Pojmy „polynóm“ a „faktorizácia polynómu“ v algebre sú veľmi bežné, pretože ich potrebujete poznať, aby ste mohli jednoducho vykonávať výpočty s veľkými viachodnotovými číslami. Tento článok popisuje niekoľko metód rozkladu. Všetky sú pomerne jednoduché na používanie, stačí si v každom prípade vybrať ten správny.

Pojem polynóm

Polynóm je súčet monočlenov, teda výrazov obsahujúcich iba operáciu násobenia.

Napríklad 2 * x * y je monomický tvar, ale 2 * x * y + 25 je polynóm, ktorý pozostáva z 2 monomických tvarov: 2 * x * y a 25. Takéto polynómy sa nazývajú binómy.

Niekedy sa pre pohodlie pri riešení príkladov s viachodnotovými hodnotami musí výraz transformovať, napríklad rozložiť na určitý počet faktorov, to znamená na čísla alebo výrazy, medzi ktorými sa vykonáva operácia násobenia. Existuje niekoľko spôsobov rozkladu polynómu. Stojí za to zvážiť ich od najprimitívnejších, ktoré sa používajú aj v základných triedach.

Zoskupenie (všeobecný záznam)

Vzorec na rozdelenie polynómu na faktory metódou zoskupovania vo všeobecnosti vyzerá takto:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Je potrebné zoskupiť monomály tak, aby sa v každej skupine objavil spoločný činiteľ. V prvej zátvorke je to faktor c a v druhej - d. Toto sa musí urobiť, aby sa potom vyňalo z držiaka, čím sa zjednodušia výpočty.

Algoritmus rozkladu na konkrétnom príklade

Najjednoduchší príklad rozkladu polynómu na faktory pomocou metódy zoskupovania je uvedený nižšie:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

V prvej zátvorke musíte vziať výrazy s faktorom a, ktorý bude spoločný, a v druhej zátvorke s faktorom b. Venujte pozornosť znamienkam + a - v hotovom výraze. Pred jednočlenný znak sme dali znak, ktorý bol v začiatočnom výraze. To znamená, že musíte pracovať nie s výrazom 25a, ale s výrazom -25. Znamienko mínus je akoby „prilepené“ k výrazu za ním a vždy ho berte do úvahy pri výpočtoch.

V ďalšom kroku musíte z držiaka vybrať faktor, ktorý je bežný. Na to slúži zoskupovanie. Vyňať ho zo zátvorky znamená vypísať pred zátvorku (vynechať znamienko násobenia) všetky tie faktory, ktoré sa presne opakujú vo všetkých pojmoch, ktoré sú v zátvorke. Ak v zátvorke nie sú 2, ale 3 alebo viac pojmov, spoločný činiteľ musí byť obsiahnutý v každom z nich, inak ho nemožno zo zátvorky vyňať.

V našom prípade iba 2 výrazy v zátvorkách. Celkový multiplikátor je okamžite viditeľný. Prvá zátvorka je a, druhá je b. Tu je potrebné venovať pozornosť digitálnym koeficientom. V prvej zátvorke sú oba koeficienty (10 a 25) násobky 5. To znamená, že nie len a, ale aj 5a môžu byť v zátvorke. Pred zátvorku napíšte 5a a potom vydeľte každý z pojmov v zátvorke spoločným faktorom, ktorý bol vyňatý, a tiež zapíšte podiel v zátvorkách, pričom nezabudnite na znamienka + a -. Urobte to isté s druhou zátvorkou , vyberte 7b, pretože 14 a 35 násobok 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Ukázalo sa, že 2 termíny: 5a (2c - 5) a 7b (2c - 5). Každý z nich obsahuje spoločný činiteľ (celý výraz v zátvorkách je rovnaký, čo znamená, že ide o spoločný činiteľ): 2c - 5. Treba ho tiež vyňať zo zátvorky, teda výrazy 5a a 7b zostávajú v druhej zátvorke:

5a(2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5)* (5a + 7b).

Takže úplný výraz je:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Polynóm 10ac + 14bc - 25a - 35b sa teda rozloží na 2 faktory: (2c - 5) a (5a + 7b). Znamienko násobenia medzi nimi možno pri písaní vynechať

Niekedy existujú výrazy tohto typu: 5a 2 + 50a 3, tu môžete zátvorku nielen a alebo 5a, ale dokonca aj 5a 2. Vždy by ste sa mali snažiť vyňať zo zátvorky čo najväčší spoločný faktor. V našom prípade, ak vydelíme každý výraz spoločným faktorom, dostaneme:

5a2/5a2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(pri výpočte podielu viacerých mocnín s rovnakými základmi sa základ zachová a exponent sa odpočíta). Zostane teda jeden v zátvorke (v žiadnom prípade nezabudni napísať, ak niektorý z výrazov zo zátvorky úplne vytiahneš) a kvocient delenia: 10a. Ukazuje sa, že:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Štvorcové vzorce

Pre pohodlie výpočtov bolo odvodených niekoľko vzorcov. Nazývajú sa redukované vzorce násobenia a používajú sa pomerne často. Tieto vzorce pomáhajú faktorizovať polynómy obsahujúce mocniny. Toto je ďalší účinný spôsob faktorizácie. Takže tu sú:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - vzorec nazývaný „druhá mocnina súčtu“, pretože v dôsledku rozšírenia na štvorec sa berie súčet čísel v zátvorkách, to znamená, že hodnota tohto súčtu sa sama násobí dvakrát, čo znamená, že je to faktor.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - vzorec druhej mocniny rozdielu, je podobný predchádzajúcemu. Výsledkom je rozdiel v zátvorkách obsiahnutý v štvorcovej mocnine.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- toto je vzorec pre rozdiel druhých mocnín, pretože spočiatku polynóm pozostáva z 2 štvorcov čísel alebo výrazov, medzi ktorými sa vykonáva odčítanie. Možno je to najčastejšie používané z týchto troch.

Príklady na výpočet podľa vzorcov štvorcov

Výpočty na nich sa robia pomerne jednoducho. Napríklad:

1. 25x2 + 20xy + 4r 2 - použite vzorec "druhá mocnina súčtu".
2. 25x 2 je štvorec 5x. 20xy je dvojnásobok súčinu 2*(5x*2y) a 4y 2 je druhá mocnina 2y.
3. Takže 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Tento polynóm je rozložený na 2 faktory (faktory sú rovnaké, preto sa zapisuje ako výraz s druhou mocninou).

Operácie podľa vzorca druhej mocniny rozdielu sa vykonávajú podobne ako tieto. Čo zostáva, je rozdiel vo vzorci štvorcov. Príklady tohto vzorca sa dajú veľmi ľahko identifikovať a nájsť medzi inými výrazmi. Napríklad:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Od 25a 2 \u003d (5a) 2 a 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25 rokov 2 \u003d (6x - 5 rokov) (6x + 5 rokov). Od 36x 2 \u003d (6x) 2 a 25 rokov 2 \u003d (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Pretože 169b 2 = (13b) 2

Je dôležité, aby každý z výrazov bol druhou mocninou nejakého výrazu. Potom sa tento polynóm vynásobí rozdielom štvorcového vzorca. Na to nie je potrebné, aby bola druhá mocnina nad číslom. Existujú polynómy obsahujúce veľké mocniny, ale stále vhodné pre tieto vzorce.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

V tomto príklade môže byť 8 reprezentovaná ako (a 4) 2 , teda druhá mocnina určitého výrazu. 25 je 5 2 a 10a je 4 - toto je dvojitý súčin výrazov 2*a 4 *5. To znamená, že tento výraz, napriek prítomnosti stupňov s veľkými exponentmi, možno rozložiť na 2 faktory, aby sa s nimi dalo neskôr pracovať.

Kockové vzorce

Rovnaké vzorce existujú pre faktorizáciu polynómov obsahujúcich kocky. Sú o niečo komplikovanejšie ako tie so štvorcami:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- tento vzorec sa nazýva súčet kociek, keďže vo svojom počiatočnom tvare je polynóm súčtom dvoch výrazov alebo čísel uzavretých v kocke.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - vzorec zhodný s predchádzajúcim sa označuje ako rozdiel kociek.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - súčet kocka, ako výsledok výpočtov sa získa súčet čísel alebo výrazov, uzavretých v zátvorkách a vynásobených 3-krát, to znamená, že sa nachádza v kocke
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - vzorec, zostavený analogicky s predchádzajúcim so zmenou iba niektorých znakov matematických operácií (plus a mínus), sa nazýva "rozdielová kocka".

Posledné dva vzorce sa prakticky nepoužívajú na účely faktorizácie polynómu, pretože sú zložité a je dosť zriedkavé nájsť polynómy, ktoré úplne zodpovedajú práve takej štruktúre, aby sa dali rozložiť podľa týchto vzorcov. Stále ich však musíte poznať, pretože budú potrebné pre akcie v opačnom smere - pri otváraní zátvoriek.

Príklady vzorcov kocky

Zvážte príklad: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b) ((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Zobrali sme tu pomerne prvočísla, takže môžete okamžite vidieť, že 64a 3 je (4a) 3 a 8b 3 je (2b) 3 . Tento polynóm je teda rozšírený o rozdiel vo vzorcoch kociek na 2 faktory. Akcie na vzorci súčtu kociek sa vykonávajú analogicky.

Je dôležité pochopiť, že nie všetky polynómy sa dajú rozložiť aspoň jedným zo spôsobov. Existujú však výrazy, ktoré obsahujú väčšie mocniny ako štvorec alebo kocka, ale dajú sa rozšíriť aj do skrátených foriem násobenia. Napríklad: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5 x 4 r + 25 r 2).

Tento príklad obsahuje až 12 stupňov. Ale aj to môže byť faktorizované pomocou vzorca súčtu kociek. Aby ste to dosiahli, musíte reprezentovať x 12 ako (x 4) 3, teda ako kocku nejakého výrazu. Teraz ho namiesto a musíte vo vzorci nahradiť. No, výraz 125y 3 je kocka 5y. Ďalším krokom je napísanie vzorca a vykonanie výpočtov.

Najprv alebo v prípade pochybností môžete vždy skontrolovať inverzným násobením. Vo výslednom výraze stačí otvoriť zátvorky a vykonať akcie s podobnými výrazmi. Táto metóda sa vzťahuje na všetky vyššie uvedené metódy redukcie: na prácu so spoločným faktorom a zoskupovaním, ako aj na operácie so vzorcami kocky a mocniny.

Účel lekcie:  formovanie zručností rozkladu polynómu na faktory rôznymi spôsobmi;  pestovať presnosť, vytrvalosť, pracovitosť, schopnosť pracovať vo dvojici. Vybavenie: multimediálny projektor, PC, didaktické materiály. Plán hodiny: 1. Organizačný moment; 2. Kontrola domácich úloh; 3. Ústna práca; 4. Učenie sa nového materiálu; 5. Telesná výchova; 6. Konsolidácia študovaného materiálu; 7. Práca vo dvojiciach; 8. domáca úloha; 9. Zhrnutie. Priebeh vyučovacej hodiny: 1. Organizačný moment. Priraďte študentov k lekcii. Vzdelanie nespočíva v množstve vedomostí, ale v úplnom pochopení a šikovnej aplikácii všetkého, čo človek vie. (Georg Hegel) 2. Kontrola domácich úloh. Analýza úloh, pri riešení ktorých mali žiaci ťažkosti. 3. Ústna práca.  faktorizujte: 1) 2) 3) ; štyri) .  Vytvorte súlad medzi výrazmi ľavého a pravého stĺpca: a. 1. b. 2. c. 3. d. 4. d. 5. .  Riešte rovnice: 1. 2. 3. 4. Učenie sa nového učiva. Na rozklad polynómov sme použili zátvorky, zoskupenie a skrátené vzorce násobenia. Niekedy je možné faktorizovať polynóm použitím viacerých metód za sebou. Transformáciu by ste mali začať, ak je to možné, odstránením spoločného faktora zo zátvoriek. Aby sme takéto príklady úspešne vyriešili, dnes sa pokúsime vypracovať plán ich dôslednej aplikácie.

150 000₽ cenový fond 11 čestných dokumentov Dôkaz o uverejnení v médiách

PLÁN LEKCIE lekcia algebry v 7. ročníku

Učiteľka Prílepová O.A.

Ciele lekcie:

Ukážte použitie rôznych metód na faktorizáciu polynómu

Zopakujte si metódy faktorizácie a upevnite svoje vedomosti na cvičeniach

Rozvíjať zručnosti a schopnosti žiakov pri aplikácii skrátených vzorcov násobenia.

Rozvíjať u žiakov logické myslenie a záujem o predmet.

Úlohy:

v smere osobný rozvoj:

Rozvoj záujmu o matematickú tvorivosť a matematické schopnosti;

Rozvoj iniciatívy, aktivity pri riešení matematických úloh;

Kultivácia schopnosti samostatne sa rozhodovať.

v metapredmetovom smere :

Formovanie všeobecných spôsobov intelektuálnej činnosti, charakteristických pre matematiku a ktoré sú základom kognitívnej kultúry;

Využívanie IKT technológií;

v predmetnej oblasti:

Osvojenie si matematických vedomostí a zručností potrebných na ďalšie vzdelávanie;

Formovanie u žiakov schopnosť hľadať spôsoby rozkladu polynómu a nájsť ich pre polynóm, ktorý je faktorizovaný.

Vybavenie:letáky, cestovné listy s hodnotiacimi kritériami,multimediálny projektor, prezentácia.

Typ lekcie:opakovanie, zovšeobecňovanie a systematizácia preberanej látky

Formy práce:práca vo dvojiciach a skupinách, individuálna, kolektívna,samostatná, frontálna práca.

Počas tried:

Etapy	Plán		UUD
Org moment.	Rozdelenie na skupiny a páry: Žiaci si vyberajú spolužiaka podľa nasledujúceho kritéria: S týmto spolužiakom komunikujem najmenej. Psychická nálada: Vyberte si emotikon podľa vlastného výberu (náladu na začiatku hodiny) a pod ním sa pozrite na známku, ktorú by ste dnes chceli dostať na hodine (SLIDE). - Zapíšte sa do zošita na okraj známky, ktorú by ste chceli dostať dnes na hodine. Svoje výsledky zaznačíte do tabuľky (SLIDE). Cvičenie Celkom stupňa Hodnotiace kritériá: 1. Všetko som vyriešil správne, bez chýb - 5 2. Pri riešení som urobil 1 až 2 chyby - 4 3. Pri riešení urobil 3 až 4 chyby - 3 4. Pri riešení urobil viac ako 4 chyby - 2		Nové prístupy k vyučovaniu (dialóg)
Aktualizácia.	Kolektívna práca. - Dnes na lekcii budete môcť preukázať svoje vedomosti, podieľať sa na vzájomnej kontrole a sebakontrole svojich aktivít Zhoda (SLIDE): Na ďalšej snímke si dávajte pozor na výrazy, čo si všimnete? (ŠMYKĽAVKA) 15x3y2 + 5x2y Vybratie spoločného násobiteľa zo zátvoriek p 2 + pq - 3 p -3 q Metóda zoskupovania 16m2 - 4n2 Skrátený vzorec násobenia Ako možno tieto akcie spojiť jedným slovom? (Metódy expanzie polynómov) Vyhlásenie študentov o téme a účele hodiny ako ich vlastnej učebnej úlohe (SLIDE). Na základe toho sformulujme tému našej hodiny a stanovme si ciele. Otázky pre študentov: Pomenujte tému lekcie; Formulujte účel lekcie; Každý má kartičky s názvom vzorcov. (Pracovať v pároch). Dajte vzorce všetkým vzorcom
Aplikácia vedomostí	Pracovať v pároch. Kontrola sklíčka 1. Vyberte správnu odpoveď (SLIDE). karty: Cvičenie Odpoveď (x+10)2= x2+100-20x x2+100+20x x2+100+10x (5y-7)2= 25r.2+49-70r 25u2-49-70u 25 rokov 2 + 49 + 70 rokov x2-16y2= (x-4y) (x+4y) (x-16r) (x+16r) (x+4y)(4y-x) (2a+c)(2a-c)= 4a2-v2 4а2+в2 2a2-b2 a3-8v3 a2+16-64v6 (a-8c) (a+8c) (a-2c) (a2 + 2av + 4c2)	2. Nájdite chyby (SLIDE): Karty č. Kontrola sklíčka 1 pár: o ( b- r)2 = b2 - 4 by+y2 o 49- c2=(49-c)(49+ rokov) 2 páry: o (r-10)2=r2-20r+10 o (2a+1)2=4a2+2a+1 3 páry: o (3r+1)2=9r+6r+1 o ( b- a) 2 =b²- 4ba+a2 4 páry: o x²- 25= ( x-25)( 25+x) o (7- a) 2 \u003d 7- 14a + a²	Vzdelávanie v súlade s vekovými charakteristikami
	3. Každá dvojica dostane úlohy a obmedzený čas na ich vyriešenie (SLIDE) Kontrolujeme kartičky s odpoveďami 1. Postupujte podľa krokov: a) (a + 3c) 2; b) x 2 - 12 x + 36; c) 4v2-y2. 2. Faktorizujte: a) ; b) ; v 2 x - a 2 y - 2 a 2 x + y 3. Nájdite hodnotu výrazu: (7 p + 4) 2-7 p (7 p - 2) pri p = 5.		Manažment a vedenie
	4. Skupinová práca. Pozrite, nenechajte sa pomýliť (SLIDE). karty. Skontrolujeme snímku. (а+…)²=…+2…с+с² (... + y)² \u003d x² + 2x ... + ... (... + 2x)² \u003d y² + 4xy + 4x² (…+2 m)²=9+...+4 m² (n + 2v)²= n²+...+4v²		Výučba kritického myslenia. Manažment a vedenie
	5. Skupinová práca (konzultácia pri riešení, diskusia o úlohách a ich riešení) Každý člen skupiny dostane úlohy úrovne A, B, C. Každý člen skupiny si vyberie pre seba realizovateľnú úlohu. karty. (Slide) Kontrola pomocou kariet s odpoveďami Úroveň A 1. Zvážte to: a) c 2 - a 2 ; b) 5x2-45; c) 5a2 + 10av + 5v2; d) ax2-4ax + 4a 2. Urobte nasledovné: a) (x - 3) (x + 3); b) (x-3)2; c) x (x - 4). Úroveň B 1. Zjednodušte: a) (3a + p) (3a-p) + p2; b) (a + 11) 2 - 20a; c) (a-4) (a + 4) -2a (3-a). 2. Vypočítajte: a) 962 - 862; b) 1262 - 742. Úroveň C 1. Vyriešte rovnicu: (7 x - 8) (7x + 8) - (25x - 4)2 + 36(1 - 4x)2 =44 1. Vyriešte rovnicu: (12 x - 4) (12 x + 4) - (12 x - 1)2 - (4 x - 5) = 16. 1.		Učenie talentovaných a nadaných
Zhrnutie lekcie	- Zhrňme, odvodíme odhady podľa výsledkov tabuľky. Porovnajte svoje skóre s odhadovaným skóre. Vyberte emotikon, ktorý zodpovedá vášmu hodnoteniu (SLIDE). c) učiteľ hodnotí prácu triedy (aktivita, úroveň vedomostí, zručností, sebaorganizácia, usilovnosť) Samostatná práca formou testu s kontrolou REZERVY		Hodnotenie pre učenie a hodnotenie pre učenie
Domáca úloha	Pokračovať v učení skrátených vzorcov násobenia.
Reflexia	Chlapci, počúvajte podobenstvo: (SLIDE) Išiel mudrc a stretli sa s ním traja ľudia, ktorí niesli vozíky Kamene na stavbu chrámu. Mudrc sa zastavil a spýtal sa každého Otázka. Prvý sa spýtal: - Čo si robil celý deň? A on s úškrnom odpovedal, že celý deň nosil prekliate kamene. Druhý sa spýtal: „A čo si robil celý deň? “ A on odpovedal: "Svoju prácu som robil svedomito." A tretí sa naňho usmial, tvár sa mu rozžiarila radosťou a potešením a odpovedal: „A Zúčastnil som sa na stavbe chrámu." Aký je váš chrám? (znalosti) Chlapci! Kto pracoval od prvej osoby? (zobraziť emotikony) (Skóre 3 alebo 2) (SLIDE) Kto pracoval v dobrej viere? (Skóre 4) A kto sa podieľal na stavbe Chrámu poznania? (Skóre 5)		Školenie kritického myslenia

• Formovanie zručností na aplikáciu rôznych metód faktorizácie.
• Prispieť k výchove kultúry reči, presnosti záznamu, nezávislosti.
• Formovanie zručností čiastkovej rešeršnej činnosti: uvedomiť si problém, analyzovať, vyvodzovať závery.

Vybavenie: učebnica, tabuľa, zošit, kartičky s úlohami.

Typ lekcie: Lekcia aplikácie ZUN.

Spôsob výučby: problémový, čiastočne exploračný.

Forma organizácie výchovno-vzdelávacej činnosti: skupinová, frontálna, individuálna, práca vo dvojiciach.

Trvanie: 1 lekcia (45 min)

Plán lekcie:

1. Organizácia začiatku hodiny. (1 minúta)
2. Kontrola domácich úloh. (2 minúty)
3. Aktualizácia. (5 minút)
4. Učenie sa nového materiálu. (10 min)
5. Konsolidácia nového materiálu. (15 minút)
6. Kontrola a samoskúšanie vedomostí. (8 min)
7. Zhrnutie. (2 minúty)
8. Domáca úloha. (2 minúty)

Počas vyučovania

I. Organizačný moment

Ahojte chalani.

Témou hodiny je „Aplikácia rôznych metód na faktorizáciu“. Dnes si sformujeme zručnosti používania rôznych metód faktorizácie a opäť sa presvedčíme o užitočnosti schopnosti faktorizovať polynóm.

Prajem vám, aby ste na hodine aktívne pracovali. (Tému si zapíšte do zošita).

II. Kontrola domácich úloh

Žiaci pred začiatkom vyučovacej hodiny odovzdajú na overenie zošity s vypracovanými domácimi úlohami. Diskutuje sa o problémoch, ktoré spôsobili ťažkosti.

III. Aktualizácia základných vedomostí.

Skôr ako začneme riešiť problémy, skontrolujeme, ako sme na to pripravení. Pripomeňme si, čo vieme o téme lekcie.

3.1. Predná anketa:

a) Čo znamená faktorizovať polynóm?
b) Aké základné metódy rozkladu polynómu poznáte?
c) Akýkoľvek polynóm možno rozložiť na súčin? Napríklad?
d) V akých úlohách je niekedy užitočné použiť faktorizáciu?

3.2. Nakreslite čiary na spojenie polynómov s ich zodpovedajúcimi metódami faktorizácie.

3.3. Nájdite nesprávne vyhlásenie:

a) a 2 + b 2 - 2ab \u003d (a - b) 2

b) m 2 + 2 mn - n 2 \u003d (m - n) 2

c) –2pt + p 2 + t 2 = (p - t) 2

d) 25 - 16 s 2 = (5 - 4 s) (5 - 4 s) (chyby b, d)

3.4. Prezentovať ako produkt: a) 64 x 2 - 1; b) (d - 3) 2 - 36;

3.5. Vyriešte rovnicu x 2 - 16 = 0 (4; -4)

3.5. Nájdite hodnotu výrazu 34 2 – 24 2 (580)

IV. Štúdium materiálu

Na rozklad polynómov sme použili zátvorky, zoskupenie a skrátené vzorce násobenia.

Čo si myslíte, existujú situácie, v ktorých je možné faktorizovať polynóm postupným použitím niekoľkých metód?

Nasledujúca úloha nám pomôže nájsť odpoveď na túto otázku:

Zohľadnite polynóm a uveďte, ktoré metódy boli použité v tomto prípade. ( Pracujte vo dvojiciach s následným riešením pri tabuli)

Príklad 1. 9x 3 - 36x použité 2 metódy:

Príklad 2. a 2 + 2ab + b 2 - c 2 použili 2 metódy:

• zoskupovanie;
• používanie skrátených vzorcov na násobenie.

Príklad 3. y 3 - 3 y 2 + 6 y - 18 použité 3 metódy:

• zoskupovanie;
• používanie skrátených vzorcov na násobenie;
• vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek.

Príklad 4. x 3 + 3x 2 + 2x použité 3 spôsobmi:

• vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek;
• predbežná konverzia;
• zoskupenie.

Dospeli sme k záveru: niekedy je možné faktorizovať polynóm použitím niekoľkých metód za sebou. Na úspešné vyriešenie takýchto príkladov si dnes vypracujme plán na ich dôsledné uplatňovanie:

1. Vyberte spoločný faktor zo zátvorky (ak existuje).
2. Pokúste sa rozložiť polynóm pomocou skrátených vzorcov na násobenie.
3. Skúste použiť metódu zoskupovania (ak predchádzajúce metódy neviedli k cieľu).

V. Cvičenia na upevnenie uvedenej témy

5.1. Kombinácia rôznych metód faktoringu vám umožňuje ľahko a elegantne vykonávať aritmetické výpočty, riešiť rovnice tvaru ax 2 + bx + c \u003d 0 (a ≠ 0) (takéto rovnice sa nazývajú kvadratické, budeme ich študovať v 8. ročníku ).

* Vyriešte rovnicu: a) x 2 - 17x + 72 = 0, b) x 2 + 10x + 21 = 0

Pomôcka: Niektorý člen polynómu sa rozloží na potrebné členy alebo sa k nemu pridá nejaký člen. V druhom prípade, aby sa polynóm nezmenil, sa od neho odpočíta rovnaký člen.

(Dvaja žiaci riešia rovnice sami v zošite. Odpoveď: a) 8; 9; b) - 1; - 5).

Doplňte cvičenie z učebnice č. 1016 (c), 1017 (c), s. 186

(Dvaja žiaci rozhodujú na tabuli, ostatní podľa možností v zošite).

5.2. Riešte rovnice ( Žiaci pracujú vo dvojiciach, po ktorých nasleduje samoskúšanie)

č. 949, str. 177 a) x 3 - x = 0 b) 9x - x 3 = 0 c) x 3 + x 2 = 0 d) 5x 4 - 2x 2 = 0

** (Individuálne úlohy pre pripravenejších študentov)

Karta 1	karta 2	karta 3
Vyriešte rovnicu a napíšte súčet koreňov x 2 + 3x + 6 + 2x = 0		Vyriešte rovnicu a napíšte súčet koreňov

x(x+3) +2(3+x) =0 súčet je -5

Súčet koreňov tejto rovnice:

Súčet koreňov rovnice:.

VI. Kontrola a samoskúšanie vedomostí.

Uvažovaná téma je neoddeliteľnou súčasťou GIA v matematike. Na kontrolu a samotestovanie vedomostí o tejto téme vás pozývame na dokončenie testovacích úloh z tréningových úloh GIA. Zakrúžkujte svoju odpoveď na testových otázkach.

Samostatná práca na kartách: (Študenti vykonávajú testovacie úlohy GIA, + vlastný test)

Ktoré z týchto výrazov sú zhodne rovné 4x-10y 2 (2x-5r) -2 (5r-2x) -10r-4x -10 rokov + 4x? a) 1, 3; b) všetky; c) 1;2;4; útlaku	Ktoré z týchto výrazov sú zhodné - 3 (-2a + y) -3(-y+2a) 6a-3r 3(2a-y) 3u-6a? a všetko; b) 2; y) 2;3; c)1;4	Ktoré z týchto výrazov sú zhodne rovné -6a + 12p -6 (a-2p) 12r-6a 6(-a+2p) -6(-p+a) ? a) 1; vôbec; c) 2;4; d)1;3
3a 3-3a 2-5a + 5. a) (a-1) (3a2+5); b) (a + 1) (3a2-5); c) (a-1) (5-3a2); e) (a-1) (3a 2 + 5).	Vyjadrite ako súčin polynómov 13ah-26x-5av + 10v. e) (a-2) (13x-5c); b) (a + 2) (3x-5c); c) (3a-6) (4x-c); d) (a-2) (5c-3x).	Vyjadrite ako súčin polynómov bу-6b-5у 2 +30у. a) (6-y) (b-5y); b) (y-6) (b + 5y); c) (y-6) (b-5y); d) (y - 6) (5 rokov - b).
Postupujte podľa krokov: (5a-c) 2 . a) 25a2 + 10ac + s2; b) 25a2 + 10ac-c2; p) 25a2-10ac + c2; d) 25a2-5ac + s2.	Urobte nasledovné: (5x + 2y) 2 . a) 25x 2 + 20xy + 4y 2; úspech

učiteľ: Pozrime sa na odpovede. Prečítajte si slová, ktoré máte. Presne tieto slová sprevádzajú siedmakov pri príprave na GIA v 9. ročníku.

VII. Zhrnutie lekcie

Učiteľ vykonáva frontálny prehľad hlavných etáp hodiny, hodnotí prácu študentov a orientuje študentov v domácich úlohách.

VIII. Domáca úloha: 38, č. 950 (s. 177), č. 1016 (g), 1017 (g), s. 186.

** Nájdite hodnotu výrazu (x+3)2 -2 (x+3) (x-3) +(x-3)2 pri x=100.

Hodnota tohto výrazu nezávisí od výberu x.

Lekcia sa skončila. Ďakujem za lekciu a pamätajte, že vedomosti, ktoré nie sú dopĺňané denne, každým dňom ubúdajú.

Použité knihy:

1. Učebnica "Algebra 7. ročník". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk a ďalší, Ed. S.A. Teljakovského. – M.; Osvietenie, 2009.
2. Zbierka testových úloh na tematickú a záverečnú kontrolu. Algebra 7. I.L. Guseva a ďalší - M.; Intellect Center, 2009.
3. Štátna záverečná certifikácia (podľa nového formulára): 9. stupeň. Tematické tréningové úlohy. Algebra / FIPI autor-prekladač: V.L. Kuznecovová. – M.: Eksmo, 2010.

Sekcie: Matematika

Typ lekcie:

• podľa spôsobu vedenia - praktická lekcia;
• na didaktický účel - hodina aplikácie vedomostí a zručností.

Cieľ: tvoria schopnosť faktorizovať polynóm.

Úlohy:

• Didaktický: systematizovať, rozširovať a prehlbovať vedomosti, zručnosti žiakov, aplikovať rôzne metódy rozkladu polynómu na faktory. Formovať schopnosť aplikovať rozklad polynómu na faktory kombináciou rôznych techník. Implementovať vedomosti a zručnosti na tému: „Rozklad polynómu na faktory“ na dokončenie úloh na základnej úrovni a úloh so zvýšenou zložitosťou.
• Vzdelávacie: rozvíjať duševnú aktivitu riešením problémov rôzneho typu, naučiť sa nachádzať a analyzovať najracionálnejšie spôsoby riešenia, prispievať k formovaniu schopnosti zovšeobecňovať skúmané fakty, jasne a jasne vyjadrovať svoje myšlienky.
• Vzdelávacie: rozvíjať zručnosti samostatnej a tímovej práce, schopnosti sebaovládania.

Pracovné metódy:

• verbálny;
• vizuálne;
• praktické.

Vybavenie lekcie: interaktívna tabuľa alebo režijný ďalekohľad, tabuľky so skrátenými vzorcami na násobenie, inštrukcie, písomka pre skupinovú prácu.

Štruktúra lekcie:

1. Organizovanie času. 1 minúta
2. Formulovanie témy, cieľov a zámerov vyučovacej hodiny-cvičenia. 2 minúty
3. Kontrola domácich úloh. 4 minúty
4. Aktualizácia základných vedomostí a zručností žiakov. 12 minút
5. Fizkultminutka. 2 minúty
6. Pokyny na splnenie úloh workshopu. 2 minúty
7. Plnenie úloh v skupinách. 15 minút
8. Kontrola a diskusia o plnení úloh. Rozbor práce. 3 minúty
9. Stanovenie domácich úloh. 1 minúta
10. Rezervovať úlohy. 3 minúty

Počas vyučovania

1. Organizačný moment

Učiteľ kontroluje pripravenosť triedy a žiakov na vyučovaciu hodinu.

2. Formulácia témy, cieľov a zámerov vyučovacej hodiny-cvičenia

• Správa o záverečnej lekcii na danú tému.
• Motivácia výchovno-vzdelávacej činnosti žiakov.
• Formulovanie cieľa a stanovenie cieľov vyučovacej hodiny (spolu so žiakmi).

3. Kontrola domácich úloh

Na tabuli sú príklady na riešenie domácich úloh č. 943 (a, c); Č. 945 (c, d). Vzorky vyrobili žiaci triedy. (Táto skupina študentov bola identifikovaná v predchádzajúcej hodine, svoje rozhodnutie formalizovali na prestávke). Študenti sa pripravujú na „obhajovanie“ riešení.

učiteľ:

Kontroly domácich úloh v žiackych zošitoch.

Vyzve študentov triedy, aby odpovedali na otázku: „Aké ťažkosti spôsobilo zadanie?“.

Ponúka porovnanie ich riešenia s riešením na tabuli.

Vyzve žiakov pri tabuli, aby odpovedali na otázky, ktoré mali žiaci v teréne pri kontrole vzoriek.

Odpovede žiakov komentuje, odpovede dopĺňa, vysvetľuje (v prípade potreby).

Zhŕňa domáce úlohy.

študenti:

Predložte domácu úlohu učiteľovi.

Vymeňte zošity (vo dvojiciach) a navzájom sa kontrolujte.

Odpovedzte na otázky učiteľa.

Skontrolujte svoje riešenie pomocou vzoriek.

Vystupujú ako oponenti, robia doplnky, opravy, zapisujú si iný spôsob, ak sa spôsob riešenia v zošite líši od spôsobu na tabuli.

Žiadajte potrebné vysvetlenia od žiakov, od učiteľa.

Nájdite spôsoby, ako skontrolovať výsledky.

Podieľať sa na hodnotení kvality úloh pri tabuli.

4. Aktualizácia základných vedomostí a zručností žiakov

1. Ústna práca

učiteľ:

Odpovedz na otázku:

1. Čo to znamená faktorizovať polynóm?
2. Koľko metód rozkladu poznáte?
3. Ako sa volajú?
4. Čo je najčastejšie?

2. Na tabuľu sú napísané mnohočleny:

1. 14x 3 - 14x 5

2. 16x 2 - (2 + x) 2

3. 9 - x 2 - 2xy - y 2

4.x3 – 3x – 2

učiteľ vyzýva študentov, aby rozkladali polynómy č. 1-3:

• Možnosť I – odstránením spoločného faktora;
• Možnosť II - použitie skrátených vzorcov na násobenie;
• III variant - spôsobom zoskupovania.

Jednému študentovi sa ponúkne rozklad polynómu č. 4 (individuálna úloha so zvýšenou náročnosťou, úloha je realizovaná na formáte A 4). Potom sa na tabuli objaví vzorové riešenie úloh č. 1-3 (vyučujúci), vzorové riešenie úlohy č. 4 (žiak).

3. Zahrejte sa

Učiteľ dáva pokyny na rozklad a výber písmena spojeného so správnou odpoveďou. Sčítaním písmen získate meno najväčšieho matematika 17. storočia, ktorý sa výrazne pričinil o rozvoj teórie riešenia rovníc. (Descartes)

5. Telesná výchova Žiaci čítajú výroky. Ak je tvrdenie pravdivé, študenti by mali zdvihnúť ruky a ak nie je pravdivé, sadnúť si do lavice. (Príloha 2)

6. Inštrukcie, ako splniť úlohy workshopu.

Na interaktívnej tabuli alebo samostatnom plagáte tabuľka s návodom.

Pri rozklade polynómu na faktory je potrebné dodržať nasledujúce poradie:

1. vysuňte spoločný činiteľ zo zátvoriek (ak existuje);

2. použiť skrátené vzorce násobenia (ak je to možné);

3. použiť metódu zoskupovania;

4. skontrolujte výsledok získaný násobením.

učiteľ:

Ponúka výučbu študentom (zdôrazňuje krok 4).

Ponúka realizáciu workshopových zadaní v skupinách.

Rozdeľuje pracovné listy do skupín, listy s uhlíkovým papierom na plnenie zadaní v zošitoch a ich následné overovanie.

Určuje čas na prácu v skupinách, na prácu v zošitoch.

študentov:

Prečítali si pokyny.

Učitelia pozorne počúvajú.

Sedia v skupinách (každá 4-5 osôb).

Pripravte sa na praktickú prácu.

7. Plnenie úloh v skupinách

Pracovné listy s úlohami pre skupiny. (Príloha 3)

učiteľ:

Zvláda samostatnú prácu v skupinách.

Hodnotí schopnosť žiakov samostatne pracovať, schopnosť pracovať v skupine, kvalitu vyhotovenia pracovného listu.

študentov:

Vykonajte úlohy na hárkoch uhlíkového papiera priložených v pracovnom zošite.

Diskutujte o racionálnych riešeniach.

Pripravte si pracovný list pre skupinu.

Pripravte sa na obhajobu svojej práce.

8. Kontrola a diskusia o zadaní

Odpovede na tabuľu.

učiteľ:

Zhromažďuje kópie rozhodnutí.

Riadi prácu žiakov vykazovanie na pracovných listoch.

Ponúkne vykonanie sebahodnotenia svojej práce, porovnanie odpovedí v zošitoch, pracovných listoch a ukážkach na tabuli.

Pripomína kritériá hodnotenia práce, účasti na jej realizácii.

Poskytuje objasnenie vznikajúcich problémov týkajúcich sa rozhodnutia alebo sebahodnotenia.

Sumarizuje prvé výsledky praktickej práce a reflexie.

Zhrnie (spolu so študentmi) vyučovaciu hodinu.

Hovorí, že konečné výsledky budú zhrnuté po kontrole kópií prác vykonaných študentmi.

študentov:

Kópie odovzdajte učiteľovi.

Pracovné listy sú pripevnené k tabuli.

Podávanie správ o výkone práce.

Vykonávať sebahodnotenie a sebahodnotenie pracovného výkonu.

9. Stanovenie domácich úloh

Na tabuľu sa napíše domáca úloha: č. 1016 (a, b); 1017 (c, d); č. 1021 (d, e, f)*

učiteľ:

Ponúkne, že si povinnú časť zadania zapíše doma.

Uvádza komentár k jeho implementácii.

Vyzýva pripravenejších študentov, aby si zapísali číslo 1021 (d, e, f) *.

Povie vám, aby ste sa pripravili na ďalšiu lekciu kontroly