčšou pravdepodobnosťou sme na správnej ceste.

To znamená, že graf funkcie je konkávny v celej oblasti definície.

Výborne - a nemusíte nič kresliť.

Neexistujú žiadne inflexné body.

Konkávnosť je v súlade so záverom č. 3, navyše naznačuje, že v nekonečne (tam aj tam) sa graf funkcie nachádza vyššie jeho šikmá asymptota.

6) Úlohu svedomito pripneme ďalšími bodmi. Tu musíme tvrdo pracovať, pretože zo štúdie poznáme len dva body.

A obrázok, ktorý pravdepodobne mnohí už dlho prezentovali:

V priebehu zadania treba dbať na to, aby medzi jednotlivými fázami štúdia neboli rozpory, no niekedy je situácia naliehavá až zúfalo slepá. Tu sa analytika „nezbližuje“ – a to je všetko. V tomto prípade odporúčam núdzovú techniku: nájdeme čo najviac bodov patriacich do grafu (koľko trpezlivosti stačí) a označíme ich na súradnicovej rovine. Grafická analýza zistených hodnôt vo väčšine prípadov napovie, kde je pravda a kde lož. Okrem toho môže byť graf vopred vytvorený pomocou nejakého programu, napríklad v rovnakom Exceli (je jasné, že to vyžaduje zručnosti).

Príklad 4

Pomocou metód diferenciálneho počtu preskúmajte funkciu a zostavte jej graf.

Toto je príklad „urob si sám“. V ňom je sebakontrola umocnená rovnomernosťou funkcie – graf je symetrický okolo osi a ak niečo vo vašej štúdii odporuje tejto skutočnosti, hľadajte chybu.

Párnu alebo nepárnu funkciu možno skúmať iba pre , a potom je možné použiť symetriu grafu. Toto riešenie je optimálne, ale podľa mňa vyzerá veľmi neobvykle. Osobne beriem do úvahy celú číselnú os, ale ďalšie body stále nachádzam iba vpravo:

Príklad 5

Vykonajte úplnú štúdiu funkcie a nakreslite jej graf.

Riešenie: prudko sa ponáhľal:

1) Funkcia je definovaná a spojitá na celej reálnej čiare: .

To znamená, že táto funkcia je nepárna, jej graf je symetrický vzhľadom na počiatok.

Je zrejmé, že funkcia je neperiodická.

2) Asymptoty, správanie sa funkcie v nekonečne.

Keďže funkcia je spojitá na , neexistujú žiadne vertikálne asymptoty

Typicky pre funkciu obsahujúcu exponent oddelenéštúdium „plus“ a „mínus nekonečna“ nám však život uľahčuje práve symetria grafu – buď je asymptota vľavo a vpravo, alebo nie je. Preto môžu byť obe nekonečné limity usporiadané pod jednou položkou. V priebehu riešenia používame L'Hopitalovo pravidlo:

Priamka (os) je horizontálna asymptota grafu v .

Venujte pozornosť tomu, ako som sa šikovne vyhol úplnému algoritmu na nájdenie šikmej asymptoty: limita je celkom legálna a objasňuje správanie funkcie v nekonečne a horizontálna asymptota bola nájdená „akoby súčasne“.

Z kontinuity a existencie horizontálnej asymptoty vyplýva, že funkcia obmedzené zhora a obmedzené zdola.

3) Priesečníky grafu so súradnicovými osami, intervaly stálosti.

Tu tiež skrátime riešenie:
Graf prechádza cez počiatok.

Neexistujú žiadne ďalšie priesečníky so súradnicovými osami. Okrem toho sú intervaly stálosti zrejmé a os nemožno nakresliť: , čo znamená, že znamienko funkcie závisí iba od „x“:
, ak ;
, ak .

4) Zvyšovanie, znižovanie, extrémy funkcie.


sú kritické body.

Body sú symetrické okolo nuly, ako má byť.

Definujme znaky derivátu:


Funkcia sa v intervale zvyšuje a v intervaloch klesá

V okamihu, keď funkcia dosiahne svoje maximum: .

Kvôli majetku (zvláštnosť funkcie) minimum možno vynechať:

Pretože funkcia klesá na intervale , potom je graf samozrejme umiestnený v "mínus nekonečne" pod s jeho asymptotou. Na intervale funkcia tiež klesá, tu je to však naopak - po prechode maximálnym bodom sa úsečka približuje k osi zhora.

Z uvedeného tiež vyplýva, že graf funkcie je konvexný v „mínus nekonečne“ a konkávny v „plus nekonečne“.

Po tomto bode štúdie bola nakreslená aj oblasť hodnôt funkcie:

Ak by ste niektorým bodom neporozumeli, ešte raz vás vyzývam, aby ste si do zošita nakreslili súradnicové osi a s ceruzkou v rukách znova rozobrali každý záver zadania.

5) Konvexnosť, konkávnosť, inflexia grafu.

sú kritické body.

Symetria bodov je zachovaná a s najväčšou pravdepodobnosťou sa nemýlime.

Definujme znaky:


Graf funkcie je konvexný a konkávne ďalej .

Potvrdila sa konvexnosť/konkávnosť v extrémnych intervaloch.

Vo všetkých kritických bodoch sú v grafe inflexie. Poďme nájsť súradnice inflexných bodov, pričom opäť znížime počet výpočtov pomocou nepárnosti funkcie: