FERMATOVÁ VEĽKÁ VETA - tvrdenie Pierra Fermata (francúzskeho právnika a matematika na čiastočný úväzok), že diofantická rovnica X n + Y n = Z n , s exponentom n>2, kde n = celé číslo, nemá kladné riešenie. celé čísla . Autorov text: "Je nemožné rozložiť kocku na dve kocky alebo dvojkvadratúru na dve dvojmocniny, alebo vo všeobecnosti mocninu väčšiu ako dve na dve mocniny s rovnakým exponentom."

"Fermat a jeho teorém", Amadeo Modigliani, 1920

S touto vetou prišiel 29. marca 1636 Pierre. A po 29 rokoch zomrel. Ale tam sa to všetko začalo. Veď bohatý nemecký matematik menom Wolfskel odkázal stotisíc mariek tomu, kto predloží úplný dôkaz Fermatovej vety! Ale vzrušenie okolo vety bolo spojené nielen s týmto, ale aj s profesionálnym matematickým vzrušením. Sám Fermat naznačil matematickej komunite, že pozná dôkaz – krátko pred svojou smrťou, v roku 1665, zanechal na okraji knihy Diophantus z Alexandrie „Aritmetika“ nasledujúci záznam: „Mám veľmi úžasný dôkaz, ale je príliš veľké na to, aby sa dali umiestniť na polia."

Práve táto nápoveda (plus, samozrejme, peňažná odmena), spôsobila, že matematici neúspešne strávili svoje najlepšie roky hľadaním dôkazov (podľa amerických vedcov len profesionálni matematici týmto strávili celkovo 543 rokov).

V určitom období (v roku 1901) získali práce na Fermatovej vete pochybnú slávu „práca podobná hľadaniu perpetuum mobile“ (dokonca existoval aj hanlivý výraz – „fermatisti“). A zrazu, 23. júna 1993, na matematickej konferencii o teórii čísel v Cambridge, anglický profesor matematiky z Princetonskej univerzity (New Jersey, USA) Andrew Wiles oznámil, že konečne dokázal Fermata!

Dôkaz však nebol len komplikovaný, ale aj zjavne chybný, ako na Wilesa upozornili jeho kolegovia. Profesor Wiles však celý život sníval o tom, že túto vetu dokáže, a tak neprekvapuje, že v máji 1994 predstavil vedeckej komunite novú, vylepšenú verziu dôkazu. Nebola v tom žiadna harmónia, krása a ešte to bolo veľmi komplikované - fakt, že matematici tento dôkaz rozoberajú celý rok (!), aby pochopili, či nie je chybný, hovorí za všetko!

Nakoniec sa však Wilesov dôkaz ukázal ako správny. Ale matematici neodpustili Pierrovi Fermatovi jeho narážku na aritmetiku a v skutočnosti ho začali považovať za klamára. V skutočnosti prvý, kto spochybňoval Fermatovu morálnu integritu, bol samotný Andrew Wiles, ktorý poznamenal, že "Fermat nemohol mať taký dôkaz. Toto je dôkaz z dvadsiateho storočia." Potom medzi inými vedcami zosilnel názor, že Fermat „nedokázal svoju vetu iným spôsobom a Fermat ju z objektívnych dôvodov nedokázal dokázať tak, ako to urobil Wiles“.

V skutočnosti to Fermat, samozrejme, mohol dokázať a o niečo neskôr tento dôkaz znovu vytvoria analytici Novej analytickej encyklopédie. Ale – aké sú tieto „objektívne dôvody“?
V skutočnosti existuje len jeden takýto dôvod: v tých rokoch, keď Fermat žil, sa Taniyamova domnienka nemohla objaviť, na ktorej Andrew Wiles postavil svoj dôkaz, pretože modulárne funkcie, na ktorých funguje Taniyamova domnienka, boli objavené až na konci 19. .

Ako sám Wiles dokázal vetu? Otázka nie je nečinná - je to dôležité pre pochopenie toho, ako mohol Fermat sám dokázať svoju vetu. Wiles postavil svoj dôkaz na dôkaze Taniyamovej domnienky, ktorú v roku 1955 predložil 28-ročný japonský matematik Yutaka Taniyama.

Dohad znie takto: "každá eliptická krivka zodpovedá určitej modulárnej forme." Dlho známe eliptické krivky majú dvojrozmerný tvar (umiestnený v rovine), zatiaľ čo modulárne funkcie majú štvorrozmerný tvar. To znamená, že Taniyamova hypotéza spájala úplne odlišné koncepty – jednoduché ploché krivky a nepredstaviteľné štvorrozmerné formy. Samotný fakt spájania rôznych dimenzionálnych obrazcov v hypotéze sa vedcom zdal absurdný, a preto sa mu v roku 1955 nepripisoval žiadny význam.

Na jeseň roku 1984 sa však na „Taniyamovu hypotézu“ zrazu opäť spomínalo a nielenže sa spamätalo, ale aj jej možný dôkaz bol spojený s dôkazom Fermatovej vety! Urobil to matematik zo Saarbrückenu Gerhard Frey, ktorý vedeckej komunite povedal, že „ak by niekto dokázal Taniyamovu domnienku, potom by sa dokázala Fermatova posledná veta“.

Čo urobil Frey? Fermatovu rovnicu previedol na kubickú, následne upozornil na skutočnosť, že eliptická krivka získaná prevodom Fermatovej rovnice na kubickú nemôže byť modulárna. Taniyamova domnienka však uviedla, že každá eliptická krivka môže byť modulárna! V súlade s tým nemôže existovať eliptická krivka vytvorená z Fermatovej rovnice, čo znamená, že nemôžu existovať celé riešenia a Fermatova veta, čo znamená, že je pravdivá. No, v roku 1993 Andrew Wiles jednoducho dokázal Taniyamovu domnienku, a teda Fermatovu vetu.

Fermatovu vetu však možno dokázať oveľa jednoduchšie, na základe rovnakej multidimenzionality, na ktorej operovali Taniyama aj Frey.

Na začiatok si dajme pozor na podmienku, ktorú stanovil sám Pierre Fermat - n>2. Prečo bola táto podmienka potrebná? Áno, už len za to, že pre n=2 sa obyčajná Pytagorova veta X 2 +Y 2 =Z 2 stáva špeciálnym prípadom Fermatovej vety, ktorá má nekonečný počet celočíselných riešení - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 a tak ďalej. Pytagorova veta je teda výnimkou z Fermatovej vety.

Ale prečo práve v prípade n=2 nastane takáto výnimka? Všetko zapadne na svoje miesto, ak vidíte vzťah medzi stupňom (n=2) a rozmerom samotnej postavy. Pytagorov trojuholník je dvojrozmerný obrazec. Nie je prekvapením, že Z (to je prepona) môže byť vyjadrená pomocou nôh (X a Y), ktoré môžu byť celé čísla. Veľkosť uhla (90) umožňuje považovať preponu za vektor a nohy sú vektory umiestnené na osiach a pochádzajúce z počiatku. Podľa toho je možné vyjadriť dvojrozmerný vektor, ktorý neleží na žiadnej z osí, pomocou vektorov, ktoré na nich ležia.

Ak teraz prejdeme do tretej dimenzie, a teda do n=3, aby sme vyjadrili trojrozmerný vektor, nebude dostatok informácií o dvoch vektoroch, a preto bude možné vyjadriť Z vo Fermatovej rovnici v aspoň tri členy (tri vektory ležiace v tomto poradí na troch osiach súradnicového systému).

Ak n=4, potom by mali byť 4 členy, ak n=5, potom by malo byť 5 členov atď. V tomto prípade bude celých riešení viac než dosť. Napríklad 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 a tak ďalej (môžete si vybrať iné príklady pre n=3, n=4 atď.).

Čo z toho všetkého vyplýva? Z toho vyplýva, že Fermatova veta skutočne nemá úplné riešenia pre n>2 - ale len preto, že samotná rovnica je nesprávna! S rovnakým úspechom by sme sa mohli pokúsiť vyjadriť objem kvádra pomocou dĺžok jeho dvoch hrán - to je samozrejme nemožné (celé riešenia sa nikdy nenájdu), ale len preto, že nájsť objem kvádra , musíte poznať dĺžky všetkých troch jeho hrán.

Keď sa slávneho matematika Davida Gilberta spýtali, aká je teraz najdôležitejšia úloha pre vedu, odpovedal „chytiť muchu na odvrátenej strane Mesiaca“. Na rozumnú otázku "Kto to potrebuje?" odpovedal takto: "Nikto to nepotrebuje. Ale premýšľajte o tom, koľko dôležitých a zložitých úloh musíte vyriešiť, aby ste to dosiahli."

Inými slovami, Fermat (predovšetkým právnik!) zahral vtipný právnický vtip na celý matematický svet, založený na nesprávnej formulácii problému. Vlastne navrhol, aby matematici našli odpoveď, prečo mucha nemôže žiť na druhej strane Mesiaca, a na margo Aritmetiky chcel len napísať, že na Mesiaci jednoducho nie je vzduch, t.j. nemôžu existovať celočíselné riešenia jeho vety pre n>2 len preto, že každá hodnota n musí zodpovedať určitému počtu členov na ľavej strane jeho rovnice.

Ale bol to len vtip? Vôbec nie. Fermatova genialita spočíva práve v tom, že bol vlastne prvý, kto videl vzťah medzi stupňom a rozmerom matematického útvaru – teda, ktorý je absolútne ekvivalentný počtu členov na ľavej strane rovnice. Zmyslom jeho slávnej vety bolo práve to, že nielen presadil matematický svet na myšlienke tohto vzťahu, ale aj inicioval dôkaz existencie tohto vzťahu – intuitívne pochopiteľného, ​​no matematicky ešte nepodloženého.

Fermat ako nikto iný pochopil, že nadviazať vzťah medzi zdanlivo odlišnými predmetmi je mimoriadne plodné nielen v matematike, ale aj v akejkoľvek vede. Takýto vzťah poukazuje na nejaký hlboký princíp, ktorý je základom oboch objektov a umožňuje ich hlbšie pochopenie.

Napríklad fyzici spočiatku považovali elektrinu a magnetizmus za úplne nesúvisiace javy a v 19. storočí si teoretici a experimentátori uvedomili, že elektrina a magnetizmus spolu úzko súvisia. Výsledkom bolo hlbšie pochopenie elektriny a magnetizmu. Elektrické prúdy vytvárajú magnetické polia a magnety môžu indukovať elektrinu vo vodičoch, ktoré sú blízko magnetov. To viedlo k vynálezu dynama a elektromotorov. Nakoniec sa zistilo, že svetlo je výsledkom koordinovaných harmonických oscilácií magnetických a elektrických polí.

Matematika Fermatových čias pozostávala z ostrovov vedomostí v mori nevedomosti. Geometre skúmali tvary na jednom ostrove a matematici pravdepodobnosť a náhodu na druhom ostrove. Jazyk geometrie bol veľmi odlišný od jazyka teórie pravdepodobnosti a algebraická terminológia bola cudzia tým, ktorí hovorili len o štatistike. Bohužiaľ, matematika našej doby pozostáva z približne rovnakých ostrovov.

Farma si ako prvá uvedomila, že všetky tieto ostrovy sú navzájom prepojené. A jeho slávna veta – Fermatova VEĽKÁ VETA – je toho výborným potvrdením.

V 17. storočí žil vo Francúzsku právnik a matematik na čiastočný úväzok Pierre Fermat, ktorý svojmu koníčku venoval dlhé hodiny voľného času. Jedného zimného večera sediac pri krbe predniesol jeden najkurióznejší výrok z oblasti teórie čísel – práve ten sa neskôr nazýval Fermatova veľká alebo Veľká veta. Možno by vzrušenie nebolo v matematických kruhoch také výrazné, keby sa nestala jedna udalosť. Matematik často trávil večery študovaním obľúbenej knihy Diofanta Alexandrijského „Aritmetika“ (3. storočie), pričom si na jej okraje zapisoval dôležité myšlienky – túto vzácnosť starostlivo uchoval jeho syn pre potomkov. Takže na širokých okrajoch tejto knihy Fermatova ruka zanechala tento nápis: "Mám dosť výrazný dôkaz, ale je príliš veľký na to, aby sa dal umiestniť na okraje." Bol to tento záznam, ktorý spôsobil obrovské vzrušenie okolo vety. Medzi matematikmi nebolo pochýb o tom, že veľký vedec vyhlásil, že dokázal svoju vlastnú vetu. Pravdepodobne sa pýtate: „Naozaj to dokázal, alebo to bola banálna lož, alebo možno existujú aj iné verzie, prečo tento záznam, ktorý nedal pokojne spávať matematikom nasledujúcich generácií, skončil na okraji kniha?".

Podstata Veľkej vety

Pomerne známa Fermatova veta je vo svojej podstate jednoduchá a spočíva v tom, že za predpokladu, že n je väčšie ako dva, kladné číslo, rovnica X n + Y n \u003d Z n nebude mať riešenia nulového typu. rámec prirodzených čísel. V tomto zdanlivo jednoduchom vzorci bola maskovaná neuveriteľná zložitosť a trvalo tri storočia, kým sa to dokázalo. Je tu jedna zvláštnosť - veta sa zrodila neskoro, pretože jej špeciálny prípad pre n = 2 sa objavil pred 2200 rokmi - toto je nemenej slávna Pytagorova veta.

Treba poznamenať, že príbeh týkajúci sa známej Fermatovej vety je veľmi poučný a zábavný, a to nielen pre matematikov. Najzaujímavejšie je, že veda nebola pre vedca prácou, ale jednoduchým koníčkom, z čoho mal farmár veľkú radosť. Neustále tiež udržiaval kontakt s matematikom a na čiastočný úväzok, tiež priateľom, zdieľal nápady, ale napodiv sa nesnažil publikovať svoju vlastnú prácu.

Zborník matematika Farmára

Pokiaľ ide o diela samotného Farmára, našli sa presne vo forme obyčajných listov. Na niektorých miestach neboli celé strany a zachovali sa len zlomky korešpondencie. Zaujímavejšia je skutočnosť, že vedci už tri storočia hľadali vetu, ktorá bola objavená v spisoch Fermera.

Ale kto sa to neodvážil dokázať, pokusy boli znížené na „nulu“. Slávny matematik Descartes dokonca obvinil vedca z pýchy, ale všetko sa scvrklo do najobyčajnejšej závisti. Farmer okrem tvorenia dokázal aj vlastnú vetu. Pravda, riešenie sa našlo pre prípad, kde n=4. Pokiaľ ide o prípad pre n=3, matematik Euler ho identifikoval.

Ako sa snažili dokázať Fermerovu vetu

Na samom začiatku 19. storočia táto veta naďalej existovala. Matematici našli veľa dôkazov teorémov, ktoré boli obmedzené na prirodzené čísla do dvoch stoviek.

A v roku 1909 bolo na linku vložené pomerne veľké množstvo, rovných sto tisíc mariek nemeckého pôvodu - a to všetko len preto, aby sa vyriešil problém spojený s touto vetou. Samotný fond cenovej kategórie opustil bohatý milovník matematiky Paul Wolfskell, pôvodom z Nemecka, mimochodom to bol práve on, kto chcel „položiť ruky na seba“, no vďaka takémuto zapojeniu sa do Fermerovej vety chcel naživo. Výsledné vzrušenie dalo podnet na tony „dôkazov“, ktoré zaplavili nemecké univerzity a v kruhu matematikov sa zrodila prezývka „fermista“, ktorou sa poloopovržlivo nazýval každý ambiciózny povýšenec, ktorý nedokázal poskytnúť jasné dôkazy.

Hypotéza japonského matematika Yutaka Taniyamu

Až do polovice 20. storočia nenastali v dejinách Veľkej vety žiadne posuny, no jedna zaujímavá udalosť predsa len nastala. V roku 1955 japonský matematik Yutaka Taniyama, ktorý mal 28 rokov, odhalil svetu výrok z úplne inej matematickej oblasti – jeho hypotéza na rozdiel od Fermatu predbehla dobu. Hovorí: "Pre každú eliptickú krivku existuje zodpovedajúca modulárna forma." Zdá sa, že pre každého matematika je to absurdné, ako že strom pozostáva z určitého kovu! Paradoxná hypotéza, ako väčšina iných ohromujúcich a geniálnych objavov, nebola prijatá, pretože na ňu jednoducho ešte nedorástli. A Yutaka Taniyama spáchal samovraždu o tri roky neskôr - nevysvetliteľný čin, ale česť pre skutočného samurajského génia bola pravdepodobne nadovšetko.

Celé desaťročie sa na tento dohad nespamätal, ale v sedemdesiatych rokoch sa dostal na vrchol popularity - potvrdil ho každý, kto mu rozumel, ale ako Fermatova veta zostala nedokázaná.

Ako súvisí Taniyamova domnienka a Fermatova veta

O pätnásť rokov neskôr nastala v matematike kľúčová udalosť, ktorá spojila slávnu japonskú domnienku a Fermatovu vetu. Gerhard Gray uviedol, že keď sa dokáže Taniyama domnienka, potom sa nájdu dôkazy Fermatovej vety. To znamená, že to posledné je dôsledkom hypotézy Taniyama a o rok a pol neskôr Fermatovu vetu dokázal profesor Kalifornskej univerzity Kenneth Ribet.

Čas plynul, regresiu vystriedal pokrok a veda išla rýchlo dopredu, najmä v oblasti výpočtovej techniky. Hodnota n sa teda začala čoraz viac zvyšovať.

Na samom konci 20. storočia boli najvýkonnejšie počítače vo vojenských laboratóriách, programovalo sa na odvodenie riešenia známeho Fermatovho problému. V dôsledku všetkých pokusov sa ukázalo, že táto veta je správna pre mnohé hodnoty n, x, y. Nanešťastie sa to však nestalo konečným dôkazom, pretože neexistovali žiadne špecifiká ako také.

John Wiles dokázal Fermatovu veľkú vetu

A napokon až koncom roku 1994 matematik z Anglicka John Wiles našiel a predviedol presný dôkaz kontroverznej Fermerovej vety. Potom, po mnohých vylepšeniach, diskusie na túto tému dospeli k logickému záveru.

Vyvrátenie bolo zverejnené na viac ako sto stranách jedného časopisu! Navyše bola veta dokázaná na modernejšom prístroji vyššej matematiky. A prekvapivo v čase, keď Farmár písal svoje dielo, takýto aparát v prírode neexistoval. Jedným slovom, muž bol uznávaný ako génius v tejto oblasti, s čím nikto nemohol argumentovať. Napriek všetkému, čo sa stalo, si dnes môžete byť istí, že prezentovaná veta veľkého vedca Farmera je opodstatnená a dokázaná a žiaden matematik so zdravým rozumom nezačne na túto tému spory, s ktorými súhlasia aj tí najzarytejší skeptici celého ľudstva.

Celé meno osoby, po ktorej bola prezentovaná veta pomenovaná, bolo Pierre de Fermer. Prispieval do rôznych oblastí matematiky. Ale, bohužiaľ, väčšina jeho diel vyšla až po jeho smrti.

Farma Grand Theorem Singh Simon

"Potvrdila sa Fermatova posledná veta?"

Bol to len prvý krok k preukázaniu dohadu Taniyama-Shimura, ale stratégia, ktorú zvolil Wiles, bola brilantným matematickým prielomom, výsledkom, ktorý si zaslúžil zverejnenie. Ale kvôli sľubu mlčanlivosti, ktorý na seba uvalil Wiles, nemohol o výsledku povedať zvyšku sveta a netušil, kto iný by mohol urobiť taký významný prielom.

Wiles si spomína na svoj filozofický postoj k akémukoľvek potenciálnemu vyzývateľovi: „Nikto nechce stráviť roky dokazovaním niečoho a zistiť, že niekomu sa podarilo nájsť dôkaz o pár týždňov skôr. Ale napodiv, keďže som sa snažil vyriešiť problém, ktorý bol v podstate považovaný za neriešiteľný, svojich protivníkov som sa veľmi nebál. Len som nečakal, že ja alebo niekto iný príde s nápadom, ktorý povedie k dôkazu.“

8. marca 1988 bol Wiles šokovaný, keď uvidel titulky na titulnej strane veľkými písmenami: "Posledná Fermatova veta preukázaná." Washington Post a New York Times informovali, že 38-ročný Yoichi Miyaoka z Tokijskej metropolitnej univerzity vyriešil najťažší matematický problém sveta. Miyaoka zatiaľ svoj dôkaz nezverejnil, no jeho priebeh načrtol na seminári v Inštitúte Maxa Plancka pre matematiku v Bonne. Don Zagier, ktorý sa zúčastnil Miyaokovej správy, vyjadril optimizmus matematickej komunity nasledujúcimi slovami: „Dôkaz, ktorý predložil Miyaoka, je mimoriadne zaujímavý a niektorí matematici veria, že sa s vysokou pravdepodobnosťou ukáže ako správny. Zatiaľ to nie je isté, ale dôkazy zatiaľ vyzerajú veľmi povzbudivo.“

Na seminári v Bonne Miyaoka hovoril o svojom prístupe k riešeniu problému, ktorý zvažoval z úplne iného, ​​algebro-geometrického hľadiska. V priebehu posledných desaťročí geometri dosiahli hlboké a jemné pochopenie matematických objektov, najmä vlastností povrchov. V 70. rokoch sa ruský matematik S. Arakelov pokúsil nájsť paralely medzi problémami v algebraickej geometrii a problémami v teórii čísel. Toto bola jedna z línií Langlandsovho programu a matematici dúfali, že nevyriešené problémy v teórii čísel možno vyriešiť štúdiom zodpovedajúcich problémov v geometrii, ktoré tiež zostali nevyriešené. Takýto program bol známy ako filozofia súbežnosti. Tí algebraickí geometri, ktorí sa pokúšali riešiť problémy v teórii čísel, sa nazývali „aritmetické algebraické geometre“. V roku 1983 ohlásili svoje prvé významné víťazstvo, keď Gerd Faltings z Princetonského inštitútu pre pokročilé štúdium významne prispel k pochopeniu Fermatovej vety. Pripomeňme si, že podľa Fermata rovnica

pri n väčší ako 2 nemá riešenia v celých číslach. Faltings si myslel, že pokročil v dokazovaní Fermatovej poslednej vety štúdiom geometrických povrchov spojených s rôznymi hodnotami n. Plochy spojené s Fermatovými rovnicami pre rôzne hodnoty n, sa navzájom líšia, ale majú jednu spoločnú vlastnosť - všetky majú priechodné otvory, alebo jednoducho povedané, otvory. Tieto povrchy sú štvorrozmerné, rovnako ako grafy modulárnych foriem. Dvojrozmerné rezy dvoch plôch sú znázornené na obr. 23. Povrchy spojené s Fermatovou rovnicou vyzerajú podobne. Čím väčšia hodnota n v rovnici, čím viac otvorov na príslušnom povrchu.

Ryža. 23. Tieto dva povrchy boli získané pomocou počítačového programu Mathematica. Každý z nich predstavuje miesto bodov, ktoré spĺňa rovnicu x n + y n = z n(pre povrch vľavo n= 3, pre povrch vpravo n=5). Premenné X a r sa považujú za zložité.

Faltings dokázal, že keďže takéto povrchy majú vždy niekoľko dier, súvisiaca Fermatova rovnica môže mať iba konečnú množinu riešení v celých číslach. Počet riešení môže byť čokoľvek od nuly, ako navrhol Fermat, po milión alebo miliardu. Faltings teda Fermatovu poslednú vetu nepreukázal, no aspoň sa mu podarilo odmietnuť možnosť, že Fermatova rovnica môže mať nekonečne veľa riešení.

O päť rokov neskôr Miyaoka oznámil, že zašiel ešte o krok ďalej. Mal vtedy niečo po dvadsiatke. Miyaoka sformuloval domnienku o nejakej nerovnosti. Bolo jasné, že dokázať jeho geometrický predpoklad by znamenalo dokázať, že počet riešení Fermatovej rovnice je nielen konečný, ale nulový. Miyaokov prístup bol podobný Wilesovmu v tom, že sa obaja pokúsili dokázať Fermatovu poslednú vetu tým, že ju spojili so základným dohadom v inej oblasti matematiky. Pre Miyaoku to bola algebraická geometria, pre Wilesa cesta k dôkazu viedla cez eliptické krivky a modulárne formy. Na Wilesovu ľútosť stále zápasil s dôkazom dohadu Taniyama-Shimura, keď Miyaoka tvrdil, že má úplný dôkaz svojej vlastnej domnienky, a teda Fermatovej poslednej vety.

Dva týždne po svojom prejave v Bonne Miyaoka zverejnil päť strán výpočtov, ktoré tvorili podstatu jeho dôkazu, a začala sa dôkladná kontrola. Teoretici čísel a algebraické geometrie na celom svete študovali riadok po riadku a publikovali výpočty. O niekoľko dní neskôr matematici objavili jeden rozpor v dôkaze, ktorý nemohol spôsobiť obavy. Jedna časť Miyaokovej práce viedla k tvrdeniu z teórie čísel, z ktorého sa po preklade do jazyka algebraickej geometrie získalo tvrdenie, ktoré bolo v rozpore s výsledkom získaným pred niekoľkými rokmi. Aj keď to nevyhnutne nezrušilo platnosť celého Miyaokovho dôkazu, objavený rozpor nezapadal do filozofie paralelizmu medzi teóriou čísel a geometriou.

O dva týždne neskôr Gerd Faltings, ktorý pripravil cestu Miyaokovi, oznámil, že objavil presnú príčinu zjavného porušenia súbežnosti – medzeru v uvažovaní. Japonský matematik bol geometer a nebol absolútne prísny pri prekladaní svojich myšlienok do menej známeho územia teórie čísel. Armáda teoretikov čísel sa zúfalo snažila zaplátať dieru v Miyaokiho dôkaze, no márne. Dva mesiace po tom, čo Miyaoka oznámil, že má úplný dôkaz Fermatovej poslednej vety, dospela matematická komunita k jednomyseľnému záveru, že Miyaokov dôkaz je odsúdený na neúspech.

Rovnako ako v prípade predchádzajúcich neúspešných dôkazov sa Miyaokovi podarilo získať mnoho zaujímavých výsledkov. Časti jeho dôkazov si zaslúžia pozornosť ako veľmi dômyselné aplikácie geometrie v teórii čísel a v neskorších rokoch ich iní matematici používali na dokazovanie určitých teorémov, ale nikomu sa nepodarilo dokázať Fermatovu poslednú vetu týmto spôsobom.

Humbuk okolo Fermatovej poslednej vety čoskoro utíchol a noviny priniesli krátke poznámky o tom, že tristo rokov stará hádanka stále zostáva nevyriešená. Na stene newyorskej stanice metra na Ôsmej ulici sa objavil nasledujúci nápis, nepochybne inšpirovaný tlačovými publikáciami o Fermatovej poslednej vete: „Rovnica xn + yn = zn nemá riešenia. Našiel som skutočne úžasný dôkaz tejto skutočnosti, ale nemôžem ho sem zapísať, pretože prišiel môj vlak.

KAPITOLA 10 KROKODÝLIA FARMA Išli po malebnej ceste v aute starého Johna, sedeli na zadných sedadlách. Za volantom sedel čierny vodič v pestrofarebnej košeli s čudne orezanou hlavou. Kríky čiernych vlasov, tvrdé ako drôt, rástli na oholenej lebke, logika

Príprava na preteky. Aljaška, farma Iditarod Lindy Pletnerovej sú každoročné preteky psích záprahov na Aljaške. Dĺžka trasy je 1150 míľ (1800 km). Ide o najdlhšie preteky psích záprahov na svete. Štart (slávnostný) - 4. marca 2000 z Anchorage. Štart

Kozia farma Cez leto je v obci veľa práce. Keď sme navštívili dedinu Khomutets, zbieralo sa seno a voňavé vlny z čerstvo pokosenej trávy akoby rozmočili všetko naokolo.Trávy treba včas pokosiť, aby neprezreli, potom sa v nich zachová všetko cenné a výživné. Toto

Letná farma Slama ako blesková ruka do sklenenej trávy Ďalší, ktorý sa podpísal na plot, zapálil oheň zeleného pohára vody v konskom žľabe. Do modrého súmraku Putuj, kolíše, deväť kačíc po brázde ducha rovnobežných línií. Tu je sliepka, ktorá hľadí sama na nič

Zničená farma Pokojné slnko, ako tmavočervený kvet, Klesalo na zem, rástlo do západu slnka, Ale opona noci v nečinnej sile škubala svetom, čo rušilo pohľad. Na statku bez strechy zavládlo ticho, Akoby jej niekto strhol vlasy, Pobili sa o kaktus.

Farma alebo dvor? 13. februára 1958 všetky centrálne moskovské a potom regionálne noviny zverejnili rozhodnutie ÚV KSSZ „O omyle pri nákupe kráv od kolektívnych farmárov v Záporožskej oblasti“. Nešlo ani tak o celý kraj, ale o dva jeho okresy: Prímorský

Fermatov problém Už v roku 1963, keď mal len desať rokov, bol Andrew Wiles fascinovaný matematikou. „V škole som rád riešil problémy, nosil som si ich domov a z každého problému som vymýšľal nové. Ale najlepší problém, na aký som kedy narazil, som našiel v miestnom

Od Pytagorovej vety k poslednej Fermatovej vete O Pytagorovej vete a nekonečnom počte Pytagorových trojíc sa hovorilo v knihe E.T. Bellov „Veľký problém“ – tá istá kniha z knižnice, ktorá upútala pozornosť Andrewa Wilesa. A hoci Pythagorejci dosiahli takmer úplné

Matematika po dôkaze Fermatovej poslednej vety Sám Wiles mal napodiv zo svojej správy zmiešané pocity: „Príležitosť na prejav bola veľmi dobre zvolená, ale samotná prednáška vo mne vzbudila zmiešané pocity. Pracujte na dôkaze

KAPITOLA 63 Farma starého McLennona Asi mesiac a pol po návrate do New Yorku v jeden z „novembrových večerov“ zazvonil telefón v byte Lennonovcov. Yoko telefón zdvihla. Portorikánsky mužský hlas sa spýtal Yoko Ono.

Pontryaginova veta Otec súčasne s konzervatóriom študoval na Moskovskej štátnej univerzite mechaniku a matematiku. Úspešne ju zmaturoval a istý čas aj váhal pri výbere povolania. Hudobná veda zvíťazila, vďaka čomu ťažil zo svojho matematického myslenia.Jeden z otcových spolužiakov

Veta Je potrebné dokázať vetu o práve náboženského združenia zvoliť si kňaza. Znie takto: "Vzniká pravoslávne spoločenstvo... pod duchovným vedením kňaza, ktorého si spoločenstvo vybralo a prijal požehnanie diecézneho biskupa."

I. Farma („Tu, z kuracieho hnoja...“) Tu, z kuracieho hnoja Jedna záchrana je metla. Láska - čo sa počíta? - Vzali ma do kurína. Zobkanie obilia, klokanie sliepok, dôležité pochody kohútov. A bez veľkosti a cenzúry Básne sa skladajú v mysli. O provensálskom popoludní

Keďže málokto pozná matematické myslenie, budem o najväčšom vedeckom objave – o elementárnom dôkaze Fermatovej poslednej vety – rozprávať tým najzrozumiteľnejším, školským jazykom.

Dôkaz bol nájdený pre konkrétny prípad (pre prvočíslo n>2), na ktorý (a prípad n=4) sa dajú ľahko zredukovať všetky prípady so zloženým n.

Musíme teda dokázať, že rovnica A^n=C^n-B^n nemá riešenie v celých číslach. (Znak ^ tu znamená stupeň.)

Dôkaz sa vykonáva v číselnej sústave s jednoduchým základom n. V tomto prípade sa v každej tabuľke násobenia posledné číslice neopakujú. V bežnej, desiatkovej sústave je situácia iná. Napríklad pri vynásobení čísla 2 číslom 1 aj číslom 6 sa oba produkty – 2 a 12 – končia rovnakými číslami (2). A napríklad v sedemdesiatkovej sústave pre číslo 2 sú všetky posledné číslice odlišné: 0x2=...0, 1x2=...2, 2x2=...4, 3x2=...6, 4x2 =...1, 5x2=...3, 6x2=...5, s množinou posledných číslic 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5.

Vďaka tejto vlastnosti je pre ľubovoľné číslo A, ktoré nekončí nulou (a pri Fermatovej rovnosti posledná číslica čísel A, studňa alebo B, po vydelení rovnosti spoločným deliteľom čísel A, B, C nerovná sa nule), môžete zvoliť faktor g taký, že číslo Ag bude mať ľubovoľne dlhú koncovku, napríklad 000...001. Práve takýmto číslom g vynásobíme všetky základné čísla A, B, C vo Fermatovej rovnosti. Zároveň spravíme jedinú koncovku dostatočne dlhú, konkrétne o dve číslice dlhšiu ako je počet (k) núl na konci čísla U=A+B-C.

Číslo U sa nerovná nule - inak C \u003d A + B a A ^ n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

To je vlastne celá príprava Fermatovej rovnosti na stručnú a záverečnú štúdiu. Jediné, čo ešte musíme urobiť: prepíšeme pravú stranu Fermatovej rovnosti - C ^ n-B ^ n - pomocou školského expanzného vzorca: C ^ n-B ^ n \u003d (C-B) P alebo aP. A keďže ďalej budeme operovať (násobiť a sčítať) len s číslicami (k + 2)-ciferných koncov čísel A, B, C, potom môžeme ich hlavové časti ignorovať a jednoducho ich zahodiť (ponechať len jeden fakt v pamäti: ľavá strana Fermatovej rovnosti je MOC).

Jediná ďalšia vec, ktorá stojí za zmienku, sú posledné číslice čísel a a P. V pôvodnej Fermatovej rovnosti číslo P končí číslom 1. Vyplýva to zo vzorca Fermatovej malej vety, ktorú možno nájsť v referenčných knihách. A po vynásobení Fermatovej rovnosti číslom g ^ n sa číslo P vynásobí číslom g mocninou n-1, čo podľa Fermatovej malej vety tiež končí číslom 1. Takže v novom Fermatovi ekvivalentnej rovnosti, číslo P končí na 1. A ak A končí na 1, potom aj A^n končí na 1, a preto aj číslo a končí na 1.

Máme teda východiskovú situáciu: posledné číslice A", a", P" čísel A, a, P končia číslom 1.

No a potom sa začne sladká a fascinujúca operácia, nazývaná prednostne „mlyn“: ak vezmeme do úvahy nasledujúce číslice a „“, a „““ atď., čísla a, výlučne „ľahko“ vypočítame, že sú tiež rovná nule! Do úvodzoviek som dal „ľahké", pretože ľudstvo 350 rokov nevedelo nájsť kľúč k tomuto „ľahkému"! A kľúč sa naozaj ukázal byť nečakane a hlúpo primitívny: číslo P musí byť reprezentované ako P = q ^ (n-1) + Qn ^(k + 2) Nestojí za to venovať pozornosť druhému členu v tomto súčte - koniec koncov, pri ďalšom dôkaze sme zahodili všetky čísla po (k + 2) v číslach (a to drasticky zjednodušuje analýzu)! Takže po vyradení čísel častí hlavy dostane Fermatova rovnosť tvar: ...1=aq^(n-1), kde a a q nie sú čísla, ale iba koncovky čísel a a q! (Nezavádzam nový zápis, pretože to sťažuje čítanie.)

Posledná filozofická otázka zostáva: prečo môže byť číslo P reprezentované ako P=q^(n-1)+Qn^(k+2)? Odpoveď je jednoduchá: pretože akékoľvek celé číslo P s 1 na konci môže byť reprezentované v tejto forme a TOTOŽNE. (Môžete si to predstaviť mnohými inými spôsobmi, ale my to nepotrebujeme.) V skutočnosti pre P=1 je odpoveď zrejmá: P=1^(n-1). Pre P=hn+1 je číslo q=(n-h)n+1, ktoré sa dá ľahko overiť riešením rovnice [(n-h)n+1]^(n-1)==hn+1 dvojhodnotou koncovky. A tak ďalej (ale nepotrebujeme ďalšie výpočty, keďže nám stačí reprezentácia čísel v tvare P=1+Qn^t).

Uf-f-f-f! Nuž, filozofia skončila, môžete prejsť k výpočtom na úrovni druhej triedy, pokiaľ si ešte raz nespomeniete na Newtonov binomický vzorec.

Zavedme teda číslo a"" (v čísle a=a""n+1) a použime ho na výpočet čísla q"" (v čísle q=q""n+1):
...01=(a""n+1)(q""n+1)^(n-1), alebo...01=(a""n+1)[(n-q"")n+ 1 ], odkiaľ q""=a"".

A teraz môže byť pravá strana Fermatovej rovnosti prepísaná ako:
A^n=(a""n+1)^n+Dn^(k+2), kde nás hodnota čísla D nezaujíma.

A teraz prichádzame k rozhodujúcemu záveru. Číslo a "" n + 1 je dvojciferná koncovka čísla A, a PRETO podľa jednoduchej lemy jednoznačne určuje TRETÚ číslicu stupňa A ^ n. A navyše z rozšírenia Newtonovho binomu
(a "" n + 1) ^ n, vzhľadom na to, že každý člen expanzie (okrem prvého, ktorý už počasie nemôže zmeniť!) je spojený JEDNODUCHÝM faktorom n (základ čísla!), je jasné, že táto tretia číslica sa rovná "". Ale vynásobením Fermatovej rovnosti g ^ n sme zmenili k + 1 číslicu pred poslednou 1 v čísle A na 0. A teda "" \u003d 0 !!!

Takto sme dokončili cyklus: zavedením a"" sme zistili, že q""=a"", a nakoniec a""=0!

Zostáva však povedať, že po vykonaní úplne podobných výpočtov a následných k číslic dostaneme konečnú rovnosť: (k + 2)-ciferné zakončenie čísla a, alebo C-B, - rovnako ako číslo A, je rovná 1. Potom sa však (k+2)-tá číslica C-A-B rovná nule, pričom NIE JE rovná nule!!!

Tu je v skutočnosti všetok dôkaz. Aby ste to pochopili, nepotrebujete mať vyššie vzdelanie a navyše byť profesionálnym matematikom. Profesionáli však mlčia...

Čitateľný text úplného dôkazu sa nachádza tu:

Recenzie

Ahoj Viktor. Páčil sa mi tvoj životopis. „Nenechaj zomrieť pred smrťou“ znie samozrejme skvele. Zo stretnutia v Próze s Fermatovou vetou, úprimne povedané, som zostal ako obarený! Patrí sem? Existujú vedecké, populárno-vedecké a čajové stránky. Inak ďakujem za literárnu prácu.
S pozdravom Anya.

Milá Anya, aj napriek dosť prísnej cenzúre vám Próza umožňuje písať O VŠETKOM. Pri Fermatovej vete je situácia nasledovná: veľké matematické fóra sa k fermatistom správajú šikmo, hrubo a celkovo sa k nim správajú najlepšie, ako vedia. Na malých ruských, anglických a francúzskych fórach som však predložil poslednú verziu dôkazu. Nikto zatiaľ nepredložil žiadne protiargumenty a som si istý, že ani nikto nepredloží (dôkaz bol veľmi pozorne skontrolovaný). V sobotu zverejním filozofickú poznámku o vete.
V próze nie sú takmer žiadni hulváti, a ak sa s nimi nebudete zdržiavať, čoskoro zmiznú.
Takmer všetky moje práce sú prezentované v próze, preto som sem umiestnil aj dôkaz.
Vidíme sa neskôr,

Súbor FERMA-KDVar © N. M. Koziy, 2008

Certifikát Ukrajiny č. 27312

STRUČNÝ DÔKAZ VEĽKEJ FERMATOVEJ TEORÉMY

Posledná Fermatova veta je formulovaná takto: Diofantínska rovnica (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

ALE n + V n = C n * /1/

kde n- kladné celé číslo väčšie ako dva nemá riešenie v kladných celých číslach A , B , OD .

DÔKAZ

Z formulácie Fermatovej poslednej vety vyplýva: ak n je kladné celé číslo väčšie ako dva, za predpokladu, že dve z troch čísel ALE , AT alebo OD sú kladné celé čísla, jedno z týchto čísel nie je kladné celé číslo.

Dôkaz staviame na základe základnej vety aritmetiky, ktorá sa nazýva „teoréma o jedinečnosti faktorizácie“ alebo „teoréma o jedinečnosti rozkladu celých zložených čísel na prvočiniteľa“. Možné sú nepárne a párne exponenty n . Zoberme si oba prípady.

1. Prípad 1: Exponent n - nepárne číslo.

V tomto prípade sa výraz /1/ prevedie podľa známych vzorcov takto:

ALE n + AT n = OD n /2/

Tomu veríme A a B sú kladné celé čísla.

čísla ALE , AT a OD musia byť relatívne prvočísla.

Z rovnice /2/ vyplýva, že pre dané hodnoty čísel A a B faktor ( A + B ) n , OD.

Povedzme číslo OD - kladné celé číslo. Berúc do úvahy prijaté podmienky a základnú vetu aritmetiky, podmienka :

OD n = A n + B n = (A+B) n ∙ D n , / 3/

kde je multiplikátor D n D

Z rovnice /3/ vyplýva:

Z rovnice /3/ tiež vyplýva, že číslo [ C n = A n + B n ] za predpokladu, že číslo OD ( A + B ) n. Je však známe, že:

A n + B n < ( A + B ) n /5/

V dôsledku toho:

je zlomkové číslo menšie ako jedna. /6/

Zlomkové číslo.

n

Pre nepárne exponenty n >2 číslo:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Z rozboru rovnice /2/ vyplýva, že s nepárnym exponentom nčíslo:

OD n = ALE n + AT n = (A+B)

pozostáva z dvoch určitých algebraických faktorov a pre akúkoľvek hodnotu exponentu n algebraický faktor zostáva nezmenený ( A + B ).

Fermatova posledná veta teda nemá riešenie v kladných celých číslach pre nepárny exponent n >2.

2. Druhý prípad: Exponent n - párne číslo .

Podstata poslednej Fermatovej vety sa nezmení, ak rovnicu /1/ prepíšeme takto:

A n = C n - B n /7/

V tomto prípade sa rovnica /7/ transformuje takto:

A n = C n - B n = ( OD +B)∙(Cn-1 + Cn-2 B+ Cn-3 ∙ B2 +…+ C ∙ B n -2 + B n -1 ). /8/

Akceptujeme to OD a AT- celé čísla.

Z rovnice /8/ vyplýva, že pre dané hodnoty čísel B a C faktor (C+ B ) má rovnakú hodnotu pre akúkoľvek hodnotu exponentu n , teda je to deliteľ čísla A .

Povedzme číslo ALE je celé číslo. Berúc do úvahy prijaté podmienky a základnú vetu aritmetiky, podmienka :

ALE n = C n - B n = (C+ B ) n ∙ D n , / 9/

kde je multiplikátor D n musí byť celé číslo, a teda číslo D musí byť tiež celé číslo.

Z rovnice /9/ vyplýva:

/10/

Z rovnice /9/ tiež vyplýva, že číslo [ ALE n = OD n - B n ] za predpokladu, že číslo ALE- celé číslo, musí byť deliteľné číslom (C+ B ) n. Je však známe, že:

OD n - B n < (С+ B ) n /11/

V dôsledku toho:

je zlomkové číslo menšie ako jedna. /12/

Zlomkové číslo.

Z toho vyplýva, že pre nepárnu hodnotu exponentu n rovnica /1/ poslednej Fermatovej vety nemá riešenie v kladných celých číslach.

S párnymi exponentmi n >2 číslo:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Fermatova posledná veta teda nemá riešenie v kladných celých číslach a pre párny exponent n >2.

Z uvedeného vyplýva všeobecný záver: rovnica /1/ poslednej Fermatovej vety nemá riešenie v kladných celých číslach. A, B a OD za predpokladu, že exponent n>2.

ĎALŠIE DÔVODY

V prípade, že exponent n – párne číslo, algebraický výraz ( C n - B n ) rozložené na algebraické faktory:

C2 - B2 \u003d(C-B)* (C+B); /13/

C4 – B4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C2 + B 2);/14/

C6-B6=(C-B) ∙ (C + B) (C 2 -CB + B 2) ∙ (C 2 + CB + B 2) ; /15/

C8 - B8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

Uveďme príklady v číslach.

PRÍKLAD 1: B = 11; C=35.

C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;

C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;

C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (31 2) (3 577) = 2 ∙ 3 ​​∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .

PRÍKLAD 2: B = 16; C = 25.

C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) (881) = 3 2 ∙ 41 881;

C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;

C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.

Z rozboru rovníc /13/, /14/, /15/ a /16/ a im zodpovedajúcich číselných príkladov vyplýva:

Pre daný exponent n , ak je to párne číslo, tak číslo ALE n = C n - B n rozkladá sa na presne definovaný počet presne definovaných algebraických faktorov;

Pre akýkoľvek stupeň n , ak ide o párne číslo, v algebraickom vyjadrení ( C n - B n ) vždy existujú multiplikátory ( C - B ) a ( C + B ) ;

Každý algebraický faktor zodpovedá dobre definovanému číselnému faktoru;

Pre dané hodnoty čísel AT a ODčíselné faktory môžu byť prvočísla alebo zložené číselné faktory;

Každý zložený číselný faktor je súčinom prvočísel, ktoré čiastočne alebo úplne chýbajú v iných zložených číselných faktoroch;

Hodnota prvočísel v skladbe zložených číselných faktorov rastie s nárastom týchto faktorov;

Zloženie najväčšieho zloženého číselného faktora zodpovedajúceho najväčšiemu algebraickému faktoru zahŕňa najväčšie prvočíslo s mocninou menšou ako je exponent n(najčastejšie na prvom stupni).

ZÁVERY: dodatočné zdôvodnenia podporujú záver, že Fermatova posledná veta nemá riešenie v kladných celých číslach.

strojný inžinier