Nevyberáme si matematiku svoje povolanie a ona si nás vyberá.

Ruský matematik Yu.I. Manin

Modulové rovnice

Najťažšie riešiteľné úlohy v školskej matematike sú rovnice obsahujúce premenné pod znakom modulu. Pre úspešné riešenie takýchto rovníc je potrebné poznať definíciu a základné vlastnosti modulu. Prirodzene, študenti by mali mať zručnosti na riešenie rovníc tohto typu.

Základné pojmy a vlastnosti

Modul (absolútna hodnota) reálneho čísla označené a je definovaný takto:

Jednoduché vlastnosti modulu zahŕňajú nasledujúce vzťahy:

Poznámka, že posledné dve vlastnosti platia pre ľubovoľný párny stupeň.

Tiež, ak , kde , potom a

Zložitejšie vlastnosti modulu, ktoré možno efektívne využiť pri riešení rovníc s modulmi, sú formulované pomocou nasledujúcich teorém:

Veta 1.Pre akékoľvek analytické funkcie a nerovnosť

Veta 2. Rovnosť je to isté ako nerovnosť.

Veta 3. Rovnosť je ekvivalentná nerovnosti.

Zvážte typické príklady riešenia problémov na tému „Rovnice, obsahujúce premenné pod znakom modulu.

Riešenie rovníc s modulom

Najbežnejšou metódou v školskej matematike na riešenie rovníc s modulom je metóda, založené na rozširovaní modulov. Táto metóda je všeobecná, vo všeobecnosti však jeho aplikácia môže viesť k veľmi ťažkopádnym výpočtom. V tomto smere by si študenti mali uvedomiť aj iné, efektívnejšie metódy a techniky na riešenie takýchto rovníc. Najmä, musíte mať zručnosti na aplikáciu teorémov, uvedené v tomto článku.

Príklad 1 Vyriešte rovnicu. (jeden)

rozhodnutie. Rovnica (1) bude riešená "klasickou" metódou - metódou rozšírenia modulu. Aby sme to urobili, zlomíme číselnú os bodky a intervaloch a zvážte tri prípady.

1. Ak , potom , , a rovnica (1) má tvar . Vyplýva to odtiaľto. Tu však nájdená hodnota nie je koreňom rovnice (1).

2. Ak , potom z rovnice (1) dostaneme alebo .

Odvtedy koreň rovnice (1).

3. Ak , potom rovnica (1) nadobúda tvar alebo . Poznač si to .

Odpoveď: ,.

Pri riešení nasledujúcich rovníc modulom budeme aktívne využívať vlastnosti modulov, aby sme zvýšili efektivitu riešenia takýchto rovníc.

Príklad 2 vyriešiť rovnicu.

rozhodnutie. Od a potom to vyplýva z rovnice. V tejto súvislosti , , a rovnica sa stáva. Odtiaľto sa dostaneme. však takže pôvodná rovnica nemá korene.

Odpoveď: žiadne korene.

Príklad 3 vyriešiť rovnicu.

rozhodnutie. Odvtedy . Ak potom , a rovnica sa stáva.

Odtiaľto sa dostávame.

Príklad 4 vyriešiť rovnicu.

rozhodnutie.Prepíšme rovnicu do ekvivalentného tvaru. (2)

Výsledná rovnica patrí medzi rovnice typu .

Ak vezmeme do úvahy vetu 2, môžeme konštatovať, že rovnica (2) je ekvivalentná nerovnosti . Odtiaľto sa dostávame.

Odpoveď: .

Príklad 5 Vyriešte rovnicu.

rozhodnutie. Táto rovnica má tvar. tak , podľa vety 3, tu máme nerovnosť alebo .

Príklad 6 vyriešiť rovnicu.

rozhodnutie. Predpokladajme, že . ako , potom má daná rovnica tvar kvadratickej rovnice, (3)

kde . Pretože rovnica (3) má jeden kladný koreň a potom . Odtiaľ dostaneme dva korene pôvodnej rovnice: a .

Príklad 7 vyriešiť rovnicu. (4)

rozhodnutie. Od rovniceje ekvivalentná kombinácii dvoch rovníc: a , potom pri riešení rovnice (4) je potrebné uvažovať dva prípady.

1. Ak , potom alebo .

Odtiaľto dostávame , a .

2. Ak , potom alebo .

Odvtedy .

Odpoveď: , , , .

Príklad 8vyriešiť rovnicu . (5)

rozhodnutie. Odvtedy a potom. Odtiaľto a z rovnice (5) vyplýva, že a , t.j. tu máme systém rovníc

Tento systém rovníc je však nekonzistentný.

Odpoveď: žiadne korene.

Príklad 9 vyriešiť rovnicu. (6)

rozhodnutie. Ak určíme a z rovnice (6) dostaneme

Alebo . (7)

Keďže rovnica (7) má tvar , táto rovnica je ekvivalentná nerovnosti . Odtiaľto sa dostávame. Od , potom alebo .

Odpoveď: .

Príklad 10vyriešiť rovnicu. (8)

rozhodnutie.Podľa vety 1 môžeme písať

(9)

Berúc do úvahy rovnicu (8), prichádzame k záveru, že obe nerovnosti (9) sa menia na rovnosti, t.j. existuje systém rovníc

Avšak podľa vety 3 je vyššie uvedený systém rovníc ekvivalentný systému nerovností

(10)

Riešením sústavy nerovníc (10) dostaneme . Keďže systém nerovníc (10) je ekvivalentný rovnici (8), pôvodná rovnica má jeden koreň .

Odpoveď: .

Príklad 11. vyriešiť rovnicu. (11)

rozhodnutie. Nech a , potom rovnica (11) implikuje rovnosť .

Z toho vyplýva, že a . Takže tu máme systém nerovností

Riešením tohto systému nerovností sú a .

Odpoveď: ,.

Príklad 12.vyriešiť rovnicu. (12)

rozhodnutie. Rovnica (12) bude riešená metódou postupného rozširovania modulov. Ak to chcete urobiť, zvážte niekoľko prípadov.

1. Ak , tak .

1.1. Ak , potom a , .

1.2. Ak potom . však tak v tento prípad rovnica (12) nemá korene.

2. Ak , potom .

2.1. Ak , potom a , .

2.2. Ak , tak a .

Odpoveď: , , , , .

Príklad 13vyriešiť rovnicu. (13)

rozhodnutie. Keďže ľavá strana rovnice (13) je nezáporná, potom a . V tomto ohľade, a rovnica (13)

má podobu alebo .

Je známe, že rovnica je ekvivalentná kombinácii dvoch rovníc a , riešenie, ktoré dostaneme, . ako , potom rovnica (13) má jeden koreň.

Odpoveď: .

Príklad 14 Vyriešte sústavu rovníc (14)

rozhodnutie. Odvtedy a , potom a . Preto zo sústavy rovníc (14) získame štyri sústavy rovníc:

Korene vyššie uvedených sústav rovníc sú koreňmi sústavy rovníc (14).

Odpoveď: ,, , , , , , .

Príklad 15 Vyriešte sústavu rovníc (15)

rozhodnutie. Odvtedy . V tomto smere zo sústavy rovníc (15) získame dve sústavy rovníc

Korene prvej sústavy rovníc sú a , az druhej sústavy rovníc získame a .

Odpoveď: , , , .

Príklad 16 Vyriešte sústavu rovníc (16)

rozhodnutie. Z prvej rovnice sústavy (16) vyplýva, že .

Odvtedy . Zvážte druhú rovnicu systému. Pokiaľ ide o, potom , a rovnica sa stáva, , alebo .

Ak dosadíme hodnotudo prvej rovnice sústavy (16), potom , alebo .

Odpoveď: ,.

Pre hlbšie štúdium metód riešenia problémov, súvisiace s riešením rovníc, obsahujúce premenné pod znakom modulu, môžete poradiť návody zo zoznamu odporúčanej literatúry.

1. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov na technické univerzity / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Svet a vzdelávanie, 2013. - 608 s.

2. Suprun V.P. Matematika pre stredoškolákov: úlohy so zvýšenou zložitosťou. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 s.

3. Suprun V.P. Matematika pre stredoškolákov: neštandardné metódy riešenia úloh. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 s.

Máte nejaké otázky?

Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Tochilkina Julia

Článok prezentuje rôzne metódy riešenia rovníc s modulom.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia

"Stredná škola č. 59"

Modulo rovnice

Abstraktné dielo

Vykonané Žiak 9. ročníka

MBOU "Stredná škola č. 59", Barnaul

Tochilkina Julia

Dozorca

Zakharova Ludmila Vladimirovna,

učiteľ matematiky

MBOU "Stredná škola č. 59", Barnaul

Barnaul 2015

Úvod

Som v deviatom ročníku. V tomto školskom roku musím absolvovať záverečnú atestáciu z kurzu základnej školy. Aby sme sa pripravili na skúšku, zakúpili sme zbierku matematiky D. A. Maltseva. 9. ročník Pri pohľade na zbierku som našiel rovnice obsahujúce nielen jeden, ale aj niekoľko modulov. Učiteľ mi a mojim spolužiakom vysvetlil, že takéto rovnice sa nazývajú rovnice „vnorených modulov“. Tento názov sa nám zdal nezvyčajný a riešenie na prvý pohľad dosť komplikované. Takto sa objavila téma mojej práce „Rovnice s modulom“. Túto tému som sa rozhodol preštudovať hlbšie, najmä preto, že sa mi bude hodiť pri skladaní skúšok na konci školského roka a myslím, že ju budem potrebovať v 10. a 11. ročníku. Všetko vyššie uvedené určuje relevantnosť témy, ktorú som si vybral.

Cieľ:

1. Zvážte rôzne metódy riešenia rovníc s modulom.
2. Naučte sa riešiť rovnice obsahujúce znamienko absolútnej hodnoty pomocou rôznych metód

Na spracovanie témy boli sformulované tieto úlohy:

Úlohy:

1. Preštudovať si teoretický materiál na tému "Modul reálneho čísla."
2. Zvážte metódy riešenia rovníc a upevnite poznatky získané riešením problémov.
3. Aplikovať získané poznatky pri riešení rôznych rovníc obsahujúcich znamienko modulu na strednej škole

Predmet štúdia:metódy riešenia rovníc s modulom

Predmet štúdia:modulo rovnice

Výskumné metódy:

Teoretické : štúdium literatúry k výskumnej téme;

Internet – informácie.

Analýza informácie získané štúdiom literatúry; výsledky získané riešením rovníc s modulom rôznymi spôsobmi.

Porovnanie spôsoby riešenia rovníc, predmet racionality ich použitia pri riešení rôznych rovníc s modulom.

"Začneme premýšľať, keď na niečo narazíme." Paul Valerie.

1. Pojmy a definície.

Koncept "modulu" je široko používaný v mnohých častiach kurzu školskej matematiky, napríklad pri štúdiu absolútnych a relatívnych chýb približného čísla; v geometrii a fyzike sa študujú pojmy vektor a jeho dĺžka (vektorový modul). Koncept modulu sa používa v kurzoch vyššej matematiky, fyziky a technických vied študovaných na vysokých školách.

Slovo „modul“ pochádza z latinského slova „modulus“, čo v preklade znamená „merať“. Toto slovo má mnoho významov a používa sa nielen v matematike, fyzike a technike, ale aj v architektúre, programovaní a iných exaktných vedách.

Predpokladá sa, že tento výraz navrhol používať Kots, študent Newtona. Modulový znak zaviedol v 19. storočí Weierstrass.

V architektúre je modul počiatočnou mernou jednotkou stanovenou pre danú architektonickú štruktúru.

V strojárstve je to termín používaný v rôznych oblastiach techniky, ktorý slúži na označenie rôznych koeficientov a veličín, napríklad modul pružnosti, modul záberu ...

V matematike má modul niekoľko významov, ale budem ho považovať za absolútnu hodnotu čísla.

Definícia 1: Modul (absolútna hodnota) reálneho čísla a samotné číslo sa volá ak a ≥0 alebo opačné číslo - A keď a nulový modul je nula.

Pri riešení rovníc modulom je vhodné využiť vlastnosti modulu.

Zvážte dôkazy 5,6,7 vlastností.

Vyhlásenie 5. Rovnosť │ je pravda, ak av ≥ 0.

Dôkaz. Skutočne, po umocnení oboch častí tejto rovnosti dostaneme │ a+v │²=│ a │²+2│ ab │+│ až │²,

a² + 2 av + b² \u003d a² + 2│ av │ + b², odkiaľ │ av │ = av

A posledná rovnosť bude platiť pre av ≥0.

Výrok 6. Rovnosť │ a-c │=│ a │+│ c │ je pravda, keď av ≤0.

Dôkaz. Na dôkaz to stačí v rovnosti

│ a + v │=│ a │+│ v │ nahradiť in za - in, potom a (- in) ≥0, odkiaľ av ≤0.

Výrok 7. Rovnosť │ a │+│ v │= a + v vykonaná o a ≥ 0 a b ž 0.

Dôkaz . Berúc do úvahy štyri prípady a > 0 a b > 0; a ≥0 a b a pri >0; a v a ≥ 0 a b ž 0.

(a-c) v >0.

Geometrická interpretácia

|a| je vzdialenosť na súradnicovej čiare od bodu so súradnicou a , na začiatok súradníc.

|-a| |a|

A 0 a x

Geometrický výklad významu |a| jasne potvrdzuje, že |-a|=|a|

Ak 0, potom na súradnicovej čiare sú dva body a a -a, rovnako vzdialené od nuly, ktorých moduly sú rovnaké.

Ak a=0, potom na súradnicovej čiare |a| reprezentovaný bodom 0.

Definícia 2: Rovnica s modulom je rovnica obsahujúca premennú pod znakom absolútnej hodnoty (pod znakom modulu). Napríklad: |x +3|=1

Definícia 3: Riešenie rovnice znamená nájsť všetky jej korene, alebo dokázať, že žiadne korene neexistujú.

2. Metódy riešenia

Z definície a vlastností modulu vyplývajú hlavné metódy riešenia rovníc s modulom:

1. "Rozšírenie" modulu (t. j. použitie definície);
2. Použitie geometrického významu modulu (vlastnosť 2);
3. Grafická metóda riešenia;
4. Použitie ekvivalentných transformácií (vlastnosti 4.6);
5. Variabilná substitúcia (táto používa vlastnosť 5).
6. intervalová metóda.

Riešil som pomerne veľké množstvo príkladov, ale vo svojej práci vám uvádzam len niekoľko, podľa môjho názoru, typických príkladov riešených rôznymi spôsobmi, pretože ostatné sa navzájom duplikujú a aby ste pochopili, ako riešiť rovnice pomocou modul, netreba zvažovať všetky riešené príklady.

RIEŠENIE ROVNÍC | f(x)| = a

Zvážte rovnicu | f(x)| = a, a R

Rovnicu tohto druhu možno vyriešiť definovaním modulu:

Ak a potom rovnica nemá korene.

Ak a= 0, potom je rovnica ekvivalentná f(x)=0.

Ak a>0, potom je rovnica ekvivalentná množine

Príklad. Vyriešte rovnicu |3x+2|=4.

rozhodnutie.

|3x+2|=4, potom 3x+2=4,

3x+2= -4;

X = -2,

X = 2/3

Odpoveď: -2;2/3.

RIEŠENIE ROVNÍC POMOCOU GEOMETRICKÝCH VLASTNOSTÍ MODULU.

Príklad 1 Vyriešte rovnicu /x-1/+/x-3/=6.

rozhodnutie.

Vyriešiť túto rovnicu znamená nájsť všetky také body na číselnej osi Ox, pre každý z nich je súčet vzdialeností od nej k bodom so súradnicami 1 a 3 rovný 6.

Žiadny z bodov na čiarenespĺňa túto podmienku, pretože súčet zadaných vzdialeností je 2. Mimo tohto segmentu sú dva body: 5 a -1.

1 1 3 5

Odpoveď: -1;5

Príklad 2 Riešte rovnicu |x 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.

rozhodnutie.

Označte x 2 + x-5 \u003d a, potom / a / + / a-4 /=10. Nájdime body na osi Ox také, aby pre každý z nich bol súčet vzdialeností bodov so súradnicami 0 a 4 rovný 10. Túto podmienku spĺňajú -4 a 7.

3 0 4 7

Takže x 2 + x-5 \u003d 4 x 2 + x-5 \u003d 7

X 2 + x-2 \u003d 0 x 2 + x-12 \u003d 0

X 1 \u003d 1, x 2 \u003d -2 x 1 \u003d -4, x 2 \u003d 3 Odpoveď: -4; -2; jeden; 3.

RIEŠENIE ROVNÍC | f(x)| = | g(x)|.

1. Od | a |=|b |, ak a=b, potom rovnica v tvare | f(x)| = | g(x )| sa rovná agregátu

Príklad 1.

Riešiť rovnicu | x–2| = |3 - x |.

rozhodnutie.

Táto rovnica je ekvivalentná dvom rovniciam:

x - 2 \u003d 3 - x (1) a x - 2 \u003d -3 + x (2)

2 x = 5 -2 = -3 - nesprávne

X = 2,5 rovnica nemá riešenia.

Odpoveď: 2.5.

Príklad 2

Riešte rovnicu |x 2 + 3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.

rozhodnutie.

Keďže obe strany rovnice sú nezápornékvadratúra je ekvivalentná transformácia:

(x 2 + 3x-20) 2 \u003d (x 2 -3x + 2) 2

(x 2 + 3x-20) 2 - (x 2 -3x + 2) 2 \u003d 0,

(x 2 + 3x-20-x 2 + 3x-2) (x 2 + 3x-20 + x 2 -3x + 2) \u003d 0,

(6x-22)(2x 2-18)=0,

6x-22=0 alebo 2x 2-18=0;

X = 22/6, x = 3, x = -3.

X = 11/3

Odpoveď: -3; 3; 3. 11.

RIEŠENIE ROVNICE POHĽADU | f(x)| = g(x).

Rozdiel medzi týmito rovnicami a| f(x)| = a v tom, že pravá strana je tiež premenná. A môže byť pozitívny aj negatívny. Preto sa musíte uistiť, že nie je záporný, pretože modul sa nemôže rovnať zápornému číslu (vlastnosť№1 )

1 spôsob

Riešenie rovnice | f(x)| = g(x ) sa redukuje na množinu riešení rovníca kontrola platnosti nerovnosti g(x )>0 pre nájdené hodnoty neznámeho.

2-cestný (podľa definície modulu)

Od | f(x)| = g (x), ak f (x) = 0; | f(x)| = - f(x) ak f(x)

Príklad.

Vyriešiť rovnicu |3 x –10| = x - 2.

rozhodnutie.

Táto rovnica je ekvivalentná kombinácii dvoch systémov:

Otet: 3; 4.

RIEŠENIE ROVNICE FORMULÁRA |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)

Riešenie rovníc tohto typu vychádza z definície modulu. Pre každú funkciu f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) je potrebné nájsť definičný obor, jeho nuly a body diskontinuity, ktoré rozdeľujú všeobecný definičný obor na intervaly, v každom z nich sú funkcie f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) ponechať svoje znamenie. Ďalej pomocou definície modulu pre každú z nájdených oblastí získame rovnicu, ktorú je potrebné vyriešiť na danom intervale. Táto metóda sa nazýva "intervalová metóda»

Príklad.

Vyriešte rovnicu |x-2|-3|x+4|=1.

rozhodnutie.

Nájdite body, kde sa výrazy submodulu rovnajú nule

x-2=0, x+4=0,

x = 2; x = -4.

Rozdeľme číselnú os na intervaly x

Riešenie rovnice je redukované na riešenie troch systémov:

Odpoveď: -15, -1,8.

GRAFICKÁ METÓDA NA RIEŠENIE ROVNICE OBSAHUJÚCA ZNAČKA MODULU.

Grafický spôsob riešenia rovníc je približný, pretože presnosť závisí od zvoleného segmentu jednotky, hrúbky ceruzky, uhlov, v ktorých sa čiary pretínajú atď. Ale táto metóda vám umožňuje odhadnúť, koľko riešení má konkrétna rovnica.

Príklad. Riešte graficky rovnicu |x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| = 9

rozhodnutie. Zostrojme grafy funkcií v jednom súradnicovom systéme

y=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| a y=9.

Na zostavenie grafu je potrebné zvážiť túto funkciu na každom intervale (-∞; 2); [3/2; ∞)

Odpoveď: (- ∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ )

Metódu ekvivalentných transformácií sme použili aj pri riešení rovníc | f(x)| = | g(x)|.

ROVNICE S "KOMPLEXNÝM MODULOM"

Ďalším typom rovníc sú rovnice s „komplexným“ modulom. Takéto rovnice zahŕňajú rovnice, ktoré majú "moduly v module". Rovnice tohto typu možno riešiť rôznymi metódami.

Príklad 1

Vyriešte rovnicu ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.

rozhodnutie.

Podľa definície modulu máme:

Poďme vyriešiť prvú rovnicu.

1. ||| x |–2| –1| = 4

| x | – 2 = 5;

| x | = 7;

x = 7.

Poďme vyriešiť druhú rovnicu.

1. ||| x | –2| –1| = 0,

|| x | –2| = 1,

| x | -2 = 1,

| x | = 3 a | x | = 1,

x = 3; x = 1.

O d: 1; 3; 7.

Príklad 2

Riešte rovnicu |2 – |x + 1|| = 3.

rozhodnutie.

Vyriešme rovnicu zavedením novej premennej.

Nechajte | x + 1| = y , potom |2 – y | = 3, teda

Urobme opačnú substitúciu:

(1) | X + 1| = -1 - žiadne riešenia.

(2) | x + 1| = 5

A n e t: -6; 4.

Príklad3.

Koľko koreňov má rovnica | 2 | x | -6 | = 5 - x?

rozhodnutie. Riešime rovnicu pomocou schém ekvivalencie.

Rovnica | 2 | x | -6 | = 5 -x je ekvivalentné systému:

Modul je absolútna hodnota výrazu. Ak chcete aspoň nejako označiť modul, je obvyklé používať rovné konzoly. Hodnota, ktorá je uzavretá v párnych zátvorkách, je hodnota, ktorá sa používa modulo. Proces riešenia akéhokoľvek modulu spočíva v otvorení tých istých priamych zátvoriek, ktoré sa v matematickom jazyku nazývajú modulárne zátvorky. K ich zverejneniu dochádza podľa určitého počtu pravidiel. V poradí modulov riešenia sú tiež množiny hodnôt tých výrazov, ktoré boli v zátvorkách modulov. Vo väčšine prípadov je modul rozšírený takým spôsobom, že výraz, ktorý bol submodulom, dostane kladné aj záporné hodnoty, vrátane hodnoty nula. Ak vychádzame zo stanovených vlastností modulu, tak sa v procese zostavujú rôzne rovnice či nerovnice z pôvodného výrazu, ktoré je potom potrebné riešiť. Poďme zistiť, ako vyriešiť moduly.

Proces riešenia

Riešenie modulu začína napísaním pôvodnej rovnice s modulom. Ak chcete odpovedať na otázku, ako riešiť rovnice s modulom, musíte ho úplne otvoriť. Na vyriešenie takejto rovnice sa modul rozšíri. Musia sa zvážiť všetky modulárne výrazy. Je potrebné určiť, pri akých hodnotách neznámych veličín zahrnutých v jeho zložení modulárny výraz v zátvorkách zmizne. Aby to bolo možné, stačí prirovnať výraz v modulárnych zátvorkách k nule a potom vypočítať riešenie výslednej rovnice. Zistené hodnoty musia byť zaznamenané. Rovnakým spôsobom musíte tiež určiť hodnotu všetkých neznámych premenných pre všetky moduly v tejto rovnici. Ďalej je potrebné zaoberať sa definíciou a zohľadnením všetkých prípadov existencie premenných vo výrazoch, keď sú odlišné od hodnoty nula. Na to je potrebné zapísať nejaký systém nerovností zodpovedajúci všetkým modulom v pôvodnej nerovnosti. Nerovnosti musia byť nakreslené tak, aby pokrývali všetky dostupné a možné hodnoty pre premennú, ktoré sa nachádzajú na číselnej osi. Potom musíte na vizualizáciu nakresliť rovnakú číselnú os, na ktorú v budúcnosti umiestnite všetky získané hodnoty.

Takmer všetko sa dnes dá vybaviť online. Modul nie je výnimkou z pravidiel. Môžete to vyriešiť online na jednom z mnohých moderných zdrojov. Všetky tieto hodnoty premennej, ktoré sú v nulovom module, budú špeciálnym obmedzením, ktoré sa použije v procese riešenia modulárnej rovnice. V pôvodnej rovnici je potrebné rozšíriť všetky dostupné modulárne zátvorky a zároveň zmeniť znamienko výrazu tak, aby sa hodnoty požadovanej premennej zhodovali s hodnotami, ktoré sú viditeľné na číselnej osi. Výsledná rovnica musí byť vyriešená. Hodnotu premennej, ktorú získame v priebehu riešenia rovnice, je potrebné kontrolovať voči obmedzeniu, ktoré je nastavené samotným modulom. Ak hodnota premennej plne spĺňa podmienku, potom je správna. Všetky korene, ktoré sa získajú v priebehu riešenia rovnice, ale nebudú vyhovovať obmedzeniam, musia byť vyradené.

Pomôže vám táto online matematická kalkulačka vyriešiť rovnicu alebo nerovnosť pomocou modulov. Program pre riešenie rovníc a nerovníc pomocou modulov nielenže dáva odpoveď na problém, ale vedie podrobné riešenie s vysvetlivkami, t.j. zobrazuje proces získania výsledku.

Tento program môže byť užitočný pre stredoškolákov pri príprave na testy a skúšky, pri testovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou, pre rodičov na ovládanie riešenia mnohých problémov z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo len chcete mať domácu úlohu z matematiky či algebry hotovú čo najrýchlejšie? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s detailným riešením.

Týmto spôsobom môžete viesť svoj vlastný výcvik a/alebo výcvik vašich mladších bratov alebo sestier, pričom sa zvýši úroveň vzdelania v oblasti úloh, ktoré je potrebné riešiť.

|x| alebo abs(x) - modul x

Zadajte rovnicu alebo nerovnosť s modulmi

Vyriešte rovnicu alebo nerovnicu

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tejto úlohy neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

V prehliadači máte vypnutý JavaScript.
Aby sa riešenie zobrazilo, musí byť povolený JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Existuje veľa ľudí, ktorí chcú problém vyriešiť, vaša požiadavka je v rade.
Po niekoľkých sekundách sa riešenie zobrazí nižšie.
Počkaj, prosím sek...

Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať do Formulára spätnej väzby .
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Rovnice a nerovnice s modulmi

V kurze algebry základnej školy sa môžete stretnúť s najjednoduchšími rovnicami a nerovnicami s modulmi. Na ich vyriešenie môžete použiť geometrickú metódu založenú na skutočnosti, že \(|x-a| \) je vzdialenosť na číselnej osi medzi bodmi x a a: \(|x-a| = \rho (x;\; a ) \). Napríklad na vyriešenie rovnice \(|x-3|=2 \) musíte nájsť body na číselnej osi, ktoré sú vo vzdialenosti 2 od bodu 3. Sú dva také body: \(x_1=1 \) a \(x_2=5 \) .

Riešenie nerovnosti \(|2x+7|

Ale hlavný spôsob riešenia rovníc a nerovníc pomocou modulov súvisí s takzvaným „rozšírením modulu podľa definície“:
if \(a \geq 0 \), potom \(|a|=a \);
if \(a Rovnica (nerovnosť) s modulmi sa spravidla redukuje na množinu rovníc (nerovníc), ktoré neobsahujú znamienko modulu.

Okrem vyššie uvedenej definície sa používajú nasledujúce tvrdenia:
1) Ak \(c > 0 \), potom rovnica \(|f(x)|=c \) je ekvivalentná množine rovníc: \(\left[\begin(pole)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(pole)\vpravo.\)
2) Ak \(c > 0 \), potom nerovnosť \(|f(x)| 3) Ak \(c \geq 0 \), potom nerovnosť \(|f(x)| > c \) je ekvivalentné množine nerovností : \(\left[\začiatok(pole)(l) f(x) c \end(pole)\vpravo. \)
4) Ak obe časti nerovnosti \(f(x) PRÍKLAD 1. Vyriešte rovnicu \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).

Ak \(x-1 \geq 0 \), potom \(|x-1| = x-1 \) a daná rovnica sa stane
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \šípka doprava x^2 +2x -8 = 0 \).
Ak \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Šípka doprava x^2 -2x -4 = 0 \).
Danú rovnicu teda treba posudzovať samostatne v každom z dvoch naznačených prípadov.
1) Nech \(x-1 \geq 0 \), t.j. \(x \geq 1 \). Z rovnice \(x^2 +2x -8 = 0 \) nájdeme \(x_1=2, \; x_2=-4\). Podmienku \(x \geq 1 \) spĺňa iba hodnota \(x_1=2\).
2) Nech \(x-1 odpoveď: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

PRÍKLAD 2. Vyriešte rovnicu \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \).

Prvý spôsob(rozšírenie modulu podľa definície).
Argumentujúc ako v príklade 1 sme dospeli k záveru, že danú rovnicu treba posudzovať oddelene za dvoch podmienok: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) alebo \(x^2-6x+7

1) Ak \(x^2-6x+7 \geq 0 \), potom \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) a daná rovnica sa stane \(x^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \šípka doprava 3x^2-23x+30=0 \). Vyriešením tejto kvadratickej rovnice dostaneme: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Poďme zistiť, či hodnota \(x_1=6 \) spĺňa podmienku \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Za týmto účelom dosadíme uvedenú hodnotu do kvadratickej nerovnosti. Dostaneme: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), t.j. \(7 \geq 0 \) je správna nerovnosť. Preto je \(x_1=6 \) koreňom danej rovnice.
Poďme zistiť, či hodnota \(x_2=\frac(5)(3) \) spĺňa podmienku \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Za týmto účelom dosadíme uvedenú hodnotu do kvadratickej nerovnosti. Dostaneme: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), t.j. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) je neplatná nerovnosť. Takže \(x_2=\frac(5)(3) \) nie je koreňom danej rovnice.

2) Ak \(x^2-6x+7 Hodnota \(x_3=3\) spĺňa podmienku \(x^2-6x+7 Hodnota \(x_4=\frac(4)(3) \) vyhovuje nespĺňa podmienku \ (x^2-6x+7 Daná rovnica má teda dva korene: \(x=6, \; x=3 \).

Druhý spôsob. Daná rovnica \(|f(x)| = h(x) \), potom pre \(h(x) \(\left[\begin(pole)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(pole)\vpravo. \)
Obe tieto rovnice sú riešené vyššie (prvým spôsobom riešenia danej rovnice), ich korene sú nasledovné: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3) \). Podmienku \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) z týchto štyroch hodnôt spĺňajú iba dve: 6 a 3. Daná rovnica má teda dva korene: \(x=6, \; x=3 \).

Tretia cesta(grafické).
1) Nakreslíme funkciu \(y = |x^2-6x+7| \). Najprv zostrojíme parabolu \(y = x^2-6x+7\). Máme \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Graf funkcie \(y = (x-3)^2-2 \) možno získať z grafu funkcie \(y = x^2 \) posunutím o 3 jednotky mierky doprava (na os x) a 2 jednotky mierky nadol (pozdĺž osi y). Priamka x=3 je os paraboly, ktorá nás zaujíma. Ako kontrolné body pre presnejšie vykreslenie je vhodné vziať bod (3; -2) - vrchol paraboly, bod (0; 7) a bod (6; 7) symetrický vzhľadom na os. paraboly.
Ak chcete teraz zostaviť graf funkcie \(y = |x^2-6x+7| \), musíte ponechať nezmenené tie časti zostrojenej paraboly, ktoré neležia pod osou x, a zrkadliť časť parabola, ktorá leží pod osou x okolo osi x.
2) Nakreslíme lineárnu funkciu \(y = \frac(5x-9)(3) \). Je vhodné brať body (0; –3) a (3; 2) ako kontrolné body.

Podstatné je, že bod x = 1,8 priesečníka priamky s osou úsečky sa nachádza vpravo od ľavého priesečníka paraboly s osou úsečky - ide o bod \(x=3-\sqrt (2) \) (pretože \(3-\sqrt(2) 3) Podľa nákresu sa grafy pretínajú v dvoch bodoch - A (3; 2) a B (6; 7). Nahradením úsečiek týchto bodov x \u003d 3 a x \u003d 6 v danej rovnici dbáme na to, aby obe ďalšie hodnoty poskytovali správnu číselnú rovnosť. Naša hypotéza sa teda potvrdila - rovnica má dva korene: x \u003d 3 a x \u003d 6. Odpoveď: 3; 6.

Komentujte. Grafická metóda pri všetkej svojej elegancii nie je veľmi spoľahlivá. V uvažovanom príklade to fungovalo len preto, že korene rovnice sú celé čísla.

PRÍKLAD 3. Vyriešte rovnicu \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)

Prvý spôsob
Výraz 2x–4 sa zmení na 0 v bode x = 2 a výraz x + 3 v bode x = –3. Tieto dva body rozdeľujú číselnú os na tri intervaly: \(x

Zvážte prvý interval: \((-\infty; \; -3) \).
Ak x Zvážte druhý interval: \([-3; \; 2) \).
Ak \(-3 \leq x Zvážte tretí interval: \( Odpoveď: dĺžka medzery je 6.№3 . Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte počet celočíselných riešení: │2 + x - x 2 │ = 2 + x - x 2 2 + x - x 2 ≥ 0 x 2 - x - 2 ≤ 0 [- 1; 2] Odpoveď: 4 celé riešenia.№4 . Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte najväčší koreň:
│4 - x -
│= 4 – x –
x 2 - 5x + 5 \u003d 0 D \u003d 5 x 1,2 \u003d
≈ 1,4

Odpoveď: x = 3.

Cvičenia: №12. Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte celý koreň: │x 2 + 6x + 8 │= x 2 + 6x + 8 №13. Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte počet celočíselných riešení: │13x - x 2 - 36│+ x 2 - 13x + 36 = 0 №14. Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte celé číslo, ktoré nie je koreňom rovnice:

Časť 5. Rovnice tvaru │F(x)│= │G(x)│

Keďže obe strany rovnice sú nezáporné, riešenie zahŕňa zváženie dvoch prípadov: submodulárne výrazy majú rovnaké alebo opačné znamienko. Preto je pôvodná rovnica ekvivalentná kombinácii dvoch rovníc: │ F(X)│= │ G(X)│
Príklady: №1. Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte celý koreň: │x + 3│ \u003d │2x - 1│
Odpoveď: odmocnina celého čísla x = 4.№2. Vyriešte rovnicu: │ x - x 2 - 1│ \u003d │2x - 3 - x 2 │
Odpoveď: x = 2.№3 . Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte súčin koreňov:




Korene rovnice 4x 2 + 2x - 1 \u003d 0 x 1,2 \u003d - 1±√5 / 4 Odpoveď: súčin koreňov je 0,25. Cvičenia: №15 . Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte celé riešenie: │x 2 - 3x + 2│ \u003d │x 2 + 6x - 1│ №16. Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte menší koreň: │5x - 3│=│7 - x│ №17 . Vyriešte rovnicu, do odpovede napíšte súčet koreňov:

Časť 6. Príklady riešenia neštandardných rovníc

V tejto časti uvažujeme o príkladoch neštandardných rovníc, pri riešení ktorých je absolútna hodnota výrazu odhalená podľa definície. Príklady:

№1. Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte súčet koreňov: x │x│- 5x - 6 \u003d 0
Odpoveď: súčet koreňov je 1 №2. . Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte menší koreň: x 2 - 4x
- 5 = 0
Odpoveď: menší koreň x = - 5. №3. Vyriešte rovnicu:

Odpoveď: x = -1. Cvičenia: №18. Vyriešte rovnicu a napíšte súčet koreňov: x │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. Vyriešte rovnicu: x 2 - 3x \u003d

№20. Vyriešte rovnicu:

Časť 7. Rovnice tvaru │F(x)│+│G(x)│=0

Je ľahké vidieť, že na ľavej strane rovnice tohto typu je súčet nezáporných veličín. Preto má pôvodná rovnica riešenie práve vtedy, ak sú oba členy súčasne rovné nule. Rovnica je ekvivalentná sústave rovníc: │ F(X)│+│ G(X)│=0
Príklady: №1 . Vyriešte rovnicu:
Odpoveď: x = 2. №2. Vyriešte rovnicu: Odpoveď: x = 1. Cvičenia: №21. Vyriešte rovnicu: №22 . Vyriešte rovnicu, do odpovede napíšte súčet koreňov: №23 . Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte počet riešení:

Časť 8. Rovnice formulára

Na riešenie rovníc tohto typu sa používa metóda intervalov. Ak sa to rieši sekvenčným rozširovaním modulov, tak dostaneme n sústavy systémov, čo je veľmi ťažkopádne a nepohodlné. Zvážte algoritmus intervalovej metódy: 1). Nájdite hodnoty premenných X, pre ktorú sa každý modul rovná nule (nuly výrazov podmodulu):
2). Nájdené hodnoty sú označené na číselnej osi, ktorá je rozdelená na intervaly (počet intervalov sa rovná n+1 ) 3). Určte, akým znamienkom je každý modul odhalený v každom zo získaných intervalov (pri riešení môžete použiť číselnú os, na ktorej označíte znamienka) 4). Pôvodná rovnica je ekvivalentná množine n+1 systémy, v každom z ktorých je uvedená príslušnosť premennej X jeden z intervalov. Príklady: №1 . Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte najväčší koreň:
jeden). Nájdite nuly výrazov podmodulu: x = 2; x = -3 2). Nájdené hodnoty označíme na číselnej osi a určíme, akým znamienkom je každý modul odhalený v získaných intervaloch:
x – 2 x – 2 x – 2 – + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- bez riešení Rovnica má dva korene. Odpoveď: najväčší koreň je x = 2. №2. Vyriešte rovnicu, do odpovede napíšte celý koreň:
jeden). Nájdite nuly výrazov podmodulu: x = 1,5; x = -12). Nájdené hodnoty označíme na číselnej osi a určíme, akým znamienkom je každý modul odhalený na získaných intervaloch: x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1,5 х 2х – 3 2х – 3 2х – 3 - - +
3).
Posledný systém nemá riešenia, preto má rovnica dva korene. Pri riešení rovnice by ste mali venovať pozornosť znaku „-“ pred druhým modulom. Odpoveď: odmocnina celého čísla x = 7. №3. Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte súčet koreňov: 1). Nájdite nuly výrazov podmodulu: x = 5; x = 1; x = -22). Nájdené hodnoty označíme na číselnej osi a určíme, akým znamienkom je každý modul odhalený na získaných intervaloch: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Rovnica má dva korene x = 0 a 2. Odpoveď: súčet koreňov je 2. №4 . Vyriešte rovnicu: 1). Nájdite nuly výrazov podmodulu: x = 1; x = 2; x = 3,2). Určme znamienko, ktorým je každý modul rozšírený na získaných intervaloch. 3).
Spájame riešenia prvých troch systémov. Odpoveď: ; x = 5.
Cvičenia: №24. Vyriešte rovnicu:
№25. Vyriešte rovnicu, do odpovede napíšte súčet koreňov: №26. Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte menší koreň: №27. Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte väčší koreň:

Časť 9. Rovnice obsahujúce viacero modulov

Rovnice obsahujúce viacero modulov predpokladajú prítomnosť absolútnych hodnôt vo výrazoch podmodulov. Základným princípom riešenia rovníc tohto typu je postupné zverejňovanie modulov, počnúc „externými“. Pri riešení sa používajú techniky uvedené v častiach č. 1, č. 3.

Príklady: №1. Vyriešte rovnicu:
Odpoveď: x = 1; - jedenásť. №2. Vyriešte rovnicu:
Odpoveď: x = 0; 4; - 4. №3. Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte súčin koreňov:
Odpoveď: Súčin koreňov je 8. №4. Vyriešte rovnicu:
Označte populačné rovnice (1) a (2) a zvážte riešenie každého z nich samostatne pre pohodlie dizajnu. Keďže obe rovnice obsahujú viac ako jeden modul, je vhodnejšie vykonať ekvivalentný prechod na množiny systémov. (1)

(2)


odpoveď:
Cvičenia: №36. Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte súčet koreňov: 5 │3x-5│ \u003d 25 x №37. Vyriešte rovnicu, ak existuje viac ako jeden koreň, v odpovedi uveďte súčet koreňov: │x + 2│ x - 3x - 10 = 1 №38. Vyriešte rovnicu: 3 │2x -4│ \u003d 9 │x│ №39. Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte počet koreňov pre: 2 │ sin x │ = √2 №40 . Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte počet koreňov:

Časť 3. Logaritmické rovnice.

Pred riešením nasledujúcich rovníc je potrebné preskúmať vlastnosti logaritmov a logaritmickej funkcie. Príklady: №1. Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte súčin koreňov: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1 │ \u003d 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ - 1

Prípad 1: ak x ≥ - 1, potom log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – spĺňa podmienku x ≥ - 1 2 prípad: ak x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – spĺňa podmienku x - 1
Odpoveď: Súčin koreňov je 15.
№2. Vyriešte rovnicu, v odpovedi uveďte súčet koreňov: lg
O.D.Z.

Odpoveď: súčet koreňov je 0,5.
№3. Vyriešte rovnicu: log 5
O.D.Z.

Odpoveď: x = 9. №4. Riešte rovnicu: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 Použime vzorec na prechod na iný základ. │2 - log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Nájdime nuly výrazov podmodulu: x = 25; x \u003d Tieto čísla rozdeľujú oblasť prípustných hodnôt do troch intervalov, takže rovnica je ekvivalentná súhrnu troch systémov.
odpoveď :)