Diferenciálny počet funkcií jednej a viacerých premenných. Diferenciálny a integrálny počet

DIFERENCIÁLNY POČET, odvetvie matematickej analýzy, ktoré študuje derivácie, diferenciály a ich aplikáciu na štúdium funkcií. Diferenciálny počet sa ako samostatná disciplína vyvinul v 2. polovici 17. storočia pod vplyvom prác I. Newtona a G. W. Leibniza, v ktorých sformulovali hlavné ustanovenia diferenciálneho počtu a zaznamenali vzájomne inverzný charakter diferenciácie a integrácie. Od tej doby sa diferenciálny počet vyvíjal v úzkom spojení s integrálnym počtom a tvoril s ním hlavnú časť matematickej analýzy (alebo analýzy infinitezimál). Vytvorenie diferenciálneho a integrálneho počtu otvorilo novú éru vo vývoji matematiky, viedlo k vzniku množstva nových matematických disciplín (teória radov, teória diferenciálnych rovníc, diferenciálna geometria, variačný počet, funkcionálna analýza) a výrazne rozšírili možnosti aplikácie matematiky do otázok prírodných vied a techniky.

Diferenciálny počet je založený na takých základných pojmoch ako reálne číslo, funkcia, limita, spojitosť. Tieto pojmy nadobudli modernú podobu v priebehu vývoja diferenciálneho a integrálneho počtu. Hlavné myšlienky a koncepty diferenciálneho počtu sú spojené so štúdiom funkcií v malom, t.j. v malom okolí jednotlivých bodov, čo si vyžaduje vytvorenie matematického aparátu na štúdium funkcií, ktorých správanie sa v dostatočne malom okolí každého bodu ich doména definície je blízka chovaniu lineárnej funkcie alebo polynómu. Tento aparát je založený na konceptoch derivácie a diferenciálu. Pojem derivácie vznikol v súvislosti s veľkým množstvom rôznych problémov v prírodných vedách a matematike, čo viedlo k výpočtu limitov rovnakého typu. Najdôležitejšou z týchto úloh je určenie rýchlosti pohybu hmotného bodu po priamke a zostrojenie dotyčnice ku krivke. Pojem diferenciál súvisí s možnosťou aproximácie funkcie v malom okolí uvažovaného bodu lineárnou funkciou. Na rozdiel od konceptu derivácie funkcie reálnej premennej je možné koncept diferenciálu ľahko preniesť na funkcie všeobecnejšieho charakteru, vrátane zobrazení z jedného euklidovského priestoru do druhého, zobrazení Banachových priestorov do iných Banachových priestorov a slúži ako jeden zo základných konceptov funkčnej analýzy.

Derivát. Nechajte hmotný bod pohybovať sa pozdĺž osi Oy a x označuje čas počítaný od nejakého počiatočného okamihu. Popis tohto pohybu je daný funkciou y = f(x), ktorá každému časovému okamihu x priradí súradnicu y pohybujúceho sa bodu. Táto funkcia sa v mechanike nazýva zákon pohybu. Dôležitou charakteristikou pohybu (najmä ak je nerovnomerný) je rýchlosť pohybujúceho sa bodu v každom časovom okamihu x (táto rýchlosť sa nazýva aj okamžitá rýchlosť). Ak sa bod pohybuje pozdĺž osi Oy podľa zákona y \u003d f (x), potom v ľubovoľnom čase x má súradnicu f (x) a v čase x + Δx - súradnicu f (x + Δx ), kde Δx je prírastok času. Číslo Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), nazývané prírastok funkcie, je dráha, ktorú prejde pohybujúci sa bod v čase od x do x + Δx. Postoj

nazývaný rozdielový pomer, je priemerná rýchlosť bodu v časovom intervale od x do x + Δx. Okamžitá rýchlosť (alebo jednoducho rýchlosť) pohybujúceho sa bodu v čase x je hranica, ku ktorej smeruje priemerná rýchlosť (1), keď sa časový interval Δx blíži k nule, t.j. hranica (2)

Pojem okamžitej rýchlosti vedie k pojmu derivácia. Derivácia ľubovoľnej funkcie y \u003d f (x) v danom pevnom bode x sa nazýva limita (2) (za predpokladu, že táto limita existuje). Derivácia funkcie y \u003d f (x) v danom bode x je označená jedným zo symbolov f '(x), y', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Operácia hľadania derivácie (alebo prechodu z funkcie na jej deriváciu) sa nazýva diferenciácia.

Problém konštrukcie dotyčnice k rovinnej krivke, definovanej v karteziánskom súradnicovom systéme Oxy rovnicou y \u003d f (x), v určitom bode M (x, y) (obr.) tiež vedie k limitu (2) . Po zadaní prírastku Δx argumentu x a prevzatí bodu M' so súradnicami (x + Δx, f(x) + Δx) na krivke určte dotyčnicu v bode M ako limitnú polohu sečny MM' ako bod M' smeruje k M (t.j. ako Δx smeruje k nule). Keďže je daný bod M, ktorým dotyčnica prechádza, konštrukcia dotyčnice sa redukuje na určenie jej sklonu (t.j. dotyčnice jej uhla sklonu k osi Ox). Nakreslením priamky MR rovnobežnej s osou Ox sa získa, že sklon sečnice MM' sa rovná pomeru

V limite pri Δx → 0 sa sklon sečnice zmení na sklon dotyčnice, ktorý sa rovná limite (2), t. j. derivácii f’(x).

K pojmu derivát vedie aj množstvo ďalších problémov prírodných vied. Napríklad sila prúdu vo vodiči je definovaná ako limit lim Δt→0 Δq/Δt, kde Δq je kladný elektrický náboj prenesený cez prierez vodiča v čase Δt, rýchlosť chemickej reakcie je definovaná ako lim Δt→0 ΔQ/Δt, kde ΔQ je zmena množstva hmoty za čas Δt a vo všeobecnosti derivácia nejakej fyzikálnej veličiny vzhľadom na čas je rýchlosť zmeny tejto veličiny.

Ak je funkcia y \u003d f (x) definovaná ako v samotnom bode x, tak aj v niektorom jeho okolí a má deriváciu v bode x, potom je táto funkcia spojitá v bode x. Príklad funkcie y \u003d |x|, definovanej v ľubovoľnom okolí bodu x \u003d 0, v tomto bode súvislá, ale bez derivácie v x \u003d 0, ukazuje, že existencia funkcie v tomto bode , vo všeobecnosti nevyplýva z kontinuity funkcie v tomto bode derivácia. Okrem toho existujú funkcie, ktoré sú spojité v každom bode svojej oblasti definície, ale nemajú deriváciu v žiadnom bode tejto oblasti.

V prípade, že funkcia y \u003d f (x) je definovaná iba napravo alebo iba naľavo od bodu x (napríklad keď x je hraničný bod segmentu, na ktorom je táto funkcia zadaná), pojmy pravých a ľavých derivátov funkcie y \u003d f (x) sú zavedené v bode x. Pravá derivácia funkcie y \u003d f (x) v bode x je definovaná ako limita (2) za predpokladu, že Δx má tendenciu k nule a zostáva kladná, a ľavá derivácia je definovaná ako limita (2) za predpokladu, že Δx má tendenciu k nule a zostáva záporná . Funkcia y \u003d f (x) má deriváciu v bode x práve vtedy, ak má pravú a ľavú deriváciu v tomto bode navzájom rovnaké. Vyššie uvedená funkcia y = |x| má pravú deriváciu rovnú 1 v bode x = 0 a ľavú deriváciu rovnú -1, a keďže pravá a ľavá derivácia sa navzájom nerovnajú, táto funkcia nemá žiadnu deriváciu v bode x = 0. trieda funkcií, ktoré majú deriváciu, je derivácia operácie lineárna, t.j. (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) a (αf(x))' = αf „(x) pre ľubovoľné číslo a. Okrem toho platia nasledujúce pravidlá diferenciácie:

Deriváty niektorých elementárnych funkcií sú:

α - ľubovoľné číslo, x > 0;

n = 0, ±1, ±2,

Derivácia akejkoľvek elementárnej funkcie je opäť elementárna funkcia.

Ak má derivácia f'(x) deriváciu v danom bode x, potom sa derivácia funkcie f'(x) nazýva druhá derivácia funkcie y = f(x) v bode x a označené jedným zo symbolov f''(x), y'', ÿ, d2f/dx2, d2y/dx2, D2f(x).

Pre hmotný bod pohybujúci sa pozdĺž osi Oy podľa zákona y \u003d f (x) je druhou deriváciou zrýchlenie tohto bodu v čase x. Deriváty ľubovoľného celočíselného rádu n sú definované podobne, označujú sa symbolmi f (n) (x), y (n) , d (n) f/dx (n) , d (n) y/dx (n) , D (n) f (x).

Diferenciál. Funkcia y \u003d f (x), ktorej definičný obor obsahuje nejaké okolie bodu x, sa nazýva diferencovateľná v bode x, ak jej prírastok v tomto bode zodpovedá prírastku argumentu Δx, t.j. hodnote Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) môže byť reprezentované vo forme a je označené symbolom dy alebo df (x). Geometricky, pre pevnú hodnotu x a meniaci sa prírastok Δx, je diferenciál prírastkom v ordinate dotyčnice, t. j. segmentu PM "(obr.). Diferenciál dy je funkciou bodu x aj bodu prírastok Δx. Diferenciál sa nazýva hlavná lineárna časť prírastku funkcie, pretože keď pre pevnú hodnotu x je hodnota dy lineárnou funkciou Δх a rozdiel Δу - dy je nekonečne malý vzhľadom na Δх ako Δх → 0. Pre funkciu f(х) = x podľa definície platí dx = Δх, to znamená, že diferenciál nezávisle premennej dx sa zhoduje s jej prírastkom Δx To umožňuje prepísať výraz pre diferenciál v tvare dy=Adx.

Pre funkciu jednej premennej je pojem diferenciál úzko spojený s pojmom derivácie: na to, aby funkcia y \u003d f (x) mala diferenciál v bode x, je potrebné a postačujúce, aby má v tomto bode konečnú deriváciu f '(x), pričom rovnosť dy = f'(x)dx. Vizuálny význam tohto tvrdenia je, že dotyčnica ku krivke y \u003d f (x) v bode s os x nie je len limitnou polohou sečny, ale aj priamkou, ktorá v nekonečne malom okolí bod x susedí s krivkou y \u003d f (x ) bližšie ako ktorákoľvek iná priamka. Vždy teda A(x) = f'(x) a zápis dy/dx možno chápať nielen ako zápis pre deriváciu f'(x), ale aj ako pomer diferenciálov funkcie a argumentu. . Na základe rovnosti dy = f'(x)dx vyplývajú pravidlá pre hľadanie diferenciálov priamo z príslušných pravidiel pre derivácie. Do úvahy sa berú aj diferenciály druhého a vyššieho rádu.

Aplikácie. Diferenciálny počet vytvára súvislosti medzi vlastnosťami funkcie f(x) a jej deriváciami (resp. jej diferenciálmi), ktoré sú obsahom hlavných viet diferenciálneho počtu. Tieto vety zahŕňajú tvrdenie, že všetky extrémne body diferencovateľnej funkcie f(x) ležiace v jej definičnom obore patria medzi korene rovnice f'(x) = 0, a často používaný konečný prírastkový vzorec (Lagrangeov vzorec) f (b) - f(a) = f'(ξ)(b - a), kde a<ξ0 znamená prísne zvýšenie funkcie a podmienka f '' (x)\u003e 0 - jej prísna konvexnosť. Okrem toho, diferenciálny počet umožňuje vypočítať rôzne druhy limitov funkcií, najmä limity pomerov dvoch funkcií, ktoré sú neistoty tvaru 0/0 alebo tvaru ∞/∞ (pozri Zverejnenie neistôt) . Diferenciálny počet je vhodný najmä na štúdium elementárnych funkcií, ktorých derivácie sú napísané explicitne.

Diferenciálny počet funkcií viacerých premenných. Metódy diferenciálneho počtu sa používajú na štúdium funkcií viacerých premenných. Pre funkciu dvoch premenných u = f(x, y) je jej parciálna derivácia vzhľadom na x v bode M(x, y) deriváciou tejto funkcie vzhľadom na x pre pevné y, definovaná ako

a označené jedným zo symbolov f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x alebo ∂f(x,y)'/∂x. Parciálna derivácia funkcie u = f(x,y) vzhľadom na y je definovaná a označovaná obdobným spôsobom. Hodnota Δu \u003d f (x + Δx, y + Δy) - f (x, y) sa nazýva celkový prírastok funkcie a v bode M (x, y). Ak táto hodnota môže byť reprezentovaná ako

kde A a B nezávisia od Δх a Δу a α má tendenciu k nule pri

potom sa funkcia u = f(x, y) nazýva diferencovateľná v bode M(x, y). Súčet AΔx + BΔy sa nazýva totálny diferenciál funkcie u = f(x, y) v bode M(x, y) a označuje sa symbolom du. Keďže A \u003d f’x (x, y), B \u003d f’y (x, y) a prírastky Δx a Δy možno považovať za rovné ich diferenciálom dx a dy, celkový diferenciál du možno zapísať ako

Geometricky diferencovateľnosť funkcie dvoch premenných u = f(x, y) v danom bode M (x, y) znamená, že jej graf existuje v tomto bode dotyčnicovej roviny a diferenciál tejto funkcie je prírastok aplikácie bodu dotyčnicovej roviny zodpovedajúceho prírastkom dx a dy nezávislých premenných. Pre funkciu dvoch premenných je pojem diferenciál oveľa dôležitejší a prirodzenejší ako pojem parciálnych derivácií. Na rozdiel od funkcie jednej premennej, aby bola funkcia dvoch premenných u = f(x, y) diferencovateľná v danom bode M(x, y), nestačí, že konečné parciálne derivácie f'x( x, y) a f' y(x, y). Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou, aby funkcia u = f(x, y) bola diferencovateľná v bode M(x, y), je existencia konečných parciálnych derivácií f'x(x, y) a f'y(x, y) a tendenciu k nule pri

množstvá

Čitateľ tejto veličiny sa získa tak, že sa najprv vezme prírastok funkcie f(x, y), ktorý zodpovedá prírastku Δx jej prvého argumentu, a potom sa vezme prírastok výsledného rozdielu f(x + Δx, y) - f(x, y), zodpovedajúci prírastku Δy jeho druhých argumentov. Jednoduchou postačujúcou podmienkou diferencovateľnosti funkcie u = f(x, y) v bode M(x, y) je existencia spojitých parciálnych derivácií f'x(x, y) a f'y(x, y). ) v tomto bode.

Parciálne derivácie vyšších rádov sú definované podobne. Parciálne derivácie ∂ 2 f/∂х 2 a ∂ 2 f/∂у 2, v ktorých sa obe diferenciácie uskutočňujú v jednej premennej, sa nazývajú čisté a parciálne derivácie ∂ 2 f/∂х∂у a ∂ 2 f/∂ у∂х - zmiešané. V každom bode, kde sú obe zmiešané parciálne derivácie spojité, sú si navzájom rovné. Tieto definície a zápis sa prenášajú aj na prípad väčšieho počtu premenných.

Historický náčrt. Samostatné problémy určovania dotyčníc ku krivkám a hľadania maximálnych a minimálnych hodnôt premenných riešili matematici starovekého Grécka. Napríklad sa našli spôsoby, ako zostrojiť dotyčnice ku kužeľosečkám a niektorým ďalším krivkám. Metódy vyvinuté starovekými matematikmi však boli ďaleko od myšlienok diferenciálneho počtu a dali sa použiť len vo veľmi špeciálnych prípadoch. V polovici 17. storočia sa ukázalo, že mnohé zo spomínaných problémov spolu s ďalšími (napríklad problém určenia okamžitej rýchlosti) možno vyriešiť pomocou rovnakého matematického aparátu, pomocou derivácií a diferenciálov. Okolo roku 1666 I. Newton vyvinul metódu tokov (pozri flux calculus). Newton sa zaoberal najmä dvomi problémami mechaniky: problémom určenia okamžitej rýchlosti pohybu zo známej závislosti dráhy od času a problémom určenia dráhy prejdenej v danom čase zo známej okamžitej rýchlosti. Newton nazval spojité funkcie času plynulé a rýchlosti ich zmien - fluktuácie. Hlavnými Newtonovými pojmami teda boli derivácia (flux) a neurčitý integrál (fluent). Metódu fluxií sa pokúsil podložiť pomocou teórie limitov, ktorá bola v tom čase málo rozvinutá.

V polovici 70. rokov 17. storočia G. W. Leibniz vyvinul vhodné algoritmy pre diferenciálny počet. Základnými pojmami Leibniza boli diferenciál ako nekonečne malý prírastok funkcie a určitý integrál ako súčet nekonečne veľkého počtu diferenciálov. Zaviedol zápis diferenciálu a integrálu, termín „diferenciálny počet“, dostal množstvo pravidiel pre diferenciáciu a navrhol vhodnú symboliku. Ďalší vývoj diferenciálneho počtu v 17. storočí pokračoval najmä cestou, ktorú načrtol Leibniz; významnú úlohu v tejto etape zohrali diela J. a I. Bernoulliovcov, B. Taylora a iných.

Ďalšia etapa vývoja diferenciálneho počtu je spojená s prácami L. Eulera a J. Lagrangea (18. storočie). Euler prvýkrát začal prezentovať diferenciálny počet ako analytickú disciplínu nezávislú od geometrie a mechaniky. Ako základný pojem diferenciálneho počtu opäť použil deriváciu. Lagrange sa pokúsil zostaviť diferenciálny počet algebraicky pomocou expanzií funkcií do mocninných radov; zaviedol pojem "derivát" a označenie y' a f'(x). Začiatkom 19. storočia bol problém podloženia diferenciálneho počtu na základe teórie limity v podstate vyriešený najmä vďaka prácam O. Cauchyho, B. Bolzana a C. Gaussa. Hlboká analýza pôvodných konceptov diferenciálneho počtu bola spojená s rozvojom teórie množín a teórie funkcií reálnych premenných koncom 19. a začiatkom 20. storočia.

Lit .: Dejiny matematiky: V 3 zväzkoch M., 1970-1972; Rybnikov K. A. Dejiny matematiky. 2. vyd. M., 1974; Nikolsky S. M. Kurz matematickej analýzy. 6. vyd. M., 2001: Zorich V. A. Matematická analýza: V 2. časti 4. vyd. M., 2002; Kudryavtsev L.D. Kurz matematickej analýzy: V 3 zväzkoch, 5. vydanie. M., 2003-2006; Fikhtengol'ts G. M. Priebeh diferenciálneho a integrálneho počtu: V 3 zväzkoch, 8. vydanie. M., 2003-2006; Ilyin V. A., Poznyak E. G. Základy matematickej analýzy. 7. vyd. M., 2004. Časť 1. 5. vyd. M., 2004. Časť 2; Iľjin V. A., Sadovničij V. A., Sendov Bl. X. Matematická analýza. 3. vyd. M., 2004. Časť 1. 2. vyd. M., 2004. Časť 2; Ilyin V. A., Kurkina L. V. Vyššia matematika. 2. vyd. M., 2005.

Študent musí:

vedieť:

definícia limity funkcie v bode;

vlastnosti limity funkcie v bode;

Pozoruhodné limitné vzorce;

určenie spojitosti funkcie v bode,

vlastnosti spojitých funkcií;

definícia derivátu, jeho geometrický a fyzikálny význam; tabuľkové deriváty, pravidlá diferenciácie;

pravidlo na výpočet derivácie komplexnej funkcie; definícia diferenciálu funkcie, jej vlastnosti; definícia derivátov a diferenciálov vyšších rádov; určenie extrému funkcie, konvexnej funkcie, inflexných bodov, asymptot;

definícia neurčitého integrálu, jeho vlastnosti, tabuľkové integrály;

· vzorce na integráciu pomocou zmeny premennej a po častiach pre neurčitý integrál;

definícia určitého integrálu, jeho vlastnosti, základný vzorec integrálneho počtu - Newton-Leibnizov vzorec;

· vzorce na integráciu pomocou zmeny premennej a po častiach na určitý integrál;

· geometrický význam určitého integrálu, aplikácia určitého integrálu.

byť schopný:

Vypočítať limity postupností a funkcií; odhaliť neistoty;

· počítať derivácie komplexných funkcií, derivácie a diferenciály vyšších rádov;

nájsť extrémy a inflexné body funkcií;

· vykonávať štúdium funkcií pomocou derivácií a zostavovať ich grafy.

Vypočítajte neurčité a určité integrály metódou zmeny premennej a po častiach;

· integrovať racionálne, iracionálne a niektoré goniometrické funkcie, aplikovať univerzálnu substitúciu; použite určitý integrál na nájdenie plôch rovinných útvarov.

Funkčný limit. Vlastnosti limitov funkcie. Jednostranné limity. Limita súčtu, súčinu a kvocientu dvoch funkcií. Spojité funkcie, ich vlastnosti. Spojitosť elementárnych a komplexných funkcií. Pozoruhodné limity.

Definícia derivácie funkcie. Deriváty základných elementárnych funkcií. Diferenciabilita funkcií. Funkčný diferenciál. Derivácia komplexnej funkcie. Pravidlá diferenciácie: derivácia súčtu, súčinu a kvocientu. Deriváty a diferenciály vyšších rádov. Zverejnenie neistôt. Zvyšovacie a klesajúce funkcie, podmienky zvyšovania a znižovania. Extrémy funkcií, nevyhnutná podmienka existencie extrému. Hľadanie extrémov pomocou prvej derivácie. Konvexné funkcie. Inflexné body. Asymptoty. Plne funkčné štúdium.

Neurčitý integrál, jeho vlastnosti. Tabuľka základných integrálov. Metóda zmeny premenných. Integrácia po častiach. Integrácia racionálnych funkcií. Integrácia niektorých iracionálnych funkcií. Univerzálna náhrada.

Určitý integrál, jeho vlastnosti. Základný vzorec integrálneho počtu. Integrácia zmenou premennej a po častiach v určitom integráli. Aplikácie určitého integrálu.

MOŽNOSTI KONTROLNÝCH ÚLOH

pre študentov denného štúdia

Matematická fakulta

5. časť

SAINT PETERSBURG

Publikované podľa rozhodnutia Katedry matematickej analýzy a RIS Ruskej štátnej pedagogickej univerzity. A.I. Herzen

Metodická príručka je určená pre študentov denného štúdia 1-3 kurzov Matematickej fakulty Ruskej štátnej pedagogickej univerzity. A.I. Herzen.

V súlade s programom matematickej analýzy manuál obsahuje 28 rôznych možností domácich individuálnych testov na témy „Diferenciálny počet funkcií viacerých premenných“, „Viacnásobné integrály a ich aplikácie“. Pred možnosťami kontrolnej práce sú uvedené niektoré teoretické informácie a rozoberané príklady, ktorých riešenie je doplnené metodickými pokynmi k nim.

Materiál príručky je možné využiť na praktické vyučovanie, kontrolné a overovacie práce na prírodovedeckých fakultách vysokých škôl.

Senior Lektor O.S. Korsakov,

Ph.D., asistent K.G. Meževič

Recenzent: vedúci odd matematika. ich analýzu RGPU. A.I. Herzen,

Bokhan K.A., Egorova I.A., Laschenov K.V. Kurz matematickej analýzy. M.: Osvietenie, 1972, v.1,2.

Vilenkin N.Ya. atď. Kniha úloh pre kurz matematickej analýzy. - M.: Osveta, 1971. Diely 1,2.

Kuznecov A.A. Zbierka úloh z vyššej matematiky. Moskva: Vyššia škola, 1983.

Kudryavtsev L.D. Kurz matematickej analýzy. M.: Vyššia škola, 1988. T. 1.2.

Kudryavtsev L.D., Kutasov A.D., Chekhlov V.I., Shabunin M.I. Zbierka úloh z matematickej analýzy. Funkcie viacerých premenných. S.-Pb, 1994.

Povolotsky A.I., Likhtarnikov L.M. Metrické priestory. Diferenciálny počet funkcií viacerých premenných. Učebnica / LGPI im. A.I. Herzen.-L., 1985.

Povolotsky A.I., Likhtarnikov L.M. Integrálny počet funkcií viacerých premenných a diferenciálne rovnice. Učebnica / LGPI im. A.I. Herzen.-L., 1986.

Fikhtengolts G.M. Základy matematickej analýzy. - M.: Nauka, 1968. Zväzok 1, 2.

Funkcie viacerých premenných

DOMÉNA A GRAF FUNKCIE VIACERÝCH PREMENNÝCH

Nech každý bod
zhodné číslo
. Potom to hovoria na scéne D určený číselná funkcia viacerých premenných
.

Veľa D volal doména definície funkcie, bodka
-argument funkcie.

Ďalej sa budeme zaoberať funkciou dvoch premenných
. Všimnite si, že všetko, čo je uvedené nižšie, možno rozšíriť aj na funkciu n premenné, kde n>2 .

Súbor všetkých bodov
, pre ktorú funkciu
, daná analyticky, dáva zmysel, nazýva sa prirodzený doména definície túto funkciu.

Napríklad rozsah funkcií
je otvorený kruh s polomerom 2 so stredom v počiatku, ktorý je daný nerovnosťou
.

harmonogram funkcie
, kde
, sa nazýva súprava. Definuje nejaký povrch v priestore
.

Napríklad graf funkcie
,
, je paraboloid.

Príklad 1 Nájdite doménu funkcie
.

Funkcia definované v týchto bodoch roviny
, kde
.

Táto nerovnosť je ekvivalentná kombinácii dvoch systémov:

a
.

Prvý systém nerovností je splnený súradnicami všetkých bodov nachádzajúcich sa na parabole
alebo nad ním a ležiace v polrovine
. Táto množina je vytieňovaná na obrázku 1. Druhému systému vyhovujú súradnice bodov ležiacich v množine vytieňovanej na obrázku 1. 2. Preto doménou definície tejto funkcie je spojenie nájdených množín, t.j. set, ktorý je na obr. 3.

Ryža. 1 Obr. 2 Obr. 3

nivelačná čiara funkcie
, sa nazýva množina bodov
, splnenie rovnice
.

Úrovne (resp rovné povrchy) funkcie n premenné, ak n>2.

Príklad 2 Nájdite riadky úrovne funkcií
.

Všimnite si, že funkcia je definovaná na celej rovine
.

Na zostavenie úrovňových čiar je potrebné akékoľvek
nájsť množinu bodov v rovine, súradnice X, r ktoré spĺňajú rovnicu
. Preto ak
, potom
, čo ak
, potom
.

To je zrejmé s nemôže byť záporné (v tomto prípade to hovoríme s-funkčná úroveň pri c<0 je prázdna množina).

Nájdite čiaru úrovne na c=0:

Podobne sa nachádzajú čiary úrovne pre rôzne c>0.

Na obr. 4 znázorňuje úrovňové čiary pre c=0, c = 1 a c=2.

LIMIT FUNKCIE

Set (otvorený kruh s polomerom
sústredený na bod
) sa nazýva -susedstve bodov
. Cez
budeme označovať prepichnuté okolie bodu
.

Bodka
volal limitný bod súpravy
, ak je priesečník nejakého - susedstvo bodu
a mnoho D obsahuje aspoň jeden bod okrem
, t.j. pre

.

Všimnite si, že hraničný bod nemusí patriť do množiny D.

Nechajte funkciu
definované na súprave D a bodka
- hraničný bod D.

číslo ALE volal limit funkcie
v bode
, ak pre nejaké-okolie
bodov ALE (
) existuje – susedstvo
bodov
tak, že pre akýkoľvek bod

funkčná hodnota
spadá do susedstva
.

Touto cestou,

:

)

:

).

Príklad 3 Dokážme to
.

Všimnite si, že táto funkcia je definovaná v celej rovine okrem bodu (0,0 ) .

Pretože
, potom pre akékoľvek
existuje
(menovite
) tak, že pre všetky body
, splnenie podmienky
, nerovnosť
.

Funkcia
volal súvislý v bode
, ak
.

Funkcia sa volá nepretržite na scéneD, ak je spojitá v každom bode množiny D.

Príklad 4 1) Funkcia
je spojitá pri (0,0), pretože
(pozri príklad 3).

2) Funkcia
v bode (0,0) trpí diskontinuitou, pretože

SÚKROMNÉ DERIVÁTY. FUNKČNÝ DIFERENCIÁL

Nechajte funkciu
definované v niektorom okolí bodu
. Ak existujú limity
a
, potom sa volajú súkromné deriváty funkcie
v bode
podľa premenných X a r a sú označené
a
(alebo:
a
).

Na výpočet parciálnej derivácie (alebo ) používať dobre známe vzorce a pravidlá na diferenciáciu funkcie jednej premennej s ohľadom na inú premennú r (alebo X) konštantná hodnota.

Príklad 5 Poďme nájsť parciálne derivácie funkcie
.

Ak rátate r= konšt, potom - mocenská funkcia o X, preto
.

Ak X= konšt, potom - exponenciálna funkcia od r, a preto
.

Funkcia
volal diferencovateľné v určitom bode
ak existujú čísla ALE a AT tak, že prírastok

funkcie f v bode
reprezentovať vo forme

kde
pri
.

Hlavná časť celkového prírastku
, lineárne vzhľadom na
a
, t.j.
, sa volá úplný diferenciál funkcie
v bode
a označené
.

Touto cestou,

.

Podľa definície je diferenciál nezávislej premennej jej prírastok, t.j.
,
.

Funkcia sa volá rozlíšiteľné na súpraveD, ak je diferencovateľná v každom bode množiny D.

Veta 1. Ak je funkcia
diferencovateľné v určitom bode
a

je jeho diferenciál v tomto bode, potom v tomto bode existujú parciálne derivácie funkcie f, a okrem toho,

=ALE,
=AT.

Veta 1 umožňuje vypočítať diferenciál funkcie f podľa vzorca

+
.

Podľa vety 1, ak je funkcia diferencovateľná v bode, potom v tomto bode existujú parciálne derivácie funkcie. Opak nie je pravdou. Aby bola funkcia diferencovateľná, sú potrebné silnejšie podmienky ako prítomnosť parciálnych derivácií v bode.

Veta 2. Ak parciálne deriváty
a
funkcie f existujú v nejakom susedstve bodu
a nepretržite v
, potom funkciu f diferencovateľné v určitom bode
.

Príklad 6 Vypočítajte parciálne derivácie a diferenciál funkcie
v bode (1, 1/5).

,

,

,
;

ČIASTOČNÉ DERIVÁTY KOMPLEXNEJ FUNKCIE

Veta 3. Nechajte funkcie
a
sú definované v niektorom okolí bodu
a funkciu
definované v niektorom okolí bodu.

Ak je funkcia f diferencovateľné v určitom bode
a na mieste
existujú deriváty
, potom v bode
existuje derivácia komplexnej funkcie
, a

,
.

Príklad 7 Nájdite parciálne derivácie komplexnej funkcie
, kde,.

Príklad 8 Poďme nájsť deriváciu komplexnej funkcie
, kde
,
. V tomto príklade funkcie X a r závisí od jednej premennej t, taká zložitá funkcia
je funkciou jednej premennej.

Príklad 9 Nechaj f(u) je ľubovoľná diferencovateľná funkcia. Dokážme, že funkcia
spĺňa rovnicu
. Položme
.

v dôsledku toho

ČIASTOČNÉ DERIVÁTY A DIFERENCIÁLY

VYŠŠÍCH OBJEDNÁVOK

Nechajte funkciu
v blízkosti bodu
má čiastočnú deriváciu .

Parciálna derivácia funkcie podľa premennej X volal čiastočná derivácia druhá objednávka podľa premennej X a označené alebo
.

Čiastočná derivácia podľa premennej r volal čiastočná derivácia druhá objednávka podľa premenných X a r a označené alebo
.

Parciálne deriváty druhého rádu sú definované podobne a (
a
) ako parciálne derivácie funkcií .

Deriváty a volal zmiešané parciálne deriváty.

Veta 4. Nechajte funkciu
spolu s jeho parciálnymi derivátmi ,,
,
v nejakom susedstve bodu

a
v tomto bode kontinuálne. Potom sú hodnoty zmiešaných derivátov v tomto bode rovnaké, t.j.

=

.

Čiastočné deriváty derivátov druhého rádu sa nazývajú parciálne deriváty tretieho rádu:
atď.

Parciálna derivácia (vzhľadom na ktorúkoľvek z nezávislých premenných) parciálnej derivácie rádu m-1 sa nazýva čiastočná derivácia rádu m.

Veta 4 platí aj pre zmiešané derivácie tretieho, štvrtého a vyššieho rádu. Napríklad, ak funkcia
je definovaná spolu so svojimi parciálnymi deriváciami do 3. rádu vrátane v niektorom okolí bodu
a zmiešané deriváty
,
a
sú v tomto bode spojité, potom hodnoty zmiešaných derivátov v tomto bode sú:

=

=

.

diferenciál druhého rádu funkcie dvoch premenných sa nazýva diferenciál diferenciálu prvého rádu.

Ak je funkcia
je dvakrát spojito diferencovateľná v niektorom okolí bodu
(t. j. existujú spojité parciálne derivácie funkcie f do druhého rádu vrátane v okolí bodu
), potom

Príklad 10 Nájdite derivácie druhého rádu dvakrát spojito diferencovateľnej komplexnej funkcie
, kde
,
.

,
.

=
,

podobne počítame

SMEROVÝ DERIVÁT. GRADIENT

Nechaj l - jednotkový vektor v
so súradnicami
.

Derivačná funkcia
smerom k vektor l v bode
volal .

Smerová derivácia je označená

.

Gradient funkcie f v bode
je vektor, ktorého súradnice sú parciálne derivácie funkcie v bode:

grad f
= (
,
) =
i +
j.

Je ľahké ukázať, že smerová derivácia l sa rovná skalárnemu súčinu vektora gradientu a vektora l:

=

+

=
,

kde  je uhol medzi vektormi grad f
a l.

Z posledného vzorca vyplýva, že derivácia vzhľadom na smer vektora grad f
má najväčšiu hodnotu spomedzi derivácií v rôznych smeroch a rovná sa modulu gradientového vektora.

Príklad 11. Poďme nájsť deriváciu funkcie
v bode M(1, 0) v smere vektora MN, kde N (5, 3) .

Vektor MN má súradnice (4, 3),
. Takže jednotkový vektor l má súradnice (4/5, 3/5). Vypočítajte parciálne derivácie v bode M:
,
. Potom
(1,0)=64/5 + 0 3/5 = 24/5.

Príklad 12. Poďme nájsť deriváciu funkcie
v bode (2,3) v smere vektora gradientu v tomto bode.

Vypočítajme parciálne derivácie:

,
.

Derivácia v smere vektora gradientu v bode sa rovná modulu vektora grad f. v dôsledku toho

DOTYČNÁ ROVINA A NORMÁLNA K POVRCHU

Pre odlíšiteľné v bode
funkcie
nasledujúci vzťah je správny:

kde
,
(vyplýva to z definície diferenciálu prvého rádu). Odds ALE a AT jasne definované:
=ALE,
=AT.

Rovnica

je rovnica roviny prechádzajúcej bodom
. Táto rovina je tzv dotyková rovina do grafu funkcie
v bode
.

Teda dotyková rovina ku grafu funkcie
v bode je taká rovina, v ktorej je rozdiel medzi jej aplikáciou a hodnotou funkcie
v tomto bode existuje množstvo, ktoré je v porovnaní s  pri   0 .

Rovnica normály ku grafu funkcie
v bode
má formu

Ak je rovnica hladkej plochy daná implicitne
, potom rovnica dotykovej roviny v bode
má formu

a rovnica normály v tomto bode je:

Príklad 13 Napíšme rovnicu dotykovej roviny a normály k ploche
v bode (-2, 1, 4).

,
. Rovnica dotykovej roviny má tvar: alebo
.

Normálna rovnica: .

EXTRÉMNE FUNKCIE NIEKOĽKÝCH PREMENNÝCH

Bodka
nazvaný bod miestne maximum (miestne minimum) funkcie
,
ak existuje okolie bodu
, pre všetky body, ktorých nerovnosť

(
).

Volajú sa body lokálneho maxima a lokálneho minima funkcie miestne extrémne body.

Napríklad bod (0,0) je minimálny bod funkcie
.

Veta 5 (nevyhnutná podmienka pre extrém). Ak je funkcia
má v bode
lokálny extrém a v tomto bode existujú parciálne deriváty f, potom

=0 a
=0.

Bodka
volal stacionárny bod funkcie f, ak
=0 a
=0.

Veta 6 (postačujúca podmienka pre extrém). Nechajte funkciu
je dvakrát spojito diferencovateľná v niektorom okolí stacionárneho bodu
.

Označte  =

- (

) 2. Potom

1) ak  > 0, potom v bode
funkciu f má lokálny extrém: maximálne pri

> 0 a minimálne pri

< 0;

2) ak  < 0, potom v bode
funkciu f nemá extrém;

3) ak  = 0, potom v bode
funkciu f môže alebo nemusí mať lokálny extrém (v tomto prípade sú potrebné ďalšie štúdie).

Príklad 14 Skúmame funkciu pre extrém

Všimnite si, že funkcia u je definovaný a diferencovateľný v celej rovine.
,
. Prirovnaním parciálnych derivácií k nule a riešením výslednej sústavy nájdeme stacionárne body funkcie: (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2).

=
=.

(2, 1) = 36∙(1 - 4) = -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.

(1, 2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0,
, teda v bode (1, 2) má funkcia minimum, u(1,2) = -25.

(-2, -1) = 36∙(1 – 4) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.

(-1, -2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, preto má funkcia v bode (-1, -2) maximum, u(-1, -2) = 31.

NAJVÄČŠIA A MINIMÁLNA FUNKČNÁ HODNOTA

Nechajte funkciu
je spojitá na ohraničenej uzavretej množine D.

Pripomeňme, že súbor
volal obmedzené ak taká štvrť existuje U (0,0), ktoré
U (0,0); veľa
volal ZATVORENÉ ak obsahuje všetky svoje limitné body.

Podľa Weierstrassovej vety také body existujú
a
, čo
je najväčšia hodnota funkcie na množine D, a
- jeho najmenšia hodnota na súprave D.

Funkcia, ktorá je diferencovateľná v ohraničenej oblasti a spojitá na jej hranici, dosahuje svoje maximálne a minimálne hodnoty buď v stacionárnych bodoch alebo v hraničných bodoch D.

Príklad 15 Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na množine D, ohraničený rovnými čiarami
,
,
.

r(2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) - stacionárne

funkčné body u (pozri príklad 14), ale (-2,-1),

(-1,-2) nepatria D.

u (2, 1) = -23, u (1, 2) = -25.

D Poďme študovať správanie funkcie u na

X stanoviť hranicu D.

Ryža. 5
. Toto je funkcia jednej premennej,

ktorá má v bode najmenšiu hodnotu
a najväčšia hodnota v bode
:u (4,0) = -45, u (0,0)= 3;

2)
,
. Na tomto segmente
. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v segmente, vypočítame jej hodnoty v stacionárnych bodoch a na koncoch segmentu:
;
, ale
, tak počítame u (0,0) = 3, u (0,
)= =
, u (0,4) = 7. Najväčšia hodnota je v bode (0,4) a najmenšia hodnota je v bode (0,
);

3)
,
. Tu

Vypočítame hodnoty funkcie v stacionárnych bodoch a na koncoch segmentu: ;; u (0,4)= 7, u (3/2, 5/2) = -20, u (5/2,3/2)= -18, u (4,0) = -45. Na tomto úseku hranice je hodnota funkcie v bode (0,4) najväčšia a najmenšia - v bode (4,0).

Z najmenších a najväčších hodnôt funkcie získaných v bodoch 1)-3) na rôznych úsekoch hranice a z hodnôt funkcie v stacionárnych bodoch vyberieme najväčšiu a najmenšiu. Najvyššia hodnota: u (0,4) = 7, najmenšia hodnota: u (4,0)= -45.

Nový kalkul ako systém vytvoril v plnej miere Newton, ktorý však svoje objavy dlho nepublikoval.

Za oficiálny dátum narodenia diferenciálneho počtu možno považovať máj, kedy Leibniz publikoval prvý článok "Nová metóda vzostupov a pádov...". Tento článok v stručnej a neprístupnej forme načrtol princípy novej metódy nazývanej diferenciálny počet.

Leibniz a jeho študenti

Tieto definície sú vysvetlené geometricky, pričom obr. nekonečne malé prírastky sú zobrazené ako konečné. Úvaha je založená na dvoch požiadavkách (axiómach). Najprv:

Vyžaduje sa, aby dve veličiny, ktoré sa od seba líšia len o nekonečne malé množstvo, bolo možné brať [pri zjednodušovaní výrazov?] indiferentne jednu namiesto druhej.

Preto sa ukazuje X + dX = X , Ďalej

dXr = (X + dX)(r + dr) − Xr = Xdr + rdX + dXdr = (X + dX)dr + rdX = Xdr + rdX

Pokračovanie každej takejto priamky sa nazýva dotyčnica ku krivke. Skúmanie dotyčnice cez bod M = (X,r) , L'Hopital prikladá veľký význam množstvu

dosahovanie extrémnych hodnôt v inflexných bodoch krivky, pričom pomer dr do dX sa nepripisuje žiadny osobitný význam.

Nájdenie extrémnych bodov je pozoruhodné. Ak s kontinuálnym nárastom priemeru X ordinát r najprv sa zvyšuje a potom klesá, potom diferenciál dr spočiatku pozitívne v porovnaní s dX a potom negatívne.

Ale žiadne neustále rastúce alebo klesajúce množstvo sa nemôže zmeniť z kladného na záporné bez toho, aby neprešlo nekonečnom alebo nulou... Z toho vyplýva, že diferenciál najväčšej a najmenšej veľkosti sa musí rovnať nule alebo nekonečnu.

Táto formulácia pravdepodobne nie je bezchybná, ak si pripomenieme prvú požiadavku: povedzme, r = X 2, potom na základe prvej požiadavky

2XdX + dX 2 = 2XdX ;

pri nule je pravá strana nula, ale ľavá nie je. Zrejme to tak malo byť povedané dr možno transformovať v súlade s prvou požiadavkou tak, že v maximálnom bode dr= 0. . V príkladoch je všetko samozrejmé a len v teórii inflexných bodov to Lopital píše dr rovná sa nule v maximálnom bode pri delení dX .

Ďalej, pomocou samotných diferenciálov sa formulujú podmienky pre extrém a uvažuje sa o veľkom množstve zložitých problémov, ktoré súvisia najmä s diferenciálnou geometriou v rovine. Na konci knihy v kap. 10 sa uvádza to, čo sa teraz nazýva L'Hopitalovo pravidlo, aj keď nie vo svojej obvyklej forme. Nech je hodnota ordináta r krivka je vyjadrená ako zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ zanikajú pri X = a. Potom bod krivky s X = a má ordinát r, ktorý sa rovná pomeru rozdielu v čitateli k diferenciálu v menovateli, braný pri X = a .

Podľa L'Hopitalovej myšlienky to, čo napísal, bola prvá časť Analýza, zatiaľ čo druhá mala obsahovať integrálny počet, teda metódu na nájdenie súvislosti premenných známym spojením ich diferenciálov. Jeho prvú expozíciu poskytuje Johann Bernoulli vo svojom Matematické prednášky o integrálnej metóde. Tu je uvedená metóda na získanie väčšiny elementárnych integrálov a sú uvedené metódy na riešenie mnohých diferenciálnych rovníc prvého rádu.

Euler

Zmeny, ktoré sa udiali počas nasledujúceho polstoročia, sa odrážajú v Eulerovom rozsiahlom pojednaní. Prezentácia analýzy otvára dvojzväzkový „Úvod“, ktorý obsahuje výskum rôznych reprezentácií elementárnych funkcií. Pojem „funkcia“ sa prvýkrát objavil iba u Leibniza, ale bol to Euler, kto ho predložil v prvých úlohách. Pôvodná interpretácia pojmu funkcie bola taká, že funkcia je výraz pre počet (nem. Rechnungsausdrϋck) alebo analytické vyjadrenie.

Funkcia premennej veličiny je analytický výraz vytvorený nejakým spôsobom z tejto premennej veličiny a čísel alebo konštantných veličín.

Zdôrazňujúc, že „hlavný rozdiel medzi funkciami spočíva v spôsobe, akým sú zložené z premenných a konštánt“, Euler vymenúva akcie, „ktorými sa množstvá môžu kombinovať a navzájom miešať; tieto činnosti sú: sčítanie a odčítanie, násobenie a delenie, umocňovanie a extrakcia koreňov; malo by tu byť zahrnuté aj riešenie [algebraických] rovníc. Okrem týchto operácií, nazývaných algebraické, existuje mnoho ďalších, transcendentálnych, ako sú exponenciálne, logaritmické a nespočetné ďalšie, poskytované integrálnym počtom. Takáto interpretácia umožnila jednoducho zaobchádzať s viachodnotovými funkciami a nevyžadovala vysvetlenie, nad ktorým poľom sa funkcia považuje: výraz pre počet je definovaný pre komplexné hodnoty premenných, aj keď tomu tak nie je. potrebné pre daný problém.

Operácie vo výraze boli povolené len v konečnom počte a transcendentno preniklo pomocou nekonečne veľkého počtu. Vo výrazoch sa toto číslo používa spolu s prirodzenými číslami. Napríklad takýto výraz pre exponent sa považuje za platný

v ktorom až neskorší autori videli prechod na limit. Boli vykonané rôzne transformácie s analytickými výrazmi, ktoré umožnili Eulerovi nájsť reprezentácie pre elementárne funkcie vo forme radov, nekonečných súčinov atď. Euler transformuje výrazy na počítanie rovnakým spôsobom ako v algebre, pričom nevenuje pozornosť možnosti výpočet hodnoty funkcie v bode pre každú z napísaných vzorcov.

Na rozdiel od L'Hopitala Euler podrobne zvažuje transcendentálne funkcie a najmä ich dve najštudovanejšie triedy - exponenciálnu a trigonometrickú. Zistil, že všetky elementárne funkcie možno vyjadriť pomocou aritmetických operácií a dvoch operácií - logaritmu a exponentu.

Samotný priebeh dôkazu dokonale demonštruje techniku použitia nekonečne veľkého. Po určení sínusu a kosínusu pomocou trigonometrického kruhu Euler odvodzuje zo sčítacích vzorcov nasledovné:

Za predpokladu a z = nX , dostáva

vyradenie nekonečne malých hodnôt vyššieho rádu. Pomocou tohto a podobného výrazu získa Euler aj svoj slávny vzorec

Po uvedení rôznych výrazov pre funkcie, ktoré sa teraz nazývajú elementárne, Euler pokračuje v zvažovaní kriviek v rovine nakreslených voľným pohybom ruky. Podľa jeho názoru nie je možné pre každú takúto krivku nájsť jeden analytický výraz (pozri aj String Controversy). V 19. storočí na návrh Casoratiho bolo toto tvrdenie považované za chybné: podľa Weierstrassovej vety možno akúkoľvek súvislú krivku v modernom zmysle približne opísať polynómami. V skutočnosti o tom Eulera sotva presvedčili, pretože prechod k limitu musí byť tiež prepísaný pomocou symbolu .

Eulerova prezentácia diferenciálneho počtu začína teóriou konečných rozdielov, po ktorej v tretej kapitole nasleduje filozofické vysvetlenie, že „nekonečne malé množstvo je presne nula“, čo Eulerovým súčasníkom zo všetkého najviac nevyhovovalo. Potom sa diferenciály tvoria z konečných rozdielov s nekonečne malým prírastkom a z Newtonovho interpolačného vzorca, Taylorovho vzorca. Táto metóda sa v podstate vracia k práci Taylora (1715). V tomto prípade má Euler stabilný pomer , ktorý sa však považuje za pomer dvoch infinitezimál. Posledné kapitoly sú venované približnému výpočtu pomocou radov.

V trojzväzkovom integrálnom počte Euler interpretuje a zavádza pojem integrálu takto:

Funkcia, ktorej diferenciál = XdX, sa nazýva jeho integrál a označuje sa znamienkom S umiestnené vpredu.

Celkovo je táto časť Eulerovho pojednania venovaná všeobecnejšiemu problému integrácie diferenciálnych rovníc z moderného hľadiska. Euler pri tom nachádza množstvo integrálov a diferenciálnych rovníc, ktoré vedú k novým funkciám, napr. Γ-funkciám, eliptickým funkciám atď. Dôkladný dôkaz ich neelementárnosti podal v 30. rokoch 19. storočia Jacobi pre eliptické funkcie a Liouville (porov. elementárne funkcie).

Lagrange

Ďalšou veľkou prácou, ktorá zohrala významnú úlohu vo vývoji koncepcie analýzy, bola Teória analytických funkcií Lagrange a rozsiahle prerozprávanie Lagrangeovho diela, ktoré urobil Lacroix trochu eklektickým spôsobom.

Lagrange, ktorý sa chcel úplne zbaviť nekonečna, obrátil spojenie medzi derivátmi a Taylorovým radom. Pod analytickou funkciou Lagrange chápal ľubovoľnú funkciu skúmanú metódami analýzy. Funkciu definoval ako f(X), dávajúc grafický spôsob zápisu závislosti - skôr si Euler vystačil iba s premennými. Na uplatnenie metód analýzy je podľa Lagrangea potrebné, aby sa funkcia rozšírila do série

ktorých koeficienty budú nové funkcie X. Zostáva vymenovať p derivát (diferenciálny koeficient) a označte ho ako f"(X). Pojem derivácie je teda uvedený na druhej strane traktátu a bez pomoci infinitezimálov. Zostáva poznamenať, že

takže koeficient q je dvojitá derivácia derivácie f(X), tj

atď.

Tento prístup k interpretácii pojmu derivácia sa používa v modernej algebre a slúžil ako základ pre vytvorenie Weierstrassovej teórie analytických funkcií.

Lagrange fungoval na takých radoch ako formálnych a získal množstvo pozoruhodných teorémov. Predovšetkým po prvý raz a celkom dôsledne dokázal riešiteľnosť počiatočného problému pre obyčajné diferenciálne rovnice vo formálnych mocninných radoch.

Otázku odhadu presnosti aproximácií poskytnutých čiastočnými súčtami Taylorovho radu prvýkrát položil Lagrange: na konci Teórie analytických funkcií odvodil to, čo sa dnes nazýva Taylorov Lagrangeov zvyšok. Na rozdiel od moderných autorov však Lagrange nevidel potrebu použiť tento výsledok na ospravedlnenie konvergencie Taylorovej série.

Predmetom diskusie sa následne stala otázka, či je možné funkcie používané v analýze skutočne rozšíriť do mocninových radov. Samozrejme, Lagrange vedel, že v niektorých bodoch sa elementárne funkcie nemusia rozvinúť do mocninového radu, ale v týchto bodoch nie sú v žiadnom prípade diferencovateľné. Košický vo svojom Algebraická analýza uviedol ako protipríklad funkciu

rozšírené o nulu pri nule. Táto funkcia je všade hladká na reálnej osi a má nulový Maclaurinov rad na nule, ktorý preto nekonverguje k hodnote f(X). Proti tomuto príkladu Poisson namietal, že Lagrange definoval funkciu ako jeden analytický výraz, zatiaľ čo v Cauchyho príklade je funkcia daná odlišne pri nule a pri . Až na konci 19. storočia Pringsheim dokázal, že existuje nekonečne diferencovateľná funkcia daná jediným výrazom, pre ktorú sa Maclaurinov rad rozchádza. Príklad takejto funkcie poskytuje výraz

Ďalší vývoj

Bibliografia

Náučná literatúra

Štandardné učebnice

Po mnoho rokov sú v Rusku populárne tieto učebnice:

Kudryavtsev, L.D. , Kurz matematickej analýzy (v troch zväzkoch).

T. 1. Diferenciálny a integrálny počet funkcií jednej premennej. T. 2. Riadky. Diferenciálny a integrálny počet funkcií viacerých premenných. V. 3. Harmonický rozbor. Prvky funkčnej analýzy. Osobitná pozornosť je v učebnici venovaná predstaveniu kvalitatívnych a analytických metód, odráža aj niektoré geometrické aplikácie analýzy. Je určený študentom vysokých škôl a fyzikálno-matematických a inžiniersko-fyzikálnych odborov technických univerzít, ako aj študentom iných odborov na prehĺbenú matematickú prípravu.

Courant, R. (v dvoch zväzkoch). Hlavné metodické zistenie kurzu: najprv sa jednoducho vyslovia hlavné myšlienky a potom sa podrobia prísnym dôkazom. Napísal Courant, keď bol v 20. rokoch profesorom na univerzite v Göttingene pod vplyvom Kleinových myšlienok, potom sa v 30. rokoch preniesol na americkú pôdu. Ruský preklad z roku 1934 a jeho dotlač dáva text podľa nemeckého vydania, preklad zo 60. rokov (tzv. 4. vydanie) je kompilátom z nemeckej a americkej verzie učebnice, a preto je veľmi podrobný.
Fikhtengolts, Grigorij Michajlovič. Kurz diferenciálneho a integrálneho počtu(v troch zväzkoch) // Mat. analýza na EqWorld je veľmi dobrý, ale trochu staromódny návod.

a knihu problémov

Demidovič, B. P., Zbierka úloh a cvičení z matematickej analýzy// Mat. analýzy v EqWorld

Existuje niekoľko publikácií, ktoré si nárokujú úlohu Anti-Demidoviča:

Lyashko I. I. a ďalší. Referenčná príručka pre vyššiu matematiku. 1-5

Väčšina univerzít má svoje vlastné usmernenia pre analýzu:

Moskovská štátna univerzita, mekhmat:

Arkhipov G.I., Sadovnichiy V.A., Chubarikov V.N. Prednášky z matematiky. analýza.
Zorich V. A. Matematická analýza. Časť I. M.: Nauka, 1981. 544 s.
Zorich V. A. Matematická analýza. Časť II. M.: Nauka, 1984. 640 s.

Iľjin V. A., Sadovničij V. A., Sendov Bl. X. Matematická analýza (v dvoch častiach)

Moskovská štátna univerzita, fyzikálna fakulta:

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Základy kalkulu (v dvoch častiach) // http://lib.homelinux.org.
Butuzov V.F. a ďalší. Mat. analýza v otázkach a problémoch // http://lib.homelinux.org.

MSTU. Bauman:

Matematika na Technickej univerzite Zbierka učebných pomôcok v 21 zväzkoch.

NSU, mekhmat:

Rešetnyak Yu.G. Kurz matematickej analýzy. Časť I. Kniha 1. Úvod do matematickej analýzy. Diferenciálny počet funkcií jednej premennej. Novosibirsk: Vydavateľstvo Ústavu matematiky, 1999. 454 s. ISBN 5-86134-066-8.
Rešetnyak Yu.G. Kurz matematickej analýzy. Časť I. Kniha 2. Integrálny počet funkcií jednej premennej. Diferenciálny počet funkcií viacerých premenných. Novosibirsk: Vydavateľstvo Ústavu matematiky, 1999. 512 s. ISBN 5-86134-067-6.
Rešetnyak Yu.G. Kurz matematickej analýzy. Časť II. Kniha 1. Základy hladkej analýzy vo viacrozmerných priestoroch. Teória riadkov. Novosibirsk: Vydavateľstvo Ústavu matematiky, 2000. 440 s. ISBN 5-86134-086-2.
Rešetnyak Yu.G. Kurz matematickej analýzy. Časť II. Kniha 2. Integrálny počet funkcií mnohých premenných. Integrálny počet na rozdeľovačoch. Vonkajšie diferenciálne formy. Novosibirsk: Vydavateľstvo Ústavu matematiky, 2001. 444 s. ISBN 5-86134-089-7.
Švedov I. A. Kompaktný kurz matematickej analýzy, 1. časť. Funkcie jednej premennej, 2. časť. Diferenciálny počet funkcií viacerých premenných.

Fiztekh, Moskva

Kudryavtsev L. D. Kurz matematickej analýzy (v troch zväzkoch)

Učebnice pre pokročilých

Návody:

Rudin W. Základy matematickej analýzy. M., 1976 - útla knižka, napísaná veľmi jasne a výstižne.

Úlohy so zvýšenou zložitosťou:

G. Polia, G. Sege, Problémy a vety z analýzy. 1. časť, 2. časť, 1978
Pascal, E.(Neapol). Esercizii, 1895; 2. vyd., 1909 // Internetový archív

Referenčná literatúra

klasické diela

Lopital. Analýza infinitezimálov // Math. analýzy v EqWorld
Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Lipsko-Berlín, 1914.
Euler. Úvod do analýzy, Diferenciálny počet, Integrálny počet //Mat. analýza na EqWorld (zväzok 2 Úvodu do analýzy uložený s chybou)
Cauchy. Zhrnutie učiva diferenciálneho a integrálneho počtu //Mat. analýzy v EqWorld
Búrka. Kurz analýzy. T.1,2 - Klasický kurz parížskej polytechnickej školy z 30. rokov 19. storočia.
Gursa E. Mat. analýza. T. 1,1, 1,2 // Matematika analýzy v EqWorld

Knihy o histórii

Kestner, Abraham Gottgelf. Geschichte der Mathematik. 4 zväzky, Göttingen, 1796-1800
Kantor, Moritz. Vorlesungen über geschichte der mathematik Lipsko: B. G. Teubner, - . bd. 1, Bd. 2, Bd. 3, Bd. štyri
História matematiky, editoval A. P. Juškevič (v troch zväzkoch):

Markushevich AI Eseje o histórii teórie analytických funkcií. 1951
Vileitner G. Dejiny matematiky od Descarta do polovice 19. storočia. 1960
Prvá učebnica ruštiny na mat. analýza: M.E. Vashchenko-Zacharčenko, Algebraická analýza alebo Vyššia algebra. 1887