Článok odhaľuje pojem kolmosť priamky a roviny, uvádza definíciu priamky, roviny, graficky znázorňuje a ukazuje označenie kolmíc a roviny. Formulujme znamienko kolmosti priamky s rovinou. Zvážte podmienky, za ktorých budú priamka a rovina kolmé na dané rovnice v rovine a trojrozmernom priestore. Všetko sa ukáže na príkladoch.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definícia 1

Čiara je kolmá na rovinu keď je kolmá na akúkoľvek priamku ležiacu v tejto rovine.

Platí, že rovina je kolmá na priamku, aj priamka na rovinu.

Kolmosť je označená „⊥“. Ak podmienka určuje, že priamka c je kolmá na rovinu γ , potom je zápis c ⊥ γ .

Napríklad, ak je čiara kolmá na rovinu, potom je možné nakresliť iba jednu čiaru, vďaka čomu sa pretínajú dve susedné steny miestnosti. Čiara sa považuje za kolmú na rovinu stropu. Lano umiestnené v telocvični sa považuje za priamku, ktorá je kolmá na rovinu, v tento prípad semi.

Ak existuje kolmá čiara na rovinu, uhol medzi čiarou a rovinou sa považuje za správny, to znamená, že sa rovná 90 stupňom.

Kolmosť priamky a roviny - znak a podmienky kolmosti

Pre nájdenie detekcie kolmosti je potrebné použiť dostatočnú podmienku pre kolmosť priamky a roviny. Zaručuje, že priamka a rovina sú kolmé. Táto podmienka sa považuje za dostatočnú a nazýva sa znakom kolmosti priamky a roviny.

Veta 1

Aby bola daná priamka kolmá na rovinu, stačí, aby bola priamka kolmá na dve pretínajúce sa priamky, ktoré ležia v tejto rovine.

Podrobný dôkaz je uvedený v učebnici geometrie pre ročníky 10-11. Veta sa používa na riešenie úloh, kde je potrebné určiť kolmosť priamky a roviny.

Veta 2

Za predpokladu, že aspoň jedna z čiar je rovnobežná s rovinou, má sa za to, že druhá čiara je tiež kolmá na túto rovinu.

O znamienku kolmosti priamky a roviny sa uvažuje už od školy, keď je potrebné riešiť úlohy v geometrii. Uvažujme podrobnejšie o jednej potrebnej a postačujúcej podmienke, za ktorej budú priamka a rovina kolmé.

Veta 3

Aby priamka a bola kolmá na rovinu γ, je nutnou a postačujúcou podmienkou kolinearita smerového vektora priamky a a normálového vektora roviny γ.

Dôkaz

Pre a → = (a x , a y, a z) je vektor priamky a, pre n → = (n x , n y, n z) je normálový vektor roviny γ pre splnenie kolmosti, je potrebné, aby priamka a a rovina γ patrí k splneniu podmienky kolinearity vektorov a → = (a x , a y, a z) a n → = (n x , n y , n z) . Dostávame teda, že a → = t n → ⇔ a x = t n x a y = t n y a z = t n z , t je reálne číslo.

Tento dôkaz je založený na nevyhnutnej a postačujúcej podmienke kolmosti priamky a roviny, smerového vektora priamky a normálového vektora roviny.

Táto podmienka je použiteľná na preukázanie kolmosti priamky a roviny, pretože stačí nájsť súradnice smerového vektora priamky a súradnice normálového vektora v trojrozmernom priestore a potom vykonať výpočty. Používa sa v prípadoch, keď je priamka definovaná rovnicou priamky v priestore a rovina rovnicou roviny nejakého druhu.

Príklad 1

Dokážte, že daná priamka x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 je kolmá na rovinu x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z .

rozhodnutie

Menovateľmi kanonických rovníc sú súradnice smerového vektora danej priamky. Z toho vyplýva, že a → = (2 - 1 , 2 , 2 - 7) je smerový vektor priamky x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 .

Vo všeobecnej rovnici roviny sú koeficienty pred premennými x, y, z súradnicami normálového vektora danej roviny. Z toho vyplýva, že n → = (1 , 2 (2 + 1) , - (5 + 6 2)) je normálový vektor roviny x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z - 4 = 0

Je potrebné skontrolovať splnenie podmienky. Chápeme to

2 - 1 \u003d t 1 2 \u003d t 2 (2 + 1) 2 \u003d t (- (5 + 6 2)) ⇔ t \u003d 2 - 1, potom vektory a → a n → súvisia pomocou výraz a → = ( ​​2 - 1) n → .

Toto je kolinearita vektorov. z toho vyplýva, že priamka x 2 - 1 \u003d y - 1 2 \u003d z + 2 2 - 7 je kolmá na rovinu x + 2 (2 + 1) y - (5 + 6 2) z - 4 \u003d 0 .

odpoveď: priamka a rovina sú kolmé.

Príklad 2

Určte, či priamka y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 a rovina x 1 2 + z - 1 2 = 1 sú kolmé.

rozhodnutie

Na zodpovedanie otázky kolmosti je potrebné, aby bola splnená nevyhnutná a postačujúca podmienka, teda najprv treba nájsť vektor danej priamky a normálový vektor roviny.

Z priamky y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 je vidieť, že smerový vektor a → je súčin normálových vektorov roviny y - 1 = 0 a x + 4 z - 2 = 0.

Dostávame teda, že a → = i → j → k → 0 1 0 1 0 4 = 4 i → - k → .

Súradnice vektora a → = (4 , 0 , - 1) .

Rovnica roviny v segmentoch x 1 2 + z - 1 2 = 1 je ekvivalentná rovnici roviny 2 x - 2 z - 1 = 0 , ktorej normálový vektor sa rovná n → = (2 , 0 , - 2).

Mali by ste skontrolovať kolinearitu vektorov a → = (4 , 0 , - 1) a n → = (2 , 0 , - 2) .

Aby sme to dosiahli, píšeme:

4 = t 2 0 = t 0 - 1 = t (- 2) ⇔ t = 2 t ∈ R ⇔ t ∈ ∅ t = 1 2

Z toho usudzujeme, že smerovací vektor priamky nie je kolineárny s normálovým vektorom roviny. Takže y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 je priamka, ktorá nie je kolmá na rovinu x 1 2 + z - 1 2 .

odpoveď: priamka a rovina nie sú kolmé.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Náčrt hodiny geometrie v 10. ročníku na tému "Kolmosť priamky a roviny"

Ciele lekcie:

vzdelávacie

zavedenie znaku kolmosti priamky a roviny;

formovať predstavy žiakov o kolmosti priamky a roviny, ich vlastnostiach;

formovať schopnosť žiakov riešiť typické problémy k téme, schopnosť dokazovať tvrdenia;

rozvíjanie

rozvíjať nezávislosť, kognitívnu aktivitu;

rozvíjať schopnosť analyzovať, vyvodzovať závery, systematizovať prijaté informácie,

rozvíjať logické myslenie;

rozvíjať priestorovú predstavivosť.

vzdelávacie

výchova kultúry prejavu žiakov, vytrvalosť;

vzbudiť u študentov záujem o predmet.

Typ lekcie: Hodina štúdia a primárne upevnenie vedomostí.

Formy práce študentov: predný prieskum.

Vybavenie: počítač, projektor, plátno.

Literatúra:"Geometria 10-11", učebnica. Atanasyan L.S. atď.

(2009, 255 s.)

Plán lekcie:

Organizačný moment (1 minúta);

Aktualizácia vedomostí (5 minút);

Učenie sa nového materiálu (15 minút);

Primárna konsolidácia študovaného materiálu (20 minút);

Zhrnutie (2 minúty);

Domáca úloha (2 minúty).

Počas vyučovania.

Organizačný moment (1 minúta)

Pozdrav študentov. Kontrola pripravenosti žiakov na vyučovaciu hodinu: kontrola dostupnosti zošitov, učebníc. Kontrola absencie.

Aktualizácia vedomostí (5 minút)

učiteľ. Ktorá priamka sa nazýva kolmá na rovinu?

Študent. Priamka kolmá na ktorúkoľvek priamku ležiacu v tejto rovine sa nazýva priamka kolmá na túto rovinu.

učiteľ. Ako znie lemma o dvoch rovnobežných priamkach kolmých na tretiu?

Študent. Ak je jedna z dvoch rovnobežných čiar kolmá na tretiu čiaru, potom je druhá čiara tiež kolmá na túto čiaru.

učiteľ. Veta o kolmosti dvoch rovnobežných priamok k rovine.

Študent. Ak je jedna z dvoch rovnobežných čiar kolmá na rovinu, potom je druhá čiara tiež kolmá na túto rovinu.

učiteľ. Aká je inverzia tejto vety?

Študent. Ak sú dve čiary kolmé na rovnakú rovinu, potom sú rovnobežné.

Kontrola domácich úloh

Domáca úloha sa kontroluje, ak majú žiaci problém s jej riešením.

Učenie sa nového materiálu (15 minút)

učiteľ. Vy aj ja vieme, že ak je priamka kolmá na rovinu, tak bude kolmá na akúkoľvek priamku ležiacu v tejto rovine, ale v definícii je kolmosť priamky na rovinu daná ako fakt. V praxi je často potrebné určiť, či bude čiara kolmá na rovinu alebo nie. Takéto príklady možno uviesť zo života: pri stavbe budov sa hromady zatĺkajú kolmo k povrchu zeme, inak sa môže konštrukcia zrútiť. Definíciu priamky kolmej na rovinu v tomto prípade nemožno použiť. prečo? Koľko čiar je možné nakresliť v rovine?

Študent. Existuje nekonečne veľa priamych čiar, ktoré možno nakresliť v rovine.

učiteľ. správne. A nie je možné skontrolovať kolmosť priamky na každú jednotlivú rovinu, pretože to bude trvať nekonečne dlho. Aby sme pochopili, či je priamka kolmá na rovinu, zavedieme znamienko kolmosti priamky a roviny. Napíšte si do zošita. Ak je priamka kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v rovine, potom je kolmá na túto rovinu.

Zápis do notebooku. Ak je priamka kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v rovine, potom je kolmá na túto rovinu.

učiteľ. Nemusíme teda kontrolovať kolmosť priamky pre každú priamu rovinu, stačí skontrolovať kolmosť len pre dve priamky tejto roviny.

učiteľ. Dokážme toto znamenie.

Vzhľadom na to: p a q- rovný, p ∩ q = O, a⊥ p, a⊥ q, p ϵ α, q ϵ α.

dokázať: a⊥ α.

učiteľ. A predsa na dôkaz použijeme definíciu priamky kolmej na rovinu, ako to znie?

Študent. Ak je priamka kolmá na rovinu, potom je kolmá na akúkoľvek priamku ležiacu v tejto rovine.

učiteľ. správne. Nakreslite ľubovoľnú priamku m v rovine α. Nakreslite čiaru l ║ m cez bod O. Na priamke a označte body A a B tak, aby bod O bol stredom úsečky AB. Priamku z nakreslíme tak, že pretína priamky p, q, l, priesečníky týchto priamok označíme P, Q, L, resp. Spojte konce segmentu AB s bodmi P, Q a L.

učiteľ. Čo môžeme povedať o trojuholníkoch ∆APQ a ∆BPQ ?

Študent. Tieto trojuholníky sa budú rovnať (podľa 3. kritéria pre rovnosť trojuholníkov).

učiteľ. prečo?

Študent. Pretože priamky p a q sú kolmé osi, potom AP = BP , AQ = BQ a strana PQ je spoločná.

učiteľ. správne. Čo môžeme povedať o trojuholníkoch ∆APL a ∆BPL?

Študent. Aj tieto trojuholníky sa budú rovnať (podľa 1 znaku rovnosti trojuholníkov).

učiteľ. prečo?

Študent. AP = BP, PL- spoločná strana APL =  BPL(z rovnosti ∆ APQ a ∆ BPQ)

učiteľ. správne. Takže AL = BL. Čo teda bude ∆ALB?

Študent. Takže ∆ALB bude rovnoramenné.

učiteľ. LO je medián v ∆ALB, takže aký bude v tomto trojuholníku?

Študent. Takže LO bude aj výška.

učiteľ. Preto tá priamkalbude kolmá na čiarua. A od rovinkylje ľubovoľná priamka patriaca do roviny α, potom podľa definície priamkaa⊥ a. Q.E.D.

Overené prezentáciou

učiteľ. Ale čo ak priamka a nepretína bod O, ale zostáva kolmá na priamky p a q? Ak priamka a pretína akýkoľvek iný bod danej roviny?

Študent. Je možné postaviť čiaru 1 , ktorá bude rovnobežná s priamkou a, bude pretínať bod O a lemou na dvoch rovnobežných priamkach kolmých na tretiu dokážeme, žea 1 ⊥ p, a 1 ⊥ q.

učiteľ. správne.

Primárna konsolidácia študovaného materiálu (20 minút)

učiteľ. Aby sme si upevnili naštudovanú látku, vyriešime číslo 126. Prečítajte si úlohu.

Študent. Priamka MB je kolmá na strany AB a BC trojuholníka ABC. Určte typ trojuholníka MBD, kde D je ľubovoľný bod priamky AC.

Obrázok.

Dané: ∆ ABC, MB⊥ BA, MB⊥ pred Kr, D ϵ AC.

Nájdite: ∆ MBD.

rozhodnutie.

učiteľ. Dokážete nakresliť rovinu cez vrcholy trojuholníka?

Študent. Áno môžeš. Rovina môže byť nakreslená v troch bodoch.

učiteľ. Ako budú umiestnené priamky BA a CB vzhľadom na túto rovinu?

Študent. Tieto čiary budú ležať v tejto rovine.

učiteľ. Ukazuje sa, že máme rovinu a v nej sú dve pretínajúce sa čiary. Ako súvisí čiara MW s týmito čiarami?

Študent. Priame MV⊥ VA, MV ⊥ BC.

Písanie na tabuľu a do zošitov. Pretože MV⊥ VA, MV ⊥ VS

učiteľ. Ak je priamka kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v rovine, potom bude priamka súvisieť s touto rovinou?

Študent. Priamka MB bude kolmá na rovinu ABC.

⊥ ABC.

učiteľ. Bod D je ľubovoľný bod na úsečke AC, ako teda bude súvisieť priamka BD s rovinou ABC?

Študent. BD teda patrí do roviny ABC.

Písanie na tabuľu a do zošitov. Pretože BD ϵ ABC

učiteľ. Aké budú voči sebe čiary MB a BD?

Študent. Tieto priamky budú kolmé podľa definície priamky kolmej na rovinu.

Písanie na tabuľu a do zošitov. ↔ MV⊥ BD

učiteľ. Ak je MB kolmá na BD, aký bude trojuholník MBD?

Študent. Trojuholník MBD bude pravouhlý.

Písanie na tabuľu a do zošitov. ↔ ∆MBD – obdĺžnikový.

učiteľ. správne. Riešime číslo 127. Prečítajte si úlohu.

Študent. V trojuholníkuABC súčet uhlov A a Bsa rovná 90°. RovnoBDkolmo na rovinuABC. Dokáž to CD⊥ AC.

Žiak ide k tabuli. Nakreslí kresbu.

Napíšte na tabuľu a do zošita.

Dané: ∆ ABC,  A +  B= 90°, BD⊥ ABC.

dokázať: CD⊥ AC.

dôkaz:

učiteľ. Aký je súčet uhlov trojuholníka?

Študent. Súčet uhlov v trojuholníku je 180°.

učiteľ. Aký je uhol C v trojuholníku ABC?

Študent. Uhol C v trojuholníku ABC bude 90°.

Písanie na tabuľu a do zošitov. C = 180 ° - A- B= 90°

učiteľ. Ak je uhol C 90°, ako navzájom ležia čiary AC a BC?

Študent. Znamená AC⊥ Slnko.

Písanie na tabuľu a do zošitov. ↔ AC⊥ Slnko

učiteľ. Čiara BD je kolmá na rovinu ABC. Čo z toho vyplýva?

Študent. Takže BD je kolmé na akúkoľvek čiaru z ABC.

BD⊥ ABC ↔ BDkolmo na akúkoľvek čiaruABC(a-priory)

učiteľ. V súlade s tým, ako budú súvisieť priame BD a AC?

Študent. Takže tieto čiary sú kolmé.

BD⊥ AC

učiteľ. AC je kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v rovine DBC, ale AC neprechádza priesečníkom. Ako to opraviť?

Študent. Nakreslite čiaru cez bod B a rovnobežku AC. Keďže AC je kolmá na BC a BD, potom a bude podľa lemy tiež kolmé na BC a BD.

Písanie na tabuľu a do zošitov. Nakreslite čiaru cez bod B a ║AC ↔ a⊥ pred Kr, a ⊥ BD

učiteľ. Ak je priamka a kolmá na BC a BD, čo potom možno povedať o vzájomnej polohe priamky a a roviny BDC?

Študent. To znamená, že priamka a bude kolmá na rovinu BDC, a teda priamka AC bude kolmá na BDC.

Písanie na tabuľu a do zošitov. ↔ a⊥ bdc↔ AC ⊥ bdc.

učiteľ. Ak je striedavý prúd kolmý na BDC, ako potom budú čiary AC a DC umiestnené voči sebe navzájom?

Študent. AC a DC budú kolmé podľa definície priamky kolmej na rovinu.

Písanie na tabuľu a do zošitov. Pretože AC⊥ bdc↔ AC ⊥ DC

učiteľ. Výborne. Vyriešime číslo 129. Prečítajte si úlohu.

Študent. RovnoAMkolmo na rovinu štvorcaA B C D, ktorých uhlopriečky sa pretínajú v bode O. Dokážte, že: a) priamkaBDkolmo na rovinuAMO; b)MO⊥ BD.

Študent prichádza k tabuli. Nakreslí kresbu.

Napíšte na tabuľu a do zošita.

Vzhľadom na to:A B C D- námestie,AM⊥ A B C D, AC ∩ BD = O

dokázať:BD⊥ AMO, MO⊥ BD

dôkaz:

učiteľ. Musíme dokázať, žeBD⊥ AMO. Aké podmienky musia byť splnené, aby sa tak stalo?

Študent. Je potrebné, aby priamy BD je kolmá na aspoň dve pretínajúce sa priamky z roviny AMO.

učiteľ. To hovorí podmienka BD kolmo na dve pretínajúce sa čiary AMO?

Študent. nie

učiteľ. Ale to vieme AM kolmý A B C D . Aký záver možno z toho vyvodiť?

Študent. Znamená čo AM kolmá na ľubovoľnú priamku z tejto roviny, t.j. AM kolmý B.D.

AM⊥ A B C D ↔ AM⊥ BD(a-priorita).

učiteľ. Jedna čiara je kolmá BD existuje. Venujte pozornosť štvorcu, ako budú čiary umiestnené voči sebe navzájom AC a BD?

Študent. AC bude kolmá BD vlastnosťou uhlopriečok štvorca.

Napíšte na tabuľu a do zošita. PretožeA B C D- štvorec tedaAC⊥ BD(vlastnosťou uhlopriečok štvorca)

učiteľ. Našli sme dve pretínajúce sa čiary ležiace v rovine AMO kolmo na čiaru BD . Čo z toho vyplýva?

Študent. Znamená čo BD kolmo na rovinu AMO.

Písanie na tabuľu a do zošitov. PretožeAC⊥ BDaAM⊥ BD ↔ BD⊥ AMO(podľa znamenia)

učiteľ. Ktorá priamka sa nazýva priamka kolmá na rovinu?

Študent. O priamke sa hovorí, že je kolmá na rovinu, ak je kolmá na akúkoľvek priamku v tejto rovine.

učiteľ. Ako spolu súvisia čiary? BD a OM?

Študent. Znamená BD kolmý OM . Q.E.D.

Písanie na tabuľu a do zošitov. ↔BD⊥ MO(a-priorita). Q.E.D.

Zhrnutie (2 minúty)

učiteľ. Dnes sme študovali znak kolmosti priamky a roviny. ako to znie?

Študent. Ak je priamka kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v rovine, potom je táto priamka kolmá na túto rovinu.

učiteľ. správne. Naučili sme sa túto vlastnosť aplikovať pri riešení problémov. Kto odpovedal pri tabuli a pomohol z miesta, dobre urobil.

domáca úloha (2 minúty)

učiteľ. Odsek 1, odseky 15-17, naučte sa: lemma, definícia a všetky vety. č. 130, 131.

Aby priamka v priestore bola  roviny, je potrebné a postačujúce, aby na diagrame bol vodorovný priemet priamky  vodorovného priemetu horizontály a nárysný priemet k nárysu roviny. prednej časti tohto lietadla.

Určenie vzdialenosti od bodu k rovine(Obr. 19)

1. Z bodu spustite kolmicu na rovinu (na tento účel v rovine

držať h, f);

2. Nájdite priesečník priamky s rovinou (pozri obr. 18);

3.Nájdite n.v. kolmý segment (pozri obr. 7).

Druhá časť Metóda výmeny projekčných rovín

(k úlohám 5, 6.7)

Tento geometrický obrazec zostáva nehybný v systéme projekčných rovín. Nové projekčné roviny sú nastavené tak, aby projekcie získané na nich poskytovali racionálne riešenie uvažovaného problému. Navyše každý nový systém projekčných rovín musí byť ortogonálnym systémom. Po premietnutí predmetov na rovinu sa tieto spoja do jedného otáčaním okolo spoločných priamych línií (osí premietania) každej dvojice vzájomne kolmých rovín.

Napríklad bod A nech je nastavený v sústave dvoch rovín P 1 a P 2. Doplňme sústavu ešte jednou rovinou P 4 (obr. 20), P 1 P 4. Má spoločnú priamku X 14 s rovinou P 1 . Projekciu A 4 postavíme na P 4.

AA 1 \u003d A 2 A 12 \u003d A 4 A 14.

Na obr. 21, kde sú roviny P 1, P 2 a P 4 zarovnané, je táto skutočnosť určená výsledkom A 1 A 4 X 14, a A 14 A 4 A 2 A 12.

Vzdialenosť priemetu nového bodu k novej osi premietania (A 4 A 14) sa rovná vzdialenosti priemetu nahradeného bodu k nahradenej osi (A 2 A 12).

Veľký počet metrických problémov deskriptívnej geometrie sa rieši na základe nasledujúcich štyroch problémov:

1. Transformácia všeobecnej polohovej čiary na nivelovú čiaru (obr. 22):

a) P 4 || AB (os X 14 || A 1 B 1);

b) A 1 A 4 X 14; B 1 B 4  X 14;

c) A 4 A 14 \u003d A 12 A 2;

V 4 V 14 = V 12 V 2 ;

A 4 B 4 - prítomný

2. Transformácia priamky vo všeobecnej polohe na projekčnú (obr. 23):

a) P 4 || AB (X14 || A1B1);

A 1 A 4 X 14;

B 1 B 4  X 14;

A 14 A 4 \u003d A 12 A 2;

14V 4 = 12V 2 ;

A 4 B 4 - n.v.;

b) P 5 AB (X 45 A 4 V 4);

A 4 A 5 X 45;

B 4 B 5 X 45;

A 45 A 5 \u003d B 45 B 5 \u003d A 14 A 1 \u003d B 14 B 1;

3. Transformácia roviny všeobecnej polohy do projekčnej polohy (obr. 24):

Rovina môže byť uvedená do vyčnievajúcej polohy, ak jedna priamka roviny vyčnieva. Narysujme vodorovnú čiaru (h 2 ,h 1) v rovine ABC, ktorá môže byť jednou transformáciou projektívna. Nakreslíme rovinu P 4 kolmú na horizontálu; do tejto roviny sa premieta bodom a rovina trojuholníka sa premieta priamkou.

4. Transformácia generickej roviny na rovinu roviny (obr. 25).

Urobte z roviny rovinu pomocou dvoch transformácií. Najprv musí byť rovina vyčnievajúca (pozri obr. 25) a potom P 5 || A 4 B 4 C 4, dostaneme A 5 B 5 C 5 - n.v.

Úloha č. 5

Určte vzdialenosť od bodu C k priamke vo všeobecnej polohe (obr. 26).

Riešenie prichádza k 2. hlavnému problému. Potom je vzdialenosť pozdĺž diagramu definovaná ako vzdialenosť medzi dvoma bodmi

A 5  B 5  D 5 a C 5.

Projekcia С 4 D 4 || X 45.

Úloha č. 6

Určte vzdialenosť od ()D k rovine danej bodmi A, B, C (obr. 27).

Úloha je vyriešená pomocou 2. hlavnej úlohy. Vzdialenosť (E 4 D 4) od () D 4 k priamke A 4 C 4 B 4, do ktorej sa premietla rovina ABC, je prirodzenou hodnotou úsečky ED.

Projekcia D 1 E 1 || X14;

E2E X12 = E4E X14.

Postavte si svoj vlastný D 1 E 1.

Postavte si svoj vlastný D 2 E 2.

Úloha č.7

Určte skutočnú veľkosť trojuholníka ABC (pozri riešenie 4. hlavnej úlohy) (obr. 25)

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám mohli posielať dôležité upozornenia a oznámenia.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je nevyhnutné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

dáždniky. Úsečka KL určuje smer priemetov priesečníka dvoch daných rovín.

2.8 Kolmosť priamky a roviny, dve roviny

Podmienka kolmosti priamky a roviny a kolmosti dvoch rovín vychádza z vety o premietaní pravého uhla. Prispôsobením vety na riešenie metrických úloh na určenie vzdialenosti bodu od roviny, určenie vzdialenosti od bodu k priamke alebo na zostrojenie roviny rovnobežnej s danou v určitej vzdialenosti sformulujeme podmienku kolmosti. priamky a roviny.

Priamka l (l1 ,l2 ) je kolmá na rovinu , ak je kolmá na dve pretínajúce sa úrovňové čiary (napríklad vodorovná a čelná) patriace do danej roviny.

l 1h 1

l 2f 2

Uvažujme príklady riešenia typických metrických úloh pri aplikácii podmienky kolmosti priamky a roviny.

Príklad 1. Určte vzdialenosť od bodu N k rovine Q(mIIn) (obrázok 2.35).

Algoritmus na riešenie problému:

1. Analyzujte stav problému. (Najkratšia vzdialenosť od bodu k priamke je určená kolmicou spustenou z bodu N na rovinu Q.)

2. Pre splnenie podmienky kolmosti priamky a roviny je potrebné najskôr zostrojiť v rovine vodorovné h (h 1, h 2) a čelné f (f 1, f 2 ), príp. potom zostrojte priamku l (l 1 , l 2 ) kolmú na rovinu Q (obrázok 2.35).

Obrázok 2.35 - Čiara kolmá na rovinu

3. Nájdite základňu kolmice, t.j. priesečník zostrojenej čiary l(l 1 , l 2 ) s danou rovinou Q. Na zostrojenie bodu K uzavrieme napríklad nárysný priemet priamky l 2 do čelne priemetnej roviny Σ. Určíme priemety priesečníka priamky l s príslušným priemetom priesečníka dvoch rovín (Q∩∑). Určíme polohu priemetov bodu K1 a K2.

4. Určte skutočnú veľkosť úsečky NK ako preponu pravouhlého trojuholníka (obrázok 2.36).

Obrázok 2.36 - Projekcie vzdialenosti z bodu do roviny

Príklad 2. Určte vzdialenosť od bodu A k priamke n. Algoritmus na riešenie problému:

1. Analýza podmienok problému. Po rozbore stavu úlohy konštatujeme, že najkratšiu vzdialenosť od bodu k priamke meria kolmica spadnutá z bodu A na priamku n. Keďže daný riadok n (n 1 , n2 ) je čiara vo všeobecnej polohe, potom na vyriešenie problému je potrebné vykonať ďalšie konštrukcie.

2. Prostredníctvom priemetov bodu A(A 1 ,А2 ) zostrojíme rovinu Σ (h ∩ f) kolmú na priamku n (n1 , n2 ).

3. Určte priesečník danej priamky n(n 1 , n2 ) s rovinou Σ (h ∩ f) a nájdite priemety úsečky A1 B1 a A2 B2 ako priemety vzdialenosti od bodu A k priamke n.

4. Zostavíme prirodzenú hodnotu vzdialenosti od bodu A k priamke n (obrázok 2.37).

Obrázok 2.37 - Vzdialenosť od bodu A k priamke n

Príklad 3. Zostrojte rovinu Θ, rovnobežnú s rovinou Σ (ΔABC), vo vzdialenosti 25 mm od nej.

Algoritmus na riešenie problému:

1. Analýza podmienok problému. Rovina bude postavená vo vzdialenosti 25 mm od roviny Σ (ΔABC). Preto musíte postaviť kolmicu na rovinu.

2. Na zostrojenie priamky kolmej na rovinu nastavíme nivelačné čiary v rovine - vodorovnú h(h 1 , h2 ) a čelné f(f1, f2 ) a postavte priamku l(l 1, l 2 ) kolmú na rovinu Σ (ΔАВС) (obrázok 2.38).

Obrázok 2.38 - Poloha bodu L

3. Nájdite základňu kolmice, t.j. bod K (K1, K2) priesečníka priamky l (l 1, l 2) s rovinou Σ (ΔABS).

4. Vyberte si online l(l 1 , l 2 ) ľubovoľný bod N(N1 ,N2 ) a určte vzdialenosť od zvoleného bodu k rovine (N1 Kº).

5. Nájdeme na priamke l(l 1 , l 2 ) poloha bodu L(L1, L2 ), ktorý má vzdialenosť od roviny 25 mm.

6. Cez bod L(L 1 , L2 ) zostrojíme rovinu Θ(m∩n) rovnobežnú s danou rovinou Σ (ΔАВС) (obrázok 2.39)

Obrázok 2.39 - Rovina rovnobežná s danou rovinou v požadovanej vzdialenosti

Otázky na sebaovládanie k téme 2:

1. Aká je poloha bodu vzhľadom na priamku?

2. Kedy patrí bod k priamke?

3. Ako môžu byť priame čiary usporiadané voči sebe navzájom?

4. Aké body sa nazývajú súťažné?

5. Pokračujte vo vete: Pravý uhol sa premieta na rovinu čelného premietania bez skreslenia, ak je tvorený dvoma pretínajúcimi sa priamkami, z ktorých jedna je priamka vo všeobecnej polohe a druhá ...... ..

6. Ako určiť prirodzenú veľkosť úsečky vo všeobecnej polohe?

7. Aká je podmienka, aby bola priamka a rovina kolmá?

8. Aká je podmienka, aby dve roviny boli kolmé?

9. Kedy je priamka rovnobežná s rovinou?

10. Kedy sú dve roviny rovnobežné?

11. Aká je podmienka, aby priamka patrila k rovine?

12. Kedy patrí bod do roviny?

13. Aký je algoritmus na nájdenie priesečníka priamky s rovinou?

14. Aká je podstata metódy pomocných rovín medzičlánkov pri hľadaní priesečníka dvoch rovín?

15. Aká je projekčná rovina?

3 KONVERZIA PROJEKCIE

3.1 Podstata a hlavné spôsoby prevodu výkresu

Riešenie polohových a metrických úloh v deskriptívnej geometrii sa výrazne zjednoduší, ak rovné a ploché útvary zaujmú polohu premietnutých priamok a rovín, alebo priamok a rovín.

Nevyhnutnou podmienkou pre zjednodušenie riešenia problémov je vybudovanie nových prídavných výstupkov, ktoré umožňujú získať buď degenerované výstupky jednotlivých prvkov, alebo tieto prvky v plnej veľkosti. Konštrukcia dodatočných projekcií sa nazýva transformácia výkresu.

Konverziu je možné vykonať nasledujúcimi spôsobmi:

1. Zmena (náhrada) projekčných rovín s podmienkou, že predmetný objekt alebo jeho prvky budú zaujímať jednu z konkrétnych pozícií vzhľadom na nový systém projekčných rovín;

2. Otáčanie geometrických objektov v priestore okolo premietacej osi tak, aby zaberali akúkoľvek konkrétnu polohu vzhľadom na projekčné roviny.

3. Planparalelný pohyb predmetu, pri ktorom sa metódou otáčania okolo premietacej osi a pohybom predmetu dosiahne prechod od predmetu všeobecnej polohy k predmetu určitej polohy;

4. Otáčanie geometrických objektov v priestore okolo úrovňovej čiary tak, aby zaujímali polohu buď čiary úrovne alebo roviny úrovne.

3.2 Teória a algoritmy na riešenie základných polohových a metrických úloh

Podstatou metódy zmeny premietacích rovín je prechod z daného systému premietacích rovín na nový. V tomto prípade si úsečky a ploché obrazce zachovajú svoju polohu a ich nové projekcie sa získajú zavedením ďalších projekčných rovín.

Pri zmene projekčných rovín je nevyhnutne zachovaná vzájomná kolmosť dvoch premietacích rovín - novej a nezameniteľnej.

Uvažujme mechanizmus zmeny projekčných rovín na príklade transformácie s bodom (obrázok 3.1.).

Obrázok 3.1 - Mechanizmus zmeny roviny priemetov P2 až P4

V diagrame je táto transformácia znázornená na obrázku 3.2. Do sústavy premietacích rovín P1 a P2 nastavíme dva priemetne bodu A (A1, A2). Uveďme polohu roviny P4. Z nezameniteľného priemetu bodu A - A1

nakreslíme komunikačnú čiaru kolmú na stopovú čiaru roviny P4. Keďže výška bodu sa pri prechode zo sústavy rovín P1 - P2 do sústavy rovín P1 - P4 nemení, meria sa táto výška na poli P2 a ukladá sa na pole P4 od priesečníka priemetne. roviny v smere novej komunikačnej linky.

Obrázok 3.2 - Mechanizmus prechodu zo systému P1 - P2 na P1 - P4 na schéme

Výmena jednej z projekčných rovín nevedie vždy ku konečnému riešeniu problému, preto postupne zvážime mechanizmus prechodu zo systému projekčných rovín P1 - P2 na P1 - P4 a potom na P4 - P5. (Obrázok 3. 3).

Na získanie priemetu bodu A na rovinu priemetov P5 je potrebné postupne preniesť bod najskôr do roviny P4 a potom do roviny P5. Na vykonanie konštrukcie nahradíme rovinu P2 rovinou P4.

Obrázok 3.3 - Mechanizmus prechodu zo systému P1 - P2 na P4 - P5 na schéme

Priemet bodu A4 získame takto: z nezameniteľného priemetu bodu A1 nakreslíme spojnicu kolmú na priesečník rovín P1 - P4 a odložíme od nej vzdialenosť nameranú od nahradeného priemetu. bodu k priesečníku rovín P1 - P2. Pri prechode do sústavy premietacích rovín P4 - P5 je rovina P1 nahradená P5. Z nezameniteľného priemetu bodu A4 nakreslíme komunikačnú čiaru kolmú na priesečník rovín P4 - P5. Od tejto priamky posúvame vzdialenosť nameranú od nahradeného priemetu bodu A1 k priesečníku rovín P1 - P4. V dôsledku toho zostrojíme priemet bodu A5.

Ďalším spôsobom transformácie výkresu je metóda otáčania. Spočíva v tom, že daný systém premietacích rovín zostáva nezmenený a obrazec sa otáča okolo pevnej osi, až kým nezaujme určitú polohu vzhľadom k projekčným rovinám, najmä sa nestane rovnobežnou alebo kolmou na jednu z premietacích rovín. .

cie. Otáčanie sa vykonáva okolo osí kolmých alebo rovnobežných s rovinami premietania.

Zastavme sa pri mechanizme otáčania bodu okolo premietacej osi. Nechajte bod A otáčať sa okolo horizontálne premietajúcej osi i. V tomto prípade bude bod opisovať kružnicu so stredom prechádzajúcou osou rotácie i (i 1 , i 2 ). Pri rotácii je trajektóriou bodu A kružnica, ktorej rovina je rovnobežná s horizontálnou premietacou rovinou (obrázok 3. 4).

Obrázok 3. 4 - Otáčanie okolo horizontálne vyčnievajúcej osi

Na diagrame je proces otáčania bodu znázornený nasledovne. Zvoľte os rotácie i (i1 , i2 ). Na vodorovnú rovinu priemetov sa táto os premieta do bodu i1. Zo stredu i1 opíše priemet bodu A1 kružnicu, otáčajúcu sa pod ľubovoľným uhlom, až kým nezaujme polohy A1". Čelný priemet bodu A2 sa potom posunie po vodorovnej priamke do novej polohy bodu A2". .

Teda pri otáčaní okolo horizontály

premietacej osi sa horizontálna projekcia bodu pohybuje po kružnici a predná projekcia sa pohybuje pozdĺž priamky kolmej na priemet osi otáčania (obrázok 3.5).

Obrázok 3.5 - Algoritmus otáčania okolo horizontálne premietanej osi

Keď sa bod otáča okolo čelne premietanej osi, bod opisuje trajektóriu vo forme kružnice, ktorej rovina je rovnobežná s čelnou projekčnou rovinou (obrázok 3. 6).

Obrázok 3.6 - Otáčanie okolo prednej vyčnievajúcej osi

Pri rotácii okolo čelne vyčnievajúcej priamky opisuje predný priemet bodu kružnicu a vodorovná sa pohybuje po priamke kolmej na os otáčania. Algoritmus otáčania bodu okolo čelne premietanej osi je znázornený na obrázku 3.7.

Obrázok 3.7 - Algoritmus otáčania okolo prednej vyčnievajúcej osi

3.3. Metóda zmeny projekčných rovín. Riešenie hlavných úloh

Bez ohľadu na to, ako sa kresba prevedie, hlavné úlohy prevodu možno zredukovať na nasledovné:

1. Transformácia, v ktorej sa generická priamka stáva úrovňovou priamkou.

2. Transformácia, v ktorej sa čiara úrovne stáva premietacou čiarou.

3. Transformácia, v ktorej sa generická rovina stáva projekčnou rovinou.

4. Transformácia, pri ktorej sa premietacia rovina stáva rovinou.

Uvažujme o riešení hlavných úloh prevodu výkresu zmenou projekčných rovín.

Aby bola všeobecná polohová čiara rovinnou, je potrebné zaviesť novú premietaciu rovinu П4, ktorá by bola s ňou rovnobežná. Nahraďme napríklad rovinu P2 rovinou P4 (obrázok 3.8).

Rovina P4 je umiestnená rovnobežne s nezameniteľným priemetom úsečky A1 B1. Výsledná projekcia úsečky A4 B4 je rovinná úsečka, preto je táto projekcia prirodzenou veľkosťou úsečky. Riešenie tejto úlohy umožňuje určiť uhol sklonu úsečky AB k vodorovnej premietacej rovine -α.

Obrázok 3.8 - Transformácia všeobecnej polohovej čiary na nivelovú čiaru

Aby sa z priamej roviny stala premietacia (to znamená, aby sa bodom premietla na akúkoľvek rovinu premietania), nová rovina premietania musí byť na ňu kolmá.

Kolmosť v komplexnej kresbe je zachovaná len na nivelovú čiaru. Preto sa zvolí nová premietacia rovina P4 kolmá na príslušný priemet nivelačnej čiary, t.j. na prirodzenú veľkosť segmentu AB (obrázok 3.9).

Obrázok 3.9 - Konverzia priamej úrovne na projekčnú

Aby bola rovina vo všeobecnej polohe projektívna, je potrebné, aby nový systém premietacích rovín bol na ňu kolmý. Rovina bude kolmá na danú rovinu, ak bude kolmá na ktorúkoľvek rovinu tejto roviny. Preto pre výber polohy novej roviny P4 je potrebné rozhodnúť, ktorá z projekčných rovín bude nahradená. Napríklad nahradíme rovinu P2 rovinou P4 (obrázok 3.10). V horizontálnej rovine premietania sa horizontála premieta bez skreslenia.

dáždnikový priemet vodorovnej h1, tak postavíme na ňu kolmú rovinu P4.

V rovine P4 zaberá trojuholník ABC vyčnievajúcu polohu

Obrázok 3.10 - Transformácia všeobecnej polohovej roviny na premietaciu rovinu

Aby sa daná rovina ukázala ako rovná rovina, je potrebné umiestniť rovinu P4 rovnobežne s ňou (obrázok 3.11).

Obrázok 3.11 - Transformácia premietacej roviny na rovinu

Aby bolo možné previesť všeobecnú polohovú rovinu na rovinnú rovinu, je potrebné vykonať dve transformácie: najprv transformovať všeobecnú polohovú rovinu na premietanú a potom zavedením ďalšej roviny П5 transformovať premietaciu rovinu na rovinu. .

3.4 Spôsob otáčania okolo premietacej osi. Riešenie hlavných úloh

Úloha 1. Transformujte všeobecnú čiaru polohy na čiaru úrovne

Na vyriešenie problému je potrebné zvoliť polohu osi otáčania. Ako os otáčania si zvolíme napríklad vodorovne vyčnievajúcu čiaru. V tomto prípade sa rotácia uskutoční v horizontálnej projekčnej rovine. Uhol natočenia priamky je určený stavom problému: priamka musí byť otočená do polohy vodováhy, v tomto prípade do polohy čelnej vodováhy (obrázok 3.12).

Obrázok 3.12 - Transformácia všeobecnej polohovej čiary na rovinnú čiaru otáčaním

Úloha 2. Premeňte čiaru úrovne na vyčnievajúcu čiaru.

Pri vykonávaní otáčania musíte vybrať polohu osi otáčania. V tomto prípade by sa ako os otáčania mala zvoliť vodorovne vyčnievajúca os a mal by sa určiť uhol natočenia priamky. Uhol natočenia je určený stavom problému (obrázok 3.13).

Obrázok 3.13 - Transformácia nivelačnej čiary na premietaciu čiaru metódou rotácie

Úloha 3. Premeňte rovinu všeobecnej polohy na premietnutú

Riešenie problému začína výberom osi otáčania. Ako os otáčania si zvolíme napríklad vodorovne vyčnievajúcu čiaru. V tomto prípade by sa rotácia mala vykonávať v horizontálnej projekčnej rovine. Uhol natočenia roviny trojuholníka okolo horizontálne premietnutej osi nastaví horizontálny priemet horizontály ležiacej v danej rovine (obrázok 3.14).

Obrázok 3.14 - Transformácia roviny všeobecnej polohy na projektívnu metódou rotácie

Úloha 4. Preveďte premietaciu rovinu na rovinu.

Zvoľme si polohu osi otáčania. V tomto prípade by ste mali zvoliť horizontálne premietanú os otáčania. Uhol natočenia objektu určuje natočenie zadanej roviny do polohy čelnej roviny vodováhy (obrázok 3.15).

Obrázok 3.15 - Transformácia premietacej roviny na rovinnú rovinu metódou rotácie

3.5 Spôsob rovinného paralelného pohybu

Metóda planparalelného pohybu spočíva v tom, že projekčné roviny zostávajú nezmenené a objekt sa otáča okolo projekčnej osi, kým nezaujme určitú polohu vzhľadom k projekčným rovinám a nepohne sa. V závislosti od podmienok úloh by mal byť objekt transformovaný tak, aby bol umiestnený kolmo alebo rovnobežne s projekčnými rovinami.

Úloha 1. Transformujte generickú rovinu na rovinu.

Obrázok 3.16 - Metóda planparalelného pohybu

Otázky na sebaovládanie k téme 3:

1. Čo je podstatou metódy zmeny projekčných rovín?

2. Je možné premeniť generickú líniu na úrovňovú líniu pomocou jedinej transformácie?

3. Ako sa zvolí smer projekcie na transformáciu generickej roviny na projekčnú rovinu?

4. Aký je rozdiel medzi metódou zmeny premietacích rovín a metódou planparalelného pohybu?

5. Koľkokrát by mala čiara vo všeobecnej polohe zmeniť svoju polohu vzhľadom na projekčné roviny П 1 , P2 stať sa spredu vyčnievajúcou priamkou?

6. Čo je podstatou metódy rotácie okolo premietacej čiary?

4 POLYHEDA

4.1 Všeobecné informácie o mnohostenoch. Určenie mnohostenov vo viacnásobnom výkrese

Polyhedra, predstavujúce najjednoduchšie geometrické tvary, sú základom pri navrhovaní inžinierskych konštrukcií. Polyedrické formy sú široko používané pri navrhovaní častí strojov a mechanizmov v technológii, ako aj v rôznych architektonických štruktúrach.

Najväčší praktický záujem sú hranoly, pyramídy a konvexné rovnomerné mnohosteny, ktorých všetky plochy sú pravidelné a rovnaké mnohouholníky - Platónove telesá (tetraéder - 4, osemsten - 8, dvadsaťsten - 20 pravidelných trojuholníkov; šesťsten (kocka - 6 pravidelných obdĺžnikov); dvanásťsten - 12 pravidelných päťuholníkov). Mnohosten sa nazýva konvexný, ak sa nachádza na jednej strane roviny ktorejkoľvek z jeho plôch.

Mnohosten je teleso ohraničené plochými mnohouholníkmi. Tieto polygóny sa nazývajú okraje (obrázok 4.1).

Obrázok 4.1 - Príklady mnohostenov

Súhrn všetkých plôch mnohostenu sa nazýva jeho povrch

Tváre sa pretínajú pozdĺž priamych čiar nazývaných hrany. Hrany sa pretínajú v bodoch nazývaných vrcholy.

Výkresy mnohostenov musia byť reverzibilné. To je možné dosiahnuť, ak sú splnené určité podmienky pre umiestnenie okrajov mnohostenu v projekciách.

Na výkrese sú mnohosteny znázornené ako projekcie ich vrcholov a hrán. Na obrázku 4.2 je uvedený priamy štvorstenný hranol ABCDKLMN a trojstenný ihlan SABC. Hranol sa nazýva rovný, ak sú jeho bočné strany a hrany kolmé na základňu. Pravý hranol sa nazýva pravidelný, ak je jeho základňou pravidelný mnohouholník.

Obrázok 4.2 - Určenie mnohostenov na pozemku

4.2 Priesečník mnohostenov rovinou a priamkou

Priesečník mnohostenu s rovinou je plochý mnohouholník (obrázok 4.3).

Obrázok 4.3 - Priesečník mnohostenu rovinou

Línia rezu mnohostenu rovinou môže byť skonštruovaná dvoma spôsobmi.

Prvý spôsob. Nájdite vrcholy požadovaného mnohouholníka ako výsledok priesečníka hrán mnohostenu s rovinou rezu.

Druhý spôsob. Nájdite strany požadovaného mnohouholníka ako výsledok priesečníka plôch mnohostenu s rovinou rezu.

V prvom prípade treba opakovane riešiť problém zostrojenia priesečníka priamky s rovinou, v druhom prípade zostrojenia priesečníka dvoch rovín. V prípadoch, keď je rovina rezu alebo povrch v určitej polohe, je úloha značne zjednodušená, pretože na jednej z projekčných rovín sa priemet línie rezu zhoduje buď s priemetom roviny rezu (obrázok 4.4), alebo s degenerovaný výbežok povrchu mnohostenu (obrázok 4.5).

Na zostrojenie priesečníka trojstenného ihlana s čelne premietnutou rovinou je potrebné nájsť priesečníky každej hrany pyramídy SABC s čelne premietnutou rovinou ∑. Výsledkom konštrukcie je trojuholník DFE. Ak generický povrch pretína čelne vyčnievajúca rovina, potom sa čelný priemet línie rezu (trojuholník) zhoduje s čelným priemetom roviny rezu ∑2. Čelné projekcie vrcholov čiary rezu (D2, F2, E2) sú definované ako výsledok priesečníka každej hrany pyramídy s rovinou rezu. Premietnutím bodov, ktoré definujú čiaru rezu na vodorovnú rovinu priemetov na priemety zodpovedajúcich hrán, získame vodorovný priemet požadovanej čiary rezu (D1, F1, E1).

Obrázok 4.4 - Priesečník pyramídy s premietacou rovinou

Ak chcete zostrojiť rez priameho hranola ABCD generickou rovinou Q(a||b), musíte zostrojiť strany požadovaného mnohouholníka

KLMN ako výsledok priesečníka plôch mnohostenu s rovinou Q(a||b) (obrázok 4.5). Za týmto účelom nakreslíme pomocnú reznú rovinu Θ cez priemet čela B1 C1. Táto rovina bude pretínať danú rovinu Q(a||b) pozdĺž priamky prechádzajúcej bodmi 11 , 21 . Zostrojíme priemet priamky rezu dvoch rovín do čelnej roviny priemetov (12, 22) a nájdeme priesečníky tohto segmentu s hranami B a C - L a M. Podobne zostrojíme priesečnicu tvár AD ​​s rovinou Q - segment KN. V čelnej rovine projekcií spájame priemety segmentov polygónu K2 L2 M2 N2, berúc do úvahy viditeľnosť plôch

– segmentová projekcia je viditeľná, ak je tvár viditeľná v danej projekcii, nie je viditeľná – ak projekcia tváre nie je viditeľná. Okrem toho je potrebné zabezpečiť vzájomnú viditeľnosť hrán hranola a roviny rezu.

Obrázok 4.5 - Priesečník vyčnievajúceho hranola rovinou všeobecnej polohy

Zvážte konštrukciu rezu pyramídy vo všeobecnej polohe rovinou vo všeobecnej polohe (obrázok 4.6).

Obrázok 4.6 - Priesečník pyramídy rovinou vo všeobecnej polohe

Na zostrojenie priesečníka definujeme vrcholy rezu ako výsledok priesečníka každej hrany pyramídy s rovinou všeobecnej polohy ∑(a||b). Na nájdenie priesečníka hrany SA s rovinou ∑(a||b) je potrebné uzavrieť hranu do sečnice Q a nájsť priesečník dvoch rovín Q a ∑ - úsečka 12 22;1121. Vrchol K je skonštruovaný ako výsledok priesečníkov zodpovedajúcich priemetov priemetov hrany SA a segmentu 1,2. Vrcholy L a N nájdeme podľa rovnakého algoritmu ako výsledky priesečníkov hrán SB a SC s rovinou ∑(a||b).

Definičné úlohy priesečníky mnohostenu s priamkou riešené na základe metódy pomocných rezných rovín. V tomto prípade je jeden z priemetov danej priamky uzavretý v premietacej sečnej rovine. Nájdite priesečník pomocného prvku

rovina rezu s mnohostenom. Priemety priesečníkov priamky s mnohostenom sa zistia ako výsledok priesečníka zostrojeného rezu a ďalšieho priemetu danej priamky a následného určenia ich polohy v oboch premietacích rovinách. Nájdite priesečníky pyramídy s priamkou vo všeobecnej polohe (obrázok 4.7).

Obrázok 4.7 - Priesečník priamky s pyramídou

Skončime napríklad nárysný priemet danej priamky l 2 do čelne priemetnej roviny Q2 a zostrojme rez pyramídou touto rovinou. Priesečníky pyramídy s priamkou l zostrojíme ako výsledok priesečníka trojuholníka rezu najskôr s vodorovným priemetom priamky l 1 - K1 a L1 a potom získame ich nárysné priemety (K2, L2).

Určme vzájomnú viditeľnosť priamky l (l 1 ,l 2 ) s pyramídou SABC. Úlohy určovania priesečníkov mnohostenov s čiarami sú zjednodušené, ak je jeden z prvkov v určitej polohe.

Napríklad pri určovaní priesečníkov priamky vo všeobecnej polohe s vyčnievajúcim hranolom sa problém zredukuje na určenie priesečníkov priamky s degenerovanými priemetmi stien hranola (obrázok 4.8).

Obrázok 4.8 - Priesečník priamky s priamym hranolom

Pri hľadaní priesečníkov pyramídy s priemetom sa na degenerovanom priemete priamky určia vodorovné priemety priesečníkov (K1, N1) a následne sa zoradia ich čelné priemety (K2, N2) a je stanovená ich vzájomná viditeľnosť (obrázok 4.9).

Obrázok 4.9 - Priesečník pyramídy s premietacou čiarou

4.3 Konštrukcia vývoja mnohostenov

Ak majú povrchy vlastnosti ohybnosti a nerozťažnosti, potom je možné niektoré z nich kombinovať s rovinou bez vytvárania záhybov a zlomov, t.j. získať povrchový vývoj.

Vývoj mnohostenu je plochý obrazec získaný spojením všetkých plôch mnohostenu s jednou rovinou v určitom poradí.

Na zostavenie rozvinutia hranola alebo pyramídy je potrebné určiť skutočnú veľkosť ich hrán a základov a následne zostaviť rozvinutie plôch (obrázky 4.10 a 4.11).

Konštrukcia rozvinutia pyramídy je redukovaná na opakovanú konštrukciu prirodzenej veľkosti trojuholníkov, ktoré obmedzujú jej povrch.

Zostavme úplný vývoj trojstennej pyramídy (obrázok 4.10). Aby sme to dosiahli, určíme skutočnú veľkosť každej hrany pomocou metódy pravouhlého trojuholníka. Hrana SC je predná línia úrovne, takže jej projekcia S2 C2 je prirodzená. Základňa pyramídy je vodorovná rovina, takže horizontálny priemet trojuholníka ABC je prirodzenou hodnotou.

Obrázok 4.10 - Vývoj pyramídy

Konštrukcia skenov šikmých hranolov je redukovaná na konštrukciu prirodzených hodnôt plôch mnohostenu. Tieto zostavy je možné vykonať nasledujúcimi spôsobmi:

1. Metóda normálneho rezu, pri ktorej sa šírka každej plochy určuje pomocou roviny rezu kolmej na okraje hranola;

2. Metóda valcovania, ktorá je založená na postupnej kombinácii všetkých plôch hranola s rovinou, otáčaním okolo roviny;

3. Triangulačná metóda založená na delení kosoštvorcov pomocou uhlopriečok na trojuholníky a určení prirodzených hodnôt strán trojuholníkov.

Pozrime sa podrobnejšie na zváženie podstaty metódy normálneho rezu. Polohu hranola nastavme tak, aby jeho okraje boli napríklad v polohe čiel (obrázok 4.11).

Obrázok 4.11 - Skenovanie hranola metódou normálneho rezu

Daný hranol preložíme pomocnou rovinou kolmou na hrany hranola, t.j. určiť šírku každej plochy hranola. Stanovme prirodzenú hodnotu tohto normálneho rezu a zostrojme vývoj povrchu hranola. Konštrukcia vývoja začína konštrukciou vodorovnej čiary, na ktorej sme vyčlenili segmenty, ktoré určujú šírku každej tváre pozdĺž jej normálneho rezu.

Cez body, ktoré určujú dĺžky segmentov, nakreslíme na ne kolmé čiary, na ktoré nakreslíme dĺžky segmentov rebier uzavretých medzi čiarou rezu a základňami hranola.

Rozvinutie bočného povrchu hranola sa získa po spojení koncov konštruovaných segmentov s priamkami. Na vybudovanie úplného zametania hranola je potrebné doplniť prirodzené hodnoty základov hranola.

4.4 Vzájomný prienik mnohostenov

Výsledkom priesečníka dvoch mnohostenov je priestorová mnohouholníková uzavretá čiara prebiehajúca pozdĺž bočnej plochy oboch mnohostenov.

Jeho spojnice sú definované ako výsledok priesečníka plôch jedného mnohostena s plochami druhého a vrcholy sú definované ako priesečníky hrán každého mnohostenu s plochami druhého mnohostenu. Úlohu zostrojenia priamky vzájomného priesečníka dvoch mnohostenov teda možno zredukovať na riešenie priesečníka dvoch rovín, prípadne na priesečník priamky s rovinou.

Priesečník mnohostenov sa môže rozdeliť na dve alebo viac vetiev, ktorými môžu byť uzavreté priestorové polygonálne čiary aj ploché polygóny. Priesečník môže byť v rámci spoločnej časti priemetov oboch pretínajúcich sa plôch.

Postavme priesečník hranola KLMN s pyramídou SABC.

Aby sme vytvorili priesečník, najprv nájdeme priesečníky, napríklad hrany hranola so stenami pyramídy (obrázok 4.12). Z výkresu je zrejmé, že okraje M, N, L sú mimo prekrývajúcej sa oblasti dvoch mnohostenov, preto sa nepretínajú s pyramídou. Hrana K sa nachádza v oblasti superpozície priemetov dvoch stien pyramídy CSA a CSB (určených horizontálnymi priemetmi stien C1 S1 A1 a C1 S1 B1 a hrany K1), takže určíme priesečníky hrany K s týmito plochami.

Obrázok 4.12 - Nájdenie priesečníkov hrán hranola s plochami pyramídy

Na konštrukciu použijeme pomocné priamky (S1 11 , S1 21 ), ktoré nakreslíme v plochách CSB a CSA cez priemety priesečníkov hrany K s plochami - bodmi 3 a 4 (najskôr určíme ich horizontálne výstupky 31 a 41). Zostrojme nárysné priemety bodov 3 a 4 v priesečníku priemetov hrany K2 s priemetmi pomocných čiar S2 12 , S2 22 .

Nájdeme priesečníky hrán pyramídy s plochami hranola. Tieto body začneme konštruovať z horizontálnej roviny priemetov, keďže hranol zaujíma horizontálne priemetne. Priemet hrany S1A1 pretína dve strany hranola K1L1 a L1N1 v bodoch 51 a 61. Premietnime tieto body do čelnej roviny priemetov na priemet hrany S2 B2 a zostrojme priemetne 52 a 62 .

Argumentujúc podobne, zostrojíme priemety priesečníkov hrán SA a SC s plochami hranola KL, KN a KM (7,8, 9, 10) (obrázok 4.13) .

Obrázok 4.13 - Nájdenie priesečníkov hrán pyramídy s plochami hranola

Spojte postupne priemety priesečníkov segmentmi priamych čiar, ktoré patria súčasne k stenám hranola a pyramídy. Napríklad projekcie bodov 7-5-4-9-3-7 sú postupne spojené a spájajú segmenty priesečníka dvoch mnohostenov vo vstupnej oblasti a bodov 8, 6 a 10 vo výstupnej oblasti ​dva mnohosteny.

Poslednou etapou výstavby je určenie viditeľnosti úsekov vybudovanej križovatky. Priemet priesečníka sa považuje za viditeľný, ak je segment vo viditeľných projekciách čela pyramídy a čela hranola. Ak nie je viditeľný aspoň jeden z priemetov plôch, potom nie je viditeľný priemet uvažovaného úseku priesečníka. Spojme časti priesečníkovej čiary a pohladíme kresbu, berúc do úvahy viditeľnosť plôch (obrázok 4.14).

Obrázok 4.14 - Vzájomný prienik mnohostenov

Otázky na sebaovládanie k téme 4:

1. Čo je to mnohosten?

2. Čo definuje povrch mnohostenu v zložitom výkrese?

3. Aké metódy sa používajú na zostrojenie rezu mnohostena rovinou?

4. Ako sú vytvorené vstupné a výstupné body, keď sa mnohosten pretína s priamkou?

5. Aká je podstata metódy normálneho rezu pri konštrukcii klenutia hranola?

6. Aká metóda sa používa na zostavenie pyramídového zametania?

5 KRIVKY A PLOCHY

5.1 Zakrivené čiary

Zakrivené čiary sa používajú pri navrhovaní rôznych povrchov, v teórii strojov a mechanizmov, v modelovaní a značkovaní, pri konštrukcii stavových diagramov viaczložkových systémov.

Zakrivená čiara je množina po sebe nasledujúcich polôh bodu pohybujúceho sa v priestore.

Krivkové čiary, ktorých všetky body patria do tej istej roviny, sa nazývajú ploché, napríklad priamka, kružnica, elipsa, parabola, hyperbola, sínusoida, grafy funkcií jednej premennej, grafy rovníc s dve neznáme, ďalšie zakrivené čiary - priestorové napríklad špirálové čiary.

Každá krivka obsahuje geometrické prvky, ktoré tvoria jej determinant, t.j. súbor nezávislých podmienok, ktoré jednoznačne určujú túto krivku.

Existujú nasledujúce spôsoby definovania kriviek:

1. Analytická - krivka je daná matematickou rovnicou;

2. Grafické - krivka sa nastavuje len graficky;

3. Tabuľková - krivka je určená súradnicami postupného radu jej bodov.

Akákoľvek zakrivená čiara môže byť získaná pohybom bodu v priestore, ako výsledok priesečníka zakrivených plôch rovinou a ako výsledok vzájomného priesečníka plôch, z ktorých aspoň jedna je krivka.

Body plochej zakrivenej čiary sa delia na obyčajné (dotyčný bod A) a špeciálne (inflexný bod B - v inflexnom bode zakrivenie mení znamienko - od

na jednej strane tohto bodu je krivka konvexná, na druhej strane konkávna; hrbolčeky C - hrbolčeky 1. druhu (bod F cykloidy označuje hrbolčeky 1. druhu), D - hrbolčeky 2. druhu; bod E je dvojitým bodom strofoidu, v tomto bode má krivka dve rôzne dotyčnice m1 a m2) (obrázok 5.1).

Obrázok 5.1 - Obyčajné a singulárne body krivky

Pravidelné zakrivené čiary sa delia na algebraické (kruh, parabola) a transcendentálne (sínusoida).

Pri štúdiu plochej zakrivenej čiary je často potrebné určiť jej poradie. Poradie plochej zakrivenej čiary je určené najväčším počtom bodov jej priesečníka s priamkou alebo stupňom jej rovnice. Čiara prvého rádu je priamka. Zakrivené čiary druhého rádu - elipsa (jej konkrétny tvar je kruh), parabola, hyperbola.

Kruh je uzavretá krivka, ktorej všetky body sú v rovnakej vzdialenosti od niektorého bodu O ležiaceho v tejto rovine, nazývanej stred. Kruhová rovnica: x 2 + y 2 =R 2 .

Elipsa je množina všetkých bodov v rovine, súčet vzdialeností dvoch daných bodov F1 a F2, nazývaných ohniská, je konštantná hodnota (2a). Rovnica elipsy: x 2 / a 2 + y 2 / b 2 =1.

Obrázok 5.2 - Čiary druhého rádu: kružnica a elipsa

Parabola je definovaná rovnicou y 2 = 2px . Parabola má jeden nesprávny bod, má jednu os symetrie.

Hyperbola je definovaná rovnicou x2 /a2 – y2 /b2 =1. Hyperbola má stred a dve osi symetrie a má dva nesprávne body.

Obrázok 5.3 - Čiary druhého rádu: parabola a hyperbola

Z priestorových zakrivených línií majú najväčší praktický význam valcové a kužeľové špirálové línie.

Valcová špirála - je to priamka opísaná bodom s rovnomerným pohybom po priamke s rovnomerným otáčaním okolo osi rovnobežnej s ňou.

Obrázok 5.4 - Helix

Výška, do ktorej bod A vystúpi za jednu úplnú otáčku, sa nazýva stúpanie špirály.

Čelný priemet valcovej špirálovej čiary je sínusoida, horizontálny priemet je kruh.

5.2 Vytváranie zakrivených plôch

Zakrivená plocha je súbor po sebe nasledujúcich polôh určitej priamky pohybujúcej sa v priestore podľa určitého zákona.

Povrchy je možné definovať vo výkrese nasledujúcimi spôsobmi:

1. Kinematická - povrch sa považuje za súvislý súbor polôh priamky pohybujúcej sa v priestore podľa určitého zákona.

Pohybujúca sa čiara sa nazýva tvoriaca čiara povrchu a čiara

pozdĺž ktorého sa pohybuje tvoriaca čiara sa nazýva vedenie (obrázok 5.5).

Obrázok 5.5 - Kinematický spôsob definovania plôch

2. Drôtový model - ak sa to nedá matematicky popísať, plocha je vytýčená dostatočne hustou sieťou čiar patriacich k týmto plochám. Kostra povrchu môže pozostávať z trojrozmerných kriviek alebo rodín rovinných rezov (obrázok 5.6).

Obrázok 5.6 - Vymedzenie povrchu pomocou rámu

3. Analytický - povrch je považovaný za súvislú dvojrozmernú množinu bodov. Súradnice bodov tejto množiny spĺňajú nejakú rovnicu F(x,y,z) = 0.

4. Determinant je súbor podmienok nevyhnutných a postačujúcich na jednoznačné priradenie povrchu. Povrchový kvalifikátor

pozostáva z geometrickej a algoritmickej časti D = [G] Λ [A] . Napríklad povrch rotačného valca možno definovať otáčaním priamky a okolo pevnej osi i pomocou determinantu: D = Λ [A]. Geometrická časť determinantu je reprezentovaná čelnými priemetmi osi a tvoriacej čiary. V algoritmickej časti by mal byť napísaný „povrch otáčania“ (obrázok 5.7).

Obrázok 5.7 - Definovanie povrchu pomocou determinantu

5. Obrys - hranica viditeľnej časti plochy na zodpovedajúcej premietacej rovine. Táto metóda je najnázornejšia pri riešení úloh deskriptívnej geometrie. Napríklad povrch pravého kruhového valca môže byť reprezentovaný projekciami jeho horizontálnych a čelných obrysov (obrázok 5.8).

Obrázok 5.8 - Definovanie povrchu pomocou náčrtu

Veľká rozmanitosť povrchov, rôzne spôsoby ich tvorby, zložitosť geometrických charakteristík spôsobujú ťažkosti pri pokusoch klasifikovať povrchy.

Všetky zakrivené povrchy, v závislosti od typu generátorov, sú rozdelené na riadené povrchy, v ktorých tvoriaca čiara je priamka, a bez riadkov, v ktorých je tvoriaca čiara krivka.

Samostatné riadkované povrchy, ak majú fyzikálne vlastnosti ohybnosti a nerozťažnosti, môžu byť rozšírené tak, aby sa zhodovali s rovinou bez vrások alebo zlomov. Takéto povrchy sú tzv nasaditeľné. Tie riadkované plochy, ktoré nespĺňajú stanovené požiadavky, ako aj nerovné plochy, sa nazývajú nenasaditeľné.

5.3 Plochy: rotácie, riadkované, špirálové, cyklické

5.3.1 Revolučné povrchy

Rotačná plocha je plocha opísaná tvoriacou čiarou krivky (alebo priamky), keď sa otáča okolo pevnej osi.

Každý bod generátora opisuje počas svojej rotácie kružnicu so stredom na osi. Tieto kruhy sa nazývajú rovnobežky. Paralela najväčšieho polomeru sa nazýva rovník, najmenší - hrdlo (obrázok 5.9).

Krivky získané v reze rotačného telesa rovinami prechádzajúcimi cez os sa nazývajú meridiány. Meridián rovnobežný s rovinou čelnej projekcie sa nazýva hlavný.

Obrázok 5.9 - Plocha otáčania

Plochy vytvorené rotáciou priamky zahŕňajú tieto plochy:

1. Valec rotácie - je tvorený rotáciou priamky okolo i-osi rovnobežnej s ňou.

2. Kužeľ rotácie - vytvorený rotáciou priamky okolo osi i, ktorá sa s ňou pretína.

3. Jednovrstvový rotačný hyperboloid sa získa rotáciou priamky okolo osi i, ktorá sa s ňou pretína.

Revolučný hyperboloid možno získať aj otáčaním hyperboly okolo jej imaginárnej osi.

Pomenované plochy sú tiež riadkované plochy (obrázok 5.10).

Obrázok 5.10 - Otočné plochy: valec, kužeľ, hyperboloid

Rotačné plochy tvorené rotáciou kruhu zahŕňajú:

1. Guľa - plocha vytvorená rotáciou kružnice okolo jej priemeru;

2. Torus - plocha vytvorená rotáciou kruhu okolo osi ležiacej v rovine tejto kružnice, ktorá však neprechádza jej stredom;

3. Prsteň - plocha vytvorená rotáciou kruhu okolo osi ležiacej mimo kruhu.

Torus je povrch štvrtého rádu.

Akýkoľvek povrch sa považuje za daný, ak je možné určiť polohu ktoréhokoľvek bodu na jeho povrchu. Stavať body na povrchu

gule alebo torusu, je potrebné použiť rovnobežky a poludníky týchto plôch (obrázok 5.11).

Obrázok 5.11 - Otočné plochy: guľa, torus, prstenec

Rotačné plochy tvorené rotáciou elipsy, paraboly a hyperboly sa nazývajú: rotačný elipsoid, rotačný paraboloid, jednovrstvový rotačný hyperboloid (obrázok 5.12).

Obrázok 5.12 - Rotačné plochy: elipsoid, paraboloid, hyperboloid

5.3.2 Riadkové plochy

Plocha vytvorená pohybom priamky sa nazýva riadkovaná.

Pravidelná plocha vytvorená pohybom priamočiarej tvoriacej priamky, ktorá neustále prechádza nejakým bodom S a vo všetkých prípadoch pretína nejakú vodiacu krivku, sa nazýva kužeľová.

Pravidelná plocha vytvorená pohybom tvoriacej čiary rovnobežne s určitým smerom a pretínajúca vedenie sa nazýva valcová plocha.

Riadkové plochy zahŕňajú povrch s vrcholom- vzniká pohybom priamky po určitej priestorovej krivke a tvoriaca priamka priamky zostáva v každom bode dotyčnica ku krivočiaremu vedeniu (obrázok 5.13).

Obrázok 5.13 - Linkované plochy: kužeľové, valcové, plochy so spätnou hranou

5.3.3 Špirálové plochy

Špirálový povrch je tvorený špirálovým pohybom nejakej tvoriacej priamky (obrázok 5.14).

Špirálové plochy s vytvárajúcimi priamkami sa nazývajú skrutkovice.

Helikoid sa nazýva rovný, ak tvoriaca priamka zviera pravý uhol s osou z povrchu. V iných prípadoch sa helikoid nazýva šikmý alebo šikmý.

Obrázok 5.14 - Priame a šikmé helikoidy

5.3.4 Cyklické povrchy

Povrch sa nazýva cyklický, ak je pri svojom ľubovoľnom pohybe opísaný kružnicou s konštantným alebo premenlivým polomerom.

Príkladom cyklickej plochy môže byť ľubovoľná rotačná plocha. Okrem toho zahŕňajú kanálové a rúrkové povrchy.

Povrch kanála je tvorený pohybom kruhu s premenlivým polomerom pozdĺž zakriveného vedenia.

Rúrkový povrch sa vytvorí pohybom kruhu s konštantným polomerom pozdĺž zakriveného vedenia (obrázok 5.15).

Obrázok 5.15 - Cyklické povrchy: kanálové a rúrkové

5.4 Zovšeobecnené polohové problémy

5.4.1 Priesečník zakrivených plôch rovinou

Keď zakrivený povrch pretína rovina, vo všeobecnom prípade sa získa rovinná krivka (elipsa, kruh). Pri pretínaní ryhovaných plôch s rovinou možno dosiahnuť aj priame čiary, a to v konkrétnom prípade, ak je sečná rovina nasmerovaná pozdĺž generátorov alebo prechádza cez jeden bod (valec alebo kužeľ).

Na zostrojenie priesečníka zakrivenej plochy rovinou sa používa metóda pomocných rezných rovín. Pomocná rovina sa volí tak, aby danú rovinu pretínala po priamke a plochu po graficky jednoduchej priamke (kružnici alebo priamke). Priesečníky týchto čiar budú požadované body patriace povrchu a rovine rezu.

Konštrukcia priemetov čiary rezu plochy rovinou je značne zjednodušená, ak rovina rezu zaberá vyčnievajúcu polohu

zhenie. V tomto prípade je jeden z priemetov rezu už na výkrese: zhoduje sa s priemetom roviny. Úloha sa redukuje len na skonštruovanie ďalšej projekcie tejto priamky.

Zvážte konštrukciu čiary rezu valca prečnievajúcou rovinou (obrázok 5. 16).

Obrázok 5.16 - Priesečník valca s premietacou rovinou

Valec pretína rovina Σ pozdĺž elipsy. Pretože valec zaujíma horizontálne premietaciu polohu, elipsa degeneruje do horizontálnej projekčnej roviny do kruhu, ktorý sa zhoduje s horizontálnym obrysom valca. Pretože rovina rezu ∑ zaujíma čelnú vyčnievajúcu polohu, čelný priemet elipsy degeneruje do priameho segmentu 12, 22.

Zvážte konštrukciu čiary rezu pravého kruhového valca rovinou vo všeobecnej polohe (obrázok 5.17).

Konštrukčný algoritmus:

1. Analyzujte stav problému. Pretože valec zaujíma vodorovne vyčnievajúcu polohu, horizontálny priemet elipsy rezu sa zvrhne do kruhu a predný priemet sa premietne do elipsy.

Pohľadové body A a B sú body rozdeľujúce čelný priemet elipsy rezu na viditeľné a neviditeľné časti. Projekcie A2 a B2 sú určené pomocou pomocnej sečnej roviny Q (rovinná čelná rovina) vedenej cez projekcie A1 a B1.

Blízke a vzdialené body C a D sú určené pomocou rovín rezu prednej úrovne pretiahnutých cez výčnelky C1 a D1 a pretínajúcich valec pozdĺž blízkych a vzdialených generátorov a danej roviny - pozdĺž zodpovedajúcich čel. Priemety bodov C2 a D2 sa nachádzajú v priesečníku zodpovedajúcich priemetov priamok.

Obrázok 5.17 - Priesečník valca rovinou všeobecnej polohy

Najvyššie a najnižšie body úseku K a L sú na línii sklonu vedenej cez os valca kolmú na horizontálu danej roviny. Úsečka KL určuje polohu hlavnej osi elipsy.

Vedľajšia os elipsy MN je umiestnený kolmo na hlavnú os, kolmo na ňu a prechádza osou valca.

3. Určte polohu náhodných bodov. Strávte pomocné sečné roviny prednej úrovne a určte polohu projekcií náhodných bodov na horizontálnej a čelnej rovine projekcií.

4. Nastavte viditeľnosť elipsy v rovine čelnej projekcie. Nastavte v projekciách vzájomnú viditeľnosť valca a roviny rezu.

AT ako výsledok priesečníka pravého kruhového kužeľa rovinami možno získať čiary, ktorých charakter možno predvídať v závislosti od umiestnenia kužeľa a sečnej roviny. Tieto čiary môžu byť: kružnica, elipsa, parabola, hyperbola a ak rovina rezu prechádza vrcholom kužeľa, dvojica priamych čiar (obrázok 5.18).

Zostrojme rezovú čiaru pravého kruhového kužeľa premietacou rovinou (obrázok 5.19).

Konštrukčný algoritmus:

1. Analyzujte stav problému.

Rovina rezu je v čelnej priemete, preto čelný priemet elipsy rezu degeneruje v čelnom priemete do priamky AB.

2. Určte polohu referenčných bodov: horný a dolný bod rezu A a B určujú polohu hlavnej osi elipsy. Poloha blízkych a vzdialených bodov (C a D) je určená na vedľajšej osi elipsy, ktorá je kolmá na hlavnú os a nachádza sa v strede segmentu AB.

3. Určte polohu náhodných bodov: K,L a M,N. Na ich konštrukciu sa používajú pomocné rezné roviny nivelety, ktoré

raž pretína povrch kužeľa pozdĺž kruhov zodpovedajúcich polomerov a rovinu - pozdĺž čelne vyčnievajúcich priamych čiar.

Obrázok 5. 18 - Kužeľové rezy (kužele)

Obrázok 5.19 - Priesečník kužeľa s čelne vyčnievajúcou rovinou

5.4.2 Priesečník zakrivenej plochy s priamkou

Výsledkom priesečníka zakrivenej plochy s priamkou je dvojica bodov.

Dvojica priesečníkov priamky so zakriveným povrchom sa podmienečne nazýva vstupné a výstupné body. Na konštrukciu týchto bodov sa používa metóda pomocných rezných rovín.

Konštrukčný algoritmus:

1. Akýkoľvek priemet danej priamky je uzavretý v rovine rezu. (Zvyčajne sa ako pomocná rovina vyberajú premietacie roviny.)

2. Zostavte priemety čiarového rezu plochy rovinou.

3. Určte priesečníky výslednej priamky s danou priamkou

4. Určte vzájomnú viditeľnosť priamky a plochy. Zvážte rôzne prípady konštrukcie priesečníkov kriviek

rovné povrchy.

Riešenie problému sa zjednoduší, ak je jeden z prvkov (čiara alebo plocha) v určitej polohe (obrázok 5.20). V tomto prípade sa v jednom z priemetov určí poloha priemetov priesečníkov priamky so zakrivenou plochou.

Uzatvorením čelného priemetu danej priamky do premietacej sečnej roviny v reze valca získame elipsu, ktorá sa premietne do vodorovnej priemetnej roviny v tvare kružnice zhodujúcej sa s vodorovným obrysom povrchu valca. . Priesečníky vyčnievajúceho valca s priamkou sú určené na vodorovnej premietacej rovine v priesečníku vodorovného obrysu valca s priemetom priamky. Je stanovená vzájomná viditeľnosť priamky a valca.

Pri hľadaní priesečníkov priamky konkrétnej polohy s povrchom kužeľa vo všeobecnej polohe je možné použiť konštrukciu generátorov patriacich k povrchu kužeľa. Zostrojte priesečníky M a N a stanovte vzájomnú viditeľnosť priamky a kužeľa.

Obrázok 5.20 - Jednotlivé prípady priesečníka plôch s priamkami

Zvážte všeobecný prípad priesečníka zakrivenej plochy s priamkou vo všeobecnej polohe pomocou príkladu priesečníka kužeľa s priamkou (obrázok 5.21). Tento problém vyriešime dvoma spôsobmi.

V prvom prípade je čelný priemet priamky AB uzavretý v rovine prechádzajúcej vrcholom kužeľa (rovina ABS). Táto rovina pretína kužeľ pozdĺž čiar S1 a S2. Na zostrojenie týchto priamok sa nájde priamka DC priesečníka roviny ABS s rovinou podstavy kužeľa a body 1 a 2 jej priesečníka s kružnicou podstavy kužeľa. Priesečníky K a N priamky AB s povrchom kužeľa sa nachádzajú ako výsledok priesečníka priamky CD s priamkami S1 a S2. Určte vzájomnú viditeľnosť priamky a kužeľa.

V druhom prípade je priamka AB uzavretá v čelne vyčnievajúcej rovine, ktorá pretína kužeľ v elipse. Priesečníky K a N sa nachádzajú ako výsledok priesečníka zostrojenej elipsy s priamkou

AB a určte vzájomnú viditeľnosť priamky a roviny rezu.

Prvý spôsob riešenia problému je najracionálnejší.

Obrázok 5.21 - Priesečník kužeľa s priamkou vo všeobecnej polohe

Na vyriešenie problému určenia priesečníkov gule s priamkou vo všeobecnej polohe (obrázok 5.22) je racionálnejšie použiť metódu zmeny projekčných rovín. V tomto prípade je napríklad uzavretý horizontálny priemet danej priamky AB do horizontálne premietnutej roviny. V reze gule touto rovinou sa získa kruh, ktorý sa premieta do roviny P4 bez skreslenia vo forme kruhu,

a úsečka A4 B4 - vo svojej prirodzenej veľkosti. Priesečníky C a D sa určia v priesečníku kružnice a priamky v rovine P4 a potom sa určia ich priemety na roviny P1 a P2. Nastavte viditeľnosť priemetov priamky a gule v súlade s viditeľnosťou vytvorenej čiary rezu.

Obrázok 5.22 - Priesečník gule s priamkou vo všeobecnej polohe

5.4.3 Metódy konštrukcie priesečníkov zakrivených plôch

Dve zakrivené plochy sa vo všeobecnom prípade pretínajú pozdĺž priestorovej zakrivenej čiary (obrázok 5.23).

Obrázok 5.23 - Vzájomný prienik zakrivených plôch

Na jej jednotlivých bodoch je postavená priesečník dvoch zakrivených plôch. Tieto body sa určujú pomocou pomocných medziľahlých plôch. Pretínaním daných plôch s nejakou pomocnou plochou sa získajú čiary rezu, v ktorých priesečníkoch nájdu body, ktoré patria súčasne obom plochám a teda aj požadovanej čiare rezu.

Ako medziplochy sa najčastejšie vyberajú roviny alebo gule. Použitie týchto plôch je dané typom a umiestnením určených plôch.

5.4.3.1 Metóda pomocnej roviny rezu

Metóda pomocných rovín rezu sa používa vtedy, keď oba povrchy môžu byť pretínané pozdĺž graficky jednoduchých čiar (kružníc alebo priamok) určitým súborom vyčnievajúcich rovín alebo rovín (obrázok 5.24).

Obrázok 5.24 - Priesečník kužeľa a valca

Zvážte aplikáciu metódy pomocných rezných rovín úrovne na príklade problému konštrukcie priesečníka valca a kužeľa (obrázok 5.25).

Obrázok 5.25 - Metóda roviny rezu: priesečník valca a kužeľa

Konštrukciu začnime definovaním referenčných bodov (horný, dolný, pravý a ľavý bod rezu a body viditeľnosti). Pretože povrch kruhového valca je v čelnej vyčnievajúcej polohe, tieto body sú na prednom obryse povrchu - kruhu, do ktorého sa valec premieta.

Samotná čiara rezu v prednej rovine výstupkov sa bude zhodovať s predným obrysom valca a je určená oblasťou superpozície výstupkov dvoch povrchov.

Konštrukcia priemetov horných a dolných bodov rezu začne definovaním ich čelných priemetov 12 a 22 . Postavme ich na horách

dáždnikovú rovinu priemetov na priemety hlavného poludníka a nájdite vodorovné priemety bodov 11 a 21 .

Na zostrojenie vodorovných priemetov pravého a najľavejšieho bodu rezu použijeme metódu rovín rezu. Polohu pomocnej roviny volíme tak, aby súčasne pretínala obe plochy po graficky jednoduchých čiarach - po kružniciach alebo priamok. Cez čelné priemety bodov 3 a 4 bude nakreslená pomocná rovina rezu - vodorovná rovina. V tomto prípade bude plocha kruhového valca pretínaná v priamych čiarach a plocha kruhového kužeľa - v kruhu. Vodorovné priemety bodov 31 a 41 sa získajú v priesečníku vodorovných priemetov čiar rezu.

Body 3 a 4 sú zároveň hľadiská pre vodorovný priemet čiary rezu, t.j. ohraničiť túto projekciu na viditeľné a neviditeľné časti.

Všetky ostatné body patriace k čiare rezu budú pomocné a ich výber je náhodný. Počet náhodných bodov je určený presnosťou konštrukcie: čím viac ich je, tým presnejšie je riešenie.

Zastavme sa pri konštrukcii dvojice náhodných bodov 5 a 6. Za týmto účelom vyberieme dvojicu konkurenčných bodov v rovine čelného priemetu a pomocou pomocnej sečnej roviny horizontálnej úrovne určíme ich horizontálne priemety.

Spojením zostrojených priemetov bodov hladkou zakrivenou čiarou získame vodorovný priemet čiary rezu dvoch plôch. V tomto prípade v horizontálnej projekčnej rovine budeme brať do úvahy polohu bodov viditeľnosti. Úsek čiary rezu nad bodmi 3 a 4,

budú viditeľné a pod nimi - neviditeľné. Čelný priemet tejto čiary sa zhoduje s čelným obrysom valcovej plochy a keďže je symetrický, bude viditeľný.

Na vytvorenie priesečníka povrchov je teda potrebné:

1. Určte, ktoré plochy sa pretínajú a či v stave problému existuje priemet priesečnej čiary.

2. Určite polohu kotviacich bodov.

3. Vyberte polohu pomocných rovín rezu.

4. Nájdite polohu zvyšku referenčných a náhodných bodov pomocou zvolených rovín rezu.

5. Nakreslite projekcie požadovanej čiary rezu.

6. Definujte viditeľnosť.

Na vytvorenie priesečníka plôch, ktoré nemajú spoločnú rovinu symetrie, použite metódu sečných rovín (obrázok 5.26). Na určenie polohy bodov 1 a 2 nakreslíme cez os súmernosti kužeľa rovinu frontálnej úrovne Σ, ktorá pretína kužeľ - pozdĺž hlavného poludníka a guľu - pozdĺž obvodu. Stanovia sa čelné priemety bodov 12 a 22 a potom priemety 11, 21.

Poloha najvyššieho a najnižšieho bodu (3 a 4) sa určí pomocou sečnej roviny Q, ktorá prechádza stredmi kužeľa a gule a je rovinou symetrie dvoch plôch. Na určenie priemetov bodov 32, 42 a 31, 41 bola použitá metóda rotácie získaných rezov (meridiánov oboch plôch) okolo osi prechádzajúcej osou symetrie kužeľa.

Obrázok 5.26 - Priesečník kužeľa a gule - spôsob rezu rovín

Hľadiská pre vodorovnú rovinu priemetov (5.6) sa určujú pomocou roviny Θ vedenej cez rovník gule.

Poloha náhodných bodov je určená pomocou rovín rezu horizontálnej úrovne.

Hľadiská pre rovinu čelnej projekcie budú na hlavnom poludníku gule. Ak nakreslíme rovinu rezu cez hlavný poludník gule, potom v časti gule bude kruh a v časti kužeľa - hyperbola. Určme ich približnú polohu

bodov po zostrojení spoločnej línie rezu plôch.

Spojujeme priemety zostrojených bodov, berúc do úvahy viditeľnosť v zodpovedajúcich projekčných rovinách.

5.4.3.2 Metóda pomocných rezných guľôčok

Použitie metódy pomocných sečných gúľ je založené na vlastnosti vlastnej rotačným plochám. Skladá sa z dvoch

akékoľvek koaxiálne rotačné plochy sa pretínajú pozdĺž kružníc prechádzajúcich bodmi priesečníka poludníkov plôch.

V tomto prípade sú roviny kružníc rezu kolmé na os otáčania a stredy kružníc patria k tejto osi. Ak sú teda osi rotačných plôch rovnobežné s rovinou projekcií, potom sa na tejto rovine premietnu kružnice rezu do segmentov priamych čiar kolmých na priemety osí rotačných plôch a na iná rovina - vo forme kruhov.

Ako pomocnú rotačnú sečnú plochu je vhodné použiť guľovú plochu, ktorej stred by mal patriť k osi rotačnej plochy (obrázok 5.27).

Obrázok 5.27 - Vlastnosť rezných guľôčok

AT V závislosti od relatívnej polohy plôch existujú dve možné možnosti riešenia problémov pomocou metódy sečných gúľ:

1. Osy oboch plôch sú rovnobežné s rovinou premietania.

2. Pretínajúce sa plochy majú spoločnú rovinu symbolov

AT v prvom prípade sa používa metóda koncentrických sečných gúľ (obrázok 5.28), v druhom prípade excentrických sečných gúľ.

Obrázok 5.28 - Metóda koncentrických sečných gúľ: priesečník kužeľov

Zastavme sa podrobnejšie pri použití metódy koncentrických sečných gúľ na vyriešenie problému konštrukcie priesečníka dvoch kužeľov (obrázok 5.29).

Konštrukcia priesečníka začína určením polohy priemetov referenčných bodov. Výstupky bodov 12, 22 a 32, 42 sú najvyššie a najnižšie body vo vstupnej oblasti kužeľových plôch a v oblasti ich výstupu. Ich vodorovné priemety 11, 21, 31, 41 sa získajú priemetom na os symetrie v horizontálnej priemete.

Na získanie zvyšných bodov priesečníka plôch sa používa metóda sústredných sečných gúľ. Stred sečných gúľ sa volí v rovine čelnej projekcie v priesečníku osí symetrie plôch. Konštrukcia začína určením minimálneho polomeru sečnej gule - hodnoty väčšej z dvoch kolmíc, zníženej od stredu gúľ k povrchom tvoriacej čiary kužeľov.

Obrázok 5.29 - Metóda sústredného rezania guľôčok

Zostrojme body patriace priesečníku plôch ako výsledok priesečníka dvoch tetiv (priestorových kružníc, pozdĺž ktorých pomocná guľa pretína kužele).

Postavme náhodné body patriace priesečníku - body 5 a 6, pomocou sečnej gule, ktorej polomer je vybraný z rozsahu: väčší ako minimum a menší ako maximum (od stredu po priemet bodu 22) .

Pripájame projekcie čiary rezu, berúc do úvahy ich viditeľnosť v zodpovedajúcich projekciách.

Zvážte použitie metódy excentrických rovín rezu na vyriešenie problému určenia priesečníka kužeľa a gule, ktoré majú spoločnú rovinu symetrie (obrázok 5.30).

Obrázok 5.30 - Koaxiálny kužeľ a guľa

Konštrukciu priesečníka začneme určením polohy horného a dolného bodu rezu (12, 22) v priesečníku čelných náčrtov plôch a určíme ich vodorovné priemety 11 a 21 (obrázok 5.31). Zvyšné body sú určené pomocou sečných gúľ nakreslených z jedného alebo rôznych stredov ležiacich na osi symetrie kužeľa.

Obrázok 5.31 - Priesečník kužeľa a gule - cesta gúľ

Dvojice bodov 3.4 a 5.6 sa určia najskôr v čelnej rovine priemetov v priesečníku tetiv z príslušných rezov pomocnej gule daných plôch. Potom postavia svoje horizontálne projekcie. Viditeľnosť priesečníka sa určuje v horizontálnej rovine priemetov pomocou reznej roviny prechádzajúcej rovníkom gule. V rovine čelnej projekcie sa čiara rezu, ktorá je symetrická, premieta do viditeľnej hladkej krivky.

Metóda excentrických sečných gúľ sa používa pri konštrukcii priesečníka otvoreného torusu a zrezaného kužeľa (obrázok 5.32). Horné a dolné body rezu A a B sú v rovine hlavného poludníka oboch plôch, a preto sú určené ich čelnými priemetmi v priesečníku obrysov plôch. Potom sú postavené ich horizontálne projekcie A1 a B1.

Obrázok 5.32 - Metóda excentrických gúľ: priesečník torusu a kužeľa

Zvyšné body sú skonštruované pomocou sečných gúľ, ktoré pretínajú povrch prstenca pozdĺž jeho poludníkových kruhov. Na nájdenie stredov sečných gúľ sa nakreslia sečné roviny, ktoré prechádzajú stredom prstenca. Cez priesečník tejto roviny a os anuloidu sa vedie dotyčnica, až kým sa nepretne s osou kužeľa – tento bod bude stredom sečnej gule spoločnej pre anuloid aj kužeľ. Priemety bodu C2 a D2 sú určené v priesečníku tetiv (priestorových kružníc) na povrchoch torusu a kužeľa. Stanoví sa poloha generátorov a projekcie C1 a D1 sa postavia na zodpovedajúce projekcie generátorov torusu.

Hľadiská pre vodorovný priemet čiary rezu sa určia na os súmernosti zrezaného kužeľa v čelnej rovine priemetov (vykreslí sa vodorovná rovina) a určia sa vodorovné priemety priemetov (L1 a N1). . V rovine čelnej projekcie sa priamka premieta ako viditeľná krivka.

5.5 Tangenty a roviny k povrchom

Priamka ležiaca v rovnakej rovine ako krivka ju môže pretínať v dvoch alebo viacerých bodoch. Takáto čiara sa nazýva sečna. Ak sa sečnica posunie tak, že dĺžka oblúka AB medzi dvoma priesečníkmi sa priblíži k nule, potom v limitnej polohe sečnica zaujme polohu t a bude sa nazývať dotyčnica (obrázok 5.33).

Dotyčnica udáva smer pohybu pozdĺž krivky v každom dotyčnicovom bode.

Rovina dotýkajúca sa plochy má s touto plochou spoločný bod, priamku alebo plochú zakrivenú čiaru. Rovina sa môže na jednom mieste dotýkať povrchu a na inom ho pretínať. Čiara dotyku môže byť súčasne priesečníkom povrchu s rovinou.

Obrázok 5.33 - Tangenta ku krivke

Vo všeobecnosti rovina dotýkajúca sa povrchu je množina priamych čiar dotýkajúcich sa ľubovoľných kriviek, ktoré do nich patria

stlačenie povrchu a prechod cez daný bod tohto povrchu.

Na nastavenie dotykovej roviny k akémukoľvek povrchu stačí nakresliť krivky prislúchajúce k povrchu cez bod daný na povrchu a zostrojiť dotykovú čiaru ku každej z nich prechádzajúcej cez jeden bod. Tieto priamky budú definovať dotykovú rovinu. Rovina dotýkajúca sa povrchu je limitnou polohou sečnovej roviny.

Priamka prechádzajúca dotykovým bodom a kolmá na dotykovú rovinu sa v tomto bode nazýva normála povrchu. Normála povrchu v danom bode určuje smer roviny dotyčnice k povrchu v tomto bode (obrázok 5.34).

Nie je možné zostrojiť dotykovú rovinu v každom bode povrchu. V niektorých bodoch dotyková rovina nemôže byť definovaná alebo nie je jedinečná. Takéto body sa nazývajú špeciálne body plôch, napríklad body hrany návratu plochy trupu, vrchol kužeľovej plochy, body rotačnej plochy, kde poludník a os nezasahujú. pretínajú v pravom uhle atď.

Obrázok 5.34 - Dotyková rovina

Úloha konštrukcie dotyčnicových rovín prechádzajúcich daným bodom na povrchu je zredukovaná na nasledovné:

1. Akékoľvek dva sečny sú nakreslené cez bod na zakrivenom povrchu

lietadlá.

2. Nájdite čiary rezu povrchu týmito rovinami.

3. Vytvorte dotyčnice v danom bode k čiaram rezu.

Dve dotyčnice definujú požadovanú rovinu. Pri výbere rezných rovín majú tendenciu získať najjednoduchší druh rezu - priamku alebo kruh.

Uvažujme prípad zostrojenia dotyčnicovej roviny cez bod A, ktorý patrí povrchu rotačného kužeľa (obrázok 5.35).

Na vytvorenie dvoch potrebných rezov sa cez daný bod A a hornú časť kužeľa nakreslí jedna rezná rovina. Táto rovina pretína povrch kužeľa pozdĺž tvoriacej priamky, ktorá slúži ako dotyková čiara, a preto je jednou z priamok, ktoré definujú dotykovú rovinu. Druhá priamka m, dotýkajúca sa obvodu rezu kužeľa vodorovnou rovinou vedenou bodom A. Dotyčnica môže byť vedená aj k obvodu základne kužeľa.

Obrázok 5.35 - Dotyková rovina k povrchu kužeľa

5.6 Povrchové úpravy

Plošná zástavba je plochý útvar vytvorený spojením plochy s rovinou.

Z geometrických vlastností plošných prvkov, ktoré sú zachované pri rozvinutí, možno konštatovať, že povrchová línia prechádza do rozvinutej línie a že dĺžky línií, hodnoty rovinných uhlov a plochy ohraničené uzavretými líniami zostávajú nezmenené.

Nie všetky povrchy sa dajú presne vyrovnať. Preto sa plochy delia na rozvíjateľné a nevyvíjateľné. Rozvinuté plochy zahŕňajú riadkové plochy: valce, kužele a torzá, keďže susedné generátory sú rovnobežné alebo sa pretínajú, t.j. tvoria rovinu.

Na zostavenie krivky pravého kruhového valca musíte postaviť obdĺžnik so základňou 2πR, kde R je polomer základnej kružnice. Výška obdĺžnika sa rovná výške valca (obrázok 5.36).

2. Aké priamky sa získajú, keď roviny pretínajú rotačný valec?

3. Aké krivky sa získajú, keď roviny pretínajú rotačný kužeľ?

4. Aké sú krajné body krivky rezu?

5. V akých prípadoch sa odporúča použiť metódu pomocných rezných rovín alebo metódu pomocných rezných gúľ na zostrojenie priesečníka dvoch zakrivených plôch?

6 POČÍTAČOVÁ GRAFIKA

6.1 Počítačová grafika a jej miesto v počítačom podporovanom dizajne

Počítačová grafika študuje metódy a prostriedky vytvárania a spracovania obrazov pomocou softvérových a hardvérových systémov.

Počítačová grafika zahŕňa komplex rôznych softvérových nástrojov používaných na vytváranie, konverziu a zobrazovanie informácií vo vizuálnej forme na zobrazovacích zariadeniach (displeje, grafové plotre).

Medzi hardvér patrí špecializované zariadenia a zariadenia na všeobecné použitie.

Prvým sú vstupy ako napr svetelné pero, digitálne tablety a výstupné prostriedky - plotre(Obrázok 6.1).

Obrázok 6.1 - Špecializované zariadenia

Do druhého - Vstupné zariadenia- "myš" a "joystick" manipulátory, a výstupné zariadenia-bitmapové grafické displeje, tlačiarne, klávesnice(Obrázok 6.2).

Softvér je zameraný na nasledovné hlavné typy grafiky: obchodné, ilustračné, vedecké, dizajnové (pre CAD), kartografické (architektonický a pozemkový manažment CAD), výtvarné umenie a reklama.

Počítačová grafika sa vyvíjala v súlade so všeobecným vývojom výpočtovej techniky a softvéru. Spočiatku boli programy na zobrazovanie grafov vytvorené ako súčasť balíkov aplikácií ako súčasť jazykov na vysokej úrovni. Napríklad balík GRAFOR bol vytvorený ako súčasť balíkov jazykových aplikácií FORTRAN.

Obrázok 6.2 - Zariadenia na všeobecné použitie

AT ďalej ako samostatný smer softvéru vynikla tvorba grafických programov.

AT V závislosti od spôsobu tvorby obrazu sa počítačová grafika delí na:

∙ rastrová grafika;

∙ vektorová grafika;

∙ fraktálna grafika.

Prvok obrázka v rastrových editoroch je bodka. Bod môže mať niekoľko parametrov: súradnice, farba, tón, priehľadnosť. Obraz je vytvorený systematizáciou bodov. V tomto prípade existuje indikátor rozlíšenia obrazu - počet bodov na jednotku plochy obrazu. Moderné nástroje inžinierskej grafiky umožňujú vytvárať obrázky s rozlíšením 2540 dpi (bodov na palec) alebo vyšším. Každý bod vyžaduje adresovanie pre uloženie na médium. Významnou nevýhodou rastrovej grafiky je značné množstvo spracovávaných údajov, ako aj údajov potrebných na ukladanie obrázkov.

Spoločnou nevýhodou rastrových editorov je, že pri zväčšení obrázku sa body zodpovedajúcim spôsobom zväčšia, takže pri zväčšení obrázku sa stráca jeho rozlíšenie a v dôsledku toho aj presnosť; nemožnosť práce s prvkami (zväčšené obrázky) - pixelácia.

Keďže obrazovým prvkom je bod, čiara už bude vyžadovať systematizáciu bodov. Z toho môžeme konštatovať, že vytváranie dvojrozmerných a trojrozmerných objektov značne komplikuje popis obrazu, čím sa zvyšuje množstvo spracovávaných a uchovávaných údajov.

Rastrové editory zahŕňajú Paint, Adobe Photoshop atď. Sú určené na vytváranie obrázkov, ako sú umelecké kresby, ilustrácie, grafika (obrázok 6.3).

Obrázok 6.3 - Príklady použitia rastrovej grafiky

Vo vektorovej grafike je základným prvkom čiara. Čiara je matematicky opísaná ako jeden objekt, a preto je množstvo dát na zobrazenie objektu vo vektorovej grafike výrazne nižšie ako v rastrovej grafike.

Všetky uvažované grafické editory sú buď najjednoduchšie editory, napríklad Paint, alebo široká škála editorov.

Tri hlavné bloky: simulátor, výpočtový blok a expertný systém - vykonávajú všetky hlavné postupy, ktoré môžu byť potrebné počas projektových prác.

Výpočtový blok môže spustiť ľubovoľný program z aplikačného balíka, ktorý obsahuje všetky potrebné programy používané vývojármi. Vyvolanie konkrétneho programu sa uskutoční na žiadosť simulátora alebo expertný systém alebo samotný konštruktér.

Databáza

Blok tvorby úloh

Používateľ

Obrázok 6.5 - Typická schéma CAD B Blok tvorby úloh konštruktér uvádza technické

návrhový brief, ktorý špecifikuje všetky ciele, ktoré sa majú v návrhu dosiahnuť, a všetky obmedzenia, ktoré nemožno porušiť.

Jednotka na prípravu technickej dokumentácie umožňuje konštruktérovi pripraviť potrebné podklady pre posledné dve etapy tvorby nových produktov.

Špecifické systémy sa môžu od tejto typickej schémy líšiť.

Zvážte konkrétne príklady CAD a inžinierskych grafických editorov a systémov CAD / CAM / CAE

6.3 Funkcionalita modulov 2D-3D modelovania

Grafický systém AutoCAD je de facto štandardom v inžinierskych grafických systémoch. Najnovšie verzie AutoCADu sú moderné 32-bitové Windows aplikácie pre inžinierov a používateľov CAD. AutoCAD poskytuje efektívne pracovné prostredie a umožňuje tak dizajnérom sústrediť sa viac na projekty a tráviť menej času zadávaním parametrov z klávesnice.

Funkcie ako Multiple Design Environment, AutoCAD DesignCenter, podpora Intellimouse a ďalšie podporujú prirodzené, intuitívne a efektívne pracovné prostredie.

SOLIDCAM je produktom spoločnosti CADTECH Ltd. - mocný

nástroj na získanie riadiacich programov pre CNC stroje pri spracovaní dielov obsahujúcich komplex

povrchová alebo pevná geometria. SOLIDCAM poskytuje 2,5 a 3-osové frézovanie so zárukou

unavená absencia "podrezaní", otáčanie

rotačné telesá, vizualizácia procesu rezania s imitáciou úberu materiálu.

Obrázok 6.6 - Používanie programu SOLIDCAM vo výrobe

Systém bCAD bol vyvinutý pre široké spektrum aplikácií, takže jeho funkčnosť je dosť všestranná (obrázok 6.7).

Systém bCAD je navrhnutý a vyvinutý ako univerzálne dizajnérske pracovisko, ktoré umožňuje vykonávať širokú škálu prác v režime „end-to-end“ - od výkresu po trojrozmerný model alebo naopak od trojrozmerného -rozmerná reprezentácia na ploché projekcie. Zároveň je možné vyrobiť technickú dokumentáciu v súlade s požiadavkami noriem, získať realistické obrázky a pripraviť dáta pre zúčtovacie systémy.

Obrázok 6.7 - Okno systému bCAD

Rastrové obrázky pripravené v bCAD je možné napísať vo formátoch GIF, TGA, BMP, JPG, TIFF alebo PCX a použiť ich v publikačných alebo ilustračných balíkoch.

V poslednej dobe sa pri vývoji projektovej dokumentácie vo vzdelávacom procese technických univerzít široko používa systém KOMPAS-3D vyvinutý ruskou spoločnosťou ASCON.

Kresliaci a dizajnový editor KOMPAS-3D obsahuje dostatočné kresliace nástroje na vytváranie výkresov akejkoľvek zložitosti s plnou podporou ruských štandardov. Jednoduché a zrozumiteľné rozhranie tohto programu je úspešne kombinované s flexibilitou profesionálneho systému pri konštrukcii, výbere, odstraňovaní výkresových objektov, písaní podľa GOST, nastavovaní rozmerov všetkých typov, tolerancií tvaru a umiestnenia plôch, pozícií, základov atď. .

KOMPAS-3D je navrhnutý špeciálne pre operačné prostredie MS Windows a plne využíva všetky jeho vlastnosti a výhody a poskytuje užívateľovi maximálnu efektivitu a pohodlie pri práci.

Nasledujúce grafické objekty sú podporované v KOMPAS-3D.

Geometrické objekty:						priamka úsečka
	kruhový oblúk,				mnohouholník,		prerušovaná čiara,
Bezierova krivka,		NURBS krivka,		liahnutie,		ekvidistantná krivka,
makronutrient.
		lineárna veľkosť,			veľkosť uhla,		radiálna veľkosť
	diametrálna veľkosť,			výška veľkosti.
Špeciálne a technologické označenie:							viacriadkový

textový nápis, označenie základne, tolerancia tvaru a umiestnenia,

Kreslenie dizajnových objektov: technické požiadavky, hlavný nápis (pečiatka), označenie drsnosti bližšie neurčených povrchov.

Hlavné dokumenty v systéme KOMPAS-3D sú:

výkres, fragment, textový dokument, špecifikácia, zostava a detail.

Hlavnou úlohou riešenou pomocou akéhokoľvek kresliaceho systému je vytváranie a uvoľňovanie rôznej grafickej dokumentácie (obrázok 6.10).

Obrázok 6.10 - Fragment výkresu detailu v KOMPAS-3D

Najjednoduchším a najzrozumiteľnejším spôsobom konštrukcie je priame ukazovanie kurzorom na vstupné pole. Napríklad pri vytváraní segmentu sa postupne fixuje jeho počiatočný bod a potom koncový bod.

Ďalším spôsobom je zadať presné hodnoty súradníc na presun do požadovaného bodu a potom ho opraviť. Na zobrazenie a zadanie súradníc sú k dispozícii špeciálne polia X a Y, ktoré sa zobrazujú na pravej strane aktuálneho stavového riadka.

A nakoniec, Panel parametrov objektu vám umožňuje implementovať najširšie možnosti správy objektov kreslenia.

Objekty kreslenia alebo fragmentácie môžete presúvať pomocou myši alebo pomocou príkazov ponuky.

Základné metódy práce sú: presúvanie predmetov myšou; kopírovanie objektov pomocou myši; jednoduché odstránenie grafických objektov; úprava charakteristických bodov objektov; úprava parametrov objektu.

Systém KOMPAS-3D je schopný generovať trojrozmerné modely dielca za účelom prenosu geometrie do rôznych konštrukčných parametrov alebo do balíkov pre vývoj riadiacich programov pre CNC zariadenia, ako aj vytváranie konštrukčnej dokumentácie k vyvíjaným dielom (obrázok 6.11 ).

Obrázok 6.11 Príklad práce v KOMPAS-3D

Hlavnými úlohami, ktoré KOMPAS-3D rieši, je vytvorenie trojrozmerného modelu súčiastky za účelom prenosu geometrie do rôznych výpočtových balíkov alebo balíkov na vývoj riadiacich programov pre

CNC ruding, ako aj tvorba projektovej dokumentácie pre vyvíjané diely.

Všeobecne uznávaným postupom pri modelovaní tuhého telesa je postupné vykonávanie booleovských operácií (zjednotenie, odčítanie a priesečník) na pevných prvkoch (gule, hranoly, valce, kužele, ihlany atď.). Príklad takýchto operácií je znázornený na obrázku 6.12.

Obrázok 6.12 - Príklad vykonávania boolovských operácií

Booleovské operácie na pevných prvkoch: a) valec; b) kombinácia valca a hranola; c) odčítanie hranola; d) odčítanie valca.

V KOMPAS-3D sa na nastavenie tvaru trojrozmerných prvkov vykonáva také posunutie plochej figúry v priestore, ktorého stopa určuje tvar prvku (napríklad rotácia kruhového oblúka okolo osi tvorí guľu alebo torus, posunutie mnohouholníka - hranol a pod.). Vznik objemových prvkov: a) hranol, b) torus, c) kinematický prvok (obrázok 6.12).

Obrázok 6.12 - Tvorba objemových prvkov

Plochý obrazec, na základe ktorého vzniká teleso, sa nazýva skica a tvarovací pohyb skice sa nazýva operácia.

Otázky na sebaovládanie k téme 6:

1. Čo zahŕňa pojem „počítačová grafika“?

2. Čo patrí do počítačového grafického hardvéru?

3. Uveďte hlavné typy grafiky.

4. Podľa spôsobu tvorby obrazu sa počítačová grafika delí na ……….. Aký je ich rozdiel?

5. Čo je základným prvkom fraktálnej grafiky?

6. Čo je základným prvkom vektorovej grafiky?

7. Aké sú prvky typického CAD systému?

8. Vymenujte inžinierske grafické systémy, ktoré poznáte.

9. Aké operácie sa používajú na modelovanie tuhého telesa?

Bibliografia

1. Rynin N.A. Deskriptívna geometria. Ortogonálne projekcie. Petrohrad, 1918.- 334 s.

2. Gordon V.O. Kurz deskriptívnej geometrie / V.O. Gordon, M.A. Sementsov- Ogievskij. - M: "Veda", 2002. - 382 s.

3. Vinnitsky I.G. Deskriptívna geometria. Učebnica pre stredné školy. - M .: "Vyššia škola", 1975.- 280. roky, s ilustráciami.

4. Porsin Yu.A. Axonometrické snímky častí strojárskej výroby. 2. vydanie, prepracované. a dopl.-L .: "Inžinierstvo", 1976.- 232s., s il.

5. Vinogradov V.N. Deskriptívna geometria. Minsk, „Najvyšší. Škola", 1977.-308s., s chor.

6. Bubennikov A.V. Deskriptívna geometria. Učebnica pre vysoké školy. - M .:

Vyššie škola, 1985.-288s., ill.

7. Arustamov Kh.A. Zbierka úloh z deskriptívnej geometrie

/ H.A. Arustamov. - M: "Inžinierstvo", 1981. - 446. roky.

8. Inžinierska grafika: Všeobecný kurz: Učebnica / Ed. N.G. Ivantsivskaya a V.G. Burová - Ed. 2., revidované. a príd.-M.: Logos, 2004.- 232s.: ill.

9. Peklich V.A. Deskriptívna geometria / Náučné vydanie - M .: Vydavateľstvo Zväzu stavebných vysokých škôl, 2007.-272s., s ilustráciami.