Obdĺžnik?

Riešenie. Od 2,88 dm2 \u003d 288 cm2 a 0,8 dm \u003d 8 cm je dĺžka obdĺžnika 288: 8, to znamená 36 cm \u003d 3,6 dm. Našli sme číslo 3,6 také, že 3,6 0,8 = 2,88. Je to podiel 2,88 delený 0,8.

Píšu: 2,88: 0,8 = 3,6.

Odpoveď 3.6 je možné získať bez prepočtu decimetrov na centimetre. Ak to chcete urobiť, vynásobte deliteľa 0,8 a deliteľa 2,88 číslom 10 (teda posuňte v nich čiarku o jednu číslicu doprava) a vydeľte 28,8 číslom 8. Opäť dostaneme: 28,8: 8 = 3,6.

Ak chcete deliť číslo desatinným zlomkom, potrebujete:

1) v deliteľovi a deliteľovi posuňte čiarku doprava o toľko číslic, koľko je za desatinnou čiarkou v deliteľovi;
2) potom vykonajte delenie prirodzeným číslom.

Príklad 1 Vydeľte 12,096 číslom 2,24. Posuňte čiarku o 2 číslice doprava v dividende a deliteľovi. Dostaneme čísla 1209,6 a 224. Keďže 1209,6: 224 = 5,4, potom 12,096: 2,24 = 5,4.

Príklad 2 Vydeľte 4,5 číslom 0,125. Tu je potrebné v dividende a deliteľovi posunúť čiarku o 3 číslice doprava. Keďže v dividende je za desatinnou čiarkou len jedna číslica, pripočítame k nej vpravo dve nuly. Po posunutí čiarky dostaneme čísla 4500 a 125. Od roku 4500: 125 = 36, potom 4,5: 0,125 = 36.

Z príkladov 1 a 2 je zrejmé, že keď je číslo delené nesprávnym zlomkom, toto číslo klesá alebo sa nemení, a keď je delené správnym desatinným zlomkom, zvyšuje sa: 12,096\u003e 5,4 a 4,5< 36.

Vydeľte 2,467 číslom 0,01. Po posunutí čiarky v dividende a deliteľovi o 2 číslice doprava dostaneme, že podiel je 246,7: 1, teda 246,7.

Preto a 2,467: 0,01 = 246,7. Odtiaľ dostaneme pravidlo:

Deliť desatinné číslo 0,1; 0,01; 0,001, čiarku v nej je potrebné posunúť doprava o toľko číslic, koľko je pred jednotkou v deliteľovi núl (teda vynásobiť ju 10, 100, 1000).

Ak nie je dostatok čísel, musíte najprv atribút na konci zlomky pár núl.

Napríklad 56,87: 0,0001 = 56,8700: 0,0001 = 568 700.

Formulujte pravidlo na delenie desatinného zlomku: desatinným zlomkom; o 0,1; 0,01; 0,001.
Aké číslo možno vynásobiť, aby sa nahradilo delenie 0,01?

1443. Nájdite kvocient a otestujte násobením:

a) 0,8 : 0,5; b) 3,51: 2,7; c) 14,335: 0,61.

1444. Nájdite kvocient a otestujte delením:

a) 0,096: 0,12; b) 0,126: 0,9; c) 42,105: 3,5.

a) 7,56: 0,6; g) 6,944: 3,2; m) 14,976: 0,72;
b) 0,161: 0,7; h) 0,0456: 3,8; o) 168,392: 5,6;
c) 0,468: 0,09; i) 0,182: 1,3; n) 24,576: 4,8;
d) 0,00261: 0,03; j) 131,67: 5,7; p) 16,51: 1,27;
e) 0,824: 0,8; k) 189,54: 0,78; c) 46,08: 0,384;
e) 10,5 : 3,5; m) 636: 0,12; t) 22,256: 20,8.

1446. Zapíšte si výrazy:

a) 10 - 2,4 x = 3,16; e) 4,2 p - p = 5,12;
b) (y + 26,1) 2,3 = 70,84; f) 8,2 t - 4,4 t = 38,38;
c) (z - 1,2): 0,6 = 21,1; g) (10,49 - s): 4,02 = 0,805;
d) 3,5 m + m = 9,9; h) 9k - 8,67k = 0,6699.

1460. V dvoch nádržiach bolo 119,88 ton benzínu. V prvej nádrži bolo viac benzínu ako v druhej, 1,7-krát. Koľko benzínu bolo v každej nádrži?

1461. Z troch chotárov sa zozbieralo 87,36 ton kapusty. Na prvom úseku sa zároveň vyzbieralo 1,4-krát viac a na druhom 1,8-krát viac ako na treťom. Koľko ton kapusty sa nazbieralo z každého pozemku?

1462. Kengura je 2,4-krát nižšia ako žirafa a žirafa je vyššia ako klokan 2,52 m. Aká je výška žirafy a aká je výška kengury?

1463. Dvaja chodci boli od seba vo vzdialenosti 4,6 km. Išli proti sebe a stretli sa o 0,8 hod. Nájdite rýchlosť každého chodca, ak rýchlosť jedného z nich je 1,3-násobkom rýchlosti druhého.

1464. Postupujte takto:

a) (130,2 - 30,8): 2,8 - 21,84:
b) 8,16: (1,32 + 3,48) - 0,345;
c) 3,712: (7 - 3,8) + 1,3 (2,74 + 0,66);
d) (3,4: 1,7 + 0,57: 1,9) 4,9 + 0,0825: 2,75;
e) (4,44: 3,7 - 0,56: 2,8): 0,25 - 0,8;
f) 10,79: 8,3 0,7 - 0,46 3,15: 6,9.

1465. Preveďte bežný zlomok na desatinné číslo a nájdite hodnotu výrazov:

1466. Vypočítaj ústne:

a) 25,5:5; b) 9 0,2; c) 0,3:2; d) 6,7 - 2,3;
1,5: 3; 1 0,1; 2:5; 6- 0,02;
4,7: 10; 16 0,01; 17,17: 17; 3,08 + 0,2;
0,48: 4; 24 0,3; 25,5: 25; 2,54 + 0,06;
0,9:100; 0,5 26; 0,8:16; 8,2-2,2.

1467. Nájdite dielo:

a) 0,1 0,1; d) 0,4 ± 0,4; g) 0,7 ± 0,001;
b) 1,3 1,4; e) 0,06 ± 0,8; h) 100 ± 0,09;
c) 0,3 ± 0,4; f) 0,01100; i) 0,3 0,3 0,3.

1468. Nález: 0,4 z počtu 30; 0,5 číslo 18; 0,1 čísla 6,5; 2,5 čísla 40; 0,12 číslo 100; 0,01 z 1000.

1469. Aký význam má výraz 5683,25a s a = 10; 0,1; 0,01; 100; 0,001; 1000; 0,00001?

1470. Zamyslite sa nad tým, ktoré z čísel môžu byť presné, ktoré sú približné:

a) v triede je 32 žiakov;
b) vzdialenosť z Moskvy do Kyjeva je 900 km;
c) hranol má 12 hrán;
d) dĺžka stola 1,3 m;
e) populácia Moskvy je 8 miliónov ľudí;
f) 0,5 kg múky vo vrecku;
g) rozloha ostrova Kuba je 105 000 km2;
h) v školskej knižnici je 10 000 kníh;
i) jedno rozpätie sa rovná 4 vershokom a vershok sa rovná 4,45 cm (vershok
dĺžka falangy ukazováka).

1471. Nájdite tri riešenia nerovnosti:

a) 1.2< х < 1,6; в) 0,001 < х < 0,002;
b) 2.1< х< 2,3; г) 0,01 <х< 0,011.

1472. Porovnajte bez výpočtu hodnoty výrazov:

a) 24 0,15 a (24 - 15): 100;

b) 0,084 0,5 a (84 5): 10 000.
Vysvetli svoju odpoveď.

1473. Zaokrúhlite čísla:

1474. Vykonajte rozdelenie:

a) 22,7:10; 23,3:10; 3,14:10; 9,6:10;
b) 304:100; 42,5:100; 2,5:100; 0,9:100; 0,03:100;
c) 143,4:12; 1,488:124; 0,3417:34; 159,9:235; 65,32:568.

1475. Cyklista vychádzal z obce rýchlosťou 12 km/h. Po 2 hodinách odišiel z tej istej obce do protismeru ďalší cyklista,
a rýchlosť druhého je 1,25-násobok rýchlosti prvého. Aká je vzdialenosť medzi nimi 3,3 hodiny po odchode druhého cyklistu?

1476. Vlastná rýchlosť člna je 8,5 km/h a rýchlosť prúdu 1,3 km/h. Ako ďaleko prejde loď s prúdom za 3,5 hodiny? Ako ďaleko prejde loď proti prúdu za 5,6 hodiny?

1477. Závod vyrobil 3,75 tisíc dielov a predal ich za cenu 950 rubľov. kúsok. Náklady na závod na výrobu jednej časti dosiahli 637,5 rubľov. Nájdite zisk, ktorý má továreň z predaja týchto dielov.

1478. Šírka pravouhlého rovnobežnostena je 7,2 cm, čo je Nájdite objem tohto políčka a zaokrúhlite svoju odpoveď na najbližšie celé číslo.

1479. Pápež Carlo sľúbil dať Pierovi 4 vojakov každý deň a Pinocchiovi 1 vojaka v prvý deň a 1 vojaka viac každý ďalší deň, ak sa bude správať dobre. Pinocchio bol urazený: rozhodol sa, že bez ohľadu na to, ako veľmi sa snaží, nikdy sa mu nepodarí získať toľko solida ako Pierrot. Zamyslite sa nad tým, či má Pinocchio pravdu.

1480. Do 3 skríň a 9 knižníc išlo 231 m dosiek a do skrine ide 4x viac materiálu ako do regálu. Koľko metrov dosiek ide do skrinky a koľko - do police?

1481. Vyriešte problém:
1) Prvé číslo je 6,3 a je to druhé číslo. Tretie číslo je druhé. Nájdite druhé a tretie číslo.

2) Prvé číslo je 8.1. Druhé číslo je z prvého čísla a z tretieho čísla. Nájdite druhé a tretie číslo.

1482. Nájdite hodnotu výrazu:

1) (7 - 5,38) 2,5;

2) (8 - 6,46) 1,5.

1483. Nájdite hodnotu súkromného:

a) 17,01: 6,3; d) 1,4245: 3,5; g) 0,02976: 0,024;
b) 1,598: 4,7; e) 193,2: 8,4; h) 11,59: 3,05;
c) 39,156: 7,8; e) 0,045: 0,18; i) 74,256: 18,2.

1484. Cesta z domu do školy je 1,1 km. Dievča prejde túto cestu za 0,25 hod.. Ako rýchlo dievča kráča?

1485. V dvojizbovom byte je plocha jednej izby 20,64 m 2 a plocha druhej izby je 2,4-krát menšia. Nájdite spolu plochu týchto dvoch miestností.

1486. ​​​​Motor spotrebuje 111 litrov paliva za 7,5 hodiny. Koľko litrov paliva spotrebuje motor za 1,8 hodiny?
1487. Kovová časť s objemom 3,5 dm3 má hmotnosť 27,3 kg. Ďalší predmet vyrobený z rovnakého kovu má hmotnosť 10,92 kg. Aký objem má druhá časť?

1488. Do nádrže sa nalialo 2,28 tony benzínu cez dve rúry. Prvým potrubím prechádzalo 3,6 tony benzínu za hodinu a bolo otvorené 0,4 hodiny. Ako dlho bolo otvorené druhé potrubie?

1489. Vyriešte rovnicu:

a) 2,136: (1,9 - x) = 7,12; c) 0,2 t + 1,7 t - 0,54 = 0,22;
b) 4,2 (0,8 + y) = 8,82; d) 5,6 g - 2z - 0,7 z + 2,65 = 7.

1490. Tovar s hmotnosťou 13,3 tony bol rozdelený medzi tri vozidlá. Prvé auto bolo naložené 1,3-krát viac a druhé - 1,5-krát viac ako tretie auto. Koľko ton tovaru sa naložilo na každé vozidlo?

1491. Dvaja chodci vyšli z toho istého miesta v rovnakom čase opačným smerom. Po 0,8 hodine sa vzdialenosť medzi nimi rovnala 6,8 km. Rýchlosť jedného chodca bola 1,5-krát väčšia ako rýchlosť druhého. Nájdite rýchlosť každého chodca.

1492. Vykonajte nasledovné:

a) (21,2544: 0,9 + 1,02 3,2): 5,6;
b) 4,36: (3,15 + 2,3) + (0,792 - 0,78) 350;
c) (3,91: 2,3 5,4 - 4,03) 2,4;
d) 6,93: (0,028 + 0,36 4,2) - 3,5.

1493. Do školy prišiel lekár a priniesol 0,25 kg séra na očkovanie. Koľkým deťom môže podať injekciu, ak každá injekcia vyžaduje 0,002 kg séra?

1494. Do predajne bolo privezených 2,8 tony perníka. Pred obedom sa predávali tieto perníčky. Koľko ton perníkov zostáva na predaj?

1495. Z kusu látky bolo odrezaných 5,6 m. Koľko metrov látky bolo v kuse, ak bol tento kus odrezaný?

N.Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matematika 5. ročník, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie

§ 107. Sčítanie desatinných zlomkov.

Pridávanie desatinných miest sa vykonáva rovnakým spôsobom ako pridávanie celých čísel. Pozrime sa na to na príkladoch.

1) 0,132 + 2,354. Podpíšme pojmy jeden pod druhým.

Tu sa zo súčtu 2 tisícin so 4 tisícinami získalo 6 tisícin;
z pripočítania 3 stotín s 5 stotinami vyšlo 8 stotín;
od pridania 1 desatiny s 3 desatinami -4 desatiny a
zo sčítania 0 celých čísel s 2 celými číslami - 2 celé čísla.

2) 5,065 + 7,83.

V druhom termíne nie sú tisíciny, preto je dôležité nepomýliť sa pri podpisovaní podmienok pod sebou.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Tu, keď pripočítame tisíciny, dostaneme 21 tisícin; napísali sme 1 pod tisíciny a 2 pridali k stotinám, takže na stom mieste sme dostali tieto výrazy: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; v súčte dávajú 19 stotín, my sme podpísali 9 pod stotiny a 1 sa počítala ako desatiny atď.

Pri sčítavaní desatinných zlomkov je teda potrebné dodržať nasledovné poradie: zlomky sa podpisujú pod sebou tak, že vo všetkých členoch sú pod sebou rovnaké číslice a všetky čiarky sú v rovnakom zvislom stĺpci; napravo od desatinných miest niektorých výrazov pripisujú, aspoň mentálne, taký počet núl, že všetky výrazy za desatinnou čiarkou majú rovnaký počet číslic. Potom sa vykoná sčítanie číslicami, počnúc od pravej strany a vo výslednom množstve sa čiarka umiestni do rovnakého zvislého stĺpca, ako je to v týchto výrazoch.

§ 108. Odčítanie desatinných zlomkov.

Odčítanie desatinných miest sa vykonáva rovnakým spôsobom ako odčítanie celých čísel. Ukážme si to na príkladoch.

1) 9,87 - 7,32. Podpisujme subtrahend pod minuend tak, aby jednotky tej istej číslice boli pod sebou:

2) 16,29 - 4,75. Podpíšme subtrahend pod minuend, ako v prvom príklade:

Na odčítanie desiatok bolo potrebné vziať jednu celú jednotku zo 6 a rozdeliť ju na desatiny.

3) 14,0213-5,350712. Podpíšme subtrahend pod minuend:

Odčítanie sa uskutočnilo takto: keďže od 0 nemôžeme odpočítať 2 milióntiny, mali by sme sa odvolávať na najbližšiu číslicu vľavo, t. j. na stotisíciny, ale namiesto stotisíciny je aj nula, takže vezmeme 1 desaťtisícina z 3 desaťtisíciny a rozdelíme ju na stotisíciny, dostaneme 10 stotisíc, z ktorých 9 stotisíc zostane v kategórii stotisíc a 1 stotisícina sa rozdrví na miliontiny, dostaneme 10 miliónov. V posledných troch čísliciach sme teda dostali: milióntiny 10, stotisíciny 9, desaťtisíciny 2. Pre väčšiu prehľadnosť a pohodlie (nezabudnúť) sú tieto čísla napísané na vrchu zodpovedajúcich zlomkových číslic redukovaného. Teraz môžeme začať odčítavať. Odčítame 2 milióntiny od 10 milióntin, dostaneme 8 milióntin; odpočítajte 1 stotisícinu od 9 stotisíc, dostaneme 8 stotisíc atď.

Pri odčítaní desatinných zlomkov sa teda dodržiava nasledovné poradie: odčítané sa podpíše pod zmenšené tak, že rovnaké číslice sú jedna pod druhou a všetky čiarky sú v rovnakom zvislom stĺpci; napravo pripisujú, aspoň mentálne, v zmenšenom alebo odčítanom toľko núl, aby mali rovnaký počet číslic, potom odčítajú po číslicach, začínajúc od pravej strany a vo výslednom rozdiele dajú čiarku do rovnaký vertikálny stĺpec, v ktorom je redukovaný a odčítaný.

§ 109. Násobenie desatinných zlomkov.

Zvážte niekoľko príkladov násobenia desatinných zlomkov.

Aby sme našli súčin týchto čísel, môžeme uvažovať takto: ak sa faktor zvýši 10-krát, potom oba faktory budú celé čísla a potom ich môžeme vynásobiť podľa pravidiel pre násobenie celých čísel. Ale vieme, že keď sa jeden z faktorov zvýši niekoľkokrát, produkt sa zvýši o rovnakú hodnotu. To znamená, že číslo, ktoré pochádza z vynásobenia celočíselných faktorov, teda 28 x 23, je 10-krát väčšie ako skutočný súčin, a aby ste získali skutočný súčin, musíte 10-krát znížiť nájdený súčin. Preto tu musíte raz vykonať násobenie 10 a raz delenie 10, ale násobenie a delenie 10 sa vykonáva posunutím čiarky doprava a doľava o jedno znamienko. Preto musíte urobiť toto: v multiplikátore posuňte čiarku doprava o jedno znamienko, z toho sa bude rovnať 23, potom musíte vynásobiť výsledné celé čísla:

Tento produkt je 10-krát väčší ako skutočný. Preto ho treba zmenšiť 10-krát, za čo posunieme čiarku o jeden znak doľava. Tak dostaneme

28 2,3 = 64,4.

Pre účely overenia môžete napísať desatinný zlomok s menovateľom a vykonať akciu podľa pravidla pre násobenie obyčajných zlomkov, t.j.

2) 12,27 0,021.

Rozdiel medzi týmto príkladom a predchádzajúcim je v tom, že tu sú oba faktory reprezentované desatinnými zlomkami. Tu však v procese násobenia nebudeme venovať pozornosť čiarkam, to znamená, že násobiteľ dočasne zvýšime 100-krát a násobiteľ 1 000-krát, čím sa súčin zväčší 100 000-krát. Vynásobením 1227 číslom 21 teda dostaneme:

1 227 21 = 25 767.

Ak vezmeme do úvahy, že výsledný produkt je 100 000-krát väčší ako skutočný, musíme ho teraz zmenšiť 100 000-krát správnym umiestnením čiarky, potom dostaneme:

32,27 0,021 = 0,25767.

Skontrolujme to:

Na vynásobenie dvoch desatinných zlomkov teda stačí, bez toho, aby sme dávali pozor na čiarky, vynásobiť ich ako celé čísla a v súčine oddeliť čiarkou na pravej strane toľko desatinných miest, koľko bolo v násobilke a v faktor spolu.

V poslednom príklade je výsledkom súčin s piatimi desatinnými miestami. Ak sa takáto väčšia presnosť nevyžaduje, vykoná sa zaokrúhlenie desatinného zlomku. Pri zaokrúhľovaní by ste mali použiť rovnaké pravidlo, aké bolo uvedené pre celé čísla.

§ 110. Násobenie pomocou tabuliek.

Násobenie desatinných miest možno niekedy vykonať pomocou tabuliek. Na tento účel môžete použiť napríklad tabuľky násobenia dvojciferných čísel, ktorých popis bol uvedený vyššie.

1) Vynásobte číslo 53 číslom 1,5.

53 vynásobíme 15. V tabuľke sa tento súčin rovná 795. Našli sme súčin 53 krát 15, ale náš druhý faktor bol 10x menší, to znamená, že súčin treba zmenšiť 10x, t.j.

53 1,5 = 79,5.

2) Vynásobte 5,3 číslom 4,7.

Najprv nájdime v tabuľke súčin 53 x 47, bude to 2491. Ale keďže sme násobiteľ a násobiteľ zvýšili celkovo 100-krát, tak výsledný súčin je 100-krát väčší, ako by mal byť; takže musíme znížiť tento produkt o faktor 100:

5,3 4,7 = 24,91.

3) Vynásobte 0,53 číslom 7,4.

Najprv nájdeme v tabuľke súčin 53 x 74; to bude 3 922. Ale keďže sme zvýšili násobiteľ 100-krát a multiplikátor 10-krát, súčin sa zvýšil 1 000-krát; takže ho teraz musíme znížiť 1 000:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Delenie desatinných miest.

Na desatinné delenie sa pozrieme v tomto poradí:

1. Delenie desatinného zlomku celým číslom,

1. Delenie desatinného zlomku celým číslom.

1) Vydeľte 2,46 číslom 2.

Najprv sme vydelili 2 celé čísla, potom desatiny a nakoniec stotiny.

2) Vydeľte 32,46 číslom 3.

32,46: 3 = 10,82.

Vydelili sme 3 desiatky 3, potom sme začali deliť 2 jednotky 3; keďže počet jednotiek dividendy (2) je menší ako deliteľ (3), museli sme do kvocientu vložiť 0; ďalej, na zvyšok sme zbúrali 4 desatiny a 24 desatín rozdelili 3; dostal v súkromí 8 desatín a napokon rozdelil 6 stotín.

3) Vydeľte 1,2345 číslom 5.

1,2345: 5 = 0,2469.

Tu sa v prvom rade ukázalo ako nula celých čísel, pretože jedno celé číslo nie je deliteľné 5.

4) Vydeľte 13,58 číslom 4.

Zvláštnosťou tohto príkladu je, že keď sme v súkromí dostali 9 stotín, potom sa našiel zvyšok rovnajúci sa 2 stotinám, tento zvyšok sme rozdelili na tisíciny, dostali 20 tisícin a doviedli delenie do konca.

Pravidlo. Delenie desatinného zlomku celým číslom sa vykonáva rovnakým spôsobom ako delenie celých čísel a výsledné zvyšky sa premieňajú na desatinné zlomky, stále menšie; delenie pokračuje, kým sa zvyšok nerovná nule.

2. Delenie desatinného zlomku desatinným zlomkom.

1) Vydeľte 2,46 číslom 0,2.

Už vieme, ako deliť desatinný zlomok celým číslom. Zamyslime sa nad tým, či sa dá tento nový prípad rozdelenia zredukovať aj na ten predchádzajúci? Kedysi sme považovali za pozoruhodnú vlastnosť kvocientu, ktorá spočíva v tom, že zostáva nezmenený pri rovnakom násobnom zvýšení alebo znížení dividendy a deliteľa. Kľudne by sme vykonali delenie ponúkaných čísel, ak by deliteľom bolo celé číslo. Na to ho stačí zvýšiť 10-krát a na získanie správneho kvocientu je potrebné zvýšiť dividendu o rovnaký počet, teda 10-krát. Potom bude delenie týchto čísel nahradené delením takýchto čísel:

a nie je potrebné robiť žiadne zmeny v súkromí.

Urobme toto rozdelenie:

Takže 2,46: 0,2 = 12,3.

2) Vydeľte 1,25 číslom 1,6.

Deliteľa (1,6) zväčšíme 10-krát; aby sa podiel nezmenil, zvýšime dividendu 10-krát; 12 celých čísel nie je deliteľných 16, preto píšeme v kvociente 0 a 125 desatín delíme 16, dostaneme 7 desatín v kvociente a zvyšok je 13. 13 desatín rozdelíme na stotiny priradením nuly a 130 stotín delíme 16 atď. Venujte pozornosť nasledujúcemu:

a) keď sa v kvociente nezískajú celé čísla, na ich miesto sa zapíšu nulové celé čísla;

b) keď sa po prepočítaní číslice dividendy na zvyšok získa číslo, ktoré nie je deliteľné deliteľom, potom sa do podielu zapíše nula;

c) keď sa po odstránení poslednej číslice dividendy delenie nekončí, potom priradením nuly k zvyškom delenie pokračuje;

d) ak je dividenda celé číslo, potom pri jej delení desatinným zlomkom sa jej zvýšenie vykoná priradením núl.

Ak teda chcete deliť číslo desatinným zlomkom, musíte v deliteľovi zahodiť čiarku a potom zvýšiť deliteľ toľkokrát, koľkokrát sa deliteľ zvýšil, keď v ňom padla čiarka, a potom vykonať delenie podľa pravidlo delenia desatinného zlomku celým číslom.

§ 112. Približný kvocient.

V predchádzajúcom odseku sme uvažovali o delení desatinných zlomkov a vo všetkých príkladoch, ktoré sme riešili, bolo delenie ukončené, t.j. získal sa presný kvocient. Vo väčšine prípadov však nie je možné získať presný kvocient, bez ohľadu na to, ako ďaleko predĺžime delenie. Tu je jeden takýto prípad: Vydeľte 53 číslom 101.

Už sme dostali päť číslic v kvociente, ale delenie sa ešte neskončilo a nie je nádej, že sa niekedy skončí, pretože čísla, s ktorými sme sa predtým stretli, sa začínajú objavovať vo zvyšku. Čísla sa budú tiež opakovať v kvociente: samozrejme, po čísle 7 sa objaví číslo 5, potom 2 a tak ďalej bez konca. V takýchto prípadoch je delenie prerušené a obmedzené na niekoľko prvých číslic kvocientu. Tento súkromný je tzv približné. Ako vykonať rozdelenie v tomto prípade, ukážeme na príkladoch.

Nech je potrebné deliť 25 3. Je zrejmé, že z takéhoto delenia nie je možné získať presný kvocient vyjadrený ako celé číslo alebo desatinný zlomok. Preto budeme hľadať približný kvocient:

25: 3 = 8 a zvyšok 1

Približný podiel je 8; je to samozrejme menej ako presný kvocient, pretože je tam zvyšok 1. Ak chcete získať presný kvocient, musíte k nájdenému približnému kvocientu, teda k 8, pridať zlomok, ktorý vznikne delením zvyšku. , rovné 1, 3; bude to zlomok 1/3. To znamená, že presný kvocient bude vyjadrený ako zmiešané číslo 8 1/3. Keďže 1/3 je vlastný zlomok, t.j. zlomok, menej ako jeden, potom predpokladáme, že ho zahodíme chyba, ktorý menej ako jeden. Súkromný 8 bude približný kvocient do jednej s nevýhodou. Ak vezmeme 9 namiesto 8, povolíme aj chybu, ktorá je menšia ako jedna, pretože nepridáme celú jednotku, ale 2/3. Taký súkromný závet približný kvocient do jednej s prebytkom.

Uveďme si teraz ďalší príklad. Nech je potrebné deliť 27 8. Keďže tu nedostaneme presný podiel vyjadrený ako celé číslo, budeme hľadať približný kvocient:

27: 8 = 3 a zvyšok 3.

Chyba je tu 3/8, je menšia ako jedna, čo znamená, že približný kvocient (3) sa nachádza až do jednej s nevýhodou. Pokračujeme v delení: zvyšok 3 rozdelíme na desatiny, dostaneme 30 desatín; Vydelme ich 8.

Dostali sme v súkromí na mieste desatiny 3 a vo zvyšku b desatiny. Ak sa obmedzíme najmä na číslo 3,3 a zvyšok 6 zahodíme, pripustíme chybu menšiu ako jednu desatinu. prečo? Pretože presný kvocient by sme získali, keby sme k 3,3 pridali výsledok delenia 6 desatín 8; z tohto delenia by bolo 6/80, čo je menej ako jedna desatina. (Skontrolujte!) Ak sa teda obmedzíme na desatiny v kvociente, potom môžeme povedať, že sme našli kvocient s presnosťou na jednu desatinu(s nevýhodou).

Pokračujme v delení, aby sme našli ešte jedno desatinné miesto. Aby sme to urobili, rozdelíme 6 desatín na stotiny a získame 60 stotín; Vydelme ich 8.

V súkromí na treťom mieste to dopadlo 7 a vo zvyšku 4 stotiny; ak ich zahodíme, tak pripustíme chybu menšiu ako stotinu, pretože 4 stotiny delené 8 sú menej ako jedna stotina. V takýchto prípadoch sa hovorí, že kvocient sa nájde. s presnosťou na stotinu(s nevýhodou).

V príklade, ktorý teraz zvažujeme, môžete získať presný kvocient vyjadrený ako desatinný zlomok. Na to stačí rozdeliť posledný zvyšok, 4 stotiny, na tisíciny a rozdeliť 8.

V drvivej väčšine prípadov je však nemožné získať presný kvocient a treba sa obmedziť na jeho približné hodnoty. Teraz zvážime takýto príklad:

40: 7 = 5,71428571...

Bodky na konci čísla označujú, že delenie nie je dokončené, to znamená, že rovnosť je približná. Približná rovnosť sa zvyčajne píše takto:

40: 7 = 5,71428571.

Vzali sme kvocient s ôsmimi desatinnými miestami. Ale ak nie je potrebná taká veľká presnosť, možno sa obmedziť na celú časť kvocientu, t. j. číslo 5 (presnejšie 6); pre väčšiu presnosť by sa mohli brať do úvahy desatiny a podiel sa rovnal 5,7; ak je táto presnosť z nejakého dôvodu nedostatočná, tak sa môžeme zastaviť na stotinách a zobrať 5,71 atď.. Vypíšme si jednotlivé kvocienty a pomenujme ich.

Prvý približný kvocient do jednej 6.

Druhá » » » až jedna desatina 5.7.

Tretia » » » do stotiny 5,71.

Štvrtá » » » až jedna tisícina z 5,714.

Aby sa teda našiel približný podiel až do nejakého, napríklad 3. desatinného miesta (t.j. až do jednej tisíciny), delenie sa zastaví hneď, ako sa nájde tento znak. V tomto prípade treba pamätať na pravidlo uvedené v § 40.

§ 113. Najjednoduchšie problémy pre úrok.

Po preštudovaní desatinných zlomkov vyriešime ešte niekoľko percentuálnych úloh.

Tieto úlohy sú podobné tým, ktoré sme riešili v oddelení obyčajných zlomkov; ale teraz budeme písať stotiny vo forme desatinných zlomkov, teda bez výslovne určeného menovateľa.

V prvom rade musíte vedieť jednoducho prejsť z obyčajného zlomku na desatinný zlomok s menovateľom 100. Aby ste to dosiahli, musíte vydeliť čitateľa menovateľom:

Nasledujúca tabuľka ukazuje, ako sa číslo so symbolom % (v percentách) nahradí desatinnou čiarkou s menovateľom 100:

Uvažujme teraz o niekoľkých problémoch.

1. Nájdenie percent daného čísla.

Úloha 1. V jednej obci žije len 1600 ľudí. Počet školopovinných detí je 25 % z celkovej populácie. Koľko školopovinných detí je v tejto obci?

V tomto probléme musíte nájsť 25 % alebo 0,25 z 1 600. Problém je vyriešený vynásobením:

1 600 0,25 = 400 (deti).

Preto 25 % z 1 600 je 400.

Pre jasné pochopenie tejto úlohy je užitočné pripomenúť, že na sto obyvateľov pripadá 25 školopovinných detí. Preto, aby ste zistili počet všetkých školopovinných detí, môžete najprv zistiť, koľko stoviek je v čísle 1600 (16), a potom vynásobiť 25 počtom stoviek (25 x 16 = 400). Týmto spôsobom môžete skontrolovať platnosť riešenia.

Úloha 2. Sporiteľne dávajú vkladateľom 2 % z príjmu ročne. Koľko príjmu za rok dostane vkladateľ, ktorý vložil: a) 200 rubľov? b) 500 rubľov? c) 750 rubľov? d) 1000 rubľov?

Vo všetkých štyroch prípadoch bude na vyriešenie problému potrebné vypočítať 0,02 z uvedených súm, t.j. každé z týchto čísel bude potrebné vynásobiť 0,02. Poďme na to:

a) 200 0,02 = 4 (ruble),

b) 500 0,02 = 10 (rubľov),

c) 750 0,02 = 15 (rubľov),

d) 1 000 0,02 = 20 (rubľov).

Každý z týchto prípadov možno overiť nasledujúcimi úvahami. Sporiteľne dávajú vkladateľom 2 % z príjmu, teda 0,02 zo sumy vloženej do sporenia. Ak by suma bola 100 rubľov, potom 0,02 z toho by boli 2 ruble. To znamená, že každých sto prináša vkladateľovi 2 ruble. príjem. Preto v každom z uvažovaných prípadov stačí zistiť, koľko stoviek je v danom čísle, a vynásobiť 2 ruble týmto počtom stoviek. V príklade a) stovky 2, tak

2 2 \u003d 4 (ruble).

V príklade d) sú stovky 10, čo znamená

2 10 \u003d 20 (rubľov).

2. Nájdenie čísla podľa jeho percent.

Úloha 1. Na jar školu maturovalo 54 žiakov, čo je 6 % z celkového počtu žiakov. Koľko žiakov bolo v škole v minulom školskom roku?

Najprv si objasnime význam tohto problému. Školu ukončilo 54 žiakov, čo je 6 % z celkového počtu žiakov, resp. 6 stotín (0,06) všetkých žiakov školy. To znamená, že poznáme časť žiakov vyjadrenú číslom (54) a zlomkom (0,06) a z tohto zlomku musíme nájsť celé číslo. Pred nami je teda obyčajný problém nájsť číslo podľa jeho zlomku (§ 90 ods. 6). Problémy tohto typu sa riešia delením:

To znamená, že v škole bolo 900 žiakov.

Takéto úlohy je užitočné skontrolovať vyriešením inverznej úlohy, t. j. po vyriešení úlohy by ste mali, aspoň vo svojej mysli, vyriešiť úlohu prvého typu (zistenie percenta daného čísla): vezmite nájdené číslo ( 900) ako je uvedené a nájdite z neho percento uvedené v riešenom probléme, a to:

900 0,06 = 54.

Úloha 2. Na jedlo rodina počas mesiaca minie 780 rubľov, čo je 65 % mesačného príjmu otca. Určite jeho mesačný príjem.

Táto úloha má rovnaký význam ako predchádzajúca. Uvádza časť mesačného zárobku vyjadrenú v rubľoch (780 rubľov) a uvádza, že táto časť predstavuje 65 % alebo 0,65 z celkových zárobkov. A požadovaný je celý zárobok:

780: 0,65 = 1 200.

Preto je požadovaný zárobok 1200 rubľov.

3. Nájdenie percenta čísel.

Úloha 1.Školská knižnica má spolu 6000 kníh. Medzi nimi je 1200 kníh o matematike. Koľko percent matematických kníh tvorí celkový počet kníh v knižnici?

Tento druh problému sme už zvažovali (§97) a dospeli sme k záveru, že na výpočet percenta dvoch čísel musíte nájsť pomer týchto čísel a vynásobiť ho 100.

V našej úlohe musíme nájsť percentuálny podiel čísel 1 200 a 6 000.

Najprv zistíme ich pomer a potom ho vynásobíme 100:

Percento čísel 1 200 a 6 000 je teda 20. Inými slovami, matematické knihy tvoria 20 % z celkového počtu všetkých kníh.

Na kontrolu riešime inverzný problém: nájdite 20 % zo 6 000:

6 000 0,2 = 1 200.

Úloha 2. Závod by mal dostať 200 ton uhlia. Dodaných už bolo 80 ton Koľko percent uhlia bolo dodaných do závodu?

Tento problém sa pýta, koľko percent je jedno číslo (80) od druhého (200). Pomer týchto čísel bude 80/200. Vynásobme to 100:

To znamená, že bolo dodaných 40 % uhlia.

V tomto článku budeme analyzovať takú dôležitú akciu s desatinnými zlomkami, ako je delenie. Najprv si sformulujeme všeobecné princípy, potom si rozoberieme, ako správne rozdeliť desatinné zlomky podľa stĺpca na iné zlomky aj na prirodzené čísla. Ďalej si rozoberieme delenie obyčajných zlomkov na desatinné a naopak a na záver si ukážeme, ako správne deliť zlomky končiace na 0, 1, 0, 01, 100, 10 atď.

Tu berieme len prípady s kladnými zlomkami. Ak je pred zlomkom mínus, musíte s ním konať, musíte si preštudovať materiál o rozdelení racionálnych a reálnych čísel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Všetky desatinné zlomky, konečné aj periodické, sú len špeciálnou formou zápisu obyčajných zlomkov. Preto pre ne platia rovnaké princípy ako pre im zodpovedajúce obyčajné zlomky. Celý proces delenia desatinných zlomkov teda redukujeme na ich nahradenie obyčajnými, po čom nasleduje výpočet nám už známymi metódami. Uveďme si konkrétny príklad.

Príklad 1

Vydeľte 1,2 číslom 0,48.

Riešenie

Desatinné zlomky píšeme v tvare obyčajných zlomkov. Budeme môcť:

1 , 2 = 12 10 = 6 5

0 , 48 = 48 100 = 12 25 .

Musíme teda vydeliť 6 5 číslom 12 25 . My veríme:

1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2

Z výsledného nesprávneho zlomku môžete vybrať celú časť a získať zmiešané číslo 2 1 2, alebo ho môžete reprezentovať ako desatinný zlomok tak, aby sa zhodoval s pôvodnými číslami: 5 2 \u003d 2, 5. Ako to urobiť, sme už napísali skôr.

odpoveď: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .

Príklad 2

Vypočítajte, koľko bude 0 , (504) 0 , 56 .

Riešenie

Najprv musíme previesť periodický desatinný zlomok na obyčajný.

0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111

Potom preložíme aj konečný desatinný zlomok do iného tvaru: 0, 56 = 56 100. Teraz máme dve čísla, s ktorými bude pre nás ľahké vykonať potrebné výpočty:

0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111

Máme výsledok, ktorý vieme previesť aj na desatinné číslo. Ak to chcete urobiť, rozdeľte čitateľa menovateľom pomocou stĺpcovej metódy:

odpoveď: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .

Ak sme sa v príklade delenia stretli s neperiodickými desatinnými zlomkami, budeme postupovať trochu inak. Nedokážeme ich priviesť na bežné obyčajné zlomky, preto ich pri delení musíme najskôr zaokrúhliť na určitú cifru. Táto akcia sa musí vykonať s dividendou aj s deliteľom: v záujme presnosti zaokrúhlime aj existujúci konečný alebo periodický zlomok.

Príklad 3

Zistite, koľko bude 0, 779 ... / 1, 5602.

Riešenie

V prvom rade oba zlomky zaokrúhlime na stotiny. Takto prechádzame od nekonečných neopakujúcich sa zlomkov ku konečným desatinným miestam:

0 , 779 … ≈ 0 , 78

1 , 5602 ≈ 1 , 56

Môžeme pokračovať vo výpočtoch a získať približný výsledok: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78100: 156100 = 78100 100156 = 78156 = 12 = 0,5.

Presnosť výsledku bude závisieť od stupňa zaokrúhľovania.

odpoveď: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .

Ako deliť prirodzené číslo desatinnou čiarkou a naopak

Prístup k deleniu je v tomto prípade takmer rovnaký: konečné a periodické zlomky nahrádzame obyčajnými a nekonečné neperiodické zaokrúhľujeme. Začnime príkladom delenia prirodzeným číslom a desatinným zlomkom.

Príklad 4

Vydeľte 2,5 číslom 45.

Riešenie

Poďme 2, 5 do podoby obyčajnej frakcie: 255 10 \u003d 51 2. Ďalej to musíme vydeliť prirodzeným číslom. Už vieme, ako na to:

25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30

Ak výsledok preložíme do desiatkového zápisu, dostaneme 0 , 5 (6) .

odpoveď: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .

Metóda delenia stĺpcom je dobrá nielen pre prirodzené čísla. Analogicky ho môžeme použiť aj pre zlomky. Nižšie uvádzame postupnosť akcií, ktoré je potrebné vykonať.

Definícia 1

Ak chcete rozdeliť stĺpec desatinných zlomkov prirodzenými číslami, musíte:

1. K desatinnému zlomku napravo pridajte niekoľko núl (na delenie ich môžeme pridať ľubovoľný počet).

2. Vydeľte desatinný zlomok prirodzeným číslom pomocou algoritmu. Keď sa delenie celočíselnej časti zlomku skončí, dáme do výsledného kvocientu čiarku a počítame ďalej.

Výsledkom takéhoto delenia môže byť buď konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok. Závisí to od zvyšku: ak je nula, výsledok bude konečný a ak sa zvyšky začnú opakovať, odpoveď bude periodický zlomok.

Zoberme si niekoľko úloh ako príklad a skúsme tieto kroky doplniť konkrétnymi číslami.

Príklad 5

Vypočítajte koľko bude 65 , 14 4 .

Riešenie

Používame stĺpcovú metódu. Ak to chcete urobiť, pridajte k zlomku dve nuly a získate desatinný zlomok 65, 1400, ktorý sa bude rovnať originálu. Teraz napíšeme stĺpec na delenie 4:

Výsledné číslo bude výsledkom delenia celej časti, ktorú potrebujeme. Dáme čiarku, oddelíme ju a pokračujeme:

Dosiahli sme nulový zvyšok, preto je proces delenia ukončený.

odpoveď: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .

Príklad 6

Vydeľte 164,5 číslom 27.

Riešenie

Najprv rozdelíme zlomkovú časť a získame:

Výsledný údaj oddelíme čiarkou a pokračujeme v delení:

Vidíme, že zvyšky sa začali periodicky opakovať a čísla deväť, dva a päť sa začali v kvociente striedať. Tam sa zastavíme a odpoveď napíšeme ako periodický zlomok 6, 0 (925) .

odpoveď: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .

Takéto delenie možno zredukovať na proces hľadania súkromného desatinného zlomku a prirodzeného čísla, ktoré už bolo opísané vyššie. Aby sme to urobili, musíme vynásobiť deliteľa a deliteľa 10, 100 atď., aby sa deliteľ zmenil na prirodzené číslo. Potom vykonáme vyššie uvedenú postupnosť akcií. Tento prístup je možný vďaka vlastnostiam delenia a násobenia. V doslovnej forme sme ich napísali takto:

a: b = (a 10) : (b 10), a: b = (a 100) : (b 100) a tak ďalej.

Formulujme pravidlo:

Definícia 2

Ak chcete rozdeliť jeden posledný desatinný zlomok druhým, musíte:

1. Posuňte čiarku v deliteľovi a deliteľovi doprava o počet znakov, ktoré sú potrebné na to, aby sa deliteľ zmenil na prirodzené číslo. Ak v dividende nie je dostatok znakov, na pravej strane k nej pridáme nuly.

2. Potom zlomok po stĺpci vydelíme výsledným prirodzeným číslom.

Poďme sa pozrieť na konkrétny problém.

Príklad 7

Vydeľte 7 287 2, 1.

Riešenie: Aby bol deliteľ prirodzeným číslom, musíme posunúť čiarku o jeden znak doprava. Prešli sme teda k deleniu desatinného zlomku 72, 87 číslom 21. Získané čísla si zapíšeme do stĺpca a vypočítajme

odpoveď: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47

Príklad 8

Vypočítajte 16 , 3 0 , 021 .

Riešenie

Budeme musieť presunúť čiarku na tri číslice. Na to nie je dostatok číslic v deliteľovi, čo znamená, že musíte použiť ďalšie nuly. Myslíme si, že konečný výsledok bude:

Vidíme periodické opakovanie zvyškov 4 , 19 , 1 , 10 , 16 , 13 . Kvocient sa opakuje 1 , 9 , 0 , 4 , 7 a 5 . Potom je naším výsledkom periodické desatinné číslo 776 , (190476) .

odpoveď: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476) ​​​​​​

Nami opísaná metóda vám umožňuje urobiť opak, teda rozdeliť prirodzené číslo konečným desatinným zlomkom. Pozrime sa, ako sa to robí.

Príklad 9

Vypočítajte koľko bude 3 5 , 4 .

Riešenie

Je zrejmé, že budeme musieť posunúť čiarku doprava o jeden znak. Potom môžeme začať deliť 30, 0 číslom 54. Údaje zapíšeme do stĺpca a vypočítame výsledok:

Opakovaním zvyšku dostaneme číslo 0 , (5) , čo je periodické desatinné číslo.

odpoveď: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .

Ako deliť desatinné miesta 1000, 100, 10 atď.

Podľa už preštudovaných pravidiel delenia obyčajných zlomkov je delenie zlomku na desiatky, stovky, tisíce podobné ako násobenie 1/1000, 1/100, 1/10 atď. Ukazuje sa, že na delenie , v tomto prípade stačí posunúť čiarku na požadované číslice sumy. Ak v čísle nie je dostatok hodnôt na prenos, musíte pridať požadovaný počet núl.

Príklad 10

Takže 56, 21: 10 = 5, 621 a 0, 32: 100 000 = 0, 0000032.

V prípade nekonečných desatinných miest postupujeme rovnako.

Príklad 11

Napríklad 3 , (56) : 1 000 = 0 , 003 (56) a 593 , 374 ... : 100 = 5 , 93374 ... .

Ako deliť desatinné miesta 0,001, 0,01, 0,1 atď.

Rovnakým pravidlom môžeme zlomky deliť aj zadanými hodnotami. Táto akcia bude podobná násobeniu 1000 , 100 , 10 v tomto poradí. Aby sme to dosiahli, posunieme čiarku na jednu, dve alebo tri číslice v závislosti od podmienok problému a pridáme nuly, ak v čísle nie je dostatok číslic.

Príklad 12

Napríklad 5, 739: 0, 1 = 57, 39 a 0, 21: 0, 00001 = 21 000.

Toto pravidlo platí aj pre nekonečné desatinné miesta. Odporúčame vám iba dávať pozor na periódu zlomku, ktorý je uvedený v odpovedi.

Takže, 7 , 5 (716) : 0 , 01 = 757 , (167) , pretože potom, čo sme posunuli čiarku v desiatkovom zápise 7 , 5716716716 ... dve číslice doprava, dostali sme 757 , 167167 ... .

Ak máme v príklade neperiodické zlomky, potom je všetko jednoduchšie: 394 , 38283 ... : 0 , 001 = 394382 , 83 ... .

Ako rozdeliť zmiešané číslo alebo spoločný zlomok desatinnou čiarkou a naopak

Tento úkon redukujeme aj na operácie s obyčajnými zlomkami. Za týmto účelom nahraďte desatinné čísla zodpovedajúcimi bežnými zlomkami a napíšte zmiešané číslo ako nesprávny zlomok.

Ak delíme neperiodický zlomok obyčajným alebo zmiešaným číslom, musíme to urobiť opačne a nahradiť obyčajný zlomok alebo zmiešané číslo zodpovedajúcim desatinným zlomkom.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Ako násobiť a deliť desatinné miesta?

1. Nebojte sa a neponáhľajte sa.
2. 
   0,065 1000 = 0065 = 65;
   

   
   Napríklad: 1,1 0,2 = 0,22
   Napríklad: 22 0,1 = 2,2
   22: 10 = 2,2

3. Ak má desatinný zlomok čiarku, potom pri násobení 10, 100, 1000 sa čiarka posunie doprava o 1 2 alebo 3 číslice 0,234*10=2,34 0,234*100=23,4
   ak nemá čiarku, za 23*10=230 sa pridá 0 00 alebo 000
   pri delení sa čiarka posunie doľava o 1 2 alebo 3 číslice 234/100=2/34
4. 2
   Stále musíte vynásobiť čísla, ale musíte pochopiť, ako sa mení pozícia čiarky. Môžete sformulovať určité pravidlo, ale aby ste mu porozumeli, musíte pochopiť, ako sa desatinné zlomky prevádzajú na obyčajné zlomky a ako sa obyčajné zlomky násobia.

   Ak chcete reprezentovať desatinný zlomok ako obyčajný, musíte toto číslo napísať bez desatinnej čiarky do čitateľa a do menovateľa číslo v tvare jednej a toľko núl, koľko desatinných miest bolo oddelených v desatinnom zlomku ( teda v menovateli čísla 10, 100, 1000 a tak ďalej).

   Napríklad číslo 1,238 v tvare obyčajného zlomku možno zapísať ako 12381000 v čitateli rovnaké číslo, ale bez čiarky, a v menovateli 1000 jednu a tri nuly, keďže tri číslice sú v 1,238 oddelené čiarkou .

   V tomto príklade budú zlomky 5410, 710 a 2810.

   Podobne v opačnom smere, ak je menovateľom jednotka s nulami: v čitateli čiarka oddeľuje toľko znakov, koľko bolo núl v menovateli. Napríklad:

   537100=5,37
   Ďalej zvážte otázku násobenia a delenia obyčajných zlomkov. Pri násobení obyčajných zlomkov bude čitateľ výsledku súčinom čitateľov faktorov a menovateľ výsledku súčinom menovateľov faktorov. Napríklad:

   3752=3572=1514
   Pri delení jedného desatinného zlomku druhým sa zlomok, ktorým sa delí, obráti a prvý zlomok sa ním vynásobí. Napríklad:

   3475=3457=1528
   Teraz sa pozrime, ako sa násobia desatinné zlomky. Zoberme si dva zlomky, predstavme ich ako obyčajné zlomky, vynásobme ich a napíšme znova ako desatinné číslo:

   5,40,7=5410710=547100=378100=3,78

5. 4,15 * 10 \u003d 41,5 - jedna 0 znamená, že za desatinnou čiarkou bude 1 číslica.
   Tiež 3,12 * 1000 = 3120 - odstránime čiarku, pretože nie je dostatok čísel
   To je všetko.
6. pri násobení: vynásobte čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom
   pri delení: prvý zlomok necháme rovnaký a druhý - otočíme a potom podľa pravidla násobenia
7. Vynásobíte a ako čísla bez čiarky a potom vo výsledku oddelíte toľko znakov (sprava doľava), koľko znakov je v oboch faktoroch spolu
8. Pri násobení desatinného zlomku 10, 100, 1000 atď. je potrebné posunúť čiarku v tomto zlomku doprava o toľko číslic, koľko núl je v násobidle. Napríklad:
   0,065 1000 = 0065 = 65;
   2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900.

   Násobenie dvoch desatinných miest sa vykonáva takto: Čísla sa násobia bez desatinných čiarok. Čiarka v produkte je umiestnená tak, aby oddeľovala toľko znakov vpravo, koľko je oddelených v oboch faktoroch dohromady.
   Napríklad: 1,1 0,2 = 0,22
   Namiesto vynásobenia ľubovoľného čísla číslom 0,1; 0,01; 0,001, toto číslo môžete vydeliť 10; 100; alebo 1000 resp.
   Napríklad: 22 0,1 = 2,2
   22: 10 = 2,2

9. nevidel si ma, len zbieram body)
10. Násobenie desatinných zlomkov sa vykonáva rovnakým spôsobom ako násobenie prirodzených čísel podľa rovnakých pravidiel, ale v súčine je čiarka umiestnená podľa súčtu číslic faktorov v zlomkovej časti, počítajúc od sprava doľava (súčet číslic faktorov je počet číslic za desatinnou čiarkou pre faktory spolu).

    Pri delení zlomkov sa deliteľ desatinného zlomku zväčší o toľko cifier, koľko je cifier v jeho zlomkovej časti. Aby sa zlomok nezmenil, delenec sa zväčší o rovnaký počet číslic (v deliteľovi a deliteľovi sa čiarka prenesie na rovnaký počet znakov). Čiarka sa umiestni do kvocientu v štádiu delenia, keď sa delí celá časť zlomku.

V minulej lekcii sme sa naučili sčítať a odčítať desatinné zlomky (pozri lekciu " Sčítanie a odčítanie desatinných zlomkov"). Zároveň odhadli, o koľko sú výpočty zjednodušené v porovnaní s bežnými „dvojposchodovými“ zlomkami.

Bohužiaľ, pri násobení a delení desatinných zlomkov tento efekt nenastáva. V niektorých prípadoch desiatkový zápis dokonca tieto operácie komplikuje.

Najprv si predstavme novú definíciu. Stretneme sa s ním pomerne často a nielen v tejto lekcii.

Významnou časťou čísla je všetko medzi prvou a poslednou nenulovou číslicou vrátane upútavok. Hovoríme len o číslach, desatinná čiarka sa neberie do úvahy.

Číslice obsiahnuté v významnej časti čísla sa nazývajú významné číslice. Môžu sa opakovať a dokonca sa rovnať nule.

Zvážte napríklad niekoľko desatinných zlomkov a napíšte ich zodpovedajúce významné časti:

1. 91,25 → 9125 (významné čísla: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (významné čísla: 8; 2; 4; 1);
3. 15,0075 → 150075 (významné čísla: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (významné čísla: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (existuje len jedno platné číslo: 3).

Upozornenie: nuly vo vnútri významnej časti čísla nikam nevedú. S niečím podobným sme sa už stretli, keď sme sa učili prevádzať desatinné zlomky na obyčajné (pozri lekciu “ Desatinné zlomky”).

Tento bod je taký dôležitý a chyby sa tu robia tak často, že v blízkej budúcnosti zverejním test na túto tému. Určite cvičte! A my, vyzbrojení konceptom významnej časti, v skutočnosti pristúpime k téme hodiny.

Desatinné násobenie

Operácia násobenia pozostáva z troch po sebe nasledujúcich krokov:

1. Pre každý zlomok zapíšte významnú časť. Získate dve obyčajné celé čísla – bez menovateľov a desatinných čiarok;
2. Vynásobte tieto čísla akýmkoľvek vhodným spôsobom. Priamo, ak sú čísla malé, alebo v stĺpci. Získame významnú časť požadovaného zlomku;
3. Zistite, kde a o koľko číslic je posunutá desatinná čiarka v pôvodných zlomkoch, aby ste získali zodpovedajúcu významnú časť. Vykonajte spätné posuny na významnej časti získanej v predchádzajúcom kroku.

Ešte raz pripomeniem, že nuly po stranách významnej časti sa nikdy neberú do úvahy. Ignorovanie tohto pravidla vedie k chybám.

1. 0,28 ± 12,5;
2. 6,3 1,08;
3. 132,5 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 10 000.

Pracujeme s prvým výrazom: 0,28 12,5.

1. Vypíšme významné časti pre čísla z tohto výrazu: 28 a 125;
2. Ich súčin: 28 125 = 3500;
3. V prvom multiplikátore sa desatinná čiarka posunie o 2 číslice doprava (0,28 → 28) a v druhom o ďalšiu 1 číslicu. Celkovo je potrebný posun doľava o tri číslice: 3 500 → 3 500 = 3,5.

Teraz sa poďme zaoberať výrazom 6.3 1.08.

1. Vypíšme podstatné časti: 63 a 108;
2. Ich súčin: 63 108 = 6804;
3. Opäť dva posuny doprava: o 2 a 1 číslicu. Celkovo - opäť 3 číslice doprava, takže spätný posun bude 3 číslice doľava: 6804 → 6.804. Tentoraz nie sú na konci žiadne nuly.

Dostali sme sa k tretiemu výrazu: 132,5 0,0034.

1. Významné časti: 1325 a 34;
2. Ich súčin: 1325 34 = 45 050;
3. V prvom zlomku sa desatinná čiarka posúva doprava o 1 číslicu a v druhom až o 4. Celkom: 5 doprava. Vykonávame posun o 5 doľava: 45050 → ,45050 = 0,4505. Nula bola na konci odstránená a pridaná dopredu, aby nezostala „holá“ desatinná čiarka.

Nasledujúci výraz: 0,0108 1600,5.

1. Píšeme významné časti: 108 a 16 005;
2. Vynásobíme ich: 108 16 005 = 1 728 540;
3. Počítame čísla za desatinnou čiarkou: v prvom čísle sú 4, v druhom - 1. Celkovo - opäť 5. Máme: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. Na konci bola „extra“ nula odstránená.

Nakoniec posledný výraz: 5,25 10 000.

1. Významné časti: 525 a 1;
2. Vynásobíme ich: 525 1 = 525;
3. Prvý zlomok je posunutý o 2 číslice doprava a druhý zlomok je posunutý o 4 číslice doľava (10 000 → 1 0000 = 1). Celkom 4 − 2 = 2 číslice vľavo. Prevedieme spätný posun o 2 číslice doprava: 525, → 52 500 (museli sme pridať nuly).

Venujte pozornosť poslednému príkladu: keďže sa desatinná čiarka pohybuje rôznymi smermi, celkový posun je cez rozdiel. Toto je veľmi dôležitý bod! Tu je ďalší príklad:

Zoberme si čísla 1,5 a 12 500. Máme: 1,5 → 15 (posun o 1 doprava); 12 500 → 125 (posun 2 doľava). „Vykročíme“ o 1 číslicu doprava a potom o 2 číslice doľava. V dôsledku toho sme ustúpili 2 − 1 = 1 číslica doľava.

Desatinné delenie

Rozdelenie je možno najťažšia operácia. Samozrejme, tu môžete konať analogicky s násobením: rozdeliť významné časti a potom „presunúť“ desatinnú čiarku. Ale v tomto prípade existuje veľa jemností, ktoré negujú potenciálne úspory.

Pozrime sa teda na generický algoritmus, ktorý je o niečo dlhší, ale oveľa spoľahlivejší:

1. Preveďte všetky desatinné miesta na bežné zlomky. S trochou cviku vám tento krok zaberie pár sekúnd;
2. Výsledné zlomky rozdeľte klasickým spôsobom. Inými slovami, vynásobte prvý zlomok "prevrátenou" sekundou (pozri lekciu "Násobenie a delenie číselných zlomkov");
3. Ak je to možné, vráťte výsledok ako desatinné číslo. Aj tento krok je rýchly, pretože často má menovateľ už mocninu desať.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Berieme do úvahy prvý výraz. Najprv preveďme zlomky obi na desatinné miesta:

To isté urobíme s druhým výrazom. Čitateľ prvého zlomku sa opäť rozloží na faktory:

V treťom a štvrtom príklade je dôležitý bod: po zbavení sa desatinného zápisu sa objavia zrušiteľné zlomky. Toto zníženie však nevykonáme.

Posledný príklad je zaujímavý, pretože čitateľ druhého zlomku je prvočíslo. Jednoducho tu nie je čo faktorizovať, takže to považujeme za „prázdne“:

Niekedy výsledkom delenia je celé číslo (hovorím o poslednom príklade). V tomto prípade sa tretí krok vôbec nevykoná.

Okrem toho sa pri delení často objavujú „škaredé“ zlomky, ktoré sa nedajú previesť na desatinné miesta. Tu sa delenie líši od násobenia, kde sú výsledky vždy vyjadrené v desatinnej forme. Samozrejme, v tomto prípade sa posledný krok opäť nevykoná.

Venujte pozornosť aj 3. a 4. príkladu. V nich zámerne neredukujeme obyčajné zlomky získané z desatinných miest. V opačnom prípade to skomplikuje inverzný problém - predstavuje konečnú odpoveď opäť v desiatkovej forme.

Pamätajte: základná vlastnosť zlomku (ako každé iné pravidlo v matematike) sama o sebe neznamená, že sa musí aplikovať všade a vždy, pri každej príležitosti.