Pri štúdiu algebry na strednej škole (9. ročník) je jednou z dôležitých tém náuka o číselných postupnostiach, ktoré zahŕňajú postupnosti - geometrické a aritmetické. V tomto článku sa budeme zaoberať aritmetickým postupom a príkladmi s riešeniami.

Čo je to aritmetická progresia?

Aby sme to pochopili, je potrebné uviesť definíciu uvažovaného postupu, ako aj základné vzorce, ktoré sa budú ďalej používať pri riešení problémov.

Aritmetický alebo je taká množina usporiadaných racionálnych čísel, ktorých každý člen sa od predchádzajúceho líši nejakou konštantnou hodnotou. Táto hodnota sa nazýva rozdiel. To znamená, že ak poznáte ktoréhokoľvek člena zoradeného radu čísel a rozdiel, môžete obnoviť celý aritmetický postup.

Vezmime si príklad. Ďalšia postupnosť čísel bude aritmetický postup: 4, 8, 12, 16, ..., pretože rozdiel v tomto prípade je 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ale množinu čísel 3, 5, 8, 12, 17 už nemožno pripísať uvažovanému typu progresie, pretože rozdiel pre ňu nie je konštantná hodnota (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Dôležité vzorce

Teraz uvádzame základné vzorce, ktoré budú potrebné na riešenie problémov pomocou aritmetickej progresie. Nech a n označuje n-tý člen postupnosti, kde n je celé číslo. Rozdiel je označený latinským písmenom d. Potom sú pravdivé nasledujúce výrazy:

1. Na určenie hodnoty n-tého členu je vhodný vzorec: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Na určenie súčtu prvých n členov: S n = (a n + a 1)*n/2.

Na pochopenie akýchkoľvek príkladov aritmetickej progresie s riešením v 9. ročníku si stačí zapamätať tieto dva vzorce, pretože všetky problémy daného typu sú postavené na ich použití. Tiež nezabudnite, že progresívny rozdiel je určený vzorcom: d = a n - a n-1 .

Príklad č. 1: Nájdenie neznámeho člena

Uvádzame jednoduchý príklad aritmetickej progresie a vzorcov, ktoré je potrebné použiť na riešenie.

Nech je daná postupnosť 10, 8, 6, 4, ..., treba v nej nájsť päť členov.

Už z podmienok problému vyplýva, že prvé 4 termíny sú známe. Piatu možno definovať dvoma spôsobmi:

1. Najprv vypočítame rozdiel. Máme: d = 8 - 10 = -2. Podobne by sa dali vziať akékoľvek dva ďalšie výrazy stojace vedľa seba. Napríklad d = 4 - 6 = -2. Pretože je známe, že d \u003d a n - a n-1, potom d \u003d a 5 - a 4, odkiaľ dostaneme: a 5 \u003d a 4 + d. Dosadíme známe hodnoty: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Druhá metóda tiež vyžaduje znalosť rozdielu príslušnej progresie, takže ju najprv musíte určiť, ako je uvedené vyššie (d = -2). Keď vieme, že prvý člen a 1 = 10, použijeme vzorec pre n číslo postupnosti. Máme: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Dosadením n = 5 do posledného výrazu dostaneme: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Ako vidíte, obe riešenia vedú k rovnakému výsledku. Všimnite si, že v tomto príklade je rozdiel d progresie záporný. Takéto postupnosti sa nazývajú klesajúce, pretože každý ďalší člen je menší ako predchádzajúci.

Príklad č. 2: rozdiel v postupe

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme, uvedieme príklad, ako nájsť rozdiel aritmetickej progresie.

Je známe, že v niektorých algebraických postupnostiach sa 1. člen rovná 6 a 7. člen sa rovná 18. Je potrebné nájsť rozdiel a obnoviť túto postupnosť na 7. člen.

Na určenie neznámeho členu použijeme vzorec: a n = (n - 1) * d + a 1 . Dosadíme do nej známe údaje z podmienky, teda čísla a 1 a a 7, máme: 18 \u003d 6 + 6 * d. Z tohto výrazu ľahko vypočítate rozdiel: d = (18 - 6) / 6 = 2. Prvá časť úlohy bola teda zodpovedaná.

Ak chcete obnoviť postupnosť na 7. člen, mali by ste použiť definíciu algebraickej postupnosti, to znamená a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d atď. V dôsledku toho obnovíme celú postupnosť: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 a 6 = 14 + 2 = 16 a 7 = 18.

Príklad č. 3: Progresia

Poďme si ešte viac skomplikovať stav problému. Teraz musíte odpovedať na otázku, ako nájsť aritmetickú progresiu. Môžeme uviesť nasledujúci príklad: sú dané dve čísla, napríklad 4 a 5. Je potrebné urobiť algebraický postup tak, aby sa medzi ne umiestnili ďalšie tri členy.

Pred začatím riešenia tohto problému je potrebné pochopiť, aké miesto budú dané čísla zaujímať v budúcom postupe. Keďže medzi nimi budú ešte tri výrazy, potom 1 \u003d -4 a 5 \u003d 5. Po zistení pristúpime k úlohe, ktorá je podobná predchádzajúcej. Opäť, pre n-tý člen, použijeme vzorec, dostaneme: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Od: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Rozdiel tu nie je celočíselná hodnota, ale je to racionálne číslo, takže vzorce pre algebraickú postupnosť zostávajú rovnaké.

Teraz pripočítajme nájdený rozdiel k 1 a obnovíme chýbajúce členy progresie. Získame: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u,0 ktorá sa zhodovala so stavom problému.

Príklad č. 4: Prvý člen postupu

Pokračujeme v uvádzaní príkladov aritmetickej progresie s riešením. Vo všetkých predchádzajúcich úlohách bolo známe prvé číslo algebraickej progresie. Teraz uvažujme úlohu iného typu: nech sú dané dve čísla, kde a 15 = 50 a a 43 = 37. Je potrebné zistiť, od ktorého čísla táto postupnosť začína.

Doteraz používané vzorce predpokladajú znalosť 1 a d. V stave problému nie je o týchto číslach nič známe. Vypíšme si však výrazy ku každému pojmu, o ktorom máme informácie: a 15 = a 1 + 14 * d a a 43 = a 1 + 42 * d. Dostali sme dve rovnice, v ktorých sú 2 neznáme veličiny (a 1 a d). To znamená, že problém je redukovaný na riešenie sústavy lineárnych rovníc.

Zadaný systém je najjednoduchšie vyriešiť, ak v každej rovnici vyjadríte 1 a potom porovnáte výsledné výrazy. Prvá rovnica: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druhá rovnica: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Porovnaním týchto výrazov dostaneme: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, odkiaľ je rozdiel d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (uvedené sú iba 3 desatinné miesta).

Ak poznáte d, môžete použiť ktorýkoľvek z 2 vyššie uvedených výrazov pre 1 . Napríklad prvý: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ak sú o výsledku pochybnosti, môžete si ho skontrolovať, napríklad určiť 43. člen progresie, ktorý je uvedený v podmienke. Získame: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Malá chyba je spôsobená tým, že pri výpočtoch bolo použité zaokrúhľovanie na tisíciny.

Príklad č. 5: Suma

Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov s riešeniami pre súčet aritmetickej progresie.

Nech je daný číselný postup v nasledujúcom tvare: 1, 2, 3, 4, ...,. Ako vypočítať súčet 100 z týchto čísel?

Vďaka rozvoju výpočtovej techniky je možné tento problém vyriešiť, to znamená postupne sčítať všetky čísla, čo počítač urobí hneď, ako človek stlačí kláves Enter. Problém sa však dá vyriešiť mentálne, ak si všimnete, že prezentovaný rad čísel je algebraická postupnosť a jej rozdiel je 1. Použitím vzorca pre súčet dostaneme: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Je zvláštne, že tento problém sa nazýva „gaussovský“, keďže začiatkom 18. storočia ho slávny Nemec, ešte vo veku len 10 rokov, dokázal vyriešiť v mysli za pár sekúnd. Chlapec nepoznal vzorec pre súčet algebraickej postupnosti, ale všimol si, že ak sčítate dvojice čísel na okrajoch postupnosti, vždy dostanete rovnaký výsledok, teda 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a keďže tieto súčty budú presne 50 (100 / 2), na získanie správnej odpovede stačí vynásobiť 50 číslom 101.

Príklad č. 6: súčet členov od n do m

Ďalší typický príklad súčtu aritmetickej progresie je nasledujúci: ak je daný rad čísel: 3, 7, 11, 15, ..., musíte zistiť, aký bude súčet jej členov od 8 do 14.

Problém sa rieši dvoma spôsobmi. Prvý z nich zahŕňa nájdenie neznámych výrazov od 8 do 14 a ich následné sčítanie. Keďže výrazov je málo, táto metóda nie je dostatočne prácna. Napriek tomu sa navrhuje riešiť tento problém druhou metódou, ktorá je univerzálnejšia.

Cieľom je získať vzorec pre súčet algebraickej postupnosti medzi členmi m a n, kde n > m sú celé čísla. Pre oba prípady napíšeme pre súčet dva výrazy:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Keďže n > m, je zrejmé, že súčet 2 zahŕňa aj prvý. Posledný záver znamená, že ak zoberieme rozdiel medzi týmito súčtami a pridáme k nemu člen a m (v prípade zobratia rozdielu sa odpočíta od súčtu S n), dostaneme potrebnú odpoveď na úlohu. Máme: S mn \u003d Sn - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Do tohto výrazu je potrebné dosadiť vzorce pre a n a a m. Potom dostaneme: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m/2) = a 1* (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m2 - 2) / 2.

Výsledný vzorec je trochu ťažkopádny, avšak súčet S mn závisí len od n, m, a 1 a d. V našom prípade a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Dosadením týchto čísel dostaneme: S mn = 301.

Ako vidno z vyššie uvedených riešení, všetky úlohy vychádzajú zo znalosti výrazu pre n-tý člen a vzorca pre súčet množiny prvých členov. Skôr ako začnete riešiť niektorý z týchto problémov, odporúča sa pozorne si prečítať podmienku, jasne pochopiť, čo chcete nájsť, a až potom pristúpiť k riešeniu.

Ďalším tipom je snažiť sa o jednoduchosť, to znamená, že ak dokážete odpovedať na otázku bez použitia zložitých matematických výpočtov, musíte to urobiť, pretože v tomto prípade je pravdepodobnosť, že urobíte chybu, menšia. Napríklad v príklade aritmetickej progresie s riešením č. 6 by sme sa mohli zastaviť pri vzorci S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, a rozdeľte všeobecnú úlohu na samostatné podúlohy (v tomto prípade najskôr nájdite výrazy a n a a m).

Ak existujú pochybnosti o dosiahnutom výsledku, odporúča sa ho skontrolovať, ako to bolo urobené v niektorých uvedených príkladoch. Ako nájsť aritmetickú progresiu, zistilo sa. Keď na to prídete, nie je to také ťažké.

Prvá úroveň

Aritmetický postup. Podrobná teória s príkladmi (2019)

Číselná postupnosť

Poďme si teda sadnúť a začať písať nejaké čísla. Napríklad:
Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete (v našom prípade ich). Bez ohľadu na to, koľko čísel napíšeme, vždy vieme povedať, ktoré z nich je prvé, ktoré druhé a tak ďalej až do posledného, ​​čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti:

Číselná postupnosť
Napríklad pre našu postupnosť:

Pridelené číslo je špecifické len pre jedno poradové číslo. Inými slovami, v poradí nie sú žiadne tri sekundové čísla. Druhé číslo (ako -té číslo) je vždy rovnaké.
Číslo s číslom sa nazýva -tý člen postupnosti.

Obvykle nazývame celú postupnosť nejaké písmeno (napríklad), a každý člen tejto postupnosti - rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .

V našom prípade:

Povedzme, že máme číselnú postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovnaký.
Napríklad:

atď.
Takáto číselná postupnosť sa nazýva aritmetická progresia.
Pojem „progresia“ zaviedol rímsky autor Boethius už v 6. storočí a v širšom zmysle bol chápaný ako nekonečná číselná postupnosť. Názov „aritmetika“ bol prenesený z teórie spojitých proporcií, ktorou sa zaoberali starí Gréci.

Ide o číselnú postupnosť, ktorej každý člen sa rovná predchádzajúcemu, pripočítaný rovnakým číslom. Toto číslo sa nazýva rozdiel aritmetickej progresie a označuje sa.

Pokúste sa určiť, ktoré postupnosti čísel sú aritmetickým postupom a ktoré nie:

a)
b)
c)
d)

Mám to? Porovnajte naše odpovede:
Je aritmetická progresia - b, c.
Nie je aritmetická progresia - a, d.

Vráťme sa k danej postupnosti () a skúsme nájsť hodnotu jej tého člena. Existovať dva spôsob, ako to nájsť.

1. Spôsob

K predchádzajúcej hodnote čísla progresie môžeme pridávať, až kým nedosiahneme tý člen progresie. Je dobré, že nemáme veľa čo zhrnúť - iba tri hodnoty:

Takže -tý člen opísanej aritmetickej progresie sa rovná.

2. Metóda

Čo keby sme potrebovali nájsť hodnotu tého člena progresie? Sčítanie by nám trvalo viac ako jednu hodinu a nie je pravda, že by sme sa pri sčítaní čísel nepomýlili.
Samozrejme, matematici prišli na spôsob, pri ktorom k predchádzajúcej hodnote nemusíte pripočítať rozdiel aritmetickej progresie. Pozrite sa pozorne na nakreslený obrázok ... Určite ste si už všimli určitý vzor, ​​a to:

Pozrime sa napríklad, čo tvorí hodnotu -tého člena tejto aritmetickej postupnosti:


Inými slovami:

Pokúste sa týmto spôsobom nezávisle nájsť hodnotu člena tejto aritmetickej progresie.

Vypočítané? Porovnajte svoje príspevky s odpoveďou:

Dávajte pozor, aby ste dostali presne to isté číslo ako v predchádzajúcej metóde, keď sme k predchádzajúcej hodnote postupne pripočítali členy aritmetickej progresie.
Pokúsme sa tento vzorec "odosobniť" - prenesieme ho do všeobecnej podoby a dostaneme:

Aritmetická progresívna rovnica.

Aritmetické progresie sa buď zvyšujú alebo znižujú.

Zvyšovanie- postupnosti, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je väčšia ako predchádzajúca.
Napríklad:

Zostupne- postupnosti, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je menšia ako predchádzajúca.
Napríklad:

Odvodený vzorec sa používa pri výpočte členov v rastúcom aj klesajúcom člene aritmetickej progresie.
Poďme si to overiť v praxi.
Dostali sme aritmetický postup pozostávajúci z nasledujúcich čísel:

Odvtedy:

Boli sme teda presvedčení, že vzorec funguje pri znižovaní aj pri zvyšovaní aritmetickej progresie.
Skúste sami nájsť -tý a -tý člen tejto aritmetickej postupnosti.

Porovnajme výsledky:

Vlastnosť aritmetického postupu

Skomplikujme si úlohu – odvodíme vlastnosť aritmetickej progresie.
Predpokladajme, že máme nasledujúcu podmienku:
- aritmetický postup, nájsť hodnotu.
Je to jednoduché, poviete si a začnete počítať podľa vzorca, ktorý už poznáte:

Dovoľte, a, potom:

Úplnú pravdu. Ukazuje sa, že najprv nájdeme, potom ho pridáme k prvému číslu a dostaneme to, čo hľadáme. Ak je progresia reprezentovaná malými hodnotami, tak na tom nie je nič zložité, ale čo ak dostaneme v podmienke čísla? Súhlasím, existuje možnosť robiť chyby vo výpočtoch.
Teraz sa zamyslite, je možné vyriešiť tento problém v jednom kroku pomocou akéhokoľvek vzorca? Samozrejme, že áno a pokúsime sa to teraz priniesť.

Označme požadovaný člen aritmetickej progresie, pretože poznáme vzorec na jeho nájdenie - je to rovnaký vzorec, ktorý sme odvodili na začiatku:
, potom:

• predchádzajúci člen postupu je:
• ďalší termín postupu je:

Zhrňme predchádzajúcich a nasledujúcich členov postupu:

Ukazuje sa, že súčet predchádzajúcich a nasledujúcich členov progresie je dvojnásobkom hodnoty člena progresie nachádzajúceho sa medzi nimi. Inými slovami, aby sme našli hodnotu progresívneho člena so známymi predchádzajúcimi a nasledujúcimi hodnotami, je potrebné ich sčítať a vydeliť.

Presne tak, máme rovnaké číslo. Opravíme materiál. Hodnotu progresie si vypočítajte sami, pretože to nie je vôbec ťažké.

Výborne! O progresii viete takmer všetko! Zostáva zistiť iba jeden vzorec, ktorý si podľa legendy ľahko odvodil jeden z najväčších matematikov všetkých čias, „kráľ matematikov“ - Karl Gauss ...

Keď mal Carl Gauss 9 rokov, učiteľ, zaneprázdnený kontrolou prác žiakov z iných tried, zadal na hodine nasledujúcu úlohu: „Vypočítajte súčet všetkých prirodzených čísel od až do (podľa iných zdrojov až po) vrátane. " Aké bolo prekvapenie učiteľa, keď jeden z jeho študentov (bol to Karl Gauss) po minúte dal správnu odpoveď na úlohu, zatiaľ čo väčšina spolužiakov odvážlivca po dlhých výpočtoch dostala nesprávny výsledok ...

Mladý Carl Gauss si všimol vzor, ​​ktorý si môžete ľahko všimnúť.
Povedzme, že máme aritmetickú postupnosť pozostávajúcu z členov -ti: Potrebujeme nájsť súčet daných členov aritmetickej postupnosti. Samozrejme, môžeme všetky hodnoty sčítať ručne, ale čo ak potrebujeme v úlohe nájsť súčet jej členov, ako to hľadal Gauss?

Znázornime postup, ktorý nám bol daný. Pozorne si prezrite zvýraznené čísla a skúste s nimi vykonávať rôzne matematické operácie.


Vyskúšali? čo si si všimol? Správne! Ich sumy sú rovnaké

Teraz odpovedzte, koľko takýchto párov bude v postupe, ktorý nám bol daný? Samozrejme, presne polovica všetkých čísel, tj.
Na základe skutočnosti, že súčet dvoch členov aritmetickej progresie je rovnaký a podobných rovnakých párov, dostaneme, že celkový súčet sa rovná:
.
Vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie teda bude:

V niektorých problémoch nepoznáme tý člen, ale poznáme progresívny rozdiel. Pokúste sa dosadiť do súčtového vzorca vzorec tého člena.
Čo si dostal?

Výborne! Teraz sa vráťme k problému, ktorý dostal Carl Gauss: vypočítajte si sami, aký je súčet čísel začínajúcich od -tého a súčet čísel začínajúcich od -tého.

koľko si dostal?
Gauss ukázal, že súčet členov sa rovná a súčet členov sa rovná. Takto ste sa rozhodli?

V skutočnosti vzorec pre súčet členov aritmetickej postupnosti dokázal staroveký grécky vedec Diophantus už v 3. storočí a počas tejto doby vtipní ľudia používali vlastnosti aritmetického postupu s mocou a hlavným.
Predstavte si napríklad Staroveký Egypt a najväčšie stavenisko tej doby – stavbu pyramídy... Obrázok ukazuje jej jednu stranu.

Kde je tu progres, hovoríš? Pozrite sa pozorne a nájdite vzor v počte pieskových blokov v každom rade steny pyramídy.


Prečo nie aritmetický postup? Spočítajte, koľko blokov je potrebných na stavbu jednej steny, ak sú blokové tehly umiestnené v základni. Dúfam, že nebudete počítať pohybom prsta po monitore, pamätáte si posledný vzorec a všetko, čo sme povedali o aritmetickom postupe?

V tomto prípade priebeh vyzerá takto:
Rozdiel aritmetického postupu.
Počet členov aritmetického postupu.
Dosadíme naše údaje do posledných vzorcov (počet blokov počítame 2 spôsobmi).

Metóda 1.

Metóda 2.

A teraz môžete počítať aj na monitore: porovnajte získané hodnoty s počtom blokov, ktoré sú v našej pyramíde. Súhlasilo to? Výborne, zvládli ste súčet členov aritmetického postupu.
Samozrejme, nemôžete postaviť pyramídu z blokov na základni, ale z? Skúste si spočítať, koľko pieskových tehál je potrebných na stavbu steny s týmto stavom.
Zvládli ste to?
Správna odpoveď je bloky:

Posilovať

Úlohy:

1. Máša sa na leto dostáva do formy. Každý deň zvyšuje počet drepov. Koľkokrát bude Masha drepovať za týždne, ak urobila drepy na prvom tréningu.
2. Aký je súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v.
3. Drevorubci ich pri ukladaní guľatiny ukladajú tak, aby každá vrchná vrstva obsahovala o jednu guľatinu menej ako predchádzajúca. Koľko guľatiny je v jednom murive, ak základom muriva sú guľatiny.

odpovede:

1. Definujme parametre aritmetickej progresie. V tomto prípade
   (týždne = dni).

   odpoveď: Za dva týždne by mala Masha raz denne drepovať.

2. Prvé nepárne číslo, posledné číslo.
   Rozdiel aritmetického postupu.
   Počet nepárnych čísel na polovicu si však overte pomocou vzorca na nájdenie -tého člena aritmetickej postupnosti:

   Čísla obsahujú nepárne čísla.
   Dostupné údaje dosadíme do vzorca:

   odpoveď: Súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v sa rovná.

3. Spomeňte si na problém o pyramídach. Pre náš prípad a , keďže každá vrchná vrstva je zmenšená o jeden log, existuje len veľa vrstiev, to jest.
   Nahraďte údaje vo vzorci:

   odpoveď: V murive sú guľatiny.

Zhrnutie

1. - číselná postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovný. Zvyšuje sa a klesá.
2. Hľadanie vzorcačlen aritmetickej postupnosti je zapísaný vzorcom - , kde je počet čísel v postupnosti.
3. Vlastnosť členov aritmetického postupu- - kde - počet čísel v postupnosti.
4. Súčet členov aritmetickej postupnosti možno nájsť dvoma spôsobmi:
   
   , kde je počet hodnôt.

ARITMETICKÝ POSTUP. STREDNÁ ÚROVEŇ

Číselná postupnosť

Sadneme si a začneme písať nejaké čísla. Napríklad:

Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete. Ale vždy sa dá povedať, ktorý z nich je prvý, ktorý druhý atď., čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti.

Číselná postupnosť je množina čísel, z ktorých každému možno priradiť jedinečné číslo.

Inými slovami, každé číslo môže byť spojené s určitým prirodzeným číslom, a to iba s jedným. A toto číslo nepriradíme žiadnemu inému číslu z tejto sady.

Číslo s číslom sa nazýva -tý člen postupnosti.

Obvykle nazývame celú postupnosť nejaké písmeno (napríklad), a každý člen tejto postupnosti - rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .

Je veľmi vhodné, ak -tý člen postupnosti môže byť daný nejakým vzorcom. Napríklad vzorec

nastaví postupnosť:

A vzorec je nasledujúca postupnosť:

Napríklad aritmetická progresia je postupnosť (prvý člen je tu rovnaký a rozdiel). Alebo (, rozdiel).

vzorec n-tého členu

Rekurentným vzorcom hovoríme taký vzorec, v ktorom na zistenie druhého výrazu potrebujete poznať predchádzajúci alebo niekoľko predchádzajúcich:

Aby sme našli napríklad tý člen progresie pomocou takéhoto vzorca, musíme vypočítať predchádzajúcich deväť. Napríklad nech. potom:

No, teraz je jasné, aký je vzorec?

V každom riadku sčítame, vynásobíme nejakým číslom. Prečo? Veľmi jednoduché: toto je číslo aktuálneho člena mínus:

Teraz oveľa pohodlnejšie, však? Kontrolujeme:

Rozhodnite sa sami:

V aritmetickom postupe nájdite vzorec pre n-tý člen a nájdite stý člen.

rozhodnutie:

Prvý člen je rovný. a aky je v tom rozdiel? A tu je čo:

(napokon sa to nazýva rozdiel, pretože sa rovná rozdielu po sebe nasledujúcich členov postupu).

Takže vzorec je:

Potom stý termín je:

Aký je súčet všetkých prirodzených čísel od do?

Podľa legendy veľký matematik Carl Gauss ako 9-ročný chlapec vypočítal túto sumu za pár minút. Všimol si, že súčet prvého a posledného čísla je rovnaký, súčet druhého a predposledného je rovnaký, súčet tretieho a 3. od konca rovnaký atď. Koľko je takýchto párov? Presne tak, presne polovičný počet všetkých čísel, tj. takze

Všeobecný vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie bude:

Príklad:
Nájdite súčet všetkých dvojciferných násobkov.

rozhodnutie:

Prvé takéto číslo je toto. Každý ďalší sa získa pridaním čísla k predchádzajúcemu. Čísla, ktoré nás zaujímajú, teda tvoria aritmetický postup s prvým členom a rozdielom.

Vzorec pre th term pre túto postupnosť je:

Koľko výrazov je v postupe, ak musia byť všetky dvojciferné?

Veľmi ľahké: .

Posledný termín postupu bude rovnaký. Potom suma:

Odpoveď: .

Teraz sa rozhodnite sami:

1. Každý deň zabehne športovec o 1 m viac ako predchádzajúci deň. Koľko kilometrov zabehne za týždne, ak prvý deň zabehol km m?
2. Cyklista najazdí každý deň viac kilometrov ako ten predchádzajúci. Prvý deň precestoval km. Koľko dní musí jazdiť, aby prešiel kilometer? Koľko kilometrov prejde v posledný deň cesty?
3. Cena chladničky v predajni sa každoročne znižuje o rovnakú sumu. Zistite, o koľko sa cena chladničky každý rok znížila, ak bola ponúknutá na predaj za ruble a o šesť rokov neskôr bola predaná za ruble.

odpovede:

1. Tu je najdôležitejšie rozpoznať aritmetickú progresiu a určiť jej parametre. V tomto prípade (týždne = dni). Musíte určiť súčet prvých podmienok tohto postupu:
   .
   odpoveď:
2. Tu je dané:, treba nájsť.
   Je zrejmé, že musíte použiť rovnaký sumárny vzorec ako v predchádzajúcom probléme:
   .
   Nahraďte hodnoty:

   Koreň evidentne nesedí, takže odpoveď.
   Vypočítajme vzdialenosť prejdenú za posledný deň pomocou vzorca pre -tý člen:
   (km).
   odpoveď:

3. Vzhľadom na to: . Nájsť: .
   Jednoduchšie to už nebude:
   (drhnúť).
   odpoveď:

ARITMETICKÝ POSTUP. STRUČNE O HLAVNOM

Toto je číselná postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovnaký.

Aritmetický postup sa zvyšuje () a klesá ().

Napríklad:

Vzorec na nájdenie n-tého člena aritmetickej postupnosti

sa zapisuje ako vzorec, kde je počet čísel v postupnosti.

Vlastnosť členov aritmetického postupu

Uľahčuje to nájsť člena progresie, ak sú známi jeho susední členovia - kde je počet čísel v progresii.

Súčet členov aritmetickej postupnosti

Súčet možno nájsť dvoma spôsobmi:

Kde je počet hodnôt.

Kde je počet hodnôt.

Napríklad postupnosť \(2\); \(5\); \(osem\); \(jedenásť\); \(14\)… je aritmetický postup, pretože každý ďalší prvok sa líši od predchádzajúceho o tri (od predchádzajúceho sa dá získať pridaním troch):

V tomto postupe je rozdiel \(d\) kladný (rovná sa \(3\)), a preto je každý ďalší člen väčší ako predchádzajúci. Takéto progresie sa nazývajú zvyšujúci sa.

\(d\) však môže byť aj záporné číslo. napríklad, v aritmetickej postupnosti \(16\); \(desať\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… rozdiel postupu \(d\) sa rovná mínus šesť.

A v tomto prípade bude každý ďalší prvok menší ako predchádzajúci. Tieto progresie sa nazývajú klesajúci.

Zápis aritmetického postupu

Postup je označený malým latinským písmenom.

Čísla, ktoré tvoria progresiu, sa nazývajú členov(alebo prvky).

Označujú sa rovnakým písmenom ako aritmetický postup, ale s číselným indexom rovným číslu prvku v poradí.

Napríklad aritmetický postup \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) pozostáva z prvkov \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) a tak ďalej.

Inými slovami, pre postup \(a_n = \vľavo\(2; 5; 8; 11; 14…\vpravo\)\)

Riešenie problémov s aritmetickým postupom

Vyššie uvedené informácie už v zásade postačujú na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickým postupom (vrátane tých, ktoré ponúka OGE).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je daný podmienkami \(b_1=7; d=4\). Nájsť \(b_5\).
rozhodnutie:

odpoveď: \(b_5=23\)

Príklad (OGE). Sú uvedené prvé tri členy aritmetickej progresie: \(62; 49; 36…\) Nájdite hodnotu prvého záporného člena tejto progresie.
rozhodnutie:

	Dostali sme prvé prvky postupnosti a vieme, že ide o aritmetický postup. To znamená, že každý prvok sa líši od susedného o rovnaké číslo. Zistite, ktorý z nich, odčítaním predchádzajúceho od nasledujúceho prvku: \(d=49-62=-13\).
	Teraz môžeme obnoviť náš postup k požadovanému (prvému negatívnemu) prvku.
	Pripravený. Môžete napísať odpoveď.

odpoveď: \(-3\)

Príklad (OGE). Je uvedených niekoľko po sebe nasledujúcich prvkov aritmetického postupu: \(...5; x; 10; 12,5...\) Nájdite hodnotu prvku označeného písmenom \(x\).
rozhodnutie:

	Aby sme našli \(x\), potrebujeme vedieť, ako veľmi sa líši nasledujúci prvok od predchádzajúceho, inými slovami, rozdiel v postupe. Nájdite to z dvoch známych susedných prvkov: \(d=12,5-10=2,5\).
	A teraz bez problémov nájdeme to, čo hľadáme: \(x=5+2,5=7,5\).
	Pripravený. Môžete napísať odpoveď.

odpoveď: \(7,5\).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je daný nasledujúcimi podmienkami: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Nájdite súčet prvých šiestich členov tejto postupnosti.
rozhodnutie:

	Musíme nájsť súčet prvých šiestich členov postupu. Ale ich význam nepoznáme, je nám daný len prvý prvok. Preto najprv vypočítame hodnoty postupne pomocou nám zadaných: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) A po vypočítaní šiestich prvkov, ktoré potrebujeme, nájdeme ich súčet.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Požadovaná suma bola nájdená.

odpoveď: \(S_6=9\).

Príklad (OGE). V aritmetickom postupe \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Nájdite rozdiel tohto postupu.
rozhodnutie:

odpoveď: \(d=7\).

Dôležité vzorce aritmetického postupu

Ako vidíte, mnohé problémy s aritmetickou progresiou možno vyriešiť jednoducho pochopením hlavnej veci - že aritmetická progresia je reťazec čísel a každý ďalší prvok v tomto reťazci sa získa pridaním rovnakého čísla k predchádzajúcemu (rozdiel progresie).

Niekedy však nastanú situácie, kedy je veľmi nepohodlné riešiť „na čelo“. Predstavte si napríklad, že v úplne prvom príklade potrebujeme nájsť nie piaty prvok \(b_5\), ale tristoosemdesiaty šiesty \(b_(386)\). Čo je to, musíme \ (385 \) krát pridať štyri? Alebo si predstavte, že v predposlednom príklade potrebujete nájsť súčet prvých sedemdesiatich troch prvkov. Počítanie je mätúce...

Preto v takýchto prípadoch neriešia „na čelo“, ale používajú špeciálne vzorce odvodené pre aritmetický postup. A hlavné sú vzorec pre n-tý člen postupnosti a vzorec pre súčet \(n\) prvých členov.

Vzorec pre \(n\)-tý člen: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kde \(a_1\) je prvý člen postupnosti;
\(n\) – číslo požadovaného prvku;
\(a_n\) je členom postupnosti s číslom \(n\).

Tento vzorec nám umožňuje rýchlo nájsť aspoň tristotý, dokonca aj miliónty prvok, pričom poznáme iba prvý prvok a rozdiel postupu.

Príklad. Aritmetický postup je daný podmienkami: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Nájdite \(b_(246)\).
rozhodnutie:

odpoveď: \(b_(246)=1850\).

Vzorec pre súčet prvých n členov je: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kde

\(a_n\) je posledný sčítaný člen;

Príklad (OGE). Aritmetický postup je daný podmienkami \(a_n=3,4n-0,6\). Nájdite súčet prvých \(25\) členov tejto postupnosti.
rozhodnutie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		Na výpočet súčtu prvých dvadsiatich piatich prvkov potrebujeme poznať hodnotu prvého a dvadsiateho piateho člena. Naša postupnosť je daná vzorcom n-tého člena v závislosti od jeho čísla (pozri podrobnosti). Vypočítajme prvý prvok nahradením \(n\) jedným.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Teraz nájdime dvadsiaty piaty člen dosadením dvadsaťpäť namiesto \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Teraz bez problémov vypočítame požadovanú sumu.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odpoveď je pripravená.

odpoveď: \(S_(25)=1090\).

Pre súčet \(n\) prvých výrazov môžete získať ďalší vzorec: stačí \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) namiesto \(a_n\) dosaďte vzorec \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dostaneme:

Vzorec pre súčet prvých n členov je: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kde

\(S_n\) – požadovaný súčet \(n\) prvých prvkov;
\(a_1\) je prvý člen, ktorý sa má sčítať;
\(d\) – progresívny rozdiel;
\(n\) - počet prvkov v súčte.

Príklad. Nájdite súčet prvých \(33\)-ex členov aritmetickej postupnosti: \(17\); \(15,5\); \(štrnásť\)…
rozhodnutie:

odpoveď: \(S_(33)=-231\).

Zložitejšie problémy aritmetického postupu

Teraz máte všetky informácie, ktoré potrebujete na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickým postupom. Dokončite tému úvahami o problémoch, v ktorých musíte nielen aplikovať vzorce, ale aj trochu premýšľať (v matematike to môže byť užitočné ☺)

Príklad (OGE). Nájdite súčet všetkých záporných členov progresie: \(-19,3\); \(-devätnásť\); \(-18,7\)…
rozhodnutie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Úloha je veľmi podobná predchádzajúcej. Začneme riešiť rovnakým spôsobom: najprv nájdeme \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Teraz by sme do vzorca pre súčet dosadili \(d\) ... a tu sa objaví malá nuansa - nevieme \(n\). Inými slovami, nevieme, koľko výrazov bude potrebné pridať. Ako to zistiť? zamyslime sa. Pridávanie prvkov zastavíme, keď sa dostaneme k prvému pozitívnemu prvku. To znamená, že musíte zistiť číslo tohto prvku. ako? Zapíšme si vzorec na výpočet ľubovoľného prvku aritmetickej postupnosti: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pre náš prípad.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Potrebujeme, aby \(a_n\) bolo väčšie ako nula. Poďme zistiť, čo sa \(n\) stane.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obe strany nerovnosti vydelíme \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Prenášame mínus jedna, pričom nezabúdame na zmenu značiek
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Výpočtový...
\(n>65 333…\)		…a ukáže sa, že prvý kladný prvok bude mať číslo \(66\). Podľa toho má posledný zápor \(n=65\). Pre každý prípad, poďme sa na to pozrieť.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Preto musíme pridať prvých \(65\) prvkov.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odpoveď je pripravená.

odpoveď: \(S_(65)=-630,5\).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je daný podmienkami: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Nájdite súčet od \(26\)-tého do \(42\) prvku vrátane.
rozhodnutie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	V tomto probléme musíte tiež nájsť súčet prvkov, ale nie od prvého, ale od \(26\)-ého. Nemáme na to vzorec. ako sa rozhodnúť? Jednoduché – ak chcete získať súčet od \(26\)-tej do \(42\)-tej, musíte najskôr nájsť súčet od \(1\)-tej do \(42\)-tej a potom od nej odčítať súčet z prvý až \ (25 \) tý (pozri obrázok).
	Pre náš postup \(a_1=-33\) a rozdiel \(d=4\) (napokon k predchádzajúcemu prvku pridáme štyri, aby sme našli ďalší). Keď to vieme, nájdeme súčet prvých \(42\)-uh prvkov.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Teraz súčet prvých \(25\)-tých prvkov.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	A nakoniec vypočítame odpoveď.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

odpoveď: \(S=1683\).

Pre aritmetický postup existuje niekoľko ďalších vzorcov, ktoré sme v tomto článku nezohľadnili kvôli ich nízkej praktickej užitočnosti. Môžete ich však ľahko nájsť.

Áno, áno: aritmetický postup nie je pre vás hračka :)

Priatelia, ak čítate tento text, potom mi vnútorný uzáver hovorí, že stále neviete, čo je to aritmetická progresia, ale naozaj to chcete vedieť (nie, takto: ÁÁÁÁÁ!). Nebudem vás preto mučiť dlhými úvodmi a hneď sa pustím do veci.

Na začiatok pár príkladov. Zvážte niekoľko sád čísel:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Čo majú všetky tieto súpravy spoločné? Na prvý pohľad nič. Ale v skutočnosti tam niečo je. menovite: každý nasledujúci prvok sa líši od predchádzajúceho o rovnaké číslo.

Veď posúďte sami. Prvá množina sú len po sebe idúce čísla, každé je viac ako predchádzajúce. V druhom prípade je rozdiel medzi susednými číslami už rovný piatim, ale tento rozdiel je stále konštantný. V treťom prípade existujú korene vo všeobecnosti. Avšak $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, kým $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, t.j. v takom prípade sa každý ďalší prvok jednoducho zvýši o $\sqrt(2)$ (a nezľaknite sa, že toto číslo je iracionálne).

Takže: všetky takéto postupnosti sa nazývajú aritmetické postupnosti. Dajme presnú definíciu:

Definícia. Postupnosť čísel, v ktorých sa každé nasledujúce líši od predchádzajúceho presne o rovnakú hodnotu, sa nazýva aritmetická postupnosť. Samotná suma, o ktorú sa čísla líšia, sa nazýva progresívny rozdiel a najčastejšie sa označuje písmenom $d$.

Zápis: $\left(((a)_(n)) \right)$ je samotný priebeh, $d$ je jeho rozdiel.

A len pár dôležitých poznámok. Po prvé, berie sa do úvahy iba progresia usporiadaný poradie čísel: môžu sa čítať striktne v poradí, v akom sú napísané - a nič iné. Čísla nemôžete preusporiadať ani vymeniť.

Po druhé, samotná postupnosť môže byť buď konečná, alebo nekonečná. Napríklad množina (1; 2; 3) je zjavne konečná aritmetická postupnosť. Ale ak napíšete niečo ako (1; 2; 3; 4; ...) - to je už nekonečný postup. Elipsa za štvorkou, ako to bolo, naznačuje, že pomerne veľa čísel ide ďalej. Napríklad nekonečne veľa. :)

Chcel by som tiež poznamenať, že pokroky sa zvyšujú a znižujú. Už sme videli pribúdajúce - rovnakú množinu (1; 2; 3; 4; ...). Tu sú príklady klesajúcej progresie:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Dobre, dobre: ​​posledný príklad sa môže zdať príliš komplikovaný. Ale zvyšok, myslím, chápeš. Preto uvádzame nové definície:

Definícia. Aritmetický postup sa nazýva:

1. zvýšenie, ak je každý ďalší prvok väčší ako predchádzajúci;
2. klesajúci, ak je naopak každý nasledujúci prvok menší ako predchádzajúci.

Okrem toho existujú takzvané "stacionárne" sekvencie - pozostávajú z rovnakého opakujúceho sa čísla. Napríklad (3; 3; 3; ...).

Zostáva len jedna otázka: ako rozlíšiť rastúcu progresiu od klesajúcej? Našťastie tu všetko závisí len od znamienka čísla $d$, t.j. rozdiely v postupe:

1. Ak $d \gt 0$, potom sa progresia zvyšuje;
2. Ak $d \lt 0$, potom progresia zjavne klesá;
3. Nakoniec je tu prípad $d=0$ — v tomto prípade je celý postup zredukovaný na stacionárnu postupnosť rovnakých čísel: (1; 1; 1; 1; ...) atď.

Skúsme vypočítať rozdiel $d$ pre tri klesajúce priebehy vyššie. Na tento účel stačí vziať ľubovoľné dva susedné prvky (napríklad prvý a druhý) a odpočítať číslo vľavo od čísla vpravo. Bude to vyzerať takto:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Ako vidíte, vo všetkých troch prípadoch sa rozdiel skutočne ukázal ako negatívny. A teraz, keď sme už viac-menej prišli na definície, je čas zistiť, ako sa popisujú progresie a aké vlastnosti majú.

Členovia progresie a opakujúceho sa vzorca

Keďže prvky našich sekvencií nie je možné zamieňať, možno ich očíslovať:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \správny\)\]

Jednotlivé prvky tohto súboru sa nazývajú členovia progresie. Označujú sa týmto spôsobom pomocou čísla: prvý člen, druhý člen atď.

Okrem toho, ako už vieme, susedné členy progresie súvisia podľa vzorca:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Šípka doprava ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Stručne povedané, aby ste našli $n$-tý člen progresie, musíte poznať $n-1$-tý člen a rozdiel $d$. Takýto vzorec sa nazýva opakujúci sa, pretože s jeho pomocou môžete nájsť ľubovoľné číslo, iba ak poznáte predchádzajúce (a v skutočnosti všetky predchádzajúce). To je veľmi nepohodlné, takže existuje zložitejší vzorec, ktorý redukuje akýkoľvek výpočet na prvý výraz a rozdiel:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

S týmto vzorcom ste sa už určite stretli. Radi to dávajú vo všetkých druhoch referenčných kníh a reshebnikov. A v každej rozumnej učebnici matematiky je jednou z prvých.

Odporúčam vám však trochu trénovať.

Úloha číslo 1. Napíšte prvé tri členy aritmetickej postupnosti $\left(((a)_(n)) \right)$, ak $((a)_(1))=8,d=-5$.

rozhodnutie. Poznáme teda prvý člen $((a)_(1))=8$ a progresívny rozdiel $d=-5$. Použime práve daný vzorec a nahraďme $n=1$, $n=2$ a $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(zarovnať)\]

Odpoveď: (8; 3; -2)

To je všetko! Všimnite si, že naša progresia klesá.

Samozrejme, $n=1$ sa nedalo nahradiť – prvý výraz už poznáme. Nahradením jednotky sme sa však uistili, že aj na prvý termín naša formula funguje. V iných prípadoch všetko padlo na banálnu aritmetiku.

Úloha číslo 2. Napíšte prvé tri členy aritmetickej postupnosti, ak jej siedmy člen je -40 a sedemnásty člen je -50.

rozhodnutie. Stav problému napíšeme obvyklými výrazmi:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \správny.\]

Označil som systém, pretože tieto požiadavky musia byť splnené súčasne. A teraz si všimnime, že ak odpočítame prvú rovnicu od druhej rovnice (máme na to právo, pretože máme systém), dostaneme toto:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(zarovnať)\]

Len tak sme našli rozdiel v postupe! Zostáva nahradiť nájdené číslo v ktorejkoľvek z rovníc systému. Napríklad v prvom:

\[\begin(matica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matica)\]

Teraz, keď poznáme prvý výraz a rozdiel, zostáva nájsť druhý a tretí výraz:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(zarovnať)\]

Pripravený! Problém je vyriešený.

Odpoveď: (-34; -35; -36)

Venujte pozornosť zvláštnej vlastnosti progresie, ktorú sme objavili: ak vezmeme $n$-tý a $m$-tý člen a odčítame ich od seba, potom dostaneme rozdiel progresie vynásobený číslom $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Jednoduchá, no veľmi užitočná vlastnosť, ktorú by ste určite mali poznať – s jej pomocou môžete výrazne urýchliť riešenie mnohých progresívnych problémov. Tu je ukážkový príklad:

Úloha číslo 3. Piaty člen aritmetického postupu je 8,4 a jeho desiaty člen je 14,4. Nájdite pätnásty termín tohto postupu.

rozhodnutie. Keďže $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ a musíme nájsť $((a)_(15))$, poznamenávame nasledovné:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(zarovnať)\]

Ale podľa podmienky $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, takže $5d=6$, odkiaľ máme:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(zarovnať)\]

Odpoveď: 20.4

To je všetko! Nepotrebovali sme skladať žiadne sústavy rovníc a počítať prvý člen a rozdiel - o všetkom sa rozhodlo v niekoľkých riadkoch.

Teraz zvážme iný typ problému - hľadanie negatívnych a pozitívnych členov progresie. Nie je žiadnym tajomstvom, že ak sa progresia zvyšuje, pričom jej prvý termín je negatívny, potom sa v ňom skôr či neskôr objavia pozitívne termíny. A naopak: podmienky klesajúcej progresie sa skôr či neskôr stanú negatívnymi.

Zároveň nie je vždy možné nájsť tento moment „na čele“, ktorý postupne triedi prvky. Často sú problémy navrhnuté tak, že bez znalosti vzorcov by výpočty zabrali niekoľko listov – jednoducho by sme zaspali, kým by sme našli odpoveď. Preto sa pokúsime tieto problémy vyriešiť rýchlejšie.

Úloha číslo 4. Koľko záporných členov v aritmetickej progresii -38,5; -35,8; …?

rozhodnutie. Takže $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, z čoho okamžite nájdeme rozdiel:

Všimnite si, že rozdiel je pozitívny, takže progresia sa zvyšuje. Prvý člen je záporný, takže v určitom bode skutočne narazíme na kladné čísla. Jedinou otázkou je, kedy sa tak stane.

Skúsme zistiť: ako dlho (t. j. do akého prirodzeného čísla $n$) sa zachováva zápornosť pojmov:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((a)_(n)) \lt 0\šípka doprava ((a)_(1))+\vľavo(n-1 \vpravo)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \vpravo. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\šípka doprava ((n)_(\max ))=15. \\ \end(zarovnať)\]

Posledný riadok potrebuje objasnenie. Takže vieme, že $n \lt 15\frac(7)(27)$. Na druhej strane nám budú vyhovovať iba celočíselné hodnoty čísla (navyše: $n\in \mathbb(N)$), takže najväčšie prípustné číslo je presne $n=15$ a v žiadnom prípade nie 16.

Úloha číslo 5. V aritmetickom postupe $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Nájdite číslo prvého kladného termínu tejto progresie.

Bol by to presne ten istý problém ako ten predchádzajúci, ale nevieme $((a)_(1))$. Ale susedné výrazy sú známe: $((a)_(5))$ a $((a)_(6))$, takže môžeme ľahko nájsť rozdiel v postupe:

Okrem toho sa pokúsme vyjadriť piaty člen z hľadiska prvého a rozdielu pomocou štandardného vzorca:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(zarovnať)\]

Teraz postupujeme analogicky s predchádzajúcim problémom. Zisťujeme, v ktorom bode v našej sekvencii sa objavia kladné čísla:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\šípka doprava ((n)_(\min ))=56. \\ \end(zarovnať)\]

Minimálne celočíselné riešenie tejto nerovnosti je číslo 56.

Upozorňujeme, že v poslednej úlohe bolo všetko zredukované na striktnú nerovnosť, takže možnosť $n=55$ nám nebude vyhovovať.

Teraz, keď sme sa naučili riešiť jednoduché problémy, prejdime k zložitejším. Najprv sa však naučíme ďalšiu veľmi užitočnú vlastnosť aritmetických postupností, ktorá nám v budúcnosti ušetrí veľa času a nerovnakých buniek. :)

Aritmetický priemer a rovnaké zarážky

Zvážte niekoľko po sebe idúcich členov rastúcej aritmetickej progresie $\left(((a)_(n)) \right)$. Skúsme ich označiť na číselnej osi:

Členovia aritmetického postupu na číselnej osi

Konkrétne som si všimol ľubovoľných členov $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a nie žiadne $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ atď. Pretože pravidlo, ktoré vám teraz poviem, funguje rovnako pre akékoľvek „segmenty“.

A pravidlo je veľmi jednoduché. Zapamätajme si rekurzívny vzorec a zapíšme si ho pre všetky označené členy:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(zarovnať)\]

Tieto rovnosti však možno prepísať inak:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(zarovnať)\]

No a čo? Ale skutočnosť, že výrazy $((a)_(n-1))$ a $((a)_(n+1)))$ ležia v rovnakej vzdialenosti od $((a)_(n)) $ . A táto vzdialenosť sa rovná $d$. To isté možno povedať o výrazoch $((a)_(n-2))$ a $((a)_(n+2))$ – sú tiež odstránené z $((a)_(n) )$ o rovnakú vzdialenosť rovnajúcu sa $2d$. Môžete pokračovať donekonečna, ale obrázok dobre ilustruje význam

Členovia progresie ležia v rovnakej vzdialenosti od stredu

Čo to pre nás znamená? To znamená, že môžete nájsť $((a)_(n))$, ak sú susedné čísla známe:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Vydedukovali sme veľkolepé tvrdenie: každý člen aritmetického postupu sa rovná aritmetickému priemeru susedných členov! Okrem toho sa môžeme odchýliť od nášho $((a)_(n))$ doľava a doprava nie o jeden krok, ale o $k$ krokov – a vzorec bude stále pravdivý:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tie. môžeme ľahko nájsť nejaké $((a)_(150))$, ak poznáme $((a)_(100))$ a $((a)_(200))$, pretože $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvý pohľad sa môže zdať, že táto skutočnosť nám nedáva nič užitočné. V praxi je však veľa úloh špeciálne „vybrúsených“ na použitie aritmetického priemeru. Pozri sa:

Úloha číslo 6. Nájdite všetky hodnoty $x$ tak, že čísla $-6((x)^(2))$, $x+1$ a $14+4((x)^(2))$ sú po sebe idúce členy aritmetický postup (v určenom poradí).

rozhodnutie. Keďže tieto čísla sú členmi progresie, je pre ne splnená podmienka aritmetického priemeru: centrálny prvok $x+1$ možno vyjadriť pomocou susedných prvkov:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(zarovnať)\]

Výsledkom je klasická kvadratická rovnica. Jeho korene: $x=2$ a $x=-3$ sú odpovede.

Odpoveď: -3; 2.

Úloha číslo 7. Nájdite hodnoty $$ tak, aby čísla $-1;4-3;(()^(2))+1$ tvorili aritmetickú postupnosť (v tomto poradí).

rozhodnutie. Opäť vyjadrujeme stredný člen z hľadiska aritmetického priemeru susedných členov:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\vpravo.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(zarovnať)\]

Ďalšia kvadratická rovnica. A opäť dva korene: $x=6$ a $x=1$.

Odpoveď: 1; 6.

Ak v procese riešenia problému dostanete nejaké brutálne čísla alebo si nie ste úplne istí správnosťou nájdených odpovedí, potom existuje skvelý trik, ktorý vám umožní skontrolovať: vyriešili sme problém správne?

Povedzme, že v úlohe 6 sme dostali odpovede -3 a 2. Ako môžeme skontrolovať, či sú tieto odpovede správne? Poďme ich jednoducho zapojiť do pôvodného stavu a uvidíme, čo sa stane. Dovoľte mi pripomenúť, že máme tri čísla ($-6(()^(2))$, $+1$ a $14+4(()^(2))$), ktoré by mali tvoriť aritmetickú postupnosť. Nahradiť $x=-3$:

\[\začiatok(zarovnanie) & x=-3\šípka doprava \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Dostali sme čísla -54; -2; 50, ktoré sa líšia o 52, je nepochybne aritmetický postup. To isté sa stane pre $x=2$:

\[\začiatok(zarovnanie) & x=2\šípka doprava \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Opäť postup, ale s rozdielom 27. Úloha je teda vyriešená správne. Tí, ktorí chcú, môžu sami skontrolovať druhú úlohu, ale hneď poviem: aj tam je všetko správne.

Vo všeobecnosti sme pri riešení posledných problémov narazili na ďalšiu zaujímavú skutočnosť, ktorú je tiež potrebné pamätať:

Ak sú tri čísla také, že druhé je priemerom prvého a posledného, ​​potom tieto čísla tvoria aritmetickú postupnosť.

Pochopenie tohto tvrdenia nám v budúcnosti umožní doslova „konštruovať“ potrebné postupy na základe stavu problému. No skôr, než sa pustíme do takejto „stavby“, mali by sme venovať pozornosť ešte jednej skutočnosti, ktorá priamo vyplýva z už uvažovaného.

Zoskupovanie a súčet prvkov

Vráťme sa opäť k číselnému radu. Zaznamenávame tam niekoľko členov progresie, medzi ktorými sa možno. stojí za veľa ďalších členov:

6 prvkov vyznačených na číselnom rade

Skúsme vyjadriť „ľavý chvost“ pomocou $((a)_(n))$ a $d$ a „pravý chvost“ pomocou $((a)_(k))$ a $ d$. Je to veľmi jednoduché:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(zarovnať)\]

Teraz si všimnite, že nasledujúce sumy sú rovnaké:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Zjednodušene povedané, ak za začiatok považujeme dva prvky postupu, ktoré sa v súčte rovnajú nejakému číslu $S$, a potom začneme od týchto prvkov postupovať opačným smerom (k sebe alebo naopak, aby sme sa vzdialili), potom sumy prvkov, o ktoré narazíme, budú tiež rovnaké$ S$. Najlepšie sa to dá znázorniť graficky:

Rovnaké zarážky dávajú rovnaké súčty

Pochopenie tejto skutočnosti nám umožní riešiť problémy zásadne vyššej úrovne zložitosti ako tie, ktoré sme uvažovali vyššie. Napríklad tieto:

Úloha číslo 8. Určte rozdiel aritmetickej postupnosti, v ktorej je prvý člen 66 a súčin druhého a dvanásteho člena je najmenší možný.

rozhodnutie. Zapíšme si všetko, čo vieme:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \end(align)\]

Takže nepoznáme rozdiel v progresii $d$. V skutočnosti bude celé riešenie postavené na tomto rozdiele, pretože produkt $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ možno prepísať takto:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Pre tých v nádrži: Vybral som spoločný faktor 11 z druhej zátvorky. Požadovaný súčin je teda kvadratická funkcia vzhľadom na premennú $d$. Zvážte preto funkciu $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - jej graf bude parabola s vetvami nahor, pretože ak otvoríme zátvorky, dostaneme:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Ako vidíte, koeficient s najvyšším členom je 11 - to je kladné číslo, takže skutočne máme do činenia s parabolou s vetvami nahor:

graf kvadratickej funkcie - parabola

Poznámka: táto parabola má svoju minimálnu hodnotu vo svojom vrchole s osou $((d)_(0))$. Samozrejme, môžeme túto úsečku vypočítať podľa štandardnej schémy (existuje vzorec $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ale bolo by oveľa rozumnejšie všimnite si, že požadovaný vrchol leží na osovej symetrii paraboly, takže bod $((d)_(0))$ je rovnako vzdialený od koreňov rovnice $f\left(d \right)=0$:

\[\začiatok(zarovnanie) & f\vľavo(d\vpravo)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(zarovnať)\]

Preto som sa s otváraním zátvoriek neponáhľal: v pôvodnej podobe sa korene dali veľmi, veľmi ľahko nájsť. Preto sa úsečka rovná aritmetickému priemeru čísel -66 a -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Čo nám dáva objavené číslo? S ním požadovaný produkt nadobúda najmenšiu hodnotu (mimochodom, nepočítali sme $((y)_(\min ))$ - to sa od nás nevyžaduje). Toto číslo je zároveň rozdielom počiatočnej progresie, t.j. našli sme odpoveď. :)

Odpoveď: -36

Úloha číslo 9. Medzi čísla $-\frac(1)(2)$ a $-\frac(1)(6)$ vložte tri čísla tak, aby spolu s danými číslami tvorili aritmetickú postupnosť.

rozhodnutie. V skutočnosti musíme vytvoriť postupnosť piatich čísel, pričom prvé a posledné číslo je už známe. Chýbajúce čísla označte premennými $x$, $y$ a $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Všimnite si, že číslo $y$ je "stredom" našej postupnosti - je rovnako vzdialené od čísel $x$ a $z$ a od čísel $-\frac(1)(2)$ a $-\frac (1) (6) $. A ak z čísel $x$ a $z$ sme v tento moment nemôžeme dostať $y$, potom je situácia iná s koncami progresie. Pamätajte na aritmetický priemer:

Teraz, keď poznáme $y$, nájdeme zostávajúce čísla. Všimnite si, že $x$ leží medzi $-\frac(1)(2)$ a $y=-\frac(1)(3)$ práve nájdeným. Takže

Argumentujúc podobne, nájdeme zostávajúce číslo:

Pripravený! Našli sme všetky tri čísla. Do odpovede ich píšeme v poradí, v akom majú byť vložené medzi pôvodné čísla.

Odpoveď: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Úloha číslo 10. Medzi čísla 2 a 42 vložte niekoľko čísel, ktoré spolu s danými číslami tvoria aritmetickú postupnosť, ak je známe, že súčet prvého, druhého a posledného vloženého čísla je 56.

rozhodnutie. Ešte náročnejšia úloha, ktorá sa však rieši rovnako ako tie predchádzajúce – aritmetickým priemerom. Problém je v tom, že nevieme presne koľko čísel vložiť. Preto pre istotu predpokladáme, že po vložení bude presne $n$ čísel a prvé z nich je 2 a posledné je 42. V tomto prípade možno požadovanú aritmetickú postupnosť znázorniť ako:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \vpravo\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Všimnite si však, že čísla $((a)_(2))$ a $((a)_(n-1))$ sú získané z čísel 2 a 42 stojacich na okrajoch o krok k sebe. , t.j. do stredu sekvencie. A to znamená, že

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ale vyššie uvedený výraz môže byť prepísaný takto:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(zarovnať)\]

Keď poznáme $((a)_(3))$ a $((a)_(1))$, môžeme ľahko nájsť rozdiel v postupe:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\šípka doprava d=5. \\ \end(zarovnať)\]

Zostáva len nájsť zvyšných členov:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(zarovnať)\]

Už v 9. kroku sa teda dostaneme na ľavý koniec postupnosti - číslo 42. Celkovo bolo treba vložiť iba 7 čísel: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odpoveď: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Textové úlohy s postupmi

Na záver by som rád zvážil niekoľko relatívne jednoduchých problémov. No, jednoducho: pre väčšinu študentov, ktorí študujú matematiku v škole a nečítali, čo je napísané vyššie, môžu tieto úlohy pôsobiť ako gesto. Avšak práve s takýmito úlohami sa stretávame v OGE a POUŽÍVANÍ v matematike, preto vám odporúčam, aby ste sa s nimi oboznámili.

Úloha číslo 11. Tím v januári vyrobil 62 dielov a každý ďalší mesiac vyrobil o 14 dielov viac ako v predchádzajúcom. Koľko dielov vyrobila brigáda v novembri?

rozhodnutie. Je zrejmé, že počet dielov namaľovaných podľa mesiacov bude stúpať aritmetickým postupom. a:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November je 11. mesiac v roku, takže musíme nájsť $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

V novembri sa teda vyrobí 202 dielov.

Úloha číslo 12. Kníhviazačská dielňa zviazala v januári 216 kníh a každý mesiac zviazala o 4 knihy viac ako predchádzajúci mesiac. Koľko kníh zviazal workshop v decembri?

rozhodnutie. Všetky rovnaké:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

December je posledný, 12. mesiac v roku, takže hľadáme $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Toto je odpoveď – v decembri bude zviazaných 260 kníh.

Ak ste sa dočítali až sem, ponáhľam sa vám zablahoželať: úspešne ste dokončili „kurz mladého bojovníka“ v aritmetických postupoch. Pokojne môžeme prejsť na ďalšiu lekciu, kde si preštudujeme vzorec súčtu postupu, ako aj dôležité a veľmi užitočné dôsledky z neho.