Poučenie

Pomocou pi nájdite polomer zo známej oblasti kruhu. Táto konštanta udáva pomer medzi priemerom kruhu a dĺžkou jeho okraja (kruhu). Obvod kruhu je maximálna plocha roviny, ktorú je možné s jeho pomocou pokryť, a priemer sa rovná dvom polomerom, preto plocha s polomerom tiež navzájom koreluje s pomerom, ktorý môže vyjadrené v pí. Táto konštanta (π) je definovaná ako plocha (S) a druhý mocninový polomer (r) kruhu. Z toho vyplýva, že polomer možno vyjadriť ako druhú odmocninu podielu delenia plochy číslom Pi: ​​r=√(S/π).

Erastofen dlho viedol Alexandrijskú knižnicu, najslávnejšiu knižnicu starovekého sveta. Okrem toho, že vypočítal veľkosť našej planéty, urobil množstvo dôležitých vynálezov a objavov. Vynašiel jednoduchú metódu na určovanie prvočísel, teraz nazývanú „Erastothenovo sito“.

Nakreslil „mapu sveta“, na ktorej ukázal všetky časti sveta známe v tom čase starým Grékom. Mapa bola na svoju dobu považovaná za jednu z najlepších. Vyvinul systém zemepisnej dĺžky a šírky a kalendár, ktorý zahŕňal priestupné roky. Vynašiel armilárnu sféru, mechanické zariadenie používané prvými astronómami na demonštráciu a predpovedanie zjavného pohybu hviezd na oblohe. Zostavil aj katalóg hviezd, ktorý obsahoval 675 hviezd.

Zdroje:

• Grécky vedec Eratosthenes z Kyrény prvýkrát na svete vypočítal polomer Zeme
• Eratosthenes „Výpočet obvodu Zeme“.
• Eratosthenes

• Dĺžka priemeru - segment prechádzajúci stredom kruhu a spájajúci dva protiľahlé body kruhu alebo polomer - segment, ktorého jeden z extrémnych bodov je umiestnený v strede kruhu a druhý - na oblúku kruhu. Priemer sa teda rovná dĺžke polomeru vynásobenej dvoma.
• Hodnota čísla π. Táto hodnota je konštanta – iracionálny zlomok, ktorý nemá koniec. Nie je to však periodické. Toto číslo vyjadruje pomer obvod na jej polomer. Na výpočet plochy kruhu v úlohách školského kurzu sa používa hodnota π zadaná na najbližšiu stotinu - 3,14.

Vzorce na nájdenie oblasti kruhu, jeho segmentu alebo sektora

V závislosti od špecifík podmienok geometrickej úlohy dve vzorce na nájdenie oblasti kruhu:

Ak chcete zistiť, ako najjednoduchším spôsobom nájsť oblasť kruhu, musíte starostlivo analyzovať podmienky úlohy.

Kurz školskej geometrie zahŕňa aj úlohy na výpočet oblasti segmentov alebo sektorov, pre ktoré sa používajú špeciálne vzorce:

1. Sektor je časť kruhu ohraničená kružnicou a uhlom s vrcholom umiestneným v strede. Plocha sektora sa vypočíta podľa vzorca: S = (π*r 2 /360)*А;
   • r je polomer;
   • A je uhol v stupňoch.
   • r je polomer;
   • p je dĺžka oblúka.

Existuje aj druhá možnosť S = 0,5 * p * r;

2. Segment - je časť ohraničená úsekom kružnice (tetivy) a kružnice. Jeho oblasť možno nájsť podľa vzorca S \u003d (π * r 2 / 360) * A ± S ∆;

• r je polomer;
• A je hodnota uhla v stupňoch;
• S ∆ je plocha trojuholníka, ktorého strany sú polomery a tetiva kruhu; navyše jeden z jeho vrcholov je umiestnený v strede kruhu a ďalšie dva sú umiestnené v bodoch dotyku oblúka kruhu s tetivou. Dôležité je, že znamienko mínus sa umiestni, ak je hodnota A menšia ako 180 stupňov, a znamienko plus sa umiestni, ak je viac ako 180 stupňov.

Na zjednodušenie riešenia geometrickej úlohy je možné vypočítať kruhová oblasť online. Špeciálny program rýchlo a presne vykoná výpočet za pár sekúnd. Ako vypočítať plochu čísel online? Aby ste to dosiahli, musíte zadať známe počiatočné údaje: polomer, priemer, uhol.

Kruh je viditeľný súbor mnohých bodov, ktoré sú v rovnakej vzdialenosti od stredu. Ak chcete nájsť jeho plochu, musíte vedieť, aký je polomer, priemer, číslo π a obvod.

Množstvo zapojené do výpočtu plochy kruhu

Vzdialenosť ohraničená stredovým bodom kruhu a ktorýmkoľvek z bodov kruhu sa nazýva polomer tohto geometrického útvaru. Dĺžky všetkých polomerov jedného kruhu sú rovnaké. Úsečka medzi ľubovoľnými 2 bodmi na kruhu, ktorá prechádza stredovým bodom, sa nazýva priemer. Dĺžka priemeru sa rovná dĺžke polomeru vynásobenej 2.

Na výpočet plochy kruhu sa používa hodnota čísla π. Táto hodnota sa rovná pomeru obvodu k dĺžke priemeru kruhu a má konštantnú hodnotu. Π = 3,1415926. Obvod sa vypočíta podľa vzorca L=2πR.

Nájdite oblasť kruhu pomocou polomeru

Preto sa plocha kruhu rovná súčinu čísla π a polomeru kruhu zvýšeného na 2. mocninu. Ako príklad si vezmime dĺžku polomeru kruhu 5 cm. Potom sa plocha kruhu S bude rovnať 3,14 * 5 ^ 2 = 78,5 metrov štvorcových. cm.

Oblasť kruhu z hľadiska priemeru

Plochu kruhu je možné vypočítať aj na základe znalosti priemeru kruhu. V tomto prípade S = (π/4)*d^2, kde d je priemer kruhu. Zoberme si rovnaký príklad, kde je polomer 5 cm. Potom bude jeho priemer 5*2=10 cm. Plocha kruhu je S=3,14/4*10^2=78,5 cm2. Výsledok, ktorý sa rovná súčtu výpočtov v prvom príklade, potvrdzuje správnosť výpočtov v oboch prípadoch.

Plocha kruhu z hľadiska obvodu

Ak je polomer kruhu znázornený cez obvod, vzorec bude vyzerať takto: R=(L/2)π. Dosaďte tento výraz do vzorca pre oblasť kruhu a ako výsledok dostaneme S=(L^2)/4π. Zoberme si príklad, v ktorom je obvod 10 cm. Potom je plocha kruhu S = (10 ^ 2) / 4 * 3,14 = 7,96 metrov štvorcových. cm.

Plocha kruhu z hľadiska dĺžky strany vpísaného štvorca

Ak je štvorec vpísaný do kruhu, potom sa dĺžka priemeru kruhu rovná dĺžke uhlopriečky štvorca. Keď poznáte veľkosť strany štvorca, môžete ľahko nájsť priemer kruhu podľa vzorca: d ^ 2 \u003d 2a ^ 2. Inými slovami, priemer na mocninu 2 sa rovná strane štvorca s mocninou 2 krát 2.

Po vypočítaní hodnoty dĺžky priemeru kruhu môžete tiež zistiť jeho polomer a potom použiť jeden zo vzorcov na určenie plochy kruhu.

Sektorová oblasť kruhu

Sektor je časť kruhu ohraničená 2 polomermi a oblúkom medzi nimi. Ak chcete zistiť jeho oblasť, musíte zmerať uhol sektora. Potom je potrebné zostaviť zlomok, v čitateli ktorého bude hodnota uhla sektora a v menovateli - 360. Na výpočet plochy sektora sa použije hodnota získaný v dôsledku delenia frakcie sa musí vynásobiť plochou kruhu vypočítanou pomocou jedného z vyššie uvedených vzorcov.

Ako nájsť oblasť kruhu? Najprv nájdite polomer. Naučte sa riešiť jednoduché a zložité problémy.

Kruh je uzavretá krivka. Akýkoľvek bod na kruhovej čiare bude v rovnakej vzdialenosti od stredu. Kruh je plochá postava, takže riešenie problémov s hľadaním oblasti je jednoduché. V tomto článku sa pozrieme na to, ako nájsť oblasť kruhu vpísanú do trojuholníka, lichobežníka, štvorca a opísanú okolo týchto obrázkov.

Ak chcete nájsť oblasť daného obrázku, musíte vedieť, aký je polomer, priemer a číslo π.

Polomer R je vzdialenosť ohraničená stredom kružnice. Dĺžky všetkých R-polomerov jedného kruhu budú rovnaké.

Priemer D je čiara medzi ľubovoľnými dvoma bodmi na kružnici, ktorá prechádza stredovým bodom. Dĺžka tohto segmentu sa rovná dĺžke polomeru R krát 2.

Číslo π je konštantná hodnota, ktorá sa rovná 3,1415926. V matematike sa toto číslo zvyčajne zaokrúhľuje na 3,14.

Vzorec na nájdenie oblasti kruhu pomocou polomeru:

Príklady riešenia úloh na nájdenie oblasti S kruhu cez polomer R:

Úloha: Nájdite obsah kruhu, ak je jeho polomer 7 cm.

rozhodnutie: S = πR2, S = 3,14 x 72, S = 3,14 x 49 = 153,86 cm2.

odpoveď: Plocha kruhu je 153,86 cm².

Vzorec na nájdenie oblasti S kruhu z hľadiska priemeru D je:

Príklady riešenia úloh na nájdenie S, ak je známe D:

————————————————————————————————————————-

Úloha: Nájdite S kruhu, ak jeho D je 10 cm.

rozhodnutie: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 cm².

odpoveď: Plocha plochej okrúhlej figúrky je 78,5 cm².

Nájdenie kruhu S, ak je známy obvod:

Najprv zistite, aký je polomer. Obvod sa vypočíta podľa vzorca: L=2πR, respektíve polomer R sa bude rovnať L/2π. Teraz nájdeme oblasť kruhu pomocou vzorca cez R.

Zvážte riešenie na príklade problému:

———————————————————————————————————————-

Úloha: Nájdite oblasť kruhu, ak je známy obvod L - 12 cm.

rozhodnutie: Najprv zistíme polomer: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.

Teraz nájdeme plochu cez polomer: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 cm².

odpoveď: Plocha kruhu je 11,46 cm².

Nájdenie oblasti kruhu vpísaného do štvorca je jednoduché. Strana štvorca je priemer kruhu. Ak chcete nájsť polomer, musíte stranu vydeliť 2.

Vzorec na nájdenie oblasti kruhu vpísaného do štvorca je:

Príklady riešenia problémov pri hľadaní oblasti kruhu vpísaného do štvorca:

———————————————————————————————————————

Úloha č. 1: Známa je strana štvorcovej postavy, ktorá sa rovná 6 centimetrom. Nájdite S-oblasť vpísaného kruhu.

rozhodnutie: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 cm².

odpoveď: Plocha plochej okrúhlej figúrky je 28,26 cm².

————————————————————————————————————————

Úloha č. 2: Nájdite S kružnice vpísanej do štvorcového obrazca a jeho polomer, ak jedna strana je a=4 cm.

Rozhodnite sa takto: Najprv nájdite R=a/2=4/2=2 cm.

Teraz nájdime obsah kruhu S=3,14*2²=3,14*4=12,56 cm².

odpoveď: Plocha plochej okrúhlej figúrky je 12,56 cm².

Je trochu ťažšie nájsť oblasť okrúhlej postavy ohraničenej štvorcom. Ale ak poznáte vzorec, môžete túto hodnotu rýchlo vypočítať.

Vzorec na nájdenie S kružnice opísanej okolo štvorcového útvaru:

Príklady riešenia úloh na nájdenie oblasti kruhu opísanej v blízkosti štvorcového obrazca:

Úloha

Kruh, ktorý je vpísaný do trojuholníka, je kruh, ktorý sa dotýka všetkých troch strán trojuholníka. Kruh môže byť vpísaný do akéhokoľvek trojuholníkového obrazca, ale iba do jedného. Stred kružnice bude priesečníkom priesečníkov uhlov trojuholníka.

Vzorec na nájdenie oblasti kruhu vpísaného do rovnoramenného trojuholníka je:

Keď je známy polomer, plochu možno vypočítať pomocou vzorca: S=πR².

Vzorec na nájdenie oblasti kruhu vpísaného do pravouhlého trojuholníka je:

Príklady riešenia úloh:

Úloha č.1

Ak v tomto probléme potrebujete nájsť aj oblasť kruhu s polomerom 4 cm, môžete to urobiť pomocou vzorca: S=πR²

Úloha č. 2

rozhodnutie:

Teraz, keď poznáte polomer, môžete nájsť oblasť kruhu pomocou polomeru. Pozri vzorec vyššie.

Úloha č. 3

Oblasť kruhu opísanej okolo pravouhlého a rovnoramenného trojuholníka: vzorec, príklady riešenia problémov

Všetky vzorce na nájdenie oblasti kruhu sa scvrkli na skutočnosť, že najprv musíte nájsť jeho polomer. Keď je známy polomer, nájdenie oblasti je jednoduché, ako je opísané vyššie.

Oblasť kruhu opísanej okolo pravouhlého a rovnoramenného trojuholníka sa nachádza podľa nasledujúceho vzorca:

Príklady riešenia problémov:

Tu je ďalší príklad riešenia problému pomocou Heronovho vzorca.

Riešenie takýchto problémov je ťažké, ale dajú sa zvládnuť, ak poznáte všetky vzorce. Takéto úlohy riešia žiaci v 9. ročníku.

Oblasť kruhu vpísaná do pravouhlého a rovnoramenného lichobežníka: vzorec, príklady riešenia problémov

Rovnoramenný lichobežník má dve rovnaké strany. Obdĺžnikový lichobežník má jeden uhol rovný 90º. Zvážte, ako nájsť oblasť kruhu vpísanú do obdĺžnikového a rovnoramenného lichobežníka pomocou príkladu riešenia problémov.

Napríklad kruh je vpísaný do rovnoramenného lichobežníka, ktorý v bode dotyku rozdeľuje jednu stranu na segmenty m a n.

Na vyriešenie tohto problému musíte použiť nasledujúce vzorce:

Oblasť kruhu vpísaného do obdĺžnikového lichobežníka sa zistí pomocou nasledujúceho vzorca:

Ak je známa bočná strana, potom môžete nájsť polomer cez túto hodnotu. Výška strany lichobežníka sa rovná priemeru kruhu a polomer je polovica priemeru. V súlade s tým je polomer R=d/2.

Príklady riešenia problémov:

Lichobežník môže byť vpísaný do kruhu, keď súčet jeho opačných uhlov je 180°. Preto možno vpísať iba rovnoramenný lichobežník. Polomer na výpočet plochy kruhu opísanej okolo pravouhlého alebo rovnoramenného lichobežníka sa vypočíta pomocou nasledujúcich vzorcov:

Príklady riešenia problémov:

rozhodnutie: Veľká základňa v tento prípad prechádza stredom, pretože do kruhu je vpísaný rovnoramenný lichobežník. Stred rozdeľuje túto základňu presne na polovicu. Ak je základňa AB 12, potom polomer R možno nájsť takto: R=12/2=6.

odpoveď: Polomer je 6.

V geometrii je dôležité poznať vzorce. Ale nie je možné si ich všetky zapamätať, takže aj pri mnohých skúškach je dovolené použiť špeciálny formulár. Je však dôležité vedieť nájsť správny vzorec na riešenie konkrétneho problému. Precvičte si riešenie rôznych problémov na nájdenie polomeru a oblasti kruhu, aby ste mohli správne nahradiť vzorce a získať presné odpovede.

Video: Matematika | Výpočet plochy kruhu a jeho častí

Kruhy vyžadujú opatrnejší prístup a sú oveľa menej bežné v úlohách B5. Zároveň je všeobecná schéma riešenia ešte jednoduchšia ako v prípade mnohouholníkov (pozri lekciu „Oblasti mnohouholníkov na súradnicovej sieti“).

Všetko, čo je potrebné v takýchto úlohách, je nájsť polomer kružnice R. Potom môžete vypočítať plochu kruhu pomocou vzorca S = πR 2 . Z tohto vzorca tiež vyplýva, že pre riešenie stačí nájsť R2.

Na nájdenie uvedených hodnôt stačí na kružnici označiť bod ležiaci v priesečníku čiar mriežky. A potom použite Pytagorovu vetu. Zvážte konkrétne príklady výpočtu polomeru:

Úloha. Nájdite polomery troch kruhov znázornených na obrázku:

Vykonajte ďalšie konštrukcie v každom kruhu:

V každom prípade je bod B vybraný na kruhu tak, aby ležal v priesečníku čiar mriežky. Bod C v kruhoch 1 a 3 dopĺňa obrazec na pravouhlý trojuholník. Zostáva nájsť polomery:

Uvažujme trojuholník ABC v prvom kruhu. Podľa Pytagorovej vety: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

Pre druhý kruh je všetko zrejmé: R = AB = 2.

Tretí prípad je podobný prvému. Z trojuholníka ABC podľa Pytagorovej vety: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 1 2 + 2 2 \u003d 5.

Teraz vieme, ako nájsť polomer kruhu (alebo aspoň jeho štvorca). Preto môžeme nájsť oblasť. Existujú úlohy, pri ktorých je potrebné nájsť oblasť sektora a nie celý kruh. V takýchto prípadoch je ľahké zistiť, ktorá časť kruhu je tento sektor, a tak nájsť oblasť.

Úloha. Nájdite oblasť S tieňovaného sektora. Vo svojej odpovedi uveďte S / π.

Je zrejmé, že sektor je jedna štvrtina kruhu. Preto S = 0,25 S kruhu.

Zostáva nájsť S kruhu - oblasť kruhu. Za týmto účelom vykonáme dodatočnú konštrukciu:

Trojuholník ABC je pravouhlý trojuholník. Podľa Pytagorovej vety máme: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

Teraz nájdeme oblasť kruhu a sektora: S kruhu = πR 2 = 8π; S = 0,25 S kruh = 2π.

Nakoniec sa požadovaná hodnota rovná S /π = 2.

Oblasť sektora s neznámym polomerom

Ide o úplne nový typ úloh, v rokoch 2010-2011 nič podobné nebolo. Podmienkou nám je daný kruh určitej oblasti (konkrétne oblasť, nie polomer!). Potom sa v tomto kruhu pridelí sektor, ktorého oblasť je potrebné nájsť.

Dobrou správou je, že tieto úlohy sú najjednoduchšie zo všetkých úloh zo štvorca, ktoré sú na skúške z matematiky. Okrem toho sú kruh a sektor vždy umiestnené na súradnicovej sieti. Preto, aby ste sa naučili, ako riešiť takéto problémy, stačí sa pozrieť na obrázok:

Nech má pôvodný kruh plochu S kruhu = 80. Potom ho môžeme rozdeliť na dva sektory s plochou S = 40 každý (pozri krok 2). Podobne každý z týchto "polovičných" sektorov možno opäť rozdeliť na polovicu - dostaneme štyri sektory s plochou S = 20 každý (pozri krok 3). Nakoniec môžete každý z týchto sektorov rozdeliť na ďalšie dva - dostaneme 8 sektorov - "malé kúsky". Plocha každého z týchto „kúskov“ bude S = 10.

Poznámka: V žiadnej úlohe USE v matematike neexistuje menšie rozdelenie! Algoritmus na riešenie problému B-3 je teda nasledujúci:

1. Pôvodný kruh rozrežte na 8 sektorov - "kúskov". Plocha každého z nich je presne 1/8 plochy celého kruhu. Napríklad, ak má kruh podľa podmienky obsah kruhu S = 240, potom „hrudky“ majú obsah S = 240: 8 = 30;
2. Zistite, koľko „hrudkov“ sa zmestí do pôvodného sektora, do oblasti, ktorú chcete nájsť. Napríklad, ak náš sektor obsahuje 3 „hrudky“ s plochou 30, potom je plocha požadovaného sektora S = 3 30 = 90. Toto bude odpoveď.

To je všetko! Problém sa rieši prakticky ústne. Ak stále niečomu nerozumiete, kúpte si pizzu a nakrájajte ju na 8 kúskov. Každý takýto kus bude rovnaký sektor - "chunk", ktorý sa dá spojiť do väčších kusov.

A teraz sa pozrime na príklady zo skúšobnej skúšky:

Úloha. Na kockovaný papier je nakreslený kruh s plochou 40. Nájdite oblasť tieňovaného obrázku.

Takže plocha kruhu je 40. Rozdeľte ho na 8 sektorov - každý s plochou S = 40: 5 = 8. Získame:

Je zrejmé, že tieňovaný sektor pozostáva z presne dvoch „malých“ sektorov. Preto je jeho plocha 2 5 = 10. To je celé riešenie!

Úloha. Na kockovaný papier je nakreslený kruh s plochou 64. Nájdite oblasť tieňovaného obrázku.

Opäť rozdeľte celý kruh na 8 rovnakých sektorov. Je zrejmé, že oblasť jedného z nich stačí nájsť. Preto je jeho plocha S = 64: 8 = 8.

Úloha. Na kockovaný papier je nakreslený kruh s plochou 48. Nájdite oblasť tieňovaného obrázku.

Opäť rozdeľte kruh na 8 rovnakých sektorov. Plocha každého z nich sa rovná S = 48: 8 = 6. V požadovanom sektore sú umiestnené presne tri sektory - „malé“ (pozri obrázok). Preto je plocha požadovaného sektora 3 6 = 18.