Какие-нибудь математические выражения мы можем записать разными способами. В зависимости от наших целей, того, хватает ли нам данных и т.д. Числовые и алгебраические выражения различаются тем, что первые мы записываем только числами, объединенными с помощью знаков арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и скобок.

Если вместо чисел ввести в выражение латинские буквы (переменные), оно станет алгебраическим. В алгебраических выражениях используются буквы, числа, знаки сложения и вычитания, умножения и деления. А также может быть использован знак корня, степени, скобки.

В любом случае, числовое это выражение или алгебраическое, оно не может быть просто случайным набором знаков, чисел и букв – в нем должен быть смысл. Это значит, что буквы, числа, знаки должны быть связаны какими-то отношениями. Правильный пример:7х + 2: (у + 1). Плохой примеру) : + 7х - * 1.

Выше было упомянуто слово «переменная» - что оно значит? Это латинская буква, вместо которой можно подставить число. И если мы говорим о переменных, в этом случае алгебраические выражения можно назвать алгебраической функцией.

Переменная может принимать различные значения. И подставляя какое-то число на ее место, мы можем найти значение алгебраического выражения при этом конкретном значении переменной. Когда значение переменной другое, другим будет и значение выражения.

Как решать алгебраические выражения?

Для вычисления значений нужно делать преобразование алгебраических выражений . А для этого вам еще нужно учесть несколько правил.

Во-первых: областью определения алгебраических выражений являются все возможные значения переменной, при которых это выражение может иметь смысл. Что подразумевается? Например, нельзя подставлять такое значение переменной, при котором пришлось бы делить на нуль. В выражении1/(х – 2)из области определения надо исключить 2.

Во-вторых, запомните, как упрощать выражения: раскладывать на множители, выносить за скобки одинаковые переменные и т.п. Например: если поменять местами слагаемые, сумма от этого не изменится (у + х = х +у). Аналогично и произведение не изменится, если поменять местами множители (х*у = у*х).

А вообще для упрощения алгебраических выражений отлично служат формулы сокращенного умножения . Тем, кто их еще не выучил, обязательно надо это сделать – все равно пригодятся не раз:

находим разность переменных, возведенных в квадрат: х 2 – у 2 = (х – у)(х + у);

находим сумму, возведенную в квадрат: (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 ;

вычисляем разность, возведенную в квадрат: (х – у) 2 = х 2 – 2ху + у 2 ;

возводим сумму в куб: (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3 или (х + у) 3 = х 3 + у 3 + 3ху(х + у);

возводим в куб разность: (х – у) 3 = х 3 – 3х 2 у + 3ху 2 – у 3 или (х – у) 3 = х 3 – у 3 – 3ху(х – у);

находим сумму переменных, возведенных в куб: х 3 + у 3 = (х +у)(х 2 – ху + у 2);

вычисляем разность переменных, возведенных в куб: х 3 – у 3 = (х – у)(х 2 + ху + у 2);

используем корни: ха 2 + уа + z = х(а – а 1)(а – а 2), а 1 и а 2 – это корни выражения ха 2 + уа + z.

Еще вам стоит иметь представление о видах алгебраических выражений. Они бывают:

рациональные, и те в свою очередь подразделяются на:

целые(в них нет деления на переменные, нет извлечения корней из переменных и нет возведения в дробную степень): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b ).Область определения – все возможные значения переменных;

дробные(кроме остальных математических операций, вроде сложения, вычитания, умножения, в этих выражениях делят на переменную и возводят в степень (с натуральным показателем): (2/b – 3/a + с/4) 2 . Область определения – все значения переменных, при которых выражение не равно нулю;

иррациональные– чтобы алгебраическое выражение считалось таковым, в нем должно присутствовать возведение переменных в степень с дробным показателем и/или извлечение корней из переменных: √а + b 3/4 . Область определения – все значения переменных, исключая те, при которых выражение под корнем четной степени или под дробной степенью становится отрицательным числом.

Тождественные преобразования алгебраических выражений – еще один полезный прием для их решения.Тождество – такое выражение, которое будет верным при любых входящих в область определения переменных, которые в него подставят.

Выражение, которое зависит от некоторых переменных, может быть тождественно равно другому выражению, если то зависит от тех же переменных и если значения обоих выражений равны, какие бы значения переменных не были выбраны. Другими словами, если выражение можно выразить двумя разными способами (выражениями), значения которых одинаковые, эти выражения тождественно равны. Например: у + у = 2у, или х 7 = х 4 *х 3 , или x +y +z = z + x +y.

При выполнении заданий с алгебраическими выражениями тождественное преобразование служит для того, чтобы одно выражение можно было заменить на другое, тождественное ему. К примеру, заменить х 9 на произведение х 5 *х 4 .

Примеры решения

Чтобы было понятнее, разберем несколько примеров преобразования алгебраических выражений . Задания такого уровня могут попасться в КИМах на ЕГЭ.

Задание 1 : Найти значение выражения ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 -1).

Решение: ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 – 1) = (12х (12х -1))/х*(12х – 1) = 12.

Задание 2: Найти значение выражения (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3).

Решение: (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3) = (2х – 3)(2х + 3)(2х + 3 – 2х + 3)/(2х – 3)(2х + 3) = 6.

Заключение

При подготовке к школьным контрольным, экзаменам ЕГЭ и ГИА вы всегда можете использовать этот материал как подсказку. Держите в памяти, что алгебраическим выражением называется комбинация из чисел и переменных, выраженных латинскими буквами. А еще знаков арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление), скобок, степеней, корней.

Используйте формулы сокращенного умножения и знания о тождественных равенствах, чтобы преобразовывать алгебраические выражения.

Пишите нам свои замечания и пожелания в комментариях – нам важно знать, что вы нас читаете.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Урок на тему:"Алгебраические выражения с переменными и действия с ними"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Развивающие и обучающие пособия в интернет-магазине "Интеграл"
Электронная рабочая тетрадь по алгебре для 7 класса
Мультимедийное учебное пособие для 7-9 классов "Алгебра за 10 минут"

Числовые выражения

Чем больше мы изучаем математику, тем чаще нам приходится сталкиваться с разными определениями. Очень важно понимать смысл различных математических терминов и грамотно строить свою речь при доказательствах, объяснениях решения, вопросах и ответах на уроке.

Дадим название, привычным нам с первого класса, записям. Запись, составленную из чисел, математических знаков, скобок, т.е. составленную со смыслом, называют числовым выражением.

Примеры числовых выражений:

3 + 3: 2;     4 -5 * 0,2;     (2 + 4) : 3;     - 8 * 20.

А вот подобные записи:

- + 5;   :(2

не являются числовыми выражениями, так как не имеют смысла, а являются просто набором математических символов.

Если два числовых выражения соединить знаком "=" , то получится числовое равенство.
Необходимо очень хорошо запомнить очередность выполнения действий в числовом выражении. Сначала выполняется возведение в степень, потом умножение и деление, а потом сложение и вычитание. Если присутствуют скобки, то сначала выполняется действие в скобках.

Пример.
Вычислить значение выражения: 3 2 * 2 + 2 * 3.

Решение.
Cначала возводим в степень: 9 * 2 + 2 * 3. потом производим умножение: 18 + 6 и затем - сложение.
Ответ: 24.

Если упростить числовое выражение или, говоря более понятным языком, решить пример, мы получим число, которое называется значением числового выражения.

Алгебраические выражения

Если в числовом выражении все или часть цифр заменить буквами получим – алгебраическое выражение.

Примеры алгебраических выражений:

3 + 2а;   2 - (4 - х) : у;   а + с.

Запись вида:

+ : у.

не является алгебраическим выражением, так как не имеет смысла.

Буквы в алгебраическом выражении называются переменными.
Название очень легко запомнить. Переменная - значит, может меняться. Меняется естественно не сама буква, а числа, которые вместо буквы можно подставить в выражение. Переменные могут принимать практически любые числовые значения.
Если заменить переменные их числовыми значениями и решить пример, мы получим значение выражения при данном значении переменных.

Пример.
Есть выражение а + с , найти значение этого выражения, при а= 5; с= 3 и при а= 2; с= 7 . В первом случае ответ будет восьми, во втором - девяти.

Иногда, если вместо переменной подставить определенное число, то выражение потеряет смысл, например, если в выражение 1: х вместо х подставить число 0.

Все возможные значения переменной, при которых полученное после подстановки числовое выражение имеет смысл, называется областью определения данного выражения.

Примеры.
1) 2 + х. X может принимать любые значения, значит область определения - все числа.
2) 2: х. Область определения - все числа, кроме 0.
3) 3: (х + 5). Область определения - все числа, кроме -5.
4) 6: (а - с). Область определения - все числа, при условии а ≠ с.

Задания для самостоятельного решения

Найти область определения алгебраических выражений:
1) (а + с) : а;
2) (х + 8) : (х - у);
3) 2х + 4у + 6;
4) х: (х 2 + 1).

Презентация по математике на тему "Алгебраические выражения" (7 класс). Эта презентация разработана для рассмотрения новой темы по математике в седьмом классе "Алгебраические выражения". Приведены примеры алгебраических выражений, дано определение алгебраических выражений. Показано различие алгебраического выражения от числового выражения. Приведены примеры для чего нужно уметь составлять алгебраические выражения, то есть, где они применяются. Рассматриваются примера на составление алгебраических выражений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Алгебраические выражения.

Проверка домашнего задания. Какие сведения из математики вам пришлось вспомнить в процессе выполнения домашнего задания?

Порядок арифметических действий. Переместительный закон сложения: a + b = b + a Переместительный закон умножения: a * b = b * a Сочетательный закон сложения: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) Сочетательный закон умножения: abc = (ab)c = a(bc) Понятие обыкновенной дроби, десятичной дроби, отрицательного числа. Арифметические операции с десятичными дробями. Арифметические операции с обыкновенными дробями. Основное свойство обыкновенной дроби: Правила действий с десятичными дробями.

Пример 1 Один холодильник стоит 350 $ . Тогда два холодильника стоят в два раза больше, т.е. 350·2=700 $ ; пять холодильников стоят в пять раз дороже, т.е. 350·5=1750 $ . Легко сообразить, что а холодильников стоят в а раз больше, т.е. 350· а $ С помощью выражения 350· а можно находить стоимость различного числа а холодильников, подставляя различные значения а и выполняя умножение. Так как буква а может принимать различные натуральные значения, то а – переменная 350· а – алгебраическое выражение (или выражение с переменной)

Пример 2. Пусть длина одной стороны прямоугольника а см, другой – b см. Найдем периметр прямоугольника. b a P = 2 a + 2 b a , b – переменные 2 a + 2 b – алгебраическое выражение

Пример 3. Запись 2a – 3b + 5 – алгебраическое выражение с переменными a и b . - алгебраическое выражение с переменными x и y .

Пример 4. Найдем значение выражения при a = 3 , b = 4 и с =2 В данное алгебраическое выражение подставим значения переменных a = 3 , b = 4 , c = 2 . Получаем числовое выражение. Выполнив действия, найдем его значение: = = = 9 Число 9 является значением алгебраического выражения для данных значений переменных. Значение числового выражения, которое получается при подстановке выбранных значений переменных в алгебраическое выражение, называют значением алгебраического выражения.

АЛГЕБРА
Уроки для 7 классов

Урок № 12

Тема. Выражения. Числовые выражения

Цель: систематизировать и обобщить знания о числовые и буквенные выражения, приобретенные учащимися в 5-6 классах.

Тип урока: систематизация и обобщение знаний.

Ход урока

И. Анализ тематической контрольной работы

О результатах предыдущего урока (тематическая контрольная работа № 1) ученики узнают к уроку (учитель может раздать тетради с тематической контрольной работы № 1); анализ тематической контрольной работы учащиеся сделали дома (получив разрешение работы в виде раздаточного материала), поэтому единственное, что может сделать учитель во время проверки тематической контрольной работы - выписать для каждого ученика те вопросы, над которыми надо поработать отдельно, и затем эти рекомендации в начале урока.

II . Организационный момент

Учитель инструктирует учащихся по направлениям дальнейшей работы (начинаем изучать новую тему «Выражения»), сообщает учащимся срок следующей тематической контрольной работы и напоминает, что подготовка к ней начинается уже на этом уроке - сообщает тему и цель урока.

III . Актуализация опорных знаний

Выполнение устных упражнений

1. Выполните действия: 1) 1,6 + 3,4; 2) 5 - 6,5; 3) 4,2 - 6,2; 4) 3 · ; 5) 18: ;6) (-4) · ; 7) (-20) · ; 8) 6: ; 9) 0,52.

2. Среди записей (см. ниже) один лишний. Найдите его и объясните, чего вы считаете его лишним:

1) 17 · 2 + 8; 2) (14,2 - 11,4) : 4; 3) 42 - ; 4) (42 - b ) · 0,4.

3. Рассмотрите записи. Установите порядок действий и выполните действия:
1) ; 2) ; 3) .

Какое противоречие с условием задачи вы получили? Почему?

IV . Систематизация и обобщение знаний

Вариант 1 . Фронтальная работа с учащимися

@ Теоретические сведения о числовые выражения, сообщаются ученикам в этой теме, в основном уже известные им. С понятиями «числовое выражение», «значение числового выражения» учащиеся встречались в курсе математики 5- 6 классов. Принципиально новым для них есть понятие числового выражения, что не имеет смысла. Это понятие будет использовано позже во время изучения выражений с переменными, не имеют смысла при некоторых значениях переменных.

Не лишним будет вспомнить о существовании 5-й арифметического действия (возведение в степень, с которым учащиеся познакомились еще в 5 классе) и о порядке выполнения действий в числовом выражении; не забываем про использование свойств действий в вычислениях значений числовых выражений.

Записи в конспектах учащихся могут иметь такой вид:

Конспект 3

Числовые выражения

1. Числовые выражения образуются из чисел, скобок и знаков действий.

Пример: 17 · 2 + 8, (14,2 - 11,4) · 4, - числовые выражения.

Замечания. Одно число также считают числовым выражением.

Пример: 7,5; 1 - числовые выражения.

2. Значение числового выражения - число, которое приобретается после выполнения всех

действий в числовом выражении

Пример: значением выражения 17 · 2 + 8 является число 42.

Замечания. Не для всех числовых выражений существует их значение; в этом случае говорят, что выражение не имеет смысла.

Пример: - числовое выражение, но во время выполнения действий имеем:

, что вычислить невозможно, поэтому выражение не имеет смысла

Вариант 2. Работа с опережающим домашним заданием

Учитывая условие опережающего домашнего задания, работу можно организовать так:

На доске записано таблицу, которую заполняем во время фронтальной работы или после самостоятельной работы учащихся, комментируя записи в тетрадях:

Известное	Неизвестно

После заполнения таблицы повторяем содержание известных понятий и, используя приемы работы с текстом, добиваемся сознательного восприятия содержания новых понятий.

В любом случае после проведенной работы выполняем записи в тетрадях (конспект 3).

V . Систематизация знаний, усвоение навыков

@ В системе упражнений основное внимание уделяем повторение алгоритмов действий с рациональными числами; использованию законов действий в ходе вычисления значений выражений и упражнения, в которых продолжается работа над формированием важного математического умение переходить от записи числового выражения или выражения с переменными к его формулировки с помощью слов и наоборот. Дополнительные задачи (№ 4* и 5*) предусматривают усвоение навыков составления числового выражения по определенным условиям.

Выполнение письменных упражнений

1. Найдите значения выражений:

1) ;

2) (-31,7: 63,4 - 23,4: (-1,7)) · (-2,4);

3) ;

4) .

2. Запишите числовое выражение и найдите значение каждого из них:

1) произведение суммы чисел 15 и -22 и числа 2,1;

2) доля разности чисел 10 и 6,4 и числа - 1,2;

3) доля числа 27 и произведения чисел - 0,06 и 0,5;

4) произведение суммы и разности чисел 2,7 и 0,3;

5) разность квадратов чисел 5 и - 9;

6) квадрат разности чисел 1,2 и - 0,8.

3. Используя термины «сумма», «разность», «произведение» и «доля», прочитайте выражение:

1) 8,5 - 7,3; 2) 4,7 · 12,3; 3) 65: 1,3; 4) 5,6 + 0,9; 5) 2 · 9,5 + 14;

6) (10 - 2,7) : 5; 7) 2,5 - (3,2 + 1,8); 8) 6,1 · (8,4: 4).

4. Имеют ли смысл выражения: 1) 6,3: (2,5 · 9 - 22,5); 2) (1 5 - 2,5 · 6 ) : 4,2?

5*. Используя три раза цифру 2, составьте выражение, значение которого равно: 1) 6; 2) 8; 3) 3; 4) 1.

6*. Составьте числовое выражение для решения задачи:

1) Из двух городов, расстояние между которыми 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Какое расстояние будет между ними через 3 часа после выхода, если известно, что скорость одного пешехода 4 км/ч., а второго 5 км/ч.?

2) Один рабочий изготавливает за час 7 деталей, а второй - 9 деталей. Сколько деталей они изготавливают вместе за 4 ч?

VI . Рефлексия. Контрольные вопросы

1. Приведите пример числового выражения и укажите, в каком порядке нужно выполнить действия, чтобы найти его значение?

2. Приведите пример числового выражения, что не имеет смысла.

3. Установите соответствие между элементами левого и правого столбиков.

1) 3 + 2; 1) сумма 3 и 2;

2) 3 - 2; 2) разница 3 и 2;

3) 3 - 2; 3) квадрат числа 3;

1) Длина прямоугольного участка 42 м, а ширина на 10 м меньше. Запишите выражение для нахождения площади участка.

2) Длина прямоугольного участка 42 м, а ширина най м меньше. Запишите

выражение для нахождения площади участка.