Inštrukcia

Pred spustením dôkazu sa uistite, že čiary ležia v rovnakej rovine a dajú sa na ňu kresliť. Najjednoduchším spôsobom dôkazu je metóda merania pomocou pravítka. Na to použite pravítko na meranie vzdialenosti medzi rovnými čiarami na niekoľkých miestach čo najďalej od seba. Ak vzdialenosť zostane rovnaká, dané čiary sú rovnobežné. Ale táto metóda nie je dostatočne presná, preto je lepšie použiť iné metódy.

Nakreslite tretiu čiaru tak, aby pretínala obe rovnobežné čiary. Tvorí s nimi štyri vonkajšie a štyri vnútorné rohy. Zvážte vnútorné rohy. Tie, ktoré ležia cez sečnú čiaru, sa nazývajú krížovo ležiace. Tie, ktoré ležia na jednej strane, sa nazývajú jednostranné. Pomocou uhlomeru zmerajte dva vnútorné diagonálne rohy. Ak sú rovnaké, čiary budú rovnobežné. Ak máte pochybnosti, zmerajte jednostranné vnútorné uhly a výsledné hodnoty spočítajte. Čiary budú rovnobežné, ak sa súčet jednostranných vnútorných uhlov rovná 180°.

Ak nemáte uhlomer, použite 90º štvorec. Použite ho na vytvorenie kolmice na jednu z čiar. Potom pokračujte v tejto kolmici tak, aby pretínala ďalšiu priamku. Pomocou toho istého štvorca skontrolujte, pod akým uhlom ho táto kolmica pretína. Ak sa tento uhol rovná aj 90º, potom sú čiary navzájom rovnobežné.

V prípade, že sú čiary zadané v karteziánskom súradnicovom systéme, nájdite ich vodiace čiary alebo normálové vektory. Ak sú tieto vektory navzájom kolineárne, potom sú čiary rovnobežné. Priveďte rovnicu čiar do všeobecného tvaru a nájdite súradnice normálového vektora každej z čiar. Jeho súradnice sa rovnajú koeficientom A a B. V prípade, že pomer zodpovedajúcich súradníc normálových vektorov je rovnaký, sú kolineárne a čiary sú rovnobežné.

Napríklad priame čiary sú dané rovnicami 4x-2y+1=0 a x/1=(y-4)/2. Prvá rovnica má všeobecný tvar, druhá je kanonická. Uveďte druhú rovnicu do všeobecného tvaru. Použite na to pravidlo pomernej konverzie a skončíte s 2x=y-4. Po redukcii na všeobecnú formu získame 2x-y + 4 = 0. Pretože všeobecná rovnica pre ľubovoľný riadok je napísaná Ax + Vy + C = 0, potom pre prvý riadok: A = 4, B = 2 a pre druhý riadok A = 2, B = 1. Pre prvú priamu súradnicu normálneho vektora (4;2) a pre druhú - (2;1). Nájdite pomer zodpovedajúcich súradníc normálových vektorov 4/2=2 a 2/1=2. Tieto čísla sú rovnaké, čo znamená, že vektory sú kolineárne. Keďže vektory sú kolineárne, čiary sú rovnobežné.

Tento článok je o rovnobežkách a rovnobežkách. Najprv je uvedená definícia rovnobežiek v rovine a v priestore, uvádza sa notácia, príklady a grafické znázornenie rovnobežiek. Ďalej sa analyzujú znaky a podmienky rovnobežnosti priamych čiar. V závere sú uvedené riešenia typických úloh dokazovania rovnobežnosti priamok, ktoré sú dané niektorými rovnicami priamky v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine a v trojrozmernom priestore.

Navigácia na stránke.

Paralelné čiary - základné informácie.

Definícia.

V rovine sa nazývajú dve čiary paralelný ak nemajú spoločné body.

Definícia.

Dve čiary v troch rozmeroch sa nazývajú paralelný ak ležia v rovnakej rovine a nemajú spoločné body.

Všimnite si, že klauzula „ak ležia v rovnakej rovine“ v definícii rovnobežných čiar v priestore je veľmi dôležitá. Ujasnime si tento bod: dve priame čiary v trojrozmernom priestore, ktoré nemajú spoločné body a neležia v rovnakej rovine, nie sú rovnobežné, ale sú zošikmené.

Tu je niekoľko príkladov paralelných čiar. Protiľahlé okraje listu poznámkového bloku ležia na rovnobežných čiarach. Priame čiary, pozdĺž ktorých rovina steny domu pretína roviny stropu a podlahy, sú rovnobežné. Železničné trate na rovnom teréne možno tiež považovať za paralelné čiary.

Symbol "" sa používa na označenie rovnobežných čiar. To znamená, že ak sú čiary a a b rovnobežné, potom môžete krátko napísať a b.

Všimnite si, že ak sú priamky a a b rovnobežné, potom môžeme povedať, že priamka a je rovnobežná s priamkou b a tiež, že priamka b je rovnobežná s priamkou a.

Vyslovme tvrdenie, ktoré hrá dôležitú úlohu pri skúmaní rovnobežiek v rovine: bodom, ktorý neleží na danej priamke, prechádza jediná priamka rovnobežná s danou. Toto tvrdenie sa prijíma ako fakt (nedá sa dokázať na základe známych axióm planimetrie) a nazýva sa axióma rovnobežiek.

Pre prípad v priestore platí veta: cez ktorýkoľvek bod v priestore, ktorý neleží na danej priamke, prechádza jedna priamka rovnobežná s danou. Táto veta sa dá ľahko dokázať pomocou vyššie uvedenej axiómy rovnobežiek (jej dôkaz nájdete v učebnici geometrie triedy 10-11, ktorá je uvedená na konci článku v zozname literatúry).

Pre prípad v priestore platí veta: cez ktorýkoľvek bod v priestore, ktorý neleží na danej priamke, prechádza jedna priamka rovnobežná s danou. Táto veta je ľahko dokázaná pomocou vyššie uvedenej axiómy rovnobežiek.

Rovnobežnosť priamok - znaky a podmienky rovnobežnosti.

Znak rovnobežných línií je dostatočnou podmienkou pre rovnobežné vedenia, teda takú podmienku, ktorej splnenie zaručuje rovnobežné vedenia. Inými slovami, splnenie tejto podmienky stačí na konštatovanie skutočnosti, že čiary sú rovnobežné.

Nevyhnutné a postačujúce podmienky sú aj pre rovnobežné priamky v rovine a v trojrozmernom priestore.

Vysvetlíme si význam slovného spojenia „nevyhnutná a postačujúca podmienka pre rovnobežky“.

Už sme sa zaoberali dostatočnou podmienkou pre paralelné vedenia. A aká je „nevyhnutná podmienka pre paralelné vedenia“? Už pri názve "nevyhnutné" je jasné, že splnenie tejto podmienky je nevyhnutné, aby boli vedenia rovnobežné. Inými slovami, ak nie je splnená podmienka pre rovnobežné čiary, potom čiary nie sú rovnobežné. Touto cestou, nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou, aby boli čiary rovnobežné je podmienkou, ktorej splnenie je pre paralelné vedenia nevyhnutné aj postačujúce. To znamená, že na jednej strane je to znak rovnobežných čiar a na druhej strane je to vlastnosť, ktorú majú rovnobežné čiary.

Pred uvedením nevyhnutnej a postačujúcej podmienky, aby boli čiary rovnobežné, je užitočné pripomenúť si niekoľko pomocných definícií.

sečná čiara je priamka, ktorá pretína každú z dvoch daných nezhodných priamok.

Na priesečníku dvoch línií sečny sa vytvorí osem nerozmiestnených. Takzvaný ležiace priečne, zodpovedajúce a jednostranné rohy. Ukážme si ich na výkrese.

Veta.

Ak dve priamky v rovine pretína sečna, potom pre ich rovnobežnosť je potrebné a postačujúce, aby sa priečne ležiace uhly zhodovali, alebo zodpovedajúce uhly boli rovnaké, alebo súčet jednostranných uhlov bol rovný 180 stupňom. .

Ukážme si grafické znázornenie tejto nevyhnutnej a postačujúcej podmienky pre rovnobežky v rovine.

Dôkazy týchto podmienok pre rovnobežky nájdete v učebniciach geometrie pre ročníky 7-9.

Všimnite si, že tieto podmienky je možné použiť aj v trojrozmernom priestore - hlavná vec je, že dve čiary a sečna ležia v rovnakej rovine.

Tu je niekoľko ďalších teorémov, ktoré sa často používajú pri dokazovaní rovnobežnosti čiar.

Veta.

Ak sú dve čiary v rovine rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné. Dôkaz tejto vlastnosti vyplýva z axiómy rovnobežných čiar.

Podobná podmienka platí pre rovnobežné čiary v trojrozmernom priestore.

Veta.

Ak sú dve čiary v priestore rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné. Dôkaz tejto vlastnosti sa zvažuje na hodinách geometrie v 10. ročníku.

Ilustrujme vyslovené vety.

Uveďme ešte jednu vetu, ktorá nám umožňuje dokázať rovnobežnosť priamok v rovine.

Veta.

Ak sú dve čiary v rovine kolmé na tretiu čiaru, potom sú rovnobežné.

Podobná veta platí pre čiary v priestore.

Veta.

Ak sú dve čiary v trojrozmernom priestore kolmé na rovnakú rovinu, potom sú rovnobežné.

Nakreslime obrázky zodpovedajúce týmto teorémam.

Všetky vyššie formulované vety, znamienka a nevyhnutné a postačujúce podmienky sú dokonale vhodné na dôkaz rovnobežnosti priamok pomocou metód geometrie. To znamená, že na dokázanie rovnobežnosti dvoch daných úsečiek je potrebné ukázať, že sú rovnobežné s treťou úsečkou, alebo ukázať rovnosť medzi sebou ležiacich uhlov atď. Mnohé z týchto problémov sa riešia na hodinách geometrie na strednej škole. Treba si však uvedomiť, že v mnohých prípadoch je vhodné použiť metódu súradníc na dôkaz rovnobežnosti priamok v rovine alebo v trojrozmernom priestore. Formulujme potrebné a postačujúce podmienky pre rovnobežnosť priamok, ktoré sú dané v pravouhlom súradnicovom systéme.

Rovnobežnosť čiar v pravouhlom súradnicovom systéme.

V tejto časti článku budeme formulovať nevyhnutné a dostatočné podmienky pre paralelné vedenia v pravouhlom súradnicovom systéme, v závislosti od typu rovníc, ktoré tieto čiary určujú, a uvedieme aj podrobné riešenia typických problémov.

Začnime podmienkou rovnobežnosti dvoch priamok na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy . Jeho dôkaz je založený na definícii smerového vektora priamky a definícii normálového vektora priamky v rovine.

Veta.

Aby dve nezhodné priamky boli rovnobežné v rovine, je potrebné a postačujúce, aby smerové vektory týchto priamok boli kolineárne, alebo normálové vektory týchto priamok boli kolineárne, alebo smerový vektor jednej priamky bol kolmý na normálu. vektor druhého riadku.

Je zrejmé, že podmienka rovnobežnosti dvoch priamok v rovine sa redukuje na (smerové vektory priamok alebo normálové vektory priamok) alebo na (smerový vektor jednej priamky a normálový vektor druhej priamky). Teda ak a sú smerové vektory priamok a a b, a a sú normálové vektory priamok a a b, potom nevyhnutnú a postačujúcu podmienku pre rovnobežné priamky a a b možno zapísať ako , alebo , alebo , kde t je nejaké reálne číslo. Súradnice smerových a (alebo) normálových vektorov priamok a a b sa zase nachádzajú zo známych rovníc priamok.

Najmä ak priamka a v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy v rovine definuje všeobecnú rovnicu priamky tvaru a priamka b - , potom normálové vektory týchto čiar majú súradnice a a podmienka rovnobežnosti čiar a a b sa zapíše ako .

Ak priamka a zodpovedá rovnici priamky so sklonom tvaru a priamka b- , potom normálové vektory týchto priamok majú súradnice a a podmienka rovnobežnosti týchto priamok bude mať tvar . Ak sú teda priame čiary v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme rovnobežné a môžu byť dané rovnicami priamych čiar so sklonovými koeficientmi, potom budú koeficienty sklonu priamok rovnaké. A naopak: ak nezhodné priame čiary v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme môžu byť dané rovnicami priamky s rovnakými koeficientmi sklonu, potom sú takéto priamky rovnobežné.

Ak priamka a a priamka b v pravouhlom súradnicovom systéme definujú kanonické rovnice priamky v rovine formulára a , alebo parametrické rovnice priamky na rovine tvaru a potom smerové vektory týchto čiar majú súradnice a a podmienka rovnobežnosti pre čiary a a b sa zapíše ako .

Poďme sa pozrieť na niekoľko príkladov.

Príklad.

Sú čiary rovnobežné? a ?

Riešenie.

Rovnicu priamky v segmentoch prepíšeme do podoby všeobecnej rovnice priamky: . Teraz je jasné, že ide o normálny vektor priamky , a je normálnym vektorom priamky. Tieto vektory nie sú kolineárne, pretože neexistuje žiadne reálne číslo t, pre ktoré platí rovnosť ( ). V dôsledku toho nie je splnená nevyhnutná a postačujúca podmienka pre rovnobežnosť priamok v rovine, preto dané priamky nie sú rovnobežné.

odpoveď:

Nie, čiary nie sú rovnobežné.

Príklad.

Sú to priamky a rovnobežky?

Riešenie.

Kanonickú rovnicu priamky privedieme na rovnicu priamky so sklonom: . Je zrejmé, že rovnice čiar a nie sú rovnaké (v tomto prípade by dané čiary boli rovnaké) a sklony čiar sú rovnaké, preto sú pôvodné čiary rovnobežné.

Druhé riešenie.

Najprv ukážme, že pôvodné čiary sa nezhodujú: zoberme si ľubovoľný bod čiary, napríklad (0, 1) , súradnice tohto bodu nespĺňajú rovnicu čiary, preto sa čiary nezhodujú. Teraz skontrolujme splnenie podmienky rovnobežnosti týchto čiar. Normálny vektor priamky je vektor a smerový vektor priamky je vektor. Poďme počítať a: . V dôsledku toho sú vektory a kolmé, čo znamená, že je splnená nevyhnutná a postačujúca podmienka, aby dané čiary boli rovnobežné. Čiary sú teda rovnobežné.

odpoveď:

Dané čiary sú rovnobežné.

Na dôkaz rovnobežnosti priamok v pravouhlom súradnicovom systéme v trojrozmernom priestore sa používa nasledujúca nevyhnutná a postačujúca podmienka.

Veta.

Aby boli nezhodné čiary v trojrozmernom priestore rovnobežné, je potrebné a postačujúce, aby ich smerové vektory boli kolineárne.

Ak sú teda známe rovnice čiar v pravouhlom súradnicovom systéme v trojrozmernom priestore a potrebujete odpovedať na otázku, či sú tieto čiary rovnobežné alebo nie, potom musíte nájsť súradnice smerových vektorov týchto čiar a skontrolovať splnenie podmienky kolinearity smerových vektorov. Inými slovami, ak a - smerové vektory priamych čiar dané čiary majú súradnice a . Pretože , potom . Tým je splnená nevyhnutná a postačujúca podmienka, aby dve priamky boli v priestore rovnobežné. To dokazuje rovnobežnosť čiar a .

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. 7. - 9. ročník: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Učebnica pre 10-11 ročníkov stredných škôl.
• Pogorelov A.V., Geometria. Učebnica pre ročníky 7-11 vzdelávacích inštitúcií.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Vyššia matematika. Prvý diel: Prvky lineárnej algebry a analytickej geometrie.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytická geometria.

V tomto článku budeme hovoriť o paralelných líniách, poskytneme definície, označíme znaky a podmienky paralelizmu. Pre názornosť teoretického materiálu použijeme ilustrácie a riešenie typických príkladov.

Definícia 1

Rovnobežné čiary v rovine sú dve priame čiary v rovine, ktoré nemajú spoločné body.

Definícia 2

Paralelné čiary v 3D priestore- dve priamky v trojrozmernom priestore, ktoré ležia v rovnakej rovine a nemajú spoločné body.

Treba poznamenať, že na určenie rovnobežných čiar v priestore je mimoriadne dôležité objasnenie „ležiace v rovnakej rovine“: dve čiary v trojrozmernom priestore, ktoré nemajú spoločné body a neležia v rovnakej rovine, nie sú paralelné, ale pretínajúce sa.

Na označenie rovnobežných čiar sa bežne používa symbol ∥ . To znamená, že ak sú dané priamky a a b rovnobežné, túto podmienku treba stručne zapísať takto: a ‖ b . Slovne sa rovnobežnosť priamok označuje takto: priamky a a b sú rovnobežné, alebo priamka a je rovnobežná s priamkou b, alebo priamka b je rovnobežná s priamkou a.

Sformulujme tvrdenie, ktoré hrá dôležitú úlohu v skúmanej téme.

axióma

Cez bod, ktorý nepatrí do danej priamky, vedie len jedna priamka rovnobežná s danou priamkou. Toto tvrdenie nie je možné dokázať na základe známych axióm planimetrie.

V prípade, že ide o priestor, platí veta:

Veta 1

Cez akýkoľvek bod v priestore, ktorý nepatrí do danej priamky, bude s danou rovnobežnou len jedna priamka.

Táto veta sa dá ľahko dokázať na základe vyššie uvedenej axiómy (program geometrie pre ročníky 10-11).

Znak rovnobežnosti je dostatočnou podmienkou, za ktorej sú zaručené rovnobežné čiary. Inými slovami, splnenie tejto podmienky postačuje na potvrdenie skutočnosti paralelizmu.

Predovšetkým sú potrebné a dostatočné podmienky pre rovnobežnosť priamok v rovine a v priestore. Vysvetlime si: nevyhnutná znamená podmienku, ktorej splnenie je nevyhnutné pre rovnobežky; ak nie je splnená, čiary nie sú rovnobežné.

Suma sumárum, nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou rovnobežnosti priamok je taká podmienka, ktorej dodržanie je nevyhnutné a postačujúce na to, aby boli priamky navzájom rovnobežné. Na jednej strane je to znak paralelizmu, na druhej strane vlastnosť vlastná paralelným líniám.

Predtým, ako uvedieme presnú formuláciu nevyhnutných a postačujúcich podmienok, pripomenieme si ešte niekoľko ďalších pojmov.

Definícia 3

sečná čiara je čiara, ktorá pretína každú z dvoch daných nezhodných čiar.

Sečna, ktorá pretína dve priame čiary, tvorí osem neroztiahnutých uhlov. Na formulovanie potrebnej a postačujúcej podmienky použijeme také typy uhlov, ako sú priečne ležiace, zodpovedajúce a jednostranné. Ukážme si ich na ilustrácii:

Veta 2

Ak dve priamky v rovine pretínajú sečnicu, potom na to, aby boli dané priamky rovnobežné, je potrebné a postačujúce, aby priečne ležiace uhly boli rovnaké, alebo zodpovedajúce uhly boli rovnaké alebo súčet jednostranných uhlov bol rovný 180 stupňov.

Znázornime graficky nevyhnutnú a postačujúcu podmienku pre rovnobežky v rovine:

Dôkaz o týchto podmienkach je prítomný v programe geometrie pre ročníky 7-9.

Vo všeobecnosti sú tieto podmienky použiteľné aj pre trojrozmerný priestor za predpokladu, že dve čiary a sečna patria do rovnakej roviny.

Dovoľte nám poukázať na niekoľko ďalších teorémov, ktoré sa často používajú pri dokazovaní skutočnosti, že priamky sú rovnobežné.

Veta 3

V rovine sú dve priamky rovnobežné s treťou navzájom rovnobežné. Táto vlastnosť je dokázaná na základe vyššie uvedenej axiómy rovnobežnosti.

Veta 4

V trojrozmernom priestore sú dve priamky rovnobežné s treťou navzájom rovnobežné.

Dôkaz o atribúte sa študuje v programe geometria pre 10. ročník.

Uvádzame ilustráciu týchto teorém:

Naznačme ešte jednu dvojicu viet, ktoré dokazujú rovnobežnosť priamok.

Veta 5

V rovine sú dve priamky kolmé na tretiu navzájom rovnobežné.

Sformulujme podobnú pre trojrozmerný priestor.

Veta 6

V trojrozmernom priestore sú dve priamky kolmé na tretiu navzájom rovnobežné.

Poďme na ilustráciu:

Všetky vyššie uvedené vety, znamienka a podmienky umožňujú pohodlne dokázať rovnobežnosť priamok metódami geometrie. To znamená, že na dôkaz rovnobežnosti priamok je možné ukázať, že zodpovedajúce uhly sú rovnaké, alebo preukázať skutočnosť, že dve dané priamky sú kolmé na tretiu atď. Poznamenávame však, že na dôkaz rovnobežnosti čiar v rovine alebo v trojrozmernom priestore je často vhodnejšie použiť metódu súradníc.

Rovnobežnosť čiar v pravouhlom súradnicovom systéme

V danom pravouhlom súradnicovom systéme je priamka určená rovnicou priamky na rovine jedného z možných typov. Podobne priamka daná v pravouhlom súradnicovom systéme v trojrozmernom priestore zodpovedá niektorým rovniciam priamky v priestore.

Napíšme potrebné a postačujúce podmienky pre rovnobežnosť priamok v pravouhlom súradnicovom systéme v závislosti od typu rovnice popisujúcej dané priamky.

Začnime s podmienkou rovnobežných čiar v rovine. Vychádza z definícií smerového vektora priamky a normálového vektora priamky v rovine.

Veta 7

Na to, aby dve nezhodné priamky boli rovnobežné v rovine, je potrebné a postačujúce, aby smerové vektory daných priamok boli kolineárne, alebo normálové vektory daných priamok boli kolineárne, alebo smerový vektor jednej priamky bol kolineárny. kolmo na normálový vektor druhej priamky.

Je zrejmé, že podmienka rovnobežných priamok v rovine je založená na podmienke kolineárnych vektorov alebo podmienke kolmosti dvoch vektorov. To znamená, že ak a → = (a x , a y) a b → = (b x , b y) sú smerové vektory priamok a a b ;

a n b → = (n b x , n b y) sú normálové vektory priamok a a b, potom vyššie uvedenú nevyhnutnú a postačujúcu podmienku zapíšeme takto: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y alebo n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y alebo a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , kde t je nejaké reálne číslo. Súradnice smerových alebo priamych vektorov sú určené danými rovnicami priamok. Uvažujme o hlavných príkladoch.

1. Priamka a v pravouhlom súradnicovom systéme je určená všeobecnou rovnicou priamky: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; čiara b - A2 x + B2 y + C2 = 0. Potom budú mať normálové vektory daných čiar súradnice (A 1 , B 1 ) a ( A 2 , B 2 ). Podmienku paralelnosti zapíšeme takto:

Ai = tA2B1 = tB2

1. Priamka a je opísaná rovnicou priamky so sklonom v tvare y = k 1 x + b 1 . Priama čiara b - y \u003d k 2 x + b 2. Potom normálové vektory daných čiar budú mať súradnice (k 1 , - 1) a (k 2 , - 1) a podmienku rovnobežnosti zapíšeme takto:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Ak sú teda rovnobežné priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme dané rovnicami so sklonovými koeficientmi, potom sa sklonové koeficienty daných priamok budú rovnať. A platí aj opačné tvrdenie: ak sú nezhodné priamky v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme určené rovnicami priamky s rovnakými koeficientmi sklonu, potom sú tieto zadané priamky rovnobežné.

1. Priamky a a b v pravouhlom súradnicovom systéme sú dané kanonickými rovnicami priamky v rovine: x - x 1 a x = y - y 1 a y a x - x 2 b x = y - y 2 b y alebo parametrickým rovnice priamky v rovine: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y a x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

Potom budú smerové vektory daných čiar: a x , a y a b x , b y a podmienku rovnobežnosti zapíšeme takto:

a x = t b x a y = t b y

Pozrime sa na príklady.

Príklad 1

Dané dva riadky: 2 x - 3 y + 1 = 0 a x 1 2 + y 5 = 1 . Musíte určiť, či sú paralelné.

Riešenie

Rovnicu priamky napíšeme v segmentoch vo forme všeobecnej rovnice:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vidíme, že n a → = (2 , - 3) je normálový vektor priamky 2 x - 3 y + 1 = 0 a n b → = 2, 1 5 je normálový vektor priamky x 1 2 + y 5 = 1.

Výsledné vektory nie sú kolineárne, pretože neexistuje žiadna taká hodnota t, pre ktorú bude platiť rovnosť:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Nie je teda splnená nevyhnutná a postačujúca podmienka rovnobežnosti priamok v rovine, čo znamená, že dané priamky nie sú rovnobežné.

odpoveď: dané čiary nie sú rovnobežné.

Príklad 2

Dané priamky y = 2 x + 1 a x 1 = y - 4 2 . Sú paralelné?

Riešenie

Transformujme kanonickú rovnicu priamky x 1 \u003d y - 4 2 na rovnicu priamky so sklonom:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vidíme, že rovnice priamok y = 2 x + 1 a y = 2 x + 4 nie sú rovnaké (ak by to bolo inak, priamky by boli rovnaké) a sklony priamok sú rovnaké, čo znamená, že dané čiary sú rovnobežné.

Skúsme problém vyriešiť inak. Najprv skontrolujeme, či sa dané čiary zhodujú. Používame ľubovoľný bod priamky y \u003d 2 x + 1, napríklad (0, 1), súradnice tohto bodu nezodpovedajú rovnici priamky x 1 \u003d y - 4 2, čo znamená, že riadky sa nezhodujú.

Ďalším krokom je určenie splnenia podmienky rovnobežnosti pre dané čiary.

Normálový vektor priamky y = 2 x + 1 je vektor n a → = (2 , - 1) a smerový vektor druhej danej priamky je b → = (1 , 2) . Skalárny súčin týchto vektorov je nula:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Vektory sú teda kolmé: to nám demonštruje splnenie nevyhnutnej a postačujúcej podmienky, aby pôvodné čiary boli rovnobežné. Tie. dané čiary sú rovnobežné.

odpoveď: tieto čiary sú rovnobežné.

Na preukázanie rovnobežnosti priamok v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru sa používa nasledujúca nevyhnutná a postačujúca podmienka.

Veta 8

Aby boli dve nezhodné priamky v trojrozmernom priestore rovnobežné, je potrebné a postačujúce, aby smerové vektory týchto priamok boli kolineárne.

Tie. pre dané rovnice priamok v trojrozmernom priestore sa odpoveď na otázku, či sú rovnobežné alebo nie, zistí určením súradníc smerových vektorov daných priamok, ako aj kontrolou podmienky ich kolinearity. Inými slovami, ak a → = (a x, a y, a z) a b → = (b x, b y, b z) sú smerové vektory priamok a a b, potom, aby boli rovnobežné, existencia takého reálneho počtu je potrebné t, aby platila rovnosť:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Príklad 3

Dané čiary x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 a x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Je potrebné dokázať rovnobežnosť týchto čiar.

Riešenie

Podmienkami úlohy sú kanonické rovnice jednej priamky v priestore a parametrické rovnice inej priamky v priestore. Smerové vektory a → a b → dané čiary majú súradnice: (1 , 0 , - 3) a (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2, potom a → = 1 2 b → .

Preto je splnená nevyhnutná a postačujúca podmienka pre rovnobežné čiary v priestore.

odpoveď: je dokázaná rovnobežnosť daných čiar.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Paralelné čiary. Vlastnosti a znaky rovnobežných čiar

1. Axióma rovnobežnosti. Cez daný bod možno viesť najviac jednu priamku rovnobežnú s daným.

2. Ak sú dve čiary rovnobežné s tou istou čiarou, potom sú navzájom rovnobežné.

3. Dve priamky kolmé na tú istú priamku sú rovnobežné.

4. Ak sú dve rovnobežné čiary pretínané treťou, potom sú vnútorné priečne uhly vytvorené súčasne rovnaké; zodpovedajúce uhly sú rovnaké; vnútorné jednostranné uhly sčítajú až 180°.

5. Ak v priesečníku dvoch priamok tretia tvorí rovnaké vnútorné priečne ležiace uhly, potom sú priamky rovnobežné.

6. Ak v priesečníku dvoch čiar tretia tvorí rovnaké zodpovedajúce uhly, potom sú čiary rovnobežné.

7. Ak je v priesečníku dvoch čiar tretej súčet vnútorných jednostranných uhlov 180 °, potom sú čiary rovnobežné.

Thalesova veta. Ak sú na jednej strane uhla umiestnené rovnaké segmenty a cez ich konce sú nakreslené rovnobežné priame čiary, ktoré pretínajú druhú stranu uhla, potom sa rovnaké segmenty uložia aj na druhú stranu uhla.

Veta o proporcionálnych segmentoch. Rovnobežné priame čiary pretínajúce strany uhla na nich vyrežú proporcionálne segmenty.

Trojuholník. Znaky rovnosti trojuholníkov.

1. Ak sa dve strany a uhol medzi nimi jedného trojuholníka rovná dvom stranám a uhol medzi nimi iného trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.

2. Ak sa strana a dva priľahlé uhly jedného trojuholníka rovnajú strane a dva priľahlé uhly iného trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.

3. Ak sa tri strany jedného trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov

1. Na dvoch nohách.

2. Pozdĺž nohy a prepony.

3. Podľa prepony a ostrého uhla.

4. Pozdĺž nohy a ostrého uhla.

Veta o súčte uhlov trojuholníka a jej dôsledkoch

1. Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180°.

2. Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch vnútorných uhlov, ktoré s ním nesusedia.

3. Súčet vnútorných uhlov konvexného n-uholníka je

4. Súčet vonkajších uhlov ga-uholníka je 360°.

5. Uhly so vzájomne kolmými stranami sú rovnaké, ak sú oba ostré alebo obidva tupé.

6. Uhol medzi osami susedných uhlov je 90°.

7. Osy vnútorných jednostranných uhlov s rovnobežkami a sečnicou sú kolmé.

Hlavné vlastnosti a znaky rovnoramenného trojuholníka

1. Uhly v základni rovnoramenného trojuholníka sú rovnaké.

2. Ak sú dva uhly trojuholníka rovnaké, potom je rovnoramenný.

3. V rovnoramennom trojuholníku sú medián, stred a výška nakreslené k základni rovnaké.

4. Ak sa ktorákoľvek dvojica úsečiek z trojitého - medián, stred, výška - zhoduje v trojuholníku, potom je rovnoramenná.

Trojuholníková nerovnosť a jej dôsledky

1. Súčet dvoch strán trojuholníka je väčší ako jeho tretia strana.

2. Súčet článkov prerušovanej čiary je väčší ako segment spájajúci začiatok

prvý odkaz s koncom posledného.

3. Oproti väčšiemu uhlu trojuholníka leží väčšia strana.

4. Proti väčšej strane trojuholníka leží väčší uhol.

5. Prepona pravouhlého trojuholníka je väčšia ako noha.

6. Ak sú kolmé a naklonené z jedného bodu na priamku, potom

1) kolmica je kratšia ako naklonená;

2) väčší sklon zodpovedá väčšiemu priemetu a naopak.

Stredná čiara trojuholníka.

Úsečka spájajúca stredy dvoch strán trojuholníka sa nazýva stredná čiara trojuholníka.

Veta o stredovej čiare trojuholníka.

Stredová čiara trojuholníka je rovnobežná so stranou trojuholníka a rovná sa jeho polovici.

Stredové vety trojuholníka

1. Strednice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode a delia ho v pomere 2:1, počítajúc zhora.

2. Ak sa stredná hodnota trojuholníka rovná polovici strany, na ktorú je nakreslený, potom je trojuholník pravouhlý.

3. Medián pravouhlého trojuholníka vytiahnutého z vrcholu pravého uhla sa rovná polovici prepony.

Vlastnosť odvesníc na strany trojuholníka. Odvesny na strany trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý je stredom kružnice opísanej trojuholníku.

Veta o výške trojuholníka. Čiary obsahujúce nadmorské výšky trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

Trojuholníkový teorém. Osy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý je stredom kružnice vpísanej do trojuholníka.

Vlastnosť osi trojuholníka. Osa trojuholníka rozdeľuje jeho stranu na segmenty proporcionálne k ostatným dvom stranám.

Znaky podobnosti trojuholníkov

1. Ak sa dva uhly jedného trojuholníka rovnajú dvom uhlom iného trojuholníka, potom sú trojuholníky podobné.

2. Ak sú dve strany jedného trojuholníka úmerné dvom stranám iného trojuholníka a uhly medzi týmito stranami sú rovnaké, potom sú trojuholníky podobné.

3. Ak sú tri strany jedného trojuholníka úmerné trom stranám druhého trojuholníka, potom sú trojuholníky podobné.

Oblasti podobných trojuholníkov

1. Pomer plôch podobných trojuholníkov sa rovná druhej mocnine koeficientu podobnosti.

2. Ak majú dva trojuholníky rovnaké uhly, potom ich plochy súvisia ako súčin strán, ktoré tieto uhly zvierajú.

V pravouhlom trojuholníku

1. Rameno pravouhlého trojuholníka sa rovná súčinu prepony a sínusu opačného alebo kosínusu ostrého uhla susediaceho s týmto ramenom.

2. Rameno pravouhlého trojuholníka sa rovná druhému ramenu vynásobenému tangensom opačného alebo kotangensom ostrého uhla susediaceho s týmto ramenom.

3. Rameno pravouhlého trojuholníka ležiace oproti uhlu 30 ° sa rovná polovici prepony.

4. Ak sa rameno pravouhlého trojuholníka rovná polovici prepony, potom uhol oproti tomuto ramenu je 30°.

5. R =; g \u003d, kde a, b sú nohy a c je prepona pravouhlého trojuholníka; r a R sú polomery vpísanej a opísanej kružnice.

Pytagorova veta a opak Pytagorovej vety

1. Druhá mocnina prepony pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov nôh.

2. Ak sa štvorec strany trojuholníka rovná súčtu štvorcov jeho ďalších dvoch strán, potom je trojuholník pravouhlý.

Stredné proporcie v pravouhlom trojuholníku.

Výška pravouhlého trojuholníka nakresleného od vrcholu pravého uhla je priemerom úmerným priemetom nôh na preponu a každá vetva je priemerom úmerným prepone a jej priemetu do prepony.

Metrické pomery v trojuholníku

1. Kosínusová veta. Druhá mocnina strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán bez zdvojnásobenia súčinu týchto strán krát kosínus uhla medzi nimi.

2. Dôsledok z kosínusovej vety. Súčet druhých mocnín uhlopriečok rovnobežníka sa rovná súčtu druhých mocnín všetkých jeho strán.

3. Vzorec pre stred trojuholníka. Ak m je medián trojuholníka nakresleného na stranu c, potom m = kde a a b sú zvyšné strany trojuholníka.

4. Sínusová veta. Strany trojuholníka sú úmerné sínusom opačných uhlov.

5. Zovšeobecnená sínusová veta. Pomer strany trojuholníka k sínusu opačného uhla sa rovná priemeru kružnice opísanej trojuholníku.

Vzorce oblasti trojuholníka

1. Plocha trojuholníka je polovica súčinu základne a výšky.

2. Plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho dvoch strán a sínusu uhla medzi nimi.

3. Plocha trojuholníka sa rovná súčinu jeho semiperimetru a polomeru vpísanej kružnice.

4. Plocha trojuholníka sa rovná súčinu jeho troch strán deleným štvornásobkom polomeru opísanej kružnice.

5. Heronov vzorec: S=, kde p je semiperimeter; a, b, c - strany trojuholníka.

Prvky rovnostranného trojuholníka. Nech h, S, r, R sú výška, obsah, polomery vpísanej a opísanej kružnice rovnostranného trojuholníka so stranou a. Potom
Štvoruholníky

Paralelogram. Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú v pároch rovnobežné.

Vlastnosti a vlastnosti rovnobežníka.

1. Uhlopriečka rozdeľuje rovnobežník na dva rovnaké trojuholníky.

2. Opačné strany rovnobežníka sú v pároch rovnaké.

3. Opačné uhly rovnobežníka sú v pároch rovnaké.

4. Uhlopriečky rovnobežníka pretínajú a pretínajú priesečník.

5. Ak sú protiľahlé strany štvoruholníka rovnaké vo dvojiciach, potom tento štvoruholník je rovnobežník.

6. Ak sú dve protiľahlé strany štvoruholníka rovnaké a rovnobežné, potom tento štvoruholník je rovnobežník.

7. Ak sú uhlopriečky štvoruholníka rozpolené priesečníkom, potom je tento štvoruholník rovnobežníkom.

Vlastnosť stredov strán štvoruholníka. Stredy strán akéhokoľvek štvoruholníka sú vrcholy rovnobežníka, ktorého plocha je polovica plochy štvoruholníka.

Obdĺžnik. Obdĺžnik je rovnobežník s pravým uhlom.

Vlastnosti a znaky obdĺžnika.

1. Uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké.

2. Ak sú uhlopriečky rovnobežníka rovnaké, potom je tento rovnobežník obdĺžnik.

Námestie.Štvorec je obdĺžnik, ktorého všetky strany sú rovnaké.

Rhombus. Kosoštvorec je štvoruholník, ktorého všetky strany sú rovnaké.

Vlastnosti a znaky kosoštvorca.

1. Uhlopriečky kosoštvorca sú kolmé.

2. Uhlopriečky kosoštvorca pretínajú jeho rohy.

3. Ak sú uhlopriečky rovnobežníka kolmé, potom je tento rovnobežník kosoštvorec.

4. Ak uhlopriečky rovnobežníka delia jeho uhly na polovicu, potom je tento rovnobežník kosoštvorec.

Hrazda. Lichobežník je štvoruholník, v ktorom sú rovnobežné iba dve protiľahlé strany (základne). Stredová čiara lichobežníka je segment spájajúci stredy nerovnobežných strán (laterálne strany).

1. Stredová čiara lichobežníka je rovnobežná so základňami a rovná sa ich polovičnému súčtu.

2. Úsečka spájajúca stredy uhlopriečok lichobežníka sa rovná polovičnému rozdielu podstav.

Nádherná vlastnosť lichobežníka. Priesečník uhlopriečok lichobežníka, priesečník predĺžení strán a stredy podstav ležia na tej istej priamke.

Rovnoramenný lichobežník. Lichobežník sa nazýva rovnoramenný, ak sú jeho strany rovnaké.

Vlastnosti a znaky rovnoramenného lichobežníka.

1. Uhly v základni rovnoramenného lichobežníka sú rovnaké.

2. Uhlopriečky rovnoramenného lichobežníka sú rovnaké.

3. Ak sú uhly na základni lichobežníka rovnaké, potom je rovnoramenný.

4. Ak sú uhlopriečky lichobežníka rovnaké, potom je rovnoramenný.

5. Priemet bočnej strany rovnoramenného lichobežníka na podstavu sa rovná polovičnému rozdielu podstav a priemet uhlopriečky je polovicou súčtu podstav.

Vzorce pre oblasť štvoruholníka

1. Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu základne a výšky.

2. Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu jeho priľahlých strán a sínusu uhla medzi nimi.

3. Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho dvoch susedných strán.

4. Plocha kosoštvorca je polovicou súčinu jeho uhlopriečok.

5. Plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovice súčtu základov a výšky.

6. Plocha štvoruholníka sa rovná polovici súčinu jeho uhlopriečok a sínusu uhla medzi nimi.

7. Heronov vzorec pre štvoruholník, okolo ktorého možno opísať kruh:

S \u003d, kde a, b, c, d sú strany tohto štvoruholníka, p je polobvod a S je plocha.

Podobné čísla

1. Pomer zodpovedajúcich lineárnych prvkov podobných obrázkov sa rovná koeficientu podobnosti.

2. Pomer plôch podobných útvarov sa rovná druhej mocnine koeficientu podobnosti.

pravidelný mnohouholník.

Nech a n je strana pravidelného n-uholníka a r n a R n sú polomery kružnice vpísanej a opísanej. Potom

Kruh.

Kruh je ťažisko bodov v rovine, ktoré sú v rovnakej kladnej vzdialenosti od daného bodu, nazývaného stred kruhu.

Základné vlastnosti kruhu

1. Priemer kolmý na tetivu rozdeľuje tetivu a oblúky, ktoré odpočítava na polovicu.

2. Priemer prechádzajúci stredom tetivy, ktorý nie je priemerom, je kolmý na túto tetivu.

3. Strednica kolmá na tetivu prechádza stredom kružnice.

4. Rovnaké akordy sú odstránené zo stredu kruhu v rovnakých vzdialenostiach.

5. Tetivy kruhu, ktoré sú rovnako vzdialené od stredu, sú rovnaké.

6. Kruh je symetrický vzhľadom na ktorýkoľvek z jeho priemerov.

7. Oblúky kruhu uzavreté medzi rovnobežnými tetivami sú rovnaké.

8. Z dvoch akordov je ten, ktorý je menej vzdialený od stredu, väčší.

9. Priemer je najväčšia tetiva kruhu.

Tangenta ku kruhu. Čiara, ktorá má jeden bod spoločný s kružnicou, sa nazýva dotyčnica ku kružnici.

1. Dotyčnica je kolmá na polomer nakreslený k bodu dotyku.

2. Ak je priamka a prechádzajúca bodom na kružnici kolmá na polomer nakreslený do tohto bodu, potom priamka a je dotyčnicou kružnice.

3. Ak sa priamky prechádzajúce bodom M dotýkajú kružnice v bodoch A a B, potom MA = MB a ﮮAMO = ﮮBMO, kde bod O je stredom kružnice.

4. Stred kružnice vpísanej do uhla leží na stredovej osi tohto uhla.

dotyčnicový kruh. Hovorí sa, že dva kruhy sa dotýkajú, ak majú jeden spoločný bod (dotykový bod).

1. Bod dotyku dvoch kružníc leží na ich stredovej línii.

2. Kruhy polomerov r a R so stredmi O 1 a O 2 sa zvonka dotýkajú práve vtedy, ak R + r \u003d O 1 O 2.

3. Kruhy s polomermi r a R (r

4. Kruhy so stredmi O 1 a O 2 sa zvonka dotýkajú v bode K. Nejaká priamka sa dotýka týchto kružníc v rôznych bodoch A a B a pretína sa so spoločnou dotyčnicou prechádzajúcou bodom K v bode C. Potom ﮮAK B \u003d 90° a ﮮO 1 CO 2 \u003d 90 °.

5. Úsek spoločnej vonkajšej dotyčnice k dvom dotyčnicovým kruhom polomerov r a R sa rovná úseku spoločnej vnútornej dotyčnice uzavretej medzi spoločnými vonkajšími. Oba tieto segmenty sú rovnaké.

Uhly spojené s kruhom

1. Hodnota oblúka kružnice sa rovná hodnote stredového uhla z neho vychádzajúceho.

2. Vpísaný uhol sa rovná polovici uhlovej veľkosti oblúka, na ktorom spočíva.

3. Vpísané uhly založené na rovnakom oblúku sú rovnaké.

4. Uhol medzi pretínajúcimi sa tetivami sa rovná polovici súčtu protiľahlých oblúkov prerezaných tetivami.

5. Uhol medzi dvoma sečnami pretínajúcimi sa mimo kružnice sa rovná polovičnému rozdielu oblúkov prerezaných sečnami na kružnici.

6. Uhol medzi dotyčnicou a tetivou vedenou z bodu dotyku sa rovná polovici uhlovej hodnoty oblúka vyrezaného na kružnici touto tetivou.

Vlastnosti kruhových akordov

1. Čiara stredov dvoch pretínajúcich sa kružníc je kolmá na ich spoločnú tetivu.

2. Súčin dĺžok segmentov tetiv AB a CD kružnice pretínajúcej sa v bode E sú rovnaké, to znamená AE EB \u003d CE ED.

Vpísané a opísané kruhy

1. Stredy vpísanej a opísanej kružnice pravidelného trojuholníka sa zhodujú.

2. Stred kružnice opísanej pravouhlému trojuholníku je stredom prepony.

3. Ak je možné vpísať kružnicu do štvoruholníka, potom sú súčty jeho protiľahlých strán rovnaké.

4. Ak možno štvoruholník vpísať do kruhu, potom súčet jeho opačných uhlov je 180°.

5. Ak je súčet protiľahlých uhlov štvoruholníka 180°, potom možno okolo neho opísať kružnicu.

6. Ak sa dá do lichobežníka vpísať kružnica, potom je bočná strana lichobežníka viditeľná zo stredu kružnice v pravom uhle.

7. Ak možno do lichobežníka vpísať kružnicu, potom je polomer kružnice priemerom úmerným segmentom, na ktoré dotykový bod rozdeľuje bočnú stranu.

8. Ak sa dá do mnohouholníka vpísať kružnica, potom sa jej plocha rovná súčinu pol obvodu mnohouholníka a polomeru tejto kružnice.

Veta dotyčnice a sekansu a jej dôsledok

1. Ak sa z jedného bodu ku kružnici vedie dotyčnica a sečna, potom súčin celej sečny jej vonkajšej časti sa rovná druhej mocnine dotyčnice.

2. Súčin celej sečny jeho vonkajšej časti pre daný bod a daný kruh je konštantný.

Obvod kruhu s polomerom R je C= 2πR

KAPITOLA III.
PARALELNÉ ČIARY

§ 35. ZNAKY PARALELY DVOCH PRIAMYCH ČIAR.

Veta, že dve kolmice k jednej priamke sú rovnobežné (§ 33), dáva znamenie, že dve priamky sú rovnobežné. Je možné odvodiť všeobecnejšie znaky rovnobežnosti dvoch priamok.

1. Prvý znak paralelizmu.

Ak sú v priesečníku dvoch priamok s treťou vnútorné uhly ležiace naprieč rovnaké, potom sú tieto priamky rovnobežné.

Nech priamky AB a CD pretínajú priamku EF a / 1 = / 2. Vezmite bod O - stred segmentu KL sečnice EF (obr. 189).

Pustime kolmicu OM z bodu O na priamku AB a pokračujeme v nej, kým sa nepretne s priamkou CD, AB_|_MN. Dokážme, že CD_|_MN.
Za týmto účelom zvážte dva trojuholníky: MOE a NOK. Tieto trojuholníky sú si navzájom rovné. Naozaj: / 1 = / 2 podmienkou vety; OK = OL - podľa konštrukcie;
/ MOL = / NOK ako zvislé rohy. Teda strana a dva k nej priľahlé uhly jedného trojuholníka sú rovnaké ako strana a dva k nej priľahlé uhly iného trojuholníka; v dôsledku toho /\ MOL = /\ NOK, a teda
/ LMO = / no ale / LMO je priamy, teda a / KNO je tiež rovný. Čiary AB a CD sú teda kolmé na tú istú čiaru MN, teda sú rovnobežné (§ 33), čo sa malo dokázať.

Poznámka. Priesečník priamok MO a CD možno určiť otočením trojuholníka MOL okolo bodu O o 180°.

2. Druhý znak paralelizmu.

Pozrime sa, či sú priamky AB a CD rovnobežné, ak v priesečníku ich tretej priamky EF sú zodpovedajúce uhly rovnaké.

Nech sú niektoré zodpovedajúce uhly rovnaké, napr / 3 = / 2 (dev. 190);
/ 3 = / 1, pretože rohy sú vertikálne; znamená, / 2 budú rovnaké / 1. Ale uhly 2 a 1 sú vnútorné priečne uhly a už vieme, že ak sú v priesečníku dvoch priamok treťou vnútorné priečne ležiace uhly rovnaké, potom sú tieto priamky rovnobežné. Preto AB || CD.

Ak sú v priesečníku dvoch čiar tretej zodpovedajúce uhly rovnaké, potom sú tieto dve čiary rovnobežné.

Na tejto vlastnosti je založená konštrukcia rovnobežných čiar pomocou pravítka a rysovacieho trojuholníka. Toto sa robí nasledovne.

Pripevníme trojuholník k pravítku, ako je znázornené na obrázku 191. Trojuholník posunieme tak, aby sa jedna z jeho strán posúvala po pravítku a nakreslíme niekoľko priamych čiar pozdĺž ktorejkoľvek inej strany trojuholníka. Tieto čiary budú rovnobežné.

3. Tretí znak rovnobežnosti.

Uvedomme si, že na priesečníku dvoch priamok AB a CD treťou priamkou je súčet všetkých vnútorných jednostranných uhlov rovný 2. d(alebo 180°). Budú v tomto prípade priamky AB a CD rovnobežné (obr. 192).

Nechaj / 1 a / 2 vnútorné jednostranné uhly a pridajte až 2 d.
ale / 3 + / 2 = 2d ako susedné uhly. v dôsledku toho / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Odtiaľ / 1 = / 3, pričom tieto rohy ležia vo vnútri priečne. Preto AB || CD.

Ak sú na priesečníku dvoch priamok tretina, súčet vnútorných jednostranných uhlov sa rovná 2 d, potom sú tieto dve čiary rovnobežné.

Cvičenie.

Dokážte, že čiary sú rovnobežné:
a) ak sú vonkajšie priečne uhly rovnaké (obr. 193);
b) ak súčet vonkajších jednostranných uhlov je 2 d(dev. 194).