Budeme analyzovať dva typy systémov riešenia rovníc:

1. Riešenie sústavy substitučnou metódou.
2. Riešenie sústavy po členoch sčítaním (odčítaním) rovníc sústavy.

Aby sme vyriešili sústavu rovníc substitučná metóda musíte postupovať podľa jednoduchého algoritmu:
1. Vyjadrujeme. Z ľubovoľnej rovnice vyjadríme jednu premennú.
2. Náhradník. Do inej rovnice dosadíme namiesto vyjadrenej premennej výslednú hodnotu.
3. Výslednú rovnicu riešime s jednou premennou. Nájdeme riešenie systému.

Vyriešiť systém sčítaním (odčítaním) po členoch potrebovať:
1. Vyberte premennú, pre ktorú urobíme rovnaké koeficienty.
2. Rovnice sčítame alebo odčítame, vo výsledku dostaneme rovnicu s jednou premennou.
3. Vyriešime výslednú lineárnu rovnicu. Nájdeme riešenie systému.

Riešením sústavy sú priesečníky grafov funkcie.

Pozrime sa podrobne na riešenie systémov pomocou príkladov.

Príklad č. 1:

Riešime substitučnou metódou

Riešenie sústavy rovníc substitučnou metódou

2x+5y=1 (1 rovnica)
x-10y=3 (2. rovnica)

1. Express
Je vidieť, že v druhej rovnici je premenná x s koeficientom 1, preto sa ukazuje, že najjednoduchšie je vyjadriť premennú x z druhej rovnice.
x = 3 + 10 rokov

2. Po vyjadrení dosadíme do prvej rovnice namiesto premennej x 3 + 10y.
2(3+10r)+5y=1

3. Výslednú rovnicu riešime s jednou premennou.
2(3+10r)+5y=1 (otvorené zátvorky)
6+20+5r=1
25r = 1-6
25r=-5 |: (25)
y=-5:25
y = -0,2

Riešením sústavy rovníc sú priesečníky grafov, preto musíme nájsť x a y, pretože priesečník sa skladá z x a y. Nájdite x, v prvom odseku, kde sme vyjadrili, tam dosadíme y.
x = 3 + 10 rokov
x=3+10*(-0,2)=1

Na prvé miesto je zvykom písať body, napíšeme premennú x a na druhé miesto premennú y.
Odpoveď: (1; -0,2)

Príklad č. 2:

Riešime sčítaním (odčítaním) po členoch.

Riešenie sústavy rovníc sčítacou metódou

3x-2y=1 (1 rovnica)
2x-3y=-10 (2. rovnica)

1. Vyberte premennú, povedzme, že vyberieme x. V prvej rovnici má premenná x koeficient 3, v druhej - 2. Musíme urobiť koeficienty rovnaké, na to máme právo rovnice vynásobiť alebo deliť ľubovoľným číslom. Prvú rovnicu vynásobíme 2 a druhú 3 a dostaneme celkový koeficient 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Od prvej rovnice odčítajte druhú, aby ste sa zbavili premennej x Vyriešte lineárnu rovnicu.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y = 6,4

3. Nájdite x. Nájdené y dosadíme do ktorejkoľvek z rovníc, povedzme do prvej rovnice.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x = 1 + 12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Priesečník bude x=4,6; y = 6,4
Odpoveď: (4,6; 6,4)

Chcete sa pripraviť na skúšky zadarmo? Doučovateľ online zadarmo. Žiadne srandovanie.

Algebraická metóda sčítania

Sústavu rovníc s dvoma neznámymi môžete riešiť rôznymi spôsobmi – grafickou metódou alebo metódou premennej zmeny.

V tejto lekcii sa zoznámime s ďalším spôsobom riešenia sústav, ktorý sa vám určite bude páčiť – ide o metódu algebraického sčítania.

A kde sa zrodil nápad – dať niečo do systémov? Pri riešení systémov je hlavným problémom prítomnosť dvoch premenných, pretože nedokážeme riešiť rovnice s dvoma premennými. Preto je potrebné jedného z nich nejakým právnym spôsobom vylúčiť. A takými legitímnymi spôsobmi sú matematické pravidlá a vlastnosti.

Jedna z týchto vlastností znie takto: súčet opačných čísel je nula. To znamená, že ak existujú opačné koeficienty pre jednu z premenných, tak ich súčet sa bude rovnať nule a túto premennú budeme môcť z rovnice vylúčiť. Je jasné, že nemáme právo pridávať len výrazy s premennou, ktorú potrebujeme. Je potrebné sčítať rovnice ako celok, t.j. samostatne pridajte podobné výrazy na ľavej strane a potom na pravej strane. V dôsledku toho dostaneme novú rovnicu obsahujúcu iba jednu premennú. Poďme sa pozrieť na konkrétne príklady.

Vidíme, že v prvej rovnici je premenná y a v druhej je opačné číslo y. Takže túto rovnicu možno vyriešiť adičnou metódou.

Jedna z rovníc zostáva tak, ako je. Každý, kto sa vám najviac páči.

Ale druhá rovnica sa získa sčítaním týchto dvoch rovníc po členoch. Tie. Pridajte 3x až 2x, pridajte y k -y, pridajte 8 až 7.

Dostaneme sústavu rovníc

Druhá rovnica tohto systému je jednoduchá rovnica s jednou premennou. Z toho nájdeme x \u003d 3. Nahradením nájdenej hodnoty v prvej rovnici nájdeme y \u003d -1.

Odpoveď: (3; - 1).

Vzorka dizajnu:

Riešte sústavu rovníc algebraickým sčítaním

V tomto systéme neexistujú žiadne premenné s opačnými koeficientmi. Vieme však, že obe strany rovnice možno vynásobiť rovnakým číslom. Vynásobme prvú rovnicu sústavy 2.

Potom bude mať prvá rovnica tvar:

Teraz vidíme, že s premennou x existujú opačné koeficienty. Urobíme teda to isté ako v prvom príklade: jednu z rovníc necháme nezmenenú. Napríklad 2y + 2x \u003d 10. A druhé dostaneme pridaním.

Teraz máme systém rovníc:

Z druhej rovnice ľahko zistíme y = 1 a potom z prvej rovnice x = 4.

Vzorka dizajnu:

Poďme si to zhrnúť:

Naučili sme sa riešiť sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi pomocou metódy algebraického sčítania. Teraz teda poznáme tri hlavné metódy riešenia takýchto systémov: grafickú metódu, metódu zmeny premennej a metódu sčítania. Pomocou týchto metód je možné vyriešiť takmer každý systém. V zložitejších prípadoch sa používa kombinácia týchto techník.

Zoznam použitej literatúry:

1. Mordkovich A.G., Algebra ročník 7 v 2 častiach, 1. časť, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovič. - 10. vydanie, revidované - Moskva, "Mnemosyne", 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra ročník 7 v 2 častiach, 2. časť, Zošit úloh pre vzdelávacie inštitúcie / [A.G. Mordkovich a ďalší]; upravil A.G. Mordkovich - 10. vydanie, revidované - Moskva, Mnemosyne, 2007.
3. JA. Tulchinskaya, Algebra 7. ročník. Bleskový prieskum: príručka pre študentov vzdelávacích inštitúcií, 4. vydanie, revidované a doplnené, Moskva, Mnemozina, 2008.
4. Alexandrova L.A., algebra ročník 7. Tematické testové práce v novej podobe pre študentov vzdelávacích inštitúcií v redakcii A.G. Mordkovich, Moskva, "Mnemosyne", 2011.
5. Aleksandrová L.A. Algebra 7. ročník. Samostatná práca pre študentov vzdelávacích inštitúcií, spracovaná A.G. Mordkovich - 6. vydanie, stereotypné, Moskva, "Mnemosyne", 2010.

Systémy rovníc sú široko používané v hospodárskom priemysle pri matematickom modelovaní rôznych procesov. Napríklad pri riešení problémov riadenia a plánovania výroby, logistických ciest (problém dopravy) alebo rozmiestnenia zariadení.

Systémy rovníc sa využívajú nielen v oblasti matematiky, ale aj vo fyzike, chémii a biológii pri riešení úloh zisťovania veľkosti populácie.

Sústava lineárnych rovníc je označenie pre dve alebo viac rovníc s viacerými premennými, pre ktoré je potrebné nájsť spoločné riešenie. Taká postupnosť čísel, pre ktorú sa všetky rovnice stávajú skutočnými rovnosťami alebo dokazujú, že postupnosť neexistuje.

Lineárna rovnica

Rovnice v tvare ax+by=c sa nazývajú lineárne. Označenia x, y sú neznáme, ktorých hodnotu treba nájsť, b, a sú koeficienty premenných, c je voľný člen rovnice.
Riešenie rovnice vynesením jej grafu bude vyzerať ako priamka, ktorej všetky body sú riešením polynómu.

Typy sústav lineárnych rovníc

Najjednoduchšie sú príklady sústav lineárnych rovníc s dvoma premennými X a Y.

F1(x, y) = 0 a F2(x, y) = 0, kde F1,2 sú funkcie a (x, y) sú funkčné premenné.

Vyriešte sústavu rovníc - znamená to nájsť také hodnoty (x, y), pre ktoré sa systém stáva skutočnou rovnosťou, alebo zistiť, že neexistujú žiadne vhodné hodnoty x a y.

Dvojica hodnôt (x, y), zapísaná ako bodové súradnice, sa nazýva riešenie systému lineárnych rovníc.

Ak majú systémy jedno spoločné riešenie alebo žiadne riešenie neexistuje, nazývajú sa ekvivalentné.

Homogénne sústavy lineárnych rovníc sú sústavy, ktorých pravá strana sa rovná nule. Ak má pravá časť za znakom „rovná sa“ hodnotu alebo je vyjadrená funkciou, takýto systém nie je homogénny.

Počet premenných môže byť oveľa viac ako dve, potom by sme mali hovoriť o príklade systému lineárnych rovníc s tromi alebo viacerými premennými.

Tvárou v tvár systémom školáci predpokladajú, že počet rovníc sa musí nevyhnutne zhodovať s počtom neznámych, ale nie je to tak. Počet rovníc v systéme nezávisí od premenných, môže ich byť ľubovoľne veľké množstvo.

Jednoduché a zložité metódy riešenia sústav rovníc

Neexistuje žiadny všeobecný analytický spôsob riešenia takýchto systémov, všetky metódy sú založené na numerických riešeniach. V kurze školskej matematiky sú podrobne opísané metódy ako permutácia, algebraické sčítanie, substitúcia, ako aj grafická a maticová metóda, riešenie Gaussovou metódou.

Hlavnou úlohou pri výučbe metód riešenia je naučiť sa správne analyzovať systém a nájsť optimálny algoritmus riešenia pre každý príklad. Hlavnou vecou nie je zapamätať si systém pravidiel a akcií pre každú metódu, ale pochopiť princípy aplikácie konkrétnej metódy.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc 7. ročníka všeobecnovzdelávacieho školského programu je pomerne jednoduché a je veľmi podrobne vysvetlené. V každej učebnici matematiky sa tejto časti venuje dostatočná pozornosť. Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc metódou Gaussovej a Cramerovej sa podrobnejšie študuje v prvých kurzoch vysokých škôl.

Riešenie systémov substitučnou metódou

Akcie substitučnej metódy sú zamerané na vyjadrenie hodnoty jednej premennej prostredníctvom druhej. Výraz sa dosadí do zostávajúcej rovnice a potom sa zredukuje na jednu premennú formu. Akcia sa opakuje v závislosti od počtu neznámych v systéme

Uveďme príklad sústavy lineárnych rovníc 7. triedy substitučnou metódou:

Ako je zrejmé z príkladu, premenná x bola vyjadrená pomocou F(X) = 7 + Y. Výsledný výraz, dosadený do 2. rovnice systému na miesto X, pomohol získať jednu premennú Y v 2. rovnici . Riešenie tohto príkladu nespôsobuje ťažkosti a umožňuje získať hodnotu Y. Posledným krokom je kontrola získaných hodnôt.

Nie vždy je možné vyriešiť príklad sústavy lineárnych rovníc substitúciou. Rovnice môžu byť zložité a vyjadrenie premennej v zmysle druhej neznámej bude príliš ťažkopádne na ďalšie výpočty. Keď je v systéme viac ako 3 neznámych, substitučné riešenie je tiež nepraktické.

Riešenie príkladu sústavy lineárnych nehomogénnych rovníc:

Riešenie pomocou algebraického sčítania

Pri hľadaní riešenia systémov sčítacou metódou sa vykonáva sčítanie po členoch a násobenie rovníc rôznymi číslami. Konečným cieľom matematických operácií je rovnica s jednou premennou.

Aplikácia tejto metódy si vyžaduje prax a pozorovanie. Riešiť sústavu lineárnych rovníc metódou sčítania s počtom premenných 3 a viac nie je jednoduché. Algebraické sčítanie je užitočné, keď rovnice obsahujú zlomky a desatinné čísla.

Algoritmus akcie riešenia:

1. Vynásobte obe strany rovnice nejakým číslom. V dôsledku aritmetickej operácie sa jeden z koeficientov premennej musí rovnať 1.
2. Pridajte výsledný výraz výraz po výraze a nájdite jednu z neznámych.
3. Dosaďte výslednú hodnotu do 2. rovnice systému, aby ste našli zostávajúcu premennú.

Metóda riešenia zavedením novej premennej

Novú premennú je možné zaviesť, ak systém potrebuje nájsť riešenie pre nie viac ako dve rovnice, počet neznámych by tiež nemal byť väčší ako dve.

Metóda sa používa na zjednodušenie jednej z rovníc zavedením novej premennej. Nová rovnica sa rieši vzhľadom na zadanú neznámu a výsledná hodnota sa použije na určenie pôvodnej premennej.

Z príkladu je vidieť, že zavedením novej premennej t bolo možné zredukovať 1. rovnicu sústavy na štandardnú štvorcovú trojčlenku. Polynóm môžete vyriešiť nájdením diskriminantu.

Hodnotu diskriminantu je potrebné nájsť pomocou známeho vzorca: D = b2 - 4*a*c, kde D je požadovaný diskriminant, b, a, c sú multiplikátory polynómu. V uvedenom príklade a=1, b=16, c=39, teda D=100. Ak je diskriminant väčší ako nula, potom existujú dve riešenia: t = -b±√D / 2*a, ak je diskriminant menší ako nula, potom existuje len jedno riešenie: x= -b / 2*a.

Riešenie pre výsledné systémy sa nachádza adičnou metódou.

Vizuálna metóda riešenia systémov

Vhodné pre systémy s 3 rovnicami. Metóda spočíva vo vynesení grafov každej rovnice zahrnutej v systéme na súradnicovú os. Súradnice priesečníkov kriviek budú všeobecným riešením systému.

Grafická metóda má množstvo odtieňov. Zvážte niekoľko príkladov riešenia systémov lineárnych rovníc vizuálnym spôsobom.

Ako je zrejmé z príkladu, pre každý riadok boli skonštruované dva body, hodnoty premennej x boli zvolené ľubovoľne: 0 a 3. Na základe hodnôt x boli nájdené hodnoty pre y: 3 a 0. Na grafe boli vyznačené body so súradnicami (0, 3) a (3, 0) a spojené čiarou.

Kroky sa musia opakovať pre druhú rovnicu. Priesečník čiar je riešením sústavy.

V nasledujúcom príklade je potrebné nájsť grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc: 0,5x-y+2=0 a 0,5x-y-1=0.

Ako vidno z príkladu, sústava nemá riešenie, pretože grafy sú rovnobežné a nepretínajú sa po celej dĺžke.

Systémy z príkladov 2 a 3 sú podobné, ale keď sa skonštruujú, je zrejmé, že ich riešenia sú odlišné. Treba mať na pamäti, že nie vždy je možné povedať, či má systém riešenie alebo nie, vždy je potrebné zostaviť graf.

Matrix a jeho odrody

Matice slúžia na stručný zápis sústavy lineárnych rovníc. Matica je špeciálny typ tabuľky naplnenej číslami. n*m má n - riadkov a m - stĺpcov.

Matica je štvorcová, keď je počet stĺpcov a riadkov rovnaký. Maticový vektor je jednostĺpcová matica s nekonečne možným počtom riadkov. Matica s jednotkami pozdĺž jednej z uhlopriečok a iných nulových prvkov sa nazýva identita.

Inverzná matica je taká matica, ktorou sa po vynásobení pôvodná zmení na jednotkovú, takáto matica existuje len pre pôvodnú štvorcovú.

Pravidlá pre transformáciu sústavy rovníc na maticu

Pri sústavách rovníc sa koeficienty a voľné členy rovníc zapisujú ako čísla matice, jedna rovnica je jeden riadok matice.

Riadok matice sa nazýva nenulový, ak sa aspoň jeden prvok v riadku nerovná nule. Ak sa teda v niektorej z rovníc počet premenných líši, potom je potrebné namiesto chýbajúcej neznámej zadať nulu.

Stĺpce matice musia presne zodpovedať premenným. To znamená, že koeficienty premennej x možno zapísať len do jedného stĺpca, napríklad prvý, koeficient neznámej y - iba do druhého.

Pri násobení matice sa všetky prvky matice postupne násobia číslom.

Možnosti hľadania inverznej matice

Vzorec na nájdenie inverznej matice je pomerne jednoduchý: K -1 = 1 / |K|, kde K -1 je inverzná matica a |K| - maticový determinant. |K| sa nesmie rovnať nule, potom má systém riešenie.

Determinant sa ľahko vypočíta pre maticu dva na dva, je len potrebné prvky navzájom diagonálne vynásobiť. Pre možnosť „tri po troch“ existuje vzorec |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Môžete použiť vzorec alebo si môžete zapamätať, že musíte vziať jeden prvok z každého riadku a každého stĺpca, aby sa čísla stĺpcov a riadkov prvkov v produkte neopakovali.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc maticovou metódou

Maticová metóda hľadania riešenia umožňuje zredukovať ťažkopádne zápisy pri riešení sústav s veľká kvantita premenné a rovnice.

V príklade sú a nm koeficienty rovníc, matica je vektor, x n sú premenné a b n sú voľné členy.

Riešenie sústav Gaussovou metódou

Vo vyššej matematike sa študuje Gaussova metóda spolu s Cramerovou metódou a proces hľadania riešenia systémov sa nazýva Gauss-Cramerova metóda riešenia. Tieto metódy sa používajú na nájdenie premenných systémov s veľkým počtom lineárnych rovníc.

Gaussova metóda je veľmi podobná substitučným a algebraickým riešeniam sčítania, ale je systematickejšia. V školskom kurze sa Gaussovo riešenie používa pre sústavy 3 a 4 rovníc. Účelom metódy je priviesť systém do tvaru obráteného lichobežníka. Algebraickými transformáciami a substitúciami sa hodnota jednej premennej nachádza v jednej z rovníc systému. Druhá rovnica je výraz s 2 neznámymi a 3 a 4 - s 3 a 4 premennými.

Po uvedení systému do opísanej formy sa ďalšie riešenie redukuje na postupné dosadzovanie známych premenných do rovníc systému.

V školských učebniciach pre 7. ročník je príklad gaussovského riešenia opísaný takto:

Ako je možné vidieť z príkladu, v kroku (3) sa získali dve rovnice 3x3-2x4=11 a 3x3+2x4=7. Riešenie ktorejkoľvek z rovníc vám umožní zistiť jednu z premenných x n.

Veta 5, ktorá sa v texte spomína, hovorí, že ak sa jedna z rovníc sústavy nahradí ekvivalentnou, tak aj výsledná sústava bude ekvivalentná tej pôvodnej.

Gaussova metóda je pre stredoškolákov ťažko pochopiteľná, no je jedným z najzaujímavejších spôsobov, ako rozvíjať vynaliezavosť detí študujúcich v nadstavbovom študijnom programe na hodinách matematiky a fyziky.

Pre uľahčenie zaznamenávania výpočtov je obvyklé robiť nasledovné:

Koeficienty rovníc a voľné členy sa zapisujú vo forme matice, kde každý riadok matice zodpovedá jednej z rovníc sústavy. oddeľuje ľavú stranu rovnice od pravej strany. Rímske číslice označujú počet rovníc v sústave.

Najprv si zapíšu maticu, s ktorou majú pracovať, potom všetky akcie vykonané s jedným z riadkov. Výsledná matica sa zapíše za znak „šípky“ a pokračuje vo vykonávaní potrebných algebraických operácií, kým sa nedosiahne výsledok.

V dôsledku toho by sa mala získať matica, v ktorej je jedna z uhlopriečok 1 a všetky ostatné koeficienty sa rovnajú nule, to znamená, že matica je zredukovaná na jednu formu. Nesmieme zabudnúť na výpočty s číslami oboch strán rovnice.

Tento zápis je menej ťažkopádny a umožňuje vám nenechať sa rozptyľovať zoznamom mnohých neznámych.

Bezplatná aplikácia akéhokoľvek spôsobu riešenia si bude vyžadovať starostlivosť a určité skúsenosti. Nie všetky metódy sa používajú. Niektoré spôsoby hľadania riešení sú vhodnejšie v konkrétnej oblasti ľudskej činnosti, zatiaľ čo iné existujú na účely učenia.

Sústava lineárnych rovníc s dvoma neznámymi sú dve alebo viac lineárnych rovníc, pre ktoré je potrebné nájsť všetky ich spoločné riešenia. Budeme uvažovať sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi. Všeobecný pohľad na systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi je znázornený na obrázku nižšie:

( a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Tu x a y sú neznáme premenné, a1, a2, b1, b2, c1, c2 sú nejaké reálne čísla. Riešením sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi je dvojica čísel (x, y) taká, že ak sa tieto čísla dosadia do rovníc sústavy, každá z rovníc sústavy sa zmení na skutočnú rovnosť. Existuje niekoľko spôsobov, ako vyriešiť systém lineárnych rovníc. Zvážte jeden zo spôsobov riešenia sústavy lineárnych rovníc, a to metódu sčítania.

Algoritmus riešenia metódou sčítania

Algoritmus na riešenie sústavy lineárnych rovníc s dvoma neznámymi metódami sčítania.

1. Ak je to potrebné, pomocou ekvivalentných transformácií vyrovnajte koeficienty pre jednu z neznámych premenných v oboch rovniciach.

2. Sčítaním alebo odčítaním výsledných rovníc dostaneme lineárnu rovnicu s jednou neznámou

3. Vyriešte výslednú rovnicu s jednou neznámou a nájdite jednu z premenných.

4. Dosaďte výsledný výraz do ktorejkoľvek z dvoch rovníc sústavy a túto rovnicu vyriešte, čím získate druhú premennú.

5. Skontrolujte riešenie.

Príklad riešenia adičnou metódou

Pre väčšiu prehľadnosť riešime nasledovnú sústavu lineárnych rovníc s dvomi neznámymi sčítacou metódou:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Keďže žiadna z premenných nemá rovnaké koeficienty, vyrovnáme koeficienty premennej y. Ak to chcete urobiť, vynásobte prvú rovnicu tromi a druhú rovnicu dvoma.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Získajte nasledujúci systém rovníc:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Teraz odpočítajte prvú od druhej rovnice. Uvádzame podobné pojmy a riešime výslednú lineárnu rovnicu.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x = -6;

Výslednú hodnotu dosadíme do prvej rovnice z našej pôvodnej sústavy a výslednú rovnicu vyriešime.

(3*(-6) + 2*y = 10;
(2*y=28; y=14;

Výsledkom je dvojica čísel x=6 a y=14. Kontrolujeme. Robíme striedanie.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Ako vidíte, máme dve skutočné rovnosti, a preto sme našli správne riešenie.

Študenti majú veľmi často problém vybrať si metódu riešenia sústav rovníc.

V tomto článku sa budeme zaoberať jedným zo spôsobov riešenia systémov - substitučnou metódou.

Ak sa nájde spoločné riešenie dvoch rovníc, potom sa hovorí, že tieto rovnice tvoria systém. V systéme rovníc každá neznáma predstavuje rovnaké číslo vo všetkých rovniciach. Aby sa ukázalo, že tieto rovnice tvoria systém, zvyčajne sa píšu pod sebou a kombinujú so zloženými zátvorkami, napr.

Všimli sme si, že pre x = 15 a y = 5 sú obe rovnice systému správne. Táto dvojica čísel je riešením sústavy rovníc. Každá dvojica neznámych hodnôt, ktorá súčasne spĺňa obe rovnice systému, sa nazýva riešenie systému.

Systém môže mať jedno riešenie (ako v našom príklade), nekonečne veľa riešení a žiadne riešenia.

Ako riešiť systémy substitučnou metódou? Ak sú koeficienty pre nejakú neznámu v oboch rovniciach rovnaké v absolútnej hodnote (ak nie sú rovnaké, potom vyrovnáme), potom sčítaním oboch rovníc (alebo odčítaním jednej od druhej) môžete dostať rovnicu s jednou neznámou. Potom túto rovnicu vyriešime. Definujeme jednu neznámu. Získanú hodnotu neznámej dosadíme do jednej z rovníc sústavy (v prvej alebo v druhej). Nájdeme ďalšiu neznámu. Pozrime sa na príklady aplikácie tejto metódy.

Príklad 1 Vyriešte sústavu rovníc

Tu sú koeficienty pri y rovnaké v absolútnej hodnote, ale opačné v znamienku. Skúsme po členoch pridať rovnice systému.

Výslednú hodnotu x \u003d 4 dosadíme do nejakej rovnice systému (napríklad do prvej) a nájdeme hodnotu y:

2 * 4 + y \u003d 11, y \u003d 11 - 8, y \u003d 3.

Naša sústava má riešenie x = 4, y = 3. Alebo odpoveď môžeme napísať do zátvoriek, ako súradnice bodu, na prvom mieste x, na druhom y.

Odpoveď: (4; 3)

Príklad 2. Vyriešte sústavu rovníc

Vyrovnáme koeficienty pre premennú x, preto vynásobíme prvú rovnicu 3 a druhú (-2), dostaneme

Buďte opatrní pri pridávaní rovníc

Potom y \u003d - 2. Namiesto y v prvej rovnici dosadíme číslo (-2), dostaneme

4x + 3 (-2) \u003d - 4. Túto rovnicu riešime 4x \u003d - 4 + 6, 4x \u003d 2, x \u003d ½.

Odpoveď: (1/2; - 2)

Príklad 3 Vyriešte sústavu rovníc

Vynásobte prvú rovnicu číslom (-2)

Riešenie systému

dostaneme 0 = - 13.

Neexistuje systém riešenia, pretože 0 sa nerovná (-13).

Odpoveď: Neexistujú žiadne riešenia.

Príklad 4 Vyriešte sústavu rovníc

Všimnite si, že všetky koeficienty druhej rovnice sú deliteľné 3,

vydelme druhú rovnicu tromi a dostaneme sústavu, ktorá pozostáva z dvoch rovnakých rovníc.

Tento systém má nekonečne veľa riešení, keďže prvá a druhá rovnica sú rovnaké (dostali sme len jednu rovnicu s dvoma premennými). Ako prezentovať riešenie tohto systému? Vyjadrime premennú y z rovnice x + y = 5. Dostaneme y = 5 - x.

Potom odpoveď bude napísané takto: (x; 5-x), x je ľubovoľné číslo.

Uvažovali sme o riešení sústav rovníc sčítacou metódou. Ak máte nejaké otázky alebo vám niečo nie je jasné, prihláste sa na lekciu a všetky problémy s vami vyriešime.

blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.