Navigácia na stránke.

Metóda parabol (Simpson) - podstata metódy, vzorec, odhad chyby, ilustrácia.

Nech je funkcia y = f(x) spojitá na intervale a potrebujeme vypočítať určitý integrál .

Rozdeľme segment na n elementárnych segmentov dĺžky bodmi . Nech sú body stredy segmentov, resp. V tomto prípade sú všetky "uzly" určené z rovnosti .

Podstata metódy paraboly.

Na každom intervale je integrand aproximovaný kvadratickou parabolou prechod cez body . Odtiaľ pochádza názov metódy – metóda parabol.

Toto sa robí s cieľom vziať ako približnú hodnotu určitého integrálu , ktorý môžeme vypočítať pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca. To je čo podstata metódy paraboly.

Geometricky to vyzerá takto:

Grafické znázornenie metódy paraboly (Simpson).

Červená čiara znázorňuje graf funkcie y=f(x) , modrá čiara znázorňuje aproximáciu grafu funkcie y=f(x) kvadratickými parabolami na každom elementárnom segmente partície.

Odvodenie vzorca Simpsonovej metódy (paraboly).

Na základe piatej vlastnosti určitého integrálu máme .

Aby sme získali vzorec pre metódu paraboly (Simpson), musíme počítať .

Nech (k tomu môžeme vždy prísť vykonaním príslušnej transformácie geometrického posunu pre ľubovoľné i = 1, 2, ..., n ).

Urobme si kresbu.

Ukážme, že bodmi prechádza iba jedna kvadratická parabola . Inými slovami, dokážeme, že koeficienty sú jednoznačne definované.

Keďže ide o body paraboly, platí každá z rovníc systému

Zapísaná sústava rovníc je sústava lineárnych algebraických rovníc v neznámych premenných. Determinantom hlavnej matice tohto systému rovníc je Vandermondov determinant a pre nezhodné body je nenulová . To naznačuje, že systém rovníc má jedinečné riešenie (o tom sa hovorí v článku), to znamená, že koeficienty sú jednoznačne určené a cez body prechádza jedna kvadratická parabola.

Prejdime k hľadaniu integrálu .

očividne:

Tieto rovnosti používame na vykonanie posledného prechodu v nasledujúcom reťazci rovnosti:

Takto môžete získať vzorec metódy paraboly:

Vzorec Simpsonovej metódy (paraboly) má formu
.

Odhad absolútnej chyby Simpsonovej metódy.

Absolútna chyba Simpsonovej metódy hodnotené ako .

Príklady približného výpočtu určitých integrálov Simpsonovou metódou (paraboly).

Analyzujme aplikáciu Simpsonovej metódy (paraboly) pri približnom výpočte určitých integrálov.

Zvyčajne existujú dva typy úloh:

Vzniká logická otázka: „S akým stupňom presnosti vykonávať medzivýpočty“?

Odpoveď je jednoduchá – presnosť medzivýpočtov by mala byť dostatočná. Priebežné výpočty by sa mali vykonávať s presnosťou 3-4 rádov vyššou ako rádovo . Presnosť medzivýpočtov tiež závisí od čísla n - čím väčšie n, tým presnejšie by sa mali vykonávať medzivýpočty.

Príklad.

Vypočítajte určitý integrál pomocou Simpsonovej metódy a rozdeľte integračný segment na 5 častí.

Riešenie.

Z podmienky vieme, že a = 0; b = 5; n = 5 .

Vzorec Simpsonovej metódy (paraboly) má tvar . Aby sme to mohli použiť, musíme vypočítať krok, určiť uzly a vypočítať zodpovedajúce hodnoty integrandu .

Medzivýpočty sa budú vykonávať s presnosťou na štyri desatinné miesta (zaokrúhlené na piate desatinné miesto).

Poďme teda vypočítať krok .

Prejdime k uzlom a funkčným hodnotám v nich:

Pre prehľadnosť a pohodlie zhrnieme výsledky v tabuľke:

Získané výsledky dosadíme do vzorca parabolovej metódy:

Konkrétne sme vzali určitý integrál, ktorý možno vypočítať pomocou Newton-Leibnizovho vzorca, aby sme porovnali výsledky.

Výsledky sa zhodujú s presnosťou na stotiny.

Príklad.

Vypočítajte určitý integrál Simpsonovou metódou s presnosťou 0,001 .

Riešenie.

V našom príklade a = 0 , .

Najprv musíme definovať n . Aby sme to dosiahli, obrátime sa na nerovnosť pre odhad absolútnej chyby Simpsonovej metódy. Môžeme povedať, že ak nájdeme n, pre ktoré bude platiť nerovnosť , potom pri použití metódy paraboly na výpočet pôvodného určitého integrálu nepresiahne absolútna chyba 0,001. Posledná nerovnosť môže byť prepísaná ako .

Poďme zistiť, aká je maximálna hodnota modulu štvrtej derivácie integrandu na integračnom intervale.

je interval a integračný segment obsahuje extrémne body, takže .

Nájdenú hodnotu dosadíme do nerovnosti a vyriešime:

Pretože n je prirodzené číslo (je to rovnaký počet segmentov, na ktoré je integračný segment rozdelený), potom môžeme vziať n = 5, 6, 7, ... Aby sme nerobili zbytočné výpočty, vezmeme n = 5 .

Teraz postupujeme ako v predchádzajúcom príklade. V medzivýpočtoch zaokrúhľujeme na šiesty rád.

Vypočítajte krok .

Nájdeme v nich uzly a hodnoty integrandu:

Výsledky výpočtov skombinujeme do tabuľky:

Hodnoty dosadíme do vzorca metódy paraboly:

Pomocou Simpsonovej metódy sa teda získa približná hodnota určitého integrálu s presnosťou na 0,001.

Po vypočítaní pôvodného integrálu pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca dostaneme

Komentujte.

Hľadanie je v mnohých prípadoch ťažké. Môžete to obísť alternatívnym prístupom k použitiu metódy paraboly. Jeho princíp je popísaný v časti lichobežníková metóda, takže ho nebudeme opakovať.

Aká metóda by sa mala použiť na numerickú integráciu?

Presnosť Simpsonovej metódy (paraboly) je vyššia ako presnosť metódy obdĺžnikov a lichobežníkov pre dané n (toto vidno z odhadu absolútnej chyby), preto je jej použitie vhodnejšie.

Malo by sa pamätať na to, že chyba výpočtu ovplyvňuje výsledok pre veľké n, čo môže posunúť približnú hodnotu od presnej.

(1710-1761).

Uvažujme o segmente. Nech sú známe hodnoty reálnej funkcie f(x) v bodoch a, (a+b)/2, b. Existuje jediný polynóm 2. stupňa p 2 (X), ktorých graf prechádza bodmi (a, f(a)), ((a+b)/2,f((a+b)/2), (b, f(b)). Simpsonov vzorec sa nazýva integrál tohto polynómu na intervale:

Simpsonova metóda má rád chyby 4 a algebraický rád presnosti 3.

Chyba pri integrácii cez segment [ a,b] s krokom h sa určuje podľa vzorca:

,

kde je maximum štvrtej derivácie funkcie.

Tiež, ak nie je možné odhadnúť chybu pomocou maxima štvrtej derivácie (napríklad neexistuje v danom intervale alebo má tendenciu k nekonečnu), možno použiť hrubší odhad:

,

kde je maximum tretej derivácie funkcie.

Odkazy

• Kostomarov D. P., Favorsky A. P. "Úvodné prednášky o numerických metódach"

Nadácia Wikimedia. 2010.

• Metóda Runge-Kutta
• Fibonacciho metóda nájdenia extrému

Pozrite sa, čo je „Simpsonova metóda“ v iných slovníkoch:

Simpsonov vzorec- Podstatou metódy je aproximácia funkcie f (x) (modrý graf) kvadratickým polynómom P (x) (červená) Simpsonov vzorec (tiež ... Wikipedia

ROMBERGOVÁ METÓDA- Rombergovo pravidlo, metóda na výpočet určitého integrálu založená na Richardsonovej extrapolácii. Nech sa vypočíta hodnota I určitého funkcionálu, pričom vypočítaná približná hodnota T(h) závisí od parametra h, takže v ... ... Matematická encyklopédia

Numerická integrácia- (historický názov: (číselná) kvadratúra) výpočet hodnoty určitého integrálu (spravidla približného). Numerická integrácia je chápaná ako súbor numerických metód na zistenie hodnoty určitého integrálu. Numerická ... ... Wikipedia

Kvadratúrne vzorce

Kvadratúrny vzorec- Určitý integrál ako oblasť čísla Numerická integrácia (historický názov: kvadratúra) výpočet hodnoty určitého integrálu (zvyčajne približný) na základe skutočnosti, že hodnota integrálu sa číselne rovná oblasť ... ... Wikipedia

Obdĺžnikový vzorec- Určitý integrál ako oblasť čísla Numerická integrácia (historický názov: kvadratúra) výpočet hodnoty určitého integrálu (zvyčajne približný) na základe skutočnosti, že hodnota integrálu sa číselne rovná oblasť ... ... Wikipedia

Vzorec obdĺžnika- Určitý integrál ako oblasť čísla Numerická integrácia (historický názov: kvadratúra) výpočet hodnoty určitého integrálu (zvyčajne približný) na základe skutočnosti, že hodnota integrálu sa číselne rovná oblasť ... ... Wikipedia

Lichobežníkový vzorec- Určitý integrál ako oblasť čísla Numerická integrácia (historický názov: kvadratúra) výpočet hodnoty určitého integrálu (zvyčajne približný) na základe skutočnosti, že hodnota integrálu sa číselne rovná oblasť ... ... Wikipedia

NARODENIE- NARODENIE. Obsah: I. Vymedzenie pojmu. Zmeny v organizme počas R. Príčiny vzniku R ............................ 109 II. Klinický prúd fyziologického R. . 132 Sh.Mechanika R. .................. 152 IV. Predné P ............... 169 V ... Veľká lekárska encyklopédia

Integrálny počet- odbor matematiky, ktorý študuje vlastnosti a metódy výpočtu integrálov a ich aplikácie. I. a. úzko súvisí s diferenciálnym počtom (Pozri. Diferenciálny počet) a spolu s ním tvorí jednu z hlavných častí ... ... Veľká sovietska encyklopédia

Rozdeľme integračný interval [ a, b] na párne číslo n rovnaké diely v prírastkoch h. Na každom segmente [ X 0, X 2], [X 2, X 4],..., [X i-1, X i+1],...,[ X n-2, X n] integrand f(X) sa nahrádza interpolačným polynómom druhého stupňa:

Koeficienty týchto štvorcových trinómov sa dajú zistiť z podmienok pre rovnosť polynómu v bodoch zodpovedajúcich tabuľkových údajov. Môže sa brať ako Lagrangeov interpolačný polynóm druhého stupňa prechádzajúci bodmi :

Súčet elementárnych plôch a (obr. 3.3) možno vypočítať pomocou určitého integrálu. Ak vezmeme do úvahy rovnosti, získame

-

Ryža. 3.3. Ilustrácia pre Simpsonovu metódu

Po vykonaní takýchto výpočtov pre každý elementárny segment spočítame výsledné výrazy:

Tento výraz pre S sa berie ako hodnota určitého integrálu:

(3.35)

Výsledný pomer je tzv Simpsonov vzorec alebo parabolický vzorec.

Tento vzorec je možné získať aj inými spôsobmi, napríklad dvojitým použitím metódy lichobežníka pri delení segmentu [ a, b] na časti s krokmi h a 2 h alebo kombináciou vzorcov obdĺžnikov a lichobežníkov (pozri časť 3.2.6).

Niekedy je Simpsonov vzorec napísaný pomocou indexov s polovičným číslom. V tomto prípade počet segmentov oddielu Pľubovoľné (nie nevyhnutne rovnomerné) a Simpsonov vzorec je

(3.36)

Je ľahké vidieť, že vzorec (3.36) sa zhoduje s (3.35), ak sa vzorec (3.35) použije na počet segmentov oddielu 2 n a krok h/2.

Príklad. Vypočítajte integrál pomocou Simpsonovej metódy

Funkčné hodnoty pri n = 10, h = 0,1 sú uvedené v tabuľke. 3.3. Aplikovaním vzorca (3.35) nájdeme

Výsledok numerickej integrácie pomocou Simpsonovej metódy sa ukázal byť rovnaký ako presná hodnota (šesť platných číslic).

Jeden z možných algoritmov na výpočet určitého integrálu pomocou Simpsonovej metódy je znázornený na obr. 3.4. Hranice integračného segmentu [ a, b],chyba ε, ako aj vzorec na výpočet hodnôt integrandu y=f(X) .

Ryža. 3.4. Algoritmus Simpsonovej metódy

Spočiatku je segment rozdelený na dve časti s krokom h =(b- a)/2. Vypočíta sa hodnota integrálu ja 1. Potom sa počet krokov zdvojnásobí, hodnota sa vypočíta ja 2 v prírastkoch h/2. Podmienka konca počítania sa berie ako . Ak táto podmienka nie je splnená, dôjde k novému rozdeleniu kroku na polovicu atď.

Všimnite si, že znázornené na obr. 3.4 algoritmus nie je optimálny: pri výpočte každej aproximácie ja 2 funkčné hodnoty sa nepoužívajú f(X), už nájdené v predchádzajúcom kroku. Ekonomickejšie algoritmy budú diskutované v časti. 3.2.7.

Na zostavenie Simpsonovho vzorca najprv zvážime nasledujúci problém: vypočítajte plochu S krivočiareho lichobežníka ohraničeného zhora grafom paraboly y \u003d Ax 2 + Bx + C, zľava priamkou x \u003d - h, sprava priamkou x \u003d h a zdola segmentom [-h; h]. Nechajte parabolu prechádzať tromi bodmi (obr. 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) a F (h; y 2), a x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h . v dôsledku toho

x 1 \u003d x 0 + h \u003d 0; x 2 = x 0 + 2 h.

Potom sa plocha S rovná integrálu:

Túto oblasť vyjadrujeme pomocou h, y 0 , y 1 a y 2 . K tomu vypočítame koeficienty paraboly A, B, C. Z podmienky, že parabola prechádza bodmi D, E a F, máme:

Riešením tejto sústavy dostaneme: C = y 1 ; A=

Nahradením týchto hodnôt A a C do (3) získame požadovanú oblasť

Prejdime teraz k odvodeniu Simpsonovho vzorca na výpočet integrálu

Aby sme to dosiahli, rozdelíme integračný segment na 2n rovnakých častí dĺžky

V bodoch delenia (obr. 4) a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b,

Vypočítame hodnoty integrandu f: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , de y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,..., 2n).

Na segmente nahradíme integrand parabolou prechádzajúcou bodmi (x 0; y 0), (x 1; y 1) a (x 2; y 2) a vypočítame približnú hodnotu integrálu z x 0 až x 2, použijeme vzorec (4 ). Potom (tieňovaná oblasť na obr. 4):

Podobne nájdeme:

................................................

Pridaním výsledných rovnosti máme:

Vzorec (5) sa nazýva zovšeobecnený Simpsonov vzorec alebo parabolický vzorec, keďže pri jeho odvodení sa graf integrandu na parciálnom segmente dĺžky 2h nahradí oblúkom paraboly.

Pracovná úloha:

1. Podľa pokynov učiteľa alebo v súlade s možnosťou z tabuľky 4 úlohy (pozri prílohu) prijať podmienky - integrand, hranice integrácie.

2. Zostavte vývojový diagram programu a program, ktorý by mal:

Požiadajte o presnosť výpočtu určitého integrálu, dolnej a hornej hranice integrácie;

Vypočítajte daný integrál metódami: pre možnosti 1,4,7, 10… - vpravo, pre možnosti 2,5,8,… - priemer; pre možnosti 2,5,8,… - ľavé obdĺžniky. Vypíšte počet častí integračného rozsahu, pri ktorých sa dosiahne špecifikovaná presnosť výpočtu;

Vypočítajte daný integrál pomocou lichobežníkovej metódy (pre párne možnosti) a Simpsonovej metódy (pre nepárne možnosti).

Vypíšte počet častí integračného rozsahu, pri ktorých sa dosiahne špecifikovaná presnosť výpočtu;

Vypíšte hodnoty riadiacej funkcie pre danú hodnotu argumentu a porovnajte s vypočítanými hodnotami integrálu. Uzavrieť.

testovacie otázky

1. Čo je to určitý integrál?

2. Prečo sa popri analytických metódach používajú aj numerické metódy na výpočet určitých integrálov.

3. Čo je podstatou hlavných numerických metód na výpočet určitých integrálov.

4. Vplyv počtu dielikov na presnosť výpočtu určitého integrálu numerickými metódami.

5. Ako vypočítať integrál ľubovoľnou metódou s danou presnosťou?

V tejto metóde sa navrhuje aproximovať integrand na parciálnom intervale pomocou paraboly prechádzajúcej cez body
(x j, f(x j)), kde j = i-1; i-0.5; i, to znamená, že integrand aproximujeme Lagrangeovým interpolačným polynómom druhého stupňa:

(10.14)

Po integrácii dostaneme:

(10.15)

Tak to je simpsonov vzorec alebo vzorec parabol. Na segmente
[a, b] Simpsonov vzorec má formu

(10.16)

Grafické znázornenie Simpsonovej metódy je na obr. 2.4.

Ryža. 10.4. Simpsonova metóda

Zbavme sa zlomkových indexov vo výraze (2.16) premenovaním premenných:

(10.17)

Potom získa Simpsonov vzorec formu

(10.18)

Chyba vzorca (2.18) sa odhaduje pomocou nasledujúceho výrazu:

, (10.19)

kde h n = b-a, . Chyba Simpsonovho vzorca je teda úmerná O(h 4).

Komentujte. Treba poznamenať, že vo vzorci Simpson je integračný segment nevyhnutne rozdelený na dokonca počet intervalov.

10.5. Výpočet určitých integrálov metódami
Monte Carlo

Predtým diskutované metódy sú tzv deterministický , teda zbavený prvku náhody.

Metódy Monte Carlo(MMK) sú numerické metódy na riešenie matematických úloh modelovaním náhodných veličín. MCM umožňujú úspešne riešiť matematické problémy spôsobené pravdepodobnostnými procesmi. Navyše, pri riešení problémov, ktoré nesúvisia so žiadnou pravdepodobnosťou, možno umelo prísť s pravdepodobnostným modelom (a dokonca viac ako jedným), ktorý umožňuje tieto problémy riešiť. Zvážte výpočet určitého integrálu

(10.20)

Pri výpočte tohto integrálu pomocou vzorca obdĺžnikov sa interval [ a, b] rozdelená do N identické intervaly, v strede ktorých boli vypočítané hodnoty integrandu. Výpočtom hodnôt funkcií v náhodných uzloch môžete získať presnejší výsledok:

(10.21)

(10.22)

Tu je γ i náhodné číslo rovnomerne rozdelené v intervale
. Chyba vo výpočte integrálu MMK ~, ktorá je oveľa väčšia ako chyba predtým študovaných deterministických metód.

Na obr. 2.5 ukazuje grafickú implementáciu metódy Monte Carlo na výpočet jedného integrálu s náhodnými uzlami (2.21) a (2.22).

(2.23)

Ryža. 10.6. Integrácia Monte Carlo (2. prípad)

Ako je vidieť na obr. 2.6, integrálna krivka leží v jednotkovej štvorci a ak dokážeme získať dvojice náhodných čísel rovnomerne rozložené v intervale, potom získané hodnoty (γ 1, γ 2) možno interpretovať ako súradnice bodu v jednotkový štvorec. Potom, ak existuje dostatok týchto dvojíc čísel, môžeme to približne predpokladať
. Tu S je počet dvojíc bodov, ktoré spadajú pod krivku, a N je celkový počet dvojíc čísel.

Príklad 2.1. Vypočítajte nasledujúci integrál:

Problém sa riešil rôznymi spôsobmi. Získané výsledky sú zhrnuté v tabuľke. 2.1.

Tabuľka 2.1

Komentujte. Výber tabuľkového integrálu nám umožnil porovnať chybu každej metódy a zistiť vplyv počtu oddielov na presnosť výpočtov.

11 PRIBLIŽNÉ RIEŠENIE NELINEÁRNEHO
A TRANSCENDENTNÉ ROVNICE