Video kurz „Získaj A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné absolvovanie jednotnej štátnej skúšky z matematiky so 60-65 bodmi. Kompletne všetky úlohy 1-13 Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie Základnej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Ak chcete zložiť jednotnú štátnu skúšku s 90-100 bodmi, musíte časť 1 vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na Jednotnú štátnu skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a nezaobíde sa bez nich ani 100-bodový študent, ani študent humanitných vied.

Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, úskalia a tajomstvá Jednotnej štátnej skúšky. Všetky aktuálne úlohy 1. časti z FIPI Task Bank boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám Jednotnej štátnej skúšky 2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky úloh jednotnej štátnej skúšky. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh jednotnej štátnej skúšky. Stereometria. Záludné riešenia, užitočné cheat sheets, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Jasné vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklad pre riešenie zložitých problémov 2. časti jednotnej štátnej skúšky.

Tentoraz navrhujem zorganizovať niečo ako „evidence-based maratón“ na riešenie problémov, ktoré sú ponúkané deviatakom na štátnej akademickej skúške z matematiky. Sú spojené s dokazovaním jednoduchých, no zároveň veľmi užitočných geometrických faktov. Článok zámerne neposkytuje podrobné riešenia problémov, iba niektoré náčrty a tipy. Skúste túto maratónsku vzdialenosť prekonať sami, bez chýb a v jednom prístupe.

Úloha 1. Dokážte, že osy susedných uhlov sú kolmé.

Uhol α je označený jedným oblúkom, β dvoma

dôkaz: z obrázku je zrejmé, že α + α + β + β = 2α + 2β = 180 0 (priamy uhol), preto, α + β = 90 0 . Q.E.D.

Úloha 2. Dva segmenty A.C. A BD pretínajú v bode O, čo je stred každého z nich. Dokážte rovnosť trojuholníkov ACD A TAXÍK.

ABCD bude samozrejme rovnobežník, ale nie je to dané v podmienke

dôkaz: bočné trojuholníky sú rovnaké na dvoch stranách a uhol medzi nimi ( B.O. = O.D.- podľa podmienok, A.O. = O.C.— podľa podmienky, ∠ DOC = ∠AOB- vertikálne), to znamená ∠ ACD = ∠TAXÍK, a keďže ležia priečne v rovných čiarach AB, CD a sekant A.C., To AB paralelný DC. Podobne dokážeme rovnobežnosť priamok B.C. A A.D. takže, A B C D je rovnobežník podľa definície. B.C. = AD, AB = CD(v rovnobežníku sú opačné strany rovnaké), A.C.- spoločný pre trojuholníky ACD A TAXÍK, takže sú rovnaké na troch stranách. Q.E.D.

Úloha 3. Dokážte, že stred nakreslený k základni rovnoramenného trojuholníka je osou uhla oproti základni a je tiež kolmý na základňu.

Uhly tvorené stredom a základňou sa budú nazývať „spodné“, stred a strany - „horné“

dôkaz: bočné trojuholníky na obrázku sú rovnaké na troch stranách, z čoho vyplýva, že po prvé, „horné“ uhly sú rovnaké (dokázali, že osička), po druhé, „dolné“ uhly, spolu ako susedné, dávajú 180 0, a preto sa každý rovná 90 0 (dokázaná kolmosť). Q.E.D.

Úloha 4. Dokážte, že stredy nakreslené na bočné strany rovnoramenného trojuholníka sú rovnaké.

Trojuholníky tvorené stredmi, základňou a spodnými polovicami bočných strán pôvodného trojuholníka sa nazývajú „dolné“

dôkaz: uhly v základni rovnoramenného trojuholníka sú rovnaké, preto sú „dolné“ trojuholníky rovnaké na dvoch stranách a uhol medzi nimi, čo znamená rovnosť nakreslených mediánov. Q.E.D.

Úloha 5. Dokážte, že osi nakreslené z vrcholov základne rovnoramenného trojuholníka sú rovnaké.

Všetky uhly vyznačené na obrázku sú samozrejme rovnaké, aj keď sú označené rôznymi oblúkmi

dôkaz:„Spodný“ trojuholník je rovnoramenný, čo vyplýva z rovnosti uhlov na jeho základni, „bočné“ trojuholníky sú rovnaké na strane (rovnaké ako vyššie dokázané osi) a dva uhly (prvý je rovnaký podľa podmienky, druhý sú vertikálne), preto sú aj zvyšné časti osi navzájom rovnaké, čo znamená, že celé osi sú rovnaké. Q.E.D.

Úloha 6. Dokážte, že dĺžka úsečky spájajúcej stredy dvoch strán trojuholníka sa rovná polovici tretej strany.

Čisté strany budeme nazývať „základne“, prečiarknuté – „strany“

dôkaz: bočné strany malého a veľkého trojuholníka na obrázku súvisia ako 1:2, navyše majú jeden spoločný uhol, čo znamená, že sú podobné v druhom atribúte s koeficientom podobnosti 1:2, preto sú základne súvisiace ako 1: 2. Čo je potrebné dokázať .

Úloha 7. Dokážte, že uhlopriečka rovnobežníka ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky.

Rovnobežník s uhlopriečkou už asi nie je čo dodať

dôkaz: Opačné strany rovnobežníka sú rovnaké, uhlopriečka je spoločnou stranou týchto trojuholníkov, takže sú rovnaké na troch stranách. Q.E.D.

Úloha 8. Dokážte, že medián pravouhlého trojuholníka nakresleného na preponu sa rovná polovici prepony.

Inými slovami, medián je nakreslený z vrcholu pravého uhla

dôkaz: ak opíšeme kružnicu okolo daného pravouhlého trojuholníka, tak pravý uhol trojuholníka vpísaného do tejto kružnice bude opísaný polkruhom, takže prepona bude priemer tejto kružnice a polovice prepony a medián budú dané k nám v probléme budú polomery, takže sú si všetci rovní. Q.E.D.

Úloha 9. Dokážte, že dotyčnice nakreslené ku kružnici z jedného bodu sú rovnaké.

Dodatočná konštrukcia: pripojte bod C k bodu O (mentálne)

dôkaz: uhly B A A priamky (polomery kružnice nakreslenej k bodu výkyvu sú kolmé na dotyčnice), čo znamená pravouhlé trojuholníky AOC A BOC rovnaké v prepone (strana, ktorú si predstavujeme, je pre nich spoločná O.C.) a nohu (polomery kruhu O.B. = O.A.), čo znamená A.C. = C.B.. Q.E.D.

Problém 10. Dokážte, že priemer prechádzajúci stredom tetivy kruhu je naň kolmý.

Čiara spájajúca dva body na obrázku je stredom trojuholníka, ktorý budeme uvažovať

dôkaz: v rovnoramennom trojuholníku tvorenom priesečníkmi tetivy s kružnicou a stredom tejto kružnice bude zobrazeným mediánom výška, čo znamená, že priemer obsahujúci túto výšku je kolmý na tetivu. Q.E.D.

Problém 11. Dokážte, že ak majú dve kružnice spoločnú tetivu, potom priamka prechádzajúca stredom týchto kružníc je kolmá na túto tetivu.

Mentálne spojte všetky body označené na obrázku, nazvime priesečník horizontálneho a vertikálneho H

dôkaz: trojuholníky O 1 A.O. 2 a O 1 B.O. 2 sú rovnaké na troch stranách, preto ∠ HO 2 A = ∠HO 2 B, potom trojuholníky HAO 2 a HBO 2 sú rovnaké na oboch stranách a uhol medzi nimi, čo znamená ∠ AHO 2 = ∠BHO 2 a celkovo dva rovnaké uhly môžu dať 180 0 iba vtedy, ak sa každý z nich rovná 90 0. Q.E.D.

Problém 12. Dokážte, že ak je možné vpísať kruh do štvoruholníka, potom sú súčty dĺžok jeho protiľahlých strán rovnaké.

Opísaný štvoruholník. Nazvime to ABCD. Nech M, E, X a L sú dotykové body

dôkaz: Použijeme vetu o dotyčnicových segmentoch (úloha 9). VC = VR, SR = CH, DX = D.L. A AT = AK. Zhrňme si strany AB A CD: AB + CD= (A.M.+ M.B.) + (DX+ XC) = AL+ BE+ D.L.+ C.E.= (AL+ LD) + (BE+ E.C.) = AD+ B.C. Q.E.D.

Problém 13. Dokážte, že ak môže byť kruh opísaný okolo štvoruholníka, potom sú súčty jeho opačných uhlov rovnaké.

Kruhový kruh

dôkaz: Podľa vety o vpísanom uhle sa súčet protiľahlých uhlov tohto štvoruholníka rovná 180 0, pretože spolu spočívajú na úplnom kruhu, ktorého miera stupňa je 360 ​​0. Q.E.D.

Problém 14. Dokážte, že ak možno okolo lichobežníka opísať kruh, potom je lichobežník rovnoramenný.

dôkaz: súčet opačných uhlov štvoruholníka vpísaného do kruhu sa rovná α + β = 180 0 (pozri úlohu 13), súčet uhlov na bočnej strane lichobežníka sa tiež rovná α + γ = 180 0 (tieto uhly sú jednostranné s rovnobežnými základňami a sečnou stranou), porovnaním týchto vzorcov zistíme, že β = γ , to znamená, že uhly na základni takéhoto lichobežníka sú rovnaké a je skutočne rovnoramenný. Q.E.D.

Problém 15.Štvorcový A B C D bodov TO A E- stredy strán AB A AD resp. Dokáž to KD kolmý C.E..

Veta 1 . Veľkosť vpísaného uhla sa rovná polovici veľkosti stredového uhla zovretého rovnakým oblúkom.

Dôkaz . Najprv zvážime vpísaný uhol ABC, strana B.C.čo je priemer kruhu a stredový uhol AOC(obr. 5).

Keďže segmenty A.O. A B.O. sú polomery kruhu, potom trojuholníka AOB– rovnoramenný a uhol ABO rovný uhlu OAB. Pretože uhol AOC je vonkajší uhol trojuholníka AOB, potom sú rovnosti pravdivé

Teda v prípade, keď jedna zo strán vpísaného uhla prechádza stredom kružnice, je Veta 1 dokázaná.

Teraz zvážte prípad, keď stred kruhu leží vo vnútri vpísaného uhla (obr. 6).

a Veta 1 je v tomto prípade dokázaná.

Zostáva zvážiť prípad, keď stred kružnice leží mimo vpísaného uhla (obr. 7).

V tomto prípade platí rovnosť

čím sa dokončí dôkaz vety 1.

Veta 2 . Veľkosť uhla, ktorý zvierajú pretínajúce sa tetivy, sa rovná polovici súčtu veľkostí oblúkov uzavretých medzi jeho stranami.

Dôkaz . Zvážte obrázok 8.

Zaujíma nás uhol AED E akordy AB A CD. Pretože uhol AED– vonkajší uhol trojuholníka POSTEĽ a uhly CDB A ABD

Q.E.D.

Veta 3 . Veľkosť uhla vytvoreného sečnicami pretínajúcimi sa mimo kruhu sa rovná polovici rozdielu veľkostí oblúkov uzavretých medzi stranami tohto uhla.

Dôkaz . Zvážte obrázok 9.

Zaujíma nás uhol POSTEĽ, vytvorený pretínaním v bode E sekanty AB A CD. Pretože uhol ADC– vonkajší uhol trojuholníka ADE a uhly ADC , DCB A DAB sú vpísané uhly, potom sú rovnosti pravdivé

Q.E.D.

Veta 4 . Veľkosť uhla, ktorý zviera dotyčnica a tetiva prechádzajúca bodom dotyku, sa rovná polovici veľkosti oblúka uzavretého medzi jej stranami.

Dôkaz . Zvážte obrázok 10.

Zaujíma nás uhol BAC tvorené dotyčnicou AB a akord A.C.. Pretože AD je priemer prechádzajúci bodom dotyku a uhol ACD je vpísaný uhol založený na priemere, potom uhly DAB A DCA– rovný. Rovnosť je teda pravdivá

Q.E.D.

Veta 5 . Veľkosť uhla vytvoreného dotyčnicou a sečnicou sa rovná polovici rozdielu veľkostí oblúkov uzavretých medzi stranami tohto uhla.

Dôkaz . Zvážte obrázok 11.

Zaujíma nás uhol POSTEĽ tvorené dotyčnicou AB a sekant CD. Všimnite si, že uhol BDC– vonkajší uhol trojuholníka DBE a uhly BDC A BCD sú vpísané uhly. Navyše uhly DBE A DCB, na základe vety 4 sú rovnaké. Rovnosť je teda pravdivá

Inštrukcie

Ak trojuholníky ABC a DEF majú stranu AB rovnajúcu sa strane DE a uhly susediace so stranou AB sa rovnajú uhlom susediacim so stranou DE, potom sa tieto trojuholníky považujú za zhodné.

Ak majú trojuholníky ABC strany AB, BC a CD rovnaké ako ich zodpovedajúce strany trojuholníka DEF, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Poznámka

Ak potrebujete dokázať rovnosť dvoch pravouhlých trojuholníkov, môžete to urobiť pomocou nasledujúcich znakov rovnosti pravouhlých trojuholníkov:

Jedna z nôh a prepona;
- na dvoch známych stranách;
- pozdĺž jednej z nôh a ostrého uhla priľahlého k nej;
- pozdĺž prepony a jedného z ostrých uhlov.

Trojuholníky sú ostré (ak sú všetky ich uhly menšie ako 90 stupňov), tupé (ak je jeden z ich uhlov väčší ako 90 stupňov), rovnostranné a rovnoramenné (ak sú dve z ich strán rovnaké).

Užitočné rady

Okrem toho, že trojuholníky sú si navzájom rovné, rovnaké trojuholníky sú podobné. Podobné trojuholníky sú tie, ktorých uhly sú rovnaké a strany jedného trojuholníka sú úmerné stranám druhého. Stojí za zmienku, že ak sú dva trojuholníky navzájom podobné, nezaručuje to ich rovnosť. Pri vzájomnom delení podobných strán trojuholníkov sa vypočíta takzvaný koeficient podobnosti. Tento koeficient možno získať aj delením plôch podobných trojuholníkov.

Zdroje:

• dokázať rovnosť plôch trojuholníkov

Dva trojuholníky sú rovnaké, ak sa všetky prvky jedného rovnajú prvkom druhého. Na vyvodenie záveru o ich rovnosti však nie je potrebné poznať všetky veľkosti trojuholníkov. Stačí mať určité sady parametrov pre dané čísla.

Inštrukcie

Ak je známe, že dve strany jedného trojuholníka sa rovnajú druhej a uhly medzi týmito stranami sú rovnaké, potom sú príslušné trojuholníky zhodné. Aby ste to dokázali, zarovnajte vrcholy rovnakých uhlov dvoch obrazcov. Pokračujte vo vrstvení. Z výsledného bodu spoločného pre dva trojuholníky nasmerujte jednu stranu rohu prekrývajúceho sa trojuholníka pozdĺž zodpovedajúcej strany spodného obrázku. Podľa podmienok sú tieto dve strany rovnaké. To znamená, že konce segmentov sa budú zhodovať. V dôsledku toho sa ďalšia dvojica vrcholov v daných trojuholníkoch zhodovala. Smery druhých strán uhla, z ktorého to začalo, sa budú zhodovať v dôsledku rovnosti týchto uhlov. A keďže sú tieto strany rovnaké, posledný vrchol sa bude prekrývať. Medzi dvoma bodmi možno nakresliť jednu priamku. Preto sa tretie strany dvoch trojuholníkov zhodujú. Dostali ste dve úplne zhodné figúrky a osvedčený prvý znak rovnosti trojuholníkov.

Ak sa strana a dva susedné uhly v jednom trojuholníku rovnajú zodpovedajúcim uhlom v inom trojuholníku, potom sú tieto dva trojuholníky zhodné. Aby ste dokázali správnosť tohto tvrdenia, vložte na seba dve čísla a zarovnajte vrcholy rovnakých uhlov s rovnakými stranami. V dôsledku rovnosti uhlov sa smery druhej a tretej strany budú zhodovať a miesto ich priesečníka bude jednoznačne určené, to znamená, že tretí vrchol prvého z trojuholníkov sa bude nevyhnutne zhodovať s podobným bodom trojuholníka. druhý. Druhé kritérium pre rovnosť trojuholníkov sa osvedčilo.